（应用数学专业论文）样条曲线曲面的造型与形状调整的研究.pdf

摘要 本文围绕着c a g d 中常用的几种曲线曲面造型和形状调整进行了深入的研 究，主要获得了以下一些成果： 首先，证明了代数三角空间中的n 次均匀咖l i n e 基是一组标准全正基，并 进一步扩充为一组标准b 基啡s p l i n e 基与g b 包i e r 基是多项式与三角混合空 间中的两组基，是适应工程实践中设计特殊曲线曲面的需要而产生的，类似于 多项式空间中的b s p l i n e 基与b 6 z i e r 基，是c a g d 中重要的造型工具本文用递推 的方法，计算出代数三角空间中的n 次o b 6 z i e r 基与n 次均匀o b s p l i n e 基之 间的转换矩阵，并把该矩阵分解为一系列二对角阵的乘积，从而证明出几次均 匀似s p f i n e 基是一个标准全正基，进一步用插入节点的方法，把它扩充为一组标 准b 基，从而我们可以利用b 基的很多优良性质，在工程应用中对这两组基进行开 发利用 其次，发现了上述g 曲线随形状因子口变化时产生的q 路径，可以近似的线 性化，而且拥有一些很好的性质，从而可以把。曲线的一些非线性问题线性化这 里路径指的是。变动时曲线上的点所经过的运动轨迹我们依靠关系参数和 线性逼近方法对路径进行了研究，并且把相关结果用于。曲线的形状控制与调 整，收到了很好的效果 再次，指出了b 样条曲线和曲面当节点发生改变的时候，形成的包络曲线曲面 的性质和点的收敛情况，并利用曲线包络的性质和改变节点的方法，对n u r b s 曲 线进行了几种形状调整变动k 阶b 样条曲线的一个a 重节点所得曲线族的包 络恰好是一条由同控制多边形定义的k a 阶b 样条曲线，且二者保持若干阶 切触这个结论可以类似的推广到n u r b s 曲线和张量积曲面上来而如果对称 的改变曲线曲面上的若干个节点，曲线曲面上的点会收敛到控制网格所确定的 一个特定点上本文运用以上有关理论成果，提出了建立在修改节点基础上的几 种n u r b s 形状控制方法其结果可以作为计算机辅助设计系统中曲线面造型和 形状修改的理论参考，从而大大增加了曲线面造型和形状修改的方法，具有实用 价值 最后，通过区间曲线曲面的性质和三角域上的b e r n s t e m 样条函数，重心坐标 的概念，实现了有理曲线曲面的近似隐式化可以用一个低阶多项式隐式曲 i i 样条曲线曲面的造犁与形状调祭的研究 线曲面来逼近所给的参数式有理曲线曲面，同时使一些目标函数最小化，减少 了需要解的方程组的维数，降低了计算量，改进了计算精度和速度该区间隐式 曲线曲面的中心曲线曲面可以近似逼近有理曲线曲面，其逼近的误差可以利 f f j l ：z 间隐式曲线曲面的区间宽度进行估计 关键词：b 基，标准全正基，b 样条曲线曲面，n u r b s 曲线曲面，改变节点，包络， 路径，形状修改，区间曲线曲面，隐式曲线，区间隐式曲线曲面，区间隐式化，有 理曲面区间算术 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w eh a v em a d eas y s t e m i ct h e o r e t i cr e s e a r c ho nm o d e l l i n ga n d r e s h a p i n gs e v e r a lt y p e so fs p h n ec u r v e s s u r f a c e si nc a g d a n ds o m ec r e a t i v e p r o d u c t i o n sa r eg i v e na sf o l l o w s a tf i r s t ，t h eu n i f o r mc - b - s p h n eb a s i si sp r o v e dt ob ean o r m a l i z e dt o t a l l y p o s i t i v eb a s i s ，a n dc a nb ee x t e n d e dt oan o r m a l i z e db b a s i s c 母s p n n ea n d c - b d z i e rb a s i s ，s i m i l a rt ob - s p l i n eb a s i sa n db 6 z i e rb a s i si na l g e b r a i cs p a c e ， a r et w ob a s e si na l g e b r a i ct r i g o n o m e t r i cs p a c e t h e ya r ep r e s e n t e di nn e e do f s p e c i a lc u r v e sa n ds u r f a c e si ne n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s i no r d e rt op r o v e t h a tt h e u n i f o r mc - b s p l i n eb a s i si sn o r m a l i z e dt o t a l l yp o s i t i v e ，w ec o m p u t et h em a t r i x w h i c ht r a n s f o r i 2 3 st h ec b d z i e rb a s i si n t ot h eu n i f o r mc - b - s p l i n ea n dd e c o m p o s e t h i sm a t r i xi n t oap r o d u c to fb i d i a g o n a la n ds t o c h a s t i cf a c t o r s f u r t h e r m o r e ，w e g i v ean o r m a l i z e db b a s i sb yi n s e r t i n gk n o t s s e c o n d l y c e r t a i nc u r v e sc a l l e do p a t h sa r ef o u n db ym o d i f y i n g 口o f c c u r v e s t h e s ep a t h sc a nb el i n e a r i z e d ，s os o m en o n l i n e a rp r o b l e ma b o u tc - c u r v e sc a n b el i n e a r i z e d w eg i v eag e o m e t r i ci n t e r p r e t a t i o no ft h ea - p a t h s t h e s ep a t h s c a nc l o s e l yb ea p p r o x i m a t e db yl i n e sa n dh a v es o m en i c eg e o m e t r i cp r o p e r t i e s w h i c hm a yy i e l dt oab e t t e ru n d e r s t a n d i n go ft h er o l eo fqi nt e r m so ft h es h a p e o ft h e s ec u r v e s t h i r d l y ，w ep r e s e n tt h ep r o p e r t i e so ft h ee n v e l o p ea n dp a t h so fb - s p l i n e c u r v e s s u r f a c e sw h e nk n o t s a r em o d i f i e d ，a n dp r o p o s es e v e r a ls h a p ec o n t r o lm e t h o d so fn u r b sc u r v e s t h em o d i f i c a t i o no fak n o to fab - s p l i n ec u r v eo fo r d e r kg e n e r a t e sa no n e - p a r a m e t e rf a m i l yc n r v e s t h i sf a m i l yh a sa ne n v e l o p ew h i c h i sa l s oab s p l i n ec u r v eo fo r d e rk aw i t ht h es a i t l ec o n t r o lp o l y g o n ，w h e r eai s t h em u l t i p l i c i t yo ft h em o d i f i e dk n o t i t st h es a m ef o rt h en u r b sc u r v e sa n d s u r f a c e s f u r t h e r m o r e ，w ep r e s e n tt h ee f f e c to ft h es y m m e t r i ca l t e r a t i o no fs o m e k n o t so ft h eb - s p l i n e s a p p l y i n ga b o v et h e o r e t i c a lr e s u l t s ，s e v e r a ls h a p ec o n t r o l m e t h o d sa r ep r o v i d e df o rc u b i cn u r b sc u r v e sb a s e do i lt h em o d i f i c a t i o no fa k n o t t h ep r o p o s e dm e t h o d se n a b l el o c a ls h a p em o d i f i c a t i o n ss n b j e c tt op o s i t i o n 堡 壁叁些丝些亘堕丝型兰受鲨塑壁竺堡壅 a i l d o rt a n g e n tc o n s t r a i n t st h a tc a nb es p e c i f i e dw i t h i nw e l ld e 6 n e dl i m i t s a tl a s t i n t e r v a li m p l i c i t i z a t i o no f r a t i o n a lc u r v e s s u r f a c e si sp r e s e n t e d ，b a s e d o nt h ed r o p e r t i e so fi n t e r v a la l g e b r a i cc u r v e s s u r f a c e s ，b a l y c e n t r i cc o o r d i n a t e a n db e r n s t e i nb a s i sf u n c t i o n s ，p a r a m e t r i ca n da l g e b r a i cc u r v e s s u r f a c e sa l et w o c o m m o nt y p e so fr e p r e s e n t a t i o n so fg e o m e t r i co b j e c t si nc a g da n dg e o m e t r i c m o d e l l i n g t h u si ti si m p o r t a n tt oh a v eb o t hr e p r e s e n t a t i o n sa tt h es a n r l l et i m e w ef i n da nu n i f o r mi n t e r v a lc u r v e s u r f a c e sw i t hl o w e rd e g r e eb o u n d i n gag i y e n r a t i o n a lc u r v e s u r f a c e sa n dm i n i m i z i n gs o m eo b j e c t i v ef u n c t i o n a na l g o r i t h m a n ds o m ee x a m p l e sa l ep r o v i d e dt od e m o n s t r a t et h et h e o r y k e y w o r d s ：bb a s i s ，t o t a l l yp o s i t i v eb a s i s ，b s p l i n ee l l _ r y ea n ds u r f a c e ，n u r b s a n i - v ea n ds u r f a c e ，k n o t sm o d i f i c a t i o n ，e n v e l o p e ，s h a p em o d i f i c a t i o n ，p a t h ，i n t e r v a la l g e b r a i cc u r v ea n ds u r f a c e ，u n i f o r mi n t e r v a li m p l i e i t i z a t i o n ，r a t i o n a ls i l l * - f a c e ：i n t e r v a l 撕t h m e t i c ：i n t e r v a li m p l i c i t i z a t i o n 插图 2 1 具有端点插值性和端边相切性的非均匀c - b - s p l i n e t 抽线 2 2 在t = 0 处增加一个节点 2 3 均匀g & s p l i n e 基函数 0 ，。+ l ( ) ，n 1 1 ( ) ，n h - 1 。+ 1 ( t ) 2 4 增加的2 n 个非均匀c - b - s p l i n e 基函数 2 5 标准b 基 2 6 b - s p l i n e ( 实线) 和均匀c b - s p l i n e ( 虚线) 2 7a hb z i e r 基函数 2 8a hb 6 z i e r 曲线 2 9b z i e r 基函数与不同n 值的a hb 6 z i e r 基函数 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 同一个控制多边形下面的两条c - b 6 z i e r 曲线和它们的。一路径 当o z 7 r 时q 璐径的扩展， a 路径的逼近直线 q 路径和逼近直线的标准偏差图 o z = 2 时函数。的图像( 四条曲线按照右侧从上到下顺序依次 为i = 0 ；i = 2 ；i = 3 ；i = 1 3 6 对称直线的相交曲线：若p o p s 与p 1 p 2 平行，那么相交曲线是一 条直线段3 8 3 7 特殊坐标下的p a t h 3 9 38 c - b s p l i n e 曲线的扩展后的o z p a t h s ，4 l 3 9 特殊坐标下的p a t h s 4 3 3 1 0o 璐径可以用平行直线段来代替4 4 3 1 1 特殊坐标下的平行p a t h s ，4 5 31 2 两条极限曲线( 虚线) 和过给定点p 的c b 6 z i e r 曲线计算过程中 用到了逼近直线e ( s ，而丽) 4 6 毖丝丝笛卯勰凹约 弘弱 盯 v 1 1 l 样条曲线曲面的造犁与形状调整的研究 3 1 3 一族a hb z i e r 曲线 3 1 4a h 曲线的q 一路径 31 5 过给定点的a hb 6 z i e r 曲线 3 1 6 一族a hs p l i n e 曲线， 4 1 4 阶n u r b s 曲线族p ( “，u 7 ) ， 7 ( u 6 ，b ) 中的5 条曲线及其包络 曲线， ， 42 4 3 4 4 4 5 4 6 47 4 8 49 4 1 0 4 1 1 4 1 2 5 1 5 2 5 3 5 4 55 5 6 5 7 5 8 包络曲线与分别过包络曲线上3 个点p 、m 、n 的3 条n u r b s 曲线 分别过一定区域内给定点p 、m 、n 的3 条n u r b s 曲线 经过一个指定切线斜率的给定点的一条曲线， 以不同切线斜率经过同一个给定点p 的3 条曲线， 分别过直线n 死上的3 个点p 、m 、n 并与正乃相切的3 条曲线 n u r b s 曲线上的一个点移动到给定任意位置， 曲面族的包络面( 上方的曲面) 与过此面上一个给定点p 的曲 面( 下方的曲面) ， 曲面族的包络面( 上方的曲面) 与过此面上一个给定点q 的曲 面( 下方的曲面) ， 对称的改变n u r b s 曲线的两个节点铂，铆( 左图) ，奶，魄( 右图j 对称的改变b 样条曲面的节点蛳，挑与， l o 对称的改变n u r b s 曲面的节点u 4 ，“7 与蜘”b 重心坐标 ， 四面体丁及其内一点p 一条5 次有理曲线与p = 3 ，l = l e 一6 ，w 2 = 0 时的中心曲线 一条5 次有理曲线与p = 3 ，w l = l e 一6 ， w 2 = 0 时的区间曲线 一条1 0 次有理曲线与p = 3 ，w 1 = 00 0 1 w 2 = 0 时的中心曲线 一条1 0 次有理曲线与p = 3 ，w 1 = 0 ，0 0 1 ，她= 0 时的区问曲线 有理曲线与中心曲线逼近( 左为一般参数剖分效果图右为弧长参 数刹分效果图) ， 一般均匀参数剖分法( 左) 与弧长参数剖分法( 右) 4 8 4 9 4 9 5 0 h 弱的弱w 的 眈 眈雒：8 鼹 2 伯丌 猖他 插图 5 9 原曲面与p = 2 ，3 ，4 ，5 ，w 1 = l e 一4 4 时的中心曲面8 3 51 0 原曲面与p = 4 ，w 1 = l e 4 4 时的中心曲面8 3 5 1 1 原曲面与p = 4 w 1 = l e 一4 4 时的中心曲面向下移动2 0 个单位长度8 4 第一章绪论 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，简称c a g d l 主要 研究在计算机图像系统的环境下对曲线曲面信息的表示、逼近、分析和综合它 肇源于飞机、船舶的外形放样( l o f t i n g ) - - 艺，由c o o n s ( 1 9 1 2 1 9 7 9 ) 、b z i e r ( 1 9 1 0 - 1 9 9 9 ) 等大师于2 0 世纪6 0 年代奠定理论基础m 】典型的曲面表示，2 0 世纪6 0 年 代是c o o n s 技术和b z i e r 技术，2 0 世纪7 0 年代是b 样条技术，2 0 世纪8 0 年代是有 理b 样条技术现在，曲面表示和造型已经形成了以非均匀有理b 样条( n o n u n i f o r mr a t i o n a lb - s p l i n e ，简称n u r b s ) 参数化特征设计( p a r a m e t e r i z e da n d c h a r a c t e r i s t i cd e s i g n l 和隐式代数曲面表示( i m p l i c i ta l g e b r a i cs u r f a c er e p r e - s e n t a t i o n ) 这两类方法为主体，以插值( i n t e r p o l a t i o n ) ，拟合( f i t t i n g ) ，逼近( a p p r - o x i m a t i o n ) 这三种手段为骨架的几何理论体系 随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的日益增强，随着几 何设计对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这种趋势的日益明显， 随着图形工业和制造工业迈向一体化、信息化和网络化步伐的日益加快，随着激 光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的日益完善，计算机辅助几何设计 在近几年来得到了长足的发展这主要表现在研究领域的急剧扩展和表示方法 的开拓创新从研究领域来看，计算机辅助几何设计技术己从传统的研究曲面表 示、曲面求交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和 曲面位差；从表示方法来看，以网格细分( s u b d i v i s i o n ) 特征的离散造型与传统 的连续造型相比，大有后来居上的创新之势而且，这种曲面造型方法在生动逼 真的特征动画和雕塑曲面的设计加工中如鱼得水，得到了高度的运用旧1 1 1参数曲线曲面造型技术 样条函数最早是美国数学家i _ j s c h o e n b e r g 在1 9 4 6 年的一篇文章中提出来 的 1 t ； 当时他是以研究无穷区间上等距节点数据的平滑问题为背景引入样条 函数的如果用样条函数为工具来研究图形的几何性质，由于表达方式缺乏几 何不变性所以非常不方便为了克服这个困难，人们将样条函数”几何化”得到参 数样条曲线曲面构造了样条函数，那么相应地就产生了参数样条曲线曲面 样条曲线曲面的造犁与形状调整的研究 1 9 6 3 年美国波音飞机公司的f e r g u s o n 首先提出将曲线曲面表示为参数的 矢函数方法，并引入参数三次曲线构造了由四个角点的位置及两个方向切矢定 义自 f e r g u s o n 双三次曲面片口3 ，44 】，从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学 描述的标准形式1 9 6 4 年美国麻省理工学院( m i t ) 的c o o n s 引入超限插值的概 念，发表一种具有一般性的曲面描述方法，只要给定围成封闭曲线的四条边界就 可定义一块曲面f ? 乱1 9 6 7 年，c o o a s 进一步推广了他的思想 - t i 在c a d 工程 的实践中应用最广泛的只是c o o n s 双三次曲面片它与f e r 胛s o n 双三次曲面片 的区别，只是将角点扭矢由零矢量改为非零矢量但这两种方法都存在形状控制 与连接问题 1 9 7 1 年法国雷诺汽车公司的工程! j $ b 6 z i e r 提出一种由控制多边形设计 曲线的新方法以这种方法为基础，完成了一种自由型曲线和曲面的设计系 统u n i s u r ，1 9 7 2 年在雷诺汽车公司正式使用f o r r e s t b 孔g r o d o n 和r i e s e n f e l d m 1 对b 6 z i e r 方法作了深入的研究f o r r e s t 发现处理作为b d z i e r 多边形边的相 对矢量不如处理作为顶点的绝对矢量方便，并发现上述b 6 z i e r 基表示形式能被改 写成现在广泛使用的用控制顶点定义的b e r n s t e i n 基表示形式从7 0 年代中期 开始，国内对b 6 z i e r 方法也作了大量的研究| i 【i ：，1 9 3 ，1 叫，1 9 5 ，1 9 6 ，l 盯， ，1 ， j 了，】蠢j ，j - i ，l ( 】 关于b 样条的理论早在1 9 4 6 年s c h o e n b e r g 提出，但是其论文直至i 1 9 6 7 年才发表f 。玎11 9 7 2 年，d e b o o r 和c o x 分别独立地给出了关于b 样条计算 的标准算法，但作为在c a g d 中的一个形状描述的基本方法，是由g o r d o n 与p d e s e n m d 1 在研究b 6 z i e r 方法的基础上，把b 样条函数推广到矢值形式 而得来的，这与先提出b 6 z i e r 曲线，后来才发现它就是b e r n s t e i n 多项式矢值形式 的过程有所不同d eb o o r 。n 儿，o 二 ，c o x ：皑 一i f ) ，2 ，b o e h m 1 1 ) ，l 】，1 2 ，j ： ， c o h e n 2 捌，p r a u t z s c h i 翔】都对b 样条曲线的理论作出了积极的贡献 把分段多项式形式的非均匀b 样条曲线向分段有理多项式推广，可得到非 均匀有理b 样条( n o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ，简称n u r b s ) 曲线它兼有b 样 条曲线形状局部可调及连续阶数可调的优点，又兼有有理b 4 z i e r 曲线可精确 表示圆锥曲线的特性，所以在1 9 9 1 年国际标准化组织i s o 正式颁布的工业产 品数据交换的s t e p 标准中，把n u r b s 作为自由曲线曲面的唯一定义 ) 1 1 而国际著名的c a d 软件公司也把造型系统首先建立在n u r b s 的数学模型 上最早提出有理b 样条的是v e r s p r i l l e 川，继之研究的有p i e g l i 】7 ，1 1 h ， 1 ， 第一章绪论 3 i 翊，1 2 i ，1 2 2 1 ，t i l l e r 5 3 ，1 5 4 ，i 5 5 等，而c h o i 2 4 ，g r a b o w s k i 6 】等则致力于研 究n u r b s 系数的矩阵表示d e b o o r ： , 2 ，s e h u m a k e r ：刈给出t n u r b s 在幂基 下的系数矩阵显式表示和这种表示的数值算法，c o h e n 和r i e s e n f e l d 2 5 1 给出了 节点均匀时的矩阵表示，d i n g 和d a v i e s 3 4 1 给出了节点非均匀时的矩阵表示 但限于三次，c h o i 2 ； 和g r a b o w s k i ( i 1 1 分别给出了节点非均匀时基于b o e h m 算 法和d e b o o r 算法的任意次数的递推关系的矩阵表示，但仍是非解析式表示 而l i u l 给出了最一般情况的两种显式矩阵表示，w a n g ；】给出了n u r b s 曲线 的包络定义，并证明了包络的唯一性 我们在本文中对b 样条曲线、曲面及其有理形式的性质进行了一些探讨，研 究了曲线曲面中比较重要的一类参数一节点的改变对曲线曲面形状和性质上带 来的影响，并结合其他形状改变方法对曲线曲面的形状进行了调整 1 2 隐式曲线曲面造型技术 相对于参数曲线曲面来说，隐式曲面造型技术是一种与其并行发展的技术 早在2 0 世纪4 0 年代，航空工业界就已成功地运用二次代数曲面来表达飞机机身 的完整外形，只是由于代数方程包含了很多系数、几何含义不明确、曲面形状不 易控制和不易作局部修改，才使参数曲面造型技术取而代之地成了曲面造型的 主流但随着对隐式曲面造型研究的不断深入以及计算机硬件技术的发展，隐 式曲面造型技术在各个领域特别是c a g d 和计算机图形学领域已经得到了越 来越多的应用所谓隐式曲面，是指用形如f ( x ，y ，z ) = 0 的隐式方程来表示曲 面其中最典型、最重要的是隐式代数曲面( 也称为代数曲面，其中f 取为多项 式【l ! ，强；，3 3 ，1 4 5 ，吼 在参数曲面造型技术成为主流的今天，隐式代数曲面仍然具有很强的生命 力是由于它所具有参数曲面不可能拥有的许多优点，如：隐式曲面很容易判定空 间某一点是否在曲面上或者是在曲面的哪一侧而且，隐式曲面可以用来表示半 空间f ( z ，z ) 0 或者f ( x ，y ，o ) 0 ，或者说，隐式定义的曲面自然地产生出区 域f + = ( z ，y ，z ) l f ( z ，分，z ) o 和f 一= ( z ，y ，z ) l f ( z ，y ，2 ) o ) ，这对曲面 造型中相当重要的求交操作和等距操作来说意义重大，而且，在动画尤其在物体 碰撞检测中更能发挥其优势除此之外，隐式代数曲面在求交、求并、卷积、等 距、调配等运算下具有封闭性【j 1 2 ，】4 孔即代数曲面经过这些几何操作后仍可 以用代数曲面来表示相比之下，有理参数多项式曲面则不具有这些操作的封 4 样条曲线曲面的造犁与形状调整的研究 闭性模型运算的封闭性使得经过这些操作所得到的曲面无需逼近或近似转化 即可表示出来，这给曲面造型系统的设计带来了很大方便 在对于复杂曲面外表面进行建模的时候，隐式代数曲面也可以发挥巨大的 作用，因为隐式代数曲面提供了足够的自由度，可以满足对复杂产品外表面进行 建模的需要，而且它所具有的较多自由度使得用低次的代数曲面来满足几何设 计约束成为可能而参数曲面的代数次数是很高的，例如双三次参数曲面的代 数次数为1 8 ，这么高的代数次数使曲面性质的计算分析相当复杂隐式代数曲面 是用多项式来表示的，多项式的运算比一般的解析函数和有理函数的运算更为 简单、计算效率更高 。- 随着近代数学领域的日益发展，代数几何这一研究领域的发展为隐式代数 曲面造型技术提供了坚实的理论基础f j 7 9 1 9 8 5 年，s e d e r b e r g 给出的分片代数曲 面的描述方法扫清了代数曲面在曲面造型中的一大障碍p a t r i k a l a k i s 和k r i e z i s 6 】进一步在1 9 8 9 年提出了隐式代数曲面样条的表示方法1 9 9 2 年一 给出了 用分片隐式代数曲面拟合曲面的方法b a j a j 等在1 9 9 2 年前后进一步研究了用 隐式代数样条进行多面体的c 1 光顺阁、代数曲面f i 【 j h e r m i t e 插值f _ 1 】、代数曲面 的g k 最小平方逼近一 、代数曲面的高阶插值和最小平方逼近等一系列问题 参数曲面的隐式化和代数曲面的参数化是连接参数曲面造型技术和隐式 曲面造型技术的桥梁1 9 8 4 年g o l d m a n 等4 q 提出了向量消除方法，并应用于 平面有理参数多项式曲线的隐式化、求交等参数曲面的隐式方程具有很高 的次数以及隐式化过程本身具有复杂的计算量一直是隐式化过程的困惑之 处s e d e r b e r g 和陈发来1 蚓提出移动曲面的方法使得隐式曲面的计算效率大 为提高相对应地隐式代数曲面的参数化也是重大研究课题由于并不是所 有的隐式代数曲面都可以参数化，所以近似参数化方法成了一个主要研究方 向f l ? - lt u r k 等f j j _ 把黪式函数方法应用于曲面变形取得了意想不到的收效 在表现人体的肌肉、器官及其运动等方面，参数曲面存在着许多困难 为此，8 0 年代，b l i n n 提出了b l o b b y 模型( j 1 ：n i s h m u r a 提出了类似的m e t a b a l l 模 型j ，并作了很多开拓性的工作m e t a b a l l 造型是一种隐函数造型技术，该 技术采用具有等势场值的点集来定义自由曲面，其造型过程与c s g 造型相 似经过发展【j 5 7 ，1 ( ，州，现在它己在各类动画造型软件，如著名的人体建模软 件p o s e r t m 中广为应用，隐式曲面在迸行人体的肌肉、永滴、云、烟等物体的造 型和表现动画方面有很大的优势【! 【】我们在本文中对有理曲线曲面的隐式化 第一章绪论 5 问题做了一些研究 1 3混合形式的样条曲线曲面造型 在飞机机身外形设计和机械零件设计中经常会遇到一些由二次曲线曲面 和自由型曲线曲面混合表示的形状，比如叶轮等，它既包含自由型曲面也包含二 次曲面；再如飞机机身曲面，它由横向框截面的组合二次曲线与纵向自由型的样 条曲线混合表示而成这个时候多项式表示的样条方法就显示出了它的某些弊 端虽然在表示与设计自由型曲线曲面形状时，样条方法显示了强大的威力然 而在表示与设计这样一些初等曲面时却遇到了麻烦，因为样条曲线不能精确表 示除抛物线外的二次曲线，只能给出近似表示这不仅使简单问题复杂化，还会 带来额外的设计误差为了精确表示二次曲线弧与二次曲面，就不得不采用另外 一套数学方法，这将导致一个几何设计系统采用两种并存的不同数学方法的结 果为了避免这种现象，我们不得不考虑b 样条方法的有理形式， i 口n u r b s 方法 在现行的c a d c a m 造型系统中，由于n u r b s ( 非均匀有理b 样条) 作为一 个统一的数学模型，既可表示自由曲线曲面，又可表示一些传统的几何曲线，如 圆锥曲线等，而成为业界的一个标准【4 2 ，】2 2 】，然而，p i e g l ! ! j 指出由于采用有 理形式来代替多项式形式，n u r b s 在形状设计和分析中也存在如下一些局限 性例如，一般来说，一条k 次有理多项式曲线的导数是2 七次的有理曲线而 一些c a d c a m 系统不能处理高次的有理曲线、曲面有些系统即使能作处 理，但是次数越高，越容易导致数值计算的不稳定，而且边界的估计比较困难另 外，这个模型并不包含超越曲线，如螺旋线、摆线等，而这些曲线在工程中非常 有用，所以只能采取逼近的方法虽然圆弧可以用n u r b s 精确表示，但是其参数 并不是它的弧长参数事实上，只有直线用n u r b s 表示其参数为弧长参数关 于n u r b s 模型的其它局限性，文献f l f 强1 2 1 ，i2 6 ，1 二二1 给出了较为详尽的说明 既然n u r b s 模型有这么多局限性，我们希望找到另外一些曲线曲面造型模型，既 避免有理表示形式，又有多项式b 样条基所具有的性质，这就意味着我们不能仅仅 局限于多项式空间来考虑问题，也就是说，必须把b 样条表达式中的某些多项式 项用非多项式来代替在常见的一些初等函数中，三角函数与双曲函数是较为常 见的，而且常用的一些特殊曲线，比如圆锥曲线螺旋线等，都可以用它们精确表 示，所以一些学者开始考虑可否利用这样的一些特殊函数作为基函数，解决一些 当前较难解决的问题 样条曲线曲面的造型与形状调簪的研究 其实早在1 9 6 4 年，s c h o e n b e r g 就提出了三角b 样条的概念，k o c h 【h 4 ，s 7 】， s c h u m a k e rf0 q ，l y c h e f i ( ) ( ) 1 等人将此理论进行了推广1 9 7 9 年，l y c h e 和w i n t h e r m 1 用递归方法提出了任意阶的三角b 样条1 9 8 9 年k o c h 提出了张力样条( s p l i n e s i nt e n s i o n ) 一j 1 1 9 9 1 年，k o c h 卜6 1 和l y c h e 构造了任意阶的指数b 样条1 9 9 7 年w a l z i 1 进一步研究了在等距节点下奇次三角b 样条，k v a s o v 和s a t t a y a t h a m 1 用递归方法提出了任意阶的广义b 样条 后来，又有人想到，能否把代数多项式和三角函数二者混合起来构造一种样 条函数使其既具有代数多项式的优点，又具有三角函数的优点呢这个思想首 先是由p o t t m a n n 1 2 5 ，1 2 f j 】提出来的，他提出了螺旋样条的思想，可以精确地表 示直线、圆、螺旋线，而且其参数为弧长参数相应的张量积曲面可以表示螺 旋面、旋转面等同时斯江大学的张济文 i 7 1 ，1 i ? 也独立地在空间乃= s p a n c o s t ，s i n t ，l ，t 上构造了3 次c b 6 z i e r 样条与c b 样条，这与p o t t m a n n 提出的螺 旋样条在本质上是一致的他不仅给出了c - b 样条基函数的显式表示同时还给 出了c b 样条曲线和c - b 6 z i e r 曲线的互化公式，进一步还得到了g b 样条曲线 的细分公式c - b 样条曲线作为3 次均匀b 样条曲线的一个推广，它们具有许多相 似的性质另一方面，c ，b 样条曲线还可以精确表示椭圆、圆弧段，这一性质使得 其可能成：为c a d c a m 系统中几何造型的一个重要的工具然而，c - b 样条曲线 只能表示一次的多项式曲线，这极大地限制了其在c a d c a m 中的应用 2 0 0 2 年，l 卧汗1 把3 次均匀c - b 样条曲线推广到n 次：2 0 0 3 年，w a n g 和c h e n 2 i ) j t ，j 1 又得到了n 次c - b 6 z i e r 曲线与几次非均匀b 样条曲线他们根据三角函数对 积分与微分运算均封闭的特点剧出心裁用积分和递推的定义给出了两种混合 形式的c b z i e r 与c - b 样条基函数，且拥有b 6 z i e r 与b 样条的大多数性质，如连续 性，归一性变差缩减性，凸包性，细分性质等，还能精确表示圆，椭圆等非多项式曲 线，如果选取适当的节点向量，非均匀代数三角b 样条可变成c b 6 z i e r 样条，当节 点向量是均匀时，又可以得到均匀三角多项式b 样条 s c h w e i k e r t 为消除三次插值样条有时会出现多余拐点而引入张力样条 1 4 0 这时考虑的分段曲线由直线插值加上两个双曲函数s i n h q z 与c o s h n z 的线性 组合n i e l s o n 应用某种极小性质的特征来刻划张力样条m j 】s p g t h 提出的指 数样条实际上与上面的张力样条等价，他采用的基是f 1 ，t ，e ，e 一“1 ，以代替上面 的 c o s t ，s i nz 1 ， 【j - 2 】其后，p r u e s s 等人对张力样条的性质以及参数a 的选 取做了大量的研究【2 1 ，1 1 4 ，1 3 ( j ，1 3 1 ，】3 2 ，1 ；1 显然张力样条可以表示双曲线、 第一章绪论 7 悬链线、直线等，但是却不能表示高次的多项式曲线2 0 0 2 年，l f i t l e 给出了代数 双曲空间中的几次均匀样条曲线，可以同时表示高次的多项式和一些工程上常 用的一些多项式无法精确表示的曲线我们在本文中给出了代数双曲空间中的 两组b 基，礼次a h b 6 z i e r 基函数与n 次非均匀a h s p l i n e 基函数，分别具有与多 项式空间中的b 6 z i e r 基函数与b 样条基函数完全类似的一些性质，如连续性，归一 性，局部支撑性，变差缩减性，凸包性，细分性质等等以它们作为调配函数得到的 曲线分别叫做a hb 6 z i e r 曲线与a hs p f i n e 曲线，而且也具有很好的保形性】 为了得到本文的有些结果，我们还要介绍一下b 基的概念 在c a d c a m 发展过程中，人们发现，可以通过曲线的控制多边形来预测，调 整，和控制曲线的形状这时就需要对曲线的调配函数有一个较高的要求在一 个空间中有很多组基，那么，哪一组基作为调配函数组成的曲线可以最好的表现 控制多边形的形状呢? 换一句话说，在给定空间中，存在不存在这样的一组最优保 形性基，使得以此为调配函数所组成的曲线与控制多边形形状最为接近呢 早在1 9 8 9 年，g o o d m a n 就指出，曲线的保形性和标准化全正( n t p ) 基有密 切关系4 9 ，别后来他又对此进行了一些研究m ，5 1 ，5 3 ，5 g ，5 i ，5 k 】我们知道 由于标准化全正基的变差缩减性，曲线具有很好的保形性如果一组基是标准化 全正的，那么所构成的曲线就可以继承控制多边形的许多形状性质这对于设计 曲线的形状和端点处的精确控制是非常有用的但是一个空间中可以有不止一 组标准全正基，那么在所有的标准全正基之中，有没有一组具有最好的保形性， 如果有，这组基会满足哪些性质呢? 西班牙学者c a r n i c e r 和p e f i a 在1 9 9 4 年研究了在一个具有保形代表( 即有标 准化全正基) 的给定空间中寻找最优保形性基的问题1 f i l 进一步，分析找到一 组标准化全正基的问题使得相比于空间中其他的标准化全正基而言，控制多边 形能够最接近曲线的形状在2 0 0 1 年，m a i n a r 指出用( 标准化