海伦公式的推导和应用.doc

海伦公式 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王 希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=p(p-a)(p-b)(p-c) 而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)/2 注1：Metrica(度量论)手抄本中用s作为半周长，所以S=p(p-a)(p-b)(p-c) 和S=s(s-a)(s-b)(s-c)两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 证明（1）： 与海伦在他的著作Metrica(度量论)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 cosC = (a2+b2-c2)/2ab S=1/2*ab*sinC=1/2*ab*(1-cos2 C)=1/2*ab*1-(a2+b2-c2)2/4a2*b2=1/4*4a2*b2-(a2+b2-c2)2=1/4*(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)=1/4*(a+b)2-c2c2-(a-b)2=1/4*(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16=p(p-a)(p-b)(p-c) 所以，三角形ABC面积S=p(p-a)(p-b)(p-c) 证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在九章算术中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，q为“实”。以、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 q=1/4c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2 当P1时， 2q, S=1/4c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2 因式分解得 1/16(c+a) 2-b 2b 2-(c-a) 2 =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得： S=p(p-a)(p-b)(p-c) 其中p=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦秦九韶公式”。S=c/2*根号下a-(a-b+c)/2c .其中cba. 根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积这里用海伦公式的推广S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）代入解得s=8 3海伦公式的几种另证及其推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有： 设ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则 SABC =1/2 aha=1/2 absinC=1/2 r p = 2R2sinAsinBsinC = p(p-a)(p-b)(p-c) 其中，SABC =p(p-a)(p-b)(p-c) 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作测地术中有记载。 海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、 海伦公式的证明 证一 勾股定理 如右图 勾股定理证明海伦公式。 证二：斯氏定理如右图。 斯氏定理证明海伦公式证三：余弦定理 分析：由变形 S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 2abcosC 对其进行证明。 证明：要证明S = 则要证S = = = absinC 此时S = absinC为三角形计算公式，故得证。 证四：恒等式 恒等式证明(1) 恒等式证明(2)证五：半角定理 由证一，x = = c = pc y = = a = pa z = = b = pb r3 = r = SABC = rp = 故得证。 二、 海伦公式的推广 由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形= 现根据猜想进行证明。 证明：如图，延长DA，CB交于点E。 设EA = e EB = f 1+2 =180 2+3 =180 1 =3 EABECD = = = 解得： e = f = 由于S四边形ABCD = SEAB 将，跟b = 代入公式变形，得： S四边形ABCD = 所以，海伦公式的推广得证。 三、 海伦公式的推广的应用 海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事倍功半。 例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2. 求：四边形可能为等腰梯形。 解：设BC = x 由海伦公式的推广，得： (4x)(2x)2 =27 x412x216x27 = 0 x2(x21)11x(x1)27(x1) = 0 (x1)(x3x211x27) = 0 x = 1或x3x211x27 = 0 当x = 1时，AD = BC = 1 四边形可能为等腰梯形。在程序中实现(VBS):dim a,b,c,p,q,sa=inputbox(请输入三角形第一边的长度)b=inputbox(请输入三角形第二边的长度)c=inputbox(请输入三角形第三边的长度)a=1*ab=1*bc=1*cp=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)q=sqr(p)s=(1/4)*qmsgbox(三角形面积为&s), ,三角形面积在VC中实现#include#includemai