（理论物理专业论文）随时间变化黑洞背景中标量场的扰动.pdf

v6 5 1 6 93 摘要 摘要 场存黑洞周罔的扰动显现出似正规模的性质，扰动的频率有实部和j 最部两部分。实 部反耿了振荡的频率，虚部体现了扰动衰减的快慢，频率的数值只和黑洞的参数有关。 黑洞周围场的扰动可以通过未来引力波实验观测到，能作为验证黑洞存在的证据，具有 重要的天体物理意义。 但是目前的研究只限于对静态黑洞周围场的扰动，如果考虑黑洞有吸击、蒸发过 程，这种随时问演化的黑洞背景中场的扰动性质如何，尚无文献报道。我们在这方面作 了初步研究。我们研究了无质量标量场存随时间变化的s c h w a r z s d - l i d 黑洞背景下的扰动 行为。虫果黑涧质量随时间变化小是很快，这样的黑洞能用类似的k r u s k a t 度规的形式表 示，我们发现标量场似正规振荡体现了背景t j 寸空随时间变化的性质。 我们还把此研究推广到2 + l 维的随时问演化的b t z 黑洞，除了得到在这一时空背景中 标量场似正规模与时间的依赖关系，还找到t a d s t 2 字和渐进平坦时空标量场似正规模性 必键涮：似正规模式标量场扰动l ( r u s k i d 度规b t z , 黑t 1 4a d s 时空 英文摘要 a b s t r a c t t h ef i e l d p e r t u r b a t i o ni nt h eb a c k g r o u n do fb l a c kh o l es h o w sac h a x a e t e ro fq u a s i n o r n l a lm o d e st h ep e r t u r b a t i o nf r e q u e n c yi n c l u d e sr e a lp a r ta n di m a g i n a r yp a r t t h e o s c i l l a t i o np e r i o da n dt h ed e c a yt i m es c a l ea r ea s s o c i a t e dw i t ht h er e a lp a r ta n dt h ei m a g - i n a r yi ) a r tr e s p e c t i v e l y t h ev a i u eo ff r e q u e n c yi sr d a t e do n l yt ot h ep a r a m e t e r so fb l a c k h o l e st h ep e r t u r b a t i o nc a r r i e su n i q a of i n g e r p r i n tw h i c hw o u l dl e a dt ot h ed i r e c ti d e n t i f i c a t i o no ft h eb l a c kh o l ee x i s t e n c e s of a rt h es t u d yo fq u a s i n o r m a lm o d e si sr e s t r i c t e d t ot i m e i n d e p e n d e n tb l a c kh o l eb a c k g r o u n d st oc o n s i d e rab l a c kh o l ew i t hp a r a m e t e r s c h a n g i n gw i t ht i m ed u et ot h ea b s o r p t i o no re v a p o r a t i o np r o c e s s e s ，f e ws t u d yh a sb e e n d o n e 强h a v ei n v e s t i g a t e dt h em o d i f i c a t i o nt ot h eq u a s i n o r m a lm o d e si nt h ed y n a m i c s c h w a r z s c h i l db l a c kh o l eb a c k g r o u n d炜af i n dt h a tt h ek r a s k a l 1 i k ec o o r d i n a t e sc a r lb e u s e dt od e s c r i b e dt h e s eb l a c kh o l e sw h o s em a s si st h a n 西n gw i t ht i m en o tt o or a p i d l y t h e q u a s i n o r m a lo s c i l l a t i o ns h o w s t h ec h a r a c t e ro fb a c k g r o u n ds p a c e - t i m ec h a n g i n gw i t ht i m e 陷h a v ee x t e n d e do u rs t u d yt ot h ed y n a m i cb t zb l a c kh o l ei n2 + 1d i m e n s i o nb e s i d e s f i n d i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nq n m o fs c a l a rf i e l di nt h i ss p a c e t i m eb a c k e r o u n da n d t i m e ，w ea l s og o tt h ed i f i e r e n c eb e t w e e n0 u a s i n o r n m lm o d e si na d ss p a c e t i m ea n di n a s y m p t o t i c a l l yf i a ts p a c e 。t i m e k e yw o r d s b 。，t ，z b 1 a c k h o l e q u a s i - n o r m a lm o d e s f i e l dp e r t u r b a t i o n k r u s ，k 。m 。- 。1 。i k e ，c o o r d 。，i ，n ，a t e s a d ss p a c e - t i m e l l 第一章简介 1 1 黑洞似正规模式 宇宙中的黑洞是否会发出特征“声音”? ”| 或者说，有没有一些振荡模式来表征 黑洞偏离初始平衡状态后随时问的演化行为? 通过对s c h w a r z s c h i l d 黑洞扰动的数值研 究，v i s h v e s h w a r a 认为答案是肯定的。1 。事文上，在某一个特定的时间段内，初始扰动的 演化是单频率阻尼振荡。振荡的频率和阻尼只取决于黑洞的参数( 对于s c h w a r z s c h i l d 黑涧 来说也就是它的质量) ，而与激发这一振荡的初始扰动无关。 人们已经发现星体会以特定的频率振荡，可以被作为星体的特性。这些振动是组成 星体的流体携带的。然而一个黑洞内部却不会包含任何可以承载这样的振荡的物质。黑 洞的视界有时被看作为一种膜，这种膜同样不能作为振荡的载体。通过研究人们发现， 黑洞的这种振荡主要涉及到黑洞视界外时空的度规。 这一结果并不会令人意外。实际匕它阐明了一个基于广义相对论的事实：时空并非 仅仅是物理过程发生的一个舞台，时空自身就是一个动力学的量，就像星体中的流体。 样。即使是对于中子星来况，我们也发现存在独立于- 它的流体的振荡模式，这样的振荡 源于该星体在平衡状态下产生的时空。 这些特有的振荡和正规模式间有着非常重要的区别：它们并非是真正静态的，而是 快速衰减的：另外，这种振荡模式只存在于有限时间段内，而不是像正规模式那样可以 从任意早的时刻开始一直到任意晚的时刻。考虑到这些，这种振荡模式被称作“似正规 模式”( q n m ) 。“。 虽然似正规模式的概念最早是在黑洞扰动中提出来的，然而这一概念却适用于更广 泛的系统。例如，有阻尼的线性有界系统就会呈现出这种特性阻尼振荡。一个显而易见 的例子就是考虑内部阻尼的振荡星体。在这里，似正规模式是非常接近于正规模式的 ( 不考虑阻尼的情形就得到正规模式) 。在相对论性的天体物理学中，中子星即使不考 虑内部粘滞性也会表现为阻尼振荡：因为能量被引力辐射带走，导致振荡呈现阻尼衰 减。在牛顿理论的框架下，存在非常接近于衰减的相对论模式的非阻尼模式，这被看作 第1 页，共3 2 页硕士学位论文 是非相对论近似。然而对于中子星来说事实并非那么简单的：除了“牛顿”模式以外， 中子星拥有另外一组振荡模式，它们是在牛顿模型下不会出现的纯相对论的结果。 其他表现出似正规振荡的物理系统包括与周围介质关联的振动的弦、介质中传播到 无穷远的能量、另外还有转动惯量随氏度改变的无限长扭丝，甚至激光共振腔也能用似 正规模式来描述。形式上，所有这些系统都可以用一个波动方程来描述( 或者是波动方 程组的系统) ，该方程包含一个附加的势或者一个可变折射率。 在正规模式分析中，我们通常有一个常规的微分方程或者方程组，然后加卜边界条 件以使得振动( 或任何波函数) 在空间一个有限区域外就消失。这样的系统的一个例子 就是孤立于周围环境的两端固定的有限长度的弦，这个系统由个分立谱的自伴算符和 一个正规模式的完备集来描述。不幸的是，黑洞或者中子星的振动完全不同：在黑洞的 情形下，我们的所有的系统是视界外的度规，或者对中子星来说是度规和整个空间的物 质量。振动将会传遍伞空间；我们不能要求振动在有限区域外为零，而只能设法确认不 存在那些与初始扰动无关的引力辐射会影响到晚期的系统。因此，我们会施加向外的边 界条件，其意义为假设没有从空问无限远处的入射或者没有从黑洞视界向外的出射。在 中予星的情形下，中心的规则条件和在表面的匹配条件代替了视界处的边界条件。因 此，相应算符的频谱是完全连续的。这看起来与前面提到的黑洞或中了星的刚间演化被 观察到为单频率振荡的事实相矛盾。但是这里，用一个与散射共振相关联的方泫，我们 仍然可以定义具有孤立的特性频率的似正规模式。然而一般地，这些似正规模式并不是 完备的，并不是任何初始扰动下的时间演化都可以被看成是这些似正规模的叠加。饰给 定初始条件的情况下，要确定似正规模的激发也是很困难的，甚至边界条件本身也很难 用数值方法来处理。 目前，几个大的引力波干涉探测器正在建造中。只有当我们有一个精确的对这些引 力波信号的预测模板，我们才能从所探测到的噪声信号中将我们想要的信号提取出来。 因此，目前一个主要的工作就是以数值方法来取得这样的模板。这是完全非线性的过程 模拟，如黑洞碰撞”“、塌缩或碰撞中的中子星。“，或其他强辐射引力波的系统。有趣的 是，虽然似正规模式是在线性振动的计算q i 引入的概念，但在在引力波辐射中也占有主 导地位。所以我们可以将之看成是相对论性物体的内禀特性，而不仅仅是我们人为引 第2 页，共3 2 页硕士学位论文 入的对线性振动的一个处理方法。p r i c e j l l p u l l i n 1 提出了一种基于扰动的近似方法作为黑 洞碰撞的相对论性计算的补充方法，已经取得了很大的成功。 所有的计算都显示出似正规模式在不同的宇宙背景引力辐射中的重要地位，而且这 种模式也将会被其他更新的引力波探测器所探测到。从而，给定的一个信号可以利用似 正规模式来分析，从中提取出一砦参数的信息比如振荡的频率和衰减的速度。而这些参 数又将会反映出产生这些振荡的系统的一些信息”“。 如果我们要说个物理过程是产生了似正规模的，那就一定需要给出这一激发的定 量的测量。但这样的证明却是很难给出的。事实上，一些关于似正规模式的问题是不能 被解决的，这是缘于它们是似正规模式自身的数学性质。尽管如此，我们可以利用似正 规模来获取信息，比如中子星的半径和质量，又如可以用来区分黑洞和中子星，这都是 那些数学性质在宇宙学、天体学中取得的令人兴奋的应用。 在以往对似正规模式的研究中，较多的足针对静态的情况，即黑洞质量_ i 随时间变 化研究其q u a s i n o r m a lm o d e s 。但实际上由于黑洞的蒸发和吸积，其质量是会发生改变 的。我们将通过数值的方法研究了黑洞质最随时间变化的情况。后面我 i l l i 会看到，此 时特征频率的实部和虚部都将随时间演化。 l ，2 静态时空背景中标量场的扰动方程 在这一节中，我们首先回顾一下在静态s c h w a r z s c h i l d 黑洞下，传统的处理无质量标 量场的方法1 。 静态s c h w a r z s c h i l d 黑洞度规可表示成： d s 2 = 一f d t 2 + fd r 2 + t 2 d n 2 ，( 1 - 1 ) 其中，：1 2 l f在黑洞的弯曲时空背景下，无质量标量场的扰动方程可被描述为： 口中= 0 ， ( 1 - 2 ) 其中口符号表示秒。代入背景度规，我们得到 ，_ 1 ”心+ 。( 等+ 争r + r “( ”象+ 一c o s o c o o ) 辄( 1 - 3 ) 第3 页共3 2 页硕士学位论文 在球对称坐标下分离变量 西( ，r ，口，) = 皿( f ，r ) m m ( 口：) 无质量标量场径向扰动方程町写成 f 1 4 1 f - 1 t t - 烨一z ( 箬+ 争，+ 半 ( i - s ) 进。步利用变换= 曲r 后，可化简得： f - 1 妒他一釉+ 掣+ 警卜。 m 。， 引入t o r t o i s e 坐标凡 或表示为 r 。 瓦2 ， 它在黑洞的视界处延伸至负无穷远，从而限制微分方程的有效区域为视界外的时空。 可将f 1 _ 式化为标准形式： 其中，有效势为 ( 1 7 ) ( 1 - 8 ) h 掣+ 筹 图i - 1 有效势在t o r t o i s e 坐标r 的变化行为。 第4 页，共3 2 页 f 1 1 0 1 硕士学位论文 图( 11 ) 为有效势的行为，我们可以看到在黑洞视界处( n 一一) 和无穷远处，有 效势均趋于零。这类似于量子力学中一个有限高势垒。我们知道s c h r 6 d i n g e r 方程在有限 高势垒内部的行为就类似于阻尼振荡。之后可以看到，在数值计算的结果中方程“q 1 确 实是阻尼的q u a s i n o r m a lm o d e s 。 5 1 3 对于标量场扰动方程的数值解法 对于以上方程，简单的情形可以得到解析解。我们也能借助了：数值的方法给出直观 的图象。由p r i c e 等人提出的一种方法1 ，在很多情形下可以解决这一问题。 由标准的形式( ) 出发，引入一对n u l lc o o r d i n a t e s = t r + = t + r t ，( 1 一1 1 ) 得到： 我们首先以积分的形式在数值计算的工作区域构造一个泛函”2 s = ，l 塑。塑o v m 1 妒2 卜 为了导出微分方程( 1 一1 2 ) ，令 筹扎 于是方程( 1 1 7 ) 可n _ t k t x - , j 该泛函的变分中得到。 在这个积分中采用一级微分的三点公式，并运用梯形法则来将积分变换为求和 d 掣 d “ a 咖 d t j 如+ 1 ，一母；一】， a 7 , 吡，j + l 一皿一i a ” f l 一1 2 1 f l 1 3 1 f 1 1 4 1 妒 妒， 其中使用记号蛾j = 妒( “。) ，是“和 的离散变量， i + l , j - - 妒= a u 2 ，妒；j + 1 一妒。= a v 2 。于是得到： s = 蛐” 硒1 ( ，咄刈一蜘，) 一抛阮 第5 页，共： 2 页硕士学位论文 母r _ j 卜 = h 础川蝴吐瓶一瓶一灿础州一；a u a v v 虼 ， 这就是泛函的离散表示。如果将每+ 个离散变量看作是一个独立的变量，则变分方 程f i 1 成为微分方程： 祟= o ( 1 _ 1 5 ) a q ，一 、。7 于是得到我们想要的微分方程 妒。一1 , j + l + 妒i + l j 一1 十 z 2 i + 1 ，j l + 1 _ j z 一1 , j + l 一妒4 1 ，j 一1 他+ ，+ - 一咄+ ，+ ，一他一，一，一；“”y ( r ) 吡。= o 所以 2 i - l , j + l - - 慨+ l , j - 1 - - 讥+ ，+ - 一砒一，一，) 一；“u 矿p ) 咄。= o 采用记号 t f l f = 砂1 ，1 ， c s = 饥一1 , j 1 ， m w = 。m 41 、3 + 1 ， 妒= 妒“1 。j + l f l 一1 6 1 ( 1 1 7 ) 用格点平均值代替相邻两点连线中点的值： c w + 妒e， _ - 一。毗 最后得到： 曲= 妒+ 妒w c s - u u y ( r ) 生坚专! 丝( 1 - 1 8 ) 基于上式，我们在平面上建立一个点阵，只要给出n ， 上的边界条件，就可以利 用( 1 1 8 ) 得到整个平面l _ = 所有格点的值。研究表明，计算结果对初始边界条件并不敏感， 所以在实际计算中可取 妒( ，u = y o ) = 0 ，( 1 - 1 9 ) 第6 页，共3 2 页硕士学位论文 作为一个边界条件，另一个边界条件取高斯形脉冲作为初始扰动 唧卜簪 m 。， 图( 卜2 ) 为典型的无质量标量场似正规模振荡，横坐标为时问，纵坐标为振幅绝对 值取对数。图中振荡频率即为准正规频率的实部r e ) ，相邻两个极大值问的距离就是一 个半周期，也就是j 瓦未万；而极大值连线的斜率就是频率的虚部i m ) ，它表示单位时间 内振幅的衰减。 n 陋( ) l 0 ： 1 0 一： l ) 6 j s 图1 2 一个典型的似正规模式。其f 1 ，最初小规则部分为切始扰动的部分；中间部分就足个典型 的q u a s i n o r m a lr i n g s ：最后是后期的波尾部分。 第7 页，共3 2 页 硕士学位论文 第二章无质量标量场在动 态s c h w a r z s c h i l d 黑洞背景中的扰动 2 1 动态情况下遇到的困难和类似k r u s k a l 坐标的引入 不同于以卜讨论的静态s c h w a r z s c h i l d 黑洞，宇宙中实际黑洞往往伴随着蒸发、吸积 等现象，其质量是时间的函数。这种情况下( 卜；) 将变得非常复杂，并且由( ) 所定义 的 本身将不再是与时问正交坐标。这些困难导致以上有限元分析的数值方法不再适用。 我们需要新的方法来处理随时间变化的度规。我们知道，在k r u s k a l 坐标下度规的类时 和类空项( r 和p ) 是相同的，于是黑洞的质量m ( ) 只出现在波动方程的角度部分，这使 得动态黑洞的情形变得稍简单一些。在下一节讨论动态黑洞之前，我们首先讨论静态黑 洞，以此来检验应用k r u s k a l 坐标来研究波的演化是否合理1 一。 为此我们采用k r u s k a i 坐标来代替原先的标准坐标。s c h w a r z s c h i l d 黑洞的度规 在k r u s k a l 坐标中可表示为： d s 2 ：3 2 - m s e - ，- o 7 ( d r 2 一d p 2 ) 一7 2 d q 2 其中r 和p 分别为类时和类空的坐标，在黑洞视界外r 2 m 中的定义为 r = 2 压i - 1s 汕扣伽 ，= 据了砌扣脚1 ，江。， 其中m 是时间t 的函数。 无质量标量场的传播由t ( 1 e i n g o r d o n 方程口中= 0 描述。由于k r u s k a l 坐标的对称 性，质量对时间的导数空笔竽将不再出现在k l e i n g o r d o n 方程中，于是方程为： 叶，。+ ；( 娜，。卜下3 2 m a cr ，2 ( c 。i o 。s 0 朋一土s i n 。0 一) - o ( 2 - 3 ) 在球对称坐标下分离变量， 得到方程 圣= 1 c l ( t ，p ) m 。( 口，) n( 2 - 4 ) 砂，一砂p p + y 妒= 0 第8 页、共3 2 页 ( 2 - 5 ) 硕士学位论文 其中 些半型 2 2 与静态结果的比较说盱 k r u s k a l 坐标有效 引入一对类似n u l lc o o r d i n a t e s 1 的坐标 丁是方程旧j ) 成为 ( 2 - 6 ) “= t pt ，= t + p 、( 2 - 7 ) 妒，。+ ；y 妒= o 此时，对于静态黑洞 v 一【8 m - ”，2 2 3 t ( 1 + 1 ) ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) 静态情况时，黑洞质量m 为常数，r 。的表达式很简单： 1 6 m 4 e r 2 m m2 一j 广， ( 2 1 0 ) 于是，可以壹接利用( 1 来计算q u a s i n o r m a lm o d e s 。在所有的计算中，我们使用的 初条件仍然是妒( “， = t 自) = 0 p 2 j t k e ( u = 咖，口) 上的一个高斯型脉冲。我们可以用得到 的结果米与标准坐标下的计算结果相比较。图( 1 ) 是两种方法在2 = 2 的模式下所得结 果的比较。在这里，振荡的振幅没有实际的物理意义，我们只是关一0 振荡的似正规复 频率。表2 一 列出了图( 2 - 1 ) 中两种方法计算得到的频率的实部u 凡和虚部u ，以及其他一 些q u a s i - n o r m a lm o d e s l 拘复频率。其中包括 1 i 】中的一些数据。可以看到，在静态- i h ：况t 两种方法符合的很好。 第9 页，共： 2 页硕士学位论文 1 。 毫一 一f 。，一、t i 图2 - 1 黑涮质罱m = - 0 5 ；1 - 随时间变化，瞪l 定距离r = 2 多极动量指标1 = 2 。上面的实线足 在k 1 1 m k a l 娥标r 得到的，r 面的虚线足在一般华标系r 得到的。 g e n e r a ic o o r d i n a t ek r u s k a lc o o r d i n a t e f u 凡u j o rc - i 10 5 8 6 0 1 9 5 605 8 70 1 9 4 7 2( ) 9 6 8 0 1 9 3 209 6 80 ，1 9 3 2 313 5 1u1 9 2 613 5 50 1 9 2 6 4i7 3 601 9 2 41 7 3 50 1 9 2 2 表2 - 1 静态情况下3 + l 维黑涧采用k s 嫩标和标准坐标讣算的结果的比较。 23 动态背景中标量场的扰动结果 一般地，如果黑洞质量对时间t 有一个依赖关系，那么m 在k r u s k a l 坐标下将是 个r 和p 的函数。由f 度舰满足肼，= 一g 质量州只出现在波动方程( ：o ) 的角度部分。 这也是为干1 么我们采j ；= j k r u s k a l 坐标来研究动态背景的好处之一。此时波动方程形式与 式( 2 一b ) 相同，但现在( 2 9 ) 中的一：阶导数r 。被修正为： ：一丁16m4e-72m+訾一4m(um,-vm,)e-r2z，(2-u)t,uv 2 一；f 一+ 五尹一_ _ 一， 其中， m 矿婴( 如一t p ) ，( 2 - 1 2 ) m 。= 铷州。 第1 0 页，共3 2 页 ( 2 一1 3 ) 硕士学位论文 翟 ? i ，u 0曩hn v , v l m c 1 1 ，烈。lh m ，= 百m ( t 一t 二) 十百m ( t ，一t ，) ，( 2 - 1 4 ) 庇和廊分别为黑洞质量m 对时问t 的阶、二阶导数。而从r 和p 的定义( ! ! ) 中可直接得 到t 对他们的导数t t ，t w 。 tt r t 。p p t m 2 c o s h 2 ( 南) 丽f 矿 a m 2 s i n h 2 ( 南) t= 一；l t ( m m t ) 讣n ( 南) 嘞nz m 2 肌a m m ( m 一 t 二l c o 妇( 南) ( 膨一髓酽+ z m 2 寇t + a m - 肜i ( m m t ) j ( 2 - 1 5 a ) ( 2 - 1 5 b ) ( 2 - 1 5 c ) ( 2 - 1 5 d ) 现在我们来考虑质量随时问变化的情况，首先看最简单m = 如n f ，其中肘。和n 为 常系数。以下二图为计算结果，分别是质量随时问增加和减少两种情况和质最不随时间 变化的比较： 第1 1 页，共3 2 页硕士学位论文 f 图2 - 2 在s c h w a z z s c h i l d 黑涧背景下n 勺标量场的随埘问演化，其中f = 2 ，7 = 2 。黑洞的质 精m ( t ) = 而士a t ，此处 如= 05 、d = 5x 1 0 4 都是常数。m = m o + a t l l m = “一o t 分别是 最上面和最下血f 向曲线，中问的是质旱： = m o d 随时问变化的情况。 图2 - 3 与陶( 2 - ! ) 相同。世为了史清楚的说删问题，我们仪把振荡局部极大值连接l m 止此刚。虚频 率u ，可以从衰减时问尺度r 一1 ，得到。 第1 2 页，共：j 2 页 硕士学位论文 f 图2 4 这里振荡削期的长短，显示了图( 2 2 ) ；i i 频率的实部是时间的陶数。 图( 2 2 ) 是q u a s i n o r m a lr i n g s ，后两图分别是频率实部和振荡顶点的连线( 其斜率 就是频率的虚部) 随时阃变化的情况。从圈中可以明显的看出由质量对对例的依赖带来 的对q n m 的修正。当m 随时间线性增加时，振荡的衰减相对静态情况变得更慢，这相当 于谠u ，不再是一个常数，而是随t 减小。振荡周期也不再像静态情况下那样是个常数， 它随日i 问变得更长。换句话说，似正规频率的实部“r 随时间的增加而减少。反之，当m 随时间线性减小时，我们观察到衰减相对于静态黑洞的情形变得更快，振荡周期变得更 短，这对应于“，和u r 都随着时间的增加而增加。 然后我们讨论更为现实的模型。一个蒸发的黑洞质量列表为： 埘= 一器 ( 2 _ 1 6 ) 其中常系数咖在黑洞质量m 1 0 1 7 9 和m 1 0 1 7 9 取不同的值。从上式我们得到质量随时 问变化的表达式： m ( t ) = f 3 a o ( b 一州邝，( 2 - 1 7 ) 这里6 是个任意常数。结果如图( 2 5 ，2 一n2 7 ) 所示。可以看出，与静态黑洞不同，蒸发 黑洞似i e 规频率的实部u r 和虚部“。都随时间的增加而增加，这与前面的简单情况得出的 结果是耜符合的。 第1 3 页，共3 2 页 硕士学位论文 蓐。等。牛誊动盈一：hh m m n 蟮i _ 鲫“囊t ? 。执埘 图2 - 5 在含有燕发l 拘s c h w a r z s c h i l d 黑洞背景下的标量场的随时间演化( f ) ，其r ：2 ，7 、： 2 ( 1 0 = 2 0 1 1 1 04 ，b = 2 0 7 2 。作为比较，我们仍然把2 = 2 ，m = 0 5 的静态黑垌的图放在这 里( 上1 图2 - 6 与图( 2 5 ) i 司样的情况，但仪仪连接振荡的顶点。频率的虚部u ，n j 以从衰减时| 1 _ 【尺度f 。 1 u ，得到。 第1 4 页，共3 2 页 硕士学位论文 图2 7 罔( 2 - j ) 振荡的频率。此网表明，由振荡周期决定的频率实部u r 是随时间变化的。j 此相对 的是，静态的黑洞u r 是。个常数。 存研究了无质量标量场在随时怕j 变化的s c h w a r z s c h i l d 黑洞背景下的演化后，我们发 现k r u s k a l 坐标是研究这一类含时演化问题的一个很好的框架。为了避免直接放入一一个与 刚间有关的散射势，我们试图以一个更自然的方式，从动态黑洞的一一个随时i 刈变化的参 数推导出一个与时间有关的有效势。通过数值计算，我们找出了黑涧质量对时间的依赖 关系造成的对q u a s i - n o r m a lm o d e s 的修f ，振荡的衰减不再和静态黑洞的情况一样是一 个常数了。在吸积的过程中，黑洞的质黉变大，似正规频率的实部和虚部都会减小。而 在黑洞蒸发的过程中，黑洞的质量减少，似正规频率的实部和虚部都会随时问增大。 第1 5 页，共3 2 页硕士学位论文 第三章无质量标量场在动态b t z 黑洞背景 中的扰动 3l 三维a d s 时空静态情况下的标量场扰动方程 以e 我们已经得到了无质量标量场在各种不同含时情形下的似正规模式。接着我们 将把结果推广到随时间变化 t a d s 时空。由于a d s 时空与渐近平坦时空有很多共同的性 质，使其成为想要了解渐近平坦时空性质的一个很好的测试平台。此外，研究含时a d s 时 空的q u a s i n o r m a lm o d e s 能使我们更深的理解a d s c f t ( c o n f o r m a lf i e l dt h e o r y ) 对应性。 我们主要研究2 + 1 维不旋转的b a 矗a d o s t e i t e l b o i m z a n e l t i ( b t z ) n n 。其度规为： d s 2 = f 2 d t 2 一f2 d r 2 f 2 d 咖2 ，( 3 - 1 ) 其中 ( 一m + 蔷) ( 3 - 2 ) 这是一个带有负宇宙常数的时空，宇宙常数a = 一1 2 ，埘是黑涧质量，视界半 径r + = i , 瓦7 。我们同样从k l e i n g o r d o n j y 黜= 0 出发，可以得到无质量标量场的扰 动方程： 分离变量 其中m 是角量子数。 r - 2 ( 1 1 , q 5 c ) - - ( 可2 r + 譬) 吣= 。 ( 33 ) ( 3 - 4 ) 方程( ) 可化为 f - 2 9 , , t t - 伽，一弘2 r ，+ ( 筹十击一弘f 2 ) ， ( 3 _ s ) 定义t o r t o i s e 坐标r + 由下式决定 a r 。= ( 一 ，+ 害) 一1 a r 第1 6 页，共艘页 ( 3 - 6 ) 硕士学位论文 学 皿一 = 垂 ? ) ；t + r 十u ! t n 式( 1 j s ) 日 以写成类似( 卜| ? ) 的形式 一4 9 ，。= v ( r ) 雪， 这里有效势 川= ( 一肘+ 乒t 2 ) 降乒1 一去( 一m 十箬) 直接利用第一章中的公式 咖= 妒e + 砂一砂s 一r “u v ( 一生旦二亭型竺 叫以状得静态b t z z 洞在一般坐标下的准正规模。 另一方面，可以将( 川) 式进一步改写1 ： 皿= 妒( 7 ) e ， 再利用t o r t o i s e 坐标( 。衍) ，k g 方程在r 分量i - x 可化为 掣+ p 。叫n m 忙o ， d r ! 。o 一j ” ” 此处 v ( r ) = 而3 ) - 2 丽m 一而m 2 + 可m 2 一丁m m 2 在文献n 4 中，讨论t f i r , 时的一个解析解法。这里直接给出结果： u = m 一2 i m l 2 f + 1 1 f 3 7 1 ( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) f 3 1 0 1 ( 3 - 1 1 ) f 3 一1 2 1 f 3 一1 3 1 f 3 1 4 1 f 3 1 5 1 ( 3 一1 6 ) 卜。节中，我们将会利用这结果，与数值解相比较，来验证我们的数值力法。 第1 7 页，共： 2 页 硕士学位论文 、 尸再 巫。 _ 鼋 壁产 瓜 “ 0 + | | v 成 o 防 一 断 g 山 出 入 3 2 类t 以k r u s k a l 坐标的引用和数值解法 由式似1 1 ) 出发，利用式( ：o i ! ) ，我们可以得到静态b t z 黑洞的q n m 。然而，蚓为与 前面四维情况下相同的原因，这样的 k 标却彳i 适合用来研究与时间有关情形1 。一。我们的 方法仍然是采用类似k r u s l 【a l 坐标来研究此时的动态情况。首先在这一节中，我们来说 明k r u s k a l * a 标是适合用于研究静态b t z 黑洞的。 b t z 黑涮在k r u s k 札嫩标下的度规为1 “”： d s 2 = 1 2 2 ( 打2 一d p 2 ) 一r 2 却2 ， ( 3 1 7 ) 这里ra n dp 分别为类时和类空坐标。对于r r + 他们被定义为： 这里 r + r 茎。 0m ( z l2 - t ，口和t ，7 之问的关系为 t ，压至。h 叫 鬲：”砒“一 层咖吼z t = 嘉n ( ) r 絮1 p 2 z 何 一f一丁2 1 一 无质量标量场在k r u s k a l 坐标下的传播满足： r ，、2 l 丽“j 击一吲+ ( 一等十蔷+ 篙q 2 ) 这里m 是角量子数。 仿照【1 1 中引入的n u l lc o o r d i n a t e s ，我们把变量变为： u = 丁一nu=t+n 第1 8 页洪3 2 页 f 3 1 8 1 f 3 1 9 1 f 3 2 0 1 f 3 2 1 1 ( 3 - 2 2 ) 硕士学位论文 - j 谢- ：甄辨r ，动奄bfz ，t l 叠- 。 于是t 和r 可以表示为 t = 而l - n ( 一i ) ，一三竺2 俪 1 + t r y r _ 辱会是“和u 的函数，r = 7 1 ( “，u ) 。并且有 取 于是式( ，j ，2 1 ) 成为 我们得到 )80 0 t 沁j0 u aaa a 口a ua u 万4 + ”1 o r 瓦o r 一万2 焘+ 式( ：j 一2 “) 可以被写为 这里有效势是 ( 一石1 ) f v + + u + 、m 2 忙南半 一慨。t n ( 孕 ) 4 田u v = v v # 肚，r + - 4 r + ( 1 o ror；2蕊c92r+一tit20vou - 2q 。)r + r + k r 2 r 如a u 1 第1 9 页，共3 2 页 f 3 2 3 1 f 3 2 4 1 ( 3 - 2 5 a ) ( 3 - 2 5 b ) f 3 2 6 1 f 3 2 7 1 f 3 2 8 1 f 3 2 9 1 ( 3 3 0 ) 硕士学位论文 皿 小 = 堡舭 。 这一有效势当r 一。时是发散的，这和在普通坐标涵1 7 ) 下是一样的。为了解决这一 发散性的问题，我们可以强制在r 一。f 矿= ”) 处加一个边界条件中= 0 。 在k r u s k a l 坐标中，黑洞的视界在p = 4 - r ，这分别对应于u = o 或者u = 0 。从 2 7 ) 、( ：j 一2 8 ) 两式，我们可以知道在黑洞视界处r 一一。o 。r + 的行为非常类似于t o r c o i s e 学 标。在黑洞视界处，波是完全向内的，西e - ，这也是我们需要考虑的边界条件。 现在可以再次直接地把式2 t ，) 写成离散的形式： = 皿+ 毋e q j s - z a v * i 牮( 3 3 1 ) 当质量才i 随时间变化时 0 2 r o u o v 有效势( o 一：中的 一紧裂l 镢： ，1 【l 十u v ) 。扣丢) 2 f 3 3 2 1 笔象= 篙m = 一盟等型，( 3 - 3 3 ) 代入( 3 一_ _ ；( 1 ) 式，并直接利用式( i ) 计算似正规频率。 图3 - 1 静态情况固定距离f 标量场毋的演化，黑洞质最 f = o 5 ，角崩孑数m = 5 考虑式( ；来作比较，在最低能级n = o 时，解析解的实部和虚部分别 为m 和2 、丽i “。表( ：；一1 ) 比较了这一解析结果同数值方法的结果。 第2 0 页，共3 2 页硕士学位论文 e x a c tn u m e r i c a l 、丽 u 疗u ，u n“， ( ) 21l041 0 0 2 。04 0 0 ( ) 4110809 6 5 07 9 9 ( jd220820 0 3 08 0 ( ) 0433一f ) 830 0 4 一08 0 ( j ( ) 4408 4 0 0 508 0 ( ) 0522一ll9 9 9一l0 0 0 0533l29 9 3 10 0 0 ( ) 54ll40 0 710 0 0 l44，240 0 4 2 0 0 1 21 01 041 00 1 44 0 0 1 3l o1 061 00 2 860 1 1 41 01 0899 7 37 9 8 3 表3 1 静态b i 、z 黑洞的准k j j , i u 频率，解析与数值的比较。 从表( 一1 ) 和图( ；j ) 中我们可以看到引入k r u s k a i 坐标后所得到的结果与普通坐标下得 到的结果，符合的情况是相当不错的。这说明t k r u s k a l 坐标是适合于研究b t z 黑洞背景 下场的演化的。 3 3 动态背景中标量场的扰动结果 从k r u s k a l 坐标下的波动方程( 31 1 ) 出发，容易看出度规中的类时坐标r 的项和类空坐 标，的项是相同的，并且黑洞的参数只出现在有效势中。这使得对含时情况的研究更容 易。在禽时情况下，波动方程与( 一蚴) 有相同的形式，只不过此时 恚= 高1 帮( 一些2 m ) a a t ju u i2 、丽“” + 志c 毗十u + 瑚z 侧 塞塞= 南 尚埘瓦丽2 万丽 万丽制 第2 1 页，共3 2 页硕士学位论文 十坐4 型些m + 篙1 ( 眠+ 嘶) 。 一u ur”。叫l = 杀m 。m 。+ 筹扣m 。+ “m 。) + 丛土萎 二二立， ( 3 _ 3 5 ) 4 r ? 。“ 其中黑洞的质量m 随时间t 的变化而变化，也就是在k r u s k a l 坐标下的r 和p 的函数。 出二j 黑涧的参数随时 司蛩化，使得黑删肋视界也随时间变化。但是考虑到我们所进 择的变量，在视界处+ 一。的性质却不会改变。数值上可以由u + 一。来确定黑洞的视 界。 接着我们给出几个质量m 的形式，分别来计算。苗。先考虑最简单的线性关系，我们 选取黑洞质量为m m o + 掣，其中和a 是常数，之所以这样选取只是为了计算的方 便。考虑到式似粥1 ，我们有 胪肚2 = 肫( i ) ， ( 3 - 3 6 ) 由此可得 烁一羔， m 。= 箍， 铲一茄黼 一躺虬帆 于是可以得至l j q u a s i n o r m a lm o d e s 第2 2 页，共艘页硕士学位论文 图3 2 动惫b t z 黑洞背最下场的演化，其中 l = 1 0 ，黑涧的质量m ( t 1 = m o 土2 a t ，此处常 系数m o = o 5 ，2 a = 5 1 0 _ 。m ( t 1 = m o + 2 a t h m ( t 1 = m o 一2 a t 分别是底部和顶部的曲 线，m = 靠的阳线也被i 删布“中，以作【e 较。 图3 3 与： 一? 相蚓的曲线，为j 更清楚的随删问题我们仪把振荡局部极人值连接珈成此l 窨1 。似j e 姚频李的麻部u ，。u 以从衰减i t f j 尺度r 一1 。j 得到。 第2 3 页，共3 2 页硕士学位论文 一一一。4 一 + m ：0 5 0 , 0 0 5 t 一埘= 0 5 a f = 0 5 + 0 0 0 5 l 图3 4 这里振荡刷期的长短，硅示了n ( 3 2 ) q ，频率的实部是时问的函数。 削( 3 - ? ) ( ：) ( 3 1 ) 的结果显示了由随时间变化的背景引起的对准正规模的修正。 当肘随时间线性增加时，振荡衰减的速度相比静态时更快：而频率的实部也不再像静 态黑洞那样是一个常数，它也同样随着时间的增加而增加。m 线性减小的情况也是类似 的。这一结果与渐近平直时空中得到的结果是不一样的，不同来原于a d sf t i 空的特殊性 质，这一特殊性质导致了有效势的行为与渐近平直时空的不同。考虑到文献”，此结果 并不让人觉得意外。 我们另外也考虑了的。个更为现实的模型。- 一个带有蒸发的黑洞，它的质量为”。】： m = 一q o m 2 ，( 3 - 3 7 ) 其中n o 是常系数。从上式可以得到质量m 对时问的函数关系 1 m 2赤，(3-38)0i(15+ o b 是任意常数。所得结果示于图( _ _ j ) ( ：川) ( ：一? ) 中。与静态黑洞不同，带有蒸发的黑洞准 正规频率的实部和虚部都随着时间的演化而变小，这与先前得到的简单情形是符合的。 第2 4 页，共：；2 页硕士学位论文 8 4 j 6 2 o 0 u 9 j j 1 j 皇j 【 图