（理论物理专业论文）等离子体理论中的若干问题.pdf

论文题目：箜蛊生堡垒圭鲍羞士旦星 作者简介：型坠蔓，室 于南开大学物理学专业， ，盟工z 年生，2 q 鲤年师从塑j ! 壅塾丝，于皇q 盟年月 并获理学学士学位 论文摘要： 等离子体物理是物理学领域中非常重要的一个分支，在近代物理学的发展中起着 的作用，涉及众多研究领域，且充满巨大的应用前景本文就等离子体理论中的若二f 进行了研究，内容涉及高温、低温等离子体的理论和应用，包括：利用蒙特卡罗路径移 法，对强简并耦台费米系统热力学性质的研究；应用格林函数理论，数值求解了k “ 一b a 弘动力学方程，研究了超强激光等离子体相互作用时，等离子体的动力学特性 数值方法研究了磁约束高比压等离子体中，磁场梯度漂移对离子温度梯度驱动的动 不稳定性的影响；基于分子动力学方法，模拟了粒子数密度、温度和磁场等对二维 等离子体结构和相变特性的影响并对用不同理论模型得到的数值结果进行了比较和讨 关键词：蒙特卡罗路径积分，k a d a n o 垂b a y m 方程，离子温度梯度，分子勃力学模 研究成果： 1 刘松芬，王鑫等，第一作者， i 丑u 衄c e so ft e m p e r a t l l r ea 1 1 da v e r a g ei n t e r p a r t i c kd i s 0 nt h ep r o p e r t i e so ft w 0 _ d i m e n s i o n a ld u s t yp 1 a s m a ，理论物理通讯， 4 3 ，9 1 9 ( 2 0 0 5 ) 2 刘松芬，王鑫等，第一作者，t h es t r u c t u r eo f at w o _ d i m e n s i o n a lm a g n e t i cd u s t yp l a s i j p h y s a ：m a t h g e n 3 8 ，3 0 5 7 ( 2 0 0 5 ) 3 刘松芬，胡北来，第一作者，c a k u l a t i o no f i n 俯n a le n e r 科a n dp r e s s u r eo f d e n s eh yd 】 p l a s m ab yd i r e c tp a t hi n t e g r a lm o n t ec a r l oa p p r o a c h ，中国物理快报， 2 0 ，1 5 3 0 ( 2 0 0 3 ) 4 张家泰，刘松芬等，第二作者，强激光部分离化等离子体成丝不稳定性，物理学报， 1 6 6 8 ( 2 0 0 3 ) t 1 1 eo ft h ed r d e 口e e st h e s i s ：q 旦璺里望竺旦! 竺垫! 皇坐! 堕呈! 竺坐垒里堕! ! 堕 工n t r o d u c t i o no ft h ea u t h o r ：生! 望曼旦呈g ：鱼璺，w a 8b o r no n ! ! 些望l ，1 9 7 7 u n d e rc h eg u i d a n c eo f p r o 亘坠垦垦丝堂，逸旦卫堑a w a r d e d 协eb a c h e l 。rd e g r e c 。fs i ! 望盟a tn a n l 函u n i v e r s i t yi n 呈q 四 k e yw o r d s ：p a 如i n 。e r g a lm o n 抛c a r l 。，k a d a n o 堆b a y me q u a t i 。n s ，玷nt e m p e r a t u r eg r a d i e n t ， m o l e c l l l a rd y n 8 r i l i cs i m u l a t i o n a b 8 t r a c t ： p l a s m ap h y s i c si sa ni m p o r t a n tb r a n c h 。fp h y s i c s ，a n db e n 曲t s 矗o md e v e l o p m e n t so fm o d e r np h y s i c 8a n dt e c h n o i o g 矿工ti 8r e l a t e dt om a n y r e s e a r c h 矗e l d s ，a n df u u 耐t hg r e a tp r o s p e c tf o r a p p l i c a t i 。n s t h i st h e s i si ss t u d y i n gs e v e r a lp r o b l e 工i l so fp l a s m ap h y s i c s ，t h ec o n t e n t sc o n c e r nt h e a p p l i c a t i o n sa n dt h e o r yo fh i g h a n di o w t e m p e r a t l l r ep l a s m a i ei n v o l v e sf o u rp a r t s ：( 1 ) t h er e _ s e a r c ho t h e r 耶o d y n 脚j 。p o p e r i e si ns t m d d y d e g e r a 钯衄dc o u p l e df e r m is y s t e m si 王1t e r l so f t h ed h e c tm o n 钯c a r l op 扯hn e g r a l a p p r o a c h ；( 2 ) e m p l l ) y m g 曲et h e o r yo ft h eg r e e n ，sf u n c t i o n ， w en 砌e r i c a l l ys o i v et h ek a d a n 啦b a y m d y i l a m i c a le q u a t i o n s j8 t u d yt h ed y n 锄i c a lc h 盯a c t e r j s t i c s o fp l a s m ad u et oi n t e r a c t i o nb e t w e e ne x t r 舢s t r o r 培l a s e ra n d p l a s m a l ( 3 ) t h ee 瞄t so fm a g n e t i c g r a d i e n td r mo nt h ek i n e t i ci n s t a b i l i 时d r i 、呛nb yi o nt e m p e r a t u r eg r a d i e n ti nm a g n e t i c a l l yc o n _ 矗n e dh j 曲b e t ap l a s m a sa r en u m e r i c a i i ya n a i y z e d ；( 4 ) b a s e do nt h em o l e c u l a r d y n a m i c a lm e t h o d ， w es i m u l a c et h ee 如c t so fp 眦t i c l ed e n s i 吼t e m p e r a t u r ea n dm a g n e t i c 最e l do nt h es t t u c t u r ea n d p h a s et r a n s i t i o p r o p e r t i e so ft w o - d i m e n 8 i o n a ld u s c yp l a 8 m a w ec o m p a r em er e s u l t so b t a i n e d w i t hv a r i o u st h e o r e c i c a 】i d o d e l sa n dm 幽o o r r e s p 。n d j 。gd i s c l l s s i o n s i e s e a r c ha c h i e v e m e n t s ： 1 - 曼! 堕! ! 翌璧! ! 塑坠塑鱼墨堡壁型! 旦! 翌翌! ! ：! ! 婴! ：里堕! ：! ! 墨! ! ( ! ! ! 旦： 2 ! ! 坚生! 垦尘! 茎! ! 旦竺! 壁型! ! ：! ! 望：垒! 兰! ! ! ：璺! ! ：! ! ! ! ! ! ! ! f ! ! ! i ) ： 3 生堡! ! ! g 堡! ! 旦! 堡! ! ! i g ! ! ! ! 里里! 塑! 塑里堕! 竺! ：! ! ! ! ! ! ! ! ( ! ! ! 翌： 4 三垄型竺! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 堡! ! ! ! ! ! 垒! ! ! ：! 堕! 堑! ：! ! 些! ! ：! ! ! ! ! ! 塑( ! ! ! 塑： 第一章绪论 1 1 引言 等离子体物理是物理学领域中重要的一个分支，以大量带电粒子的集合体 为研究对象，在近代物理学的发展中起着重要的作用，涉及天体物理，原子、 分子物理，凝聚态物理，化学，生命科学等领域等离子体存在于星系和任何 微小的空间，并构成了星系和它们稀薄的空间中超过9 9 的可见宇宙但由于 地球和大气层的低温，高密度阻碍了等离子体在地球上的广泛存在，因此需要 依靠实验产生等离子体，进而研究其各种特性通过对等离子体性质的研究， 人们逐渐发现等离子体具有巨大的应用前景，并已成功地应用于现代科技，服 务于人类社会目前等离子体的研究集中在高温和低温两个方面 随着人类社会的迅猛发展，整个世界对能源的需求越来越大，当今世界的 能源结构分布为石油3 9 ，煤炭2 4 ，天然气2 2 ，水利6 9 ，核能6 3 ，而已探明的化石燃料储量和预期使用时间分别对应于：石油一1 4 q g t o e 一4 2 年；煤一5 0 7 g t o e 一2 2 4 年；天然气1 2 6 g t o e 一6 2 年由此可见，随着日益增 长的能源需求，大自然所赋予人类的自然资源正在不断的被开采殆尽，而新资 源的形成则需要经历上亿年，我们可以感受到越来越严重的能源危机而与之 相伴的则是日益加重的环境污染，如温室效应和酸雨，严重的破坏了人类的生 存环境目前，核能作为基础性能源的部份替代日渐受到瞩目，但由裂变反应 堆所产生的铀和钍的辐射，重金属的污染则不可忽视，同样威胁着人类的生存 环境因此，获得干净、无污染，安全且丰富的能源成为整个人类社会所面临的 共同的、需要迫切解决的问题之一受控热核聚变正是满足上述各项条件的一 种理想能源，它是在超高温度下，使等离子体中的轻核互相接近，在能够抗拒 彼此间的的库仑斥力下，通过互相碰撞聚合成较重的核，从而释放能量来实现 的由于聚变的反应燃料是轻核，特别是氢的同位素氘和氚，氦一3 和锂，资源 极大丰富，广泛地存在于自然界，保守估计下，其聚变能的应用也可达到1 0 9 年 第一章绪 论 2 以上 1 ，对人类来说是取之不尽，用之不竭的，因此受控热核聚变反应成为受 到世界各国共同关注的科学问题之一目前，实现受控热核聚变主要有两种途 径：( 1 ) 以激光为驱动源的惯性约束聚变，( i n e r t i a lc o n 行n e m e n tf u s i o n ，简 称i c f ) ；( 2 ) 以磁场约束等离子体的聚变，( m a g n e t i cc o 曲n e m e n tf u s i o n ， 简称m c f ) 目前，人们已知并可利用的受控热核聚变反应有【1 】： ( 1 ) d + d + t ( 1 0 1 e v ) + p ( 3 0 3 a ，e 矿) ( 2 ) j 9 + d 日e 3 ( o 8 2 m 。e y ) + 礼( 2 4 5 m e y ) ( 3 ) d + t + 日e 4 ( 3 5 2 m e v ) + n ( 1 4 0 6 f e y ) ( 4 ) d + h e 3 一h e 4 ( 3 6 7 彳e 矿) + p ( 1 4 6 7 彳e y ) ( 5 ) 上t6 + 扎t 十日e 4 十4 8 m 。e y ( 6 ) l i7 + 礼( + 2 5 m e 矿) + t + j 丁e 4 + n( 1 1 ) 其中d 和t 表示氢的同位素氘和氚，p 表示质子，n 是中子由于聚变反应发 生在粒子间的碰撞，因此反应截面至关重要，如图( 1 1 ) 所示与其它反应相 比，d 一丁反应具有反应截面大、产生能量高的优点，因而被广泛应用于目前 的受控热核聚变反应实验中实现等离子体点火，即意味着当热核反应释放的 能量大于( 或等于) 能耗( 维持热核反应继续进行以及燃料系统对外做功的能 量消耗) 时，可以形成自持的热核反应点火条件可由l a w s o n 判据【3 表征 它是实现受控热核聚变反应的重要指标，由等离子体的密度礼，温度t 和约束 时间r = 暑来描述： 3 r t n r 2 磊i i 瓦而一礼m d tq ( 1 2 ) 其中r 是等离子体半径，g 是声速，扎。为燃料克核子数，r = 尝是气体普适 常数r 除以有效克分子量口，q 为热核反应释放能，即为a 粒子携带的能量 如当n 丁 3 9 1 0 2 0 m 一s ，t 1 0 0 1 0 6 k 时就可以实现聚变反应因此，对 图11 ：离子温度乃对应的几种聚变反应截面与速度之积 的关系 于一个成功的热核聚变堆来说，不但要求系统的温度足够高，而且还需要提高 热核燃料的密度( i c f ) 或延长反应维持的时间( 箍束p i n c h 时间，m c f ) 来 实现对i c f 的研究工作来说，除了获得干净的能源外，由于其反应产物的特 殊性，还可用作激光聚变实现核爆模拟，进行核武器物理的研究。等离子体稳 定性的研究是受控热核聚变反应的主要课题之一，一直围绕在理论和实验的周 围，而平衡态和非平衡态的统计特性则是其研究的重要内容 低温等离子体技术已经广泛地应用于现代科学技术，在人们的日常生活中 发挥着重要作用。尘埃等离子体的研究是该领域中比较活跃的课题之一，属于 应用等离子体物理范畴在微电子制造业中，尘埃粒子会降低半导体器件的质 量和性能，甚至损坏器件因此，对尘埃等离子体输运特性的研究有利于提高 产品的性能，降低成本。另一方面，由于尘埃粒子吸附了大量电子和离子，颗 粒尺寸比较大，易于观察，且对外界条件反应灵敏，达到系统平衡的速度远远 快于胶体悬浮晶体，因而适于模拟晶体系统，有利于加深对凝聚态物理中一些 问题的理解。 箜二童堑堡 ! 理论研究和实验技术是研究复杂物理过程的两种传统方法。它们的紧密结 合推动着物理学不断地向前发展，然而很多物理条件暂时很难在实验上实现， 因此需要辅助新的方法加以研究随着计算机技术的迅猛发展，用计算机模拟 微尺度现象已经成为除理论和试验之外的第三种重要方法，被称为在计算机上 进行的另一种实验。它通过大量的计算来模拟真实系统的各种特性，如m o n t e c a r l o 方法、分子动力学方法都是分析微尺度问题的常用方法计算机模拟有利 于研究和认识复杂系统，可以揭示线性和非线性过程、随机和确定的输运过程 等等 1 2 本论文的内容和结构安排 基于上述理论和实验的需求，本论文主要做了以下几部分工作 第一章简述了本论文涉及的等离子体物理的研究内容 第二章应用蒙特卡罗路径积分方法，研究了高温稠密氢等离子体系统 的热力学性质； 第三章利用格林函数理论，数值求解了k a d a n o f r b a y m 动力学方程， 研究了超强激光等离子体相互作用时，等离子体的动力学特性； 第四章通过求解高比压下的特征模色散方程，分析了磁约束聚变中， 磁场梯度漂移对由离子温度梯度驱动并维持的漂移波不稳定性 的影响； 第五章基于分子动力学方法，模拟了粒子数密度、温度以及磁场和等 离子体介质背景对二维尘埃等离子体结构、相变和单粒子运动 特性的影响 第二章高温、稠密氢等离子体热力学性质的研究 2 1 引言 近年来，费米系统在很多领域受到人们越来越大的关注包括等离子体物 理、天体物理、凝聚态和核物质而人们最感兴趣的则是库仑和量子效应关联条 件下的费米液体、金属氢、等离子体相变和束缚态等等 4 ，5 ，6 】。理论上，m o n t e c 甜l o 路径积分( p a t hi n t e g r a lm o n t ec a r l o p i m c ) 方法是分析库仑与量子 关联效应的一种有效的方法，并已成功地应用于玻色系统 1 0 ，l l ，1 2 ，且在费 米系统中取得了明显的进展1 4 ，6 】。但在实际的模拟计算中，由于费米系统的 反对称性而产生的费米符号问题，使得人们很难对费米系统进行有效的数值模 拟计算为了克服这一问题，人们采用了各种假设条件，其中以b m i l i t z e r 等人 提出的r e s t r i c tp a t hi n t e g r 出m o n t ec a r l o ( r p i m c ) 1 3 ，1 4 ，1 5 】和v s f i l i n o v 等人提出的d i r e c tp a t hi n t e g r a lm o n t ec a r l o ( d p i m g ) 1 6 ，1 7 ，1 8 为代表 2 1 世纪初，b m m t z e r 等人在r p i m c 方法中首先引入了“n o d a is u r f a c e ” ( 节点曲面) 的概念，通过限制积分的路径来确保密度矩阵的贡献始终为正，即 假定一个节点曲面，只接受处于该节面上半部分保证密度矩阵大于零的路径， 而舍弃节面下半部分使密度矩阵为负的路径但这种方法只适用于某些特殊的 情况，目前只知道少数几种密度矩阵的节面，且这些节面类似另一方面，由于 目前的试验很难同时达到如此高的等离子体温度和密度范围，因此也很难验证 其结果的可靠性与此同时，v s f i u n o v 等人提出d p i m c 方法，把n 个粒子 系统的密度算符用新的路径积分表示，而费米系统的反对称性最终体现在一个 代数矩阵上，有效地克服了费米符号问题但其所考虑的物理模型目前只能很 好地描述弱简并耦合区域，而在中、高筒并耦合区域内，由于忽略了电子的量 子效应而存在一定的局限性。而中、高简并耦合区域正是人们关注的焦点，因 此，本章基于d p i m c 方法，研究了中、高简并耦合区域内的等离子体特性 5 第二章高温、稠密氢等离子体热力学性质的研究 2 2 蒙特卡罗路径积分模拟方法 2 2 1 m o n t ec a r l o 方法的基本思想 m o n t ec a r l o 方法属于计算数学的一个分支，又称为随机模拟( r a n d o m s i r n u l a t i o n ) 或统计试验( s t a t i s t i c a lt e s t i n g ) 方法它不同于通过真实试验来完 成的一般数理统计方法，而是通过抓住事物运动过程的数量和几何特征，利用 数学方法来模拟，即进行一种数字模拟试验通过建立一个概率模型或随机过 程，使它的参数等于所研究问题的解，再通过对模型或过程的观察或抽样试验 来计算所求参数的统计特性，最后得到所求解的近似值，而解的精确度则可由 估计值的标准误差来表示随着计算机产业的飞速发展，使得利用m o n t ec a r l o 方法实现大量的模拟真实试验成为可能，m o n t ec a r l o 方法是数理统计与计算机 结合的产物。 m o n t ec a r l o 方法可以解决各种类型的问题视其是否涉及随机过程的性 质和结果，可以归为两大类；第一类是解决确定性的数学问题首先通过建立 一个与所求解有关的概率模型，使所求的解等同于所建立模型的概率分布或数 学期望值；然后对这个模型进行随机抽样观察；最后把数学期望值的算术平均 值作为所求解的近似估计值例如多重积分的计算，求逆矩阵，解线性代数方 程组，解积分方程，解某些偏微分方程边值问题和计算微分算子的特征值第 二类是解决随机性问题这类问题有时可表示成多重积分或某些函数方程的形 式，进而考虑用随机抽样方法求解然而，一般情况下都不采用这种间接模拟 方法，而是利用直接模拟方法，根据实际物理情况的概率法则，用电子计算机 进行抽样试验。例如原子核物理问题，运筹学中的库存问题，随机服务系统中 的排队问题，动物的生态竞争和传染病的蔓延等等 2 2 ，2 3 2 2 2 m o n t ec a r l o 方法的一般解题思路 m o n t ec a r l o 方法是以一个概率模型为基础，按照这个概率模型所描绘的 过程，通过部分模拟试验，把模拟的结果作为问题的近似解，可归纳为三个步 塑：! 蓥壁里堕堡璺坌堡垫查鎏! 骤：( 1 ) 构造或描述概率过程；( 2 ) 实现从已知概率分布抽样；( 3 ) 建立各种估 计量 2 3 。简述如下； ( 1 ) 构造或描述概率过程 对本身就具有随机性质的问题，如粒子输运，面临的主要问题是如何正确 地描述和模拟这个概率过程。而对本来不具有随机性质的确定性问题，如计算定 积分，解线性方程组、偏微分方程边值问题等，若要用m o n t ec a r l o 方法求解， 就必须要事先构造一个人为的概率过程，而它的某些参量正好是所研究问题的 解，即将不具有随机性质的问题，转化为随机性质的问题。这便构成了m o n t e c a r l o 方法研究与应用上的重要问题之一 ( 2 ) 实现从已知概率分布抽样 由于各种概率模型，都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产 生各种概率分布的随机变量( 或随机向量) ，就成为实现m o n t ec a r l o 方法模拟 试验的基本手段所以有人把m o n t ec a r l o 方法称作随机抽样技巧。 ( 3 ) 建立各种估计量 一般来说，在构造了概率模型并能从中抽样后，即能实现模拟试验后，就 要确定一个随机变量，把它作为所研究问题的解的估计量如果这个随机变量 的期望值正好是所求问题的解，就称之为无偏估计各种估计量的建立，相当 于对模拟试验的结果进行考察和登记，从而得到问题的解 2 2 3 随机数与伪随机数 在用m o n t ec a r l o 方法模拟某过程时，需要产生各种概率分布的随机变量 而最简单、基本、重要的随机变量就是在 o ，1 上均匀分布的随机变量，得到广 泛的应用。 设r 为 o ，1 上均匀分布的随机变量，相应的密度函数为 f 】o z o 有 剐牙叫 等) “去广e 哮2 出= 一 ( 2 e ) 这表明，不等式 牙v 叫 等 ( 2 7 ) 近似地以概率l o 成立一般情况下，当“很小时，如n = o 0 5 或o 0 1 ， a 称为显著水平，1 一。称为置信水平。a 为随机变量x 的标准差结果( 式 ( 2 7 ) ) 表明，牙| v 收敛到j 的速度的阶为0 ( 一 ) 如果盯o ，则m o n t ec a r l o 方法的误差为 s = 篇 ( 2 8 ) 笙三童堕婆! 塑堂氢篓塞至焦垫垄堂壁亟塑堕塞 ! ! 上式中的正态差k 与显著水平n 是一一对应的，其对应关系可用( o ，1 ) 积分 表及公式 去e 辛2 拈，一詈， ( 2 。) 得到给出几组常用的血与a 。的数值【2 2 】： no 0 0 0 0 6 3 0 0 0 2 70 0 4 5 50 3 1 7 3o 5 o 0 5 0 ，0 20 0 l k 4321o 6 7 4 51 9 6 0 02 3 2 6 32 5 7 5 8 表2 1 a 和k 的关系 表中，当口= o 5 时，误差= o 6 7 4 5 盯、称为概然误差，这时的误差超 过的概率与小于的概率1 一。相等，都等于0 5 由式( 2 8 ) 可知，m o n t ec d o 方法的误差s 由口和 决定因此，可以 通过固定盯，增大工作量，或者固定工作量，减小盯的方法来提高精确度。但 若考虑到费用( 例如计算机的使用时间) g 的因素，如果费用g 是变化的，也就 是说g 随着方法的改变而改变时，由于= ( a 。一肛) 2 ，g = ( k 肛) 2 盯2 f ，因 此，m o n t ec a r l o 方法的效率是与盯2 g 成正比的。由此可见，提高m o n t ec a r l o 方法效率最重要的方向既不是盲目地增加抽样数，也不是简单地减少标准差 仃，而是应该在减小标准差的同时兼顾考虑费用多少，使方差矿与费用g 的乘 积尽量小 2 2 5m e t r o p o l i s 方法 统计物理学中，为了得到研究体系中所感兴趣的物理量，一般都从配分函 数z 入手， z = 厂e x p 一卢矿( r ) d r ( 2 1 0 ) 坚：! 鐾鲎童翌堑鱼翌坌燕型立鳖 ! ! 但很多情况下，一般不采用直接的m o n t ec a r l o 抽样方法计算类似配分函数这 样的积分形式。而且，由于注重得只是物理量的平均值 礼) 表示决定执行从i 到j 的尝试移动的概率转移矩阵，此时。通常看做是m a r k o vc h a i n 的基础矩阵所 谓的m a r k o v 过程指系统在c + t 时刻的状态仅由时刻的状态决定，而与过 去的历史无关。若考虑“空间，则只与该时刻粒子的位置与动量有关，与其它 时间粒子所处的位置和动量无关 然后判定接受或拒绝此尝试移动用p n 。( o 一礼) 表示接受从。到n 的移动 的概率，相应的转移概率( 0 一n ) 可表示为 ( 。一扎) = ( o _ n ) r 。( o - n ) ，( 2 1 2 ) 当系统处于平衡状态时，从d 至任一其它状态n 的可接受移动的平均数目恰好 被反向的移动所抵消，此细致平衡条件意味着( d ) n ( o n ) = ( n ) 一d ) 第二章高温、稠密氢等离子体热力学性质的研究 若概率转移矩阵q 是对称的，则( 。) 只。( 0 一札) = ( 礼) 只。一o ) ，因 此 缫：梨_ e x p m u ( 孔) 一，( 。) 】 ( 2 1 3 ) r c c ( 礼_ o )( o ) “”。“7 有很多选择都满足上式以及概率只。( 。一佗) l 的条件限制其中，m e t r o p o l j s 等人的选择为： ( d ) ) ，( n ) ( o ) 1 ，( n ) ( o ) ( 2 1 4 ) 这种选择较早期提出的绝大多数策略更易得到构型空间的有效抽样。因此，从 状态。至n 的转移概率可写为 n ( 0 一礼) ，( 几) ( d ) ( 。一佗) 【( n ) ( 。) ，( 礼) 之( o ) ( 2 1 5 ) ( o 一亿) ( 2 1 6 ) n o 决定尝试移动是接受或拒绝的常用方法是判定c ，( n ) 与u ( 。) 的大小。由式( 2 1 3 ) 可知，尝试移动将以如下概率被接受t f k 。( o ，札) = e x p 一卢 u ( n ) 一u ( o ) ) 1 ( 2 1 7 ) 为了决定接受或拒受此尝试移动，在区间【o ，1 内，均匀产生一随机数，标为 咒显然，r 小于f ( o n ) 的概率等于r 。( o n ) 如r 只。( 0 一n ) ， 接受此尝试移动，反之则拒绝但要确保随机数发生器是在区间 o ，1 】上均匀地 产生随机数，否则m o n t ec a r l o 抽样将会是偏倚的。 值得注意的是，如果尝试移动被拒绝，则在老的构型下，需要对所研究的 l ! 望鐾堑芝堕鱼塑坌焦塑立董 ! i 物理量进行再次计算原因在于：从。一n 的接受准则为 e x p 一卢【v ( n ) 一u ( 。) 】) 1 ， u ( ) u ( o ) ( 2 ，1 8 ) u ( 礼) u ( o ) ， 这些准则导致转移概率：兀( 。一n ) = r 。( 。一礼) 由于转移概率满足归一化 条件：。兀( o 一礼) = 1 因此，由归一化原理，再次接受老的构型的几率为： ( 。一o ) = 1 一n ( 。一几) ， ( 2 1 9 ) n 。 结果表明应当再次计算老的构型的贡献。 2 2 6 周期性边界条件 虽然计算机的飞速发展已经为人们探讨世界提供了一个新的方法，但目前 的计算机也还只能处理几百至几百万数量级的自由度，还不足以精确反映宏观 真实世界的本质信息，尤其体现在对无限空间系统的研究上，无法假定可靠的 边界条件因此，为了模拟无限系统的主体相，人们常借助于周期性边界条件 所谓的周期性边界条件，就是将含有粒子的体积看做是具有与其相同单 元的无限周期点阵的原始单元，如图( 2 2 ) 所示，即无限系统由若干原始单元 顺序排列组成对任一测试粒子i 来说，它与该无限周期体系中的全部其它粒 子存在相互作用，即该粒子与全部具有完全相同单元中的粒子作用若想精确 模拟无限系统，需要无限求和原始单元但实际上，由于多数处理的是短程作 用，因此无限求和改为有限求和选择一截断距离t ，忽略超出此截断距离 的粒子间相互作用一般来说，人们通常选择r 。t l 2 ( l 为周期盒子的边 长) ，因为这时所考虑的只是粒子i 与任意其它粒子j 的最近邻周期映像的相互 作用，如图( 2 2 ) 中的虚线盒子所示如果粒子间的相互作用势能在r 时不严格等于零，则截断距离的引入将会带来整个系统势能u “。的误差但如 果假定粒子间的相互作用随粒子间距离的增大而迅速衰减，那么可通过增加一 尾部贡献来校正此系统误差f 27 1 箜三童壹堡：塑鳖氢篓蹩至堡垫盔堂壁亟盟煎塞! ! - _ _ 。 一万j *，i 一镰、： ， 、i ， 一一 一l 一 图2 2 周期性边界条件的图示表征 最小像力约定就是考虑粒子与它最近邻周期像粒子间的相互作用 n n + l n r i l 则在无穷重复的基本区域内，粒子的相互作用距离可表示为= 商n ( n q + m l ) ，m 为整数与此同时，周期性边界条件的另一个含义是f ( 。) = f ( z + m l ) ， 表征如果有粒子从一边离开模拟区域，同时就有另一个粒子从另一边进入该模 拟区域 虽然可以用周期性边界条件来模拟宏观体系的主体相，但这种边界条件的 应用必会带来不存在于真实宏观主体体系中的虚假相关性，因此，还需要辅助 其它方法来克服 2 2 7 m o n t ec ”l o 方法模拟的具体步骤 m e t r o p 0 1 i s 方法是一种以m a r k o v 过程引入的，此方法中的随机行走是按访 问一特殊点r 的概率正比于玻尔兹曼因子e x p 一p 矿( r ) 】来构成的，其实现步 骤如下： ( 1 ) ：输入指定的运算参数，如系统温度t ，模拟粒子数及其粒子数密度 、j 022 ，【 l 一2 l 一2 一 + 吁 吁 一 一 r r l ! ：! 蓥鲎翌堕焦塑佥堕垫宣鳖 ! ! 等等； ( 2 ) ：产生均匀分布在【o ，1 上的随机数r y = l ，2 ，一，) 赋予粒子； ( 3 ) ：随机选择一粒子，并计算此构型下系统的能量u ( r r ) ； ( 4 ) ：给该粒子一随机位移，吩= n + d ，计算该构型下系统的能量矿( r ) ； ( 5 ) ：按r 。( o n ) = m i n 1 ，e x p 卢眇( ) 一u ( r ，) ) ) 的概率接受从r 至r ，的移动，若拒绝接受，则维持旧构型； ( 6 ) ：计算a ( r n ) ( n = 1 ，2 ，) ，返回( 3 ) 至系统观测量收敛； ( 7 ) ：用平均值 = 击器1 a ( p ) 表示观测量a 的近似值 由此可见，m o n t ec a r l o 方法是通过大量简单的重复抽样而实现的，其方 法和过程都很简单，得到广泛的应用 2 2 8路径积分m o n t ec a r l o 方法 量子统计力学中， p a t hi n t e g r a lm o n t ec a r l o ( p i m c ) 数值模拟方法可以 有效地把扩散方程与薛定谔方程联系起来，而w i e e ri n t e g r a l 则是其数学基础 1 1 9 】 假设一函数为f r ( s ) 】= e x p _ 臂v ( r ( s ) ) d s ，其中变量r ( s ) 是时间与温度 的函数，满足边界条件r ( o ) = o ，r ( p ) = r 则该方程的c o n d i t i o n dw j n e n e r i n t e g r a l e f p ( s ) r ( 卢) = r ) 可看做是b l o c h 方程的格林函数解 删= 籍， ( 2 2 ，) 式中的哈密顿算符日= 一j 嘉+ y ( r ) 假设粒子系统的哈密顿量为h = t + y ，动能t = 守1 罴，相互作用 势能为( r f ) ，满足薛定谔方程日峨( 兄) = 易吼( r ) 定义系统的密度矩阵为 k ( 兄，r 7 ；卢) = = ；( 爿) 皿t ( r ) e x p ( 一卢岛) ， ( 2 2 2 ) 釜三童壹墨! 翌宣鱼董塞王堡垫垄堂壁亟盟婴塞! ! 式中卢= 1 七日丁系统的配分函数定义为 厂d r ( r ，r ；卢) ( 2 2 3 ) 则该系统中任一观察量的期望值可定义为； 口：型鲨嘎螋( 2 2 4 ) o 月 通常，量子系统不存在确切的密度矩阵，可用格林函数表示密度矩阵，满 足b l o c h 方程： 日k ( r ，r ；卢) = 一刍k ( r 爿；卢) ( 2 2 5 ) 如果考虑理想气体模型，即忽略粒子间的相互作用势能，v ，( r ) = 0 ，密度矩 阵k ( r ，r 7 ；卢) 可以简化为 尺j ( r ，彰；卢) = ( 4 7 r ) 一 e x p ( 一f r r 7 f 2 4 卢) ，( 2 2 6 ) 式( 2 2 6 ) 中已应用危2 2 m 1 密度矩阵遵从简单的组合定律。 k ( r ，r 7 ；卢) = = d r ” ， ( 2 2 7 ) 重复插入n 一1 组完备集，有 k ( r ，足；卢) = ，j 1 - d r l d 疡d 忍一1 ， ( 2 2 8 ) 当n 一。时，有 ( r ，r ；p ) = 县恐，厂( 兄，r 1 ；卢n ) k ( 尺1 ，只2 ；卢礼) j f ( r 。一1 ，r 7 ；卢n ) d r l d r 2 d 兄。一1 ( 2 2 9 ) 日卢 p 既 ：l l ! ：! 殛笪羞：塑宣些查工篁董直至焦笪垫垄堂壁壁 ! ! 当礼足够大时，即“短时”或“高温”近似条件下，积分公式( 2 2 8 ) 近似的等 同于系统的密度矩阵，而当他一o 。时，积分公式( 2 2 9 ) 可表示为确切的密度 矩阵展开任一小密度矩阵，忽略动能和势能的关联项，可近似写为： k ( r ，可；三) = = = d 咒l d _ r 2 d r l = 甄( r ，爿；等) e x p ( 一等( 驯 ( 2 3 0 ) 则系统的密度矩阵可以写为 其中 ( r ，爿；卢) = 占恐k ( n ) ( r ，r 7 ；卢) = 硒( 兄，只；卢) e e x p 卜上( r ( s ) ) 】d s i 尉= r ) ) ( 2 3 1 ) ，p k ( 。) ( r ，r 7 ；p ) = ，厂凰( r ，r 1 ；卢n ) 甄( r l ，r 2 ；卢加) 娲( 风- 1 1r ，；卢札) e x p 卜_ ：( ( 只) + ( r 1 ) + + ( 瑞一1 ) ) d r d r 一1 ( 2 3 2 ) 方程( 2 3 1 ) 应用了c o n d i t i o n a lw i e n e ri n t e g r d 形式，称为f e y n m a n - k a c 公式 由此可见，量子系统的密度矩阵可以展开为一系列能量本征方程求和的形式，系 统观察量的统计平均值则可通过对所有可能路径的求和再平均得到事实上， 由于不可能对所有可能的路径求和，但只要n 足够大，就可以用段。) ( 兄，兄7 ；卢) 代替旧，r ；卢) 2 3 强简并、耦合状态下氢等离子体的热力学特性 氢同位素的聚变反应是实现受控热核聚变最有效的反应这些元素广泛存 蔓三童直遇! 塑鳖堑笠查至签垫垄堂堂亟笪翌塞 ! ! 在于自然界，也可通过化学反应得到。同时，由于氢原子结构简单的特性，因 而，氢等离子体是理论研究中最普遍的研究对象。 量子统计中，度量等离子体统计特性的两个参量是； 简并系数x = 礼。豫，( 豫= 2 丌危2 卢m 。) ， 耦合系数r = ( 1 7 r 帆。) 1 3 e 2 4 7 r o 后b t ， 其中m 。，礼。表示系统中a 类粒子的质量和数密度，卢= 1 七b t 这两个无量纲 参数都是温度和密度的函数，决定了系统的简并和耦合强度 稀薄气体时，满足经典极限条件，可按理想气体对待随着气体密度的增 大，系统的简并、耦合强度变大，开始出现量子气体现象由于量子效应与粒子 质量紧密相关，在高密度氢等离子体中，电子和质子具有完全不同的行为，如 图( 2 ，3 ) 所示 2345678 l g ( t k ) 一 图2 3 ：t h er e g i o no fn o n i d e a l i c yi i lt h ed e n s i t y - t e m p e r a t u r ep l a n ef o rh y d r o g e np l a s m a s 甜 凹 ” ” 豁 殂 ” f一旨。u)s_【 l ! ：! 塑煎羞! 塑盒丛查互壑笠塞至堡笪塾盔兰擅壁! ! 这是由于质子质量远远大于电子质量竹b = 1 8 3 6 3 m e ，以至于相同温度下， 简并电子所对应的临界密度远远低于质子达到简并所对应的密度，由因子 ( 轳乩z ，圳_ 5 决定。由此可见，存在一个密度中间区域 a i 3 = g 髫l c p 。 ， nn = 4 。i c 1 2 = 1 ( 2 3 9 ) n 则力学量算符q 在纯粹态圣( i 中的期待值为： = 铹+ = 甜) + 兹) q ，( 2 4 0 ) n ，mn m 婆：! 塑笪羞：塑鱼鉴查工鱼簦壹王堡盐垫垄堂鲎壁丝 而力学量q 的统计平均值为 = w ( ) = ( q 。“( ) g 妒+ c 辖) ( 2 4 1 ) ln ，”i 引入密度矩阵p 。= u ( ) 磷) + g ：l ：) 则n 的统计平均值可以简单地表示为 ( 2 4 2 ) = p 。n 。= ( p n ) 。= n ( p q ) ( 2 4 3 ) n - mm 表明n 的统计平均值可由密度矩阵得到，而密度矩阵又可通过组成混和态的纯 粹态虫0 ) 及相应的统计权重表达出来，且密度矩阵p 的对角元具有简单而直接 的物理意义，即是基矢i 在混和态中出现的几率 胁= u 2 3 l 铹i 2 ( 2 4 4 ) i 由于基矢f 在混和态中出现的几率不可能为负值，因此，密度矩阵p 必定 为正值 而费米系统中，由于置换的反对称性，可能会引起密度矩阵为负的现象出 现，即费米符号问题 2 3 2 费米系统的密度矩阵 考虑粒子组成的氢等离子体正则系统，即该系统的粒子数、体积矿、 温度t 为常数，简称为y ? 系统考虑电子的自旋作用，相应的配分函数可 表示为： z ( 腿，k 卢) = 警 ( 2 4 5 ) q ( 帆，p ) 2 莓厶如d 印( g ，n 口，p ) 一 ( 2 4 6 ) 口” 其中卢= 1 b t ，口= q 1 ，啦，q p ) ，r = r l ，r 2 ，r c 表示质子和电子相应 的坐标，盯= 盯l ，观，吼 表示电子的自旋作用 第二章高温、稠密氢等离子体热力学性质的研究 量子系统中，一般不存在确切的密度矩阵p ( g ，n 卢) ，可由高温近似下的路 径积分表示，相应的密度矩阵可写为t 二d r 莓p ( 以即) = 二刎啦d r 扣一p 恤( 2 4 7 ) ( 土1 ) 蜘s ( 正户a 7 ) 户p ( n + 1 ) ( 2 4 8 ) 口 p 式中每个小密度矩阵都可表示为p ( ) ；卢( r ( h ) ，r 0 1 ；卢) ；( r ( ) i e 一阳l r ( o ) ， 其中，臼= 卢+ 1 ) ，准= 2 ”舻p m 。，凸：= p ，e 表示粒子种类。哈密顿算 符膏= 膏+ d ，包括动能露和势能f 7 作用值得注意的是，r ( 1 ) = ( q ( ”，r ( ) ) = ( r 乎) ，磴) ，i = 1 ，佗+ 1 ，满足兄( o ) ! ( g ，r ) j