（运筹学与控制论专业论文）不确定性优化问题的确定型方法及其应用研究.pdf

摘要 经典数学规划理论与方法，包括线性规划、非线性规划、目标规 划、动态规划等，是用确定型的优化模型去刻画实际问题中的所有信 息。但是，在诸如供应链管理决策等工程和管理问题中都存在各种不 确定性。针对这种不确定性，本文根据不同的实际问题，研究了建立 其优化模型，并设计有效求解算法。主要研究工作包括： 首先介绍了不确定性的相关概念，在综述随机规划与模糊规划理 论的研究进展的基础上，我们概述了本文所解决的主要问题。 其次，我们研究了供应商的生产能力，销售地的需求量和单位运 输成本等因素均为随机变量条件下的多产品生产运输成本问题，建立 了该类问题的随机优化模型。探讨了在一定置信水平和其它的约束条 件下，确定每个供应商给每个销售地的送货量，以保证总的运输成本 最低的解决方案。根据我们设计的算法，分析了不同置信水平对总的 成本的影响。 再次，我们在收益率和风险损失率均为模糊数的条件下，建立了 含有无风险证券的投资组合问题的模糊线性规划模型。基于三角模糊 数的优度和劣度概念，研究了投资者对收益的关心程度和对风险的厌 恶程度，给出了模糊环境下最优证券投资组合比例。 最后，我们在可能性测度、必要性测度和可信性测度等相关概念 的基础上，建立运输公司的利润最大化模型。在乐观型、悲观型和折 中型投资态度下，研究了运输公司获得的不同利润。同已有方法相比， 这些模型能反映决策者的喜好。 关键词随机规划，模糊规划，模糊机会约束规划，确定型等价 式 a bs t r a c t t h ec l a s s i c a lm a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n gt h e o r i e sa n dm e t h o d s ， i n c l u d i n g l i n e a r p r o g r a m m i n g ，n o n - l i n e a rp r o g r a m m i n g ，o b j e c t i v e p r o g r a m m i n g ，d y n a m i cp r o g r a m m i n g ，d e a lw i t ha l li n f o r m a t i o nf r o mt h e r e a lp r o b l e m sb yd e t e r m i n i s t i cm o d e l s h o w e v e r ，i na l m o s ta l lr e a l p r o b l e m sf r o me n g i n e e r i n gt e c h n o l o g ya n dm a n a g e m e n t ，s u c ha st h e d e c i s i o n - m a k i n gp r o b l e mf o rs u p p l yc h a i nm a n a g e m e n t ，t h e r ee x i s tal o t u n c e r t a i n t i e sf o rs o m er e a s o n s f o rt h e s eu n c e r t a i n t i e s ，t h i sd i s s e r t a t i o n a d d r e s s e st h ec o n s t r u c t i o no fo p t i m i z a t i o nm o d e l sa n dt h ee f f i c i e n t a l g o r i t h m sf o rt h ed i f f e r e n tp r a c t i c a lp r o b l e m s i tm a i n l yc o n s i s t so ft h e f o l l o w i n gp a r t s f i r s t l y ，w ei n t r o d u c e ds o m er e l e v a n tc o n c e p t sf o ru n c e r t a i n t i e s a f t e r g i v i n gar e v i e wo nt h er e c e n ta d v a n c e si ns t o c h a s t i cp r o g r a m m i n ga n d f u z z yp r o g r a m m i n g ，w ea l s os u m m e du pt h em a i np r o b l e m st ob es o l v e d s e c o n d l y ，w e s t u d i e dt h ec o s tm i n i m i z a t i o n p r o b l e m f o r m u l t i - p r o d u c t sp r o d u c t i o na n dt r a n s p o r t a t i o nw i t hs t o c h a s t i cp r o d u c t i o n c a p a c i t yo fs u p p l i e r ，s t o c h a s t i c s a l e sa m o u n ta n ds t o c h a s t i cu n i t t r a n s p o r t a t i o nc o s t s s t o c h a s t i co p t i m i z a t i o nm o d e lf o rt h i sp r o b l e mw a s c o n s t r u c t e d i tc a ng i v es c h e m et od e t e r m i n et h ea m o u n to fd e l i v e r i e s f r o me a c hs u p p l i e rt oe a c ho ft h es a l e sb ym i n i m i z i n gt o t a lc o s to f t r a n s p o r t a t i o n w i t haf i x e dc o n f i d e n c el e v e l f r o mt h en u m e r i c a l e x p e r i m e n t so f t h ep r o p o s e da l g o r i t h m ，t h ee f f e c t so fd if f e r e n tc o n f i d e n c e l e v e l so nt h et r a n s p o r t a t i o nc o s t sw e r er e p o r t e d t h i r d l y , af u z z yl i n e a rp r o g r a m m i n gm o d e lw a sc o n s t r u c t e df o rt h e p o r t f o l i om a n a g e m e n tp r o b l e mw i t ho n er i s k - f r e es e c u r i t yu n d e rt h e c o n d i t i o nt h a tt h er e t u r na n dt h er i s ka r ef u z z y b a s e do ni n t r o d u c i n g t h ec o n c e p t so fs u p e r i o r i t yd e g r e ea n di n f e r i o r i t yd e g r e eo ft r i a n g u l a r f u z z yn u m b e r ，w ed e s c r i b et h ea t t e n t i o nd e g r e e so fi n v e s t o r st ot h er e t u m o fi n v e s t m e n ta n dt ot h er i s k t h e n ，w ec a na l s od e t e r m i n et h eo p t i m a l i n v e s t m e n tr a t i oa m o n gs o m es e c u r i t i e su n d e rt h ef u z z ys i t u a t i o n f i n a l l y , b a s e do nt h em e a s u r e so ft h ep o s s i b i l i t i e s ，t h en e c e s s i t ya n d t h e c r e d i b i l i t y , w e e s t a b l i s h e dt h e p r o f i t m a x i m i z a t i o nm o d e l sf o r t r a n s p o r t a t i o nc o m p a n y i nt h r e ec a s e s ，c a l l e do p t i m i s t i c ，p e s s i m i s t i ca n d c o m p r o m i s i n g ，t h et r a n s p o r t a t i o nc o m p a n yo b t a i n sd i f f e r e n tp r o f i t s n t h e s em o d e l sc a l lr e f l e c tt h ep r e f e r e n c eo ft h ed e c i s i o n m a k e rc o m p a r e d w i t ht h ee x i s t i n gm e t h o d s k e yw o r d s f u z z yp r o g r a m m i n g ，r a n d o mp r o g r a m m i n g ，f u z z y c h a n c ec o n s t r a i n e dp r o g r a m m i n g ，d e t e r m i n i s t i ce q u i v a l e n tf o r m u l a t i o n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明。 作者签名： 工卫 、 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文。对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。 作者签名： 卫导师签名：作者签名：；工卫导师签名：日期：丝年卫月么日 硕士学位论文第一章绪论 1 1 不确定性 第一章绪论弟一早殖t 匕 数学规划是运筹学的一个重要分支。经典数学规划理论与方法包括线性规 划、非线性规划、多目标规划、目标规划、动态规划等。这类规划在描述现实 世界时，将一切信息均看作确定性的，使得从数学关系上描述它们的规划模型 也具有确定性。然而，在供应链管理决策、管理科学、工程技术、军事决策等 诸多领域都存在人为的或客观的不确定性，譬如事件发生的随机性、数据的非 确定性、粗糙性、模糊随机性、语言的含糊性等。这些非确定性信息常有多种 来源，如：( 1 ) 测量误差；( 2 ) 缺乏足够的历史统计数据；( 3 ) 缺乏足够可用的理 论来描述和支持；( 4 ) 知识的表达方式；( 5 ) 人类的主观性判断或喜好等。而这 些领域都存在着大量的优化问题。所以不确定性环境下的优化理论具有很大的 理论价值和广泛的应用前景。我们称不确定环境下的优化理论为不确定规划。 不确定规划的研究内容包括不确定环境下的建模理论、算法及其应用。鉴于不 确定环境规划模型的复杂性，经典的算法是无效的，因而不确定规划理论有时 不得不引入智能算法，如遗传算法、神经元网络及模拟退火法等。另外，计算 机科学的高速发展也给本学科带来了深远的影响，这不仅表现在已有的不确定 规划模型可以由计算机求解，更重要的是高速发展的计算机和不断涌现的智能 算法更加促进不确定规划的进步及更广泛的应用。尽管目前计算机的运行速度 常常与优化问题的求解规模有关，但是随着时间的推移和计算机技术的更新换 代，问题的主要矛盾不在于运行速度而在于建立优化问题的数学模型和求解算 法。事实上，一些过去根本无法求解的复杂问题如今很多都可以通过计算机求 解。摆在我们面前的任务是提出更加丰富的建模思想，建立优化问题的数学模 型并设计模型求解的现代算法( 1 ) 。不确定规划理论的建立和发展正是当前这 一方面的国际研究潮流的具体体现。 一个复杂的决策系统通常具有多样性、多维性、多功能性和多准则性，不 确定性因素的存在使复杂的决策系统通常含有随机或模糊参数。这些形式的非 确定性主要可以归纳为两种类型，即随机( 非确定) 性和模糊性。 为了描述各种事件的不确定性，有必要引进适当的数学工具。众所周知，随 机变量应用于从概率空间到实数空间的可测函数，是描述随机现象的数学工具， 随机变量最重要的一个数字特征是它的期望值。；模糊变量应用于从可能性空间 到实数空间的函数，是一种描述模糊现象的数学工具。 硕士学位论文 第一章绪论 1 1 1 随机规划简介 含有随机参数的数学规划称为随机规划( s t o c h a s t i cp r o g r a m m i n g ，简称 铲) 。随机规划为解决带有随机参数的优化问题提供了有力的工具。对随机优化 问题中所出现的随机参数，根据不同的管理目的和技术要求，所采用的处理方 法也不尽相同；对于随机规划问题中出现的随机变量，采用的方法根据不同要 求而有所不同。 目前处理随机规划问题最常用的重要方法有两类： 第一类是d a n t i z i g 提出的期望值( e x p e c t e dm e t h o d ，简称e m ) 方法，该方法 通过取随机变量的数学期望，将随机规划问题转化成为确定性数学规划问题【2 】。 典型的数学期望规划可以表示成下面的形式： m a xe ( f ( x ，孝) ) s t e g ， ，f ) 0 ，f = 1 ，2 ，刀) 其中x 是决策变量，孝是随机参数，吕g ，善) o ，江l ，2 ，n 表示不确定函数， e 表示期望值算子。 第二类是c h a r n e s 和c o o p e r 提出的机会约束规划 ( c h a n c ec o n s t r a i n e dp r o g r a m m i n gm e t h o d ，简称c c p m ) 方法，其允许所作 的决策在一定的程度上不满足约束条件，但该决策使约束条件成立的概率或可 能性不小于某一置信水平口 3 。典型的机会约束规划可以表示成下面的形式： m a xf s d p v ( x ，孝) f ) 口； p g ，( x ，孝) 0 ，i = l ，2 ，1 ) 其中x 是决策变量，善是随机参数，口和分别是对目标和约束事先给定的 置信水平，以) 表示 ) 中事件成立的概率或可能性。c c p m 方法自5 0 年代提出 以来，发展迅速，近年来的相关研究成果可参阅文献 4 、 5 、 6 、 7 、 8 及 9 等。它们利用c c p m 方法成功的解决了来自不同领域( 如工业过程和经济 管理) 中的许多问题，诸如生产企业运输成本控制、水库管理、电力生产、化学 工程、电信和财经等方面的许多实际问题。 1 1 2 模糊规划简介 含有模糊参数的数学规划称为模糊规划( f u z z yp r o g r a m m i n g ，简称即) 。 实际上，决策者并不认为通常的概率是正确的，相对于随机变量，用模糊变量 描述某些领域( 如市场需求) 的不确定性时有时是一种更好的选择。对于一些非精 2 硕士学位论文第一章绪论 确情况，特别是没有清晰界限的信息，比如与人类的语言行为相关的信息，或 者是由于受人类知识和认识所限而难以表达和清晰定义的信息等，这些非确定 性信息统称为模糊性信息。基于精确数学理论的优化方法和基于概率理论的优 化方法都不能准确的描述模糊性信息系统的行为和特性，因而也不能有效地求 解这类系统。起源于2 0 世纪5 0 年代，并发展迅速的模糊集合理论的模糊优化 方法为求解这类系统提供了有效的方法和技术。之后的学者相继研究了模糊线 性规划模型、模糊多目标规划模型、可能性线性规划模型、模糊动态规划模型 和模糊非线性规划模型，并提出了求解这些模型的方法。模糊优化在生产实际 中的应用也成为模糊优化理论和方法的重要研究内容( 1 0 、 1 1 、 1 2 和 1 3 等) 。 带有模糊参数的数学规划可以写成如下形式 m a xf ( x ，f ) s j 岛( x ，f ) 0 ，j = l ，2 ，拧 其中工是决策变量，孝是模糊参数， f ( x ，孝) 是目标函数， ( x ，f ) o ，j = l ，2 ，z 是约束函数。 对于一个复杂问题，一般情况下，从模糊优化模型的建立到求解，可以由 以下5 个基本环节组成：( 1 ) 基于对问题本身的理解，分析存在的各种模糊信 息以及其出现的形式和方法，如非精确的量化形式或者是含糊不清的语言等。 ( 2 ) 采取适当的形式描述和表达模糊信息，如隶属度函数、可能性分布函数，以 线性或非线性形式来描述模糊信息。在这个过程中，应该充分反映决策者的意 愿和观点，即主观性或偏好。( 3 ) 在( 1 ) 和( 2 ) 的基础上，根据问题的特点和要 求，采用适当的数学工具和方法，建立模糊优化模型。( 4 ) 转化为清晰的优化 模型，在这个过程中，首先应明确的问题是寻找什么形式的最优解，是确定型 最优解、满意解还是模糊解，这都取决于决策者对问题的理解和对问题的要求， 即对最优解的理解。然后，基子模糊数学的一些理论和原理，提出新的概念。 在此基础上，把模糊优化模型转化为等价的或者是近似的确定型清晰型优化模 型。( 5 ) 清晰型优化模型的求解。根据等价的清晰型优化模型的特点，采用合适 的优化算法来优化等( 可参阅文献 1 4 、 1 5 、 1 6 ) 。沿用随机规划中c h a r n e s 和c o o p e r 所提出的机会约束规划的思想，在模糊环境中，假定模糊约束成立的 可能性不小于置信水平口，这样就可以得到模糊机会约束规划。l u h a n d j u l a 和 y a z e n i n 等人考虑了模糊线性规划以及模糊多目标线性规划问题( 1 7 、 1 8 、 1 9 ) ，并根据z a d e h 提出的可能性理论，提出了一系列把机会约束转化成清晰 等价类的思想( 2 0 ) 。但是，这些仍然只能解决了一些特殊的模糊规划。然而， 随着计算机的飞速发展和革新算法的不断出觋，许多复杂的优化问题完全可以 3 硕上学位论文 第一章绪论 用计算机得以解决。 1 2 不确定规划的应用 一种理论与实际应用结合愈紧密则其生命力愈强。不确定规划不仅在理论 涵盖了经典规划、随机规划、模糊规划、区间规划等数学规划的研究内容，而 且应用的范围更加宽广。事实上，现实世界中的绝大多数优化问题或多或少含 有不确定性因素。然而，由于数学处理上的困难和不便，在很多场合下不得不 简化这些问题，将多重不确定性转化为单重不确定性，再将不确定性转化为确 定性。从辩证法的观点来讲，不确定性是绝对的，确定性是相对的。考虑不确 定性环境下的优化问题显然是有实际意义的。不确定规划理论已被应用到诸多 领域，例如，水库调度( 2 1 ) 、生产过程( 2 1 ) 、存储系统( 2 2 ) 、资金预算 ( 2 3 、 2 4 ) 、网络优化( 2 5 ) 、车辆调度( 2 6 、 2 7 1 ) 、系统可靠性( 2 8 ) 、 作业排序( 2 9 、 3 0 、 3 1 、 3 2 ) 、设备选址( 3 3 ) 、关键路问题( 3 4 ) 等。 这些课题的研究一方面反映了不确定规划在实际应用中行之有效，另一方面也 折射出不确定规划的研究背景，为不确定规划的研究提供了动力。 1 3 本文的研究内容 本论文的组成部分及主要结构如下： 第一章是绪论。首先介绍了不确定性的基本概念，然后综述了随机规划与 模糊规划理论在国外和国内的研究及发展概况，并且总结了本文的组成部分及 主要工作。 第二章是一类求解带随机成本的生产运输问题的线性逼近法，分两节论述。 第一节研究了在供应商的生产能力，销售地的需求量和单位运输成本等因素均 为随机变量条件的多产品生产运输成本问题，并建立了该类问题的随机优化模 型。第二节探讨了在一定置信水平和其它的约束条件下，如何确定每个供应商 给每个销售地的送货量，以保证总的运输成本最低的解决方案。通过线性逼近 方法，在精确度范围内找出它们的近似最优解。最后我们通过设定的算法，分 析了不同置信水平对总的成本的影响，通过实例我们可以推出该方法的有效性。 经过该模型的研究，我们所计算的随机成本比精确值模型更加贴近实际，能为 决策者提供更加有力方案解决实际问题。 第三章是含有模糊信息的证券组合投资模型，分两节论述。第一节论述了 有关模糊概念的相关知识。首先，介绍了三角模糊数的度量标准，给出了隶属 函数的具体表达式。然后，给出了模糊数优度和劣度的概念，并通过图形和定 4 硕士学位论文第一章绪论 理详细得叙述它们之间的关系。第二节讨论了证券组合投资的收益率和风险损 失率均为模糊数，且含有无风险证券的证券组合投资模糊目标线性规划模型。 在该模型中，我们通过引入三角模糊数和三角模糊数的优度和劣度，将模糊目 标函数转化为确定型的线性规划模型来求解。投资者可以根据对收益风险的关 心程度和对风险的厌恶程度以及参考了金融市场的客观情况，适当调整了模糊 参数，从而得到相应情况下的有效投资方案。最后给出了一个相关算例，以说 明该方案的可行性，为投资者在证券市场提供了一种更合理的投资方案。 第四章是模糊机会约束线性规划模型，分两节论述。第一节介绍了可能性 测度、必要性测度和可信性测度的相关概念及其它们之间的区别和联系，在此 基础上我们建立了模糊机会约束模型的一般形式。第二节我们建立运输公司的 利润最大化函数模型的算例，详细探讨了在乐观型、悲观型和折衷型的情况下， 运输公司利润的变化情况。决策者可根据自己的实际情况选择不同的模型。 第五章是总结。我们对不确定规划理论发展现状作了一些概括，并对不确 定规划在各方面的实际应用作了综述性的介绍。 本论文研究的主要意义在于：根据决策者对风险的不同认识，从理论上给 出了更加符合决策者心理的组合优化模型，并通过各种实例说明了所建模型和 方法的有效性、可行性和实用性。决策者可以根据对风险的不同偏好，选择适 当的符合企业优化模型而得到最佳的决策结果，使得决策更加具有柔性并且更 加接近于实际。 5 硕士学位论文第二章一类求解带随机成本的生产运输问题的线性逼近法 第二章一类求解带随机成本的生产运输问题的线性逼近法 随着社会发展和科学技术的进步，各行各业对产品成本的控制规则越来越 严格，制造生产行业更为突出。此外，中国加入了w t o 后，国际上的跨国生产 企业大量的进入中国市场，竞争加剧，致使制造生产企业面l 临更为严峻的挑战 和考验。这就要求制造生产企业不断的提高生产效率、降低成本、增加应变能 力，以适应不断变化的新环境。 随着市场的变化，各种生产厂家产品的生产和运输成本都会发生变化。为 了使生产和运输计划能更大限度的增加利润，同时又尽量的减少各种中间环节 的成本，在优化时就要考虑生产和运输成本的变化，这就要求决策者能对市场 有准确的估计，即对每种产品的生产成本和运输价格能给出允许的变动范围， 就可以通过随机规划进行优化。 2 1 产品生产和运输模型 2 1 1 产品生产和运输模型的建立 文献 3 5 中作者在文献 3 6 、 3 7 提供的单产品生产和运输运输模型的基 础上，建立了多产品生产和运输成本模型是： m i nf ( x ，缈) = + 乳( ) i = lj = lj = l k = ll = l 豇2 荟一_ ( ) ，f = 1 ，2 ，所；七= l ，2 ，幺( 2 1 1 ) + 岛_ ( 饩) ，歹= 1 ，2 ，n ；k = l ，2 ，； ，0 ，i = l ，2 ，m ；j = 1 ，2 ，n ；k = l ，2 ， 以上研究的是多产品的生产运输成本问题模型，其中，是所需要运输的产品 种类；m 是生产厂家的个数；n 是商家的个数；a 时是第f 家生产厂家的生产或 供应产品k 的能力，扛1 ，2 ，朋；是第，家商家对产品k 的需求量，= l ，2 ，刀； 纨是第f 家生产厂家生产产品k 的产量；g 白( c o l a ) 为第i 家生产厂家的生产所 需的生产成本：x 是生产厂家f 给商家，提供产品k 的送货量；c 为生产厂 家i 送到商家，的产品k 的单位运输成本。，饥，服从如下的正态分布： 一( 盹，吒) ，气n ( v j o ，店) ，f - 1 ，2 ，m ；j = 1 ，2 ，n ；k = 1 ，2 ， 6 硕士学位论文第二章一类求解带随机成本的生产运输问题的线性逼近法 1月， 其中是约束条件满足的置信水平，岛是约束条件 k = lj = lk = l iml 嘞满足的置信水平，a k 磊( o ，1 ) ；一( ) 是标准正态分布的分布 k = lj 1i = l 函数的反函数。在模型( 2 1 1 ) 中，约束条件中的生产厂家的供应能力和各个 商家的需求量已作随机变量处理， 生产厂家到商家的产品的单位运输成本 c 肼由于产品类型，油价涨跌，公路交通状况，司机技能等各种客观因素的影响 作了随机处理。 目标函数的第一个和式( 线性部分) 表示全部的运输成本，第二个和式( 凹性 成本，可分离线性或非线性部分) 表示生产厂家的总生产成本。一般认为，生产 厂家的产品量不少于商家的需求量，即壹羔，壹羔，模型( 2 一卜1 ) 的可行 i = li = lk = l j = l 解存在，严格的证明可参阅文献 3 5 。以此可见，目标函数与约束条件中都含 有随机变量，对整个模型的求解无疑增加了难度。本文在文献 3 5 ， 3 6 ， 3 7 的基础上对目标函数转化成它的确定等价类( e d f ) ，用一种线性逼近方法来求 得符合实际情况精确范围内的可行解。 2 1 2 多产品生产和运输问题的c c p 模型 在模型( 2 - 1 - 1 ) 中，若记 c 7 = ( q l l ，q l 。，q 2 l ，c 1 2 n q 。l ，q 。，吃1 l ，乞。，q 。) ， x 7 = ( 五l l ，而1 。，而2 l ，而2 一，五。l ，x | m n ，屯l i ，而。，) ， u = = 1 lo o 0 0 o ol l 0 o - o o0 o l l - 1 o l 0 一l 0 o 一lo 一l 0 一1 g 7 = ( g i l ，g l ，9 2 l ，9 2 。，g f l ，g 胁) ， ，e = ( 1 ，l ，1 ) l 。( 加) ， 7 硕士学位论文 第二章一类求解带随机成本的生产运输问题的线性逼近法 d 7 = ( “l q l 一1 ( q 1 ) ，“。一q 肼一( q 。) ，朋l q l - 1 ( q 1 ) ，a i m o l m 矽_ 1 ( ) ， - 嵋。一岛。矽- 1 ( 届。) ，- 嵋。一局。- 1 ( 屈。) ，一巧。一岛。矽( 届。) ，一一风妒- 1 ( 玩) ) 其中( 厂是( 1 m + l n ) x ( 1 m n ) 维的，d 是( 1 m + l n ) x l 维的，则模型( 2 一卜1 ) 的向 量形为： m i nf ( x ) = c 7 x + e g j ，u x d ；( 2 一l 一2 ) x 0 根据文献 1 3 中提供的c c p 模型转化方法( c 7 是随机参数) ，则模型( 2 - 1 2 ) 又可以转化为下列形式： m i n 孝 s j p ( f ( x , g ) 善) 2 厂； ( 2 一l 一3 ) u x d ； x 0 设c 的分布函数已知，且数学期望为c ，协方差矩阵为k 胁) ) c ( 棚) ，厂是置信 水平，且y e 0 ，1 】。根据文献 3 5 提供的c c p 方法可推出模型( 2 一卜3 ) 的确定等 价类是： m i nf ( x ) = 石7 x + 矽一1 ( y ) x 7 形y + 五g sjuxd：(2-i一4) x 0 一般的，在实际生活中生产厂家生产的产品种类，运输产品的数量和商家 所要求的产品类型与数量是随机的，使得c 中每个分量是相关随机变量，从而y 是对称矩阵，模型( 2 1 4 ) 是一个非线性模型的求解问题。接下来，我们将利用 该问题的结构特征，设计一种线性逼近方法求解模型( 2 一卜4 ) 。 2 2 线性逼近方法 2 2 1 线性逼近方法的主要应用理论 模型( 2 一卜4 ) 求解的主要困难在于单位运输成本系数c 是随机变量。如果知 道c 中随机变量的分布状况( 解决这种类型的问题可参考文献 3 8 、 3 9 ) ， 矽一，( 7 ) 万西非线性部分，e g 是生产运输成本，它是一个凹性成本问题，我们 可以用0 1 规划将它线性化( 解决这种类型的问题可参考文献 3 6 ) 。不过，本 文建立的模型( 2 1 - 4 ) 的特殊结构，促使我们寻求二种新的算法来解决该类问 硕士学位论文 第二章一类求解带随机成本的生产运输问题的线性逼近法 题。为此，我们先建立如f 引理： 引理l ：设置，屯是任意两个不同的随机变量c l ，吃是方差，墨2 是这两个变 量的协方差，则有： 一而v 2 巳v 2 毛2 。两边平方可得到不等 式( 2 1 ) 。 引理2 ：对任意非负实数葺。而，如下不等式 ( 五+ 而+ + 吒) v 2 而v 2 + 而v 2 + + v 2 ( 2 2 ) 成立，( 证明略) 。 根据上述两个引理我们不难证明引理3 中不等式成立。 引理3 ：设x 是模型( 2 1 4 ) 中的决策变量，则 c x 一九y ) i r o n x 。+ e g 石7 x + 纵厂) 历面+ e g 乙7 x + 硝7 ) 兰+ e g ( 2 - 3 ) 令 z ( x ，g ) = 石7 x + 痧一1 ( y ) i n n i ：+ e g ； l ( x ，g ) ：石7 x 一八7 ) 艺+ e g 。 若厂模型( 2 一i 一4 ) 的最优解，石是下列模型 m i nz ( x ，g ) s 1 u x d ；( 2 - 2 1 ) 的最优解，石是下列模型 9 硕士学位论文第二章一娄求解带随机戚牟的生产运输问题的线性逼近洼 n f m 正( 羔，g ) s j u x 茎d ：( 2 - 2 2 ) x 0 的最优解，则根据引理3 有： 厂疗 ( 2 4 ) 假设1 ：模型( 2 2 一1 ) 存在一个有限最优解置。 定理1 1 ：如果假设l 成立，则模型( 2 - 1 - 4 ) 的撮优解也是有限的。 证明：假设模型( 2 1 4 ) 的一个可行解五满足 己7 凰+ 九，) 丽+ 船百。置+ 九，) 兰+ 粥 叶；l 因为 一q ( ，) 、，氓7 旧b + 嬲妒。( ，) 托+ e g l l ”1 1 ，一 ， 日= t 由此下列不等式( 2 5 ) 成立： 焉7 置+ 己托+ 一一1 ( ，) ：i 了历i + 日gs 焉7 x o ( 2 5 ) 在不等式( 2 5 ) 中： 旦：己7 五+ 一( ，) 兰+ e g ； q = l r l t x 0 ：石7 凰+ 九，) i r o n ，i 2 + 厢 q = l 由此我们可以推出： 旦7 x t 焉+ 五 这样与假设1 相矛盾。 因此，对任意一个可行解下列不等式成立： c - - t 五+ 一( 7 ) , f x o v x o + e g _ - c 7 丑+ 庐一t ( ，) 兰“耳。+ 册 q = t 假设2 ：模型( 2 - 2 - 2 ) 存在一个有限晟优解x 2 + 。 定理1 2 ；如果假设2 成立，则模型( 2 一卜4 ) 的最优解也是有限的。 证明过程唰定理l 可赶( 略) 。 1 0 硕士学位论文第二章一类求解带随机成本的生产运输问题的线性逼近法 2 2 2 线性逼近方法的主要转化过程及算法 为设计求解模型( 2 - 1 4 ) 的有效算法，我们构造如下双线性规划子模型： m i n 石( 耻：石7 x + 九厂) 兰+ e g ：兰q ， 叮= lq ；o m i n 正( x ) = 石7 x 一妒一1 ( 厂) m t i 尼1 + 粥：兰乞， ( 2 2 3 ) q = lq - - o s j u x d ； x 0 通过求子模型( 2 2 3 ) ，我们将得到模型( 2 - 1 - 4 ) 的最优近似解( 可参考文献 3 9 、 4 0 ) 。 因为模型( 2 2 3 ) 的每个次优解都可能是模型( 2 - 1 - 4 ) 的一个最优解，这样 就有必要用一种合适的量度来衡量模型( 2 - 1 - 4 ) 最优解所具备的特性，下面这个 定理的作用就是为了介绍这样一种量度的使用。 定理1 3 ：如果x 是模型( 2 - 2 3 ) 的一个次优解，且存在一个彩，满足 f ( x ) = 国彳( x ) + ( 1 一缈+ ) 以( x ) = f ( x ) ( 2 6 ) 则0 5 国1 。 证明：由等式( 2 - 6 ) 我们可以得到： 缈= ( 石7 x + 一1 ( 7 ) i 万历f l ( x ) ) ( 彳( x ) 一l ( x ”( 2 7 ) 令 妒_ - - ( s i i 2 , s 2 1 2 , s 弩、 于是就有： 彬) ：石7 x + 九7 ) 兰毛x + e g q = l 石( x ) ：石7 x 一九7 ) 窆x + e g q 2 l 则可以推出： 缈：( s x + ( x ，v x ) ) ( 2 s 必x ) 3 己雕jx ，v x 2 s 3 x ，于是就有x ，v x 2 5 x l 厂( x ) 一珥 又因为f ( x ) 石 z ( x 。) ，z ，； 0 ， 其中，- 称为左拓展、右拓展，o ( t ，r ) 。 以把它看成是特殊的三角模糊数，= ( ，0 ，0 ) 。 其他 一个确定的数t ( t r ) 可 硕士学位论文 第三章含有模糊信息的证券投资组合模型 在现实生活当中，一个目标的完成需要很多发挥作用要素的共同合作，而 这些要素对完成目标所起作用的大小程度常常不一样，这个时候就需要建立某 种度量来衡量这些要素对整个目标完成所起作用程度的大小。通常意义上，如 果对完成某个目标，要素a 的最大值比要素b 的最大值的效果更好，我们就称 要素a 比要素曰好。但从另外一个方面，有时比较两种要素的最小值，如完成 某个目标要素彳比要素b 所花的时间要短，这个时候也称要素彳比要素b 好。 运用这种理念，我们可以用如下