（应用数学专业论文）一类非局部抛物问题的渐近性态.pdf

s u p e r v i s e db y p r o f l i uq i l i n d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，s o u t h e a s tu n i v e r s i t y j a n u a r y2 0 1 0 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 研究生签名： 日期： 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊 登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 研究生签名：嘲 导师签名：塞l 煎笛 日期： 加co 、f 哆， _ 一类非局部抛物问题的渐近性态 研究生：侯艳华 导师：刘其林副教授 在这篇文章中，我们考虑带有初边值条件的非局部抛物问题解的渐近性态， 卜舭+ 矗筹备，x ea p , r , t o , i( 厶，r 日( 1 一就) 妇) 1b ( u ) = 0 ，z o a p r ，亡 0 ， ： 【钆( 口，0 ) = 伽( z ) ， z a p ，r ， 其中a 是一个正的参数，日是单位函数，a 反r 是环 本文我们得到了这样的结果：对齐次d i r i c h l e t 边界条件，存在两个临界值k 和”，使 得当0 a 九时，问题的解珏，亡) 整体存在，且存在唯一的全局渐近稳定的稳态解；当 九 a 时，稳态解 不存在对于混合边界条件，依然存在两个临界值k 和舻，使得当0 a 九时，问题的解 珏( z ，芒) 整体存在，且存在唯一的全局渐近稳定的稳态解；当k a 4 或k a ”，且初值充分大时解托爆破特别地，对齐次d i r i c f l l e t 边界条件， 当k 0 ， 茁a p ，r ， t o g e t h e rw i t hs o m ei n i t i a l a n db o u n d a r yc o n d i t i o n s ，w h e r eai sap o s i t i v ep a r a m e t e r ，日i st h e h e a v i s i d ef u n c t i o na n da p ，ri sa na n n u l u s i ti 8s h 伽i ，nt h a t ：f o rh o m o g e n e o u 8d i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n ，t h e r e e x i s tt w oc r i t i c a lv a l u e 8 九a n dh 8 0t h a tf o r0 a 九，u ( z ，t ) i sg l o b a li nt i m ea n dt h eu n i q u es t a t i o n a r y8 0 l u t l o n 1 s 西o b a 珏ya s y t n p t o t i c a l l ys t a b l e ；f o r 九 入 入+ ，t h e r ei sn os t e a d y - s t a t e f o rt h em i x e d b o u n d a r yc o n d i t i o n ，t h e r e e x i s tt w oc r i t i c 甜v a l u 船入。a n da + ，s ot h a tf o r0 入 a 。，u ( x ，t ) i sg l o b a li nt i m ea n d t h eu i l i q u e 8 t a t i o n a r y8 0 l u t i o ni sg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e ；f o rk ro rf o r 凡 入 a n d i n i t i a ld a t as u f f i c i e n t l yl a r g e ，t h es o l u t i o n 钍 “b l o w s1 l p ，( i n8 0 m es e n _ s e ) i np a r t i c u l a r ，f o r 入幸 0 ， ( 1 - 1 ) z q 其中，缸= 珏( z ，t ) 表示食品的温度，a = a v 2 ，a o ( o 是常甄y 是电位差) ，( 珏) 是食品随温度 变化的电阻率根据对食品加热的不同，电阻率随温度变化也不同但对于大多数食品来说， 电导率随温度上升，电阻率下降，即，( 牡) 是单调递减的函数 方程( 1 1 ) 由下面的抛物椭圆系统得到： 魂一v ( 托( 让) v 钍) = 盯( 缸) i v 咖1 2 ，x eo , 亡 o ， ( 1 2 ) l 上石 lv ( 矿( 托) v ) = 0 ， z q ，t 0 ， 对于系统( 1 2 ) 的研究，可参考文献【1 , 5 ，6 ，1 1 ，1 2 ，2 6 t 关于问题( 1 1 ) 一维情形的研究可参考文 献f 1 6 ，17 j ，作者得到了这样的结论：对单调递减的函数，( s ) ，( i ) 若舻( s ) d s = o 。，问题存在 唯一的渐近稳定的稳态解；( i i ) 若矿，( s ) d s 。o ，通过尺度变换，不妨j 尹，( s ) d s = 1 ，则存在 临界值8 ，使得( a ) 当入 8 时，问题( 1 1 ) 没有稳态解，且解u 在有限时刻爆破 问题( 1 。1 ) 二维径向对称情形下，t z a n e t i sf 2 4 】首先研究了，( s ) 为单位函数时的情况，发现存 在两个临界值k = 锄2 和a = 8 7 r 2 ，使得当0 0 ， ( 1 3 ) ； i 牡( 。，0 ) = 铷( z ) ，0 留 1 ， 与之对应的稳态问题为： ju t _ w t + 高一o ，“ i 召) = 0 ， z = 0 ，1 ， 其中，( 8 ) 是正的单调函数作者得到了与文献 1 6 ，l7 】类似的结论在文献【1 4 】中，k a v a l l a r i s 和t z a n e t i s 对问题( 1 3 ) 中，( s ) 是单位函数时的情况进行了研究，并得到：问题存在两个临 界值k 和a 宰，使得当0 a k 时 存在唯一的渐近稳定的稳态解，且解u ( x ，t ) 是整体有界 的；当k a ”时，稳态解不存在此外，作者还证明了当 九 ? ， i ( 厶p ，r 日( 1 一让) 如) 。 召( ) ：o ， z a a n 兄，t o ， ( 1 4 ) 【u ( x ，0 ) = 如( z ) ， $ a p ，r ， 其中u ( z ，1 ) = 牡白，t ，a ) 代表导体的温度，h 表示单位函数 ，、i 1 ，s 0 ， 日( s ) = 一 一。一 东南大学硕士学位论文 8 是边界算子，a p ，冗表示环，即 a a r = z 毫2 ：0 p lzi r ， 初值咖( z ) 是径向函数 本文的研究应用了一维情形【1 4 ，1 6 ，1 7 】及二维径向对称情形f 2 4 1 中的方法和技术但 不同的是，我们得到了函数a ( s 1 ，s 2 ) 关于s 】递减因此，当入掌 入 ”时，对任何的初值 0 伽( r ) 1 ，问题( 2 1 ) 的解钍( r ，t ) 都是整体有界的因为我们考虑的是二维问题，文献 【1 4 ，1 6 ，1 7 】中的方法与技术必须做适当的改变；且本文考虑的是非径向对称的情形，较之【到 多了一些技术难度 本文主要结果有：对齐次d i r i c h l e t 边界条件，存在两个临界值a 。和 ，使得当0 a 儿时，问题的解让( z ，t ) 整体存在，且存在唯一的全局渐近稳定的稳态解w l ( r ) ，且w l ( r ) 在 r o = 剥要毫取得极值；当a 。 a ”时，稳态解不存在对于混合边界条件，依然存在两个临界值a 。和”，使 得当0 a k 时，问题的解仳( 。，) 整体存在，且存在唯一的全局渐近稳定的稳态解；当 k ”或沁 a ，且初值充分大时 解爆破特别地，对齐次d i r i c h l e t 边界条件， 当k a 舻时，解的爆破与参数a 有关 文章结构安排如下：第二章d i r i c h i e t 问题中首先对稳态解及其渐近性态进行研究，然后 通过构造上下解来研究解的存在与爆破；第三章考虑混合问题解的渐近性态与爆破 3 第二章d i r i c h l e t 问题解的渐近性态及爆破 我们首先考虑1 3 是齐次d i r i c 危跑t 边界算子的情形因为我们考虑的是径向对称解，因 此可以把( 1 4 ) 化为： 1 a 日( 1 一仳) l 旷蚧一脚。丽孑而丽 l i 让( p ，亡) = 让( r ，) = o ， 【t ( r ，o ) = 咖( r ) ， p 0 ， ( 2 1 ) p r r ， 其中咖( r ) 和扎 l ( r ) 是有界的，且对r ( p ，捌，咖( r ) 0 为了简便，假定对所有的r p ，r 】， o 咖( r ) l ( 必要时可做尺度变换) ，则由最大值原理有0 让( r t ) 1 特别地，( 2 1 ) 的第一 个方程等价于 1 f 0 ， l ， 毗喝r i 锄2ia 仇2 ( t ) ，牡 l ， 其中r e ( t ) 是集合( z a p r ：u ( x ，t ) 1 ) 的测度 2 1 ( 2 1 ) 的稳态解 问题( 2 。1 ) 的稳态解在描述( 2 1 ) 解的渐近性态及构造上下解中起到了很重要的作用，因 此，我们首先考虑问题( 2 1 ) 的稳态解问题 对u 分情况来讨论： 1 当p rsr 时，缸 1 此时问题( 2 1 ) 的第一个方程可化为 1 入 魄一蝓一i 嘶2 茅盯爵二巧甲 则( 2 1 ) 相对应的稳态问题是 j 叫+ j r 高= 。，p r r ，。2 2 ， | i 比) = 郇( r ) = 0 2 在a p ，r 的子集上t l ：1 ，则存在p s l 8 2 r 使得问题( 2 1 ) 第一个方程等价于 毗一撕r 一产1 = 秤f 栖，p q 8 h 舢2 r 锄， 毗一撕r 一嘶。紊丽万i 歹f 虿了驴。q 执哩一一 一壅塾奎兰堡望兰垒坠垒苎 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 一一一一 则问题( 2 1 ) 对应的稳态问题为 f + 兰叫，+ l + 砉+-， 叫( r ) = 1 ， = 0 ，p r 8 1 ，或8 2 r r ， ； l 叫( ，) = 砌( 冗) = 0 下面给出问题( 2 2 ) 的求解过程：、 对问题( 2 2 ) 的第个方程两端同乘r 并积分得 8 l r s 2 ， 所以有 = 一7 1 2 ( r 2 垒_ p 2 ) 2 ，兰4 r 2 + c l i n r + c 2 ) ， 由埘( p ) ：( r ) = 0 ，可得c 1 = 一研r 2 - 二p 1 2 砑 从而由t ，= 0 可以得到极值点为 厂面丁+ 伯2 v 2 ( i n r - i n p ) 。 而由w ( p ) = 0 可得 a ( 1 n r i n p ) a ( r 2 一矿) 一面哂面五丽醪i 孬一4 7 r 2 ( r 2 _ p 2 ) 2 ，【p ，r o ， 叼：盟一研面a(1n面r-i矿nr)4曩2(r2_p2)2 砺，【r o ，司-叼2 一丽哂面j 瓣= 矿) 一r m “卜 所以问题( 2 2 ) 的解为 叫扣t f 茹c r 2 焉z c ，二嚣， 其中，c = 硬南 显然，加l ( 7 ) 在r o 取得最大值 叫1 ( r o ) ：盈伽1 p ) = a 2 r 0 2 ( l n i r 矛o - 百季i n 二p ) - 习( f r g 一- p 2 ) ( 2 3 ) 因为w l ( r o ) 1 ，我们有 入 丽面4 再丌2 ( 面r 2 _ f p 2 酾) 2 = a 幸入 丽面再面f 酾瑚扣 另一方面，类似于问题( 2 。2 ) 的求解过程，可得方程( 2 3 ) 的解为 峥h 2 ，一铷m a ：1 受2 ， 仁4 ， 1 5 ) 。， 、7 l + 譬( i n r - - i n s 2 ) 一 r 2 - - 8 2 2 ) ，冰r 姐 其中d = a 【7 r 2 ( r 2 一+ s i s 1 ) j 因为铆2 ( p ；8 1 , 8 2 ) ：w 2 ( r ；s l ，8 2 ) = 0 ，则由( 2 4 ) 的第一个方程得 a ( s ，s 2 ) _ 霹4 7 面r 2 ( r i 2 _ 石p 2 万+ 可s 2 _ f 8 2 2 而) 2 ， 而由( 2 4 ) 的第三个方程可得 。，：菪描 由f 2 5 1 和( 2 6 1 得 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 2 s 弛8 l l n p ) 一( s i 一矿) = r 2 一s l 一2 s l ( 1 n r 一1 n s 2 ) ， ( 2 7 ) 其中s l p ，s 2 r 。 引理2 1 1 假定s l ，s 2 满足偿砂，则当s 2 _ r 一时s 1 一j 卧，s 2 _ 内+ 时s l 一绚一 引理的证明是显然的，在这里我们省略不证 由( 2 。7 ) 可得 f ( 8 1 ，8 2 ) ：r 2 一s ；一2 s l ( h l r l n s 2 ) + s 一矿一2 s ；( 1 n s l 一l n p ) = 0 ，( 8 1 ，8 2 ) ( 岛t o ) ( t o ，r ) ， 而且 c o f ( s 1 ，8 2 ) o s 2 = - - 4 s 2 ( 1 n r i n s 2 ) 0 ， 则由隐函数定理，对所有的( 8 1 ，8 2 ) ( p ，t o ) ( r o ，冗) ，有s 2 = 妒( s 1 ) ，及 m ) = 而s l ( 1 n 诵p - l n s l ) 。 ( 2 8 ) r；j1iil 叁童查兰堡兰垡丝皇二一7 引理2 1 2 若s 1 ，8 2 满足仁砂，则对任意的( s l ，s 2 ) ( p ，t o ) ( t o ，冗) 有s l ( 1 n s l l n p ) 一 s 2 ( 1 n r i n s 2 ) 0 ，即对所有的8 l ( p ，绚) ，( 粤1 ) 一1 证明：反证令 ，( s 1 ，8 2 ) = 8 1 ( 1 1 1 8 1 一l n p ) 一s 2 ( h a r i n 8 2 ) ， 假设存在( 8 1 ，妒( s 1 ) ) 使得，( 8 l ，8 2 ) 0 令 c = m i n s l | 8 1 ( 店咱) ，f ( s l ，8 2 ) = f ( 8 1 ，妒( s 1 ) ) o ) 因为，( s 1 妒( 8 1 ) ) 是关于s 1 ( p ，t o ) 的连续函数，且f ( p ，妒( p ) ) = ( p ，冗) = 0 ，所以基s a = c 0 而由假设f ( 8 1 , 8 2 ) 一1 ，再由( 2 8 ) 中( c ) 0 可得 一1 。，c s ，眈，c 肛佝，c r o ，动， 及 由( 2 7 ) 和( 2 8 ) ，有 a g 0 s l g ( s l , s 2 ) ：【2 s ；( 1 i l8 l l n p ) 一s ；+ p 2 】( 1 + 五l n 忑s f l 面- - l n p 一( r 2 一p 2 + s 一s ；) ( h ls 1 一l n p ) ：4 s l ( 1 n s l - i n p ) ( 1 + 面i n 8 面1 - l n p ) 卜【2 s ；( 1 n s l - l n p ) 3 ；卜p 2 8 2 ( 1 n r - 5 l l 苫n 2 s k s 。) 。2 。- s 2 。( i n 。z s ，l - l n p ) 2 - 【4 s l ( 1 n 8 1 一l n p ) +2 4 ( i n r i n 8 2 ) 8 1 2 8 2 妒7 ( 8 1 ) ( 1 1 18 1 一l n p ) 】 + 【( 2 s 2 ( i n8 1 - i n 忡1 熟雩盎恶笋咝 ：s 2 ( i n 8 1 忝- i n 面p ) 2f _ s 2 网( 1 nr 3 - i n 8 2 ) 2 - 日s 2 ) ， 一 。l s ( 1 n r l n s 2 ) 3 一一” 这里日( 8 1 ，8 2 ) ：2 s 2 ( i n r l n s 2 ) 2 2 s ；( i n s l i n p ) + s ；一矿而且 i o h 一：4 s 2 q a ( s 1 ) ( 1 nr i n s 2 ) 2 4 s 2 ( s 1 ) ( 1 i l r l ns 2 ) - 4 8 l ( 1 n s l l i l p ) 0 8 1 = 一4 s l ( 1 r 1 8 1 一i n p ) ( 1 n r i n s 2 ) 0 ， 因此，对( 8 1 ，8 2 ) ( p ，t o ) ( t o ，r ) ，有h ( 8 1 ，s 2 ) h ( p ，r ) = 0 由引理2 1 2 ，有 4 ( r n 8 1 一i n p ) 2 4 ( i n n i n s 2 ) 2 ：( s l ( i n s l l n p ) + s 2 0 n r i n 8 5 ) ) ( s 1 ( i n s l 一i n p ) 一s 2 ( i n r i n s 2 ) ) o ， ( 2 1 0 ) 再由( 2 1 0 ) ，我们有o g o s l 0 所以当( 8 1 ，s 2 ) ( j d ，t o ) ( r 0 ，月) 时，g ( s l ，8 5 ) g ( p ，r ) = o 。 因此，有 锷掣 0 i np i n 8 1 1 2 牌( s 1 ) ( 1 n r - l n s 2 - 1 ) ( 2 1 1 ) 东南大学硕士学位论文 9 ( 2 8 ) 和( 2 1 1 ) 联立，可得l i r a 。，。p ( s 1 ) = - 1 因此 。2 卜。鲰采害粥 = 舻8 1 嗡坠丛s l 蒿8 1 擎p 产掣 o p + ( m l n j = 4 丌2 c p + 冗，。，l 。i m 升譬三云错 = 舻戤。鲰斋者鸳 = 8 i r 2 ( p + r ) 2 = 舻 利用引理2 1 1 ，有l i m 。r o 一8 2 = r o 从而 l i m o ( s l 潮) = 礤警勘乩 即证 记| i l l = s u p w 7 ，则ijt i j ，l | = 彬7 ( j d ) 。因此，有 t t 每( p ；入) = 互；鹄，。 a 入。， 咖伯) 刊) = 番器袅， 及 以( 店p ，r ) = 选( 用r ) = 互而1 。西f 才= 。o 由以上分析可以得到关于问题( 2 1 ) 稳态解w 的图1 及下列存在定理 口 定理2 1 4 当0 a 儿时，问题俾- ，有唯一的稳态解i 当k 入 a 4 时，存在唯一的双 参数族稳态解仰方程偿刎；而当a a + 时，稳态解不存在 2 2 稳定性及爆破 我们首先来证明当0 a 沁时，t ，1 ( r ) 是问题( 2 1 ) 的唯一的全局渐近稳定的稳态解 定理2 2 1 当0 入 k 时，对任意的初值0 蜘( r ) 冬1 ，问题似砂有唯一的全局渐近稳 定的稳态解，且解t ( 7 ，t ) 是整体存在的 东南大学硕士学位论文 l i w 0 = ( 夕，五) 丸船一夕2 ) 0 k艽丸 图1 问题( 2 2 ) 和( 2 3 ) 的稳态解 证明：当0 u o ( r ) w l ( r ) 时，取函数 f 鳢驾葚铲，脚鲰跏， 毋= 鲤一，荔篡， 【4 7 r 2 ( 冗2 一p 2 ) 2 。”一。一 由 可得 魂一铺一睾= 2 r 3 ) ( 1 1 n r - 种l n p ) f - ( r r 2 - p 2 ) a ( t ) + 鼎， 同理可得当r t o ，捌时， z r 入 魂一锄一72 r 2 ( r 2 _ p 2 ) 2 r q ) = 4 ( a q ( ) ) 州= 而赫， 1 0 当t o 。时，a ( 芒) _ 入一所以，当t _ 。时，z ( r ，t ) _ l ( 7 ) 因此当t _ 。o 时，应用夹逼原理 可得u ( r ，t ) _ w l ( r ) ，r 【p ，嗣 当w l ( 7 ) 咖( r ) 1 时，取比较函数 和 y ( r ，t ) = w k r ；8 1 ，8 2 ) = 1 + 1 ， l + 3 ；一2 2 s 2 ( 1 n s l i n r ) 2 3 2 ( 1 n 8 1 - - 。l n p ) 一s ；+ 炉 d r 8 1 ，0 t t l s l ? _ 8 2 ，0 t t l 2s22j(1n再r-瓦ln瓤s2)鬲-面r2+s；，82rr,o t l ， 其中s 1 ，8 2 是t 的函数，满足p s 1 ( t ) s 2 ( t ) r 及( 2 7 ) 当0 t t 1 时，令4 ( 0 0 ，则由( 2 7 ) 和( 2 8 ) ，有 k ：剑丛淼将寄等笋 一481si面(1in氟s五l五_il=nlfl)五(万s12厂-二jp手2+；矿r2 s 2 一) ，pgr 8 1 , o t 一4 s l s i ( 1 n s l - i n p ) ( s 1 2 二芝壁二塑，8 2 r r ，0 t 亡1 ， ：面(a(sl丽,qo(sli)-瓣a)2s2(1nsl-+lnr2p)一-ms2+矿p212,0 a 及y ( r ，o ) = 锄( r ；s 。，妒( s 。) ) 咖( ， ) 则矿( r ，t ) 是问题( 2 - 1 ) 的一个上解 由( 2 1 3 ) 可得 4r2s硒a(1n再sl丽-in研p)(面s2-而p2+r2_si02+(sp21)a2dsl。=出， o ：io口、o一 ( 入( s 1 ) 一a ) ( 2 s i ( 1 n s l 一i n j d ) 一s + 旷) 积分得 r ，而4 丌2 a ( 1 n a 鞘l n p ) 高( ap 芒主群一，& t l 一 c214k-t x ， 厂8 1 ( t ) 一 2 2 十舻一妒2 鱼立登加：to t () 以。百两j 砸承而) 一盯2 + 萨】2w 一一一、7 儿 g ：岽罱渊釜筹薯等如 易知g ( 专) 是从【s o ，伽1 到 o ，列的同胚映射( 参考文献【7 】) ，其中 t ：f , 。 o 研4 r 2 a ( 1 na - ) 缈i np ) ( ( 1 n a 2 盯- _ l n p 2 + p ) r 一2 _ ( + p 2 ( a 】) z ) 3 d a t 1 时，类似于0 t 1 ，卢( t 1 ) ：a 。， ( 2 1 5 ) 即 p ( t ) = 入+ ( 入。一入) e 口( 。1 一“， 则y ( nt ) 是问题( 2 1 ) 的一个上解 东南大学硕士学位论文 易证彬l ( r ) 是问题( 2 1 ) 的一个下解因此 w l ( r ) 牡( r ，t ) y ( _ t ) ，r p ，捌 当一0 0 时，p ( ) _ a 十，因此，当t _ 0 0 时，y 机t ) 一她( r ) 所以当t o o 时，对所有 的r 【p ，捌，有u ( r ，t ) 一枷1 ( r ) 从而伽( r ) 是全局渐近稳定的稳态解 口 下面我们考虑当儿 a ”时问题( 2 1 ) 的稳态解的稳定性可以得到有下面定理 定理2 2 2 当入。 入 ”，0 蜘( r ) sw 2 ( r ) 时，问题留砂的解珏( n t ) 是整体有界的 证明是显然的，在此省略不证 注因为a ( 8 1 ，妒( s 1 ) ) 关于s 1 ( p ，7 o ) 是严格递减的，我们无法构造问题( 2 1 ) 的关于舌递 增的下解因此，当入宰 入 ”，0 咖( r ) 墨w 2 ( r ) 时，分析叫2 ( r ；a ) 的渐近稳定性比文献 f 1 4 ，1 6 ，1 7 ，2 4 】增加了一定的难度 令( s a ，妒( s a ) ) 是a = ) k ( 8 1 ，8 2 ) 的唯一解( 因为0 入0 8 1 o ) 引理2 2 3 假设k 入 ”，则有 l i m 垒! ! ! ! 型二垒： s i - - - * s a 8 1 一s a 其中c 是负的常数 证明：由( 2 9 ) 可得 l i m 坐! ：! 呈l 垒匦丛型 s l - * s a 8 1 一以 = c 1 i m 丛里尘进：。l i 墨k ( 8 1 ，8 2 ) a ( s l , s 2 ) ：k o a ，妒( s a ) ) g ( 瓢，妒( 歌) ) ：c s l - - a as 1 一s x s l _ 掌 口 定理2 2 4 若a 。 入 ”，w 2 ( r ) u o ( r ) 1 ，则问题似j ，的解u ( ，t ) 也是整体存在的 证明：反证假设问题( 2 。1 ) 的解“( r ，t ) 在有限时刻矿 0 0 爆破取比较函数 | ，l + 采嵩黔筹一t ， y ( n = 忱( r ；8 1 s 2 ) 。 ：+ 主事兰专孑三糕，：三二兰i 1 3 壅塑垄兰堡垒坠坠苎一1 4 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ；一一 其中s 1 和s 2 满足p s l ( t ) s 2 ( t ) r 及( 2 7 ) 若s t ( t ) 满足 m h 净跺怒鲁凝等掣蕞笋，汾。，仁 is 1 ( 。) ：弛 其中o r 时，对任意的初值o 伽( 1 r ) l ，问题偿j ，的解u ( r ，亡) 在有限时刻爆 破 证明：我们只需构造一个在有限时刻爆破的下解即可因此当0 亡 t l 时 我们考虑 甬数 令a ( t ) 满足 即 一4 r 2 ( r 2 一p 2 ) 2 n ( t ) 【r 2 一r 2f - 2 t o ( 矗垦二垫! ! ! 石可磁一p 2 ) 2 ，p r r o ，0 t t l ， ，r 0sr r 0 t t l ， ( t ) ：o ( 入一a ) ) ，0 t 沁，所以t 1 = a - 1 陋入一l n ( a k ) 】 o o 一 奎童查羔堡垒矍塾塞垦一曲 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 一一一 若当t ：t l 时u ( r ，t ) 存在( ( 让 t l 时我们取 fl + 两8 2 - 面r 2 再- - 2 瓦s ；( 1 f n s l 而- - i n r i ) ，p r s 1 l1 + 丽面再瓦乒虿孺脸一蛆 1 + 磐等器甚蔫心引鲰 苴中s ，和s 。满足d 8 1 f t l s 2 ) 0 时，z ( r ，亡) 是问题( 2 1 ) 的一个下解由( 2 1 7 ) ，我们有 贯= f 丽d a 伯 o o ， 其中g 使得s 1 ( t 0 ：p 上式中不等式成立是因为l i m a 。p 夕( 力= ( a 一入4 ) 【8 7 r 2 p + r ) 3 】是有界 的这说明当t _ 琏一矸时，对所有的r ( p ，r ) ，z ( r ，t ) 在有限时刻爆破从而钍( n 亡) 在有限 时刻爆破 口 第三章混合问题解的渐近性态及爆破 本载我们考虑艿是混合边界算子的情形可以把( 1 4 ) 化为： 啦一t 正盯一一t 正r2 r 让( n t ) = 嘶( 冗，t ) u ( r ，0 ) = u o ( r ) ， a h ( 1 一“) 4 7 r 2 ( 铲h ( t u ) r d r ) 2 p 0 ， ( 3 - 1 ) p r r 同样( 3 1 ) 的第一个方程等价于 毗一t 厶”一- - u r l 5 0 ； ， 缸1 ， r 【入m 2 ( t ) ，t l 1 ， 其中m ( t ) 是集合扛a p ，r ：t ( z ，t ) 1 的测度 3 1 ( 3 1 ) 的稳态解 首先，为了简便，不妨设( r ) 20 。则有下列引理： 引理3 1 1 廖考口弘l e m m a 若( r ) 0 ，则问题似j ，的解钍n ) 关于r 递增 与d i r i c h l e t 问题类似，我们对私分情况来讨论： 1 当p 冬r r 时，珏 l ，此时问题( 3 1 ) 的第一个方程可化为 则( 3 1 ) 相对应的稳态问题是 la 魂一蝓一i 嘶2 7 r 2 ( r 2 _ p 2 ) 2 ， r ”+ 吾叫7 + 击= 。，p r r ， 。3 2 ， 幻0 ) = 伽7 ( 冗) = 0 2 在a a r 的子集上t = 1 ，则由弓f 理3 1 1 可知，存在p 8 足使得( 3 1 ) 相对应的单 参数稳态问题为： p r s ， s r ， ( 3 3 ) 一、， t 两q l a i _ j | i 蒜一 w k 妒 一 奎宣查兰堡曼窑坠坠垒查一1 7 在( 3 2 ) 中，令钞( r ) = 伽：( r ) ，并在方程两端同乘r ，则( 3 2 ) 的第个方程可化为 r + 移= 7 r 2 一( r l 2 一p 2 ) 2 i ：， 所以有 = 口= 一两研a 互1 r + ；) ， 由t t ，( r ) = 0 可得c = 一r 2 ，从而 进一步可得 叫，= 一弹高研 t u = 一l ( 石1 r 2 一r 2 l n r + d ) ，2 f f 2 ( r 2叫2 一- - 1 9 2 ) 2k 互7 一 而由彬( p ) ：0 得c ，= r 2 i n p 一 | p 2 ，所以问题( 3 2 ) 的解为： w l ( r ) = 且硼l ( r ) 在r 处取得最大值，即 a 2 r 2 ( i n r l n p ) 一( r 2 一p i 2 ) 】 一 妇2 ( 舻一p 2 ) 2 r m 扣a ，x 用铆l p ) = 叫l ( r ) 。 因为当p r r 时，w l ( r ) 1 因此有 a 2 r 2 ( 1 n r l n p ) 二鲤二芝! j 群( 舻一j d 2 ) 2 另一方面，同于问题( 3 2 ) 的求解步骤可得问题( 3 3 ) 的解为 r 入f 2 s 2 ( 1 n r i n p ) 一( r 2 一p 2 ) 1 伽2 ( 邵) ： 一 4 7 r 2 ( 8 2 一矿) 2 ，p r s ， s r r 因为w 2 ( s ；s ) = 1 ，所以有 琊) = 孬面i 4 7 r 2 百( s 2 万- - j 7 2 ) 砑2 ， 从而，问题( 3 3 ) 的解可以表示为 r 耽( 即) = l p 7 。， 因为当p 8 h ( p ) = 0 且有 入( p + ) = 。里鼻入( 8 ) = 踟2 p 2 = a 事，a ( r 一) = 。彗盟a ( 8 ) = a 进一步，我们有 埘i ( 删3 丽而a ，o x x + ， 彬；( p ；冗) = 。1 i r a h w ：( p ；s ) = 葛i 孓百i 页_ = 2 ( j r i 2 习_ f p _ 2 ) 及再两， 及 以( p ；p + ) 。骧钮她8 ) = o 。 由前面的分析，我们可以得到关于问题( 3 1 ) 的稳态解的图2 及存在定理 定理3 1 2 当0 入k 时，问题p ，存在唯一的稳态解；当a a ”时，稳态解不存在 的，且解t ( 7 ，t ) 整体有界 则 由 证明：对初值t 0 ( r ) 分0 铷( r ) 伽1 ( r ) 和叼l ( r ) 0 ，q ( 0 ) = a o ， c a 4 ) a c t ) = 入+ ( a o 一入) e 一口1 。 其中，8 1 ：4 2 r 2 ( i n r 一1 n p ) 一( r 2 一j 。2 ) 】，伽是使得0 墨入及名( r ，o ) s 铷( r ) 的常数 则4 r ，1 ) 是问题( 3 1 ) 的下解 易证w 1 ( 7 ) 是问题( 3 1 ) 的一个上解从而 z ( r ，t ) t ( r ，t ) sw i c k ) ，p r r 当t 一。o 时，有b ( o _ 入所以，当t 一时，z ( r ，t ) 一伽1 ( r ) 应用夹逼原理，则 t ( r ，) _ 叫1 ( t ) ，r 【p ，周，t _ o o 奎童叁兰堡垒墼堕叁2 0 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = = = ；一。一。 当t 7 l ( r ) 蜘( r ) 1 ，0 t t 1 ( l 待定，在下面的过程中将会给出) 时，取 引r 她叫咖s 1 一，丽2 s 2 ( i i n r - - 面i n p 孵) - ( r 2 - p 2 i ) ，p r s ，。 川， y ( n d 2 耽( r ；8 ) 2 1 2 s 2 0 n s h 力一扣2 一矿r ：r r ，。 t p ，y ( r 0 ) 让o ( r ) 令 s俅)：(a(s)百-a卿)2s2(1ns - ( i n l n p s ) 岫- ( s 2 j d ) - p 2 ) 1 2 。，。 t ( 。) = 8 0 ， 则 丽再4r丽2s(s蔽2-五p2)研3(1n s - i n p s 2 ) d i s 弼= 出， ( 入( s ) 一入) 【2 s 2 ( 1 n s l n p ) 一【s 一矿j j 。 对上式在【0 ，叫( o t t l ，卢( 亡1 ) = ”， p 0 ) ：a 一( 入一入4 ) e 一吐- ( 。一。 则v ( r ，t ) 是问题( 3 1 ) 的上解 易证硼1 ( r ) 是问题( 3 1 ) 的下解所以 i t 3 1 p ) s “( r ，t ) v ( r ，) ，p rs r 一一 壅童窒兰兰坠耋兰垡! 垒兰冬：；1 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 一一一一 当t o 。时，届( t ) 一入，从而有y ( r ，t ) 一伽1 ( r ) 再次应用夹逼原理可得 u ( r ，t ) _ w l ( r ) ，t _ 0 0 由上面两种情形的讨论，当0 入入。，0 咖( r ) 1 时， l ( r ) 是唯_ 全局的渐近稳定的 稳态解 口 下面我们来考虑当入+ a ”时问题( 3 1 ) 稳态解的稳定性由定理3 1 2 可知