圆锥滚子轴承凸度的有限元分析-硕士论文

河南科技大学 硕士学位论文 圆锥滚子轴承凸度的有限元分析 姓名：王建伟 申请学位级别：硕士 专业：机械设计及理论 指导教师：赵滨海;夏新涛 2003.4.25 y 5 _ f 5 6 7 9 摘要 圆锥滚子轴承凸度的有限元分析 摘要 圆锥滚子轴承的凸度是影响轴承的使用寿命的重要因素，同时也 是近些年来在轴承设计方面研究的重点。国外在这方面已经进行了大 量的研究，在圆锥滚子轴承设计上普遍采用带凸度设计，目前，国外 著名的轴承公司都已经形成了成熟的凸度设计方法和加工手段。而国 内在这方面作的工作还有一定的差距。 圆锥滚子轴承的凸度分析的本质是接触问题的求解。从数学和力 学的角度来讲，接触问题求解是极其复杂的，解决的方法有解析法和 数值解法两种，其中解析解法要求使用者掌握复杂的力学理论，并且 还只能处理一些情况简单的接触问题，远远不能满足实际的工程需 要。在工程上多使用数值解法来解决接触问题，有限元法就是其中应 用最为广泛的一种数值解法。 本课题以有限元分析软件A N s Y S 为开发工具，对所研究的圆锥 滚子轴承凸度设计问题进行分析，研究的内容主要是滚子和内滚道对 数母线凸度的设计问题。通过研究，以得到滚子和滚道合理的凸度值 和最佳的凸度匹配关系。 通过本课题的研究可以看出，以A N s Y s 为代表的有限元分析软 件在轴承的设计和分析中有着很好的使用效果广阔的应用前景。 关键词：凸度设计，圆锥滚子轴承，有限元，凸度匹配 塑重型垫盔兰堡主兰垡笙苎 A N L Y SIS0 NC R O W NIN G0 FT P E RR O L L E RB E A R lN G B YFlNlT EE L E _ E N T _ E T H O D A B S T R C T C r o w n i n go ft a p e rr o l l e rb e a r i n gi s a ni m p o r t a n tf a c t o rt o w o r k i n gl i f eo fb e a r i n g ，M o r e o v e r ，i t saf o c a lp o i n ti ns t u d yo f b e a r i n gd e s i g ni nr e c e n t l yy e a r s L o t so fs t u d yh a V eb e e nd o n e i nf o r e i g nc o u n t r i e s ，c r o w n i n gd e s i g nh a sb e e nw i d e l yu s e di n d e s i g no ft a p e rr o l l e rb e a r i n g S o m ef o r e i g nf a m o u sc o m p a n i e s a l r e a d y h a v eh a dm a t u r em e t h o d so f c o n v e x i t yd e s i g n a n d m a n u f a c t u r e H o w e v e r ，n o tm u c hs t u d yh a v eb e e nd o n ei n o u r c O u n t r y C f o w n i n ga n a l y s i s o ft a p e r e dr o l l e r b e a r i n g i sac o n t a c t q u e s t i o ne s s e n t i a l l y I nt h ev i e wo fm a t h e m a t i c sa n dm e c h a n i c s ， c o n t a c tq u e s t i o ni sav e r yc o m p l i c a t e dq u e s t i o n T h e r ea r et w o k i n d so f s o l v i n g m e t h o d s ： a n a l y t i c a l m e t h o da n dn u m e r i c a l m e t h o d ，a n da n a l y t i c a lm e t h o dr e q u i r e st h e u s e rt om a s t e rl o t s o f c o m p l i c a t e d c o n t a c t t h e o r i e s ，h o w e v e r ， n u m e r i c a lm e t h o d o n l ys o l v e ss o m es i m p l eq u e s t i o n s ，s oi t c a n ts a t i s f yn e e d so f e n g i n e e r i n g I ne n g i n e e r i n g ，w eo f t e nu s en u m e r i c a lm e t h o dt o s o l v ec o n t a c t q u e s t i o n s f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ( F E M ) i sa m e t h o do fn u m e r i c a lm e t h o d st h a th a v eb e e nw i d e l yu s e dt o s o l V ec o n t a c tq u e s t l o n sl ne n g l n e e n n g I nt h i sp a p e r ，b yu s i n gaf i n i t ee l e m e n ts o f t w a r e - A N S Y S ，I h a v e d e e p l ya n a l y z e d t h e C r o w n i n g o f t a p e r e d r o l l e r b e a r i n g M yA n a l y s i s f o c u s e so nt h e l o g a r i t h m i cp r o f i l e c r o w n i n go fr o l l e r a n di n n e T g r o o V er a c e w a y ， i nt h e e n d ，t h e 一一 r a t i o n a l C r o w n i n gV a l u e s a n dt h e C r o w n i n gm a t c ho fr o l l e r a n dg r o o V er a c e w a yh a v eb e e ng e t t e 正 、 F r o mt h e p a p e r ，w e c a n o b v i o u s l yc o n c l u d et h a tt h ef i n i t e e l e m e n tm e t h o ds o f t w a r el i k eA N S Y Sh a v en o t e de f f e c t s a n d f o r e g r o u n di na n s l y s i so fb e a r i n g K E Y W o R D S ：C r o w n i n ga n a l y s i s ，t a p e r e dr o l l e rb e a r i n g ，f i n i t e e l e m e n tm e t h o d ( F E M ) ，C r o w n i n gm a t c h m 目录 主要符号说明 接触区表面的法向位移 泊松比 杨氏弹性模量 接触区载荷分布函数 接触区域 接触体 接触区切向力 接触区法向力 接触区法向位移 接触区切向位移 有限元刚度矩阵 接触物体的节点位移向量 接触物体的整体外载荷 接触物体的接触力向量 法向接触间隙或者接触过盈 切向接触间隙或者接触过盈 单元的形函数矩阵 弹性系数矩阵 单元的应变矩阵 应力向量矩阵 。E g 。 Q 雨 硒 。 ；吲 一“ 一乳旷吲F 河南科技大学硕士学位论文 应变向量矩阵 柔度矩阵 坐标转换阵 凸度量 凸度计算公式中与材料有关的常数 滚子承受的最大载荷 滚子的有效长度 轴承所受的径向载荷 轴承所受的轴向载荷 滚子轴承中滚子的个数 圆锥滚子轴承的接触角 轴承的额定动载荷 轴承的额定静载荷 滚子轴承的滚子有效直径，对于圆锥滚子轴承来说 是指滚予的中径 滚子轴承的中心圆直径 滚子轴承滚子的倒角 滚子母线圆弧部分的长度 滚子凸度的测量点到滚子端面的距离 滚子母线圆弧部分的曲率半径 滚子的长度 滚子的方位角 滚子和外圈滚道接触的表面法向载荷 占 y 旧印Kk F 只z 口c G 巩 见 ，R 厶 Y Q 目录 Q Q f j D 滚子和内圈滚道接触的表面法向载荷 滚子端面和内圈滚道挡边接触处的法向载荷 内圈参数下标 外圈参数下标 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 轴承是机械工业中最重要最基本的基础零件之一，主要作用是机 械支撑。在当今的工业机械行业中，它已经被广泛的应用于交通车 辆、机床、纺织机械、矿山机械、建筑机械、飞机、船舶、航天器、 电子计算机、家用电器等各种各样的机器和装置中【l 】。一套轴承的使 用性能的好坏往往会影响整个机械装置甚至整个生产线的工作情况。 在竞争激烈的工业领域，随着现代化工业和科学技术的发展，对轴承 的承载能力、动态性能、高可靠性、高精度、高温高速、和小型化、 轻量化、组合化等提出了越来越高的要求。当然，轴承性能的提高关 系到各个方面，比如：轴承材质性能、设计水平、工艺制造水平，甚 至还包括具体的使用工况条件等等，本课题主要集中在滚动轴承的凸 度设计上。 滚动轴承虽然是一种外形简单的基本零件，但是它的设计原理和 性能分析却十分复杂，尤其是随着电子计算机的发展和应用，计算机 辅助设计，计算机模拟被广泛的应用在轴承的设计和分析中以后，情 况更是如此【2 】【”。 轴承的传统设计原理和分析方法是指对轴承的几何关系、应力与 应变、载荷分布、运动学关系、额定静载荷、额定动载荷和寿命的分 析、计算等，这些内容主要是运用材料力学和弹性力学的方法来分析 设计轴承，其依据是经典的赫兹( H e r t z H ) 弹性接触理论和帕姆格 林( P a l m g r e n A ) 的轴承的轴承额定理论，再加以适当的实践修正， 从而形成一套实用的设计和分析公式。到五十年代，这种传统的设计 和分析理论已经相当的成熟和完善了。 这套设计分析方法从理论上说是静力学方法，不考虑复杂的动力 学因素。在它的基础上，根据套圈滚道控制理论，六十年代到七十年 河南科技大学硕士学位论文 代初形成了拟静力学分析方法，这种方法考虑了一些动力学因素， 由于它采用了套圈滚道控制理论，郎根据实际情况假定在轴承的一个 套圈上仅发生纯滚动，而无自旋运动，因而最终所要求解的动力学方 程组是一组非线性代数方程组，可以用传统的牛顿( N e w t o n ) 迭代法求 解。随着对轴承性能要求的越来越高，尤其是高速滚动轴承，这些设 计和分析方法有时也满足设计分析要求，如果考虑轴承从起始运动的 整个动力学过程，将动力学方程组积分，理论上可以求得在任一瞬 间，滚动体和保持架的位置、转速及轴承的内部运动等的完整参数 值，这种设计分析方法称之为滚动轴承的动力学设计分析方法。光从 理论上看，动力学设计方法考虑的因素最为全面，然而，它在数学求 解方面是极其复杂的，理论求解几乎不可能，事实上，没有计算机的 帮助，数值解也几乎无法得到。故而，滚动轴承的这种设计分析方法 虽然在七十年代中期已经提出来，一直无法实际应用，到九十年代 初，高性能的计算机才得以在轴承的设计分析中加以应用，这种设计 方法才有了实用价值。可以说，计算机的发展为传统的轴承设计分析 行业注入了新的生命力，是一些原本不可能实现的分析设计方法得以 实现，形成滚动轴承的计算机辅助设计方法。当然，无论轴承的拟静 力学分析设计方法，还是动力学设计分析方法，都不可能准确的解析 解，并且也没有那个必要，在工程上，达到一定的精确程度的数值解 已经能够满足需要了，而这些解的获得往往要依赖电子计算机进行数 值计算脚。 滚动轴承泛指利用球和滚子的滚动来实现减小摩擦，并限制一个 物体相对于另一个物体运动的各种类型轴承。滚动轴承一般由内圈、 外圈、保持架和滚动体组成，特殊的情况下可以无内圈或外圈，而由 相配的主机零件轴或外套代替。起支撑作用的滚动体在套圈滚道上滚 动，实现轴与机座的相对旋转摆动或往复运动，并减小支撑摩擦。保 持架把滚动体均匀的分开，并对滚动体的运动起着引导作用。大多数 的滚动轴承用来使轴相对于某个固定的结构作旋转运动。而有些滚动 第一章绪论 轴承则用来作平移运动，即相对与轴作往复直线运动，只有很少的轴 承同时能使两部件作相对直线运动和旋转运动。 滚动轴承的品种繁多，可以有多种的分类方法。按所能承受的载 荷方向，可以分为：向心轴承，主要承受径向载荷，即与轴承旋转轴 线方向垂直的作用载荷，接触角一般为O 。；角接触轴承，能同时承 受径向载荷和轴向载荷，接触角般在O 。9 0 。之间；推力轴承， 仅能承受轴向载荷，接触角为9 0 。按滚动体类型，滚动轴承可以 分为：球轴承，滚动体是钢制球；滚子轴承，滚动体是短圆柱滚子、 圆锥滚子或者滚针。 我国的工业发展较为落盾，这和我国的工业起步较晚有关，在轴 承行业尤为如此。现如今，在中低档类型轴承方面，我国的轴承设计 制造水平和国外差距已经不是太大。但是在高档轴承的设计制造方 面，差距是极其明显的，有资料显示，比较国内外相同类型的轿车用 圆锥滚子轴承，仅从使用寿命上来看，相差就在1 0 倍左右，这还不 说在使用性能上的差距【4 】。 随着轿车工业的发展，对圆锥滚予轴承要求越来越高。目前，轿 车工业已经成熟期。各种高新技术的应用使新产品的开发能力进一步 加强，开发周期逐步缩短，世界上大的汽车公司预研一代，生产一 代，淘汰一代的科学生产体系，轿车行业出现了向低价格、安全性、 环保型、节能型发展的新动向。作为轿车上广泛应用的圆锥滚子轴 承，其设计和制造水平更是发展迅猛。 在国外轿车行业，许多汽车公司的轿车产品，大约3 5 年就推 出一个新型产品，即使是在市场上广受欢迎的车型，也在不断的改进 当中。从而对轴承提出了越来越严格的要求，诸如轴承的结构单元 化、集成化、体积小型化、重量上的轻量化、性能高速化、高可靠性 化以及低噪化、长寿命化等。比如，在发动机部件方面，为了提高发 动机的效率和保护环境，需要提高引擎的工作温度，并且使其自身轻 量化，低扭矩，这就需要所用轴承由滑动向滚动方向发展。同时为了 河南科技大学硕士学位论文 提高可靠性和降低振动噪声，要求轴承部件化。例如水泵轴承、皮带 张紧轮轴承等，在国外均己实现部件化，提高了可靠性，延长了使用 寿命，实现了免维修。又如交流发电机轴承，工作条件非常苛刻，为 了达到上述要求，国外的各大轴承公司进行了大量的实验研究，除了 根据特殊的使用条件对轴承进行特殊的设计以外，还在材料和热处理 方面有所突破，研制出了不同的材料及热处理工艺，开发出了不同的 高温润滑油脂以及有效的密封结构，适应了主机对轴承不同要求”】。 在离合器分离轴承方面，国外已经发展到了第四代产品。离合器 分离轴承从无调心性能、外圈旋转、铸铁衬套、或内圈与衬套合为一 体的低速轴承发展到具有自调心性能、内圈旋转、冲压套圈和冲压衬 套或塑料衬套的高速、高可靠性轴承单元，其重量减轻了近5 0 ， 成本也大大下降，实现了部件化、轻量化、高可靠性及长寿命。 在变速箱使用的轴承方面，国外也进行了深入的研究。轿车变速 箱使用的深沟球轴承是在齿轮油润滑条件下工作的，由中含有大量的 微小颗粒，直接影响轴承的振动、噪声和寿命。为了改善变速箱用深 沟球轴承的工作条件以提高其寿命，国外在轴承设计和制造中除了采 用具有高密封性、低摩擦力矩的密封结构外，还选用特殊材料并采取 特殊的热处理工艺。对于轿车变速箱中使用的滚针轴承，为了提高它 的承载能力，实现轻量化和长寿命并降低成本，滚针轴承多采用带塑 料保持架的滚针组件和仅有冲压外圈的滚针轴承。 在差速器用圆锥滚子轴承中，通过改进轴承的内部设计和加装可 靠的密封装置实现了低扭矩和低噪音。采用特殊的材料和特殊的热处 理工艺，提高了轴承的可靠性并达到了长寿命。 在轿车的行走系统主要是汽车轮毂轴承方面，国外更是发展迅 速。从结构上看，轿车轮毂轴承单元从套圈锁紧型和保持架锁紧型单 元( 第一代) 发展到外圈带法兰盘的轴承单元( 第二代) ，进而到大 填球角，压配式内圈也带法兰盘的轴承单元( 第三代) 和轮毂轴承与 等速万向节联合成一体的轴承单元( 第四代) 。轮毂轴承单元分为两 4 第一章绪论 大类，一类是双列圆锥滚子轴承单元，现在已经发展到第二代产品； 另类是双列角接触球轴承单元，现在已经发展到第四代产品。美国 的各汽车公司以双列圆锥滚子轴承单元为主，日本和欧洲的各汽车公 司以双列角接触球轴承单元为主。 在我国的轿车行业，到目前为止，国产化率最高，市场占有率最 大的上海桑塔纳轿车，其轴承尤其是关键部位的轴承仍然依赖于进 口。我国轿车轴承的主要差距主要表现在于以下几个方面： l ：产品设计落后 目前，我国的轿车轴承，尤其是关键部位的轴承，其设计仍旧 停留在类比设计和仿制阶段。由于实验经费的投入不足，科技实力 不够，诸如有限元设计，可靠性设计，拟动力学设计等现代化设计 理论和c A D 优化设计方法，还没有能具体运用到轿车轴承的设计中 去，自主研发的能力差，尚未在国际轿车市场上形成竞争力。 2 ：制造技术落后 现如今，我国的轴承行业虽然也引进了一些国外先进的制造加工 设备，诸如精密冷冁扩设备、双沟磨削机床、超精研机等，但是还 没有能够全部消化吸收，没有能够充分发挥这些设备的能力，整体 的制造水平不高，精密冷冲压技术及设备、薄壁零件淬火技术、复 杂型面表面淬火技术及设备等，还基本处于空白。 3 ：润滑密封技术不配套 由于实验经费不足，我国还没有对轿车轴承专用润滑油脂进行深 入的研究开发。目前国内市场上的国产润滑油脂基本上不能满足轿 车轴承的特殊使用要求，如高温高速条件下，只能选用进口油脂。 由于经费不足，缺乏对密封结构、密封材料进行分析、实验、研 究，如高温密封材料使用的是氟橡胶，由于相关技术实验研究不 够，如粘接剂的选用、硫化工艺的确定等没能从根本上得到解决， 因此，使用效果并不理想。 以上这些基础研究的薄弱，直接影响到我国轿车轴承的国产 河南科技大学硕士学位论文 化，这也是我国轿车轴承发展缓慢的症结所在。 在当今的轿车行业领域里，轿车用轴承，主要是圆锥滚子轴承 正致力于向延长寿命、降低摩擦、减轻重量、实现小型化的方面发 展。 1 ：轻量化、小型化和单元化7 】f 8 J 由于人们对轿车性能要求的不断提高，使得轿车组件和部件的结 构越来越复杂，为此，要求轴承的支撑设计要有一定的自由度，并且 还要求轴承要装配简单，预紧稳定等等。结构紧凑的轴承单元有利于 接受资源，并且还可提高整个轴承系统的可靠性。在实施轴承系统小 型化的同时，不仅要求保证轴承的使用寿命，而且还要考虑轴承周边 和变速器等组合件的刚性、振动、噪声等众多的因素。从而使整个系 统达到最佳的使用效果。 2 ：使用寿命的提高 另外随着轿车部件和组件向着集成化小型化轻量化发展，就要 求轴承特别是轿车用圆锥滚子轴承也要实现小型化。另一方面，小 型化和集成化的发展路线，必然导致发动机转矩的增大和组件部件 体积和重量的减小，这样就会增大轴承承受的载荷和轴受载后的变 形，对于轿车轴承而言工作条件就会变得更为恶劣。结果，特别是 对线接触的圆锥滚子轴承来说，影响更为明显，由于边缘的应力集 中作用，有时会导致轴承寿命达不到要求。针对这个问题，目前有 效地解决方法就是利用计算机技术，根据对轴承和固定部分组成的 系统进行应力和变形分析，然后对圆锥滚子轴承进行特殊的母线凸 度设计，从而使滚子和套圈接触部分的接触应力，沿滚子母线方向 分布均匀。目前国外已经在这方面进行了大量的研究，并且已经有 了较为成熟的设计方法和加工手段。 3 ：降低摩擦 圆锥滚子轴承和其他的轴承类型相比，体积小，能承受较大的径 向和轴向载荷，因此有利于小型化的发展方向，在很多的轿车组件中 第一章绪论 都得到了广泛的应用。但是圆锥滚子轴承内圈挡边和滚子之间存有滑 动接触，存在摩擦力矩比球轴承大等问题。目前通过对这种滑动接触 状态加以改善，并对滚子的构成( 包括滚子的直径、长度、数量) 、 接触角和滚道的形状进行优化设计，开发的新型L F T 轴承可以在保 证原有的载荷容量和刚性等性能指标的基础上，使的轴承的滑动阻力 矩和滚动粘性阻力矩均比原来降低2 0 5 0 ，从而使轴承使用性能 有很大的提高。 本课题就是针对上面介绍的圆锥滚子轴承发展方向，对一种轿 车用前桥轮毂轴承的凸度设计进行研究，以提高此种轴承的使用寿 命。上文已经介绍，在轿车用的圆锥滚子轴承设计方面，滚子和滚 道的凸度设计是提高圆锥轴承使用寿命的一个重要途径，国外在这 方面投入了大量的人力和物力进行研究。在国外，滚子和滚道普遍 采取带凸度的设计，甚至是圆锥滚子轴承内圈的挡边和滚予的接触 处也进行了凸度的设计，并且已经形成了成熟的设计方法和完善的 加工手段。而国内还处在类比设计和仿制阶段。 纵观我国的轿车轴承，虽然与国外的先进水平有相当大的差 距，但是由于轴承行业近些年的不懈努力，还是取得了可喜的成果 和宝贵的经验，为轿车轴承的进步和实现轿车轴承的国产化奠定了 坚实的基础。比如水泵轴承单元、差速器轴承等，经过严格的台架 试验考核和行车实验，已经获得了主机生产厂家的认可，并开始批 量生产，供主机生产厂家安装使用，基本上已经实现了国产化。但 是，驱动轮毂轴承等一些关键部件的轴承，由于技术含量较高，还 没有通过主机生产厂家的认可。离合器分离轴承，由于材料特殊， 制造技术难度较大，还没有能试制出来，这些轴承，在短时期内， 还需要依赖进口，实现这些轴承的国产化仍需时日f 9 】【1 ”。 1 2 本课题的主要研究内容、方法和意义 7 河南科技大学硕士学位论文 1 2 1 课题的主要研究内容和方法 本课题是以桑塔纳轿车前桥轮毂轴承J R M 3 9 3 9 J R M 3 9 3 9 x D 为 研究对象，针对原有轴承在使用的过程中，在受载的情况下滚子和滚 道接触区部分会出现应力集中，从而会影响轴承的使用寿命这一问 题，在原有设计模型的基础上，重新对轴承滚子和滚道的接触区部分 进行凸度设计，运用有限元分析软件A N S Y S ，对设计结果进行应力 和变形的分析。通过对不同设计的分析结果进行比较和考察，以确定 所研究的轴承，滚子和滚道之间接触区部分在典型凸型下的最优凸度 值和最佳的凸度匹配关系。 凸度设计本质上是接触问题的分析，故而课题的研究内容实际上 是运用有限元软件对轴承的接触行为进行仿真模拟，在课题的研究过 程中将主要解决以下的问题： l ：不同接触模型的建立：由于A N S Y s 的主要功能是仿真分析，而 它的建模功能不是很好，所以分析模型的建立将是一个复杂的过程。 2 ：接触对参数的调整：建立模型以后，为进行接触模拟，需要在所 建模型上建立接触对，在A N S Y S 的分析模块中，接触对对接触行为 的模拟是由接触匹对的若干参数来控制的，参数的设定将直接影响分 析过程的收敛与否和分析结果的可靠性，丽接触参数的调整本身就是 一个复杂的过程，是课题研究过程中要解决的一个重要问题。 3 ：A N S Y S 分析结果的评定：A N S Y S 是有限单元分析软件，它的分 析结果的准确程度和网格划分有着密切的关系。当然理论上来说，网 格划分越密越好，但是过密的网格会造成分析过程过长，甚至是分析 失败。而过疏的网格划分，又不能保证分析结果的可靠性。合理的网 格划分，以及对分析结果可靠性的判定也是课题研究过程中的一个重 要问题。另外，网格的划分没有什么绝对的标准，故而要确定合理的 网格划分，必须对模型进行多次的分析，并比较多次分析结果的拟和 程度，以确定合理的网格划分。 以上的三个问题是本课题成功与否的主要问题，须在课题的研 R 第一章绪论 究过程中合理解决。 1 2 2 课题的主要研究意义 轴承的产品设计是提高我国轴承水平的一个重要途径。滚动轴承 产品设计的正确与否对其性能寿命和可靠性有着根本的影响，进而也 影响着主机的工作性能和经济性。设计人员的职责是力图从所有可能 的侯选方案中选取最优解。 本课题是借助有限元软件A N s Y s ，进行所研究轴承的凸度设 计。轴承的凸度设计由来已久，主要针对的是滚子轴承，其目的是为 了消除滚子轴承在工作过程中，在滚子和滚道的接触区，由于滚子母 线的突变，而引起的接触区应力集中，从而减小轴承的使用寿命。凸 度的设计包括凸型的设计和凸度量的确定。早期的凸度设计主要集中 在滚子上，由于加工制造上的限制，凸型相对简单，凸度量也没有准 确的成熟的计算式，往往都是由实验得到经验公式。近些年来，随着 计算机的发展，大型计算软件的出现，以及制造业的发展，使得复杂 凸度的设计得以实现。在国外，滚子轴承的凸度设计发展很快，国外 的滚子轴承的设计中，不但是滚子，滚道也普遍采用了带凸度的设 计。甚至在圆锥滚子轴承的设计方面内圈挡边和滚子大头处也有了较 为成熟的凸度设计方法。S K F 、F A G 、T I M K E N 等国外有名的轴承制 造公司都有较为成熟的滚子轴承的凸度设计方法和加工手段【l l J 。反 观国内，还没有成熟的成熟的设计方法和加工手段。课题的这方面工 作就是利用有限元分析软件A N S Y s 对所研究轴承的滚子和滚道接触 进行分析，以得到合理的凸度设计方法。 河南科技大学硕士学位论文 第二章接触理论分析 2 1 接触问题的阐述 圆锥滚子轴承的凸度设计问题本质上是一个接触问题。接触问 题是一种高度非线性的行为，属于接触力学的研究范围，这类问题在 数学求解上是一类极其复杂的问题f 1 2 】。 l8 8 1 年赫兹( H e r t z H ) 发表了关于接触问题的著名论文，从而 奠定了接触力学的基础，影响极为深远，一百多年来，接触力学首先 在弹性理论中得到发展和完善，以后逐渐扩展到弹塑性、粘弹性、塑 性以及各向异性材料、动力学和运动学等各种领域，从而提出了各种 接触问题的解法。 在实际的工程问题中，遇到的接触问题是各种各样的，归纳起 来主要由以下几种： ( 1 )弹性物体的接触问题 主要研究弹性物体和弹性物体之间的相互接触，或者是弹性物体 和刚性物体之间的接触问题。在这种情况下，虽然材料本构关系仍然 是线形的，但却存在着表面的非线性。本课题遇到的凸度设计问题即 属于这个范畴。 ( 2 )塑性物体的接触 主要研究材料屈服后的接触，应力应变之间的本构关系极其复 杂，属于材料非线性和表面非线性的耦合问题。包括弹塑性接触、刚 性物体和塑性物体之间的接触、塑性物体和塑性物体之间的接触。 ( 3 )粘弹性物体的接触 其中又主要是线形粘弹性物体的接触，应力应变仍是线形的， 但其系数和时间、形变速率有关。包括粘弹性物体同刚性物体的接 触，粘弹性物体同弹性物体的接触和粘弹性物体同粘弹性物体之间的 第二章接触理论分析 接触。 ( 4 ) 可变性固体同液体之间的接触 比如机械零件和润滑油膜之间的接触，属于固体和液体之间的耦 合问题。 针对接触闯题的求解，有解析法和数值解法。 接触问题的解析解法，又称为接触问题的经典解法。其本身是 极其复杂的解法。经典的赫兹理论是接触问题解析法的基础，它在数 学上是应用位势函数或者是拉普位移函数等求解。一般说来，接触问 题属于数学上的混合边值问题，这类问题得到的数学方程是复杂的积 分方程，于是积分方程是接触问题的主导方程，而接触问题的解析解 法就是对积分方程或者是积分方程组的求解过程。由于不连续的接触 边界以及各种间断点都可能成为方程的奇异点，于是往往接触问题的 主导方程最终变为奇异积分方程。求解奇异积分方程更是一个复杂的 问题，较为简单的奇异方程可以使用积分变换求解，而平面接触问题 可以用复变函数求解，即是以半平面的边界方程作为根据，寻求半平 诬内的一个解析函数或者位势函数，通过它来得到接触变形和接触应 力的计算公式。而较为复杂的接触问题得到的奇异积分方程，甚至是 不能求解的嗍1 4 】【1 5 】。 事实上，经典的接触力学只能求解一些几何形状比较规则的物体 建的接触问题【1 6 】 1 ”，应用范围是非常有限的，但是它可以揭示出一 些一般的规律。传统的轴承分析设计公式就是建立在经典的接触力学 基础上的。 接触问题除了经典的接触力学解析解法以外，还有数值解法， 这种方法又称为非经典接触力学。这种解法随着计算机的发展而获得 最为广泛的应用，用它可以通过简单的算法求解许多复杂的接触问 题。但是用这种方法只能得到离散解或者是伪解析解，而一般得不到 完全正确的函数解。对于复杂的问题还需要进行专门的研究来开发软 件。然而，在工程应用分析上数值解是很有使用价值的。因为一般的 河南科技大学硕士学位论文 工程问题上升为数学问题或者是力学问题，然后如果去苛意求解它的 完整解析解，不但在数学计算上是一种浪费，而且就算是求出来，也 未必完全适用具体的实际工程问题。故而在实际的工程问题上，真正 有使用价值的仍然是数值计算，并且多年来，数值解在工程上已经取 得了大量的重要成果。较为成熟，应用最为成功的数值解法主要有有 限单元法，边界单元法，有限差分法以及与数值解法相配合的各种变 分法、实变函数法、泛函分析法等【1 ”。其中有限单元法时在工程上 应用最为广泛、最为成功的工程数值计算方法，它可以用来求解边界 条件、几何形状、载荷方式复杂的工程接触问题。 22 经典的赫兹理论简介”1 经典的赫兹理论是接触问题解析解的基础，也是传统的圆锥滚动 轴承应力分析的基础。为了将它和数值解作比较，现将经典的赫兹理 论以两个最具代表性的球体接触为例，简单介绍如下： 0 1 图2 1 两个球体的接触 F i9 2 1C o n t a c tO ft w osp h eres 如图21 所示：两球的半径分别为R 。，R ：，当没有加压时，两 球体仅在。点接触，是为无应力的初始接触状态，离公共法线距离为 1 2 第二章接触理论分析 r 的M ，及M ：点距公共切面的距离分别为z ，和z ：。 近。点，则 z l R l ，z 2 R2 于是有： ，2 Z 一 1 2 兄 ，2 Z ，一 2 见 z 。+ zz2 鬻r 如果M ，M ：很靠 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 当受载后，设接触点附近出现一个边界为圆形的接触区域。设 M 沿z 。方向的位移为( 1 ) 。，M ：沿z ：方向的位移为( 1 ) ：，其中( 1 ) I ( 1 ) ：都 是压缩变形。设在z 。轴和z ：轴上远离。点的两点，其应变可以忽略 不计。并设两点之间的间距缩短量为，则当M ，和M ：已经相互靠 近而变为一点时，根据几何关系必有 = ( ( 1 ) 1 + 2 ) + ( z 1 + z2 ) ( 2 2 4 ) 所以有： m 。+ ( 1 ) ：= 一( z l + z 2 ) = 一酱r 2 ( 2 25 ) 在根据弹性半空间体受圆面积载荷时，弹性半空间体受荷区表面 法向位移的公式 m = 学秘 ( 2 2 6 ) 其中：u：泊松比 E：杨氏弹性模量 q：接触区载荷分布函数 s：接触区域 注意：上述积分式本质上是载荷分布函数在接触区域的积分， 河南科技大学硕士学位论文 但是在具体的计算上有一些小的技巧。 将( 2 2 6 ) 式代入( 225 ) 式，得 m ，+ m ：= ( k ，+ k ：) 盯孕沏凼 ( 2 2 7 ) 其中“，：! 与望， i ：1 ，2 用匕二 结合( 22 5 ) 式可得： ( k I + k 2 g 舭2 一等r 2 ( 2 2 8 ) 这就是两个球体接触问题的积分方程，求解这个接触问题，实际 上就是求解上述的积分方程。其中q 和都是未知数。现在的问题是 要找出适当的接触压力分布以满足( 2 2 8 ) 式。当然，这个积分方 程如果直接求解是比较困难的，赫兹巧妙的把两个不同的数学概念结 合起来，即把相互刚性接触的曲面的几何关系和弹性半无限空间体上 受集中载荷时的为实函数结合起来，求出了接触压力分布函数。 赫兹指出如果接触压力分布函数是按半圆球面分布，则可以满足 ( 228 ) 式的积分方程，并可以写为： 2 ( k l + k 2 ，i 等三( 口2 - 硒2 泐。一酱r 2 ( 2 z ，。) 式中：q 一：单位接触压力的峰值，根据接触区压力同外载荷的 关系，有： 3 P q 一3 丽 ( 2 2 1 0 ) 式中P 是法向外载荷，上式反映出外载荷等于接触压力之和。 代入( 2 2 9 ) 式，然后经过积分，可得： ( k l + k 2 ，等( 2 口2 _ ，2 ) = 一繁r 2 第二章接触理论分析 此式对仕1 I 】的r 郡应威互，十是硐： ( k I + k 2 ) 学= ( k l + k 2 ) 等= 尝 4 口R 尼 由( 221 0 ) 式和( 2 2 1 3 ) 式，可得： 。：j ! 生亟生2 2 墨! 生 1 f4 + R ) 将( 2214 ) 式代入( 2212 ) 式。可得 = 再代回( 2 21 0 ) 式，则： 一3 P f ， 4 + R ) 、z 9 2 石V 丽贡蔬厂 知道了压力分布函数q ，于是可以按照无限弹性半空间体的理论 去求解应力，这样两个典型球体在正压力下的接触问题就得以解决。 对于任意形状的弹性体相接触的情况，经过类似的分析，也可以 求得相应的参数。一般来说，接触区域为椭圆。设长轴的半径为a ， 短轴的半径为不b ，当畈趋向于无穷大时，就得到两个圆柱体相接触 ，V 的情况，这是接触面成为宽度为2 b 的长条，接触压力在宽度上按半 椭圆形分布，如果令P 为单位长度上的接触力，则有接触区宽度b 和最大压力q 一分别为： b = 藤爵巧 河南科技大学硕士学位论文 q 。一 J + R ) P 桃c 警+ 警， = 等毕m 孕+ 0 4 明+ 警m 孕+ 0 4 ，牙也，D止O 显然，代入适当的接触体材料参数和E ，即可以对它们的接触 问题进行计算。 接触应力和接触变形，特别是两个圆柱体之间接触时的接触变 形，在工程上有很重要的意义，本课题所涉及的接触问题基本上是两 个柱体之间的接触问题。为了便于应用，一般根据不同的应用对象， 根据基本的赫兹理论，分别从材料力学、弹性力学、数学弹性力学出 发推导了各种不同的表达式，如下表所示： 表2 1 接触变形计算公式 T a b le2 1C o m m o nd is t or t io nf or m u lao fc o n ta c tin e n g i n e er in g 编 作者计算公式备 注 号 1G L u n d b e r g = 警睦讹2 2争6 7适用于齿轮 2梅泽清彦 ：兰f ! 二壁筮h 竺 适用于齿轮 庙6 适用于齿轮 3寺内西男 = 等乒n z ，+ o ，s - n 争 适用于齿轮 4H W in t e i = 等唠+ 0 9 s 妨。 适应于轧辊 5M D S t o n e = 等乎似学+ 争j 6越南客行：堡自l I I 堡仙堡适应于轧辊 ，r 366 。 注：L ：圆柱体的长度；m ；轮的模数；D 1 ；支承轧辊直径；D 2 ：工作轧辊直径 第二章接触理论分析 啊；主动齿齿厚：如：被冻齿齿厚：c ：和支承轧辊弯辊力矩有关的参数 B ：综合材料常数：p ：单位长度上的载荷。 同时我们应该注意到，虽然从理论上说，赫兹经典接触理论能够 解决一些简单的物体之间的接触问题，并且也得到了一些在工程上切 实可用的公式。但是，针对复杂的接触问题，赫兹理论就无能为力 了，比如说运动接触问题，这种接触问题有别于经典赫兹理论中要求 两物体都静止的接触条件，虽然对于一般的低速接触问题，使用经典 的赫兹接触理论能够满足工程需要，但是对于高速运动的物体的接触 问题，如果还是用经典的赫兹接触理论来求解，则所得结果和实际出 入较大，针对这种问题，在接触力学中也有解决的办法，但是更加复 杂，根本不适用于一般的机械工程人员使用。另外，在接触问题中， 我们对接触问题的求解，实际上是关心两个方面的内容，一个方面是 应力大小问题，另一个主要的方面是关心应力集中问题，应力集中是 工程中普遍存在的问题，也是机械设计中要极力避免的问题，但是， 经典的赫兹接触理论，一般不能很好的反映应力集中问题，往往是用 求解值来估算应力集中的峰值，从这个意义上来说，纯粹的经典赫兹 接触理论也不能满足实际的工程设计需要。前面已经提到过，目前在 机械工程设计中，对接触问题的处理主要是用数值计算方法，其中应 用最为广泛的、最为成功的是有限单元法。 2 3 接触问题有限单元解法理论阐述阿 2 3 1 接触问题有限元解法中应注意的几个问题 接触问题是一个极其复杂的非线性行为，理论解析解的求解困 难性决定了只有数值解法才是工程应用的有效方法。用有限单元法去 解决工程中的接触问题，要注意以下几个方面： 1 接触问题的表面非线性 1 7 河南科技大学硕士学位论文 接触问题属于不定边界问题，即使是本课题遇到的弹性接触问题 也同样具用表面非线性，其中既有由按触面积变化而产生的非线性及 由接触压力分布变化而产生的非线性，也有由摩擦作用产生的非线 性。两个接触的物体，随着其载荷大小的不同，无论是按触面积还是 接触压力分布，都会发生显著的变化。即随着载荷增大，法向接触压 力分布的变化是非线性的，而其切向压力分布由于摩擦的作用将会更 加复杂。一般来说，当随着外载荷的变化，如果接触压力分布和外载 荷是一一对应的，这个加载过程是非线性的简单可逆加载过程，如果 在接触的过程中，接触压力分布和外载荷不是一一对应的关系，也就 是说，接触压力分布和加载的过程有关，则这个加载过程是非线性的 复杂的不可逆的加载过程。一般有摩擦的接触过程是不可逆的复杂加 载过程，而无摩擦的接触过程是可逆的简单加载过程。 由于这种表面非线性和边界的不确定性，所以，一般来说，接触 问题的求解是一个反复迭代的过程，要在接触行为的求解过程中不断 的试取边界和表面的状态。 当接触内力只和受载状态有关而和加载过程无关时，即使载荷和 接触压力之间的关系是非线性的，仍然属于简单加载过程或者可逆加 载过程。当在由摩擦出现时，在一定的条件下出现不可逆的加载过程 或者称之为复杂加载过程，其求解方法为增量求解。 在用有限单元法求解接触问题时，一般为了使求解过程的收敛性 能好，作了一定的假定，比如：在无摩擦的情况下，假定接触面是光 滑连续面；再考虑摩擦的情况下，接触表面摩擦作用仅认为简单的服 从库伦定理，而不考虑接触表面的弹性流体动力润滑机理，将润滑作 用也用摩擦系数来考虑，这对于问题的解决很有用；接触表面的力学 边界条件和几何边界条件均用节点参量来表示。作了如上的假设后， 使接触问题的解决避免了很多不必要的麻烦，实践证明，工程中的大 部分问题都可以在上述假设的情况下求的符合需要的解答。 2 接触面的连接条件 第二章接触理论分析 在有限元位移法中，借助于选择恰当的位移模式和形函数可以保 证连续体中单元内部的连续性和跨单元的保续性，7 无需增加其他的条 件。但在接触问题中，除了各相互接触物体内部变形的协调性以外， 还必须保证物体之间在接触边界上变形的协调性，这些称为接触面的 连接条件。 、。 图2 2两个物体的接触 F ig2 2C o n ta c to ft 霄ob o d ies 比如对于二维问题，如上图所示，在边界上接触的两物体为 Q 。，Q ：，对于其中任一个接触点对j ， 为疗方向，然后逆时针方向旋转9 0 。 取Q ，物体上该点外法线方向作 ，作为f 方向，以( 月，f J ) 组 成局部坐标系，设Q 。，Q ：上接触点对法向接触力为j i 呻( f - l ，2 _ ，= 1 ，2 ) ，切向接触力为j f ，( f = 1 ，2 ；，= l ，2 ) ，相应的法向位移 和切向位移为i F ，i 扩。求解问题首先要选定可能的接触区，这种可 1 9 河南科技大学硕士学位论文 能的接触区可以是连续的也可以是问断的，而且在每一个可能接触区 的段内允许包含若干个分离点，因此在可能的接触区内的任何接触点 对均只可能处于下述接触状态的某一种：连续接触状态，滑动接触状 态和分力的接触状态。 所谓的连接条件实际上是各种接触状态下的定解条件，这些接触 条件可以归纳为以下方程来表述： ( 1 ) 连续的接触状态： R m ，+ R 2 J = 0 + 硒 ( 2 3 1 ) 1 J = 甜2 J V 1 J = V 2 J ( 2 ) 滑动的接触状态： l 五W + 孟删= o l I R nJ + R t 2 ，= o I 面t ，= 五：， 旧t l J = + R 山 ( 3 ) 分离的接触状态： ( 23 2 ) R n l J = R 一2 ，= 尺n J = 尺t 2 = O( 2 3 3 ) 由以上的各个连接条件可知，无论该接触点对处于任何一种接触 状态，每一个接触状态都对应有4 个定解条件，对于要说明的二维问 题，这些定解条件已经足够了。 对于上图中所示的接触系统，根据有限单元法可以分别得到两个 物体的有限单元方程为： f 瞵。】扣，) = 鼻) + 墨) 【暖：】 甜：) = 缇) + 马) 2 0 ( 2 34 ) 第二章接触理论分析 其中：【足，】一Q i 物体的整体刚度矩阵( f - 1 ，2 ) ； ( P ，) 一Q ，物体的整体外载荷； ( R ) 一Q 物体的接触力向量； ( 甜，) 一Q ，物体的节点位移向量。 在( 2 3 4 ) 式中，【K ；】、 P ，)( f _ 1 ，2 ) 均是 ，)( f = l ，2 ) 的基本未知函数，由于在上述方程中( R ；)(