（概率论与数理统计专业论文）随机隶属函数的某些性质及基于随机集的组合律.pdf

四川大学硕士学位论文 摘要 随机隶属函数的某些性质及基于随机集的组合律 概率论与数理统计专业 研究生宋谢冰指导教师朱允民教授 本文定义了随机隶属函数的概念，使得论域上元素的隶属度的不再是一个 确定的数，而是一个随机变量，同时定义了相应的组合律、口一口截集及分解 定理等。并且通过建立随机集和随机隶属函数之间的对应关系，利用随机集的 特点，得到更一般随机隶属函数的组合律。相对于传统的非随机的隶属函数， 随机隶属函数具有的概率性质携带了更多的信息，文中讨论了随机隶属函数的 一些特性，如元素在某个概率水平下最大隶属度，以及大于某个隶属度水平的 最大概率等，并给出一些例子加以说明它们在应用中的意义。 关键词随机隶属函数，随机隶属度，随机集，随机隶属函数组合律，o 一卢 截集。 婴纠奎堂堡主堂垡堡塞 a b s t r a c t s o m ep r o p e r t i e so ft h er a n d o mm e m b e r s h i pf u n c t i o n sa n dt h e c o m b i n a t i o n r u l e sv i ar a n d o ms e tf o r m u l a t i o n m a j o r ：p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s a u t h o r ：x i e b i n gs o n gs u p e r v i s o r ：y u n m i nz h u i nt h i st h e s i s ，t h ec o n c e p to fr a n d o mm e m b e r s h i pf u n c t i o ni si n t r o d u c e d t h e f u z z yd e g r e ei sn om o r ead e t e r m i n a n tn u m b e r , b u tar a n d o mv a r i a b l e r a n d o mm e m b e r s h i pf u n c t i o nh a v em o r ei n f o r m a t i o nt h a nn o n r a n d o mm e m b e r s h i pf u n c t i o n s o m e d i s c u s s i o n sa b o u tt h ep r o p e r t i e so f r a n d o m m e m b e r s h i pf u n c t i o na r ep r e s e n t e d ，a n dt h e e x a m p l e ss h o wt h er e a s o n a b i i t yo f t h et h er a n d o mm e m b e r s h i pf u n c t i o n f r o mt h er e l a t i o n s h i po ft h er a n d o ms e ta n dr a n d o mm e m b e r s h i pf u n c t i o n ，v a r i o u sc o m b i n a t i o n r u l e sf r o ms t o c h a s t i cp o i n to fv i e wc a nb ec o n s t r u c t e d k e yw o r d s ：r a n d o mm e m b e r s h i pf u n c t i o n ，r a n d o mm e m b e r s h i pd e g r e e ，o t 一卢 c u t t i n gs e t s ，r a n d o ms e t s ，t h ec o m b i n a t i o no ft h er a n d o mm e m b e r s h i pf u n c t i o n i i 四川大学硕士学位论文 第一章引言 隶属函数是模糊数学中最为基本的一个概念，模糊集合完全由其隶属函数 决定，应用模糊数学解决实际问题时，隶属函数的确定非常重要，是应用模糊 数学解决实际问题的第一步，但是隶属函数如何确定是没有一个统一的标准， 其确定过程中有一定的人为技巧，因此带有一定的主观性，因此常用统计方 法，如求平均值，以减少主观性这一影响。如确定人们对“年轻”这一模糊集 的隶属函数，有一种方法是在人群中随机进行调查，然后再通过统计平均的方 法得到所需的隶属函数。这种方法有一定的合理性，但是在求均值得过程中， 一些随机信息丢失了。显然保留随机性，隶属函数将更能反映模糊概念的本 质，能够包含更多的信息。下文中首先给出了随机隶属函数的定义，然后相对 于普通的非隶属函数中组合律的概念，定义了随机情形下的组合律。随机集和 随机隶属函数之间有一种对应关系，由随机隶属函数可以诱导出随机集，另一 方面随机集也可以诱导出随机隶属函数。这种可以互相诱导的关系，加上随机 集的特点，可以得到由不同的随机集诱导的更一般随机隶属函数组合律，在最 后给出了一些具体的组合律，通过这些组合律可以看到非随机隶属函数( 隶属 度) 的组合律可以平行的应用于随机隶属函数( 随机隶属度) 的组合，所以前 面所定义的组合律是合理的。不难看出一般意义下的普通隶属函数是随机隶属 函数的一种特殊情况。然后定义了随机意义下口一声截集以及两个特殊截集， 通过同一般意义下的截集作比较，前者能携带更多的信息。最后定义了随机意 义下的分解定理，通过此定理可以看到a 一口截集的作用同一般意义下截集的 作用是相同的，并且非随机的截集是乜一口截集的特例。 四川大学硕士学位论文 第二章随机隶属函数 在普通集合a 中，一个元素z 对a 的关系只有两种：o a 和z a ，普 通集合表达的概念的特点是要求对象对于集合要么绝对属于该集合，要么绝对 不属于该集合，不允许摸棱两可。换句话说，普通集合只能表达“非此即彼? 的现象，而不能表达“亦此亦彼”的现象，即所谓的模糊性现象。 l a z a d e h 于1 9 6 5 年提出了模糊集合的概念，基本思想是把普通集合中的绝 对隶属关系灵活化，使元素对“集合”的隶属度从只能取0 或1 的两个值扩充为 可以取闭区间 o ，1 】中的任一个数。这样就把元素属于集合的概念模糊化了，承 认存在既非绝对属于、又非绝对不属于的集合的元素，使得绝对属于概念变为 相对属于概念。另外，这种扩充还将属于概念数量化，使得不同元素对同一集 合有不同的隶属程度。当元素绝对属于集合时隶属度为1 ，当元素绝对不属于 集合时隶属度为0 ，而将其余元素的隶属度用介于o 和l 之间的实数“来表示，较 大的肛表示有较高的隶属度，较小的p 表示有较低的隶属度。这样，利用隶属度 就给出了模糊集合的一种数量化的描述。换句话说，隶属度刻画了模糊集合。 定义l ：设x 为论域，p j 是x 到闭区间f 0 ，1 1 的一个映射 p ：x 一【0 ，1 v z x ，z ，肛 ( z ) ( 2 1 ) 则称此映射确定了一个模糊集a ，称p 为a 的隶属函数，肛 ( z ) 叫做z 对a 的隶属度。 隶属函数是模糊数学中最为基本的一个概念。从某种意义上来说，模糊集 合和其隶属函数是等价的：所谓的已知某个模糊集就是知道这个模糊集的隶属 函数：若知道某个模糊集的隶属函数，则这个模糊集是己知的。模糊集合完全 由其隶属函数表征。 从定义1 可以看到，z a d e h 的隶属函数的取值和隶属度都是确定的数。而当 2 一 四川大学硕士学位论文 他们不是确定的数，即对每个oc x ，p ( z ) 不再是【o ，1 】区间上确定的数，而是 一个具有分布f ( l 茁) 的随机变量，就有随机隶属函数和随机隶属度概念。 定义2 ：设x 为论域，p j 是x 到随机变量集的个映射，对每个z x ，“a ( z ) 是一个值域在【0 ，1 】的随机变量，其分布为f ( l x ) ，称卢 ( 。) 为z 的 随机隶属度，而称卢j 为模糊集a 的随机隶属函数。 这样定义的隶属函数和隶属度包含更多的信息，对论域中每个元素，既可 知其在某个概率水平下的最大隶属度，也可知其大于某个隶属度水平的概率， 这些在最后一节讨论。易见随机隶属函数是非随机隶属函数的推广，非随机隶 属函数是退化的随机隶属函数。首先通过其概率性质，有下面的定义 定义3 ：设对每个z x ，其随机隶属度为p ( 。) ，令，( z ) = e ( 肛( z ) ) ，则称此 函数，( z ) 是随机隶属函数的期望。 从经典的非随机隶属函数确定的些常用方法中，如模糊统计法、德尔菲 法、综合加权法等，可以得出随机隶属函数确定的方法，只需将这些方法中对 数据取统计平均的地方作变动，取而代之用随机变量来描述对每个z 得到的隶 属度数据的分布即可。下面给出一个离散情形的例子说明随机隶属函数如何获 得。 例l ：为得到”年轻”这一模糊概念的隶属函数，首先从人群中随机调查人们 对此概念给出的( 非随机化) 隶属函数或从每一年龄人群的几个生理化验 指标确定胁( z ) ，i = 1 ，2 ，n ，对v z 【0 ，1 0 0 ，都有n 个隶属度值m ( z ) ，i = 1 ，2 ，n 相对应，则可以利用这些样本得到一个随机变量的经验分布，从而 得到”年轻”的随机隶属函数。具体的随机隶属函数可见第六节的例3 。 四川大学硕士学位论文 第三章三角交与三角并 定义了随机隶属函数的概念后，下面将讨论随机情形下模糊集的交、并、 补的运算。非随机情形下模糊集的运算可以平行的应用过来，如对于最简单 的z a d e h 的v ，a 模型，我们类似的有： 定义4 ：设x 为论域，a ，雪f ( x ) ，其随机隶属函数分别为蝴，纵，定义 a u 直，a n 雪，a c ，使之分别具有随机隶属函数 p 。自( 。) = am a x 肛 ( z ) ，“亩( z ) ) p 。目( 。) 垒m i n z ( z ) ，肛直( z ) ) 肛 。( 。) 垒1 一p ( z ) ( 3 1 ) 其中z x ，m a x 及m i n 为随机变量的运算，它们分别称为模糊集a 与雪的 并、交以及a 的补。 z a d e h 的丁算子完全可以应用于随机的情形，可以猜想其他的t 算子同样 可以应用于随机隶属度，甚至于t 范数和丁余范数也可以应用于随机隶属度， 即非随机情形下隶属函数( 或隶属度) 的组合，可以平行的移过来用于随机隶 属函数( 或随机隶属度) 的组合。下面来看如何将将这些应用于随机的情形。 首先来看非随机情形下几个定义。 定义5 ：令t ： o ，1 0 ，1 ，称t 为个t 范数，如果对v 。，y ，。 0 ，1 】，t 满 足下列条件： ( 1 ) 交换律t ( x ，g ) = t ( y ，z ) ； ( 2 ) 单调性若z ，则t ( x ，) t ( x ，z ) ； ( 3 ) 结合律t ( x ，t ( y ，。) ) = t ( t ( x ，) ，z ) ； ( 4 ) 边界条件t ( x ，1 ) = x t ( x ，0 ) = 0 可以看到上面的都可以照搬到随机时，作为随机隶属函数( 或随机隶属 度) 的组合方法，只是其中的一些符号的意义将变化，其中等号和不等号都是 四川大学硕士学位论文 概率意义下的。 定义6 ：令t ： o ，1 x 0 ，i 】，称t 为一个随机t 范数，如果对任何值域在 【0 ，1 】的随即变量x ，z ，t 满足下列条件： ( 1 ) 交换律t ( x ，y ) = t ( y 1x ) ； ( 2 ) 单调性若ysz ，则t ( x ，y ) t ( x ，z ) ； ( 3 ) 结合律t ( x ，t ( y ? z ) ) = t ( t ( x ，y ) ，z ) ； ( 4 ) 边界条件t ( x ，1 ) = x t ( x ，0 ) = o 类似可以给出随机t 余范数的定义。 定义7 ：令t + ：【0 ，1 1 0 ，1 】，称丁+ 为一个随机t 余范数，如果对任何值域在 o ，1 】的随即变量x ，z ，p 满足下列条件： ( 1 ) 交换律t + ( x ，y ) = t + ( x ) ； ( 2 ) 单调性若y s z ，则t + ( x ，y ) s t ( x ，z ) ； ：。( 3 ) 结合律t + ( x ，t + ( y ) z ) ) = t + ( t + ( x ，y ) ，z ) ； ( 4 ) 边界条件丁+ ( x ，0 ) = x t + ( x ，1 ) = 1 同样的我们可以定义随机否定函数。 定义8 ：设n ：【0 ，1 一【0 ，1 ，称为一个随机否定函数，如果对任何值域在 0 ，1 的随即变量x ，y ，满足下列条件： ( 1 )i v ( o ) = i n ( i ) = o ； ( 2 ) 若x y ，则n ( x ) ( y ) t 范数、t 余范数和否定函数的其他一些性质，如阿基米德性、严格性 类似的可以定义到随机的情形。其他人定义的t 算子同样可以平移过来，如 g o g u e n ，b a n d l e r 等提出并研究了一种现称为概率算子的t 算子，其定义如下： 疋( z ，y ) = 。y ，7 ；( z ，y ) = z + 一。口，2 ( 。) = 1 一z 我们可以定义随机概率t 算子为，对任意得值域在( 0 ，1 的随即变量x ，y ，有 正( x ，y ) = x y ，写( x ，y ) = x + y x y ，2 ( x ) = 1 一x 一5 一 四川大学硕士学位论文 其他的诸如l u k a s i e w i c z 逻辑算子等都可以类似定义成随机情形下的随机t 算子 从另一方面来看，这些非随机情形下的t 算子可以说是随机t 算子退化到 常数时的特例，随机t 算子更为一般。后面我们将讨论更为一般的组合律。 注1 本节定义6 定义8 中的等号和不等号都是概率意义下的，如两个随机变量 x ，y ，x = y 意为p ( x = 】，) = 1 ，x y 意为p ( x y ) = 1 等等。 四川大学硕士学位论文 第四章随机隶属函数和随机集的相互表示 本节和下一节讨论随机隶属函数更为一般的组合律，这借鉴了别人所作的 在非随机情形下的工作( 见 2 ) ，这里将他们的一些结论推广到随机情形下。 首先来看随机隶属函数和随机集的关系。 设x 为论域，肛为其随机隶属函数，对每个z x ，随机隶属度肛( z ) 是一 个值域在【0 ，1 的随机变量。有一概率空问( q ，o 1 2 ，只。) ，对所有的z x ，随 机变量p ( z ) 有： 肛( z ) ( ) ：( q ，) 一( 【o ，1 】，b o ，1 】) ( 4 1 ) 则弘可以看作是从x q 到 0 ，1 的一个函数，即肛( z ，u ) 【0 ，1 】。一般的，我们 令口n = p ( q ) 。 现设( q ，盯n ，b n ，) 是又一个概率空间，显然( p ( x ) ，p 沪( x ) ) ) 是可测空 间，其中p ( x ) ) 为定义在p ( x ) 上的最大的盯一域，所谓随机集r 为如下可测 映射： 工、：( q ，口n ，) 一( p ( x ) ，p ( p ( x ) ) ) ( 4 2 ) 任一随机集r 的单点覆盖概率可定义一个隶属函数 p ( z ) = a 只。， u ，：z r ( u ) ) ( 4 3 ) 另一方面，当给定随机隶属函数时，可以导出相应的随机集。设： ( q 7 ，o f t ，己。，) 一( 【o ，1 】，b ( o , 1 】，b 。，) 。一1 是 o ，l 】上服从均匀分布的随机变量，对 一7 一 四川大学硕士学位论文 任给定u q ，则可由隶属函数卢( z ，u ) 定义随机集： l ( u 7 ) 垒 z ：( u ) p ( z ，u ) ) ( 4 4 ) 由于( u7 ) 是在 0 ，1 上的均匀分布随机变量，前面导出的随机集的单点覆盖概 率有下列性质： 只。， u 7 ：茹l ( u 7 ) ) = 只砸，( u 7 ：( u 7 ) 卢( z ，u ) ) = ( z ，u )( 4 5 ) 显然，当( 4 3 ) 式中r ( u 7 ) 的一个形如( 4 4 ) 式定义的关于u 的随机集l ( u ) 时，通 过( 4 3 ) 式导出的隶属函数是随机隶属函数，这与( 4 5 ) 式的结论是一致的，即单 点覆盖概率关系成立。在后文中，在不引起歧义的前提下，l 简记为r 。 和非随机情形下一样，可以有其他的方法使得随机隶属函数和随机集互相 导出。如( 4 4 ) 式中的随机集r 可以定义为： r u ( u 7 ) 垒 ( 。) ：f ( u 7 ) p ( z ，u ) )( 4 6 ) 则其单点覆盖概率具有以下性质 已n ，( u 7 ：( z ) r ( u ) ) = b 。，( u 7 ：( u 7 ) 卢( 。，u ) ) = 1 一只。，( ( u 7 ) ：f ( u 7 ) sp ( 。，u ) ) = 1 一卢( z ，u )( 4 7 ) 同时，( 4 3 ) 式可以这样定义 p ( z ) 垒1 一只。， u 7 ：。r ( u ) ) 一8 一 ( 4 8 ) 四川大学硕士学位论文 此式和( 4 6 ) 式是一致的。 从上面的这些等式可以看出，尽管这里的隶属函数是随机的，模糊集 合和随机集仍然可以互相导出，而且方法不唯一。类似于非随机情形，选 择( 4 3 ) ；f n ( 4 4 ) 有两个优点：( 1 ) ( 4 3 ) 和( 4 5 ) 结果是一致的，( 2 ) 便于和上一节定义 的随机情形下的三角交和三角并比较( 见下一节) 。 由随机隶属函数“导出的随机集r 不仅依赖于前者，同时依赖于均匀分布 随机变量。当考虑单个的导出的随机集时，其对随机变量f 的依赖及的形式 似乎可以不予考虑，但是当由多个随机集分别导出导出它们的随机变量时，其 所涉及的随机变量之间的关系须认真考虑。这一点将在下一节讨论。在不引起 歧义的前提下，后面的文章中将只。，简写为p 。 注2 本节开始时有两个基本的假设：不同的z x ，随机隶属度“( z ) 是同一 概率空间( q ，盯n ，b 。) 上的随机变量：当u 确定时，肛( ，u ) 是x 上的非随机的隶 属函数。这两个假设是有一定依据的，不是凭空想象出来的。对于前一假设， 是基于对比基础相同这一思想所作的，如果对x 中的两个点z 。、z 。，随机变 量肛( z 。) 和卢( z z ) 的概率空间不同，他们之间就没有可比性，而隶属度的意义之 一就是可比，所以这一假设是合理的。后一假设是基于前一假设的，当u 确定 时，卢( z ，u ) 就是对应于u 的样本函数，是从x 到区间0 1 1 的一个映射，所以可 以认为是x 上非随机的隶属函数。 注3 8 f o ，1 1 意为 0 1 区间上的b o r e l 域，即区间 0 1 - 由开集全体产生的盯域： p ( q ) 是q 的幂集，即q 的子集全体构成的集类，是一个( 9 - 域。 一9 四川大学硕士学位论文 第五章随机隶属函数的组合 假设有f 个随机隶属函数 p 1 ，卢2 ，胁) ，有很多方法将他们融合为一个 随机隶属函数“。既然隶属函数和随机集可以相互转化，则可以利用它们之间 的这种关系得到一类组合方法。首先对这些已知的须组合的随机隶属函数，导 出其相应的随机集，然后利用这些导出的随机集组合成一个新的随机集，再有 这个随机集导出相应的随机隶属函数。下面详细讨论这种方法。 首先，假设有f 个在 o ，1 上均匀分布的随机变量f i ( w 1 ，u 2 ) ，i f ， 用( 4 4 ) 和( 4 5 ) 的方法可以得到t 4 随机集 r l ( w ，) ，f 2 ( w ，) i ，f l ( w ) ) 。为通过 相关的随机集及均匀分布的随机变量组合这2 个模糊集合，然后要做两个假 设： ( 1 ) 在x 上定义从t - f 子集到一个子集的映射 ( 2 ) 假设f 个均匀分布随机变量的关系。 下面给出当已知一些具体的集合映射和f 个均匀分布随随机变量的关系 时，模糊集的几个常用组合律。 假设有一个新的随机集定义如下： r ( u ) = nf i ( w 7 ) ( 5 1 ) i = 1 在某种意义下，这可被称为a n d 组合律。由( 4 3 ) ，有函数 卢( z ) = p ( w ：z r ( u ) ) = p ( w 7 ：n 。( 已( u ) 胁( 。) ) ) ( 5 2 ) = p ( w ：1 ( u ) 墨肛( z ) ，f z ( w ) m ( z ) ) 一1 0 四川大学硕士学位论文 若6 ( u ，) 】i f 是相互独立的，则 f p ( z ) = p ( u ：6 ( u ) m ( z ) ) ( 5 3 ) i = 1 l = i i “( z ) i = l 若& ( u ，) 】i 兰f 是相同的，即6 ( u 7 ) 兰( u ，) ? i f ，则由( 5 2 ) 有： p ( z ) = p ( u ：( u 7 ) sp - ( 。) ，6 ( u ) m ( 。) ) = p ( w ：1 ( u 7 ) m i n u a ( x ) ，m ( z ) ) ) ( 5 4 ) = m i n # l ( x ) ，肌( z ) ) 如果这个新的随机集定义如下： l r ( u 7 ) = ur t ( u 7 ) i = 1 在某种意义下，这可被称为o r 组合律。由( 4 8 ) ，有函数 ( 5 5 ) p ( o ) = p ( u ：z 1 1 ( u ) ) = p ( w ：u ：= 。( & ( u ) 胁( z ) ) )( 5 6 ) z = p ( w ：& ( u 7 ) 他( 茁) ) 一p ( w 7 ：矗。( u 7 ) 胁。( z ) ，已：( 胁：( z ) ) + ( 一1 ) p ( w ：6 ，( u 7 ) 胁，( 。) ，矗( u ) p n ( z ) ) i l i l 四川大学硕士学位论文 若6 ( u ，) 1 isz 是相互独立的，则 z 肛 ) = p ( u ：( 矗( ) 胁 ) ) i = 1 一p ( u 7 ：6 。( u 7 ) 胁，( z ) ，6 。( u 7 ) 胁：( z ) ) i l i 2 + ( 一1 ) 。p ( u 7 ：矗。( u 7 ) 胁。 ) ，6 。( “j ) 胁。 ) ) t 1 肛1 ( z ) ，6 ( u 7 ) 肌( z ) ) 四川大学硕士学位论文 若( u ，) ) i f 是相互独立的，则 z 肛( z ) = p ( u 7 ：6 ( u ) 胁( z ) ) ( 5 1 1 ) l = 1 i = ( 1 一胁( 。) ) t = 1 若6 ( u 7 ) - - f 1 ( u 7 ) ，i l ，则由( 2 2 ) 有 p ( z ) =p ( u ：l ( u 7 ) 卢1 ( z ) ，f ( u ) 肛f ( 。) ) = p ( u 7 ：1 ( u 7 ) m a x # l ( z ) ，m ( z ) ) ( 5 1 2 ) = 1 一m a x p 1 ( z ) ，肛f ( 。) ) 如果这个新的随机集定义如下： ff r ( u 7 ) = n ( f i ( w 7 ) ) c = uf i ( u )( 5 1 3 ) t = 1t = 1 若f i ( w ，) 1 i f 是相互独立的，则 p ( z ) = p ( u 7 ：。r ( u 7 ) ) =p ( u 7 ：u 名1 ( 靠( u 7 ) k ( z ) ) ) ( 5 1 4 ) = 1 一p ( u ：n 匕l ( ( u 7 ) 地( z ) ) ) l = 1 一地( z ) t = 1 若6 ( u 7 ) - - 1 ( u 7 ) ，i c ，则： p ( z ) = p ( u 7 ：茁r ( u 7 ) ) 一1 3 四川大学硕士学位论文 = p ( u 7 ：u l ：l ( 6 ( u ) p i ( z ) ) ) ( 5 1 5 ) = 尸( u ：1 ( u ) m i n # t ( x ) ，肌( z ) ) ) = l m i n # l ( x ) ，肌( z ) ) 如果随机集 r l ( w ，) r 2 ( w ，) ，f l ( w ，) ) 是通过( 4 6 ) 定义的，而r ( u ) 是通过 ( 5 1 ) 定义的，则： p ( 。) = p ( u 7 ：x r ( u 7 ) ) = p ( w ：n 名1 婚( u 7 ) 胁 ) ) )( 5 1 6 ) = p ( u ：1 ( u 7 ) 卢1 ( z ) ，6 ( u 7 ) 胁( z ) ) 这和( 5 1 0 ) 完全相同，而且也不难看出在矗，) ) isz 相互独立和矗7 ) 三 1 ( “，) ) i f 两种情况下，分别可以得到与( 5 1 1 ) 和( 5 1 2 ) 完全相同的结果。另 一方面，若通过( 4 8 ) 和( 5 5 ) 来定义随机集，则得到与( 5 t 3 ) 和( 5 1 4 ) 相同的结 果。 若将“交并”和“补”这些集合的运算应用于构造集合映射，可以 定义2 2 个随机集f ( u ，) 。假设由f 个随机集的交得到一个集合n 名1 几( u ，) ，其中 几( u ) = f i ( u 7 ) 或r t ( o - ，) o 显然这里总共有2 。个这样的交，并且它们彼此互不相 交。若将“并”运算应用于这些交集上，最多可以得到2 2 个不同随机集。并 且，如果这f 个均匀分布的随机变量6 0 = 1 ，f ) 是相互独立或者是完全一样 的，则至多可以得到2 2 + 1 个不同的“。 下面我们以当f = 3 时为例来具体说明这种组合是如何定义的。 例2 ：有三个己知的随机隶属函数p l ，弘2 ，肛3 ，其导出的随机集分别是r 1 ，r 2 ，r 3 。 考虑“三分之二”的组合律，则可以定义新随机集为： r ( u ) = f t ( w ) nr 2 ( w ) nr ；( u ，) u r - ( u ) nr 3 ( u ) nr ；( u ) 一1 4 四川大学硕士学位论文 u 【r 2 ( u ) f - 1r 3 ( “7 ) r - 1f i ( u ，) 】 u 【r 1 ( u ) nf 2 ( w ) nr a ( w ，) 】 ( 5 1 7 ) 若随机变量6 ( i = 1 ，2 ，3 ) 是相互独立的，则由( 5 3 ) ，有 p ( z ) = p ( u 7 ：z r ( u 7 ) ) = p ( u 7 ：( u 7 ) sp 1 ( z ) ，已( u 7 ) 2 ( z ) ) ，3 ( u 7 ) p 3 ( z ) ) ) + p ( u ：z ( u ) 肛 ) ，3 ( “j 7 ) s 肛3 ( 。) ) ，已( u 7 ) 肛z ( z ) ) ) + p ( u 7 ：已( u 7 ) p 2 ( 。) ，6 ( u 7 ) p 3 ( z ) ) ，1 ( u 7 ) 肛l ( z ) ) ) + p ( u ：( u ) 肛，( 。) ，已( u ) p 。( z ) ) ，3 ( u 7 ) 墨“3 ( z ) ) ) =p 1 ( z ) 芦2 ( z ) ( 1 一p 3 ( z ) ) + 弘1 ( z ) 卢3 ( o ) ( 1 一2 ( z ) ) 若随机变量矗0 = 1 ，2 ，3 ) 是完全相同的，则由( 5 4 ) ，有 p ( z ) = p ( u ：。r ( u 7 ) ) = p ( u 7 ：1 ( u ) 卢( z ) ，荨2 ( u 7 ) 卢2 ( 。) ) ，3 ( u 7 ) 肚3 ( z ) ) ) + p ( u ：- ( u ) p ，( z ) ，6 ( u 7 ) p 3 ( z ) ) ，z ( u 7 ) p 2 ( z ) ) ) + p ( u 7 ：2 ( u 7 ) 肛2 ( z ) ，3 ( t 0 7 ) p 3 ( z ) ) ，6 ( u 7 ) p ( z ) ) ) + p ( u 7 ：1 ( u 7 ) 墨p ( 。) ，已( u 7 ) 卢2 ( z ) ) ，6 ( u 7 ) 肛3 ( z ) ) ) = m a x o ，m i n l ( x ) ，弘2 ( 。) ) 一弘3 ( z ) + m a x o ，m i n u , ( 。) ，p 3 ( z ) ) 一p 2 ( z ) ) + m a x o ，m i n z 2 ( x ) ，p 3 ( z ) ) 一1 ( 茁) ( 5 1 8 ) 类似的，对于3 个隶属函数的情形，总共可以定义2 2 3 4 - 1 = 5 1 2 个不同的组合 四川大学硕士学位论文 律。 不难看出，当知道f 个随机变量矗( u ，) ) i f 的联合分布时，可以定义更多 的以及更为一般的组合律。 从( 5 4 ) 和( 5 8 ) 可知，矗( u ，) i i f 相同时，融合的随机隶属函数分别为这 些随机隶属函数的最小值与最小值，即在z 处的随机隶属度分别为： 肛( z ) = m i n p 1 ( z ) ，肛l ( z ) ) p ( 茹) = m a x # x ( z ) ，p f ( z ) ) f 5 2 0 ) ( 5 2 1 ) 这种隶属函数的组合方法就是第三节中随机时z a d e h 的取小取大算子，而且由 ( 4 8 ) 、( 4 1 0 ) 及( 5 9 ) 一( 5 1 5 ) 可以看到这里补集对组合产生的影响，类似于随 机z a d e h 否定函数，不难看出这里的组合方法更为一般。从另一方面来看，上 面的组合方法也说明第三节定义的z a d e h 的取小取大算子是合理的。但是这里 的组合方法于与的三节定义的随机t 算子并没有一方包容另一方的关系，他们 之间的关系还须进一步讨论，这是本文未解决问题之一。 一1 6 四川大学硕士学位论文 第六章一口截集 在实际应用中，对于模糊现象常常要作出不模糊的判决。因此，需要有一 种桥梁能把模糊子集和普通子集沟通起来，即实现模糊子集和普通子集的转 化。对于普通集合来说，只有当t o i ( z o ) = 1 2 - 说o o 是属于a 的。对于模糊集来 说，这样的水准太高了，需要将l 改为ae 0 ，1 。当且仅当肛j ( 勒) a 时，才 说o 。是a 中的元素。这样，对每个a ，都能从x 中确定一个普通子集，它是模 糊集a 在a 这个信任程度上的显象。由此引进如下的a 截集的概念： 定义9 ：设a f ( x ) ，对v ae 0 】，称 ( a ) 垒a 垒 茁：p j ( z ) a ，z x ) ( 6 1 ) 为a _ 的a 截集( 或a 水平集) 。a 称为水平或阂值。称 ( a ) 垒a + 。垒a a 垒 。：肛j ) a ，z x ( 6 2 ) 为a a 的a 强截集。 由定义可知丑是一个非模糊的普通集合。类似于普通意义下非随机模糊集 合的a 截集，随机隶属函数有下面的q 一卢截集： 定义1 0 ：设对每个x x ，其随机隶属度为纵( z ) ，分布为f ( 引z ) ，对v a ，卢 ( 0 ，1 ，a p 截集定义为概率口以上，隶属度p 以上的x 中的集合： a 。一p = z ：片d f ( l x ) 2 口) ( 6 3 ) 相对于普通意义的截集，此定义中增加了概率水平的约束，这里的a p 截集可以看成是在给定的精确度下( 概率。以卜) ，模糊集的截集。从随机 隶属函数的随机方面可以看出这样的定义是合理的。 一l7 一 四川大学硕士学位论文 q p 截集是限定概率与隶属度两方面水平，实际问题中为作判决的需 要，常只是限定一方面，而优化另一方面。 1 、概荤在。以上，x 中隶属度最大的点及相应隶属度： 麓8 唱m m a x 冀渊篇菡 。， p + = 。x p ij ；d f ( i z ) a ) 、 2 、隶属度在p 以上，x 中概率最大的点及相应概率： 麓8 三篓溉耥” s ， o+= m a x 。x 石d f ( i z ) 不难发现上面的两种情况都可以看作是口一p 截集的特殊情形，特别是当满足 条件的元素不唯一时，这一点更加明显。相对于限制两水平的一般的q 一口截 集，这两者都可以看作是未知水平通过己知水平确定的情形，即前者是后者的 函数，可分别写成。一卢( a ) 截集和o ( p ) 一p 截集。 例3 ：以年龄为论域，取x ：= f 0 ，1 0 0 ，”年轻”的随机隶属函数为u ( x ) ，分布函 数为f ( q z ) ，其期望为，( z ) = e ( p ( z ) ) ： 。 l 八列2 雨x 蒂- 2 5 2 1 + l _ - - j ( 6 6 ) 这个随机隶属函数是均匀分布( 见图6 ，1 ) ：对每个。x ，芦扛) 是k ，如 上的均 匀分布 f o ，2 ，( 圳 f 8 。，蚓： 2 ，( 。) 一1 ， ii f ( z ) 一o 1 i f f ( x 1 0 9 ( 6 7 ) f ( x ) + o 1 】e l s e 则下面就可以求其口一口截集，其0 9 0 8 截集为 z ：z 2 1 3 ，2 8 7 】) ， 四川大学硕士学位论文 即在概率0 9 以上，模糊集的隶属度为0 8 的截集。概率0 9 以上，隶属度 最大的点为z = 2 5 ，最大隶属度为1 ；隶属度o 8 以上，概率最大的点为 z ：x 【2 17 ，2 8 3 】) ，最大概率为1 。 i o 8 翥0 6 度 o 4 o 2 、6 ( z ) 【口( z ) ，6 ( z ) 】上均匀 分布 一 0 2 5 z 5 07 51 0 0 年龄( 岁) 图6 1“年轻”的随机化隶属函数p ( z ) 在。一卢陋) 截集中，存在这样的情形，虽然是同一随机隶属函数，但是在 不同的概率水平得到的最大隶属度不同。 例4 ：设有随机隶属函数p ( 茁) ，x 【0 ，1 0 0 ，当z 【0 ，5 0 ) 时，肛( z ) 服从 o 7 ，o 9 上均匀分布，当茁f 5 0 ，1 0 0 】时，服从限制在 0 ，1 】上的正态分布， 期望为o 8 ，标准差o 1 3 。概率o 8 以上的隶属度最大的点为z 5 0 ，1 0 0 ，最大 隶属度为o 7 6 ；而概率o 8 以上的隶属度最大的点为z 【0 ，5 0 ) ，最大隶属度为 o 8 2 ( 见图6 2 ) 由这个简单例子巾也可看出保留随机性是更加合理的。 在非随机意义下a 截集将模糊子集转化成了普通集合，我们通过。一p ( o ) 截集将随机模糊集合也转化成了普通集合。本节开头提到“需要有一种桥梁能 把模糊子集与普通子集沟通起来”，沟通都是双向的，非随机意义下a 截集可 一1 9 四川大学硕士学位论文 隶 属 度 z 图6 2对给定的随机隶属函数，两种概率水平的最大隶属度 以转化为模糊子集，这是模糊数学里三大定理之一分解定理的主要内容，在随 机意义下，我们同样可以得到一个类似的定理。首先来看在非随机情形下，它 是如何做到的。 定义l l ：设a f ( x ) ，称a 凡为数a 与a 的数积，它是模糊集合，隶属函数 为 芦一。( 。) = a x 一。( 。) = m i n a ，x 一。( 。) ) = 0 1i i f f x 。隹ex x ( 6 。8 ) 又对ae 【0 ，1 】，作模糊集仍记为a m ( z ) = , w x x 则称此模糊集为a 所对应的模糊集。 下面叙述分解定理 一2 0 一 ( 6 9 ) 四j i f 大学硕士学位论文 定理l ( 分解定理的集合形式) ：设a f ( x ) ，则a 可以分解为一系列数积 模糊集a a 的并： a = u a + o ，1 i a a a 定理1 7 ( 分解定理的隶属函数形式) ：设a f ( x ) ，则 ( 6lo ) p j ( z )= v a i o 1 l 盼a ) ( ( 。) 卜勺x ( 6 1 1 ) 分解定理揭示了模糊集与其a 截集之间的本质联系，在模糊集与普通集之 间架起了一座桥梁，使得人们可以把模糊集的问题转化为普通集的问题来解 决。 下面我们来看在随机情形下如何从截集得到随机隶属函数。 定义1 2 ：己知某随机隶属函数所有的口一口截集，称满足下式的集合为： g ( 。) = ( o ，卢) ：z a 。一口 ( 6 1 2 ) z 的d 一口截集点集。 z 的q 一口截集点集是所有包含z 的q 一口截集的下标集合，知道z 的 。一口截集点集意味着得到了所有包含。的。一p 截集。下面的定理给出如何从 z 的口一口截集点集得到随机隶属度( 或随机隶属函数) 。 定理3 ：( 分解定理)己知某随机隶属函数所有的一声截集，则对比 x 有： f ( z i = ) = 1 一q + ( p ，x ) 一2 1 一 ( 6 1 3 ) 四川大学硕士学位论文 其中： o l + ( p ，z ) = s u p a ：( d ，口) g ( z ) )( 6 1 4 ) 证明：若( o ，卢) g ( z ) ，由g ( 。) 的定义及o t p 截集定义，有 z 1 删啦q 由于p ( osp j ( 。) 1 ) = 1 ，则有 即 1 一 4 d f ( l 。) 。 j o f ( z l z ) 1 一。 对上式两边对。取上确界，由( 6 。1 4 ) 式的定义，有 即 f ( p l z ) 1 一q + ( p ，z ) 口+ ( 口，z ) s1 一f ( z i z ) ( 6 1 5 ) ( 6 1 6 ) 下面我们用反证法证明上式中的小于号是不成立的。假设+ ( p ，z ) 1 一 f ( 1 3 x ) ，则存在o o 使得： 州鼬) 铴s1 一f ( z l z ) f 1 冽和) - 2 2 四川大学硕士学位论文 成立，且由上式可以看出( o l o ，p ) g ( 。) ，这与o + ( 卢，z ) = s u p a ：( q ，卢) g ( 。) ) 相矛盾。从而( p ，z ) o6 。r 【o ，1 ，卢! 。4 。r 坠号口) 从上式可以得到 q ( 成3 5 ) = 2 3 一 4 p o 眺叭妇 p 一 过。 ，l，、l 四川大学硕士学位论文 则由定理1 ，z = 3 5 的随机隶属度肛( 3 5 ) 的分布为 f ( f l 3 5 ) = 1 - a ( f l , 3 5 ) = 0 i 印o 4 1 f l - 丁0 4 i f o 4 卢 06 1e l s e 显然肛( 3 5 ) 是在 o 4 ，o 6 上均匀分布的随机变量，这和已知是一样的。 图6 3z = 3 5 的a 一卢截集点集c ( 3 5 ) ，这些点的上边界即为0 4 ( 卢，3 5 ) 分解定理的意义在于，随机情形下模糊集的问题可以转化成普通集合处 理，而从这些普通集合的结果又可以回到原问题，所以说口一口截集是一座桥 梁。同时可以看到非随机的截集是口截集的特例。 2 4 四j i i 大学硕士学位论文 第七章总结 本文定义随机隶属函数的概念，同时定义了相应的组合律、q 一口截集及 分鳃定理等，一般的模糊数学的性质以及定理在引入随机后基本保持不变，而 且非随机的这些结论都可以着作是随机时的特例，相对于非随机的情形随机隶 属函数携带了更多的信息。第四节与第五节所给出的更为一般的组合律是对别 人所作的非随机情形下结论的推广，这里基于随机隶属函数导出的随机集及随 机集导出的随机隶属函数，从随机的观点出发得到随机隶属函数一些特殊的组 合律。这些组合律能够运用更多的信息，如当多模糊信息的证据是相互独立 时，就可以将概率论中独立的概念应用到组合律上。从直观上看第五节得到组 合方法与第三节定义的随机t 算子并没有一方包容另一方的关系，但他们之间 的关系还须进一步详细讨论，这是本文须进一步讨论的问题。作为随机时模糊 集与普通集合