（运筹学与控制论专业论文）banach空间中的一类广义凸函数及其优化问题.pdf

b a n a c h 空间中的一类广义凸函数 及其优化问题 专业运筹学与控制论 研究生，陈胜兰导师一黄南京 教授 在这篇文章中，我们将实值日半预不变凸函数及向量型预不变凸函数 推广到b 8 c h 空间中的b 半预不变凸函数文中研究了涉及b 半预不变 凸函数的向量优化问题的弱有效解，得到了一些类似于凸函数性质的结果 同时。我们也讨论了带约束条件的向量型l i l m e h i t z 非光滑规划，利用r a l p h 向量次微分，我们得到了关于此类规划的广义k u l m - t u c k e r 型最优解的充分 条件及鞍点条件最后，我们建立了原非光滑规划的广义m o n d - w 西r 型对偶 及w o l f 型对偶。在b 半预不变凸性及正则性的假定下。分别证明了弱对偶 定理、强对偶定理及逆对偶定理，推广了已有的工作 关键词tb 半预不变凸函数；半连通集；弱有效解；向量优化i 闭凸锥 ag e n e r a l i z e dc o n v e xf u n c t i o n sa n dv e c t o ro p t i m i z a t i o n p r o b l e m si nb a n a c hs p a c e s m a j o r ：o p e r a t i o n sr e s e a r c ha n dc o n t r o lt h e o r y p o s t g r a d u a t e ：s h e n g - l a nc h e na d v i s o r ：p r o f n a n - j i n gh u a n g i nt h i sp a p e r ，w ee x t e n dt h es c a l a r - v a l u e db - s e m i p r e i n v e xf i m c t i o n sa n d v e c t o r - v a l u e dp r e i n v e xf u n c t i o n st 0t h ec a 嘲o fv e c t o r - v a l u e db - s e m i p r e i n v e x f u n c t i o n si nb a n a c hs p a c e s w ei n v e s t i g a t et h ee f f i c i e n ts o l u t i o n si n v o l v i n gb - s e m i p r e i n v e xf u n c t i o n sf o rv e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m s ，a n dt h er e s u l t so b - t a i n e da r es i m i l i a rt os o m ep r o p e r t i e so fc o n v e xf u n c t i o 瑚a tt h es a m et i m e w ea l s oc o n s i d e rac l a s so fl i p s c h i t zv e c t o r - v a l u e dn o n s m o o t hp r o g r a m m i n g p r o b l e m s ( c v o p ) i nw h i c hac o n s t r a i n tq u a l i f i c a t i o ni sr e q u i r e d i nt e r m so f t h er 柚p hv e c t o rs u b - g r a d i e n t ，w eo b t a i nt h eg e n e r a l i z e dk u l m - t u c k e rt y p e s u i f i c i e n to p t i m a l i t yc o n d i t i o n sa n ds a d d l ep o i n tc o n d i t i o nf o r ( c v o p ) f i - n a l l y , w ef o r m u l a t eac l a s so fg e n e r a l i z e dm o n d - w e i rt y p ed u a la n dw o l ft y p e d u a la n de s t a b l i s hs c m ed u a l i t yt h e o r e m sf o rt h ep a i ro fp r i m a la n dd u a lp r o - g r a m su n d e rr e g u l a rb - s e m i p r e i n v e x i t ya s s u m p t i o n s t h er e s u l t 8p r e s e n t e di n t h i sp a p e rg e n e r a l i z es o m em a i nr e s u l t so ft h ee x i t i n gw o r k k e yw o r d s ：b s e m i p r e i n v e xf u n c t i o n s ；s e m i - e o n n e c t e ds e t ；w e a k l ye f f i c i e n t s o l u t i o n s ；v e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m s ；c l o s e da n dc o n v e xc o 嘲 婴删盎堂塑圭堂焦堡塞 1 1引言 由于具有丰富的实际意义及广泛的应用背景，向量优化问题逐渐为人们 所重视此问题可简述为在给定条件下，求多目标函数的极值点由此可知， 证明在某一给定条件下目标函数是否存在极值点以及存在时如何求出极值点 的问题便成了最优化理论的中心内容而解决最优化问题的主要手段有， ( i ) 探索目标函数极值点存在的必要条件和充分条件这些条件为判断目 标函数极值点存在与否及研究极值点的算法提供了重要的理论依据； ) 探索最优化问题的对偶阃题，对偶问题的研究对最优性条件的揭示和 最优化问题的求解均有着重要作用对偶理论的任务是t 给出某种系统的方 法。构造出与原问题相关联的对偶问题，使得在一定条件下可以证明弱对偶 性强对偶性或其它更强的对偶理论这类结论使得问题之间的研究能相互转 化。从而为求最优解提供更多的途径 近年来，许多学者对向量优化问题( 包括高维空间及无穷维空间) 进行了 研究例如。在有限维空间中，c l a r k e 【1 】，c r a v e n1 2 】等人研究了目标函数及 约束函数均是局部l i p s c h i t z 的向量优化问题。在各种可微性的假定下。得出 了相应的优化条件1 9 9 2 年。e 1a b d o u n i 和t h i l b a u l t 【3 】研究了无穷维空 间中的非光滑规划问题，利用c l a r k e 【l 】中以e k e l a n d 变分原理为基础的非光 滑优化理论，证明了关于此类规划的f r i t z - j o h n 型最优必要性条件其后。有 大量文章讨论了向量优化问题的最优性条件及对偶理论，有关结果可参考文 献【4 】一【9 】 另方面，凸性概念在最优化理论中起着重要作用，许多有意义的主要结 果大都建立在凸性概念基础之上但是，很多情况下，许多性质的成立不一定 要讨论的函数为凸函数，可将其放宽到更广义的凸函数，以使最优化理论中的 许多结果适合于更多类型的问题，鉴于此，探索和研究凸性概念的拓广成了最 优化理论的重要内容之一 下面我们简要回顾一下与本文有关的非凸函数的研究工作 1 9 9 1 年，b e c t o ra n ds h 1 9 h 【1 0 引入了b 凸函数。它是凸函数概念的推 广；其后，b 凸函数的概念又被推广至b 不变凸函数f 1 2 1 以及b 预不变 凸函数【1 3 】，并在这些广义凸性假设上，建立了相应的优化理论( 可参考文献 【n - 1 2 1 ) 在文献【1 4 】中，杨和陈介绍并研究了一类较为广泛的广义凸函数一 半预不变凸函数，利用弧方向可微。对半预不变凸规划得到了f r i t z - j o h n 型最 优性必要条件2 0 0 4 年。旷【1 5 】又给出了b 半预不变凸函数的定义。它比 上述绘出的所有函数更为广泛在局部l i p s c m t zb - 半预不变凸性及正则性 的假设下，文中建立了b 半顶不变非光滑规划k u h n - t u c k e r 型最优性充要 条件，并考虑了此类规划的m o n d - w e i r 型对偶。给出了相应的强对偶定理 受到上述文章的启发。在这篇文章里，我们将上述实值b 半预不变凸函 数【1 5 】及文献【9 1 中的向量值预不变凸函数推广至b a n a c h 空间我们研究了 b a n a c h 空间中涉及b 半预不变凸函数的向量优化问题的弱有效解，得到了 与凸函数某些性质相类似的结果同时，我们也讨论了带约束条件的向量型 l i p h i t z 非光滑规划，利用r a l p h 向量次微分，我们得到了关于此类规划的 广义k u h n - t u c k e r 型最优解的充分条件及鞍点条件最后，我们建立了原非 光滑规划的广义m o n d - w e i r 型对偶及w o l f 型对偶，在b 半预不变凸性及正 则性的假定下，分别证明了弱对偶定理，强对偶定理及逆对偶定理，推广了已 有的工作 2 预备知识 本文始终假设x ，k z 为实b a n a c h 空间设q 是x 的非空闭子集。若 q 满足下列条件。 ( i ) q + q q ，( i i ) a q q ，v a 0 ，( i i i ) q n ( - q ) = 0 则称口为尖闭凸锥 设p c y 和q c z 是内部非空的尖闭凸锥，y 和z 分别是由p 和o 确定的序b a n a c h 空间设y 是y 的对偶空间，p + c y 是p 的对偶锥。 其中p + = 杪y ：( p ，) o ，v 暑，p ， 。 现在我们考虑如下向量优化同题t ( v o p ) m i nf ( x ) 8 t 茹k 其中，k c x 非空，f ：k y 和9 ：k z 是给定函数 定义2 1 ( 【9 】) 可行解粕称为问题( v o p ) 的弱有效解。若不存在霉k 使得f ( w o ) 一，( z ) i n t p 定义2 2 ( 【1 4 】) 设k c x 非空，若对任意的霉，| ，k 及a 【0 ，1 】，存在函 数q ：x x 【0 ，1 1 一x ，使得善，+ a q ( z ，y ，a ) k 则称x 是关于叩( 。，玑a ) 的半连通集 定义2 3 ( 【1 5 】) 给定函数叼：j p j p 【0 ，l 】，b ：k k 【0 1 】一兄 ( 非 负实数集) 及f ：k r ，其中k c j p 是关于目的半连通集称f ( x ) 为k 上关于町和b 的实b 半预不变凸函数，若对比，f k 及a 【0 t 1 1 ，有 f ( y + a 口( ，a ) ) a b ( x ，| ，a ) f ( w ) + ( 1 一a b ( x ，f ，a ) ，( ”) ， 且满足h l i r a 。，a t ( x ，a ) = 0 及a b ( x ，g ，a ) 【0 ，1 】 下面我们借助闭凸锥来引进b a n a c h 空间中的b 半预不变凸函数的概 念，以推广上述定义 巴删盎堂要圭堂堡丝塞 4 ， 定义2 4 给定函数，：k x k 【0 ，l 】一x 和b ：k x k x 【0 ，1 】一珥( 非负 实数集) ，设k c x 是关于”的非空半连通集。p c y 是闭凸锥，：k y 是向量函数，若对任意的$ k ，和一切入l o ，l 】，有 a 6 ( ，口，a ) ，和) + ( 1 一a 6 ( $ ，y ，a ) ，( ”) 一i ( y + a ”( z ，y ，a ) ) p ， 其中鲰a q ( $ ，y ， = o 且x b ( z ，| ，”【0 ，1 1 ，则称，在g k 处关于，和 b 是p - b 半预不变凸函数，或称函数，在点y 关于竹和b 是p - b 半预不变 的以下我们简称为p b s 函数 若，在k 上任一点关于7 和b 均是p b s 函数，则称，是k 上的p b 8 函数 以下是相应集合上的p b s 函数t 例2 1 设k = ( ( 卫1 ，勋) i ( x l ，茹2 ) 【0 ，1 】【0 ，l 】) ，考察函数，：k 一月2 。 其中- ( $ 1 ，z 2 ) = 一，2 ( z l ，勋) = 一遥+ 1 定义琅( z ，y ，a ) = v 佩一y i a = 1 ，2 ) 及b ( z ，y ，a ) = a 若取p = 衅，则易知 ，在点( 0 ，o ) 是关于”和b 的p b 8 函数 例2 2 设x 为b a n a c h 空间。函数，：x r 定义为，( ) = 一i n i ，则 ，关于叩和b 在其定义域上是p b s 函数其中p = r 4 - 且定义6 p ，y ，a ) = 1 及 咖m y 毛竺 注2 1 在定义2 4 中，若取x = 舻，y = r 和p ；风，则为定义2 3 注2 2 若对v $ ，9 k ，取目( z ，a ) = 叶( z ，掣) 和b ( x ，y ，a ) = 1 ，则定义 2 4 为【9 】中所讨论的向量值预不变凸函数 引理2 1 ( 【1 7 j ) 设x 为序b a n a c h 空间，q c x 为闭凸锥，口是q 的 对偶锥 ( i ) 若存在$ x ，使得对一切矿驴均有( 矿，。) 0 ，则z 口； ( i i ) 若i n t p ，则对任意矿驴 o ) 有t 扣，。) 0 引理2 2 函数，：k y 关于目和b 是p b s 的当且仅当对任意p p ， 复合函数p + ，关于口和b 是实b 半预不变凸函数，这里p 是户的对偶锥 证明必要性显然成立，下面证明其充分性 令b ：= b ( x ，a ) ，由题设对任意。，| ，k ， ( 0 ，1 ) 及矿p 有 矿i ( v + a ”( z ，掣，a ) a b ( x ，掣，a 功，( z ) + ( 1 一a b ( x ，| ，a k ，( ) ， 而上式又等价于 p + ( a b f ( x ) + ( 1 一a b ) f ( v ) 一，白+ 韧( 茹，a ) ) ) 0 ，坳p 。 由引理2 1 ( i ) 知 a b f ( 功+ ( 1 一a b ) f c v ) 一f ( v + a q ( z ，f ，a ) ) p 证毕 下面我们回忆一下可参见【1 】1 ) 局部l i p s c h i t z 函数的定义设s x ， ，：s r 是实值函数，若对任意$ ，可s 有 i f ( v ) 一，( z ) i l l l u z 玑 则称函数，( z ) 在s 上满足l i p s e h i t z 条件，其中工是一常数现定义广义球 b ( z ，8 ) = 引茹一譬hss 对任给的牙x ，如果存在 0 ，使得，( z ) 在b ( x ，) 上满足l i p s c h i t z 条 件。则称，( z ) 在i 满足局部l i p s c h i t z 条件函数，( 。) 在s ( 或在某点善附 近) 满足l i p s c h i t z 条件也可称为其是l i l m c h i t z 的 如果，( 。) 在毒x 是局部l i l m e h i t z 的，则对任意t ，x ，( ) 在点z 处沿方向口的c l a r k e 产义方向导数定义如下t 八掣) = 曾t u , p o 塑竿型，- ， 巴删盔堂塑主堂丝堡塞 6 其中t l0 代表t 单调下降趋于0 若，( z ) 在点霉处是局部l i p s c h i t z 的，则，在卫处的c l a r k e 广义次微 分( 1 1 1 ) 可表示为 p ，( ) = f x ：，。( $ ；口) ( f ，口) ，v x 设，( z ) 在点善处是局部l i p s c h i t z 的，若对任意口x ，有f c x ；口) = ，o ( 巧 ) ，则称函数，( 功在点。是正则的 定义2 5 “1 5 】) 设，：x r ，假如下面的极限存在。且记此极限为 ，( 罨口) ，即 他；垆躲堑拦学塑 则称，在点$ 处沿弧方向h ( t ) ：( 0 ，1 ) 一x 可微，其中h ( t ) = 。+ 幻( t ) ， h l i m ，v ( t ) = 口 引理2 3 ( 1 1 5 1 ) 若z x 。设，：x - r 在z 是正则的局部l i p s c h i t z 函数，则，在点$ 处关于h ( t ) 是弧可微的，且有 ，( 霉；口) = ：i o ( $ ；口) = ，( z ；口) 定义2 6 设，：x y 为一向量函数，若，( z ；t ，) 存在，则称，在点 z x 处沿弧方向h ( t ) 可微，以下简称，沿弧方向可微其中，( 掣口) 和 h ( t ) 如定义2 5 所述 定义2 7 ( 1 6 ，1 7 ) 设，：x y 是一向量函数，z x ，若存在z 的邻 域矿( $ ) 及常数l 0 ，使得对v z l ，勘u ( $ ) 有 i l ，0 - ) 一，( 勋) 0 l i i x l 一勋叭 则称，( z ) 在点$ 处是局部l i p s c h i t z 的若，( 茹) 在x 的每一点都是局部 l i p s c h i t z 的，则称，( z ) 是x 上的l i p 8 c h i t z 函数 引理2 4 ( 【1 7 】) 设卫x 为某一点，：x y 在z 处连续g a t e a u z 可 微，则对任意a y ，a ，在点$ 是正则的；而且，( $ ) 在霉是局部l i p s c h i t z 的，且有a ，( 功= ，( z ) ) ，其中，( $ ) 表示，在。的g f i t e a u x 导数 一严 定义2 8 ( 【1 8 】) 设善x ，：x y 是x 上的l i p s c h i t z 函数，定义， 在z 处的r a l p h 向量次梯度如下 a ，( $ ) ：= a l ( x ，y ) i ( ，a ) x y ，( a ) 。( z ；t ，) a a ， 其中三( 墨y ) 是x 到y 的所有线性连续算子组成的空间，( a ，) 。( 茁；) 表示 局部l i p s c h i t z 函数a ，在茁x 的c l a r k e 广义方向导数 璺删盔堂塑主至丝堡茎8 3 ( v o p ) 的弱有效解 定理3 1 设k 是x 的半连通子集，p c y 是具有非空内部的尖闭凸 锥。，：k y 是关于q 和6 的p b 8 函数又设当0 0 ，尘器讹孟，a ) 2 讹孟) 则对于问题( v o p ) ，孟是，在s 上的弱有效解当且仅当 0 ，) ( 牙，亓( z ，孟) ) 0 ，b 墨v 矿p 证明首先证明充分性成立若孟不是s 上的弱有效解，则存在z s 使得， ) 一f ( x ) i n t p 取p p + o ) ，则 p ，( z ) 一p + ，( 牙) 0 由定理3 2 ，我们得到 0 。，) + ( p ；厅p ，牙) ) 5 ( $ ，叠) ( 矿，( 一p ， ) ) 0 ， ( 4 9 ) 上骧矿牙，a ) = 矽( 甄孟) ， ( 4 1 0 ) l i r a ，, 7 ( z ，孟，a ) 2 _ i ( $ ，孟) ( 4 t 1 ) 若进一步假设a ，和p 夕在牙是正则的，则孟是( c v o p ) 的弱有效解 证明由( 4 7 ) 和次微分的次可加性得 0 a ( f + p g ) ( 孟) ca ( a + ，) ( 牙) + a ( 矿9 ) ( 孟) 故对任意的z j b 有 ( a 。，) 。( 意；每( $ ，孟) ) + ( p 9 ) 。( 牙；亓( 茁，孟) ) 20 又由假设( 4 9 ) 一( 4 1 1 ) 及定理3 2 知，对任意z k o ，有 及 5 ( 。，牙) ( a + ，( z ) 一a ，( 孟) ) ( a ，) 。( 牙；露( z ，牙) )( 4 1 2 ) f ，孟) ( 矿g ( z ) 一矿g 婶) ) ( g ) 。( 茁；日0 ，霉) ) ( 4 1 3 ) 将( 4 1 2 ) 与( 4 1 3 ) 相加，结合( 4 8 ) ( 4 1 0 ) 及- g ( x ) eq 知 5 ( z ，牙) ( a ，( $ ) 一a + ，( 孟) ) 0 一矽( z ，牙) 卢g ( z ) 0 即 a ( ，( z ) 一，( 牙) ) 0 从而，( ) 一，( 2 ) 譬一i m p 。即牙是( c v o p ) 的弱有效解证毕 由定理4 1 ，我们能得到下述关于可微向量优化问题的推论 推论4 1 设y 为实b a n a c h 空间，和g 如定理4 1 所述若，和g 均 在牙连续g a t e a u x 可微，则条件“7 ) 可简化为如下形式 a 。， ) + 矿g ( 牙) = 0 ， 其中，( 牙) 和，( 牙) 分别是，和g 在牙的c a t e a u x 导数 推论4 2 ( 充分条件) 设孟k o ，f 和g 如定理4 1 所述，又设，和g 在 孟沿弧方向可微若存在( 0 ”，p + ) p 孵使得 ( a ，) + ( 孟，q ( x ，牙) ) + ( p + 9 ) + ( 孟，_ i 7 ( z ，孟) ) 0 ，v z k o p g ( 动= o 且对比j 矗，条件( 4 9 ) ( 4 1 1 ) 成立。则牙是( c v o p ) 的弱有效解 注4 1 我们称条件( 4 7 ) 和( 4 8 ) 为问题( c v o p ) 的广义k u h n - t u c k e r 条 件，满足广义k u h n - t u c k e r 条件的点称为广义k - t 点 堕! ! 盔堂堡圭竺垡堡塞一1 4 注4 2 对任意的墨硒和( ”，p ) p - 孵，问题( c v o p ) 的拉格朗日 ( l a g r a m _ g e ) 函数工：凰p f l + 一r 可定义为 l ( 正，”，矿) = 。，( $ ) + 旷g ( 茁) - 定理4 2 ( 广义k u l m - t u c k e r 鞍点条件) 设2 k 是( c v o p ) 的可行点， l a g r a n g e 函数工( 重，”，p + ) 在点牙处关于q 和b 是b 半预不变的凸的，且对 任意霉k o 有h 观q 0 ，重，a ) = 筇( $ ，牙) 及，l i r a 。i + 6 ( 文孟， ) = 6 ( z ，动 0 若进 一步假设( 孟，天，芦) 且静0 为广义k t 点，且弘，和p * o 在点孟是正则 的则牙是( c v o p ) 的最优解且( 磊静，乒) 是l a g r a n g e 函数的鞍点，即对任 意善k j 及p q 有 工( 孟，p ，矿) ( 霸天，醢) l ( x ，j i ，乒+ ) 证明由定理3 2 和 f 理2 3 ，对任意t a ( i ，+ 豇曲( 习有 5 0 ，孟) ( ( 五，+ 丘+ 9 ) ( z ) 一( 天。，+ 乒+ 9 ) ( 牙) ) ( ( 天f + p 夕) + p ；开0 ，孟) ) = = ( 天，+ 声9 ) 。( 孟；每p ；牙) ) 聊( 毛牙) 特别地，可取t = 0 a ( 弘f + p + f ) ( 习，从而 5 0 ，孟) ( - ( ，( z ) 一，( 牙) ) ) 一5 ( z ，孟) ( 皿( 9 ( 功一g ( 孟) ) ) 0 ( 4 1 4 ) 又因5 ( 害，动 0 ，所以 ，( $ ) 一，( 2 ) 隹一i u t p 故孟是最优解 由于露e j 故对v 矿伊，有p 。9 ( 动0 ，又口。9 ( 动；0 ，从而 ， 工( 孟，天，p + ) l ( 磊天，豇) ， 而( 4 1 4 ) 又等价于l ( 氟i ，矿) sl 【z ，x ，矿) ，即原结论成立证毕 例4 1 考虑t r 非光滑问题t r a i n f ( x ) = ( 一霉l ，钇) j g ( z ) = ( i z l i + 2 ：2 ，2 z l + i 勋i ) ， 其中，：r 2 _ 铲，g ：r 2 _ 舻可行域k o = ( l ，霉2 ) 砰：i z l i + z 2 0 ，幻l + i 2 i o 显然，和g 在( 0 ，0 ) 处是局部l i p s c h i t z 的，且关于叩 和b 在( 0 , 0 ) 处是向量值b 半预不变凸函数，其中对任意的为暮，r 2 ，定义 q y ，a ) = z 一和6 ( z ，y ，a ) = 1 现取p = ( 1 ，1 ) ，易知加( z ) 在点( 0 ，0 ) 处是正则的，且a “蝴) ( 0 ，0 ) = ( 2 + 6 ，1 + 6 ) ，其中i 磊i 1 ，0 = 1 ，2 ) 又 取a = ( 1 ，o ) ，则a ，在( 0 ，0 ) 点亦正贝i 且有a ( a ，) ( o ，0 ) = ( - 1 ，o ) 从而在点 ( a ，“0 ) 处，条件( 7 ) ，( 8 ) 成立( 此时a = ( 1 ，0 ) 及p = ( 1 ，1 ) ) ，故由定理4 1 知 ( 0 ，0 ) 是，的最优解 塑! ! 盔堂煎圭堂丝堡塞 1 6 5 ( c v o p ) 的对偶理论 本节我们考虑问题( c v o p ) 的对偶设r i n t p 为固定点，类似于m o n d - w e i r 【1 9 的方法，我们可构造( c v o p ) 的对偶如下t 设 ( v m d )m 践，( s t 0 a ( a ，+ 卢口) ( 缸) ，v u j t 矿g ( t ) 0 ，v 缸k a + p ，p n ，a = 1 w = ( t ，a ，p ) k p q ：0 a ( a + ，+ p + 夕) ( u ) ， p + 夕( u ) 20 ，a p ，p + q + ，a r = 1 表示( v m d ) 的可行点集，p r k w 表示集合w 在上的投影，即是tp r o w = t k ：( u ，a ，p ) 矸7 定理5 1 ( 弱对偶) 设$ 和( t ，”，矿) 分别是( c v o p ) 和( v m d ) 的可行 点设，在k o u p r k w 上点“处关于玎和b 是p b 8 函数，g 在k o u p r k w 上 点t 处关于目和6 ，是n b s 的，其中拦器，7 ( 霉，h ，a ) 2 亓( 万，“) ，尝器6 ，( z ，u ，a ) = 6 ，( z ，“) 及墨恐6 ( z ，“，a ) = 6 ( 甄t ) 0 若进步假设”，和旷g 在点“是正 则的，则，( z ) 一，( “) 簪- i n t p 证明因z k 和( t ，”，p 。) 是问题( c v o p ) 和( v m d ) 的可行解，由 定理3 2 和( v m d ) 的约束条件知 6 ( $ ，u ) ( a + ，( z ) 一a ，( t ) ) 2 ( a ，) 。m ；霄扛，心) ) 一( p 9 ) o 心；目( 茁，札) ) ，- ，( ，t ) ( 矿9 一矿g ( 2 ) ) 0 而5 ( 口，t ) 0 且”0 ，故有 ，( g ) 一，( t i ) 岳- i n t p 证毕 如果进一步削弱，和g 的条件，我们可以得到如下形式的弱对偶定理 定理5 2 溺对偶) 设z 和，”，旷) 分别是( c v o p ) 和( v i v i d ) 的可行 点，又设拉格朗e l 函数”，+ 矿g 在k o u p r r w 上点让处关于，7 和6 是实b 半 预不变凸函数，且有拦器目( $ ，仙，砷2 7 ( z ，及拦器6 ( 甄t ，a ) = 5 ( 毛n ) 0 若a + ，和旷9 在点i f , 处是正则的，则，( 卫) 一，( ) 聋- i n t p 证明由定理3 2 及( v i v i d ) 的约束条件可以得到 5 ( z ，t ) ( a + ，( $ ) + p g ( z ) 一a 4 ，( u ) 一p + 夕( t ) )( a + ，+ p + g ) 。( ；行( z ，t ) ) 0 又5 ( 2 ，t l , ) 0 ，霉k j 及p 9 ( t ) 20 ，所以 a + ，( $ ) 一 ，( t ) 0 ， 注意到”0 ，从而由上式可知结论成立 定理5 3 ( 强对偶) 设雪是( c v o p ) 的弱有效解，且在这点满足广义k u h n - t u c k e r 条件，则存在( 0 弘，声) p 卵，使得( 牙，知，面) 是( v i v i d ) 的可行 解又设，在k o u p r r w 上任意点“p r k w 处关于玎和b 是p b , - q 函数，g 在r o u p r k w 上任意点p r r w 关于叩和y 是f i b s 的( 或其拉格朗日函 数”，+ 口g 在j b u p r r w 上任意点t p r k w 处关于，7 和b 是实b 半预不 变凸函数) 且对任意k o ，满足磐器，7 ( 茁，“，a ) 2 亓( 甄t ) ，烁6 ，( 为，a ) = 6 ，( z ，u ) 及h 观6 ( z ，a ) = 6 ( z ，u ) 0 若进一步假设”，和矿口在点是 正则的那么喊i ，乒) 是( v - u d ) 的优化解，且这两个目标函数的最优值相 等 证明由题设，存在( 弘，矿) p + 卵且天。r = 1 使得0 a ( 膏，+ 口勺) ) 和卢g 忙) = o ，所以 ，n 矿) w ，这意味着( 牙，”，皿) 是( w d ) 的可行 解面对( v m d ) 的任何可行点g ，a ，由弱对偶性可以得出，忙) 一，( 9 一i n t p ，故( 牙，”，卢) 是( v m d ) 的最优解证毕 下面我们给出逆对偶定理 定理5 4 ( 逆对偶) 设( 霞，x ，矿) 是( v i v i d ) 的优化解又设，在k o u p r k w 上点面处关于町和6 是p b s 的，g 在k o u p r k w 上点面处关于刀和b 是f i b s 的，且对任意的盘硒，满足条件拦黔q ( 豇，a ) 。_ i 7 ( $ ，霞) ，墨器6 ，( z ，面，a ) = 矽( ，面) 及l i r a + b ( z ，豇，a ) = 5 ( 毛面) 0 若进一步假设紊，和乒9 在点面是正 则的，则缸是( c v o p ) 的最优解 证明若面不是( c v o p ) 的最优解。则存在孟k o 使得，( 面) 一，( 童) i n t p ，由于”0 ，我们得到 ( n ，一，( 茁) ) 0 ，所以结合( 5 7 ) 有 ( x ，) 。( 面；筇( 童，面) ) 0 则，0 ) 一妒 ，”，旷) 譬- i n t p 证明由题设及定理3 2 知 5 ( z ，) ( a ，( 。) + p 9 ( 功一a ，( “) 一p + 9 ( u ) ) ( a ，+ p 。9 ) 。( ；目( 。，“) ) 0 而5 ( z ，t ) 0 ，所以 a ，( $ ) + p 。g ( z ) a ，( “) + p 勺( t ) 又z 凰，所以 r ，( z ) 一入，0 ) 一p + 9 ( t ) 二- p g ( 。) 0 ，( a r 彳1 ) 故对任意的$ g o 及( 仳，”，p + ) 形有 ，( 善) 一v ( i s ，a ，p + ) 譬- i n t p 证毕 ， 定理5 7 ( 强对偶) 设l a g r a n g e 函数在k o u p r 耳形上任意点i sep r k w 处 关于q 和b 是正则的实b 一半预不变凸函数，且对任意善k o 有j 吨目( 毛i s ， ) = 目( z ，i s ) 及l i mb ( x ，a ) = 6 ( z ，“) 0 又设孟是( c v o p ) 的弱有效解。且 ，天+ ，乒) 是广义k - t 点则( 孟，天，矿) 是( v w d ) 的弱有效解，且( c v o p ) 和( v w d ) 的最优值相等 证明