（应用数学专业论文）p调和方程在高维空间中的可解性.pdf

硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 摘要 本文主要讨论方程 ja ( i a p - 2 a u ) 一a 1 i “j 一2 t = _ 7 l ，z q ， 【t = 0 ，a u = 0 ， 。a q ， 在孵( q ) nw 2 ，9 ( q ) 中的可解性其中 c ( q ) ，q 是r 中的有界区域，是 空间维数，a q 充分光滑，1 p 0 是 “ 兮竺等i 乏竺z 刈训p 2 ：未， 的第一特征值 关键词：p 调和；l e r a y - s c h a u d e r 度；上下解；鞍点定理；p s 条件 硕士学位论文 m a s t e r - s t h e s i s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h e s o l v a b i l i t yf o rt h ep r o b l e m j ( j l p - 2 a u ) 一a 1 陋i p - 2 t = h ，$ q ， 【t = 0 ，a u = 0 ， z a q w h e r eh c ( f i ) qi sb o u n d e dd o m a i ni nr 。w i t hs u f f i c i e n t l ys m o o t hb o u n d a r y a q ，ni st h ed i m e n s i o no ft h es p a c e ，1 p 0i st h ef i r s te i g e n v a l u ef o r t h ep r o b l e m j ( f 钍l p 一2 缸) = a l l p 一2 t 正，z q ， iu = 0 ，a u = 0 ，o 施 k e yw o r d s ：p - h a r m o n i c ；l e r a y - s c h a u d e rd e g r e e ；u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ； s a d d l ep o i n tt h e o r e m ；p sc o n d i t i o n i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：一；七谁斋日期：如曰年月o 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：l 电绝条 日期：口订年月f b 日 匾i 碍 嚣毒渤 日期：纠哞j 鼢趣刨 鬻井啦爵卵瞄硼r 搿孵 言篓于l 鹫 日期：泗7 年细p 日 日期：渊系锈踅薹； 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i $ 第一节引言 2 0 0 1 年p d r i b e k 和g h o l u b o v 磊在文献【3 1 中研究了问题 - d ：i v 。( ，i v u p 一2 v “一a “l p 2 = ：主曼， 在哪9 ( q ) 中的可解性这里的f l 是r 中的有界区域，是空间维数，a q 充分 光滑，1 0 是 ja ( i a u l 一2 a u ) 一aj u l 9 2 t = 0 ，。q ， 、 【珏= 0 ，a u = 0 ， z a q ， 的第一特征值 本文沿用文献【3 】中框架，证明方法基本与文献 3 】中一致，如鞍点定理，上下解 理论，p i c o n e 恒等式等，并且得到了与文献【3 】中同样的结果： 定理1 1 若1 p 2 ，那么对任意的元否( q ) ，存在实数也= 日士( 五) ，n 0 0 ，使碍当丸 ) = 五扛) + 毳妒1 b o ( 五，力 时( 1 ，i ) 至少南一个解， 1 硕士学位论文 m a s t e r ，st h e s i s 在整篇文章中将要提到空间埘p ( q ) i - i 舻，9 ( q ) ，p ( q ) ，c ( 囝) ，c 1 ( q ) 和 c 哆( q ) ( 或c g ( q ) nc 哆( 囝) ) ，它们的范数依次为 i i 扎i i 一阻n ；，i i u i i ，一疋 i ) l l l u l l g = 搿m 圳，nj 0 o c l l u l l c ，= l l u l l c + 哿努i v 让 ) i ，i i 让l l c , = i i u l l c - + 罢野j d 2 u ( z ) i 其中i f 是r 或r 中的欧氏范数 若| i ；( z ) 是以上所提到的任一空间中的元素，对h ( x ) 进行2 正交分解 h ( x ) = 五( z ) + 五l p l ， 其中无r ，厶如1 = 0 ，相应地由五形成的子空间分别记为： 访吾，( q ) n 谚z ，( q ) ，移( q ) ，石( q ) ，a ( q ) ，和伊( q ) ( 或屠( q ) n 孑( q ) ) 我们称x 空间中以掣为中心，p 为半径的开球为黟x ( v ，力，x = c ( 最) 或 x = c 3 ( 壳) n 伊( q ) 本文的结构如下： 第一部分是引言，介绍了与本文有关的p 调和方程的研究背景和本文主要讨 论的内容，并叙述了本文的主要结果 第二部分给出了本文主要结果所需要的引理及其证明 第三部分证明了本文的主要结果 在本文中约定aq 口表示a 嵌入到b ；a 日表示a 强收敛到b ；a b 表示4 弱收敛到日 2 硕士擘位论文 m a s t er s t h e s i s 2 1 预备知识 第二节引理及其证明 对任意的嚼9 ( q ) nw 2 ，( q ) ，如果存在u w j p ( q ) n - 俨，9 ( q ) 满足 上i i 产2 v - a i 上l uj p 2 t ，一上抽= 。， ( z 1 ) 刚称程是( 1 1 ) 的一个( 弱) 解 记a 1 和妒1 分别是 ( i t i p 2 “) 一a l 训p _ 2 t = o ， 。q ， ( 2 2 ) iu = 0 ，“= 0 ， z a n ， 、 的第一特征值和第一特征函数由文献【2 】知，a l 是正的，单重的，孤立的；对任意的 z q ，a o ；对任意的正a q ，a 妒1 8 n 0 ，n 为a q 上的单位外法向 令一u = t ，则( 2 2 ) 就转化为 忙刈训”= o z q z q z a q 通过靴带技巧可以得到妒l 伊，4 ( q ) ，口( 0 ，1 ) 根据a l 的定义知，a 1 是p o i n c a r 6 不等式中最佳常数e 上阻1 9 g 上i 护i ( 2 3 ) 对任意的“耐9 ( q ) n 酽，( q ) ，若厶i u l 一a 1 厶川= 0 ，则u = k l ，七 为某一常数 易知( 1 _ 1 ) 对应的能量泛函 取c u ，= ；上i 让i 一参上一上舰 在叼9 ( q ) n 酽 9 ( q ) 上是连续可微的，并且它的临界值点是( 1 1 ) 的解 3 硕士学位论文 m s t e r s t h e s i s 2 2 引理及其证明 为了证明定理1 1 ，我们磊要以下定义、引理及其记号， 定义2 1 如果能找到t ，t ，埘，n 酽，p 被砩，n 驴，p 分离，即 e ( 让) 。识辑识，e ( 叫) ，e ( 叽。砩i 嘶n f 枷e ( 加) 并且在峨n w 2 ，中任一条连接让，v 的连续路径都与弼，n i 泸，p 的交非空，则 称泛函 e ：瞄n 酽t 7 一r 有一局部的鞍点结构， 引理2 2 设五弓( q ) ，元0 ，当1 p o ，使得对 所有的矗砩( q ) n 驴一9 ( 锄，都有 ；上i 在i 一警上i 面i r 叩z i 面i ， 假设上式不成立，那么存在砜魂，n 谚i 一，i i 钒i i = 1 ，n = 1 ，2 ，且当 n - o o 时。 ；上i 玩i 一参上i “i 一。 事实上，由于砩，9 ( q ) n 谚2 ，( q ) 是闭的，且咏n 酽- ，一7 是紧的，则存在 锄砩，( q ) n 萨，( q ) ，1 1 l l = 1 ，使得 ；z 倒九鲁舯k 。， 贝i j 奶= j c 1 ，j c 为某一常数，这与a 1 是单重矛盾敖 e k ( 砭) = ；( i 舀1 9 一毫。( j 面i 一j ( 五矗叩z i 面j 9 一jj ( 五面i ， 4 硕士学位论文 m - a s t e r s t h e s i s 即取在砩，n 舻，p 中是下有界的 第二步，证明存在两点被砩，9n 形2 ，分离，即e h 有局部的鞍点结构 聃= ；上m 一鲁小9 ， 即 盼j ( u ) 一肛h u + 圾( 牡) =) 一 令讹= 却1 + w ，t r ， ，) = 矿j - + 詈) = ；【上i 妒+ i 一a - z i 妒+ 詈闩 我们可以选择t 足够大，然后根据妒1 的性质，利用t a y l o r 展开式得到 如1 + 孚) 2 掣- - - - o + 攀垮1 吼小+ 则 讹) = 上p 一2 ) l a w l 州( 、酬l h p l ( 耖+ 上脚- p i ( 甜 j a t 正一1 ) l 妒- 1 p 2 l ( 詈) 1 2 + 。( 砉) j n o 在集合扛q ；妒1 = o ) 的某个小邻域玩上使得铷= 常数，在a q 上的某 个小邻域巩上使得叫= 0 ，a w = 0 由于集合p q ；妒1 = o 是闭的且内部是 空的，故可以选择玩，既使得集合伽q ( 以u 玩) ；五( z ) o ) 的内部非空那么 对任意的毳弓( 囝，我们能够找到”一使得 z h = 。 则我们可以选取 t 0 ：= t ( 2 p ) ，2 p 撕， 地= t p l + t p 一， 5 硕士学位论文 m a s 砘硭s t h e s i s 那么当1 p 2 且t _ 。o 时， 岛( 啦) = t ( 2 - p ) 2 j ( u t ) 一t ( 2 - p ) 2 p 厶五叫一 = ；蟛 丘。叫伽，暇器( 字) ) 2 + 如l - - 0 妒。p 。i ( 字) 1 2 一a 。矗一1 ) i 妒。i ，一。l 半1 2 】 + d ( t ( p 2 ) 2 ) + ( 一t ( 2 呻) 2 p g ) _ + 一 。_ ：。= = _ 类似地，我们可以找到叫+ 满足 h w + = q 。 选取 u ；：= 一t ( 2 - p ) 1 2 p u t ，饥= t 妒l + w + ， 则可以得到，当i p 2 且t o 。时， 场( 嵋) = t ( 2 呻) 2 j ( - u e ) + t ( 2 力2 pj 五五埘+ = 亡( 2 - p ) 2 j ( u t ) + t 【2 却却厶元缸j + 2 ；譬 厶。刊酬坤( 禹( 半) ) 2 + 厶l 妒- i ，一2 i ( 半) i z a 。厶( p 一1 ) i 妒。l p ：i 半1 2 】 + d ( t 沪2 ) ，2 ) + t ( 2 - p ) 1 2 p c _ + 一o o 。7 ：- 因此我们可以找到两点疋，嶂使得当t 足够大时有 魄( 牡 0 ，当 ( z ) = 五( z ) + 如1 ( z ) b c ( 元，p ) 否( 彘) 且1 p 2 时，口j j 至少有一解 证明：对所有h c ( q ) ，h 0 且l 0 ，当 ( z ) 且o ( 无，p ) 时点保持它的局 部鞍点结构按照引理2 3 当 ( z ) = 元( z ) + 砷1 ( z ) 且无0 时，e 满足( p s ) 条 件由引理2 2 可知，五在叼p ( q ) nw 2 ，9 ( q ) 中下有界又由引理2 2 的证明过程 可知，当= 砚妒l 时，若碥一o o ，则至k ( t ，1 ) 一一o 。综合由鞍点定理( 参看文 献【8 ，9 ，l o 得当h 民r ( ，力g ( q ) ，昂至少有一个临界点，临界点就是( 1 1 ) 的解 口 8 硕士学位论文 m a s t er s t h e s i s 定义2 5 如果对于任意的口w j ( q ) n w 2 ，9 ( q ) ， 0 ，有 j 厶l 堕r 2 a u _ a v x 1 厶| 笪| 产2 u v 厶h v ， z q ， i 笪0 ，一型0 ， z a n 则称型c 2 ( q ) 是以j ，的一个下解，如果对于任意的t ，w j ( q ) n - 俨，( q ) ，t ，20 有 j 尼i l x 豇 p - 2 弘t ，一x 1 矗j _ l p 2 劭厶h v ， z q ， i 蠢0 ，一露0 ， 霉鞠 则称西c 2 ( q ) 是以砂的一个上解 定义2 6 设，口c 1 ( q ) ，如果在q 上豇( z ) t ，( z ) ，在a q 上要么u ( 。) 嘉( z ) ，则称u t ， 定义2 7 如果以j ，在q 上的每个解有笪u ，一a _ u 一u 且满足笪 ， 则称下解型是严格的j 如果以印在q 上的每个解有us 西，一a u 一西且满 足 豇，则称上解西是严格的 引理2 8 ( 1 l 】，t h e o r e m1 2 ) v 是自反的巴拿赫空间，mc y e ：m + r 1 u + o 。) ， ( 。) m 是弱阈的 i b ) e 是强融的 俐e 是弱下半连续的， 则 g 2 喾e c u ) 引理2 9 对所有的，l 。( q ) ， z q 8 q ( 2 1 1 ) 卜哦 竺卜衅响 怕刨 芑) m a s t e r 鼢 s t h 文e s 硌 证明：取m = w ；4 ( i2 ) n ( 2 ) ，则m 是弱闭的 e ：m _ r 1 u + o o ) ， ， 砌) = ；z m f f “ 由引理2 8 可知，下面只需验证e 是弱下半连续的，强制的任取 t 。) cm 且 一“在m 中 由h s l d e r 不等式和y o u n g 不等式得 f f 钍- i f f t f ( z 川9 ) ；( z i f l 啪 e 上+ c ( e ) f i l l 4 侠z 阻阿徘) f i l l 4 ， 其中；+ ；1 = 1 ，c ( e ) = ( 印) 一；q ，c 为某一常数所以 e ( u ) = ；zl “1 9 一上，札；1 一c e ) 上i u i 一c ( c ) f i i 一 当e 充分小，0 u l l 一+ e e 时，则 e ( q ) _ + o o 又由f a t o u 引理 恕i i l fe ( ) = o 哓i n f ( ；z l 1 9 一上歹留。) 仇- + o o 竹l _ 口，n 。 ， 。 ；上i p z ，u = e ( u ) 故存在解“附( q ) n 妒，9 ( q ) 下证唯一性，假若存在t ，磊孵n 妒都是解，且磊，那么 簪e ( 让) 2 讶e f t , ) ( 2 1 2 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 令= 半，灿w j ，( q ) n 酽，( q ) ，且 刖叫字) = 拍学1 9 一上，抖- v 豇- 1 时护是严格凸的，这与( 2 1 2 ) 矛盾故只能缸= 豇 所以存在唯一解u 埘p n w 2 ， 最后证明解t 附一n 咿，9 n 俨一令一t = ”，则( 2 1 1 ) 转化为 。 l 一( h l 一2 u ) = ，( z ) ， z q ， 一札= 口， z q ， ( 2 1 3 ) 【u = 0 ，t ，= o ， z 锄 由文献【2 】知当1 p 岛有 这里的尬= t c 3 ( q ) n 伊( q ) ；笪 凰， d e g i 一磊；b 四n 萨( o ，r ) ，0 】= d e g i ；b 础n 口( o ，r ) ，o l = 1 ， r ( 2 1 4 ) 至少有一个解 第三步，由于u 和面是严格的且笪 豇( 黝) ，记 s = u c j ( 两) 1 3c 口( q ) ；x l ，x 2 q ，( z 1 ) 面( z 2 ) ) ， 那么以j j 在雪上至少存在一个解令 如= s n 上溉n 俨( o ，r ) ，假设口j ，在o m 2 没 有解，那么存在r o 0 ，使得对所有的r 凰， d e g i t h ；尬，o 】= - 1 证明：参看文献 3 】中引理2 4 的证明 如果( 1 i ) ea s 上有解，证明就已经完成，故我们假设( 1 1 ) 在a s 上没有解 第一步，解的有界性对r 0 ，定义 矗c牡，z，：=；?：j二lui，c，。， l 硝 n r 0 ，使得对所有的r 0 ，当缸s 是 0 = a 0 牡, p a u 2 = u 0 ，= 二u ，z ：ea flq,00 ， ( 2 1 5 ) i ，z a q ， 、 1 3 硕士学位论文 m a s r e r st h e s i s 的解时，l i 钍| f 萨k 如果不成立，那么对任意的后 存在“ 0 ，u s 是( 2 i s ) 在r = 下的解，且 l l 魄l f 铲k 雠：= u , , l l u k l l c 2 ( 2 1 5 ) 式同除以i i 让i i 笨1 得 fz ( t a 划即鲰) 2 镏蚝q ，( z l s ) i - 0 ，讥_ 0 “”嘧2 $ 锄 由上式右边有界和蛎1 紧可得存在 ) 的子列不妨仍记为 ) ，使得 地一v o 在锘( q ) n 俨( q ) 中 对( 2 1 6 ) 式两边同乘以，再关于q 积分, - j - 得 所以 令k o o ，则 fl 血舻= 上等 上监炉川 “计+ z 谢 s “计+ 击加咖 上i ，- a t 肭9s 击f l ) l l z x v o l 9 一a - f l 如1 9 。 再由p o i n c a r d 不等式，综合可得 f i l x “0 1 9 一a ，f l 伽1 9 = 。 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 即满足方程 jz x ( i a , a 一2 让) 一a 1 i “l 一2 t = 0 ， z q ， it = 0 ，让= 0 ， 霉a q 则v o = 印1 ，c 0 ，即对任意的z q ，当k _ o 。时，“k _ o o 这与u k ( x ) s 矛 盾 第二步，构造上下解选取r r o ：= m a x i ，i m i c ，l i 瓦l l c + 1 ，并考虑( 2 1 5 ) 当r = r 时 ( 1 舭p ) = 知( u ，z ) ，z q ，( 2 1 7 ) i = 0 ，a u = 0 ， 写锄 、 易验证卢= r + 2 ，o = 一r 一2 分别为( 2 1 7 ) l 筝ji - f 解，并且o c p ，一a a - z x # 由引理2 1 0 0 7 得，( 2 1 7 ) 有一解 即 8 锃芦，一口一钍一口 口t 卢，一= o ( 2 1 8 ) 同时还可以证明口，口是严格的( 类似文献【4 】中性质2 3 的证明方法) 以a 为例，若o c 不是严格的，假设存在解也，当u ( x ) 口，一a u = 0 时，存在 2 , 0 q ，使得u ( x o ) = a 且v u ( x o ) = 0 那么存在叩 0 ，当i f , b ( x o ，叼) 时， q5u ( x ) 0 ，这与u ( x o ) = n 矛 盾故口是严格的，同理可证卢也是严格的易验证口 西，u p 第三步，l e r a y - s c h a u d e r 度我们可以定义算子 霹：c ：( 壳) n ( 产( q ) - c 吾( q ) n e 2 ( q ) ， 砰( 钌) = “当且仅当，t ，满足 z q z a q 令 i s 妇； u c 3 ( 彘) n 俨( q ) ，a - 4 t - k p ) ， 最妒= “c 3 ( q ) n 俨( q ) ，笪- k - k p ) ， s 商； “c 3 ( 磊) 1 7 俨( q ) ，口 t 西) 则由引理2 i 0 得 d e g 1 一砰；b 锚n c 。( o ，冗) n 最啦，o 】= 1 ， ( 2 2 3 ) d e g i 一砰；b 岛n l 萨( o ，兄) n & 匝，o 】= 1 ， d e g i 一砰；b 锚n i ( o ，r ) n ，o 】= 1 1 6 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 动pa 卜q竺 0 u = 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由于砰和靠在球b c 5 n m ( o ，r ) 是相同的，综合( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) y e l l ( 2 2 5 ) 以及 ：j 礅 1 2 15 hl e r a y - s c h a u d e r 度的性质，有 得证 1 = d e g i 一砰；县c b n 俨( o ，r ) n 最妒，o 】 = d e g i 一砰；b 铅n 伊( o ，兄) n 最岖，0 】 + d e g i 一砰；b c 3 咿( o ，r ) n 函，o 】 + d e g i 一砰；m 2 ，0 】 = 2 + d e g i 一死；尬，o 】， d e g i t h ；m 2 ，0 】= 一1 口 引理2 1 2 如果当以砂中等式右边为坟( 卫) = 敏茹) + 瓦妒l ( z ) ，i = 1 ，2 ，无l 0 使得当h = 元+ 五妒1 岛( 五，p ) ，1 p 0 ，使得当h s c ( h ，p ) g ( q ) ，1 p 2 时( 1 。1 ) 至少有一解；又由引理2 1 2 知对任意h 比( 纸p ) n c ( q ) ，1 p 0 ，- - a v 0 ，u 0 ，则有 一p ( p - 1 ) ( 石u 鬲p - - 2 ) ( v u v - - 1 , - v 口】2 l ”l 产2 t ，o 又由( 2 2 6 ) 徭4 二扣，口) = i 训p y 历u p = - - i 1i t ，i ，一2 i u i i u i + ( p 一1 ) 筹i i ， + p 筹m r 。l i t 州i 舭i 胁叫 一p p ，) u ，p 2 ( v 牡t ，一t v 口】2 i 血l p 2 血 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 硕士学位论文 m a s t e r - s t h e s i s f i a u l = ( 口i ， i a v l i , l u l = a v a u ， 【v u t ，= 缸。v 可， v ( 詈) ( 蜘) = o ( 2 3 1 ) 另一方面，根据文献【7 】知，如果= p q ，u ( 。) = o ) ，那么v u = 0a e 于，则 v ( 詈) = 0 a b 于 ( 2 3 2 ) 综合( 2 8 1 ) ，( 2 3 2 ) 可得v ( 詈) = oa e 于q ，所以= 加 口 引理2 1 5 设q 是r 中的区域，u 俨( q ) ，h ( z ) c ( q ) ，如果h 0 ，那 么以砂宵解的充分必要条件是h 兰0 且解珏= 印l ，c 为某一常数 证明：充分性显然，必要性由引理2 1 4 可得 口 硕士学位论文 m a 跛e r st h e s i s 第三节定理1 1 的证明 固定毳0 ( 奶，设是( z ) = 毳+ 无妒1 扛) ，定义 日= 以( 五) ：= i n f 无，日+ = 珥( 五) ：= s u p 现在我们证明丑士是有限的 反证法，假设存在数列 k ) cr 使得k o o ，且当( 1 1 ) 中等式右边为 ( 。) = 毳( 。) + k 妒1 ( 。) 时对应的解为四n 俨，在( 1 1 ) 等式两边同除以k ，令 ：瑟击 再利用崂1 的紧性，则对任意的q ，v n 一咖，并且v o 满足 矬0 j i i 裂一叫川归：主未 ， i 口= ，口= o ， z a q 。 由引理2 1 5 可知( 3 1 ) 无解，故有王0 一o o 从日至的定义 可知，如果无g 月r _ ，豇+ 】，那么( 1 1 ) 无解又从引理2 1 2 知当五( h - ，e ) 时( 1 1 ) 有 解余下的证明从引理2 1 3 直接可得 硕士学位论文 m a s t er i s t h e s i s 参考文献 i l je a l l e g r e t t oa n dy x h u a n g , a p i c o n e si d e n t i t yf o rt h ep - l a p l a c i a ua n da p p l i c a t i o n s ， ，n o n l i n e a ra n a l y s i s 3 2 ( 1 9 9 8 ) ，8 1 9 - 8 3 0 【2 】pd r 6 b e ka n dm o t a n i ，g l o b a lb i f u r c a t i o nr e s u l tf o rt h ep - b i h a r m o n i co p e r a t o r ，e l e c - t r o n i cj o u r n a lo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s v 0 1 2 0 0 1 ( 2 0 0 1 ) ，n o 4 8 ，p p 1 - 1 9 【3 】p d r 孙e ka n dg h o l u b o v d ，f r e d h o l ma l t e r n a t i v ef o rt h ep - l a p l a c i a ni nh i g h e rd i l n e i l - s i o r s ，j m a t h a n a l 。a p p l i c a t i o n s 2 6 3 ( 2 0 0 1 ) ，1 8 2 - 1 9 4 【4 】pd r & b e k ，p g i r ga n dr m a n i s e v i c h ，g e n e r i cp r e d h o l ma l t e r n a t i v ef o rt h eo n ed i i n e n - s i o u a lp - l a p l a c i a n ，n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n da p p l i c a t i o n s 8 ( 2 0 0 1 ) ，2 8 5 - 2 9 8 【5 】l a w r e n c ece v a n s ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p r o v i d e n c e ，r i ：a m e r i c a nm a t h e m n t - i c a ls o c i e t y 1 9 9 8 【6 i y 量k m m h oa n dt ，k n s a n o , as u p e r s o l u t i o n - s u b s o l u t i o nm e t h o df o rn o n l i n e a rb i h a r - m o n i ce q u a t i o n si nr n ，c z e c h o s l o v a km a t h e m a t i c a lj o u r n a l 4 7 ( 1 2 2 ) ( 1 9 9 7 ) ，p r a h a 【7 lg f l b a r g ，d a n dt m d i n g e r ，n s ，e l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fs e c o n do r d e r 2 n de d n s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k 1 9 8 3 【8 ji z q n i e r d ob u e n r o s t r og a n dl d p e