（凝聚态物理专业论文）推广的费米型量子可导非线性schrodinger模型的可积性研究.pdf

摘要 本文利用量了反散射方法( 代数b e t h e a n s a t z 方法) 详细讨论了推广的多分量费 米型量子可导非线性s c h r 6 d i n g e r ( d n l s ) 模型的构造及其可秋性的证明问题。d n l s 模 型给出的相互作用不仪依赖粒子数，而且依赖于粒子数的坐标导数项，这是与非线 性s c h r 6 d i n g e r ( n l s ) 模型的不同之处。文章由一个推广的l a xp a i r 表述形式出发，导 出了推广的多分最费米型量子d n l s 模型的哈密顿_ 量；利用量子反散射方法，找到了 由l “矩阵定义的m o n o d r o m y 矩阵在有限间隔和无限间隔情况下所满足的量子y a n g - b a x t e r 方程( q y b e ) ，从而证明了模型的可积性；文章最后指出，由量子y a n g - b a x t e r 关 系可以得j ! l j m o n o d r o m y 矩阵的所有卵阵元所满足的代数关系，通过这些代数关系便 可准确求解系统的本征值与本征函数。 本文主要包括三个部分。在第一部分我们给出了本文中要用到的关于可积系统 的一些背景知识以及n l s 模型年n d n l s 模型的研究进展：第二部分简要回顾了玻色子 的d n l s 模型的求解和二分量的自旋t 2 粒子的量子d n l s 模型的可积性徊l 题；第部 分详细的讨论了推广的多分量量子d n l s 模型的构造及其叫积性的证明。 关键i 司：d n l s 模型，q y b e ，量了反散射方法，l a xp a i r a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h ei n t e g r a b i l i t yo fg e n e r a l i z e dm u l t i c o m p o n e n tf e r m iq u a n t u m d e r i v a t i v en o u l i n e a rs c h r 6 d i n g e r ( d n l s ) m o d e lh a sb e e ns t u d i e db yu s i n gt h eq u a n t u m i n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ( a l g e b r a i cb e t h ea n s a t zm e t h o d ) w i t ht h eh e l po fl a x o p e r a t o r ，t h em o n o d r o m ym a t r i xi sc o n s t r u c t e d a n db yu s i n gt h eq u a n t u mi n v e r s e s c a t t e r i n gm e t h o d ，i th a s b e e ns h o w nt h a tt h em o n o d r o m ym a t r i xs a t i s f i e st h eq u a n t u m y a n g - b a x t e re q u a t i o n ( q y b e ) o nb o t ha f i n i t ei n t e r v a la n da ni n f i n i t ei n t e r v a l s ot h e i m e g r a b i l i t yo ft h i sm o d e li sp r o v e dt h r o u g ht h ec o m m u t a t i o nr e l a t i o n sa m o n gt h e e l e m e n t so fm o n o d r o m ym a t r i xl i s t e db yt h eq u a n t u mt h ey a n g - b a x t e re q u a t i o n ，t h e e i g e n v a l u e sa n dt h ee i g e n v e c t o r so ft h em o d e lc a r la l s ob eo b t a i n e d t h et h e s i sc o m e si nt h r e ep a r t s t h ef i r s tc h a p t e ri sab r i e fi n t r o d u c t i o no ft h e b a c k g r o u n do ft h ei n t e g r a b l es y s t e ma n dt h en e w e s td e v e l o p m e n t sa b o u tt h en o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e r ( n l s ) m o d e la n dt h ed e r i v a t i v en o n l i n e a rs c h r s d i n g e rm o d e l i nt h e s e c o n dc h a p t e r ，t h eb o s o nn o n l i n e a rs c h r s d i n g e rm o d e la n dt h ei n t e g r a b i l i t yo fg e n e r a l i z e dt w o - c o m p o n e n tf e r m iq u a n t u md e r i v a t i v en o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e rm o d e la r es t u d i e d b r i e f l y a n di nt h el a s tc h a p t e rt h ei n t e g r a b i l i t yo fg e n e r a l i z e dm u l t i c o m p o n e n tf e r m i q u a n t u md e r i v a t i v en o n l i n e a rs c h r o d i n g e rm o d e li ss t u d i e di nd e t a i l k e y w o r d s ：d n l sm o d e l ，q y b e ，q u a n t u mi n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ，l a xp a i r 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和 借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作 者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：匆日蕴本 指导教师签名： 加s 年月f 6 日年 月 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：刁嫒承 撕年6 玛f 6 日 采5 ：童一导零向急 第一章引言 1 1 前言 可积性问题的研究，自2 0 世纪6 0 年代以来，已成为理论物理学和数学物理领域中 非常活跃的研究课题之一。可积性问题的研究主要是寻找低维非线性系统的解析解和 构造可积的系统。本文的主要内容即是属于构造量子可积的系统。可积模型是统计物 理和低维场论中一类非常重要的模型，它可以看成是真实物理体系的简化。这种简化使 得原本非常复杂难以求解的物理体系的配分函数变得简单而易于求解。可积模型的研 究在凝聚态物理、共形场论等领域中有广泛的应用。如强关联电子系统中的h u b b a r d 模 型，最早可用来解释过渡金属化合物的磁性质，更深入的研究则发现它和费米液体理 论，高温超导理论中的氧化铜平面都有联系。另外，对量子可积系统的深入研究更是揭 示了物理学和数学在一些领域如代数结构等方而的相互联系。例如，对y a n g - b a x t e r 方 程的深入研究直接导致了量子群的产生【i 蠲。 系统的可积性是指系统的运动学情况或者动力学方程的解、或者与热力学性质 相关的热力学函数可以严格的用基本函数解析的表示出来1 3 。对于经典可秘系统，证 明具有n 个自由度的哈密顿系统可积是通过找到n 个相互独立且相互对合的整体运动 积分。对于量子可积系统，证明具有n 个自由度的哈密顿系统可积则是通过找p u n 个 相互独立且相互对易的守恒量。系统可积性的证明主要有两种途径。一是根据著名 的n o e t h e r 定理。该定理指出，在一个力学系统中，一对相互对易的物理量对应于一个 守恒量，原则e 可匕上任意选取其中之一作为体系的哈密顿量，傲说来，如果我们找到 一个力学体系的无穷多对相互对易的物理量，那么就有无穷多个守恒量与之对应，因 此我们说这个体系是可积的( 可解的) 。另外一种方法是利用l a xp a i r ( l a x 对) 。l a x p a i r ( l ，m ) 是系统相空间中的两个函数，它们满足= d l d t = 【l ，m ，其中 ，】是李代数埘 易括号。l a xp a i r 在证明系统的可积性中有十分重要的作用，通过它很容易构造体系的 守。i 酝i ( l ) ，满足要求d i ( l ) d t = o 对于一个经典的一维粒子系统，l a x 4 1 证明，对 于一些待定的相且作用势，可以找到两个厄米n n 矩阵l 和a ，这两个矩阵满足l a x 方 程，d l d t = i m ，l 1 ，并且行列式d e t l - w i 是个动力学常数。把该行列式按u 展开，可 以找t , j n 个对合的运动方程，于是证明系统是口j 积的。c a l o g e r o 和m 0 s e r 嗡】证明了对应 2 的量子系统也是完全可积的。 量子反散射方法( 代数b e t h ea n s a t z 方法) 是被“泛用于研究低维量子可积模型 的一种普适而有效的方法。这种方法由f a d d e e v ，s k l y a n i n t i ，】t h a c k e r ，w i l k i n s o n 和c r e a m e r 吼h o n e r k a m p ，w e b e r 和w i e s l e r 9 ，g r o s s e 1 0 等在1 9 7 8 1 9 8 0 年间各自独 市的提出的。该方法的基本步骤是：首先通过引入l a xp a i r 使一阶的微分方程降阶为 一对一阶线性微分方程组以简化运算；然后通过l “p a i r 满足的量子y a n g - b a x t e r 方 程( q y b e ) 找到系统一组相互独立的守恒量，从而证明系统的可积性；最后i = q y b e 给 出的代数关系求解系统的本征值和本征函数。需要特别指出的是，量子y a n g - b a x t e r 方 程在二维精确可解模型中起着非常重要的作用，它保证了体系的可积性。量子 f a n g - b a x t e r 方程是在1 9 6 7 年由y a n g l 儿，1 9 1 在对具有6 函数势相互作用的一位量子多体问题 的研究中作为自恰性条件首先发现的。随后在研究统计力学中的二维精确可解模型 时，b a x t e r 也独立的建立7 s t a r - t r i a n g l e 关系。随着各方面研究成果的积累，人们发现 量子y a n g - b a x t e r 方程普遍存在于量子可积问题中，并起着核心的作用。 利用量子反散射方法，已经有许多文章研究过非线性s c h r s d i n g e r ( n l s ) 模型的 一些情况，如自旋 粒子的n l s 模型1 1 2 ，玻色子的n l s 模型1 1 瑚，推广的超矩阵n l s 模 型【1 4 l 等。最近，m a u i c k 1 5 ，1 6 1 ，赵【1 7 l 等研究了另一类n l s 模型，即玻色子和费米子的 可导非线性s c h r 6 d i n g e r ( d n l s ) 模型。n l s 模型的哈密顿量含有动能项和相互作用项， 相互作用项为粒子数的平方性。而d n l s 模型与通常的n l s 模型的差别在于相互作用 项的不同。对前者而言，相互作用不仪依赖粒子数，而且依赖于粒子数的坐标导数项。 本文将利用量子反散射方法，给出推广的多分量费米型量子d n l s 模型，并证明其。j 积性。 3 1 2 可积系统背景知识 1 2 1 l a xp a i r l a xp a i r ( l a x 对) 是当前广泛使用的用以构造动力学系统运动方程，证明系统町积 及寻找动力学量可积完备集的有效工具。l a x 对是取值在李代数9 ，定义在系统的褶空 间上的两个函数l ，m ，这使得动力学变量，q ) 的演化方程等价于由它们所表达的演化 方程： 警：【l ，m ， 出 ” 其中【，j 是定义在g 上- 的李括号。由f l a xp a i r 僦，很容易证明z r ( z = 1 ，2 ，) 是 动力学守恒量，即 掣_ o ，2 ， 基本泊松括号可以表示为线型： 或二次型 其中 l i ( “) ，l 2 ( ”) ) = 【r 1 2 ( “，u ) ，工1 ( “) 】一 r 2 l ( ”，u ) ，l 2 ( u ) l 1 ( “) ，工2 ( ”) ) = l ( ) l 2 ( u ) r 晶( ，v ) 一r 毳( u ，v ) la ( u ) l 2 ( u ) p 是交换算子，满足 + l l ( u ) s 毛( “，v ) l 2 ( v ) 一l 2 ( v ) s i 2 ( u ，v ) l 1 ( u ) l 1 = l 0 1 ，l 2 = 1 0 l ，a 1 2 = p 0 2 1 p p ( x y 1 = y o x 若上述的线型或二次型p d s s o n 一i e 括号存在，即r 1 2 ( u ，”) ，8 1 2 ( e ，”) 蛋 9 矩阵存在， 则动力学守恒量的泊松括号为零， 打l ：，t r l 2 2 ) = 0 ， k ，f _ l ， 即不同的动力学守恒量之间相互对易。 4 1 2 2 量子可积系统概述 在这一节里，我们将列出关于量子可积系统的一般理论框架。像在经典的可积系 统中做为一个关键的工具一样，l a x 算子在量子情形同样扮演重要的角色。量子情况 下，l a x 算子的矩阵元是量子力学算符。为确保其可积性，此时的l a x 算子应当满足一 定的限制条件，这就是著名的量子y a n g - b a x t e r 方程： r 1 2 ( u v ) l l i ( u ) l 2 i ( v ) = l 2 i ( v ) l l i ( u ) r 1 2 ( u u ) 这里1 ，2 代表辅助空间，而i 表示量子空间。只有满足这些限制，我们才能说这个量子体 系是可积的。因为这样一来，我们就有办法构造一组包括哈密顿量在内的守恒量。例 v 如，若定义丁( u ) = ，璺厶( “) 表示m o n o d r o m y 矩阵，而矗，疋分别定义为n = 丁。l ，t 2 = l t 则对于下列一般的量了y a n 分b a x t e r 关系： r 1 2 ( u 一 ) 丑( u ) 乃( u ) = 疋( ) 乃( “) r ，z ( “一 ) 两边对辅助空间取迹，容易得绷 这里r ( 牡) = 打( 丁( u ) ) 为转移矩阵。我们看到，转移矩阵相对于不同的普参数札是相互对 易的。也就是说，可以得到相应系统一组独立的守恒量。这些守恒量( 定义为马) 一般 可以通过以下的方式来生成 i n r ( ) = 屿“ j 自然地，我们有 【凰，玛】- 0 5 第二章玻色子f i o j d n l s 模型 m a l l i c k 1 5 】研究过玻色子的d n l s 模型，求解方法如下。 2 1 经典情况模型的可积- 胜 经典情况下此模型的运动方程为 t 砂t + 4 k 。一4 ( 妒+ 曲) 掣。= 0 ( 2 1 ) 系统的哈密顿量 ，+ o 。 日= ( 一妒+ 忆z + 2 ( 妒+ 廿) 砂+ 啦) d 茁，( 2 2 ) ，一o 。 泊松括号为 妒( z ) ，妒+ ( g ) ) p b = 一硒( z g ) ， 世( z ) ，妒( ) ，e = 妒+ ( z ) ，妒+ ( ) ) p 且= 0 ( 2 3 ) 经典情形的l a x 算子写为 u ( 。，a ) ：if 1 j c ，4 ( z ) 咖扛) 一等 冲( z )；妒僦；+ 警) 仁a ， 定义此模型在有限和无限间隔睛况下的m o n o d r o m y 矩阵分别为 丁署( a ) = p e x p ( u ( z ，a ) d x ) ，0 2 j 1 ( 2 5 ) t ( a ) 2 一l i m 一。e ( - - x 2 , a ) 碍( a ) e ( 。，a ) ， ( 2 6 ) 0 2 + 。 其中p 代表顺序积分，e ( z ， ) = e z p ( 一i a 2 a a x ) m o n o d r o m y 矩阵所满足对称性 t ( 砷+ = k t ( a + ) - 1 ，t ( 一a ) = l t ( a ) l 1( 27 ) 娜= ( 羔学) ，l = ( x ) 肭枞黼扑 裂) ( 2 8 ) 柚” 6 (【 o 6 ， | | ，【 丁 因为a o 时7 ( a ) 就包含了所有散射信息，所以只讨论a 0 的情况。利用展开式 ( 胪o o 警， 可知c ：前几项为 r 十o 。r + c o = 一，c 1 = 4 妒+ 也如， j o 。j o 。 q = 8 ( 妒+ p 。一2 ( 妒+ t c ) 妒+ t 如) 出 容易看出模型的哈密顿量h = 一壶q 利用( 2 3 ) 给出的泊松关系可以得到 式中 丁( a ) 譬丁( p ) ) = r + ( a ，肛) 丁( a ) o 丁( p ) + t ( a ) 丁( p ) r 一( a ，肛) ，( 2 9 ) r 土( a ，p ) = e 土1 ( 一l ，a ) e 土1 ( 一l ，弘) r ( a ，“) e 千1 ( 一l ，a ) o e 干1 ( 一l ，p ) = 一( f 。0 3 0o r 3 十s 耋c r + oo - 一+ 5 呈盯一 盯+ ) ， 其中 s 呈= 捌攒m 2 簟m 。= 采，s c 一尚 r ( a ，卢) = 一( f 。g 3 盯3 + s 。( 盯+ 圆盯一+ 盯一。盯+ ) ) 于是，由( 29 ) 式可以得到 。( a ) ，o ( p ) ) = 0( 2 i 0 ) 由此证明对所有m 和n 有 c k ，g ) = 0 ，所以系统是经典可积的。 2 2 量子情况模型的可积。陛 对易关系满足 【砂( z ) ，砂+ ( 可) = 占( z 一) ， 眇( z ) ，妒( ) 】= 眇+ ( z ) ，妒+ ( ) 】= 0 真空态定义为妒( z ) 1 0 ) = 0 7 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 量了情况的l a x 算了写为 1 ( z ，a ) = il l，妊等一g p ( x 泌) ， 协 m ( 功 一 ) + 等 其中p ( z ) = 母+ ( ) 妒( 茁) 定义此量子模型在有限和无限间隔情况下的m o n o 出o m y 矩阵 分别为 黜) = = 脚( f 帅，岫) t ( a ) _ 一l i m 一。e ( 一z 2 ，a ) 瑶( ) e ( z 1 ，a ) z 2 + o o ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 式中“= 1 1 代表算子正规序。与经典情形类似m o n o d r o m y 矩阵可写为 丁= a 裂) 皿埘 b ( a )+ ( ) 可以证明矩阵 其中( a ，p ) = 赫，5 ( a ，肛) = 丽q i q - 再i ) a = t “，口= e 一，血是未定的实参数，当专= 一s i n d ，= 舞专，g = 器时，满足方程 r ( ，p ) 7 署( a ) o 丁署( p ) = ! = ( p ) o j 曙? ( a ) r ( a ，肛) ， ( 2 1 8 ) 这就是有限间隔的量子y a n g - b a x t e r 力- 程( q y b e ) 。无限间隔的q y b e ，可以证明是 r ( a ，f 。) c t + ( a ，) 7 t ( a ) o t ) c l ( a ，p ) = g + ( “a ) 丁( ，) 圆t ( a ) c 一沁，a ) r ( a ，p ) ，( 2 1 9 ) 其中 c+ca，p，=(ip+。；，p，i；，ecp，a，=(ip一。；，“，i； 712 、， o o 0 1 曲曲 o 九0 ，l，【 s 胁胁 oo s l 0 0 o ，fi-iil、 = 肛 r 式中阻( a ，p ) = 干爰兰对比无限间隔的q y b e 两边的矩阵元，可得到以下对易关 系， 阻( a ) ，a ( p ) 】_ 0 ，( 2 2 0 ) a ( 入) b + ( 弘) = ： ：! ：i ；至三b + ( 弘) a ( a ) = # 2 i q 万_ 二丌a 2 q 1 b + ( 卢) a ( a ) 一2 7 r a i 6 ( a 2 一p 2 ) 口+ ( a ) a ( p )( 22 1 ) 由( 2 2 0 ) 式可知l n 一( a ) 的所有展开系数之间相互对易，这说明模型是量子可积的。 由方程( 2 1 5 ) 可知，a ( a ) 1 0 ) = i o ) 利用此关系和方程( 2 ，2 1 ) ，可得 a ( a ) l 肛，弘z ，- 一，p ) = 垂，( 掣) i “，p 。，肛。) ，( 2 2 2 ) 其中i p l ，t 2 ，t t n ) ib + 江1 ) b + ( p 2 ) b + ( p _ ) f o ) 为得到实的本征值，定义算子 a ( a ) i ( a c 半) ，( 22 3 ) 展开为l n a ( a ) = 鬻 由方程( 2 2 2 ) 秣t g l 卢l ，芦) = k l 肛。，弘2 ，p ) ，k 的前几项为 n = q | v ，k 1 = 2 s i n a e # ；，也 j = l 与经典情况类似，量予d n l s 模型的哈密顿量为日= 一壶岛，对应于此啥密顿量的本征 方程是 h i 肌阮，i t , n ) = ；万孑( l v 心) 胁，阮舯) ( 2 2 4 ) _ j = 1 至此文献f 1 5 j 精确求解了玻色子的d n l s 模型。 9 芦 血2s 第三章二分量费米型量子d n l s 模型 在这章里，我们回顾- - t z 分量自旋1 2 粒1 的量- j 7 d n l s 模型【l 乱此模型的运 动方程为 i “j 一“j z z 一2 u j u ) u 3 + 2 2 9 “j 以( ) = 0 ( 3 1 ) 式中，j = 3 一j ，j = 1 ，2 ，g 为猫合常数，常算子( z ，z ) ，q ( ，) 满足反对易关系 u ：( z ，t ) ，( ，t ) + = u j ( z ，) ，u j ( ) ；= o ， ( 3 2 ) k 连，f ) ，4 ( y , t ) + = 6 扛一) 幻，( i ，j = l ，2 ，n ) ( 3 3 ) 3 1 系统的构造 此模型的l “算子具有如下形式 帅，垆i 豪0 u l ( x ) u 。( z )l ， ( 3 4 ) 州。) 一 式中丹= q ，p = u t u ，“= ( ，1 ) a 为潜参量，f l ，9 是待定的参数。 ? 2 2 丁署( a ) = ：p e x p ( ( z a ) 出) ：， ，0 2 ，z l 去碍( a ) = ：( a ) 碍( a ) ： z = 啡n ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) y=0 0 o v l 3 ， c 。， 差y ( a ) + ( 1 + 阶。，川芝z ( x l , x 2 ；a ) ( 3 1 。) 因为 【( 。) + 以“( z ) ( 1 + v ( x 2 ，a ) ) = 【l + v ( x 2 ，入) 】【( z ) + d ( z ) y ( z z ，a ) l + 【( 茁) ，v ( 茁2 ) 】+ d ( z ) 一v ( z 2 ，a ) u 。d ( 石) y ( z 2 ，a ) ( 3 1 2 ) 所以，( 3 7 ) 式可分解为 对以上二式取分量，则有 d y e 3 ： d x 差= ：m ，y h 刚 警：+ d y ： n z o 警= ：( 巩) 站+ ( 。- + ( ) 3 2 。 利用展开式k 3 ( 。，a ) ：登些，由方程( 3 1 5 ) 式可得( k 3 ) 。的前几项 n = 1 ( k 3 ) 1 = 一u j ( k 3 ) 2 = i 以u j + g p j u j ， ( v j 3 ) 3 = u j u y u j i f 3 u ；u j u j 。+ i 9 u j 叼。+ 2 i g u j u j 。勺 一i g u 嘉u ) u ，一i 9 呓咏码+ 如。 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 ，1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 坛胁d “吩 。胤 一 ，曼“ 巧 一 3 巧打 而方程( 3 1 6 ) 式又可写成 因此 式中 警刊( 哪一抄o o 2 击i 哼( 。 n = l 】= l 磊。2 巩+ 磊+ 等 厅 玛：一芒 “出， j 一工 z o ：咖r 如) d x j j l 驿妻厂i 蜘) n d z j = l 。一 ( 3 2 0 ) 这样我们就获得了7 鼍( a ) 的各分量的展开式。其中z 一1 是正比于一维体积的量，当工一 o 。时，z 二l 0 0 但在下面无限区间的m o n o d r o m y 矩阵的定义中该振荡因子将被e ( z ，a ) 所抵消。至此我们就获得了丁( a ) 的各分量的展开式。磊前几项为： f + o o z 1 = 一i p ( x ) d x ， 历= ：一q 啄d z + i g u j u j u j u j d x ：， ，= 1j o 。 ，一1j 一 z 3 = 正。： 呓q 。+ i p j p j + g p j c g ，：p j + 2 9 u j u j 。d ：d z 一1 j o o 。 由上述m o n o d r o m y 矩阵对普参数的展开，我们可以明显的构造系统的哈密顿量及其它 的几个物理量，如粒子数i z l ，动量漉易( 精确到一个常数) 。可以证明如此构造的算子 如i z l ，i z 2 都可与忍交换。这提示我们系统是否存在其它的守恒流，对这样一个无穷 自由度的系统而言，无穷多的守恒流将意味着系统是可解的。 如果我们定义体系哈密顿量h = 一i z a ，从反对易关系( 3 2 ，3 3 ) 式和演化方 程t n = 【u k ，驯，很容易得出运动方程( 3 1 ) 式。所以体系哈密顿量为 2 r + o 。 日= ：【u ：u ，。+ p j p j i 9 d 巩d 一2 i g u j u j 。p j ：d x ( 3 2 1 ) 1 2 3 2 有限间隔的q y b e 1 1 8 t 引入符号! !，其运算规则满足 x u u t y ! = “i x y u 其中x 和y 可以是m o n o d r o m y 矩阵( 3 5 ) 式的元素。j 以证h 月两个m o n o - d r o m y 矩阵的 直积满足下面的微分方程 去( 瑶( a ) 譬瑁( 芦) ) = ；c ( 掘) 曙( a ) 譬碍( 删，( 3 2 2 ) c ( z ；a ，p ) = 一r p l 00 0 00 a u l 0 0 0 00 0o 000 0 一 武0h g 叭0 0000 一g u l 00000 0 000 000 0 一姥p 2 00 一k u 2 0 000 0 一 婵 1 2 9 阮0 0 - - g u 2 000000 f l g p l 00 0 00 0 000 j 2 9 阮0 0000 00 9 g u 圭一9 2 ( p l + p 2 ) 其中。代表g r a s s m a n 代数中的直积，宇称算子p ( 1 ) = p ( 2 ) = 0 ，p ( 3 ) = 1 3 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 3 2 0、7p z ，【 c+ 、j p z 。 ， 十 ， 圆o ，【 | i 、j肛 z ，l c 中 中 式 式 引入一个矩阵 r ( a ，肛) = n0 00000 0 0 0lo00o00 0 o10 o 0 h 0 0 0 五d 】0o0 0 0 0 0 0 0a00 0 0 0 0 o 0 0l0h0 0 0 h0001o o o0 o 0 0o1 0 0 000 0000 ( 3 2 6 ) 式中h = i ( 一p ) ，a = l i ( a p ) ，= 1 + i ( a 一) 容易验证，当( 曩a ) 中的特定参数取值为 = ，2 = 2 i ，g = 2 i 时，矩阵r ( a ，卢) 和 ( 。；a ，p ) 满足 r ( a ，p ) c 扛；a ，弘) = c 扛；p ，a ) r ( a ，p ) ( 3 2 7 ) 由方程( 3 2 2 ) 式和( 3 2 7 ) 式，我们发现d n l s 模型的m o n o d r o m y 矩阵( 3 5 ) 式满 足量子y a i l 乎b a x t e r 方程【1 9 2 0 】 定义 r ( a ，肛) 瑶( a ) 譬瑶( 肛) 2 曙( 肚) 譬譬( a ) r ( 1 ，p ) ( 3 2 8 ) 3 3 无限间隔的q y b e $ 口系统的可积性 丁( 妁= 。，雹e ( 一王2 ta ) 碍( a ) 8 ( z - ，a ) x 2 _ + 这里丁：署c a ，形蓟，c s s ，式，e c 。，a ，= e z p c ；a z $ ， z = ( 1 ，) 丁寻( a ) o 瑶( p ) 一+ o o s 1 4 ( 3 2 9 ) 时所产生的振荡项。为此，把c ( z ；a ，p ) 矩阵( 32 3 ) 式分为两部分 式中 c ( z ；a ，肛) = c o ( a ，卢) + c l ( z ；a ，p ) ， ( 3 3 0 ) o ( a ，卢) = i m ( 。；土，肛) l z l o 。 = i ( a + p ) ( e 1 1 + e 2 2 + e 4 4 + e 5 5 - - e 9 9 ) - 4 - 妻( a p ) ( e 3 3 + e 6 6 一e 7 7 一e 8 8 ) + e 3 7 十e 6 8 ， c 1 ( z ；a ，p ) 是依赖于场的部分，当z 一士。时，c d x ；a ，卢) 为零a 于是利用( 3 2 7 ) 式可得 r ( a ，p ) e ( ；a ，p ) = ( z ；p ，a ) r ( a ，p ) ， ( 3 3 1 ) 式中e ( 。；a ，p ) = e z p ( c o ( a ，茁) 。利用( 3 3 0 ) 式可以求出微分方程( 3 2 2 ) 式的积分形 式 f x 2 瑁( a ) 瑶( p ) = ( z 2 一“a ，p ) + d z z ( x 2 一z ；a ，p ) ：c l ( 墨a ，p ) 焉( a ) 譬瑶( 肛) ! ， 0 j ：g l 4 上式右边第二项当z 1 ，2 2 一士o 。时为零。因此，在这种极限情况下， 丁：等( ) o 丁署( p ) + e ( z 2 一x i ；a ，p ) ， 这便是振荡项。为去掉这一项，我们定义 w ( a ，p ) - 。墅。e ( 一z 2 ；a ，p ) 嗜( a ) 譬瑶( 肛) ( z l ；量，卢) ( 3 3 2 ) - z 2 _ + 。0 由( 3 2 8 ) 式和( 3 ，3 1 ) 式，可得w ( a ，肛) 式满足方程 r ( a ，p ) i 矿( 土，p ) = w 7 ( p ，a ) r ( a ，p ) ( 3 3 3 ) 此方程代表在无限间隔极限下的q y b e 。 下面我们设法将( 3 3 3 ) 式由两个m o n o d r o m y 矩阵的直积形式表示。将( a p ) 式 改写成 7 ( a ，p ) = i ? + ( a ，p ) 丁( a ) 丁( i ) g 一( a ，p ) ， ( 3 3 4 ) s 1 5 式中 c 0 ( a ，口) = l i r a e ( 一z ；a ，p ) e ( z ；a ，p ) ， ( 33 5 ) c l ( a ，弘) = l i r ae ( 一。：a ，) ( 工；a ，弘) ， ( 3 3 6 ) 其中e ( 。；a ，p ) = e ( x ，a ) o e ( 茹，肛) 。将e ( z ； ，p ) 和( z ：a ，卢) 的具体形式代入( 3 3 5 ) ，( 3 3 6 ) 式并利用主值积分：l i 平p ( ! 1 2 掣l = 士i 7 r 6 ( ) ，可以得到 z 4 士0 0、， q ( a ，曲= lo 0 0 ooo o1o 0 o 0 、) 0 0l000 p + ( a ，p ) o0 o1ooo 0 o o ol00 0 o 0 001o 0 o o o0o 1 00o00o0 0o0 000 0 1o o 000000 o1o o o 0000 0 0100 0p 一( a ，p ) 0 0 0 0 o10 00 00 0 o 0010 000 0 0 000 10 p 一( a ，p ) 0 0 0 000 0 100 o oo o00 010 0 0 0 0 0 00 0l 其中p 士= 士芒i 一7 r d ( a p ) = 士i 壬i 通过方程( 3 3 4 ) 式，我们可将无限间隔情况下的q y b e ( 3 2 8 ) 式重新写成 ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) r ( 入，p ) g + ( 入，舻( ) 譬t ( p ) c 一( 入，_ 【上) = q ( “入) t ( p ) t ( a ) c 一( p ，a ) r ( a ，p ) ( 3 - 3 9 ) o 0 o o 0 o 0 o 1 )p o o o o 0 a o 1 0 p 通过对比此方程两边的矩阵元，我们可以得出量了m o n o d r o m y 矩阵的矩阵元之间所有 可能的代数关系。由对易关系陋3 3 ( a ) ，a 3 3 ( p ) 】= 0 ( a 。( a ) 表示丁( a ) 的第j 行第j 列的 矩阵元) 以及方程( 37 ) 式可知，当z l 一一o 。，z 2 一+ o 。时矿一0 ，磊3 = l n a 3 a = 莹蠢，凶此对所有n ，m 有 磊，l = 0 这样我们就找到了系统的无穷多的守恒流，由 n = o 此证明此模型是量子可积的。 1 7 第四章 推广的多分量费米型量子d n l s 模型 模型的运动方程为 i u 船= 。+ 2 札j t t u k 一2 匆札j 良( 舭) i # k = l l k = 1 3 9 2 u ；呓地码吣 ( 4 1 ) i # k = lj # i k = l 武中g 为耦合常数- 常算子。( 。，) ，越( ，) 满足反对易关系 “t ( 。，。c ) ，“，( ，t ) + = 迸( z ，t ) ，q ( ，t ) + = o ， 时州) ，“地) l = 6 ( 。一) 蛄，( i ，j = 1 ，2 ，n ) 4 1 系统的构造 ( 4 2 ) ( 4 3 ) 对一个非线性系统而言，其可积性依赖于能否找到一对l “算子。上述的运动方 程为坐标的二次微分方程，因此，我们试图找到一对一阶的微分方程组一l a x 对。使得 该方程组的自洽性条件给出所要求的运动方程。一般地，我们假设此模型的l “算子 具有如下形式 ( z ， ) p 1 ( z ) 十；0 ， 0 a p 2 ( x ) + ；0 ：0 0 0 u l ( z ) u 2 ( x ) i ；0 ； 0 0 厶m ( z ) + ；4 。( z ) “l ( z ) u ：( z )一9 j d ( z ) 一 n 式中岛= 呓t o ，p = 呓，a 为谱参量，矗是待定的参数。 ，= l 定义有限1 1 日j 隔的m o n o d r 0 l y 矩阵为 瑶( a ) = ：p e x p ( ( 。，a ) d x ) ，2 j z l 1 8 ( 4 4 ) ( 4 5 ) o t 式中“：”代表算子正规序，p 代表顺序积分。显然矩阵( 4 5 ) 式满足微分方程 两0 曙( a ) = ：( z 。，a 孵( a ) ： ( 46 ) 令 7 署( 砷= ( 1 + v ( x 2 ，a ) ) e z 反z ( z 2 ，x l ；a ) ) ( 1 + v ( x 1 ，a ) ) ， ( 47 ) 式中，z 和y 具有如下的结构 z 0 0 磊+ 1 n + l k 。+ 1 o ( 4 8 ) ( 4 9 ) 矩阵中4 代表在卜面的讨论种不需要明显写出的表示式。 同样地，让( z ，a ) = ( z ) + 一( z ) ，巩( 。) ，d ( 。) 分别表示形如z 、y 的分块对 角和非对角矩阵。于是方程( 4 7 ) 式可分解为以下两式 差吡州h ：， ( 4 1 0 ) 关：u d + u n d v ： ( 4 1 1 ) d z 、7 1 9 + + 0 0 0 一 ； ： 一 一 ，； 0 ，0 o ho 味 。吐 对以上二式取分量，则有 坐= ：( d ) j 。+ - + 善n + l 【( k k 一一嵋，( k 十l j = ：( ) 。m + ( a ) 州。k 。+ t t = 1 利用展开式u 。+ 。( 。，a ) ：登学，由方程( 41 2 ) 式可得( k n + 1 ) 。的前几项 n 2 l ( 嵋。4 1 ) 1 = 一 z n j “n 。一2 9 u 溆跏 = l ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) nnn + “j u 拍+ 9 2 u ：畦u t u 码 ( 4 1 6 ) i # j = 1 j = 1 m 女= l m 即= i 而方程( 4 1 3 ) 式又可写成 式中 磊m + 。：z _ 。+ 面+ 妻熹 丑l = z o = 磊= d x 、 p ( x ) d x ， i 呓( k 。+ t ) 。d x ( 4 1 7 ) 这样我们就获得了咣( a ) 的各分量的展开式。其中z l 是正比于一维体积的量， 当l 。o 。时，z 一1 一o 。但在下面无限区问的m o n o d r o i i l y 矩阵的定义r i 、该振荡因子将 n以 “ 也 。 嵋 州一 一 k u 吐 。蜘 g 七 + q以 = k+ 嵋 吩 k u + ，k u 巩 。舻 k 螬 一 砧 1 l 3n 峙 f 片f 入一2 g r _ - q _气咖。芦 被e ( z ，a ) 所抵消。至此我们就获得了丁( a ) 的各分量的展开式。磊前几项为： ，+ z i = - i p ( x ) d z ， j 一 n ，+ o o nn p + 易= ：一u