（应用数学专业论文）三个具有时滞的捕食被捕食模型的动力学分析.pdf

摘要 本文主要研究了三个具有时滞的捕食被捕食模型，一个是具有时滞和修改了的h o l l i n g - t a n n e r 功能反应的捕食被捕食模型，另一个是具有比率依赖和连续时滞的非自治三种群 相互作用的捕食被捕食模型，最后一个是修改的l e s l i e - g o w e r 和h o l l i n gi i 型非自治捕食 被捕食模型三个模型从不同的生态学角度进行了分析，得到了这些模型的定性性质和有 关周期解的性态 首先分析了第一个模型，它的时滞是由于捕食者具有负反馈引起的，在这个模型中引 入了b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功能反应函数证明了在合适的条件下系统是持久的，种群的 持续生存在生态学中具十分重要的意义通过分析相应的特征方程，边界平衡位置和正平 衡位置的局部性质分别得到研究；通过构造合适的l y a p u n o v 函数和l y a p u n o v 泛函，得 到了正平衡位置在系统具有时滞和不具有时滞时的全局稳定性对这部分的主要结果，我 们利用m a t l a b 软件进行了数值模拟，进一步验证了我们得出的结论的可行性 接着考虑了第二个模型的正周期解的唯性和全局吸引性应用重合度理论中的连续 性定理，把求正周期解存在性的问题转化成为计算连续映射的拓扑度的问题，从而得到了 系统存在正周期解的充分条件通过构造合适的l y a p u n o v 泛函，证明了正周期解的唯一 性、全局吸引性 最后应用比较原理我们证明了第三个模型的持久性，接着应用s c h a u d e r 不动点定理， 得到当该系统是周期系统时周期解存在的充分条件，又证明了周期系统具有全局吸引的唯 一正周期解 关键词，l y a p u n o v 泛函，持久性，时滞，功能性反应函数 a b s t r a c t t h ed y n a n f i ca n a l ) s i so ft h r e ep r e d a t o r - p r e ym o d e l sl i a sb e e ni n v e s t i g a t e di nt h i sp a - p e r t h ef i r s tm o d e li sap r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hn r o d i f i e dh o l l i n g - t a n n e rf u n c t i o n a lr e - s p o u s ea n dt i m ed e l a y t i ms e c o n dm o d e li sa n o n a u t o n o n l o n st h r e e - s p e c i e sr a t i o d e p e n d e n t p r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hd e l a y s t h el a s tm o d e li san o n a u t o n o m o u sp r e d a t o r p r e ym o d e l o fp r e d a t o rw i t hm o d i f i e dl e s l i e g o w e ra n dh o l l i n gi if u n c t i o n a lr e s p o n s ea n dt i m ed e l a y w ea n a l y z et h em e t h o d sf r o md i f f e r e n te c o l o g i c a lp e r s p e c t i v e sa n dd e r i v et h eq u a l i t ya n d r e l a t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sp e r s o n a l i t i e so ft h e s em o d e l s f i r s t ，w ep r o v et h a tt h ef i r s tm o d e li sp e r m a n e n tu n d e rs o m ea p p r o p r i a t ec o n d i t i o n s t h el o c a ls t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i ai si n v e s t i g a t e d b yc o n s t r u c t i n gas u i t a b l el y a p u n o v f u n c i o n a l s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ed e r i v e df o rt h eg l o b a ls t a b i l i t yo ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u m o ft h em o d e l w eu s em a t l a bs o f t w a r et od on u m e r i c a ls i m u l a t i o nt os h o wt h ef e a s i b i l i t y o fo u rm a i nr e s u l t s t h e nt h ee x i s t e n c ea n dg l o b a ls t a b i f i t yo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nt ot h es e c o n d m o d e li si n v e s t i g a t e d b yu s i n gt h ec o n t i n u a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y , w e t r a n s f o r mt h i sp r o b l e mi n t oap r o b l e mo fc a l c u l a t i n gt h et o p o l o g i c a ld e g r e eo fac o n t i n u o u s m a p p i n g ，a n dt h e ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n i se s t a b l i s h e df o rt h es y s t e m b yc o n s t r u c t i n ga na p p r o p r i a t el y a p u n o vf u n c t i o n a l ，t h e g l o b a ls t a b i l i t yo ft h ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o ni sp r o v e d a tl a s t ，b yu s i n gc o m p a r i s o nt h e o r e ma n dt h ep r o p e r t i e so ft h ee q u a t i o n sw ed e r i v e d t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o na b o u tt h ep e r m a n e n c eo ft h el a s tm o d e l ，w h e nt h em o d e li sap e r i o d i cs y s t e m ，b yu s i n gs c h a u d e rf i x e dt h e o r e n l ，w ep r o v et h a ti th a sa tl e a s to d ep o s i t i v e p e r i o d i cs o l u t i o n ，w ea l s od e r i v et h i sm o d e lh a sau u i q u ep e r i o d i cs o l u t i o nw h i c hi sg l o b a l a t t r a c t i v i t y k e yw o r d s ：l y a p u n o vf l m c t i o n a l ，p e r n l a n e n e e ，t i n r ed e l a y s f u n c t i o n a lr e s p o n s e i i 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致澍的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 签名 堰嗍盈杜j ； 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 躲牧一各睁魄粤刨 1 1 学科概述 第一章绪论 生物数学是以数学方法研究和解决生物学问题，并对与生物学有关的数学方法进行理 论研究的边缘学科它的分支学科较多，从生物学的应用去划分，有数量分类学、数量遗 传学、数量生态学，数量生理学和生物力学等，这些分支是数学与生物学不同领域相结合 的产物，在生物学中有明确的研究范围从研究使用的数学方法划分，生物数学又可分为 生物统计学、生物信息论、生物系统论、生物控制论和生物方程等，这些分支没有明确的 生物学研究对象，只研究那些与生物学应用有关的数学方法和理论生物数学具有丰富的 数学理论基础，包括集合论概率论统计数学对策论，微积分、微分方程线性代数、 矩阵论和拓扑学，还包括一些近代数学分支，如信息论图论，控制论、系统论和模糊数 学等 数学生物学的第一次辉煌由2 0 世纪2 0 至3 0 年代的l o t k a ，v o l t e r r a ，k o l m o g o r o v 等 大师所创造大量实际问题的出现与现代微分方程理论的建立促进了数学生物学，特别是 数学生态学在2 0 世纪7 0 年代的长足进展国内相关研究从2 0 世纪8 0 年代逐渐增多，有 很多的专家和学者在进行这方面的研究，并已取得很好的成果，相关文献可参考陈等f 1 】 本文是用微分方程的定性稳定性理论来讨论生态系统中的种群的一致持久性等问题，从而 为保持生态系统的可持续发展提供了定量的和定性的理论依据，这具有十分重要的现实意 义，同我们的生活也是息息相关的 陈兰荪教授和马知恩教授等奠基人一起开创和推动了我国生物数学的研究，筹建了全 国生物数学委员会，出版了生物数学学报1 9 8 8 年，由数学会、生态学会、生物物 理学会和西安交通大学联合举办了国内第一届国际生物数学会议，是我国生物数学研究发 展的一个里程碑 当今的生物数学仍处于探索和发展阶段，生物数学的许多方法和理论还很不完善，它 的应用虽然取得了某些成功，但是生物数学还要从生物学的需要和特点，探求新方法、新 手段和新的理论体系，还有待发展和完善 当今生命科学的迅猛发展给人留下了深刻印象，然而人类离洞悉整个生命过程奥秘的 目标还很遥远，这是一场需要自然科学各领域专家随着数学和物理学等学科越来越多的 1 第一章绪论 介入生命科学，会给生命科学本身的发展带来意想不到的结果，同时还会引出一些全新的 学科现在至少有两门学科正在呼之欲出；计算生物学，主要从事非线性序列统计分析， 如分维、神经网络复杂性，数学建模、计算数学等另外一门新学科是生物信息学，主 要从事生物信息的获取、处理、储存，分析，解释 1 2 研究背景及现状 在大量的自然与社会现象中有一类确定性的运动规律，它们可以用含有一个自变量的 未知函数及其微分或微商的方程来描述，这类方程即为常微分方程在很多时候，这个自 变量表示时间 然而，在研究自然和社会现象中，客观事物的运动规律是复杂的和多样的一般地说， 在动力系统中总是不可避免的存在滞后现象，亦即是事物的发展趋势不仅依赖于当前的状 态，而且还依赖于事物过去的历史下面给出几个例子- 例1 设x ( t ) 和y ( t ) 分别表示在指定区域内被捕食者和捕食者的个体总数这种种群 间相互作用的v o l t e r r a 方程为 刑铂( 一警) 邢) - 6 州啦， ( t ) = 一a 2 y ( t ) + 6 2 z ( t ) 9 ( t ) ， 其中k 为。( ) 的最大可能数目实际上捕食者的生殖周期是比较长的，设其为r ，则上 式应为 刑劬( - 一警) 邢) _ 6 州籼) ， y l ( f ) = 一a 2 y ( t ) + b 2 x ( t r ) y ( t f ) 例2 两个星球或者两个带电粒子，它们之间的引力传递速度为光速，其运动规律的 精确模型也不是常微分方程组，而应为 一( ) = f l ( z ( t ) 一y ( t r 2 1 ( ) ) ( ) ，口( t r 2 1 0 ) ) ) ， 矿( t ) = ，2 ( ) 一z o r x 2 ( t ) ) 口( ) ，圣( 一r 1 2 ( t ) ) ) 例3 在火箭燃烧的控制理论中，得到方程 u ( ) + ( 1 一n ) u ( t ) + n u ( t r ) = o 2 第一章绪论 以上方程的右端不仅依赖于未知函数z ( ) ，而且依赖于未知函数的过去的值如( x ( t r ) r 0 ) ，所以我们需要考虑时间滞后现象，简称“时滞”现象 对于生物种群之问的相互作用，有时我们必须考虑滞后作用对种群增长的影响，例如 同时考虑捕食被捕食种群的滞后作用，设时滞相同，则两者相互作用的v o k e r r a 方程描述 为 刑( f ) ( ，一警) 蛾 y l ( t ) = 一6 f ( ) + 4 b ( 一r ) y c t r ) 通常形如上面模型的时滞是常数的，我们称为。常数( 或确定) 时滞” 另外还有称为“连续( 或分布) 时滞”的时滞对种群的影响，指的是过去任何时刻种 群的密度均对现在种群的增长速度有影响例如模型 巾) - r 坤) ( ，一警一n 州m s ) d s ) 州= 卵) ( 一6 + 础_ s ) 巾) d s ) 其中k a ( t ) 和鲍( t ) 称为核函数，核函数又分为弱时滞核函数和强时滞核函数，分别形如 k ( s ) = a e 一”和k ( s ) = a n e l ，其中n = 2 ，3 ，4 ， 功能性反应函数传统的捕食被捕食模型具有如下形式 一( ) = z r ( z ) 一g p ( z ) 口讹) = c y q ( x ) 一匆 这里p ( x ) 描述捕食者捕食的能力大小，又被称为捕食者的功能性反应函数通常g ( z ) 被 p ( z ) 代替，而c 是转化率，通常p ( z ) ，q ( x ) 满足非负性，单调增性和在零点取值为零的性 质为了使我们研究的模型更符合实际，在模型中引入了多种功能性反应函数，这些功能 性反应函数都是经过生物学家和数学家经过反复的实验得出的常见的和常用到的具有单 调增性质的功能性反应函数p ( z ) 有下面几种形式t ( 1 ) l o t k a - - v o l t e r r a 型一 p ( 。) ： 譬， 当o z 。时， 【b 当z d 时， 3 第一章绪论 其中b 0 ，它适用于藻类细胞等低等生物； ( 2 ) m i c h a e l i s - m e n t e n 型： p ( z ) = 禹，咖 0 ， 它适用于无脊椎动物； ( 3 ) s i g m o i d a l 型： p ( x ) = a + 生b x + x 2 ，。，6 m o ， j 2 ，o ，d _ “ 0 它适用于脊椎动物 一般分别称上述三种类型为h o l l i n gl ，i i ，i i i 型此外，还有具有单调性的i v l e v 型， 即 p ( x ) = l e - “，a 0 ， 以及非单调的i n h i b i t i o n 型，即 p ( z ) = 丽a x 还有我们称作比率依籁( r a t i o - d e p e n d e n t ) 的功能反应函数，也就是说单位捕食者 的增长率是一个被捕食与捕食者成比率的函数这种观点被许多领域和实验检验并且被研 究【2 】- 4 】一般地，比率依赖捕食被捕食模型具有如下形式， 一( 。= z ，( z ) 一可p ( ；) 鲋归叼a ( ；) 嘶 另外还有所谓的b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功能反应函数，形如 p ( x ) 2 志 的形式这个功能反应函数已被很多文献研究，如【5 h 聊等 上面我们所介绍的功能性反应函数分别适用于不同的生物种群和不同的养殖方式它 们分别在恒化器模型，传染病模型、年龄结构的捕食被捕食模型中被引入，然后应用数学 的方法对模型进行定性和定量的分析当然引入的数学方法多种多样，把数学所覆盖的基 本学科，如数学分析、高等代数，泛函分析拓扑学、近似代数，微分方程等内容综合应 4 第一章绪论 用，得出逻辑性强，步骤严密的结果，所得的结论应用于实践，可预测种群的发展趋势 我们本文所考虑的是常微的捕食被捕食模型，引入了不同的功能性反应函数和时滞 1 3 预备知识 下面的定义和定理是对微分方程系统而言的，x 表示系统所在的完备度量空问 定义1 3 1 9 1 考虑微分方程 等：f 一，( 1 - 1 ) t z ) 面2 ， 其中f ( z ) c ( a 酽，酽) ，令，( p ) 表方程( 1 - 1 ) 的当= 0 时过点p 的解如方程 ( 1 - 1 ) 中的f ( z ) 在g p ；上连续，且满足解的唯性的条件，又设每个解的存在区间为 ( 一o 。，+ ) ，( p t ) g 亦可表示为，( t ) ：g g ，t r ，则变换，具有下列性质t i ，( 尸1 0 ) = p ； i i ，( p t ) 对p ，t 一并连续； i i i ，( ，( p ) t 1 ) ，岛) = ，( p ，t l - 1 - 2 ) 变换的全体 ，( ，) l 一 n ) 那么，方程的一切根均有负实部的充分必要条件是下列不等 式同时成立。 a l 0 ，a 2 0 ，a s 0 ，n 一1 0 d ，i 0 定理1 3 1 1 1 14 1 对于二阶超越多项式方程 a 2 + p a + r + ( s a + q ) e 一”= 0 ， ( 1 - 4 ) 这里p ，q ，r ，8 是实效，当7 - = 0 时，方程( 1 4 ) 变为 舻+ ( p + s ) a + ( q + r ) = 0 ，( 1 - 5 ) 如果( h 1 ) p + 8 0 ，( 趣) q + r 0 成立，则( 1 - 5 ) 的所有根具有负实部还有条件 ( 风) 8 2 一p 2 + 2 r 0 或( s 2 一矿+ 2 r ) 2 0 ，8 2 一矿+ 2 r 0 和( s 2 一矿+ 2 r ) 2 4 ( r 2 一q 2 ) ， ( i ) 如果( 研) 一( 飓) 成立，则方程( 1 4 ) 的所有根具有负实部( 对所有_ r o ) ， ( i i ) 如果( 皿) ，( 如) 和( f f 4 ) 成立，则当r 【0 ，付) 时，方程( 1 4 ) 的所有根有负实部， 当t = 寸时，方程( 1 4 ) 有一对纯虚根士 ，r 付时，方程( 1 4 ) 至少有一个正实部的 根其中 u 至= i 1 ( s 2 一矿+ 2 r ) 士【( s 2 一p 2 + 2 r ) 2 4 ( r 2 一q 2 ) 】 于= 击s 警杀笋) 罂小叭，。， 7 | | 2 虮 = 第二章具有时滞和修改了的h o l l i n g t a n n e r 功能反应捕食被 捕食模型分析 2 1 模型的建立与描述 捕食被捕食模型的动力学分析在生物数学中具有重要的意义，并已被许多作者研究， 如文献【1 5 一【19 】在文献【1 5 中，作者考虑如下的捕食被捕食模型， 扪1 一云) 一y p ( z ) ，h 心一耕 x ( o ) 0 ，( 0 ) 0 ，r ，s k ，h 0 ( 2 - 1 ) 其中z 是被捕食种群，y 是捕食者种群，被捕食者种群是具容纳量k 的l o g i s t i c 增长， 并且在没有捕食者的情况下有内禀增长率r 捕食者以功能反应p ( x ) 消耗被捕食者并且 是l o g i s t i c 增长具有内禀增长率s 和与被捕食者成比率的容纳量，参数h 是当y 等于x h 时被捕食者被单个捕食者所消耗的数量 最近有的作者对模型( 2 - 1 ) 做了合理的修改，得出新的模型再进行定性稳定性的研 究，如文献 1 6 中，作者考虑了如下的具有时滞和修改了的l e s l i e - g o w e r 和h o l l i n g - i i 型 功能反应的模型t 堋= ( n t 一啡) 一雨o y 柏( t ) 碱 以归( n ：一糕) 卵卜 也有大量学者对带有b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功能反应的捕食被捕食模型感兴趣；如 模型t 一( ) = z ( r 一芦) 一再i a x y 而 口似) = - d y + 再百, 3 x y 而 u t 十c u ( 2 - 2 ) 考虑环境变化时，范猛和况阳【5 5 对非自治系统( 2 - 2 ) 做了系统的全局动力学分析 8 蔓三里墨查堕翌塑堡墼i 盟些! ! 喳旦! ! 竺垫重星堕塑鱼堕塑鱼塑型坌堑 并证明了具有b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 功能反应的捕食被捕食模型呈现更丰富的和合理的 生物动力学性质 上面文献中的研究角度和方法启发我们考虑新的模型。因为时滞在许多生物动力系统 中起着十分重要的作用，在相关的生态学中，已认为时滞导致了种群的稳定和不稳定的结 果为此，本章中，我们引入b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功能反应和时滞到模型( 2 - 1 ) 中，得 到了如下模型， w = r t , 弛) = 警捌班警 6 ：兰，：一s h ，n l ：导，c i ：竺，r ：厄 黧( t ) = x 胁c t 儿) ( 1 - 篇二 陋。， 洲恻卟一蚓 i p 叫 x ( o ) = 妒( 口) 20 ，f ( 口) = 妒( 口) 0 ，0 【- - t ，o ) ，庐( 0 ) 0 ，妒( 0 ) 0 ( 2 - 5 ) 其中9 ( 口) ，砂( 口) 是在区间【一r 0 】上的连续有界函数 由于生物学原因，我们仅在霹的内部考虑模型( 2 4 ) 引理2 1 1 具初始条件( 2 - 5 ) 的模型( 2 - 4 ) 的解被定义在 0 + x ) 并且对所有t 0 都为正 引理2 1 1 的证明类似于【1 7 】中引理2 1 的证明，我们省略掉 9 糯 鞒 第二章具有时滞和修改了的h o l l i n g - t a n n e r 功能反应捕食被捕食模型分析 引理2 1 2 对模型( 2 4 ) 的任一正解z ( t ) = ( z ( ) ，g ( ) ) ，存在一个t 0 ，使得对t t 有 z ( ) 1 ，y ( t ) 朋j ，( 2 - 6 ) 其中 n 如= 等 证明：根据模型( 2 4 ) 的第个方程，我们有 z 7 ( ) sz ( ) ( 1 一z ( ) ) ， 由比较原理，存在一个7 1 0 使得对所有t 矸，我们有 z ( ) 1 从模型( 2 - 4 ) 的第二个方程，对所有t 7 1 + r ，我们有 ( ) y ( ) p p ( 一r ) 】，( 2 7 ) 又由 f 似) 曲( ) ， 上式意味着 y ( t ) y ( t r ) e ”，( 2 - 8 ) 将( 2 - 8 ) 代入( 2 7 ) ，得到 9 ( ) ( t ) p p e - 6 - r g ( ) 】， 由比较原理，存在个t 正+ r ，对所有t l 我们有 小) 等：= 证毕 定理2 1 3 假设( 日1 ) a l + c l m 2 一m 2 0 成立，则模型( 2 - 4 ) 是持久的 证明；假设z ( t ) = ( ( ) 9 ( ) ) 是具初始条件( 2 - 5 ) 的模型( 2 4 ) 的任解根据模型 ( 2 4 ) 的第一个方程，从引理2 1 2 ，对所有t t ， 邢胁( f ) ( 1 刊一a l + l c l m 2 、 1 0 蔓三雯墨壹堕堂塑丝堕工箜垫坐! 里! ! ! 塑墼星鏖塑堡夔塑堡夔型坌堑 则由比较原理，存在一个t i t ，对所有t 7 i ， ，( ) _ a l + 再c l 石m 2 - m 2 ：= m 由模型( 2 4 ) 的第二个方程，对所有 乃+ f ，我们有 扒蛇卵，p 一掣 ， 则有 巾) 一i t i m 2 ， 上式意味着 9 0 一f ) t 2 ，只要 t + ，则具初始条个件( 2 - 5 ) 的模型( 2 4 ) 的任何正解最终趋于 并保留在区域d 中 2 2 平衡位置的局部稳定性分析 显然，具有初始条件( 2 - 5 ) 的模型( 2 - 4 ) 有唯一边界平衡位置毋= ( 1 ，0 ) ，_ 并且有唯一 的正平衡位置驴，其中 牡尘杀警丝一= 分 = ( ”占一万c 1 6 + ；) 2 + 训6 + c l ；) 第二章具有时滞和修改了的h o l l i n g - t a n n e r 功能反应捕食被捕食模型分析 模型( 2 - 4 ) 的变分矩阵在e 1 的值为 j 1 故在e 1 处的特征方程为 ( a + 1 ) ( a 一6 + , 3 e 一”) = 0 a = 一1 是负的特征值，我们只需考虑方程 a = j 一口e 一 7 当r = 0 时，假如6 一p t o 时，晶变的不稳 定模型( 2 4 ) 在e 点的变分矩阵为 邶卜b 一一警 i 则在e + 处的特征方程为 a 2 + a a + ( b a + g ) e 一 7 = 0 ，( 2 - 1 0 ) 其中 a = 矿一葡等辛南 b = 抗 c = j ( 矿一丽辫南) + 嚣端 当r = 0 时，方程( 2 - 1 0 ) 变为 a 2 + ( a + b ) a + c = 0( 2 - 1 1 ) 假如( h 2 ) a + b 0 ，( h 3 ) c 0 成立，则方程( 2 1 1 ) 的所有根具有负实部，因 此，平衡位置驴是局部渐近稳定的 1 2 打 忐舻 一 一j 第；章具有时滞和修改了的h o l l i n g - t a n n e r 功能反应捕食被捕食模型分析 当r 0 时，我们讨论具有负实部的根随r 的增加的变化情形 令a = i w 是方程( 2 - 1 0 ) 的根，然后通过分离实部和虚部我们得到 c e 0 8 w r + b w s i n w r = u 2 ( 2 - 1 2 ) b c o s w t cs i n t = 一 我们得到 u 4 + ( a 2 一b 2 ) u 2 一俨= 0 ( 2 - 1 ：3 ) 明显的，方程( 2 - 1 3 ) 有一个正根瑶，将埔代入( 2 - 1 2 ) 并且解出1 - ，我们有 o ) 0 ”叫鬻) + 等，一，l 2 ，3 ，2 一”c c o s l l 萝葺i 瓦尹j + i 了”2 o ，l 2 ，3 ， 则由超越方程的零点标准定理，参见( 【2 0 】，定理4 1 ) ，我们有如下定理： 定理2 2 4 假如( h 2 ) 和( 日3 ) 成立，当r 0 成立，则平衡位置e + 是全局渐近 稳定的 证明：构造如下l y a p u n o v 函数 ) = x - z * - x * l n ；+ j 矿- f y * 张， 然后，沿着( 2 - 1 4 ) 的解对v 求导，得到 y ，：型。，+ 业矿 z y = ( 。g - - x * ) 一( z z + ) + 五_ 南一五_ ；百 ；面 + 国一，+ ) 旷( f 一矿) 一z 。( y y ) = ( z z ) f 一( z z + ) + 石i j 五= - 车：i ；聂i 一丽告b x 器c l y b xc l y ) 1 j + 麦( 叫) - 华( l + + ) ( 口l + + 胁、 ” z s x - x * ，2 + x - x ) 2 + 石0 等j 老；车；笔弓丢三鹄 + 去( ) ( ) _ 华， 应用不等式a 2 + 6 2 2 a b ，对t p 我们有 纠一) 2 + 鲁c 下+ ( 去+ 麦) 坚掣一华 一1 一去一石1 一去) ( 茁。) 2 一( 一石1 一嘉) ( 可- 矿) 2 假如定理条件成立，则v 是负的，由l y a p u n o v 定理( 见【2 0 ，推论5 2 ) ，得到正平衡 位置e + 是全局渐近稳定的 索弹2 3 6 假设模型f 2 4 1 满足条件f h l l 和下面条件 ( 扣石b 一旦m l 一笔( 1 + 型m 1 2 。 ( 日5 ) f 2 = 卢一旦m l a l 一丝m 1 2 一- 1 。 则p 是全局渐近稳定的 1 4 整三童墨查堕塑塑堡堕工鲤墅! ! ! 竖：婴! 竺堕堂星堕煎堡墼塑堡堡型坌堑 证明：设z ( ) = ( z ( ) ，( ) ) 是模型( 2 - 4 ) 的任一解，定义 “( ) = ( u l ( t ) “2 ( ) ) ，z ( ) = z e ”1 “，f “) = 旷e “2 ” ( 2 1 5 ) 根据模型( 2 - 4 ) 和式子( 2 1 5 ) 我们得到 “：o ，= 一z c e m “，一，一i i 了1 ：i # ：高丢苗； 1 ；( ) = +雨丽警糕，(2-16)bx(tc l y。( o l +) + c l g ( ) ) ( 讪+ 6 矿+ ) p p + ( e “- o 一7 ) 一1 )芦矿( e ( 一7 ) 一1 ) 令 k l ( ) = i 1 ( t ) i ，( 2 - - 1 7 ) 沿着( 2 - 1 6 ) 的解计算v n ( t ) 的右上导数，由( 2 - 1 6 ) 和( 2 - 1 7 ) ，我们得到 。+ k ，c 一矿l e m ( 0 - 1 l + 竺若i ：三芋鼎+ i 轰三：端 = 一g 一而b x * y * ) i 矿刈+ 而y 。* 十( a i 衄+ b 帕x * ) 引i e t b ( t ) - - 1 l 一z + 去i e 1 ( 0 - - 1 + 善l e m “) 一1n 10 1 ( 2 - 1 8 ) u 孙) = 习f - ”竹_ 1 ) 一i p 球叫一1 ) = 为f m l ，) _ 南州掣幽一嵩f 雄) _ t ) ( 煳， + 搞，俨掣以 眺小坯囊1 裂嚣p 挚，t ，一禹 ，一掣蚺禹产掣眠 一 1 5 j 壁三兰- 垦宣堕塑塑丝堕工塑里监塾! ! 竺堕篮星堕塑垒墼塑鱼堕型坌堑 由引理2 1 - 2 和定理2 1 3 ，则存在一个p 0 对所有的 t 使得( 2 - 9 ) 成立 接下来，我们令t p 并用( 2 9 ) 式，则式( 2 2 1 ) 变为如下， d + 酬堂m lp 州_ 1 i 呐1 e 2 ( 0 - 1 i + 箸【，一p p ，刈 + 弗筹赫+ 丽葡b x y 瓣l e t ( ) - i i) d s 十石再再面而万丽i 丽+ 石瓢再面丽百面i 丽 ：筹，删鬻+型x(s。、-r)1x(s 幽 m l 一f 【一7 ) 。 ” 等一”一i f - 励垆一1 l 定义 + 器扣+ 扣虬i + 和虬 励k “，( 一7 ) 一1 由( 2 - 2 2 ) 和( 2 - 2 3 ) ，我们得到 4 f l y l e 2 ( s - ) - 1 k ( z ) = k i ( ) + p 匆( ) ( 2 2 3 ) 眺( f ) = p ，y * l e m ( t ) = - 1 卜励j c 吲”。- l j + 塑m x ( 1 + 轫舢- 1 | + 塑m l a l 一- l f + 警i e q ( o - - i i + 挈妒- - - i 椰- i = f ，盟m l + 筹( + + 等圹e - ( 0 - 1 i 一p 一去，一警，+ ) p 水 1 22 ， 如 & 1 f d 、l， ，(lf 丝舰 + 逆定们我 后然 刚 垆 胁 阜堑机。 h + l i o 叫 u 产 ( r 一 叫 堑护 印 t + + _ r 其中 d + 一z l z f e “l ( ) 一1 i 一1 2 y l e “2 ( ) 一1 1 ， ( 2 - 2 5 ) z - = 石b 一旦m l 一+ 主卜可3 m = s r m - 7a l ， n 2 石一一l 1 十一j 一石 f 2 ：口m i & 啤一1 1 1 1 a lm l n l 因为模型( 2 4 ) 是持久的，存在一个p 0 ，对所有的t p ，我们有 由中值定理，我们有 矿e u l ( 2 ) = x ( t ) m l 圹e “。( ) = y ( t ) m 2 z 。l e “- 【= 矿e 0 - “) l u l ( ) i2m l f u l ( 吼 矿l e “。( i = 矿沙o ) l u 2 ( ) l m 2 l t 2 ( 吼 其中一e 9 ，( 。) 处于z ( t ) 与矿，旷e 0 2 ( ) 处于( ) 与y 之间令q = m i n m l z l ，m 2 f 2 ，由 ( 2 - 2 5 ) ，对所有t p ， d + v ( t ) s - z ( 1 u , ( t ) i + l u 2 ( t ) 1 ) ， ( 2 - 2 6 ) 由v ( t ) i u l ( t ) i + l u 2 ( t ) l ，又由l y a p u n o v 定理和式子( 2 - 2 6 ) ，我们得出( 2 - 1 6 ) 式的 零解是全局渐近稳定的，因此，模型( 2 - 4 ) 的正平衡位置驴是全局渐近稳定的 1 7 蔓三童墨壹堕塑塑堡堕工塑墅! 塑堡! 竺望整星堕塑鱼堕塑堡竖型坌堑 2 4 数值模拟 本章我们已研究了一个捕食者具有负反馈的具有时滞的捕食被捕食模型我们的主 要结果显示时滞在决定系统的持久性中起着十分重要的作用，定理2 2 4 表明时滞能使一 个稳定的平衡位置变成不稳定，也就是有一个分支值o 它使得当f 丁0 ，e + 变的不稳定我们取 m = 4 ，b = 3 ，c l = 2 ，6 = 2 5 ，卢= 1 5 ，则条件( h 2 ) 和( h 3 ) 在定理2 2 4 中成立，数值 模拟显示出f 分支出周期懈( 见图2 1 ) 圉2 - 1 具有初始条件( 日) = o 5 ，妒( 口) = 1 定理2 3 5 和2 3 6 显示在合适的条件下系统( 2 - 4 ) 的唯一的正平衡位置将时全局渐 近稳定的为了验证定理2 3 6 的可行性，我们考虑下面的模型t 圳刊( 1 叫啪一面老鬻丽， ”他揪， 3 一等等 1 8 蔓三里墨宣堕塑塑丝堕i 鲤墅! ! 垫壁墅! ! 垫蹩星堕塑堡墼塑堡堡型坌堑 当时滞7 - = o 0 5 时，容易证明定理2 3 6 中的条件( h i ) ，( h 4 ) 和( h 5 ) 被满足，如下 图2 2 ： 图2 - 2 具有初始条件咖( p ) = o 5 ，妒( 口) = 1 第三章具有时滞的非自治比率依赖三种群捕食被捕食系统的周 期解 3 1 模型的建立与描述 关于比率依赖捕食被捕食系统的定性分析是一个有趣的数学同题，并且得到t 讦多 数学家和生物学家的关注【2 l 】- 【2 5 】，他们主要集中在对系统全局稳定性和持久性分析近 来，徐和陈【2 1 】研究了如下具有时滞的三种群比率依赖捕食被捕食系统。 z ：( ) = z t ( t ) 0 1 - - a l lj ( ”髓( s ) z - o s ) d s 一；i 淼) ， 坝归硝t ) ( - a 2 + a 2 1z 。琊) 面舞扣j , 2 3 2 3 竺( t 业) 4 - x 2 ( t ) , 、, ， z 3 ( t 两( c ) ( 咱+ 咖j ( 。m ) 面毋如) ， 【3 - 1 j 且有初始条件 x i ( s ) = 咖( s ) ，s ( 一o o ，0 】，也( o ) 0 ，i = 1 ，2 ，3 ( 3 - 2 ) 其中也( f ) ( = 1 ，2 ，3 ) 分别代表被捕食者的密度，捕食者的密度和最高捕食者的密度 o i ( i = 1 2 3 ) 是连续有界函数；n 1 0 , 2 ，a 3 a l l ，a 1 2 ，n 2 l ，d 2 3 ，a 3 2 m 1 2 和m 2 3 都是正常 数k ( ) ：( 0 o 。) 一( 0 ，。o ) 是斑块连续和标准化函数并且满足 z 2 尬( s ) 幽= 1 ；仉= j ( 。s 尬( s ) d s 0 ，i = 1 ，2 ，3 ( 3 - 4 ) 其中a l ( ) n 2 ( t ) ，n 3 ( t ) ，a l l ( t ) ，a t 2 ( ) ，也1 ( ) ，口( ) 0 3 2 ( t ) ，m 1 2 ( t ) 和m z 3 ( t ) 都是严格正 的、连续的以u 为周期的周期函数本章的目的是应用文献 2 6 】中的重合度理论中的连 续性定理，得到系统( 3 - 3 ) 至少存在一个u 周期解的条件我们的主要结果是下面的系统 ( 3 - 3 ) 的u 正周期解存在性定理 容易证明具有初始条件( 3 - 4 ) 的系统( 3 - 3 ) 的所有解定义在 0 ，0 0 ) 并且对所有t 0 解都为正所以本章中满足初始条件的系统( 3 - 4 ) 的所有解都是正的 3 2 周期解的存在性 接下来，我们将采用如下定义t ，= 三f ，0 ) d r ，f l 卸m i n u 】f ( 巩f m 即m a x 叫s ( 吼 其中，严格正连续u 周期函数 定理3 2 1 假设如下条件 ( a 1 ) 面2 西 ( a 2 ) t t 2 3 面1 m 2 3 而+ n 1 3 ， ( 3 - 5 ) ( a 3 ) m 1 2 面面2 ， 成立，则系统( 3 - 3 ) 至少存在一个正u 周期解 2 1 第三章具有时滞的非自治比率依赖三种群捕食被捕食系统的周期解 为了证明定理3 2 1 ，我们首先引入下面的定义 设x 和y 为两个实巴拿赫空问，l ：d o m lcx y 是一个零指标f r e d h o l m 映射( 也就是像l 在y 中是闭的并且核l 的维数等于像的余维并且是有限的) 则存 在连续映射p ：x x ，口：y y 使得i m p = k e r l ，k e r q = i m l 和x = l ( e r l 0k e r p ，y = i m l o i m q l p 是在d o r n l nk e r p 上的限制，我们将乙表 示为名：l m l ，k e r p n d o t a l 厶嵌入因为q 的像到l 的核是同构的，表示为 j ：i m q _ k e r l 为方便起见，介绍重合度理论中的连续性定理如下见文献【2 6 】： 引理3 2 2 令q c x 是