（概率论与数理统计专业论文）关于异方差样本的统计推断.pdf

i 异方差正态总体的统计推断 摘要 在统计推断理论巾，对于样本x 。，弼，通常假设是独立同分布的 但是在许多实际情况中，样本独立，但不同分布例如 3 6 ：家猪育种试 验中，初生体重是亲本繁殖性能的重要指标由于家猪的繁殖是多胎性 的同一亲本后代数日很多，人们往往是以一窝仔猪的平均初生体重组 成的小样本作统计推断如果同一亲本的生产有1 2 窝仔猪，个体的初生 体重服从( 弘，盯2 ) 分布，且个体间是相互独立的，那么，第i 窝有心头仔 猪的平均初生体重x t 一( t ，譬) ，i = 1 ，2 礼因此，x 。，x 。蜀是异方差样 本在实际问题中，异方差样本普遍存在，从而，异方差样本的统计推断 具有重要的实际意义本文主要研究来自正态分布族的异方差样本的统 计推断问题 设异方差样本x 。，为异方差样本，k 一( p ，盯；) ，i = 1 ，2 礼关 于异方差样本的统计推断已有不少成果，本文主要讨论以下问题 ( 1 ) 对于来自一维正态分布族的异方差样本，构造加权均值估计量， 证明了该估计量具有一致性和充分性 ( 2 ) 对于来自多维正态分布族的异方差样本，分别构造厂在r ( a ) 一准 则【6 r ：一准则【o 】和迹一准则 e 下最优线性无偏估计量( 加权均值) ，并证明 它们为一致估计量 ( 3 ) 对于两组多维异方差样本：x ，x 2 瓦。，m ，k 碥。；五，巧相互独 立， x t ”( ，鲁) ，k ( 如，考) ；咄 o ，0 o ，i = 1 ，2 n l ，j = 1 ，2 n 2 ， 翟。蛾= 1 ，警，u ；= 1 构造加权形式的t 一统计量当p 。= 卢，时， 7 1 一f ( m ，1 7 , 1 + n 2 一m 一1 ) 关键词：异方差样本，一致性，充分性，加权均值，加权t 一统计量 _ ， 一 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 ab s t r a c t i nt h es t a t i s t i c a li n f e r e n c e s ，t h es a n l p l ex l ，x 2 x na r eu s u a l l ys u p p o s e dt o b ei i d b u ti ns o m ea c t u a ls i t u a t i o n s 、i d e n t i c a ld i s t r i b u t i o n sc a l l tb ec o n t e n t e d f o r e x a m p l e 3 8 ：i nt h ep i gb r e e d i n ge x p e r i m e n t t h ep i g l e t s w e i g h ti s a l li m p o r t a n ti n d e xo ft h ep a r e n t sr e p r o d u c t i n gn a t r a u l b e c a u s eo ft h ep o l y e m b r y o wo ft h ep i g s r e p r o d u c t i o n ，p e o p l eo f t e nm a k et h es t a t i s t c a li n f e r e n c e sb yt a k i n g as m a l ls a m t ) l ec o m p o s e do fan e s tp i g l e t s a v e r a g ew e i g h t i ft h e r e a r enn e s tp i g l e t si nt h e s a m ep a r e n t s ，a n di n d i v i d u a lw e i g h to b e y sn o t ，0 - 2 ) ，a n de a c hi n d i v i d u a la r em u t u a l l yi n d e p e n d e n t ，t h e n ，t h e 1 ip i g l e t s f r o mt i l e i t hn e s ta v e r a ，g ew e i g h to b e y s ( p ，毫) ，i = 1 ，2 n t i l e r e f o r e ，x 1 ，x 2 x 。a r e h e t e r o s c e d a s t i c i nf a c t ，t t l es a n l - p l ew i t hh e t e r o s c e d 3 8 t i c i t ye x i s tg e n e r a l l yi ns o m ea c t u a ls i t u a t i o n s t h e r e f o r e ，t i l e s t a t i s t c a lr e f e r e n c e so fs a m p l ew i t hh e t e r o s c e d a s t i c i t ya r ev e r yi m p o r t a n ti nt h e a c t u a l i t y t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h es t a t i s t i c a lr e n f e r n c e so fs a m p l ew i t hb e t e r o s c e d a s t i c i t y l e tx l ，恐a r et h es a m p l ew i t hh e t e r o s c e d a s t i c i t y ，a n dm u t u a l l yi n d e p e n d e n t ，k 一( ，z ，盯? ) ，i = 1 ，2 n t h e r ea l r e a d yh a dm a n ya c h i e v e m e n t sa b o u tt h e s t a t i s t i c a li n f e r e n c e so fs a m p l ew i t hh e t e r o s c c d a s t i c i t y , i nt h i sp a p e r ，1w i l ls t u d i e s t h i sq u e s t i o n s3 8f o l l o w s ( 1 ) f o rt h es a m p l ew i t hh e r t e r o s c e d a s t i c i t yc o m ef r o mt h eo n e - d i m e n t i o n a l n o r m a ld i s t r i b u t e dg r o u p ，w ew i l lg i v et h ew e i g h t e de s t m a t o rf o rt h em e a n s ，a n d p r o v et h a tt h ee s t i m a t o ri su n i f o r ma n ds u f f i c i e n t ( 2 ) f o rt h es a m p l ew i t hh e r t e r o s c e d a s t i c i t yc o m ef r o mt h em u l t i d i m e n t i o n a l n o r m a ld i s t r i b u t e dg r o u p ，w ew i l lg i v et i l eb e s tl i n e a ru n b i a s e de s t i m a t o r si nt h e r ( a ) 一c r i t e r i o n 6 a n dr 2 一c r i t e r i o n 6 1t h a ta r ew e i g h t e dm e a n se s t i m a t o r ，a n dt h e e s t i m a t o ra r eu n i f o r m i i 异方差止态总体的统计推断 ( 3 ) f o rt w os a m p l e sw i t hh e r t e r o s c e d a s t i c i t yc o m ef r o mt h em u l t i d i m c n t i o n a l n o r m a ld i s t r i b u t e dg r o u p ：x 1 ，局x m ，硷k 2 ，m u t u a l l yi n d e p e n d e n t ，x ( ，岳) ，巧( 肛v ，考) ；u o ，以 o ，i _ 1 ，2 n ，j = l ，2 礼2 ，竺1 u 1 f j 1u ：一1 kw i l lg i v e t t l et - s t 1 t i s t i 衙w p 神t1 1 1 d 3 i i s i f ：7 ， t h e n ：v 1 f ( 川，7 2 1 + n 2m 一1 ) k e yw o r d s ：f h es a m p l ew i t hh e t e r o s c e d a s t i c i t y ，u n i f o r m i t y , s u f f i c i e n c y , w e i g h t e dm e a i l s ，w e i t g h t e dt s t a t i s t i c s i i i 一 一 异方差j 1 ：态总体的统计推断 第一章绪论 1 1 异方差样本 在经典统计推断理论中，一般都假设样本x 。，恐k 独立同分布。在 很多实际问中，样本的独立不难得到满足，但同分布却难以满足，因而， 不能用经典统计推断方法来解决这些问题例如 3 6 ：家猪育种试验中， 初生体重是亲本繁殖性能的重要指标由于家猪的繁殖是多胎性的。同 一亲本后代数目很多，人们往往是以一窝仔猪的平均初生体重组成的小 样本作统计推断如果同一亲本的生产有n 窝仔猪，个体的初生体重服 从n ( i l ，盯z ) 分布，且个体间是相互独立的，那么，第i 窝有吼头仔猪的平 均初生体重x ；一( p ，譬) ，i = 1 ，2 几因此，x ，恐是异方差的设样 本x 。，尥相互独立，d ( x i ) = 砰，i = l ，2 n 若盯；各不相同，则称此 样本为异方差样本在实际问题中，异方差样本普遍存在囚此，关于异 方差样本的统计推断问题具有重要的实际意义 在参数统计推断理论中，一般还假设样本所来自的总体属于某个特定 的分布族这样假设的原因有两个：一是实际情况中的总体很多都服从某 些常用分布二是总体分布的范围太广泛，数学上处理起来困难教大常用 分布族中最为常用的是正态分布族因此，对于异方差样本x ， 很多实际情况中假定： x 一( 卢，盯? ) ，i = 1 ，2 仡本文主要研究来自正态 分布族的异方差样本的统计推断问题 1 2异方差样本研究现状 关于异方差样本的统计推断问题，国内外许多学者做过不少研究， 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 并获得了不少优秀成果如：陈敏等 7 基于拟合优度类检验统计量和 c r a m e r v o n 5 ，l i s e s 类统计量给出r 一种新统计量以检验时间序列的条件异 方差性，并证明了新统计量的相合性文献 8 对具有条件异方差时间序 列模璎： z t 一咖( z ，一1 ，z ，一2 x t - p ) 十e t7 7 ( z t 一1 ，z t2 x t p ) 给出了高阶矩存在的条件潘家柱等i l s i 研究得出新息非线性自回归函 数型条件异方差( n a r f c h ) 序列的平稳分析的尾部紧密依赖于其条件方 差，当新息序列呈厚尾分布时，m a r f c h 序列的平稳分布的尾部会比新 息序列的尾部更厚或更薄，给出丫具体的尾概率增加或减少对条件方差 的依赖公式文献 9 提出用k o l m o g o r o v - s m i r n o v 检验门限自回归模型中 是否存在条件异方差，给出了检验的大样本性质，并通过数值模拟研究 了检验方法的有限样本性质文献 2 2 研究带有异方差的固定设计部分 线性回归模型： 拶西= x i j f l + g ( t i j ) + e i j 七 i = 1 ，2 k ；j = 1 ，2 他；礼f = 住，e ( e 巧) = 0 ，d ( e 巧) 一仃； i 构造了参数分量p 的一个半参数广义最小二乘估计，并给出此估计的渐 近分布文献 3 3 】用s c o r e 检验方法分别给出在具有a r ( 1 ) 误差的线性 随机效应模型中随机误差异方差，随机效应异方差，多元异方差的检验 统计量l i s ar g o l d b l e g i 2 j ( 2 0 0 2 ) 对来自正态分布族的异方差样本进行了 研究设异方差样本： k 一( 如，詈) ，巧一n ( z ，) ， o ，蟛 0 ，i = 1 ，2 7 2 1 ，j = 1 ，2 豫罂。= l ，翟。以= 1 他在文献 2 提出用加权均 值： 艾= 江n l ，c o z i x t 来估计其总体均值定义加权t 一统计量： xy y l：全三 、毪筹笋而v 再丽二r 一、儿z 卞u 9 其中： 元= 咄x i ，矿= 以匕 ( 1 1 ) i = i j = l 9 异方差止态总体的统计推断 7 1 1，? 2 s = u 。( x i 一灾) 2 ，s 。= 0 ( x z 一贾) 2 ( 1 2 ) i = i j = 1 ( 】1 ) ，( 1 2 ) 分别表示样本x i ，的加权样本均值和加权样本方差用加权 t 一统计量检验：凰，：z 1 = ，z 2 是否成立当凰成立时，7 1 f ( m + 阳。一2 ) 1 3 加权均值估计量 设x 。，x 。五，为随机样本，叉= 墨，咄x ：称为加权形式的均值估计量， 其中：0 i = 1 ，2 m h n = 1 在统计理论中，加权形式的均值估 计量很重要，应用也相当广泛有关加权估计，很多学者在这方面进行 过研究如：郑忠圈 3 1 ：( 1 9 8 7 ) 提出了随机加权法设( m ，u 。) 为随机向 量，服从d i r i c h l e t 分布d ( 1 ，l 1 ) ，用加权平均? v i x t 作为均值的估计它 是与b o o t s t r a p 方法i n 平行的，但具有易于计算，在小样本情况下效果更 好的特点石坚 3 2 等( 1 9 9 5 ) 提出对称随机加权法温显斌 2 1 等研究了 样本均值随机加权估计的渐近性质，他们得出： f ：( z ) _ ( z ) ，w p l ( n _ 。o ，z 月1 )( 1 3 ) j ：( z ) + 妒( z ) ，s ( n _ o o ，ze r 1 )( 1 4 ) ( 1 3 ) 成立的充要条件是样本来自正态吸收域；( 1 4 ) 的充要条件是e ( 研) o ，以 o ，i = l ，2 m ，j = l ，2 2 1u i 。l ，兰1q 文构造加权形式的t 一统计量： 1 本 i 、= ( n i + n 2 2 ) ( 贾一p ) e 一1 ( 灾一p ) 其 中： e = & + 瓯，叉 一t t 厶( 1 1 ，k ) ，w 0 ( ，7 2 一l ，k ) 证明：当，。= 。 时，了1f ( m 川1 + n 2 一m 一1 ) 用加权t 一统汁量检验凰：，。= 1 。是否成 立没x l ，x 2 ，工。为多维异方差样本，k n ( p i ，兰) m 0 ，i = l ，2 n ， 竺，= 1 本文构造加权形式的t 一统计量： f = = n ( 2 一f t ，) 7 1 ( 灾一f q ) ，并 证明：当h o ：u 1，z 2 = = 如成立时，掣丁f ( m ，n 一”z + 1 ) 用加权 t 一统计量检验凰：p 。= p z = = - 。是否成立 5 湖l 轲师范大学2 0 0 6 届硕：j 学位沦文 第二章关于一维异方差样本的均值估计及其性质 设x 1 ，y 2 k 是独立样本，当x i a 7 ( ，盯2 ) ，i = 1 ，2 几，时，其样本 均傩 y ，f 1 ：为i 的f 占汁鲢具，仃许多优良的性质当a 。v ( z ，盯；) ，z 1 ，2 ”，即x h x z x 。为异方差样术l j 寸，如果继续用其弹本均值笛x ， 作为，的估计量，那么在独立同分布时样本均值所具有的一些性质就不 再成立如最小方差性等因此，对于这种异方差样本，用什么作为弘的 估计造的问题具有重要意义，本章讨论一维情形下# z 的估计量及其性质 2 1方差已知情形 设x 。，x 2 是为异方差样本，五一( 弘，盯；) ，i = 1 ，2 n ，当方差吼已 知时，文献 2 提出了加权线性估计量： 灾= 擎脚t2 砸b ， ， 并给出了这个估计量的一重要性质：最优线性无偏性下面我们来讨论 这个估计量的其他性质 1 一致性。 一致性被认为是对一个估计量基本的要求如果一个估计量无论做 多少次试验或无论有多少个观测值都不能把要估计的参数估计到指定的 精度，那么这个估计量很值得怀疑一般地，不满足一致性要求的估计 量在统计推断中是不予考虑的 对于异方差样本： x ? ( 汀；) ：卜1 ，2 在实际问题中，方差盯； 是有界的，即j m o ，使得：盯? m ，i = 1 ，2 n 同时，口；也不会无限趋 近于零，更不会为零否则，x j 就是服从退化分布或者可以近似服从退 化分布的。研究这种服从退化分布的异方差样本就失去了意义因此对 r 掉方差j l ：态总体的统计推断 于异方差样本，我们可以假设j 蝎，m ，使得：0 a 几 盯? 、，i 一1 ，2 n 在这个假设条件下，加权估计髓具有一致性 定理l ：如果e a i ma j f ，使得：0 、矗 e ) = p ( i x e x l e ) x 。，相互独立，所以有： 则有： d ( x ) = 二= 盯；( - 专) 喜【南降； 盯2 = m i n 盯1 ，盯2 盯n ) ，盯j d ( x ) = 由契贝晓夫不等式得： f “上 厶j - 1 吐 喜撙2 = 仃；( 专) m z 盯1 ，0 2 2 加n ) f ? ，与 o 。j 2 l4 j 酣 n o 2 p ( 1 2 一p i e ) = p ( i x e x - i e ) d x ，2 仃3 l z 0 2 e 2 2 d x i ( 2 2 ) 又j ，m ，使得：0 m 0 盯? s ) e ) = 0 n o o 由一致性定义知，灾是t i 的( 弱) 一一致估计量证毕 2 充分性 ( 2 4 ) 在参数估计中，充分统计建是个很重要的概念，我们对参数做估计和 检验时，如果可能，通常以充分统计量为基础就可以了，比使用全部样 品进行讨论要简单得多在实际应用中，我们一般用n e y m a n - f i s h e r 因子 辨别法判断统计量是否为充分统计量 定理2 ：叉是弘的充分估计量 证明： 咒一( 肛，；) ，i = 1 ，2 n 所以：样本的联合密度为： 娶觚幽伽丽1e x p 一善掣 ( 2 5 ) 因为： 喜掣= 一肛) 2 + f x 一 喜掣 x ) ( x 一弘) ( 2 g ) 所以： 垂觚m 毒) = 丽1i 唰一喜垡茅) 2 蘸南e 计喜学斛喜掣， 帆扣e 计宴型 ( 2 7 ) 盟霄删 贾一 x 塑 弘 丛 盟扣盟 。渊。烈。嘲 异方差止态总体的统计推断 撕归酬一喜掣) ( 2 8 ) 7 z ( x ，恐) 与无关，9 ( 灾，i ) 只通过贾与样本有关 由f i s f e r n c y m a n 定理知：又是，z 的充分估计量 证毕 2 2方差未知情形 前面讨论的是方差已知的情形当x 。，噩为一异方差样本，五 ( p ，盯；) ，i l ，2 n ，其中方差未知时，对于前面讨论的估计量又= u i 五，其系数咄含有未知量既( u z 2 币毒习) ，因此不能再作为p 均 值的估计量，在方差未知情况下用什么作为异方差正态总体均值的估计 量? 下面就这个问题进行研究 设x 1 ，x 2 为一异方差样本，k 一( 肛，0 - 2 ) ，i = l ，2 n ，方差吼未 知。如果将咄中的未知量吼用一个关于的估计量替代以后， 灾= 坠。五又可以作为i t 的估计量我们知道对于正态总体而言，用样本 修正方差争作为其方差的估计量时具有很好的性质，+ 因此下面用于( 替 代灾一垒。五中的盯；) 来构造估计量对于异方差样本x ，局，要 估计每一个的方差盯；，需要采用重复抽样的方法下面我们用重复样本来 构造均值肛的估计量 设五j 为来自正态分布族的异方差样本，其中：五j 一( 口，开) ，j = 1 ，2 m 。，i = l ，2 m 令： 蔑= 瓦1 善m n ，豆i 2 = 瓦马霎( 一茏) 2 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 豆2 ( 孙) u j ，i = 1 ，2 ”，x 定理3 ：又是弘的无偏估计量 n 西茏 证明：因为x i 与岛2 相互独立，所以五与西相互独立 所以有 e x 瓯k ) 所以贾是p 的无偏估计量 定理4 ：如果 礼_ o 。时，m n _ 证明： d ( x ) = 扎 = e ( 西元) j ，m ，使得：0 那么：又是肛 f ( = 1 蕊五) 面( x + n m o 吼2 的( 弱) 一致 凶为戈。，是，不；墨2 ，夏2 ，磊2 相互独立 e ( 西) e ( 五) m ，i = l ，2 扎而且当 估计量 弘) ( x j 一弘) ) 所以瓯2 与茏相互独立，面历彳( 冠一p ) ( 蜀一肛) 也相互独立 从而： d ( x ) 扎 l n 。h。m 酞 蕊 汹 e p = n 瓯 日 嘲 一x 磊 。m e 。汹 ，l d x 磊 。越 g 助 一 一砀 一一xg 磊 e 嘶 。 + 脚 一xg 磊 e 曲 异方差止态总体的统计推断 又 所以 又因为 e ( 天i 一) ( 蜀一弘) = e ( 2 i p ) e ( 墨一，) = 0 ( i j ) 。c 戈，= 喜ec 西2 以冠一曲2 = 喜ec 西2 ，篙篙喜e c 西2 ， 0 e ) 警 m i t r t n e l i r a 刚灾叫j 九) o 显然， 直接将u t 的盯；换成m 肯定不行因此，怎么构造加权系数u j 是在多维 情形下讨论异方差样本的估计时存在的问题另外，在一维情形下，评 价估计量好坏时常用的一个标准是最小方差性如果把这个标准推广到 多维情形时，方差也就变成相应的协方差矩阵了，这时候衡量协方差矩 阵”最小”的标准就不象一维情况下那么简单本章在两种不同标准f 给出”最好”的线性无偏估计，并研究其估计量的性质 3 1协方差矩阵已知情形 设x - ，x 2 x 。为r n 维异方差样本， 五一m ( 肛，) ，i = 1 ，2 ，z ，其中 ( z ，k ) 是m 维正态分布总体，协方差矩阵已知下面给出不同标准 下最优线性无偏估计量，并研究其性质 1 r ( a ) 一最优加权线性无偏估计量 定义l ：6 l 孑是的线性无偏估计量，如果对于的任意一个线性无偏 估计量反都有： r ( ，。0 ，卢，a ) 一冗( 3 ? ，a ) 0( 3 1 ) 则称了为，的r ( a ) 一最优线性无偏估计量其中r ( 万，1 ) 。e ( 了一舟) a ( 5 一 口) ，a 为非负定常数矩阵 设a 为非负定常数矩阵，x - ，x 。x 。为异方差样本，x i 一- 、0 “；) 卜 1 异方差l e 态总体的统计推断 1 ，2 礼令： 刘k 塾龇= 丽蠡， 2 ， 则坠。= l ，贾( 1 ) 是一个样本函数，可以作为p 的估计量，下面讨论其 性质 定理1 ：灾( 1 ) 是z 的r ( a ) 一最优加权线性无偏估计量 证明： nn 删( 则) 一c 。u ( 五) ，= u 知u ( 五) = u ；k i = 1i = 1 = i 所以： r ( 文( ，p ，a )= e ( 贾( 一弘) 4 ( 足( 1 ) 一) = e t r ( f i ( 1 ) 一p ) ( 又( 一z ) a = 打e ( 贾( 1 ) 一卢) ( 又( 1 ) 一卢) 7 a = t r e ( x ( 1 ) 一z ) ( 灾( 1 ) 一f z ) 7 a = r c 。u ( 灾1 a = 打( u ；a ) e = 1 = u 玲( v i a ) = 1 又竺l 咄= 1 ，由l a g r a n g e m u l t i p l i e 条件极值方法容易得： 当2 可丽砭摹1 焉孑矛时， ：u ；打( k a ) 达到最小值 所以对于肛的任意加权线性估计量贾( 叭，都有： r ( 贾( 叭，肛，a ) 一r ( 灾( ，卢，a ) 0( 3 3 ) 由定义 1 知，( 3 2 ) 是p 的r ( a ) 一最优加权线性无偏估计量证毕 定理2 ：如果j ，m ，使得：0 垤 赤 派 xu 。汹 d 。 讯 x 咄 。：i! d l n 恢 业 打一打 异方差止态总体的统计推断 由契贝晓夫不等式得： p ( j u 。x ，k 一挑l e ) = p ( i 峨x ，k e ( x k ) j e ) 皇( 兰! 竺! 茎! 堕 一 s 2 s t r ( v o a 。) j 2 土e 2k 砖 ( 3 6 ) y lj j ”“，2 、7 义 a 晶，a i ，使得：0 ，0 e ) = 0 ( 3 i 0 ) n 4 j 综上，灾( 1 ) 是肛的( 弱) 一致估计量证毕 2 r 。一准则下最优线性无偏估计量 定义2 1 6 ：声是口的线性无偏估计量，如果对于p 的任意一个线性无偏 估计量磊都有： r 2 ( r i o ，卢，o ) 一r 。( 了，3 ，倪) 0 则称万为的r 。一最优线性无偏估计量其中r 。( 反，n ) = e 眵一p ) 7 口】z ，a 为常数向量 引理1 6 1 = 下面两个结论是等价的 ( 1 )万为卢的r ( a ) 一准则下最优线性无偏估计量 ( 2 )万为p 的r 。一准则下最优线性无偏估计量 15 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 定理3 ： 戈( 1 ) 为r 。准则下肛的最优线性无偏估计量 因为由定理1 知，贾( 1 ) 在r ( a ) 一准则下最优线性无偏估计量由引理 直接得f l ；结论证明略 3 迹一准则下最优线性无偏估计量 定义3 f o j ：历，反是一的估计，如果： e ( 贫一p ) 7 ( 反一8 ) 一e ( 反一p ) 7 ( 反一，。) 0 ( 3 i i ) 则称反在t r 一准则下优于历令厩是的一个加权线性无偏估计量，如 果对于，臼的任何一个加权线性无偏估计量万都满足： e ( 万一) 7 ( 万一) 一e ( 磊一) 7 厩一) 0 则称磊是迹一准则下p 的最优加权线性无偏估计量 x 1 ，恐为异方差样本，五一m ( 肛，k ) ，i = l ，2 n ，令： 舻l 挚矾i = 丽蕊i )( 3 1 3 ) 则：，咄= 1 ，灾是一个样本函数，可以作为卢的估计量，下面讨论其性 质 定理4 ：叉( 3 ) 是在迹一准则f 肛的最优加权线性无偏估计蹙 证明：因为x ，为瓦相互独立 所以 nn 五，峨 0 ，一i ( 3 i n ) i = li = l c o y ( 元2 ) = u ；k z = l 1 6 异方差止态总体的统计推断 e ( 灾( 2 ) 一。) 7 ( 又( 2 ) 一，) = e t r ( ( x ( 2 ) 一p ，) 7 ( 贾2 ) 一l ，) e f r ( 叉( 2 ) 一，) ( 灾( 2 ) 一 t r e ( x ( 2 ) 一弘。) ( 叉( 引一弘。) 7 t r c 州又2 ) = u 玲v i = l 由l a g r a g e i l l u l t i t m e r s 条件极值方法易得，当u z2 两丽专南时， e ( 又( 2 ) 一p x ) 7 ( 又( 2 ) 一，b ) = u ；打w i = 1 在限制条件羔。= l 下达到最小 ( 3 1 5 ) 由定义知：( 3 1 3 ) 是在迹一准则下p 的最优加权线性无偏估计量证 定理5 ：如果b m o ，m ，使得：0 e ) ( 3 i s ) i = l = 1 xu n 列 氍 u 。h = x 咄 n 烈 仃2l 1 1 后 p 叫 p _ 派 xu 。试 七 肛 一 七 x 。斟 poev 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 x 。，恐k 。相互独立，从而其分量：x 。* ，施x 。k 也相互独立，其中 七= 1 ，2 _ 付z 所以： 所以 = w ；d ( x t n ) = j 1( 、：) ( ? 、 l r ( 屿) ) 2 w 。 k k = m a x v i 剐k k k k k k ) ，t r v o = m a x t r v i ，t r t 7 k ) 由契贝晓夫不等式得： t r v = m i n t r 圪jt r 场t r ， x i k ) 打( y ) ( - 志) = 积陬未 。打f y l l ”“n p ( 1 蚍五k 叫川 ) = p “ = 1 = 1 d ( ：1 x i ) 2 积2-fiktr(v 。去 。 1 。8 仡 ) 2 k k ( 3 1 9 ) 又j ，m ，使得：0 蜗 泌 xu 。h 刀一 鼍 u 异方差止态总体的统计推断 由一致性定义知：叉( 2 ) 是p 的( 弱) 一致估计量 证毕 上面提出两种判断多维统计量优良性的标准，不同的标准有其不同 的统计意义第一种是以其半方损失函数作为判断标准的，平均意义下 损失越小的估计量被认为更好；第二种是以均方散布误差矩阵的迹为评 判标准的，迹越小估计量被认为越好在两种不同的准则下我们找到r 两个估计量叉( ，文( 引，他们分别在不同的准则下是最优的从两个”最优 ”估计量的表达式中可以看出，在第一个标准下最优线性估计量 尉”2 善c d i x i ( 旷丽砸1 磊丽 是较为广泛的在叉( 1 ) 中如果令以= 厶( k 是i l l 行1 1 1 列单位矩阵) ，则又( z ) 就是第二种评判