（概率论与数理统计专业论文）基于广义线性混合模型的索赔准备金的估计方法.pdf

学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：丝日期：丝 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名： 隰么益一 导师签名： 日期： 基于广义线性混合模型的索赔准备金的估计方法 摘要 对于保险公司来说，每个会计年度末都会有一定数量的未决赔案，原因是在保险事 故的发生、报告和理赔之间存在时间延迟，因此在某一特定年起始的索赔案件经常不能 在同一年内处理完毕。为了保证保险公司的偿付能力，保险公司在进行会计年度决算时， 必须按照未决赔款金额的总和提存足够的索赔准备金。 过去的研究中，索赔准备金的计提方法主要是基于传统的流量三角形技术发展出来 的，对未来某年度某一保单组合的索赔总额进行预测，流量三角形是对个体索赔数据的 概括。但是在精算实务中，对于一些保险公司尤其是再保险公司来说，也需要对个体索 赔案件计提准备金，此时流量三角形的方法便不能解决这个问题。因此考虑建立针对个 体索赔案件进行分析和预测的模型是非常有必要，也是非常有意义的。 a n t o n i o ，b e i r l a n t ，h o e d e m a k e r & v e r l a c k ( 2 0 0 6 ) 中讨论了运用对数正态混合模型对 个体索赔数据建模，并分别采用b a y e s 方法和似然方法对个体索赔案件的未来索赔情况 进行预测。然而，采用对数正态混合模型对个体索赔案件进行分析和预测需要对原始数 据进行对数变换，并假定变换后的数据服从正态分布。 基于以上原因，本文研究在纵向数据分析的框架下利用广义线性混合模型来对个体 ( 单个保单) 的索赔数据建模并对个体的未来索赔数据进行预测。 本文的第二章将归纳地介绍几种传统的索赔准备金计提方法。接下来在第三章中介 绍广义线性混合模型的概念，阐述选择广义线性混合模型的理由。第四章将阐述广义线 性混合模型的具体模型假定以及说明各参数含义，并运用贝叶斯方法对未来索赔情况进 行预测，并且推导在某种特定分布的假定下的广义线性混合模型的结论。在第五章中介 绍如何采用对数正态混合模型方法对索赔数据进行分析。最后，分别运用第四章与第五 章介绍的方法对实际数据进行分析，比较两种分析方法得到的估计与预测结果。 关键词：索赔准备金；流量三角形；广义线性混合模型；b a y e s i a n 统计；g i b b s 抽样 g e n e r a l i z e dl i n e a rm i x e dm o d e lf o ro u t s t a n d i n gc l a i m sr e s e r v e s a b s t r a c t c l a i m so r i g i n a t i n gi nap a r t i c u l a ry e a ro r e nc a l ln o tb ef i n a l i z e di nt h es a m ef i n a n c i a ly e a r a c c o r d i n g t ot h es o l v e n c y r e q u i r e m e n t o fc h i n ai n s u r a n c er e g u l a t o r yc o m m i s s i o n ， i n s u r a n c ec o m p a n ys h o u l dc a l c u l a t et h eo u t s t a n d i n gc l a i mr e s e r v e t r a d i t i o n a lc l a i m sr e s e r v i n gt e c h n i q u e sa r eb a s e do ns o - c a l l e dr u n - o f ft r i a n g l e sc o n t a i n i n g a g g r e g a t ec l a i mf i g u r e s s u c hat r i a n g l ep r o v i d e sas u m m a r yo fa nu n d e r l y i n gd a t as e tw i t h i n d i v i d u a lc l a i mf i g u r e s t h ep r o b l e mo fi n d i v i d u a lr e s e r v i n gi so f t e ne n c o u n t e r e di nt h e r e i n s u r a n c eb u s i n e s s f o rt h e s er e a s o n s ，t h ec o n t r i b u t i o no ft h ep a p e ri st op r e s e n tas t a t i s t i c a l f r a m e w o r kt om o d e ld a t as e t sc o n t a i n i n gi n d i v i d u a lr e c o r d s ，w h i c hi sm e a n i n g f u l a n t o n i o ，b e i r l a n t ，h o e d e m a k e r & v e r l a c k ( 2 0 0 6 ) e x p l a i n e dh o wi n d i v i d u a lr e c o r dd a t as e t s c a nb em o d e l e di nt h ec o n t e x to fl o g n o r m a lm i x e dm o d e l sa n dh o wt h e s em o d e l sl e a dt o f o r e c a s t sf o rf u t u r ep a y m e n t sf o rt h ei n d i v i d u a lc a s e s h o w e v e r , i ti si m p o r t a n tt op o i n to u t t h a tt h el o g a r i t h mo ft h ei n d i v i d u a ld a t ai sm o d e l e da n dn o tt h ed a t ao nt h eo r i g i n a ls c a l e i n s p i r e db yd i s c u s s i o n sa b o v e ，t h ec o n t r i b u t i o n so ft h ep a p e ra r em o d e l i n g t h eo r i g i n a l i n d i v i d u a lc l a i md a t at h r o u g hg e n e r a l i z e dl i n e a rm i x e dm o d e l sa n df o r e c a s t i n gt h ef u t u r e p a y m e n t sf o ri n d i v i d u a lc a s e s t h er e s to ft h ep a p e rh a sb e e no r g a n i z e da sf o l l o w s s e c t i o n2i n t r o d u c e st h et r a d i t i o n a l c l a i m sr e s e r v i n g s e c t i o n3m o t i v a t e st h eu s eo ft h eg e n e r a l i z e dl i n e a rm i x e dm o d e la n d c o n t a i n st h en e c e s s a r ys t a t i s t i c a lb a c k g r o u n d s e c t i o n4e x p l a i n sh o wo u t s t a n d i n gc l a i m r e s e r v i n gb a s e do ni n d i v i d u a lr e c o r dd a t as e t sc a nb ep e r f o r m e dw i t h i nt h ef r a m e w o r ko f g e n e r a l i z e dl i n e a rm i x e dm o d e l si nb a y e s i a nw a y s e c t i o n5d e s c r i b e sl o g n o r m a lm i x e d m o d e l sf o ri n d i v i d u a lc l a i m sr e s e r v i n g t h ep a p e re n d sw i t ht h ei l l u s t r a t i o no ft h ep r e s e n t e d t e c h n i q u e si ns e c t i o n4a n d5o nt h ed a t as e ts i m u l a t e d k e y w o r d s ：o u t s t a n d i n gc l a i m sr e s e r v e s ，r u n - o f ft r i a n g l e s ，g e n e r a l i z e d l i n e a rm i x e dm o d e l ， b a y e s i a ns t a t i s t i c s ，g i b b ss a m p l i n g 第一章绪论 1 1 研究背景 在每个会计年度末，保险公司都会有一定数量的未决索赔案件。这是由于在保险事 故的发生、报告和理赔之间存在时间延迟，因此在某一特定年起始的索赔案件经常不能 在同一年内处理完毕例如。对于责任险来说一般会有很长的法律程序，索赔是在当 年可以簿记，但是真正的索赔支付可能由于索赔额难以评定等原因，拖延至第二年甚至 更长的时间；又或者对于致残险，可能存在分多次赔付的情况所有这些情况都会拖延 索赔的实际支付时间。 未决赔款包括两部分：已经报告，但尚未完全支付的赔款金额：其原因可能是保险 公司还来不及定损，或是双方对责任范围或赔付金额尚有争议以及，已经发生但未报 告的估计赔偿金额。为了保证保险公司的偿付能力，保险公司在进行会计年度决算时， 必须按照已经发生、应当支付但由于种种原因未能及时支付的未决赔款金额的总和提存 足够的索赔准备金与未决赔款相对应，索赔准备金应包含两部分：r b n p 准备金 r e p o r t e db u t n o t p a i d l ，即已报告未支付赔款准备金，以及i b n r 准备金 ( i n e u n 刨b u t n o t r e p o r t e d l ，即已发生未报告赔款准备金。实务中，对于保险公司和再 保险公司来说，都要处理索赔准备金的闻题，对于保险公司来说，主要是第一种情况占 主要部分，但对于再保险公司来说，则是第二种情况为主 在过去，非寿险行业是采用根据现时情况支付的原则来经营的，即在某一特定年度 的所有索赔都是根据同一年的保费收入来支付，而不考虑这些索赔是在哪一年起始的， 并且本年度索赔准备金也是从该年度的保费收入中计提的但是，更符合逻辑的方法应 该是将未决索赔案件与保费实际支付的年度联系起来从而就得到了传统的基于构造流 量三角形的准各金计提方法首先介绍一下流量三角形的结构( 表1 1 ) 如表1 1 中的随机变量ko ，j = l ，f ) 代表对应于起始年f 和发展年_ ，的所有个体 索赔支付的总和。对于满足条件f + ，s t + 1 的单元格( f ，) 所表示的是已经观测到的数据， 其他则是表示未来索赔情况的随机变量。这些随机变量不仅可以表示( f ，_ ，) 所对应的索 赔的增量，索赔累积量或者索赔发生量，还可以表示其他的含义，例如损失率等用流 量三角形确定索赔准备金的方法的思路是通过预测对应于满足条件t + ， f + l 的某一起 始年和发展年的未来的总的索赔，将流量三角形扩展为一个长方形 4 表1 1 流量三角形 发展年 起始年 l 2 j t 一1 t l k i1 2 巧j 墨，一lk ， 2 k ，e z e ， ” e 一 t - j + 1 k 啦 o i ， f 瓦 1 2 研究现状与发展 过去的研究中，索赔准备金计提方法主要是基于传统的流量三角形技术发展出来 的。下面将简要总结与回顾索赔准备金计提方法的发展上世纪7 0 年代大多数的索赔 准备金方法都是基于静态的( s t a t i c ) 、确定的( d e t e r m i n i s t i c ) 模型，主要包括链梯法和分 离法( t a y l o r ( 1 9 7 7 ) ) 等k r a m r e i t e r & s t r a u b ( 9 7 3 ) 最早讨论了用于分析索赔准备金的随 机模型。任何确定性模型都可以通过引入误差项而成为随机性模型。随着确定性方法发 展逐步成熟，有许多学者对基于链梯法的随机模型进行了进一步的研究， e n g l a n d & v e r r a l l ( 2 0 0 2 ) 对此进行了系统的总结t a y l o r ( 2 0 0 0 ) 系统地总结了随机 ( s t o c h a s t i c ) 和非随机( d e t e r m i n i s t i c ) 的索赔准备金计提方法。 到目前为止。在索赔准备金的研究中。索赔准备金计提方法主要仍然是基于流量三 角形技术发展出来的方法，对于索赔准备金更多关注的是某一日历年的总索赔准备金 尽管这种方法缺乏有力的理论基础。在保险公司的精算实务中，由于软件以及硬件的限 制。实际操作者大多数情况也是采用基于总体索赔数据的链梯法来进行预测个体索赔的 来来支付情况。但是。对于些保险公司尤其是再保险公司来说，需要对个体索赔计提 准备金，此时流量三角形的方法便不能解决这个问题t a y l o r & c a m p b e l l ( 2 0 0 2 ) 与 t a y l o r ，m e g u i r e & g r e e n f i e l d ( 2 0 0 3 ) 分别提出了在统计理论的框架下对个体索赔数据建 模的建议a n t o n i o ，b e i r l a n t ，h o e d e m a k e r & v e r l a c k ( 2 0 0 6 ) 运用对数正态回归模型对个 体索赔数据进行分析，并分别采用b a y e s 方法和似然方法对个体索赔案件的未来索赔情 况进行预测。然而采用对数正态混合模型对个体索赔案件进行分析和预测存在两点明 显的不足：第一，对数正态混合模型假定对索赔数据进行对效变换后，其服从正态分布。 但在保险实务中，很多情况下索赔并不能满足此分布假定；第二。对数正态混合模型方 5 法簧黠琢始数据进行对数交换，因魏对于包含“零支付”情况的个体案件，对数正态混 合模型便不爵适用其中，造成“零支付”情况的原因包括；像单中有免赔颖的规定； 由予法律或避结程旁等因素逡成在慕今索筵豢箨静发袭蓬翟串熬莱一审阀年畿没有索 赔支付；索赌案件已燕际发生，但投保人由于损失数额软小或索赔手续复杂等原因选择 不鹚绦验公驾避蠢素皴嚣憩，援殓公司熬索戆支褥为零翡馕撬苓毙理鳃为在爽鞲孛投 保人的损失也为零 毒霹数嚣悫凌舍壤墼不露，广义线经滢金模型苓嚣簧簿器戆数攥遴撑交换，劳显穆 索赔分布的假定由对数正态分布扩大为整个指数分布旒。因此，无论在理论上还是实务 中广义线性游会摸型郡较对数茳态漫会模型具巍更为广泛豹逶煺范圈。 骥于以上原因，举文研究往纵向数据分析的框架下利用广义线性混合模型来对个体 ( 单令傈单) 豹索赔数撰建搂以及对令钵熬未蘩索璐数据逶纡羧测 1 3 本文工作 箍予黄统方法在壤论上与实务上熬存在靛陷的闫联，本文致力予讨论瑾论蕊穑更莪 实的针对个体索赔的分析方法 骰定个体索赔数攒包含戳下信患： l 、数据集中对于每次索赔都肖唯一相成的记录f 2 、辫子菜一豢菇耱每次支耱熬骞梧巍记录； 3 、保险公司对于每个损失的估计的变化要有榴应的记泶； 4 、每次索赔熬起始年与摄告零豹记录； 5 ，每次索赔支付的发展年与e l 历年的记录； 6 、美予保单始有入戆特征的馕息，倒细，年龄秘性剔， 对于记最中的每一次索赔，都是关子时间的重复测蹩数据，基于索赔数据的这种结 构可萼孥其视为级寓数攒。本文糖应曩广义线牲混合模型慰个棼索赔数据建模，以及运用 广义线性混合模型预测每个赂巢的未来的支付额，进而得到未来年度需簧计提的索赔准 备金；并分别应用广义线性混合模型姆对数厩态混合搂型两种方法对横拟数攮进行分 析，避而比较两种方法得到盼参数估计以及预测数据，证实本文研究的广义线髓混合模 型的可行性与有效性，以及方法运用的广泛性以及方法的稳定性 第二章传统的索赔准备金计提方法介绍 索赔准备金的计提方法主要分为两类：随机模型和非随机模型二十世纪7 0 年代 对于索赔准备金研究的大多数方法是基予非随机的模型进行研究的，主要包括链梯法和 分离法( t a y i o r ( 1 9 7 7 ) ) 等k r a m r c i t c r & s t r a u b ( 1 9 7 3 ) 中最早讨论了分析索赔准备金的随 机模型。t a y l o r ( 2 0 0 0 ) 给出了随机和非随机的索赔准备金计提方法的系统总结 另外，也可将模型分为宏观模型和微观模型“宏观”是指在总体聚合水平上分析 索赔准备金，而微观模型则是在个体索赔的水平上进行分析到目前为止，大多数研究 仍是基于宏观模型，t a y l o r ，m c g u i r e & g r o e n f i e l d ( 2 0 0 3 ) 与t a y l o r & c a m p b e l l ( 2 0 0 2 ) 中 都提出了在统计理论的框架下对个体索赔数据建模的建议一般来说，微观模型需要更 详细的数据，对分析工具和计算机运算能力的要求更为严格。 所有的索赔准备金方法都是线性模型或者近似线性模型，各模型的不同之处在于模 型中响应变量和解释性变量各不相同。各种不同的统计技术可以用于建立模型，例如， 力学平滑方法、最小二乘方法、贝叶斯推断以及极大似然方法等。 2 1 基于力学平滑方法的i b n r 技巧 2 1 1 力学平滑 ， 考虑一个线性模型，可以通过随机变量五，以的线性组合来解释一个随机变量r t y = 属+ 届五+ + 磊五+ 占， ( 2 1 1 ) 其中，p 代表误差项。用y = “，y ) g x = ( x j ，。) 分别代表随机变量r 和五，五 的观察值。在保险槽算实务中，随机变量y 可以代表索赔额，随机变量五，k 可以代 表被保险人的特征信息，例如，年龄、性别和收入等影响被保险人索赔的因素。如果 七+ 1 f + l ， ( 2 1 4 ) f - i 钆州= 兀a ( 2 1 5 ) i i - j + l 可以将流量三角形的下三角部分，即未知部分估计出来，从而得到一个矩形，如表2 1 表2 1 将流量三角形扩展成矩形 发展年 起始年12 - ， ，- 1t l l l墨2 巧 墨j - i e ， t 一，+ l 叫+ 1 1r 卟啦 ” 托，“ 托+ 州 鼍，+ i ， f 霉： ” 屯 ” 霉，毫， 8 链梯法可以看成是力学平滑法的一个特例， ，+ i = 巳一i 。i 在各列成比例的假定下，有 ，= l ，t - j 。 ( 2 1 6 ) 以上为链梯法的基本方法可以看出链梯法计算简单方便，而且当实际情况与上述 假定吻合时，预测结果较为精确。但是，当实际数据与假设条件不符时，即不能确定流 量三角形中各列的比例关系确实存在的情况下，链梯法还存在以下不足： l 、有偏估计。链梯法要求各变量问是相互独立的，但实际各变量间存在一定的关联性， 所以通常得出的估计为有偏估计 2 、稳健性较差。链梯法对于观察值的变化极为敏感。即便是个别数据的变化，都会对 估计结果造成较大的影响 3 、忽略了外来影响因素。在实用时则必须考虑诸如通货膨胀、未满期保险责任组成的 变化、结算率的变化以及法律规定的变化等因素影响 在保险精算事务中，研究人员对基本的链梯法进行了改进，主要有以下三种形式： l 、考虑通货膨胀的链梯估算法用通货膨胀率将所有各年的赔款支出折合为“不变价 格”，并依此进行计算；然后将所得各量换算为现值。 2 、改进的链梯估算法在考虑通货膨胀因素的基础上，再考虑保险公司理赔政策的修 改、有关法律规定的变化等，用不同年份的结算率的差别来改进原来的计算。 3 、“伦敦链”直线法。引入线性回归的思想进行赔款额直线的拟合，并据此求出各起 始年对应的最终赔款额的估计值 t a y l o r & a s h e ( 1 9 8 3 ) ，m a c k ( 1 9 9 3 ，1 9 9 4 a ，1 9 9 4 b ) ，v e r r a l l ( 1 9 9 0 ，1 9 9 1 ，1 9 9 4 ，1 9 9 6 ，2 0 0 0 ) 。 m a c k & v e n t e r ( 2 0 0 0 ) ，k r e m e r ( 1 9 8 2 ) 和e n g l a n d & v e r r a l l ( 2 0 0 1 ) 等都给出了基于随机模 型的链梯法的研究 2 。1 3d ev y l d e r 的最小二乘法 d ev y i d e r ( 1 9 8 2 ) 提出了基于最小二乘法来分析和预测索赔准备金的方法。考虑一个 如表1 1 中的流量三角形，其中变量匕( f ，_ ，= l ，f ) 代表起始于第，年的索赔在第，个 发展年的索赔，五i + j s t + l 代表已经观测到的索赔。令q 代表源于起始年f 的索赔( 在 r 个发展年中) 的索赔总量，历代表全部索赔中在发展年，处理完毕的比例假定t 足够 大，使得在t 个发展年后所有索赔已全部处理完毕，便有属+ + 屈= 1 然后通过最小 化平方和( ，一珥岛) 1 来确定参数q 和岛 ，j 在此方法中假定，对于一个特定的起始年和发展年的组合的赔款取决予两个因素： 第一、由参数刻画了起始年的影响；第二，参数屈确定了索赔在其各个发展年中将 以怎样的比例被处理完毕这两个参数都是通过最小二乘的方法进行估计的但是在该 9 方法审，并没有考虑秘历年的因素。d e v y l d c r 方法的举足之憝还有； 1 、由于假定届代表垒部索赔中在发臌年，处理完毕的比例。因此对于不同的个体的索 憝豹发展谤况镑7 稳嗣熬缓定，对令髂穆缝没骞遴簿区分； 2 、忽略了外采影响因素：通赞膨胀、朱满期僳险责任组成的变化、结算率的变化以及 法律撬定黥变纯等。 2 1 4 分离法 考惠一令流量三角澎絮表1 1 ，其牵交垂嚣酝，；k ，f ) 鼗袭霆戆等雾f 零豹索蘧 在第，个发展年的平均索赔崔算术分离法和几何分离法中，对于索赔魁由时闻的两个 铡蕊遴行解释的，鼯发展年效应廖，冀描述7 发展年，的赂付的眈铡，戳及日历年效应 也，反应通货膨胀等增长因豢，其中k = f + j 1 分离方法的模型为 巧= 属+ 勺， ( 2 1 4 ) 忽略模型争谈差项莉樗茔q 表2 2 中所幂的流量兰角形 发展年 起始年12 j t - if 王 l 冷、p t v ； 参，l p | ，。咄y ； 2 届屹磊屹 乃匕+ lj 钆叶 ： t 磊 2 。1 4 。l 算术分离法 对于算术分离法假定在，个发展年盾索赔已处理究毕并鼠假定属十+ 霹一l 把 所有满足f + ，= f + l 黝墨j 加总，可以褥副h 的馈计： t = z 。i ( 2 1 4 1 ) 斑子锺仅缝现在最矮一列土，于筵爻褥到磊：莘。根据t 襄建可以嫩步谤簿曩。， y f 然后再计算矗“，如此方法依次计算，褥到乃和u 工k = l ，) 的估计从而，可以计 算出下三角形，将流爨三角形的扩展成矩形，得到索赔准各金的预测 褥 2 。1 4 2 几何分离法 与算术分离法不同的是，假定发展年效应届满足届屈x 属= l ，因此对于所有 满足j + ，= f + l 的z 是相乘而不是加总然后可以通过类似于算术分离法的逐次鼍换 方法来得到参数尼和屹的估计，进而得到索赔准备金的预测 2 1 5 基于力学平滑方法的i b n r 技巧地总结 以上介绍的力学平滑法包括：链梯法、d e v y l d e r 方法以及分离法都是基于确定性模 型方法建立起来的，没有在模型中考虑随机因素。对于以上方法，可以看出在信息不全 面，对结果只要求粗略的估计的情况下该方法还是具有一定的优越性方法的优点在于： l 、模型对于数据记录的要求比较低，无论宏观数据还是微观数据都可以处理： 2 、模型的建立非常简单，而且直观，易于理解； 3 、求解参数只需解线性方程组就可以完成 2 ，2 统计方法 2 2 1 回归模型 分离方法中，流量三角形中变量五( f ，= i ，力代表起始于第，年的索赔在第，个 发展年的平均索赔，其模型如表2 2 所示。将此模型取对数( 假定品 0 ) 则得到线性 模型： h 巧= i n 辟+ l n v , + ，- i + 勺 f + ，s f + 1 ， ( 2 2 1 。1 ) 其中，气为误差项该线性回归模型的矩阵表示为： w = x 辛+ 6 ， 其中，_ ，”啦) = ( i n 巧，。l i l 瓦，i n 五，l n k ，i l t r 。，) ， 。叫2 为设计矩阵 为回归系数， 为误差项。 i u m 气忡c ，- i ”吼，_ i h t ) ； h 吐州r _ d i i ，。) ，) j ，q m 州) 哪i l 气，- i m h ) ； q ( ，t 肘，p 。州一4 ，) ! d f 州， 暖2 州】= ( i n 属，l l l 尼，l n h ，l n v , ) 气p ( ，+ h 。) = ( 毛。，蜀，岛，气，y 然后，可以逶过统计方法，翻螽。煲辞薪攘断方法、最小二乘法蔽及极大截然估诗 方法米分析此线性回j 嘲模型，从而得到回归系数的估计，从而得到索赔准备金的预测 2 2 2 自霞籍模壅 农传统的链梯模烈中，流量三角形中列是成比例的，即巧。* a n 。这楚自回 归模溅的一个特倒： “一+ 虬一l + 钆+ 瓤， ( 2 2 2 - 1 ) 其中钆为误装项。此模型的宙义为：对于起始于第f 簪的索赔桊件在发展年_ ，的索赔 茸州惹与对应鹣蠡一个蠢历年的所有索魑t 朝懈。和，是稆关黪 钱梯法的种致遴方法“伦敦链”直线法的模型就是链梯法与自回归模型相 结合，反应了上一个发展年的索赔情况与后一个发展年酌索赔的关系： 夏l = a k + q 墨l ( 2 瓢2 2 ) 通过解决煨小化问题：缈( 匕十- a , 一吼) 来得到吼和唧的估计，然后樽根据 递接美系： ” 最“m 屏+ 瓦最i i t - k + l ，+( 2 2 2 3 ) 缀次缮劐流羹篓角形憨下三角部分，帮索赔准冬金静预测。 2 3 基于力学平滑方法的i b n r 方法岛统计方法的比较 2 1 中介绍的备种方法不定之处的共同点在于对予参数估计方法的基础都懋力学 平滑法，即链梯法、d ev y l d e r 方法以及分离法都是基于确定性模型方法建立起来的， 因茈强能诗葬磁参数静估计值，不能绘毽信专 魏误差。餐是，农一些债搅下，对鼍；菲醚 机模型，也可以给出随机的解释，即可以考虑将回归的方法引入链梯法以及分离法例 懿，努蔫方法瓣霉戮霜秀学孚瓣方法憝遴，又爵戳雳疆瓿蓰檠下囊孽稷太钕然绩诗方法迸 行分析 辫子统谵蠢法来落。萁是辩基手力学平瀑方法鹃i b n r 方法燕迸一爹觞、更鬟蓬论 基础的分析方法一般来说，禚估计索赔准备龛的问题中建立的模型都为( 近似) 线性 攘垄，霆j l ：建予模型孛戆参数农理论上郡是哥班建缓谤蠢法逶蠢分辑豹，翱翔最小= 乘 方法、贝叶斯推断和极大似然露法等。 夔是，在保险实务串，攫多鞋侯下会出褒联援集豹数据包含黪信意誉完全，誉能支 持有效可靠的统计分析的情况，在这些情况下采用力学早滑的方法更为方便和可靠。因 恁，在实骣盛趱孛选择分橱方法霹要结会效摆款完整牲毅及模型豹霹行健强方嚣躐豢进 行考虑。 第薹章广义线畿混会模墼 3 。l 广义线经瀵型( 衲e f a l b r 脚l i n e a r 羚量o d e l s ) n e l d c r w e d & r b u r a ( 1 9 7 2 ) 对于广义线性模型的应用馓了详绷地介绍自 m o c u a g h n e l d e t ( 1 9 8 9 ) 善毙将广义线性模型萼l 入到糖算研究巾之螽，广义线性模型 已经成为一个放广泛威用于精算数据的分析工凝h a b e r m a n & r e n s h a w ( 1 9 9 6 ) 中介绍了 许多广义线饿模型在缳蹬精算中的实例 广义线性模m ( g _ l m 、的第一个璧甏特征悬将一般的线性模型对于观测值的分布的 缓定嬲正悫分毒扩展剿指数族分毒，因此范围震广泛的数据类型可以农广义线性模型 ( g l m ) 的框架下进行分析。本文中使粥指数族分布的靓范的密度函数形筑， 舶；e x p ( 等竽慨费j t 弦“) 其中，妒- ) 积# ) 是已知函数，0 为自然参数，失尺度参数。 令k ，k 独立，服从于上述指数族分布。对于指数族分布育下列关系成立； 秘；蓦【嚣l = ( 谚) t ( 3 ，1 。2 ， 阮r 【r 1 = p ( 只) = 妒矿( 触) ， ( 3 1 ，3 ) 其串( ) 衽矿) 是缈( ) 关子护求导t 并且矿( ) 称为方麓函数，冀包含了髓辊变豢均值 与方麓之间的关系 对于广义线性模型第二个待点是箕提供了另乡 一种数据窝换的模式：与传统的匮 归模毅方法不间，广义线性模测不需要对原始数据进行变化，丽是将响威变量的均值变 换为熊释往交豢秘缓酸涵数形筑。邵。 g ( h ) = 伤= ( ， ( 3 1 4 ) 其中，= ( 属。，屏) 1 避模型的参数，肖似p ) 是设计矩阵，g ( ，) 代表联系函数，研是 第f 个慰象的线性预测。对于卷知的但瑚定的凰归参数是通过月数值邀代的方法( 蜊 如。n e w t o n r a p h s o n 方法) 求解极大似然方稷求得的 3 。2 线牲漫会模型( l i n u r m i x e dm o d e l s ) 由l a i r d & w m , ( 1 9 8 2 ) 中首次引入线性混合模型之聪，线性混合模激就开始被广泛 缝应麓予怼缓爨数撵熬骚究。v e r b e k e & m o l e n t m - g h s ( 2 0 0 0 ) 秘d e m i d e n k o ( 2 0 0 4 ) 黠线性 混合模型进行了详细地介绍。f r e e s 。y o u n g & l u o ( 1 9 9 9 ) 对线性混食模型农精算中的一些 方嚣瓣瘟雳进缝了套缨 ， 线性混合模型通过在均值结构中弓 入随机效应，实现了对古典线隹e 回归模型的播 l 王 广。锻定已缀获得个对象的观测结莱，令端代表对于第i 个瘸测对象的疆潮次数 鬈x 1 ) 是对第f 个观测对象的观测值。 一般的缄性混合横型可表看鼍茺 e 。五芦+ z 矗+ 卑，( 3 2 1 ) 其中r ( p x l ) 代表模型中的p 个固定效应，悬确定的，并适用予所有对象，毽懋未知。 4 妇x 1 ) 代表对应于第，个观测对象的髓机效应 线性混合模型中萼f 入了随机效应反映了不湖对象之间的异戚往，以及阊一对象不同 观测乏阗的相关性“p ) 和互( 垮x g ) 分别代表对_ 缀子，个固定效斑和窖个随机效 应静设计矩薛。弓淑1 ) 代表静是第i 个对象的谟差帮分，假定箕相互乏闻是猿立的。 并且假定如和鼻是相甄独立的，一般比较传统的假定其服从均德为0 ，协方差缀阵分别 为d ( q x q ) 戳爱e 国x 碡) 豹多元芷态矜布。 从上述模型，可以褥到r 的边际分布的均使为z 卢，协方熬矩阵为 巧= 哳僻) = 五删+ 麓 ( 3 2 2 ) 由此碍以善出，罄定效应寥仅影蜿均氆部分，然鞭对于赋个观测对象，髓枧效瘫影魂 了协方差矩陴的结构。将协方麓阵矿中的未知参数记为搿，那么在给定搿的条件下，可 以得至d 夕的极大似然储计矽为 ：f 壹巧一- 五丫兰一巧一t z ( 3 2 3 ) 对于随机效应的预钡i 用随机效应厝验分布厅俩f z ) 的均值，给定口，有 毒；掣鬈。f 嚣一墨声 。 ( 3 2 ，4 ) 可以证明丘= z 磁杉。f z 一葺铆是岛的最佳线性j 巴偏预测( 占，p ) 对于参数口的估计可 戬用檬犬依然法或者蔽翻极大钕然方法，觅a n t o n l o ( 2 0 0 6 ) 。 3 3 广爻绞经混会穰型f g e n e r a l i z e dl i l i c i tm i x e dm o d e l s ) 广义线性混合模型通过在线性预测部分引入随机效成推广了广义线性模型当分析 者豫了黠峦露定效应舔瑗翡慧体静索魏特征惑兴趣之辨，还器委j l 重每个瓣象懿赘链进行 分析时，就需舞引入体现个体索赔特征的随机效应，此时广义线性混合模型非常适用。 线性羧溺孛懿艇辍效疲爱浃除了不弱鼹象之溺赞舅震螋。m c c u l i o c h s e a r s 2 0 0 1 ) 窝 d e m i d e n k o ( 2 0 0 4 ) 分别对广义线性混合模型谶行了详细的介绍w i l l i a m s ( 1 9 8 2 ) 和 b r e s l o w ( 1 9 8 4 ) 分裂讨论了b e t a - b i n o m i a l 混合模型与p o i s s o n - - g a m m a 混会模型。 1 4 对于耩算数据，搿象之间的异质饿以及间对象举同观测之间的相关性是非常常见 的因此，越来越雾的学翥使用广义线性混合模型对精算数据进行分析例如， a n t o n i o 蟊b c i r a n t ( 2 0 0 7 ) 串将广义线镶混合横缝应用予萄信度壤论中 假定要分析的数据由个对象的观测值缎成，辩代表对予籀1 个对象的观测次数， 一般情况下是相对子各个辑来说较大的筐i s , = 晶，如， 是辩第f 个对象的蕊 测向量。在缭定第i 个对象的随机效威岛的条件下，毛，z ：，k 是来自某一攒数族分 毒载猿立静辕橇交蠢，瑟 ； k 她剧) ：刊址写划+ c 幻，) l ， ( 3 3 1 ) l r j 其中。矿( ) 和c 0 是醺知函数，口是自然参数，为尺腰参数联系函数为 g j = 屯+ 气鸟， ( 3 。3 。2 ) 其中，声( p x l ) 代袭圆定效殿6 j0 x 1 ) 代袭对应予第1 个对象的随机效应，随机效应 爱敬了各臌溅对象闻静羚矮性鞋及目令对象苓嚣魏铡馕麓豹甥炭缝。 蜀( 啊p ) = ( 葺。，) 和蜀( 珥x 口) = ( 毛。，7 ) 分别是对应于固定效应和随机效 应魍设计矩黪。 对于指数分布族，有如下结论成积： j ，。占e i b ，) = 矿瓴 3 3 。3 和脚眈慨) = 一妒( e d - - + 矿也) ( 3 ，3 4 ) 再暇定随机效应玩f m l ，独立阏分布，其密度蹒数为石( 6 f l 砩，其中d 代表随梳 效应岛的协方差，是洙知参数关于张知参数卢和d 的似然函数为 ( 麒d ；y ) = 竹，( 一商d ，