（概率论与数理统计专业论文）大偏差在金融风险中的应用.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 大偏差在金融风险中的应用 摘要 金融风险理论是当今精算界研究的热门课题风险理论作为精算数学的一 部分，主要处理保险事务中的随机风险模型并研究破产概率等问题关于大偏 差的研究成了一个热点它出现在大索赔额的金融保险问题中，已经受到了越 来越多的数学及金融界工作者的关注关于大偏差问题的论文在各种风险模型 及各种重轻尾分布族中已经得到了许多好的结果本文在这些已有的结果上进 行了推广，得到了一些新成果根据内容本文分为下列三章： 第一章：口族的大偏差不等式； 第二章：5 ( 7 ) 族中的大偏差问题； 第三章：带干扰的双险种风险模型下的大偏差问题； 本文第一章，在大偏差问题中，重点是研究重尾随机变量之和的大偏差以往 的文章在两个假设的基础上研究大偏差问题n g 和t a n g 等人在文献 2 】将两 个假设弱化成一个并在此条件上讨论并得到了重尾子族口族中的几个大偏 差不等式首先给出关于过程 ( t ) ，t o 满足的两个假设 假设l ：萼辫_ p1 ，a ( t ) _ o 。 假设2 ：存在小的正数e 和d ，使得 p ( ( t ) n ) ( 1 + e ) “= 。( 1 ) ，a ( t ) 叶。 n ( 1 + d ”( ) 并且把两个假设弱化为一个，给出假设b 假设b ：对于某个p 坩，对固定的6 o ，有下式成立 e 9 ( ) t _ ( t ) ( 1 十j ) ( t ) ) = o ( a ( t ) ) 本章在假设b 的条件下讨论口族中关于岛，s ( t ) 及鼻的大偏差问题，并得到 以下定理 曲阜师范大学硕士学位论文 定理1 2 1 若f 口，则对任意的，y p ，存在常数g ( 7 ) o 和d ( 7 ) o 使得 g ( 7 ) n 声( z ) p ( 品一礼p z ) d ( 7 ) n f ( z ) 对所有的n l 及所有的z ( ，y p ) n 成立 定理1 2 2 若f 口，则存在常数e ( ，y ) o 和d ( 7 ) o ，使得 c ( 7 ) a ( ) f ( z ) 茎p ( s ( t ) 卢( t ) z ) d ( 1 ) a ( t ) f ( z ) ， 对所有的n l 及所有的z h 一肛) a ( ) 成立 定理1 2 3 如果f c n 口，并且r 满足p ( r z ) = o ( f ( z ) ) 则 p ( s e 鼻 z ) 一e r 声( 。) ， z _ 。 在第二章中，仍然是在满足两个假设l 与2 的条件下得出以下结论 定理2 2 1 若f s ( 7 ) ，则对任意的7 p 有 p ( 一e s 。 z ) n ，( 一7 ) ”一1 e 一7 ”p 户( z ) ，z _ o 。 定理2 2 2 若f 5 ( 7 ) ，且n ( t ) 满足假设1 和假设2 则有 p ( s ( t ) 一e s ( t ) 。) 入( t ) e 一7 ( ) “，( 一，y ) 3 ( 。) f ( z ) ，a ( ) o 。 对每个固定的，y o ，对z 7 球) 一致成立 定理2 2 3 若f 5 ，r 为一非负整值随机变量，具有有限期望e r ，且 与( ) 。2 1 独立若存在 o 使得e ( ，( 一，y ) 十e ) 7 。) 一e 一1 p e 7 e 卜，( 一7 ) 7 1 f ( z ) ，。 。 注1 】：当7 = o 时，所得结果与文献 9 】中定理l 相同 曲阜师范大学硕士学位论文 在第三章中，得到了带干扰的双险种风险模型下f 7 w 时的两个大偏 差结果 定理3 2 i 对于带干扰的g g c p r m ，若于f 冗v ( 一o ，一口) ，那么 p ( s ( t ) 一e s ( t ) z ) t f ( 。) 对固定的7 o 对z ，y 射一致成立 定理32 2 对于带干扰的g g c p r m ，定义破产时刻 r ( “) ：= i n f t 亡1 s ( 亡) ， 若f 冗v ( 一o ，一卢) ，其中1 o ，有下式成立 慨群去1 。g p ( 7 ( “) 茎g “2 ) 。一卢“) ； ( 2 ) 对于。= l 和o 志或者o ) ( 1 + 5 ) 。_ o ，a ( t ) _ 。， k ( l 十6 ) ( ) a s s u m p t i o nb ：f b r s o m ep 7 f ，f o rf i x e d 巧 o ，t h e r ei s e 9 ( t ) 厶( ) ( 1 + 6 ) a 【t ) ) = o ( a ( t ) ) t h i sc h a p t e rd i s c u s st h ei a r g ed e v i a t i o n so f 口a b o u t - 5 1 n ，s ( t ) a 肌d ，鼻o nt h e c o n d i t i o nb a n dw eo b t a i nt h ef 0 1 l o w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m1 2 1l e tf 口a n dh a sa 丘n i t em e a np ，t h e nf o ra n y ，y p ， t h e r ee x i s t ss o m ep o s i t i v ec o n s t a n t sg ( ) a n dd ( 7 ) s u c ht h a t g ( ，y ) 扎f ( z ) sp ( & 一礼“ 。) sd ( 7 ) 礼f ( z ) h o l d 8f o ra l ln 1a n da l lz2 ( 7 一肛) 札 t h e o r e m1 2 2l e tf 口a n dh a 5a 矗n i t em e a n 肛，t h e nf o ra n y7 p t h e r ee x i s t ss o m ep o s i t i v ec o n s t a n t sg ( ，y ) a n dd ( 7 ) s u c ht h a t 0 ( ，y ) a ( t ) 户扛) 茎p ( s ( t ) 一肛( t ) z ) d ( 7 ) a ( t ) 户扛) h o l d s f o ra l lz 2 ( 7 一卢) a ( # ) t h e o r e m1 2 3 ：i ff n d ，a n d rs a t i s f j _ d ep ( 丁 。) = o ( f ) ) t h e n 尸( 爵一e 毋 。) 一e t f ( z ) ， z 叶o 。 i nt h es e c o n dc h a p t e r ，a s u m m es a t i 8 f ya s s u m p t i o n s la n d j w eo b t a i n t h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m2 2 1 i ff s ( 7 ) ，t h e nf o re v e r y7 4 p ，w eh a v e p ( & 一e & z ) 一n ，( 一，y ) ”1 e 一1 “p f ( z ) ，z _ 。 t h e o r e m2 2 2i ff 5 ( 7 ) ，a n dn ( t ) s a t i s f i e sa s s u m p t i o n s 1a n d 2 t h e n w eh a v e 一一 些皇堕型盔兰塑主堂焦堡塞 尸( s ( ) 一e s ( 妨 z ) a ( t ) 。一帕( 。) “，( 一7 ) a ( 。) 声( z ) ，a ( 。 f o re v e r ya x e d ，y 0 h o l d su n i f o r m l yf o rg2 77 a ( t ) t h e o r e m2 2 3 i ff s ( 7 ) ，丁i sn o n n e g a t i v er a n d o mv a r i a b l e ，a n d i th a s6 n i t ev a l u ee 7 - ，a n di n d e p e n d e n tw i t h ( j y b ) r 1 i ft h e r ee x i s t o m a k e s e f ，( 一7 ) 十e ) 7 z ) 一e 一似研e 丁，( 一7 ) 7 1j 户( z ) ，z 斗o 。 i nt h et h i r de h a p t e r ，w eo b t i o nt h e l a r g ed e v i a t i o n so fr i s km o d e lf o r t w o t y p e r i s ki n s u r a 丑c ep e r t u r b e db _ yd 刊既坶i o nw h j c h 尹占7 已v t h e o r e m3 2 - 1f o rg g c p r mw i t h d i f f u s i o n ，i ff 冗v ( 一，一卢) ， t h e n p ( s ( t ) 一e s ( ) 。) a 户( z ) f b rf i x e d7 0 ，h o l d su n i f o r m l yf o rz ，y a t h e o r e m3 2 2f 0 rg g c p r mw i t hd i 饪u s i o n ，w ed e f i n er u i nt i m e 丁( u ) ：= i n f t ；s ( t ) 札) i ff 7 之v ( 一位，一p ) ，f o rs o m el o ，w eh a v e ： 1 骢粤去i 。叫酬曼旷) z 一卢m a x n z ( 2 ) f o rz = 1 和o 志o r o 礼) ( 1 + e ) “= 。( 1 ) ，a ( t ) _ o 。 n ( 1 + d ) ( t ) 一 本章内容仍然讨论f d 时的大偏差情况，只是把以往的两个假设弱化 为一个，即下文的假设b 假设b ：对于某个p ，对固定的6 0 ，有下式成立 e 9 ( t ) ( t ) ( 1 + d ) ( c ) ) = d ( ( 圳 在本章中，f j 乇；n 芝! ) 表示一列独立同分布的随机变量序列，有共同 的分布f ，具有有限期望p ( t ) ；t o 是一个服从强度a ( t ) o 的整值随 第一章口族的大偏差不等式 机变量过程，与( 墨) 。1 1 独立，并且当t _ 时，a ( t ) - 。设7 为一非负 整值随机变量，有有限期望e r ，与( x 。) 。= - 独立 考虑以下的随机变量的和( 规定：坠。x 。= o ) ： & = 宠，n 1 ； r s ( t ) = 五，t o i = 1 只= 五 t = 1 显然 e s ( t ) = ：卢( t ) = a ( t ) 下面我们介绍几种常见的分布族 定义1 1 1 1 ：称一个支撑在 o ，o 。) 上的分布函数f 属于佗y ，如果存 在常数1 ds 卢 。使得 ”弋哩擎器鲥竺p 锗汀。， 我们记为f 7 2 1 ，( 一理，一卢) 定义1 1 2 2 】：称一个支撑在 o ，o 。) 上的分布函数f 属于c ，如果有下列 任何一个式子成立 一 觜一赠警铬乩 “1 z _ o 。 t 。f o ) 紫i 嬲p 篱= - 2 曲阜师范大学硕士学位论文 定义1 13 2 】：一个支撑在 o ，十。) 上的分布函数f 是属于口的当且仅 当其尾分布户是具有控制变化尾的，即对任意的0 日 1 有下式成立 - i 竺p 铬 0 ，当zr 。时，有如下关系成立 骢磐r 铬剑嬲p 鬻 0 ( 或等价的对= 1 ) 有 规掣= - 成立一 它们具有如下关系( 见文献 2 和 6 ” 占冗v ( 一，一卢) ccc 口n c 定义1 1 5 2 ：设f 是一个分布函数，记，y ( ! ，) = 1 i m 。器等，定义 7 一n r _ 等：川) _ 瓣( 一等) 3 第一章刀族的大偏差不等式 当f 口且有有限期望时，1 文献 9 给出了以下定理 定理1 1 1 1 ：若f 冗y ( 一。，一卢) ，其中1 ( 1 + j ) a p ( s ( 一e s ( t ) z ) 一a ( t ) f 扛) 对任意固定的7 o ，对z ，y a ( t ) 一致成立 但是假设2 是一个很强的条件，对于一般的更新过程很难满足在文献 3 中，作者把两个假设弱化成一个，即下文的假设a ，这样，一般的更新过程 或复合更新过程都可以满足在此基础上他们得到了冗v 族中的一个大偏差 结果，即定理1 1 2 定理1 1 2 3 ：如果分布f 冗v ( 一，卢) ，其中1 o ，如果 ( ) ，t o 满足 假设a ： e ( ( t ) ) 4 + 5 厶( ) ) ( 1 + j ) ( t ) ) = d ( a ( t ) ) 4 曲阜师范大学硕士学位论文 那么对于任意固定的吖 0 ， | p ( s 0 ) 一e s ( t ) z ) a ( ) 户( z ) 对z2 ( t ) 一致成立 在文献 2 中给出假设b ，虽然假设b 比假设a 条件强，但容易验证更新 计数过程仍然能满足作者进一步把分布族扩展到c 族，得到f c 族时的 一个大偏差结果，即定理1 1 3 定理1 1 3 2 ： 五。，n 1 ) 是一列独立同分布的非负随机变量序列，其分 布为f ，并且有有限期望p ( 幻；t o ) 是一非负整值过程，与 j ，兀；n 1 ) 独立若f c 且 ( t ) ，t o ) 满足 假设b ：对于某个p ，对固定的6 0 ，有下式成立 e 9 ( ) ( ( t ) ( 1 + 6 ) ( t ) ) = 。( a ( t ) ) 那么对于任意的7 0 ， p ( s ( t ) 一e s ( ) z ) 一_ a ( t ) f ( z ) 对z 三7 a ( t ) 一致成立 在文献 1 中得到如下定理与推论 定理1 1 4 1 】：若f d ，并且有有限期望肛，则有 ( 1 ) 对任意的，y o ，存在某一常数c ( ，y ) o ，使得 f ( t t ) ( 。) c r ( 7 ) 户扛) 5 第一章d 族的大偏差不等式 对所有的n 1 及所有的z ，y 几成立 ( 2 ) 对任意的7 p 十= m a x ( p ，o ) ，存在某一常数d ( 7 ) o ，使得 两( 茁) d ( 7 ) 声( z ) 对所有的札21 及所有的z 7 忆成立 推论1 1 4 1 ：若f d ，具有有限期望肛，则对任意的7 p ，存在某常 数g ( 7 ) o ，d ( 7 ) o ，使得 c ( 7 ) 扎f ( z n p ) 曼f ( “) ( 。) d ( 7 ) f ( 茁一n 芦) 对所有的佗1 及所有的z 7 n 成立 在文献 2 中，给出了下列引理 引理1 1 5 2 ：若分布f d ，具有有限期望，1 兰竹 竹，有 。1 = o ( e ( z ) ) 引理11 6 【2 ：若f d ，对任意的p ，存在正常数z o 和b ，那么对 于目( o ，1 和所有的z 目_ 1 z o ，有 g 型 0 ， 0 ，及n 1 有 p ( 品 z ) n f ( 兰) + ( 里竺) ， ：c 引理1 1 8 2 ： 0 ， e ( ( j 厶 ( 1 + 6 ) ) = o ( 1 ) ， 那么臼_ 91 引理1 1 9 2 ：假设 ( t ) ，t o ) 是一个一般的更新过程； k ，n 1 ) 是一列独立同分布具有有限期望的非负随机变量序列；那么对任意的6 o 及 p o 有下式成立 e 9 ( t ) 丑( f ) ( 1 + 6 ) e ( t ) ) = o ( 1 ) 在文献 7 中，给出了下面的定理 定理1 1 1 0 7 ：( x 。) 。1 1 是一列独立同分布于f 的非负随机变量序列， 具有有限期望肛设7 - 是一非负整值随机变量，具有有限期望e r ，与( x 。) 。：t 独立，并且满足尸( t z ) = o ( f ( z ) ) 如果f n d ，则 p ( s 下 。) 一e r f ( z ) ， z o o 1 2主要结果 7 第一章口族的大偏差不等式 显然，假设b 包含假设1 ，其证明时只需在引理1 1 8 中令( ( t ) = 锵即 可而且易见，假设b 比假设2 弱本文在假设b 的条件下讨论口族中关 于晶，s ( t ) 及s 的大偏差问题，并得到以下定理 定理121 ：若f 口，则对任意的 ， 卢，存在常数c ( 7 ) o 和 d ( 7 ) 0 ，使得 g ( 7 ) 几f ) 兰p ( r n “ z ) d ( ，y ) 礼f ( z j 对所有的n 1 及所有的z ( ，y 一肛) 礼成立 定理1 2 2 ：若f d ，则存在常数g ( 7 ) o 和d ( 7 ) o ，使得 g ( 7 ) a ( t ) f ( z ) p ( s ( t ) 一肛( t ) z ) d ( 7 ) a ( t ) f ( z ) 对所有的n 1 及所有的z ( 7 p ) a ( ) 成立 定理1 2 3 ：如果f cn 口，并且r 满足p ( r z ) = d ( 户( z ) ) 则 p ( s 下一e s z ) 一e r f ( z ) ， z _ 。 1 3定理的证明 定理1 2 1 的证明： 在推论1 1 4 中，令y = z n p 就可以得到 c r ( 7 ) 礼f ( g ) 曼f ( ”) ( + n 弘) d ( 7 ) 扎f ( ) 8 曲阜师范大学硕士学位论文 即有 e ( ，y ) 站f ( 芎) p ( s ： 爹+ 咒越) sd ( 7 ) 礼尹( g ) ， 对所有的n 1 及所有的( 7 一肛) n 成立 在给出定理1 2 2 的证明前，我们先给出一些引理 引理1 3 1f d ，选取d - o ，对任意的7 p ，存在正常数c l ( 7 ) 和 d 1 ( 7 ) ，使得 g l ( 7 ) a ( ) 户( z ) 墨 _ p ( ( t ) = n y p ( 晶一p ( t ) z ) sd ( ，y ) a ( t ) f ( z ) ， i n 一 ( 圳d ( ) 对所有的z2 ( 7 一p ) a ( t ) 成立 证明： p ( ( t ) = 死) 尸( 岛一“( t ) z ) l n 一 ( t ) i 兰6 a ( ) = j p ( ( ) = ) p ( s 。一n 肛 z + p ( t ) 一礼灿) 1 n 一 ( ) 恒弘( t ) 由定理1 2 1 知道，存在c _ ( 7 ) o ，d ( 7 ) o ，使得 g ( 7 ) n f ( z + 肛( 0 一n 肛) s 尸( 晶一礼卢 z + 卢( ) 一n p ) d ( ，y ) n f ( z + ( t ) 一扎“) ， 对所有的礼1 及所有的。7 一a 弘成立 在引理的条件i 礼一a ( t ) l d a ( t ) 下，易知 l n p p ( t ) isd ( t ) g 第一章口族的大偏差不等式 又因为6 _ 0 ，所以我们总可以找到一个正实数m ，使得 l 凡扎一p ( t ) lsd p ( t ) 曼m 与 再由口族中分布函数的关系式f ( z + m ) 竺尹( z ) 可得 f 扛+ 肛( ) 一礼p ) f 扛+ ) ! f 扛) f ( 。+ p ( ) 一n “) s 户( z m 1 ) ! 亏( 岱) 那么可以找到适当的正常数e l ( 7 ) ，d ，( ，y ) 使得 从而有 以及 g 1 ( 7 ) 礼f ( z ) p ( - 叉一n p z + p 0 ) 一礼卢) sd l ( 7 ) 礼f ( z ) p ( ( t ) = n ) p ( & 一佗p 。+ p ( ) 一n 灿) n 一 ( t ) 睦j ( t ) p ( ( t ) = n ) d ，( ，) n 尹( z ) l n a ( t ) l 兰j ( t ) = d ：( 7 ) a ( ) 户( z ) p ( 1 0 ) 一a ( ) 6 a ( t ) ) = d l ( 7 ) a ( t ) 户( z ) p ( ( t ) = 扎) p ( & 一n 卢 z + p ( t ) 一n 肛) n a ( ) l 兰d ( t ) 曲阜师范大学硕士学位论文 p ( | v ( t ) = 礼) e ，( ，y ) 几户( z ) f n 一 ( f ) i s j ( 亡) = e i ( 7 ) a ( t ) 尹( z ) p ( 1 0 ) 一a ( t ) fs6 a ( t ) ) 对所有的。芝( 7 一芦) a ( t ) 成立 引理1 3 2f 口，选取d - o ，对任意的7 “存在正常数( 7 ) 和 d 2 ( 7 ) ，使得 o ( q h ) a p ) 户( z ) ) p ( ( t ) = 礼) 尸( 又一弘( t ) z ) n 一 ( t ) 一d ( ) o ( d 2 ( 7 ) a ( t ) 户( z ) ) ， 对所有的。2h 一弘) a ( ) 成立 证明：由n a ( ) z ) n 一 ( ) 一6 ) p ( ( = 钆) d z ( 们n 亏( z ) n a ( ) 。) = o ( a ( t ) 户扛) ) n 一 ( t ) 6 ( ) 对所有的z h p ) a ( t ) 成立 证明：由引理1 1 5 11 7 和假设b 可以得到如下结果 p ( ( t ) = n ) p ( & 一p ( t ) 。) n 一 ( t ) d ( ) fp ( ( t ) = 扎) p ( z ) 一- 、7 7 ( ( 礼；) + ( 警) ，) p ( ( t ) = 礼) n 一 ( t ) d ( 讨 1 x f ( z ) e 9 ( t ) 五 ( 1 + d ) ( f ) ) + z p e p ( ) ( ) ( 1 + d ) ( 。) ) = d ( a ( t ) f ( 。) ) 曲阜师范大学硕士学位论文 我们令 c | ( 7 ) = m i n ( c 1 ( ，y ) ，c | ( 7 ) ) d ( 7 ) = m a x ( d ( ，y ) ，d 2 ( 7 ) ) 由引理1 3 1 一1 3 3 可以得到 + + p ( j 5 _ ( 亡) 一p ( t ) z ) _ 尸( ( t ) = 礼) p ( 品一肛( ) z ) l n 一 ( t ) l 兰n ( ) p ( ( t ) = n ) 尸( 品一p ( t ) z ) n 一 ( q 。) n 一 ( t ) j ( t ) 所以对任意的7 p ，存在常数c | ( 7 ) 和d ( ，y ) 使得 c r ( 7 ) a ( f ) f 扛) p ( s ( f ) 一p ( t ) z ) sd ( 7 ) a ( ) 户 ) 对所有的n 1 及所有的z ( 7 肛) a ( t ) 成立 定理1 2 2 碍证 定理1 2 3 的证明：由全概率公式得 e s = e ( s | r = n ) p 盯= n ) 第一章d 族的大偏差不等式 = e 岛p ( r = n ) n = 0 = p 扎p 盯= 札) n = 0 = “e 7 _ 再根据定理1 1 1 0 就可以得到 p ( s e s 。) = p ( 鼻 z + e s ) 一e r 亏( 石+ 弘e 7 _ ) 一e r 户 ) 1 4说明 从本章得到的定理及其证明，我们给出以下说明，从中我们可以更好地了 解到该定理的特性 注1 4 1本章的结果不仅仅是得到了离散以及连续时间下精细大偏差 的不等式，更重要的是，它在一个假设条件下将以往研究精细大偏差局限的 f 冗1 ，( 一口，一卢) 推广到f d 这是以往关于大偏差问题的论文所没有 涉及到的领域在论文f 2 1 中，提到了重尾分布族中另一子族c ，其定义为： f c ，如果 帮i 嬲p 舞乩 或等价的 骝，罂磐r 铬乩 1 1 z _ o 。 t z ) 这些子族有以下包含关系：咒y ( 一d ，一声) cc 口n c 可见本章得到的结果比文献f 2 的讨论领域更加广泛 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 第二章5 ( ) 族中的大偏差问题 毗往有文献讨论并得到rf 5 的太偏差结果，在本章中我们不再研究s 族的结果，而是讨论一个比5 旋更广泛的领域占( 7 ) 族 在进一步讨论之前，我们首先介绍一下在风险论的研究过程中，建立的 各种数学风险模型，其中最经典的要属c r a m e r l u n d b e r g 风险过程，故也称 其为经典风险模型，也称作复合p o i s s o n 风险模型( g o m p 。u n dp o i s s 。nr l s k m o d e l 简写为c p r m ) ，建立在如下独立的条件上： ( 1 ) 一个服从强度a o 的过程= t ( 班t 三o ) ； ( o ) 一列独立同分布的随机变量序列 墨in l ，有共同的d ，f 在本章中， 五，；n 1 ) 表示一列独立同分布的随机变量序列，有共同 的分布f ，且有有限期望p ( t ) ；t o ) 是一个服从强度a ( f ) o 的整值随 机变量过程，与( j 毛) 。) l 独立，并且当t 1o 。时，a ( 亡) 。设r 为一菲负 整值随机变量，具有有限期望e - 并与( 五。) 。，t 独立 仍然考虑以下的随机变量的和( 规定：警。x 。= o ) 仍然考虑以下的随机变量的和( 规定：鉴。x 。= o ) 晶= 玉，n l ； z = l f n s ( 砖= 五，t o ； 1 5 筮三童曼篮笪盔堡鳌间墨 显然 e s ( t ) = ：卢( ) = a ( f ) 弘 下面我们再次赘述一下常见的分布族： 定义2 1 1 称一个支撑在【o ，o 。) 上的分布函数f ( z ) 属于冗v ，如果存 在常数1 0 = 卢 - 我们记为f 冗y ( 一o ，一卢) 定义2 1 2 4 称一个支撑在【o ，。) 上的分布函数f ( z ) 属于c ，如果有下 列任何一个式子成立 舞- 哩警铬= ， 驰lz _ o 。乒 z ) 渺黧p 铬乩 定义2 1 3 称一个支撑在 o ，。o ) 上的分布函数f ( z ) 属于口，当且仅当其 尾分布矿是有控制变化尾的，即对任意的o 口 1 有下式成立 i 裟p 器 o o 定义2 1 4 称一个支撑在 0 ，o o ) 上的分布函数f ( z ) 属于亚指数分布族 5 ，如果对任意的n 芝2 有下式成立 熙鬻一溉甫2 “ 堂皇垣型盔望亟主堂笪堡塞 定义2 1 5 一个 o ，。) 上的分布函数f ( z ) 属于s ( 7 ) ，7 o ，如果满足下 列三个条件 ( 1 ) l i m 。错= c 。； ( 2 ) l i m 。一。等皆= e ”，对任意实数g ； ( 3 ) ，( 一7 ) = 铲e ，。d f ( z ) o ，存在常数( e ) 0 有 错鲥州“刊” 以往的一些文献( 如文献 1 l ， 3 】，【4 及f 5 ) 讨论了在重尾族占冗v 族，c 族，口族和5 族的一些大偏差问题譬如文献 1 】1 得到了如下定理 1 7 第二章5 ( ，y ) 族中的大偏差问题 定理k ：若f 占咒v ( 一o ，一声) ，其中1 ( 1 + d ) ( t ) p ( s ( t ) 一e s ( t ) 。) 一a ( t ) f ( 。) 对任意固定的7 0 ，对z ，y 7 a ( t ) 一致成立 5 2 2主要结果 仍然考虑以下两个假设 假设1 ：锵_ 1 ， ( t ) _ 。 假设2 ：存在小的正数和d ，使得 、，赢、p ( ( 牡n ) ( + 志) “_ 0 ( 耽砟) 一+ 。 n ( 1 十6 ) ( o ) 、“、 本文在一定条件下讨论s ( ，y ) 族中关于叉，s ( t ) 及s 的大偏差问题 定理2 2 1 若f s ( 7 ) ，则对任意的7 “有 p ( & 一e & z ) 一n ，( 一7 ) ”1 e 一7 “f ( z ) ，z - 。 1 8 曲阜师范大学硕士学位论文 定理2 2 2 若f 5 ( 7 ) ，且n ( t ) 满足假设1 和假设炳，则有 尸( s ( t ) 一e s ( t ) z ) a ( t ) e ( ) p ，( 一7 ) 1 ( ) 户扛) ，a ( t ) _ 。 对每个固定的7 7 o ，对茁7 a ( t ) 一致成立 定理2 2 3 若f 5 ( ，y ) ，r 为一非负整值随机变量，具有有限期望e 7 - ，且 与( j 厶) 。1 1 独立若存在e o 使得e 【( ，( 一，y ) 十e ) 7 】 z ) 一e 一7 p f 7 e 卜，( 一7 ) 7 。】户扛) ，z - _ 。o 【洼】当7 = o 时，所得结果与文献 9 中定理l 相同 定理2 2 1 的证明 由引理2 1 1 知 5 2 3定理的证明 p ( z ) 一礼，( 一7 ) ”1 f ( z ) 且e & = 咒“，所以 p ( & 一目品 z ) 一p ( 。+ e 又) 一礼，( 一7 ) “。f ( z + n 芦) 因为 所以 里掣叶。一，一，。_ 。 f ( z ) 尸( 兔一e 叉 。) 一n ，( 一7 ) “一1 e 一7 “f ( z ) 1 9 第二章s ( 7 ) 族中的大偏差问题 此定理得证 在给出定理2 22 的证明之前，先看三个引理 引理2 3 1 部分和品= 警。x 。，n l 对每个固定的7 o 有 p ( ( t ) = n ) p ( & 一卢( t ) z ) 一a ( t ) e 一7 1 m ，( 一7 ) 1 。f ( z ) l n 一 ( t ) i 兰6 ( ) a f t ) 。o 对所有的z 7 a 一致的成立 证明： 所以 p ( & 一芦( ) z ) = 尸( s k n p z n 芦+ p ( ) ) 一n ，( 一，y ) “一1 e 一“户( 。 户( z + ( a ( t ) _ 礼) 肛) = = ? 一 f ( z ) 一e 一7 ( 。) 一“k 。- 。o 咐俐坠端趔 p ( s 。一灿( 旬 z ) n ，( 一7 ) “一1 e 一7 “e 一叮( ( 2 ) 一”m 户( z ) p ( ( t ) = n ) p ( 品一弘( z ) z ) n 一 ( ) | 墨d ( ) 曲阜师范大学硕士学位论文 p ( ( t ) a ( t ) l 兰n ( ) 1 e 一( 。m f ( z ) 一a ( t ) e 一7 1 。m f ) p ( ( t ) = n ) ，( 一7 ) ”一1 i n 一 ( ) l 至d ( o ) sa ( t ) e 一，1 ( 。) 肛f ( z ) ，( 一7 ) ( 1 + 6 n ( ) 尸( 1 0 ) 一a ( 亡) s 占a ( t ) ) 一雄) e 一( 。) p f ( z ) i ，( 一，y ) 1 + 删