向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院).doc

第七章 空间解析几何参考答案第七章 空间解析几何一、选择题1. 在空间直角坐标系中，点（1，2，3）在 D A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限2.方程在空间解析几何中表示的图形为 C A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面3.直线与，的夹角是 C A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy平面的对称点是 D A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3)5.将xoz坐标面上的抛物线绕z轴旋转一周，所得旋转曲面方程是B A. B. C. D. 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy平面夹角的余弦是B A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz平面的对称点是 A A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3)8.方程表示的是 B A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面9. 已知=0, 3, 4, =2, 1, -2,则 C A.3 B. C. -1 D.110已知为不共线向量，则以下各式成立的是 DA. B. C. D. 11直线的方程为，直线的方程为，则与 的位置关系是 D A.异面 B.相交 C.平行 D.重合12已知A点与B点关于XOY平面对称，B点与C点关于Z轴对称，那么A点与C点是 C A.关于XOZ平面对称 B.关于YOZ平面对称 C.关于原点对称 D.关于直线对称13已知A点与B点关于YOZ平面对称，B点与C点关于X轴对称，那么A点与C点 C A.关于XOZ平面对称 B.关于XOY平面对称 C.关于原点对称 D.关于直线对称14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 C A. B. C. D.15. 已知为不共线向量,则下列等式正确的是 C A. B. C. D. 16已知向量，那么以为两边的平行四边形的面积是 B A.20 B. C.10 D.17已知直线方程与平面方程，那么与的位置关系是C A. 在内 B. 垂直于 C. 平行于 D.不能确定18两向量所在直线夹角，那么下列说法正确的是 BA. 夹角 B. 夹角 C. 夹角可能或 D.以上都不对19.已知，且，则（D ）.(A) (B) (C) (D) 20.设有直线及平面，则直线（ C ）。(A) 平行于 (B) 在上 (C) 垂直于 (D) 与斜交21.双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面的方程为（ A）.(A) (B) (C) (D) 22.点关于轴对称的点是（ D ）.(A) (B) (C) (D) 23.已知，则（A ）.(A) 2 (B) (C) (D) 24.在空间表示 （ D ）.(A) 双曲线 (B) 双曲面 (C) 旋转双曲面 (D) 双曲柱面25.设与为非零向量，则是（ C）.(A) 的充要条件 (B) 的充要条件(C) 的充要条件 (D) 的必要但不充分条件26设平面方程为，其中均不为零，则平面（ B）.(A) 平行于轴 (B) 平行于轴 (C) 经过轴 (D) 经过轴27 已知等边三角形的边长为，且，则（ D）.(A) (B) (C) (D) 28.点M(2，-3，1)关于坐标原点的对称点是( A )(A) (-2，3，-1) (B) (-2，-3，-1) (C) (2，-3，-1) (D) (-2，3，1)29.平面2x-3y-5=0的位置是( B )(A) 平行于XOY平面 (B) 平行于Z轴 (C) 平行于YOZ平面 (D) 垂直于Z轴30.点A(-2，3，1)关于Y轴的对称点是( D )(A) (2，-3，1) (B) (-2，-3，-1)(C) (2，3，-1) (D) (2，-3，-1)31.过点(0，2，4)且与平面x+2z=1和y-3z=2都平行的直线方程是( C )(A) (B) (C) (D) 32二个平面和2x+3y-4z=1位置关系是（ A ）（A）相交但不垂直（B）重合（C.）平行但不重合（D.）垂直33. 过点(2，0，-3)且与直线垂直的平面方程是( A )(A) (B) (C) (D) 34. 向量与三坐标轴的夹角分别为，则的方向余弦中的=( A )(A) (B) (C) (D) 35. 已知曲面方程 （马鞍面），这曲面与平面 相截，其截痕是空间中的（ B ）A. 抛物线； B. 双曲线； C. 椭圆； D. 直线。36. 点(3，1，2)关于XOZ平面的对称点是( B )(A) (-3，1，2) (B) (3，-1，2) (C) (3，1，-2) (D) (-3，-1，2)37. 曲线绕X轴旋转一周，形成的曲面方程是( C )(A) (B) (C) (D) 38. 准线为XOY平面上以原点为圆心、半径为2的圆周，母线平行于Z轴的圆柱面方程是( B )(A) (B) (C) (D) 39. 球面与的交线在XOY平面上的投影曲线方程是( D )(A) (B) (C) (D) 40. 向量=、=垂直的充分必要条件是( A )(A) =0 (B) =0(C) (D) -=0二、填空题1. 则 1 2. 有曲面方程，当pq0时, 方程表示的曲面称为双曲抛物面3. 母线平行于x轴且通过曲线的柱面方程是4. 已知,都是单位向量，且满足+=0, 则5、XOZ平面内曲线绕X轴旋转，所得曲面方程为 6已知向量，向量，那么三角形的面积是 7、已知平面与，则其夹角为 8点在平面上的投影为 9.设有直线与，则与的夹角为10已知，则的模 11. 已知向量 与 ，则 0 ； 12、平面x+2y-z+3=0和空间直线的位置关系是 直线在平面上13. 过点（2，-3，6）且与Y轴垂直的平面为 ，此点关于XOY平面的对称点是 ，它与原点的距离为 7三：计算与证明1.求过点M(3, 1 -2)且通过直线的平面方程解：设N(4, -3, 0), , 由已知，是所求平面内的向量 又设所求平面的法向量是，取， 即： 故，所求平面的方程为：8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0即：8x+9y+22z+59=0 2.求与直线：相交且与直线：相交, 与直线： 平行的直线方程解：将，分别化为参数方程：， 对于某个t及值, 各得，上的一点,分别记为,则 向量=(2t-3)-(5+10)i+(3t+5)-(4-7)j+(t-)k =（2t-5-13）i+(3t-4+12)j+(t-)k 令向量平行于， 即有 解得 t= ，于是（-28，, ） 故 所求直线为： 3.直线L过点M(2, 6，3), 平行于平面:x-2y+3z-5=0且与直线:相交, 求L的方程解：过点M平行于的平面方程为(x-2)-2(y-6)+3(z-3)=0 即: x-2y+3z=0 再求它与直线的交点, 将写成参数方程:x=2-5t, y=2-8t , z=6+2t 代入上述平面方程得: t=-1 所以交点为P(7, 10, 4), 又L过M, P两点 故: L的方程为即：4求过直线，且平行于直线的平面方程。解：设平面法向量，则有方程解得,于是可取法向量所以平面方程为5、设是平面上两个不共线的非零向量，为已知非零向量，求解：方程两边同与作数量积得，解此两元一次方程组，得， 。6.求直线在平面上的投影解：设平面束方程为其法向量为，于是由题意有，即取。直线方程为7.求原点到直线的垂线与垂足，垂线要求参数方程。解：设为过原点且垂直于的平面，则的一个法向量与的方向一致。 的方向：。 的方程 将其与方程联立，解得垂足坐标于是垂线参数方程.8已知直线一般方程为，求其点向式方程。解：两平面法向量分别为，故直线方向为 令，得直线上一点故点向式方程为9.在直线上求一点A，使得它与原点所决定的直线与的夹角为 解：直线方向 设直线上一点，则，据题意有，解此方程得。故A点坐标为或。10.证明：直线及直线共面。证明：的方向向量，的方向向量。点由于这三个向量两两不平行，且 ，所以与共面(因为由上式知三向量共面)。证法2：与有交点：，故与共面。11.求通过直线及直线的平面方程。解：的方向向量为，所以与平行。点且易知，不在直线上。故所求平面就是两相交直线与确定的平面。它的法向量可取为 又为已知平面上的点，所求平面的点法式方程为 ，即。12 已知的两边构成的向量，求的面积。解：而所以，从而.13.求直线在平面上的投影方程。解：过直线的平面束方程为.在中取一个平面与已知平面垂直，则两法向量垂直，故有 ，即。故过已知直线且与已知平面垂直的平面为 从而直线在平面上的投影即为.14. 求过直线且垂直于平面4x-y+z-1=0的平面方程。解 设所求的平面的法向量为A，B，C，已知直线的方向数为m,n,p则 有 方向数为9，7，10(2分)又因有法向量为17，31，-37(3分)直线上有点（0，-1，-4）平面方程为17x+31