（理论物理专业论文）量子纠错编码研究.pdf

量子纠错编码研究 理论物理专业硕士研究生谭德宏 指导教师冉扬强教授 摘要 量子信息科学是- f l 新兴的交叉学科，其主要利用微观粒子作为载体，凭借着量子力学 所特有的一些性质：不确定性、相干性、纠缠等，可以完成一些经典的通讯、计算、密码学 无法实现的任务。近年来，量子信息论不管是在理论上，还是实验上都取得了许多激动人心 的进展，显示出经典信息无法比拟的优势，打破了传统的信息沟通，密码使用和计算的限制 终将促成二十一世纪以结合量子计算技术、量子通讯技术与纳米技术、纳米组件制造技术而 形成的量子工业时代。为了跻身于2 1 世纪世界先进工业强国的行列，许多国家纷纷加大了对 量子信息研究的投入力度。 量子计算机，量子密码学和量子通信，是量子信息科学的三个主要领域，其量子相干性 起着本质性的作用，可以说，量子信息论的所有优越性都来自于量子相干性但不幸的是， 在对量子比特的操作过程中，因为环境的影响，量子相干性将不可避免地随时间指数衰减， 这就是困扰整个量子信息论的消相干问题。消相干引起量子错误，因而需要引入量子纠错编 码。量子纠错编码是将量子态编入量子比特的一种方法，使得个别量子比特在保存、传输和 计算过程中发生的错误和消相干对被编入的量子信息和数据没有影响。虽然量子编码和经典 编码的基本想法类似，即要以合适的方式引进信息冗余，以提高信息的抗干扰能力，但量子 码不是经典码的简单推广，存在着一些基本困难，如量子不可克隆定理，测量引起态的坍缩， 并且量子错误的种类为连续统等 本文将围绕量子纠错编码做详细地讨论。在第二章，主要给出量子编码的基础知识，如 量子比特和叠加态，常用的量子逻辑门，几种普通量子编码方案，以及量子纠错编码的一些 基础性质、理论等。在第三章，从经典纠错码引入，主要讨论了三量子比特的比特翻转码和 相位翻转码，为后面的工作做准备。重点在第四章，根据前面的预备知识，参照国内外在量 子编码方面的进展情况，构造出了一组五量子位的叠加态编码，并运用简单的量子逻辑门， 设计了纠一位错的量子线路，通过对其纠错过程的分析，发现叠加态量子纠错编码不仅简化 l 两南大学硕十学位论文 了常规的编码式，并与常规的量子单态编码功效一样，而且更适合以后量子计算机的发展。 在第五章，纵观量子信息科学的发展过程，针对实验和理论上的进展情况，主要对量子编码 进行了展望，并提出自己以后的研究方向。 关键词：量子编码纠错叠加态 英文摘要 t h er e s e a r c ho fq u a n t u me r r o r c o d i n g m a o ft h e o r e t i c a lp h y s i c s ：d e h o n gt a n a d v i s o r ：p r o y a n g q i a n gr a n a b s t r a c t t h eq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c ei san 州s u b j e c t , w h i c hi sac o m b i n a t i o no fq u a n t u m m e c h a n i c sa n di n f o r r 恤t i o n i tm a i n l ym a k e s 嗽o fm i c r o s c o p i cp a r t i c l e s , t h a tb a s eo nt h es p e c i a l p r o p e r t i e so fq u a n t u mm e c h a n i c s f o re x a m p l e ，q u a n t u mo n m m i n t y , q u a n t u mc o h e r e n c e ，a n d q u a n t u me n t m g l e m e n t , t h o s ec a nd e a lw i t hs o r l w o r k st h a tt h ec o m m u n i c a t i o n , c a l c u l a t i o na n d c r y p t o g r a p h yo fc l a s s i c a lc a n tc o m p l e t e i nr e c e n ty e a r s ，s o m ef l o u r i s hp r o g r e s sa b o u tq u a n t u m i n f o r m a t i o nh a sb e e no b t a i n e di nb o t ht h e o r ya n de x l 目f i n m 也s oq u a n t u mi n f o r m a t i o nh a ss h o w n s ed i s t i n g u i s h e da d v a n t a g e sc o m p a r e dw i t hc l a s s i c a li n f o r m a t i o n i tb r e a k st h el i m i t a t i o n so f c o n v e n t i o n a lc o m m u n i c a t i o n , c r y p t o g r a p h y , a n dc o m p u t a t i o n t h i sw i l lh e l pr e a l i z ef o rq u a n t u m i n d u s f f yo f2 1 c e n t u r i e se v e n t u a l l y , w h i c hc o m b i n et h eq u a n t u mc a l c u l a t i o nt e c h n k i i l e , q u a n t u m c o n m m n i c u t i o nt e c h n i q u e ，n a n o m e t e rt e c h n i q u e ，a n dn a n o m e t e rm o d u l em a n u f a c t u r i n gt e c h n i q u e f o r j o i ni nt h e2 1c e n t u r i e so f d e v e l o p e dc o u n t r i e sg r o u p ，m a n yn a t i o n s h a v ee n l a r g e dt h es 岫g i l lo f t h eq u a n t u mc o m p u t e r , q u a n t u mc r y p t o s r u p h ya n dq u a n t u mc o m m u n i c a t i o na r et h et h r e em a i n 丘e l d so fq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c e i nw h i c hq u a n t u mc o h e r e r w 七p l a y st h em o s ti n l p o r t e n tp o r t s t h es u p c f i o f i t yo fq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r yc o n l c sf r o mq u a n t u mc o h e r o n c o h o w e v e r , i nt h e p r o c e s so fq u b i to p e r a t i o n f o rt h ee n v i r o n m e n ti n f l u e n c e 。t h eq u a n t u mc o h e r e n c ew i l lj n e v i 诅b l y d e c a yv e r yq u i c k l yw i t ht i m e ，w h i c hi sc a l l e dq u a n t u md e c o h e r e n c e ，a l lu n s o l v a b l ep r o b l e mi n q u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y i ti s b e l i e v e dt h a tq u a n t u md e c o h e r e n c ew i l lb r i n ga b o u tq u a n t u m e r r o r 9t h e r e f o r e t h ei n t r o d u c eo fq u a n t m n 咖c o d ei sr e q u i r e d q u a n t m ne 删c o d ej u s ti s a m e t h o dw h i c hu s e st h es t a t eo f q u a n t u m j o i nt h eq u b i t t h i sc a l lp r o t e c tt h eq u b i th a sn oi n f l u e n c e d b yc o n s e r v e d ，d e l i v e ra n dc o m p u t eo f q u a n t u md e c o h e r e n c e a l t h o u g ht h em e t h o do f q n a n m m c o d e i ss i m i l a r t h ec l a s s i cc o d e ，j u s tu r e d u n d a n c yi ni n f o r m a t i o n , f o ri l l 甲et h ea n t i - i n t e r f e r e n c e i i i 两南大学硕士学位论文 a b i l i t y , b u tt h eq u a n t u mc o d ei sn o tt h es i m p l ee x p a n s i o no fc l a s s i cc o d e ，b e c a u s eo fs o i i ”b a s i c d i f f i c u l t i e s ，f o re x a m p l e ，q u a n t u mn o - c l o n i n g , n a s u r e m e n td e s t r o y sq u a n t u mi n f o r m a t i o n , a n d q u a n t u m e l t o r sa l ec o n t i n u o u s t h i sp a p e rm a n l yd i s c s u r r o u n d sw i t hq u a n u n ne r r o rc o r r e c t i o n 。i nc h a p t e rt w o ，w ew i l l g i v et h eb a s i ck n o w l e d g eo f q u a n t u mc o d e ，f o ri n s t a n c e ，q u a n t u mb 也s u p e r p o s i t i n n , f r e q u e n t l yu s e d q u a n u n nl o g i cg a t e s ，o 帆m o ns c h e m e ，w f o u n d a t i o np r o p e r t i e s ，a n dt h e o r yo fq u a n t u m c o d e i n c h a p t e r ，w ea r em a i nd i s c u s st h et h r e eq u b i t sh i tn i pc o d ea n dt h et h r e eq u b i t sp h a s ef l i pc o d e b a s e0 1 1t h ec l a s s i cc o d e t h a td op r e p a r a t i o nf o rt h eb e h i n dr e s e a r c h t h ee m p h a s i si si nc h a p t e rf o u r , w ea c c o r d i n gt op r e p a r eo ff r o n tk n o w l e d g e , a c c o r d i n gt ot h el o c a la n do u t s i d ep i d j 躺o f q u a n t u m o m 峨c o n s t r u c t e dag r o u po ff i v eq u i t st oq u a n t u me r r o rc o d e ，a n dd e s i g naq u a n t m nc i r c u i to f s i m p l eq u a n t u mg a t e s f r o ma n a l y z i n gt h ep r o g r e s so f e n u rc o r r e c t i o n , w ef i n dt l l a ls u p e r p o s i f i o ni s g o o da tt h et y p eo fn o r m a lr e g u l a t i o n s ；e f f e c ti ss i m i l a rw i t ho r d i n a r i l yc o d e w h i c hi si mi n k e e p i n gw i t ht h ed e v e l 唧to fq u a n t m nc o m p u t e r i nc h a p t e rf i v e , w et a k eaw i d ev i e wo ft h e d e v e l o p m e n tp r o c e s so f q u a n t u mi n f o r m a t i o n , a i m 砒t h ep r o g r e s so f e x p e r i m e n te n dt h e o r y , m a k e 卸 o u t l o o k o f t h e q u a n t u m c o d i n g , a n d p u t f o r w a r d o u r r e s e a r c h d i r e c t i o n o f l a t e r k e yw o r d ：q u a n t u mc o d e e r r o rc o r r e c t i o n s u p e r p o s i t i o n 独创性声明 学位论文题目：羹到焦翁强珏究 本人声明所里交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得西南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者：潍媾段签字目期：呻年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：耐不保密， 门保密期限至年月止) 学位论文作者签名：舅建、 签字日期：砌、)年月矶日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 戮：懈月2 二日 签字日期：矗。弓年毕月2 日 电话： 邮编： 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 量子信息学 我们目前所使用的计算机，代表了近年来技术进步的顶点，而这个技术进步萌芽于英国 数学家查尔斯巴贝奇( c h a r l e sb a b b a g e ) 的早期思想。并且以德国工程师康拉德。楚什( k o n r a d z u s e ) 于1 9 4 1 年制造出第一台计算机z 3 为开端。 但是令人惊奇的是，现在放在我们面前的高速现代化的计算机和它庞大的重达3 0 吨的祖 先并没有什么本质的区别，而那台庞大的机器是由1 8 8 0 0 个真空管和5 0 0 米的电线构成的。 尽管计算机已经变得更加小巧而且一般来说现在执行任务时已经快得多。但是计算机的任务 却并没有改变：把二进制位( o 和1 ) 的编码处理并解释为计算结果。每个位都是一个基本的 信息单元，传统上在数字计算机中用0 和1 代表每个位的物理实现是通过一个肉眼可见的 物理系统完成的，如硬盘的磁化或电容器中的电荷。包含n 个字符并储存在计算机硬盘上的 文件是通过一串0 和1 描述实现的。在这里存在着传统计算机和量子计算机之间的一个关键 的区别，传统计算机遵循着众所周知的经典物理规律，而量子计算机则是遵循着独一无二的 量子动力学规律( 特别是量子干涉) 来实现信息处理的一种新模式 在量子计算机中，基本信息单元( 叫做一个量子位1 域者q l l b “，也叫做昆比特) 不同于传 统计算机，并不是二进制位。q u b i t 具有这种性质的宜接原因是因为它遵循了量子动力学的规 律，而量子动力学从本质上说完全不同于经典物理学。q u b i t 不仅能在相应于经典计算机位的 逻辑状态0 和1 稳定存在，而且也能在相应于这些经典位的混合或重叠状态存在。换句话说， q u b i t 能作为单个的0 或1 存在，也可以同时既作为0 也作为1 ，而且用数字系数代表了每种状态 的可能性。这种现象看起来和人的直觉不符，因为在人类的日常生活中发生的现象遵循的是 经典物理规律，而不是量子力学的规律。量子规律只统治原子级的世界。 量子信息是指以量子力学基本原理哪为基础，通过量子系统的各种相干特性【”1 ( 如量子并 行( q u a n t u mp a r a l l e f i s m ) 、量子纠缠( q u o r u me n t a n g t e m e n t ) 蝴克隆( q u a a t u mn oc l o n i n g ) 等) 进行计算、编码和信息传输的全新信息方式。根据摩尔定律( m o o r et h e o r e m ) ，大约每十八 个月计算机微处理器的速度就增长一倍。其中单位面积( 或体积) 上集成的元件数目会相应 地增加。可以预见，在不久的将来，芯片元件就会达到它能以经典方式工作的极限尺度。因 此，突破这种尺度极限是当代信息科学所面l 临的一个重大科学问题。量子信息的研究就是充 西南大学硕十学位论文 分利用量子物理基本原理的研究成果，发挥量子相干特性的强大作用。探索以全新的方式进 行计算、编码和信息传输的可能性，为突破芯片极限提供新概念、新思路和新途径。量子力 学与信息科学结合，不仅充分显示了学科交叉的重要性，而且量子信息的最终物理实现，会 导致信息科学观念和模式的重大变革。事实上，传统计算机也是量子力学的产物，它的器件 也利用了诸如量子隧道现象等量子效应但仅仅应用量子器件的信息技术，并不等于现在所 说的量子信息。目前的量子信息主要是基于量子力学的相干特征，重构密码、计算和通讯的 基本原理。 建立在2 0 世纪物理学支柱之一的量子力学基础之上的量子信息学 0 3 ，是一门利用微观粒 子的量子力学原理来解决经典信息学和经典计算机所不能解决的问题的学科，因此量子信息 学是量子力学和信息学的交叉学科。量子信息学最重要的两个应用方向是量子通信和量子计 算。由于其潜在的应用价值和重大的科学意义，量子信息学作为最近十几年来迅速发展起来 的新兴学科，正在引起各方面越来越多的关注。 也许有人会问：量子力学的原理在很久以前就被物理学家们广泛接受并成为物理学的基 础，那为什么信息理论和计算理论的这个新发展却没有早些到来呢? 这或许是因为信息理论 和计算理论的奠基者们，比如香农( s t l a r 啪耐1 、图灵j r i n g ) 【”和冯诺伊曼( v m m ) 【9 l ， 过于习惯于把信息处理考虑成宏观过程，而在他们之前也没有出现不断变小的微电子器件等 这样有力的例证，来表明信息的处理可以是微观的过程。 大家知道，经典信息处理的最基本单元是比特( b i t ，即二进制数0 或1 ) 一个按照一定数 学规则给出的随机二进制数据串就构成一个密钥，经典通信中最难解决的问题是密钥分配问 题。由于密钥分配不是绝对保密的，经典密码也就不可能绝对保密然而，基于量子力学线 性叠加原理和不可克隆定理【嘲的量子密钥分配却可以解决这个问题。另外，经典计算中存在 着一大类n p 问题( 难解的非指数问题) ，即问题的复杂度随着比特位数的增长而指数上升这 类问题在经典计算机上是不能计算的，但是量子计算可以把其中的一部分n p 问题变成p 问题 ( 容易求解的指数问题) ，即问题的复杂度随着比特位数的增长以多项式上升。这类问题原则上 是可以计算的。一个具体的例子就是大数分解定理，按经典计算复杂性理论，这个问题不存 在有效算法，所以被利用来进行经典密钥分配。但是如果用量子计算机，使用s l l o ，“1 量子算 法，这个问题就变成了p 问题。例如，为了对一个4 0 0 位的阿拉伯数字进行因子分解，目前 最快的超级计算机将耗时上百亿年，这几乎等于宇宙的整个寿命；而具有相同时钟脉冲速度 的量子计算机只需要大约一分钟。因此，对于目前的密码系统，虽然人们几乎无法利用经典 2 第f 常绪论 算法对其进行破解，但一旦人们拥有了一台量子计算机，那么目前的密码系统将毫无保密性 可言。这一后果是对目前的密码系统的巨大挑战，因而对基于经典保密系统的行业( 如军事、 国家安全、金融等) 的信息安全构成根本的威胁。因此，为了保证这些领域的信息安全，也为 了拓宽人类对微观世界的认识，发展量子信息学刻不容缓：一方面，开发由量子力学基本原 理保证其保密性的量子密码系统；另一方面，研制按照量子力学基本原理运行的量子计算机。 为此，世界很多国家都投入了巨大的人力和财力积极地进行相关研究1 ”4 1 。 如上所述，量子信息学确实有着很重大的应用价值，如果实现，将是人类生产力的又一 次飞跃，迄今为止，科学家还只能实现由少数几个计算单元的量子计算机：基于单光子的量 子密码实验已经可以达到1 0 0 公里的量级i “但是要进行实用的、长程的量子通讯还需要更 多的努力在这方面，潘建伟博士及其合作者分别在奥地利和中国科技大学进行的实验研究 为未来的量子远程通信提供了重要的基础“”。 信息的基本单位是“比特”，在我们日常使用的计算机里就是。0 ”或者。l ”而量子 比特具有在同一时刻处于两个不同状态的特殊“才能”，可以同时表达“0 ”和。l ”举个 例子：一只老鼠想绕过一只正睡着的猫，要么从左边，要么从右边，只能选择其中的一条路 而一只。量子老鼠”则可以同时从左边和右边两条路绕过去。 我们用不同颜色的球，红色代表0 ，蓝色代表1 ，那么量子比特就如同这两个不同颜色的 球胶合在一起的哑铃。量子计算机实际应用的最主要障碍是量子哑铃十分脆弱，极易坍缩成 为普通的球。量子编码是克服这个障碍的有效方法，其中量子避错码【“1 9 l 是由我国科学家在 国际上最先提出来的。 一个量子存储器可存储一个量子比特哑铃。当许多个量子状态的粒子纠结在一起时。它 们又用量子比特的“叠加性”，可以展开“并行运算”如果把这种运算比作万只飞鸟刹那 间集体升上天空，那么普通计算机的线性运算就好像万只蜗牛排队过独木桥 “叠加”，即2 的多少次方，随着指数增加，其结果骇人听闻。象棋有“个棋格，第一 格放一粒米，第二格放两粒，第三格放四粒，以此类推，放完6 4 格，数学家计算，米的总数 足以覆盖地球表面两尺2 5 0 比特，在普通计算机里只能存储一个自然数，如果有2 5 0 量子比 特存储器的量子计算机，可存储的数目比现在已知的宇宙中所有原子的数目还多。目前我国 己利用核磁共振成功研制出四比特量子计算系统，接近国际先进水平 再假如我们要在一个储存了全球电话号码的资料库中，找到一个特定的号码，1 0 台“深 蓝”超级电脑要几个月，而一台量子计算机则只需二十几分钟。有趣的是：量子密码本身是 3 两南大学硕 ：学位论文 牢不可破的。如果我们对一个量子哑铃进行克隆，那克隆出的与输入的必然不会一模一样 正是根据这一点。科学家们找到真正不会“泄密”的“量子密码术”，并己开始运用于战争 通讯、金融和国家安全等领域。 1 2 量子编码的基本概念和提出背景 自从1 9 4 6 年第一台电子计算机发明以来，现在利用计算机进行复杂运算时，我们都不必 再为结果的可靠性担心。但是在计算机概念刚提出时，曾经有人提出如下反驳：在计算机这 样一个复杂系统中，噪声是不可避免的，只要噪声使得计算机中任一部件发生一次错误。最 后的运算结果都会变得面目全非，因此，利用计算机进行复杂运算是不可能的。这一困难后 来是怎样克服的呢? 编码在这过程中起了关键性的作用。什么是编码? 编码，更准确地说， 信道编码，指的是通过引入冗余信息，使得在一部分比特发生错误的情况下，仍有可能按照 一定的规则纠正这些错误，以实现无失真地传送和处理信息。举一个最简单的重复码为例， 我们可以将信号0 编码为0 0 0 ，信号1 编码为1 1 1 ，这样如果最多只有一个比特发生错误，譬 如，0 0 0 变成了0 0 1 ，我们可以按照少数服从多数的原则，找出错误的比特( 第三比特) ，并 纠正该错误。以上是经典编码的基本概念，为什么要引进量子编码呢? 这与量子信息论特别 是量子计算机的发展有关。量子信息论中，信息的载体不再是经典比特，而是一个一般的二 态量子体系。这二态量子体系，可以是一个二能级的原子或离予，也可以是一白旋为l 2 的粒 子或具有两个偏振方向的光子，所有这些体系，均称为量子比特( q u b i o 。区别于经典比特，量 子比特可以处于0 ，l 两个本征态的任意叠加态。而且在对量子比特的操作过程中，两态的叠 加振幅可以相互干涉，这就是所谓的量子相干性l e o - e e l 已经发现，在量子信息论的各个领域， 包括量子计算机、量子密码术和量子通信等。量子相干性都起着本质性的作用可以说，量 子信息论的所有优越性均来自于量子相干性。但不幸的是，因为环境的影响量子相干性将 不可避免地随时间指数衰减，这就是困扰整个量子信息论的消相干问题。消相干引起量子错 误，量子编码的目的就是为了纠正或防止这些量子错误。虽然量子编码和经典编码的基本想 法类似，即要以合适的方式引进信息冗余，以提高信息的抗干扰能力，但量子码可不是经典 码的简单推广。在量子情况下，编码存在着一些基本困难，表现在如下3 方面； ( 1 ) 经典编码中，为引入信息冗余，需要将单比特态复制到多比特上去。但在量子力学中， 有个著名的量子态不可克隆定 o n o - c l o n i n g ) ，禁止态的复制。 4 第1 苹绪论 ( 2 ) 经典编码在纠错时。需要进行测量，以确定错误图样在量子情况下。测量会引起态 坍缩，从而破坏量子相干性。 ( 3 ) 经典码中的错误只有一种，即0 ，1 之间的跃迁。而量子错误的自由度要大得多对于 种确定的输入态，其输出态可以是二维空间中的任意态。因此，量子错误的种类为连续统 因为这些原因，量子纠错比经典纠错困难得多。事实上，直到1 9 9 5 年底至1 9 9 6 年，s h o r m j 和s t e a n e - u l 才独立地提出了最初的两个量予纠错编码方案。量子纠错码通过一些巧妙的措施， 克服了上面的3 个困难，具体为： ( 1 ) 为了不违背量子态不可克隆定理。量子编码时，单比特态不是被复制为多比特的直积 态，而是编码为一较复杂的纠缠态。对于纯态而言，纠缠态即指不能表示为直积形式的态。 通过编码为纠缠态，既引进了信息冗余，又没有违背量子力学的原理。 ( 2 ) 量子纠错在确定错误图样时，只进行部分测量通过编码。可以使得不同的量子错误 对应于不同的正交空间，部分的量子测量( 即只对一些附加量子比特，而不是对全部比待进 行测量) 使得态投影到某一正交空间。在此正交空间，信息位之间的量子相干性仍被保持。 同时测量的结果又给出了量子错误图样。 ( 3 ) 量子错误的种类虽然为连续统，但人们发现，它可以表示为3 种基本量子错误( 对应 于3 个p a u l i 矩阵) 的线性组合。只要纠正了这3 种基本量子错，所有的量子错误都将得到纠正。 自从发现了最初的两个量子编码方案，各种更高效的量子码已被相继提出。在第二章，将仔 细说明这两类量子编码，即纠随机错的量子码和防合作错的量子码。 信息科学在推动社会文明进步和提高人类生活质量方面发挥着令人惊叹的作用。随着人 类对信息需求的日益增加，人们也在不断地推进信息技术的发展，但是现有信息系统的功能 已接近于极限值。电子计算机在过去柏多年中，每个芯片上集成的晶体管数目随时间呈指数 增长，这个被称为摩尔定律的经验法则预示着，1 0 多年以后计算机存储单元将是单个原子， 电子在电路中的行为将不再服从经典力学规律，取而代之的是量子力学规律于是就提出了 量子效应究竟会对计算机运算速度产生什么样影响的问题因此，信息科学的进一步发展必 须借助于新的原理和新的方法。 由于量子特性在信息领域中有着独特的功能，在提高运算速度、确保信息安全、增大信 息容量和提高检测精度等方面可能突破现有的经典信息系统的极限。因而量子力学便首先在 信息科学中得到应用，- - n 新的学科分支量子信息学也应运而生该学科是量子力学与 信息科学相结合的产物，是以量子力学的态叠加原理为基础，研究信息处理的一门新兴前沿 5 西南大学硕：i ：学位论文 科学量子信息学包括量子密码术、量子通信、量子计算机等几个方面，近年来在理论和实 验上都取得了重大的突破 由于量子系统与热库之间存在着不可避免的相互作用，这种相互作用会引起量子态与热 库态之间的纠缠，使编码量子信息散失到环境中，从而破坏量子通信与量子计算的可靠性 即使是量子系统与环境不存在相互作用，在执行计算时，由于基本量子门的实现是不精确的， 所以很难保证计算过程的准确性其实在经典计算机诞生之初同样也面临着计算误差累积和 错误的困扰。随着数字化技术的发展、器件可靠性的提高以及纠错编码技术的广泛应用，现 代数字计算机成功地克服了上述困难，迅速发展并得到广泛应用在目前，为了实现量子计 算机，量子编码还有许多工作要做 1 3 量子编码的研究现状 1 9 8 3 至1 9 8 6 年，美籍犹太裔的著名物理学家费因曼( r i c l m r dp f e y m m ) 于加州理工学院的 一个系列讲座课程中，在重新考虑计算机的潜能与极限时，发现量子状态叠加与纠缠的现象 赋予了量子计算指数增加的高度并行计算能力，可以实现经典计算机所无法达到的复杂计算， 从此正式开启量子计算的研究领域o ”。然而伴随着量子纠缠所可能发生的比特翻转与位相翻 转等现象极易导致错误的量子计算结果，此问题持续困扰着量子研究人员，令学术界全体同 仁认识到在量子信息的传输与计算中，量子错误更正与容错同样是实现量子计算的重要课题 之一 自从贝尔实验室研究人员p w s h o r 口6 j 利用量子计算中的量子信息的状态叠加与并行运算 的原理，成功地实现大数因子分解的多项式算法以来，量子信息理论的研究对象从最初比特 转移到量子比特，并开始构筑以量子比特为对象的量子信息论。这个研究方向上早期的量子 成果是1 9 9 5 年b s c h l | m a c h e r 在他的题为“q u a n t u mc o d i n g ”论文0 1 中给出了量子信息源编码定 理，走出了历史性的一步。b s c h u m a c h c r 在论文中，针对输出为量子比特的信息源。考虑以任 意小的错误率能够恢复原代码序列的编码压缩方案时，明显地感觉到利用冯诺伊曼熵嗍 ( v o n - n e u n m n ne n t r o p y ) 概念能够给出量子信息源编码压缩的界限，他开始着手赋予冯诺伊 曼熵操作意义，并将冯诺伊曼熵引入信息理论。冯诺伊曼熵与奠定经典信息理论的香农熵 ( s h a n n o n e n t r o p y ) 的类似性，促使计算机科学理论的研究者们进一步将信息理论的研究手法 引入到量子信息理论的研究中。利用这些证明手法，在1 9 9 7 年和1 9 9 8 年，b s c h m n a c h c r 和 m d w e s t m o r e l a n d 两组眇蚓以及h o l e v o 分别独立地证明了7 0 年代获得的h o l e v o 界限【3 l 】与无记 6 第1 章绪论 忆量子信道的信道容量( 信道中信息无失真地最大传输速率) 相一致的结论，由此解决了长 期未能明确的量子信道性能界限的上界问题。由于h o l e v o 界限是由冯诺伊曼熵与冯- 诺伊曼条 件熵的差决定的，而量子信道容量也具有冯诺伊曼熵的特征，因此通过量子信息理论的研究， 我们能够把冯诺伊曼熵与香农熵的概念对应起来。 与经典信息的信源编码和信道编码的理念一样，量子信息理论的研究也包含信源编码和 信道编码的研究量子信源编码依然是考虑去除量子比特列中包含的冗余信息，压缩信息量； 量子信道编码也依然是考虑量子比特的冗余，实现量子信息的高可靠性的传输量子信息自 动纠错是量子信道编码体系的主要研究对象，其目的是克服量子信道的噪音对量子信息的于 扰，提高量子计算机的容错能力，实现量子信息的高可靠性的处理。然而量子错误更正编码 的研究直到2 0 世纪9 0 年代中期以前一直处于混沌未开时期，由于信息的量子状态与环境的相 互影响、量子状态的连续性、纠缠性以及量子信息无法克隆定理的存在，部分学者认为量子 错误更正比数字通信纠错更为困难。美英学者深入研究多量子状态的纠缠现象。发现量子纠 缠对于量子计算亦敌亦友，未经控制的量子纠缠足以破坏量子计算的结果。然而经过适当控 制的量子纠缠却可以保护量子信息。量子错误更正的研究于1 9 9 5 年露出第一道希望的曙光， p w s h o t l 3 2 l 以及英国牛津大学学者a m s t c a n c i 3 3 a 4 1 在物理层面上。把复杂的纠缠态错误归结和 简化为只需要考虑每个量子位上独立发生的错误，并且错误的类型只有三种：比特翻转错误、 位相翻转错误和比特翻转加位相翻转错误，抽象成三个p l i 矩阵t y z 、a ，和吒。基于这种物 理模型的简化，将量子状态代码化，通过增加冗余赋予代码对错误纠正的能力，构造出世界 上第一个量子纠错码【9 ，1 3 】随后不久人们把它又改进为【7 ，l 3 】和【5 ，1 3 】，后者是最佳量子 码，通常将该方案称为是针对经典比特纠错编码的量子版本。 1 9 9 6 奄z ，由a i l c a l d e r b a n k 与p w s h o r 一- 入小组嘲以及a m s t c a n c l 3 6 - 3 7 几乎同时运用纠缠 现象的量子纠错编码方案，以经典线性纠错编码的原理为基础，设计出理论上简单可行的量 子纠错编码。以后为了纪念他们原创性的工作，采用三人的姓名字首，将所发现的量子纠锚 码简称为c s s 码。至此运用量子纠缠来更正错误的概念广泛地被学术界所接受，世界各地的研 究人员相继提出各种类型的量子错误更正码1 3 s - 4 0 1 ，迎来t 2 0 世纪9 0 年代的量子信息错误更正 编码研究的黄金时代，出现了量子纠错，量子避错、量子防错的量子错误更正编码体系，其 中最广为人知的是稳定码1 4 1 ( s t a b i l i z e r c o d e ) 。稳定码是f l c s s 编码提出后数月，a i l c a l d e r b a n k ， e m r a i 珊，p w s h o r ，n j a s l o a a e 等人总结了量子纠错编码理论的数学形式，并且给出一种 构作量子码系统的有效数学方法，如同一股科学上的发现常常是构建于已知的基础再发扬光 7 西南大学硕士学位论文 大稳定码系嗍的广义形式。是由若干稳定算予( 矩阵) 构成的群所定义，稳定码的码字 为稳定算子对应于本征值1 的本征向量，因此稳定码具备完整的数学架构。稳定码的编码方案 给出经典纠错编码和量子纠错编码之间的密切联系，从而用经典纠错码的结果构作出一批好 的量子码。他们的工作极大的推动了量子纠错编码数学理论的研究1 9 9 9 年以来，人们不仅 利用各种经典纠错码得到一批纠错性能不断改善的量子码。而且开展了关于量子码性能 的其他课题的研究，明确了经典纠错编码与量子纠错编码在代数性构造上的不同，指出了量 子纠错编码的研究方向 量子编码自1 9 9 6 年以来，成为量子信息学领域最热门的课题，其发展速度令人惊叹，现 在已经取得了激动人心的进展一方面，通过量子纠错编码理论的研究成果，人们看到了克 服消相干的希望，从而使得量子计算机和量子传输等可以从梦想变为现实另一方面，量子 编码定理是s h a n n o n 定理的量子推广，具有重要的理论意义量子编码理论的研究将大大促进 人们对量子力学和信息论这两门学科的理解。我们有理由相信在2 l 世纪必将引起一场以量子信 息学为基础的信息和通信技术的革命。量子纠错编码只作为量子信息学的一个方面。其中遗 留下来的问题也还很多，还有待进一步研究。目前，量子信息学已经成为内容十分丰富的新 学科。已经初步建立t s h a n n o n 编码定理的量子推广量子纠错现象已在通讯中成功应用，创 造出了“绝对安全的密钥”、“稠密编码”、“隐形传态”等经典信息理论不可思议的奇迹；已经构 造出了“分解大数质因子”、“未加整理的数据库搜索”等问题的量子算法。利用理想中的量子计 算机可以实现大规模的并行计算。产生经典计算机不可比拟的信息处理功能。在实验研究方 面，实现了局域网上的量子密钥分配，以及量子隐形传态。在量子逻辑门的物理实现方面已 经找到了几个物理系统，并成功实现了基本逻辑门运算。但是，我们应该明白：量子信息学 尚未形成像经典信息学那样的宏伟框架，要从理论走向成熟，很多问题有待于进一步研究 1 4 本文的目的意义和研究内容 量子错误更正码与量子容错计算是实际操作量子计算机所不可或缺的技术。具备高度并 行计算能力的量子计算机，执行计算的结果正确与否，极端依赖于准确控制神奇的量子纠缠 现象。量子信息错误更正的各种编码巧妙地利用量子纠缠来纠正可能发生的错误，然而量子 编码的电路本身，也需要采用适当的容错设计，以保证量子计算机能够实现精确的高速运算。 量子错误更正编码的发展历史，至今f j l j m i j 十年时间，量子容错计算的理论。仍有许多有待探 索的部分。 s 第1 章绪论 量子物理和信息论交叉形成的量子信息论近十几年来得到迅猛发展，其主要领域包括量 子计算机、量子密码术和量子通信，这三个领域都与量子编码有关。对其相关的量子编码方 式嗍、量子传输保真度 4 6 1 和叠加态”1 的讨论比较多，但是没有把叠加态和编码结合起来进行 研究本论文旨在进行这方面的尝试。 在量子信息论中，量子比特可以处于i o 、i l 两个本征态的任意叠加态，而且在对量子 比特的操作过程中，态的叠加振幅可以相互干涉，这就是量子相干性。量子相干性体现了量 子信息论的所有优越性，在量子信息论的各领域都起着本质的作用但是，因为环境的影响， 量子相干性将不可避免地随时间指数衰减，这就是消相干问题。消相干导致量子错误，因而 需要引入量子编码量子编码是将量子态编入量子比特的一种方法，使得个别量子比特在保 存、传输和计算过程中发生的错误和消相干对被编入的量子信息和数据没有影响而由于量 子i i 咖m j n g 界嗍的存在，对于纠一位量子比特出错的编码下限是用5 位量子比特，虽然早在上 个世纪9 0 年代中期，l a f l a m m e 【删和b e n m t i l 删等就已经编出了纠一位量子错误的5 位量子比特编 码，但是，由于量子位一般并不只处于态l o 或1 1 ，而是处于两者的叠加态，且量子计算( 机) 能对叠加态进行存储和计算是效率远高于经典计算( 机) 的根本原因之一，因此，量子叠加态编 码更具有普遍性，研究量子叠加态编码的一些特性是很有意义的 9 两南大学硕十学位论文 第2 章量子纠错码的理论简介 2 1 量子编码基础知识 2 1 1 量子比特和叠加态 传统计算机的电路是建立在一个用固体设备代表二进制数字位( b i t ，比特) 0 或者1 的基 础上的在大部分的计算机中。晶体管关闭( 输出电压为0 v ) 代表了二进制数0 ，而晶体管 打开( 输出电压为5 v ) 代表了二进制数1 而量子计算机则操纵着量子位或者说量子比特一个量子比特说明一个单粒子能存在于0 或1 的状态，或者同时存在于0 和1 的状态，这说明量子比特比比特可以表示的状态多而 且量子叠加态允许同时进行许多运算，这就是已知的量子并行，可以大大减少计算时间 可能量子比特最简单的一个例子就是光子可沿两条路径传播一条路径可以代表0 ，另一 条路径可以代表1 当光束射向分光机时光子能存在于两条路径的叠加态分光机很像一面普 通的镜子，但是，反射层被做的很薄，并不是所有的光都被反射，一些光也可以通过它传播。 当单光子遇到分光机时，光子出现于反射路径