（计算数学专业论文）具有指数型内部源及边界流多重耦合的抛物方程组的奇性分析.pdf

摘要 本文研究的问题是具有指数型源或边界流及它们之间相互耦合的非线性反 应扩散方程( 组) 解的性质，例如解的整体存在性、有限b l o w u p 性及b l o w u p 速 率等，通过考察所研究问题非线性机制与解的奇性之闫的关系，引入了和系统参 数有关的特征线性方程组，利用这个线性方程组的解( 或特征参数) 简洁明了地 刻画了系统解的整体存在和有限时刻b l o w - u p 的判断准则( 临界b l o w - u p 指标) 和解的奇性传播；在只有源或边界流耦合时，给出了在适当条件下解的最大模 b l o w u p 速率的估计，这个估计恰是特征参数为指数的幂的自然对数另外，本文 中还对具有局部化源的反应扩散方程组解的性质进行了研究，特别是对b l o w - u p 解边界层的较为细致的分析本文得到的主要结果概述如下： ( 1 ) 对于方程组u t = a u + a 扩l u + q ”，轨= a v + p e + q 2 ”的齐次d i r i c h l e t 初 边值同题，本文通过引进线性方程组 塞) ( ；) = ( 。1 ) 给出了其临界b l o w u p 指标 。，m ；在径向对称的条件下，给出了解的b l o w - u p 速 率及逐点估计，其中解的b l o w - u p 速率为s u p u ( - ，t ) = o ( i o g ( t 一矿。) ，s u p v ( ，) = o ( 1 0 9 ( t t ) 一4 ) ( 2 ) 对于方程m = a u ，毗= 经由边界条件丽o u = e p l u + q ”，貊o v = p e p 2 u + 螂 耦合的初边值问题( 非线性边界流) ，本文通过线性方程组 q 2 ( f l 。) = ( ；) 给出了其临界b l o w - u p 指标t 。，口) ；在径向对称的条件下，给出了解的b l o w 。p 速 率及逐点估计，其中解的b l o w - u p 速率为s u p u ( ，t ) o ( 1 0 9 ( t t ) - c , ) ，s u p ”( ， ) ： ( 1 0 9 ( t t ) 一4 ) ( 3 ) 对于方程组砘= a u + , 、e p l “+ ”，钆= 口+ p 驴”+ q 2 ”的齐次n e u m a n 初边 值问题，本文同样引入与( 1 ) 相同的线性方程组，给出了所研究问的临界b l o w 。口 指标j ( 。，p ) 和b l o w - u p 速率；在一维的情况下，讨论了解的逐点估计及初值对b l o w u p 集的影响其中解的b l o w u p 速率为s u p u ( ，t ) = o ( o g ( t 一) 一a ) ，s u p ( ，t ) ： o ( 1 0 9 ( t 一矿印) ，与齐次d i r i c h l e t 边值的情形类似 ( 4 ) 对于方程组u t = “+ a l e p l l “+ p 1 2 ”，仇= 口+ j , 2 e p 2 1 ”+ p 2 2 ”具有n e u m a n n 边值鬻= ，e q l l u + m ”，器= p 2 e “一”的问题，本文通过引入线性方程组 ：( 麓) = ( 训k l + ( 1 ，俐- k 1 ) ：) ， 其中r m 。= k i p i j + ( 1 一k ；) 吼，】2 2 为2 x 2 的矩阵，k l ，2 ( 1 ，o ) ，给出了所研究 问题的临界b l o w u p 指标j 本文所讨论的模型中，非线性参数为任意实数，但要求耦合参数为非负实 数 ( 5 ) 本文对具有局部化源的d i l i c h l e t 初边值抛物方程组问题进行了研究，讨 论了解的整体存在和b l o w u p 的条件、b l o w u p 速率、渐近估计以及边界层等 关键词：非线性抛物方程( 组) ，非线性边界流，非线性反应，整体存在，b l o w - u p ， 临界指标，渐近行为，b l o w u p 速率，b l o w u p 集 a b s t r a c t t h em a i np r o b l e m ss t u d i e di nt h i st h e s i sa r et h ep r o p e r t i e so ft h es o l u t i o n st o r e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m sc o u p l e dv i an o n h n e a rs o u r c e so r ( a n d ) n o n l i n e a rb o u n d a c y f l u xw i t he x p o n e n tt y p e ，s u c ha sg l o b a le x i s t e n c e ，n o n - g l o b a le x i s t e n c e ，a n db l o w u p r a t e ，e t c b a s e do no b s e r v i n gt h er e l a t i o nb e t w e e nt h es i n g u l a r i t yo fs o l u t i o n sa n d t h em m l i n e a rm e 出a n i s mo ft h es y s t e m sc o n s i d e r e d ，t h es oc a l l e dl i n e a rc h a r a t e r i s t i c a l g e b r a i cs y s t e m sa r ei n t r o d u c e d t h es o l u t i o n so ft h ea l g e b r a i cs y s t e m s ，o rc h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e r s ，a r ev e r yc o n v e n i e n tt od e s c r i b et h ec r i t i c a ie x p o n e n t sa sw e l la s t h ep r o p a g a t i o n so fs i n g u l a r i t i e so fs o l u t i o n sf o rt h er e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m s f o rt h e c a s ew i t ho n l yi n n e rs o u r c e so rb o u n d a r yf l u xc o u p l i n g ，t h eb l o w u pr a t e so fs o l u t i o n s a r eo b t a i n e du n d e rr e a s o n a b l ec o n d i t i o n s ，w h i c h j u s ta x et h el o g a r i t h mo ft h ep o w e r s o ft h ec h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e r s i np a r t i c u l a r ，t h er e a c t i o n d i f f u s i o ns y s t e m sw i t hl o - c a l i z e dn o n i l q e a rs o u r c e sa r ed i s c u s s e da l s ow i t ha p r e c i s ea n a l y s i st oe v o l u t i o no ft h e b o u n d a r yl a y e r si nt h eb l o w - u ps o l u t i o n s t h em a i nr e s u l t so b t a i n e di nt h i st h e s i sa r e s u n l m a r i z e da sf o l l o w s ： ( 1 ) f o rh o m o g e n e o u sd i r i c h l e ti n i t i a l - b o u n d a r yp r o b l e ma b o u tt h es y s t e m “t = u + e p l ”+ 9 p ，。= a v + # e p 2 “+ 。，t h r o u g hi n t r o d u c i n gl i n e a ra l g e b r a i cs y s t e m ( 茏意) ( ；) = ( ：) ， w eo b t a i nt h ec r i t i c a l e x p o n e n t 丑。，口) ；u n d e rt h er a d i a ls y m m e t r i c c o n d i t i o n ，w eg e t t h eb l o w pr a t e sa n dt h e p o i n t w i s e e s t i m a t e so ft h es o l u t i o n s ，t h e r e i n t ot h e b l o w - pr a t e s e s t i m a t e so f t h es o l u t i o n s a r e s u p u ( ，t ) = o ( 1 0 9 ( t 一) _ 0 ) ，s u p v ( ，t ) = o ( 1 0 9 ( t t ) 一4 ) ( 2 ) f o ri n i t i a l - b o u n d a r yp r o b l e m 毗= a u ，仇= a vc o u p l e dv i ab o u n d a r yc o n d i t i o n s 舞= a e p “蜘”，舞2t z e p 2 u + ”( n o n l i n e a rb o u n d a r y 丑1 1 ) c ) ，w eo b t a i nt h ec r i t i c a l e x p o n e n t ，( n ，) t h r o u g hi n t r o d u c i n gt h el i n e a ra l g e b r a i cs y s t e m p ：l 驰q 1 ) ( ；) = ( ；) ； u n d e rt h er a d i a ls y m m e t r i cc o n d i t i o n ，w eg e tt h e b l o w - pr a t e sa n dt h ed o i n t w i s e e s t i m a t e so ft h es o l u t i o n s ，t h e r e i n t ot h eb l o w pr a t e se s t i m a t e so ft h es o l u t i o n sa r e s u pu ( ，z ) = o ( 1 0 9 ( t 一) 一o ) ，s u pu ( ，t ) = o ( 1 0 9 ( t t ) 一4 ) i n ( 3 ) f o rt h es y s t e mu t = a u + e p l “+ q 1 ”，v t = a v + # e p 2 “+ 驰”w i t hh o m o g e n e o u s n e u m a n n b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，w e o b t a i nt h ec r i t i c a le x p o n e n t ，p ) a n d b l o w - u p r a t e s t h r o u g hi n t r o d u c i n gt h es d 3 i l el i n e a ra l g e b r a i cs y s t e m a si n ( 1 ) ；a tt h eo n e - d i m e n s i o n a l c a s e ，w eo b t a i nt h ep o i n t w i s ee s t i m a t e so ft h es o l u t i o n sa n dd i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e n i n i t a i lv a l u ea n dt h eb l o w - u ps e t ( 4 ) f o rt h es y s t e m “t = a u + ；q e p l t u + m ”，仇= + 2 e p 2 1 计蚴”w i t hn e u m a n n b o u n d a r yc o n d i t i o n s 器= 肛1 e 玑州如”，器= # 2 e 啦心+ 蚴”，w ei n t r o d u c es o m el i n e a r a l g e b r a i cs y s t e m s ：( 麓) = ( k 1 + ( 1 - k 1 ) 2 ) ， w h e r e r t ，幻= k i p i 3 + ( 1 ) 哟 2 2i s am a t r i x ，k l ，k 2 l ，o ，u s i n gt h es o l u t i o n s o ft h el i n e a ra l g e b r a i cs y s t e m s ，w eo b t a i nt h ec r i t i c a le x p o n e n to ft h ep r o b l e m t h en o n l i n e a rp a r a m e t e r si nt h em o d e l 8c o n s i d e r e di no u rt h e s i sa r ea n yr e a l n u m b e r s ，w h i l et h ec o u p h n g o n e sa m o n gt h e ms h o u l db e n o n n e g a t i v e ( 5 ) f o rp a r a b o l i cs y s t e m sw i t hl o c a l i z e dn o n l i n e a rs o u t c 器，w es t u d yt h ep r o p e r t i e s o ft h es o l u t i o n s ，s u c ha sg l o b a le x i s t e n c e ，n o n - g l o b a l e x i s t e n c e ，a s y m p t o t i cb e h a v i o ra t b l o w u pt i m e ，a n de s t i m a t e so fb o u n d a r yl a y e r k e yw o r d s ：n o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ( s y s t e m s ) ，n o n l i n e a rb o u n d a r yf l u x ， n o n l i n e a rr e a c t i o n ，g l o b a le x i s t e n c e ，b l o w - u p ，c r i t i c a le x p o n e n t s ，a s y m p t o t i cb e h a v i o r ，b l o w u pr a t e ，b l o w - u ps e t l 绪论 本章首先介绍文中所研究问题的实际背景、目前的发展现状以及本文的主要 结果最后简述本文所涉及到的主要知识基及理论工具一极值原理、比较原理 和抛物问题解的g r e e n 重表示公式 1 1 问题的背景、意义及发展现状 我们知道自然界中凡涉及到任何质变现象的讨论，或者在涉及到空间分布及 与时间变化有关问题的讨论，大多不能用线性模型来精确刻画，这就必然要与非 线性模型，特别是非线性偏微分方程( 组) 打交道；因此非线性问题成为现代数学 中重要的研究对象然而在研究非线性模型时，由于模型中的参数关系复杂性， 导致了模型具有很多的奇性，这给模型的研究带来了很多的困难随着数学工作 者及其他学科的工作者的努力，数学在理论和方法上取得了很大的的进步。数学 工作者及其他学科的工作者各显其能，充分利用现代数学工具解决复杂的非线性 问题然而，人们发现，对非线性问题的研究不存在一劳永逸的工具和方法；这 种现象又充分体现了非线性问题的极端复杂性，也直接反映了自然规律的极端复 杂性非线性抛物方程( 组) 解的性质是一类非常典型的问题。其非线性可以来 自反应项、对流项、扩散项( 高阶项) 、边界项( 非线性边界流) ，以及由它们所 形成的各种不同的耦合关系所有这些各不相同的非线性都有可能导致解的奇性 的产生，奇性包括：解在有限时刻b l o w u p ( b l o w - u p ) 、熄灭( e x t i n c t i o n ) 、“ 淬火”( q u e n c h i n g ，导数b l o w u p ) 等，这些性质都有其相应的实际意义，它们 分别对应的实际现象是( 固体燃料) 爆炸、( 种群) 灭绝、( 金属) 淬火等上述 各种非线性间的相互作用，加之各分量之间的非线性耦合作用( 竞争、互惠、交 叉扩散等) ，使得产生( 或消除) 奇性的规律性极其复杂 我们知遭，对于一致抛物的方程( 组) 来讲关于时间变量总是存在局部解 的接下来很自然就应提到解是否关于时间整体存在；如果解不整体存在，判断 的条件是什么，最大存在时间如何估计；解在最大存在时刻附近的状态如何等等 大连理工大学博士学位论文：具有指数蛩源及边界流多重耦合的抛物方程缎的奇性分析 问题对于非线性问题而言，很难给出一个统一的答案就象前面我们所叙述的 那样，随着人们对事物的进一步认识及物理和化学现象的研究，人们发现了某些 模型的内在本质，得到了一些较为深刻结果，提出了解的整体存在、有限b l o w - u p 及l 瞄界指标等概念下面我们就简述一下关于这些问题已有的部分结果 关于临界指标的开创性工作是h f u j i t a 对方程饥= u + 舻的c a u c h y 问题 的研究结果，见文献 1 9 】其主要结论为：p c ( n ) = 1 + 2 n ，( a ) 若1 1 ) 在文献 1 3 ，7 ，4 9 中，作者得到了关于齐次方程u f “具有边 2 第l 章绪论 值磬= u p 问题解的b l o w - u p 速率，其结论为m “u = o ( t t ) 一可而 1 ) 有 关具有第一齐边值方程组u fa u + 扩 n ，仇= u + 7 l p 2 口“的b l o w u p 速率，在 f 6 5 1 中，郑新宁通过引进线性方程组 ( m i 1 q 2 2 ，) ( ；) = ( i )lp 2一l lt 臼一l 在一定的条件下给出了问题解的b l o w u p 速率为m a x u = o ( t t ) 一，m a x 。= o ( t t ) 后来王明新在文献【5 8 中对 6 5 的条件进行了改进此外，王明新和 j d r o s s i 在文献 5 9 ，5 0 】给出了齐次热传导方程具有边界条件舞= 扩- ”乱，煞= , u p 27 ) q 2 解的b l o w u p 速率，其结果为m a x “= o ( t 一) 2 ，r l l a x u = o ( t t ) 一9 2 mf i l a ，林枝桂，谢春红，sf u ，王明新等分别在文献( 1 4 ，3 6 ，5 3 ，6 0 】中研究了幂 形式源与边界流耦合的半线性方程( 组) 的f l 缶界b l o w u p 指标或解的b l o w u p 速 率等问题 有关在b l o w u p 日寸刻的渐近行为，到目前我们只见到关于方程式在这方面的 结果，例如yg i g a 等在 2 5 1 中研究了u f u + 扩，得到了u ( ，) 口一t ) 4 = 熹 ) 的有界性及在b l o w u p 点z 处有l i m t + t u ( z ，t ) ( t t ) 口= 矿；在文献【4 0 】中，w 、 l i u 等研究了指数型反应项的方程u t = a u + e ”，在d i r i c h l e t 初边值及n 2 下 得到了l i m _ te “【”( t - t 】。”r ”( t t ) = 0o rl 另外一类重要的结论是关于非局部反应项和局部化反应项问题的研究这类 问题中，方程的形式为u t = a u + 9 ( t ) ，其中g ( t ) 可与“有关这类问题的模型是 在文献f 8 ，4 4 】中提出的此后，数学工作者对这类问题的性质进行了研究 j m c h a d m a 在文献 9 】中，对方程毗= a u + f ( u ( x o ，t ) ) 的c a u c h y 问题及d i r i c h l e t 和n e u m a n n 初边值问题进行了讨论，得到了有关解的整体存在、有限b l o w ，u p 积 b l o w u p 集的结论文献 3 9 中研究了一类特殊问题毗= u 。+ u p ( 0 ，t ) 的渐近行 为研究最为深刻全面的是ps o u p l e t 在 5 4 3 中的结果之后， 2 0 ，46 中，研究 了局部化变量分离幂形式反应项的方程组问题f 1 8 的作者讨论了拟线性方程 蚍= a u ”q - n ”。r nu d x 的解的性质，得到了解整体存在与b l o w u p 的条件 通过上面这些工作的介绍，我们看出关于非线性抛物方程( 组) 解的整体存 在与b l o w u p 的性质早已成为微分方程领域的研究热点之一一些知名的数学 家，例如a f r i e d m a n ，va g a t a k t i o n o v ，h a l e v i n e 等在这方面作了许多工作 本文研究的主要对象是具有指数型内部源和边界流的半线性反应扩散方程 ( 组) 在有界区域上定解问题，我们将要讨论这类问题解的整体存在与整体不存 在的临界指标及其在b l o w u p 时的b l o w u p 速率等问题通过非线性内部源和边 界流项耦合的非线性反应扩散抛物组，一般要引进多个刻划非线性的参数对 3 大连理工大学博士学位论文：具有指数型源及边界流多重耦合的抛物方程组的奇性分析 b l o w u p 条件，b l o w u p 速度估计，b l o w u p 集等的刻画，都需要包含所有这些非 线性参数，因而相当复杂为此，需要多种数学技巧及分析工具的结合，甚至还 需要相当的物理洞察力我们研究的目的是在复杂的参数关系中找出规律，来刻 画问题的性质 本文所研究问题的最初模型首先是由j p o l a n d 和d k a s s o y 在研究固体和 气体反应物发生反应时的温度( 或能量) 变化的过程中得到的( 见【2 8 ，4 7 】) 在 他们的文章中讨论的是一个具有指数型反应项的模型，通过理论分析和数值计算 讨论了问题解的b l o w - u p 速率； 6 ，4 0 】中给出了方程式毗= a u + 定解问题的 b l o w u p 速率和渐近行为；对于齐次方程u 产“具有n e u m a n n 边值筹= e u 的 问题，在 3 4 ，2 6 中，作者研究了这个问题的b l o w u p 性和b l o w u p 速率在方程 组方面，文献1 3 8 】的作者林枝桂、谢春红和王明新研究了毗= a u ，饥= a v 具有 边值条件磊0 u = e ”，貉= e “在径向对称条件下的b l o w u p 速率和b l o w u p 集 纵观具有指数型内部源和边界流问题，我们发现这方面问题的研究结果较 少我们分析，可能有以下几个原因：( 1 ) 对于方程的情形地= u + e p u ，其i 临界 指标很清楚，即p = o ；( 2 ) 在方程组方面，没有将反应项或边界流扩展为g p l u q - q l v 的形式；( 3 ) 没有考虑扩展后参数可以取负数的情形这些扩展都是值得研究的 问题 1 2 本文主要内容介绍 本文所研究的主要问题是：在有界区域n 上具有如下形式的定解问题 fu t = u + a 1 e p l l “+ p 1 州，饥= + a 2 e p 2 1 ”+ p 2 ，扛，t ) n ( 0 ，t ) ， 丽o u = 眦n 】u 蜘1 2 ，丽o v = 脚” ， ( 州) a n ( o ，t ) ， l 珏( 。0 ) = 珏o ( z ) ，( z ，o ) = 甜o ( 茁) ，z 瓦 我们讨论了其解的整体存在和整体不存在的l | 缶界指标以及在某些特殊情况下的 b l o w - u p 速率与b l o w u p 集；此外，我们还研究了具有局部化反应项的抛物方程 组问题，讨论了该模型的临界指标、解的渐近估计以及解的边界层估计在内容 上，我们是如下安排的 在本章的下一节我们将简述在研究问题时所遇到的一些概念、基本工具及基 本方法主要包括：极值原理、比较原理 4 第1 章绪论 第二章我们研究了第一齐边值问题首先通过引进特征方程组 ( 珊p l ：竺) ( ；) = ( ：) 及临界指标i ( a ，卢) 讨论了该问题的解的整体存在与整体不存在性，得到了b l o w t - p 的充分必要条件；然后我们通过研究( u ，”) 之间的比较关系，在径向对称及 p 2 1 p 1 1 p 2 2 p 1 2 的条件下得到了该问题的b l o w u p 速率为 s u p u ( z ，t ) = o ( t t ) 一o ，s u p u ( z ，t ) = o ( t t ) 一 z n l2 通过逐点估计得到了该问题的b l o w - u p 点集为单点集 第三章我们研究了 l = 1 2 = o 时的非线性边界流问题我们也是通过引进 特征方程组 ( q 蚴l l 驰q 1 。2 ) ( ；) = ( ：) 及临界指标l ( a ，声) 讨论了该问题的解的整体存在与整体不存在性，得到了b l o w - u p 的充分必要条件；然后我们通过研究( u ，”) 之间的比较关系，在径向对称及 q 2 i 蛐，口2 2 9 1 2 的条件下得到了该问题的b l o w - u p 速率为 s u p ( 。，t ) = o ( t 一站一i ，s u p 口0 ，t ) = o ( t t ) 一i n0 l l 在一定的条件下，通过逐点估计得到了该问题的b l o w u p 点集为a q 第四章我们研究了当p 1 = p 2 = 0 的情形，即第二齐边值问题这种情形的 解的整体存在和整体不存在的条件及b l o w u p 估计与第二章研究的问题相同，但 我们没有径向对称的假设对于b l o w u p 集，该问题与第一齐边值有所不同，我 们在一维的情况下得到的结论是b l o w u p 集与初值的增减性有关 第五章中我们首先研究了反应项为a ，边界流为卢e a “的单个方程的定解问 题在一定的条件下得到了其解的b l o w - u p 速率；接着我们研究了在a 2 = 弘l = 0 时的临界指标，通过引进满足 ( 如q 2 ；1 ( = ( ；1 ) 的参数f r l 0 ，岛。及指数t 。，p 。) 讨论了该问题的解的整体存在与整体不存在性， 得到了b l o w u p 的充分必要条件；最后总结前面章节及本章中的结果讨论了一般 形式的临界指标，得到了解的整体存在与整体不存在的充分必要条件 5 大连理工大学博士学位论文：具有指数型源及边界流多重糨合的抛物方程组的奇性分析 第六章我们研究了具有第一齐边值的方程组的局部化问题反应项为 扩t ( z o ，t ) u 哦( z o ，) 或a i e 以“( 粕o + 吼”( x o , t ) 的形式f 其中。o n 是一个固定点) 我们首先讨论了这两个系统解的整体存在 和整体不存在的条件，然后给出了b i o w - u p 解的b l o w - u p 速率o ，卢，并得到了进 一步的结论，即u ( z ，t ) 一t ) o ， ( z ，t ) 一t ) a 或e “( z , t ) 口一t ) n ，e ”( 。，。) 一) a 在 t _ t 的极限；最后还讨论了解的边界层估计 1 3 预备知识 本节我们列出一些在以后章节中经常使用的基本原理和公式 1 3 1 最大值原理和比较原理 最大值原理和比较原理是研究抛物方程( 组) 解的性质的非常有效的工具， 通过这些原理可以可以对抛物型方程( 组) 解的上、下界进行估计；通过这些原 理引出了上、下解方法由于这些原理在研究问题时经常使用，故在此我们列出 最大值原理及比较原理的几种形式， 设q 是r 中的区域，= ( z i ，：9 2 ，x n ) n ，锄= n ( 0 ，t ) ，i 、丁= d q ( o ，丁) 记 三；击一工。+ c ( z ，t ) ，( 。，t ) q t ， 如岳n 。彬，硒0 2 + 塾州，面0 b u = a ( 州) 嘉+ 6 ( 叫) “，( 州) h 对上述算子，我们作如下假设： ( 1 ) t ) ，b i ( z ，) ，c ( z ，t ) 都是q t 中的连续函数； ( 2 ) l o 在q r 内一致椭圆，即存在正常数d o ，d h 使得对任意的( z ，t ) q t 及 任何非零实向量= ( f ”，和) ，都有 n d o l f l 2s n ，( 。，蠊白sd t 盱 j = 1 此时，在q t 内是一致抛物的 6 ( 3 ) 在q t 内c ( z ，t ) 有界； ( 4 ) ( z ，t ) ，6 ( z ，t ) 在聊上非负连续且o ( z ，t ) + 6 ( z ，t ) 0 在以上假设下，有如下极值原理； 定理1 1 ：设u ( z ，t ) c 2 ，1 ( q t ) ，且在q t 中满足u t l o u 0 ( 或札l l o us0 ) 如果( 。，t ) 在q 丁中某点( x o ，t o ) 使u ( x o ，t o ) 最小值m ( 或最大值m ) ，那么在 q t 中，u ( z ，t ) = m ( 或u ( 。，t ) = m ) ；即若u ( x ，t ) 在q t 内不为常数，则u ( x ，t ) 只能在r r 上取得最大值和最小值如果a n 还满足内球条件且在聊上的某点 ( 。o ，t o ) 达到最小值( 或最大值) ，那么当u ( z ，t ) 在q t 内不为常数时，在( x o ，t o ) 处有f o u 0 ) d 凡 定理1 2 ：设u ( $ ，t ) c 2 , 1 ( q t ) n g ( 虿t ) ，对于任意( x ，t ) q t ，c ( z ，t ) 0 且 l u 0 ( o ) 若在q 丁内某点( z 1 ，t l ) 达到负的最小值m ( 或正的最大值m ) ， 则在萄0 上u ( 。，t ) = m ( u ( x ，t ) = m ) 进一步，若a n 满足内球条件且“( z ，t ) 在虿r 上不为常数，那么若在r t 上某点( 。1 ，t 1 ) 达到负的最小值m ( 或正的最大 值m ) ，则在( z 1 ，。1 ) 处有丽o u o ) 以极大值原理为基础，我们如下形式的比较原理 引理1 1 ：( 正性引理，见 4 5 】第5 4 页引理2 1 ) 若“e ( 百j ) n c l , 2 ( q t ) 使得 此处，8 ( z ，t ) 0 q t 上u ( x ，t ) 0 毗一l o u + c ( z ，t ) u 0 ， a ( z ，) 丽o u + 6 ( z ，) u 兰。 u ( 。，0 ) 0 ，。砭 ( z ，t ) q t 扛，t ) f t b ( x ，t ) 之0 ，( z ，t ) + b ( x ，t ) 0 ，c ( z ，t ) 是q r 内的有界函数，则在 而且如果在虿t 上 ( 。，o ) 不恒等于零，则在q t 内u ( z ，) 0 引理1 2 ：( 关于方程组的正性引理，见 4 5 】第4 8 0 页引理5 1 ) 若函数6 1 2 ，6 2 l ，g l 和h i ( i = l ，2 ) 在它们的定义域中都是非负的。那么若 7 查垄垄三盔兰整主兰垡垒塞：墨宣塑鏊型蔓垒望量亟垒重塑盒塑塑塑查堡垒堕童堡坌堑 ( 1 ( 。) ， t t 2 0 ( 引非负2 - t 恒为零，则如下方程组 ( u 1 ) 一l l u l c l u l = q 1 ，( z ，t ) q t ， ( u 2 ) t l 2 u 2 一c 2 u 2 = 叮2 ，( z ，t ) q t ， _ o - u l = b 1 1 “1 + b 1 2 u 2 + h 1 ，( ，t ) r t ， u 7 o = u 一2 = b 2 1 扎l + b 2 2 t 王2 十h 2 ，( z ，t ) r r ， u l ( 茁，0 ) = u l o ( z ) ，钍2 ( z ，0 ) = 2 0 ( 。) ， $ n 存在唯一正解 由正性引理可以导出比较原理，我们首先给出一些概念，然后给出有关比较 原理的定理 考虑如下问题； r 性t l o u = ，( z ，t ，“) ，( 。，t ) q t ， b u = ( $ ，t ，“) ， ( z ，t ) f t ， ( 1 3 1 ) lu ( 茁，t ) = t o ( ) ，z 孬， 其中，在q 丁j ( j 是某个适当的区间) 中是一致h s l d e r 连续的 定义1 1 ：函数西a ( 爵) nc 1 1 2 ( q r ) 称为问题( 1 3 1 ) 的上解，如果它满足 r - 一l o 西，( z ，- ) ，( z ，t ) q t ， 口西h ( x ，t ，- ) ， ( z ，t ) f t ， ( 1 3 2 ) l 西0 ，t ) u 0 0 ) ，。q ， 类似地，丝g ( 碥) n c l , 2 ( q t ) 满足( 1 3 2 ) 的反向不等式，那么称u 是问题( 1 3 1 ) 的一个下解 定理1 3 ：设- ，堕分别是问题( 1 3 1 ) 的一个上、下解，且，关于u 是g 1 的， 则订u 若u + 是问题( 1 3 1 ) 的解，则西“，u 矿 考虑抛物方程组的初边值问题 鲁；= 工m 啦+ 如，t ，“。，) ，( z ，) q 丁， b t t 。：m ( “l ，u m ) ，( z ，t ) r t ， ( 1 3 3 ) u ，( 茁，0 ) = u i o ( 岳) ，z 西( i = 1 ，2 ，r n ) 其中l o l 是形如l o 的算子，最t “= n 等+ b i u i ，其中系数o i ，风满足。t ，风0 ， 嘶+ 6 ； 0 ， ( 。，t ，“1 ，。u m ) ，g i ( u l ，) 关于u d ，j i 递增，i ，j = 1 ，2 ，m 类似 8 ，j【lil 第1 章绪论 于上面方程的情形，对方程组也有上下解的概念：若( 西。) 满足将( 1 3 3 ) 中 的“= ”号都变为“”的式子，称( 西，_ m ) 为问题( 1 3 3 ) 上解；若( 坠，笪。) 满足将( 1 3 3 ) 中的“= ”号都改为“茎”的式子，称( 盐l ，坠。) 为问题( 1 3 3 ) 下解通常我们记上解为( 西1 ，豇。) ，下解为( 勘，鳊) 定理l4 ：设磕，丝( i = 1 ，2 ，- ，m ) 分别是问题( 1 3 3 ) 的一组上、下解，且 f i ( i = 1 2 - ，m ) 关于u j ( j = l ，2 ，m ) 是g 1 的，则砺丝( j = 1 ，2 ，- - ，m ) 若t t ：是问题( 1 3 1 ) 的解，则砚“：，丝冬u ；( j = 1 ，2 ，一，m ) 关于上下解的有序性的理论及证明，参见文献【4 5 中第一章和第二章内容， 或f 6 3 】中第三章第四节以及第五章第二节的有关内容 1 3 2 研究问题的方法 对于一致抛物的初边值问题，其局部解( 相对时间变量t ) 总是存在的，那 么解的最大存在时间是有限的还是无限的，即解是在有限时刻b l o w u p 还是整体 存在；在最大存在时间t 0 ，p 2 0 ，q t 0 ，p l ，q 2 为实数 对该问题我们研究了其整体与不整体存在的临界指标及在径向对称的条件 下的b l o w u p 速率和b l o w u p 集为了方便，在此我们给出由系统的参数确定的 系统指标( o ，卢) ，这个指标满足 ( 2；。1 ) ( ；) ( i ) 仁毗， 在后面的小节中我们将看到它即是系统的b l o w - u p 速率并可利用它给出临界b l o w t - p 指标我们约定在本章中出现的a ，