（概率论与数理统计专业论文）信用违约联结债券的定价.pdf

摘要 2 0 世纪9 0 年代以来，信用风险已经成为银行业所面临的各种风险中最主要 的风险，是银行机构及其监管部门最关心的问题。信用衍生工具是过去几年来最 重要的金融创新工具之一，已成为银行业信用风险管理的重要手段。 现代风险理论主要是借助随机过程等数学工具发展起来的，它为各金融风险 部门的经营管理提供了理论依据和实际操作指导本论文借助于经典鞅论和随机 点过程理论，以违约时间点的到达过程以及违约时的清偿率为研究的重点，研究 了信用衍生产品信用违约联结债券( c d l n ) 的定价，旨在弥补信贷市场的缺 陷：将信贷合约标准化以促进信用风险的转移。 本文在强度模型的基础上建立了信用违约联结债券的模型并加以改进和定 价。具体处理如下： 1 首先在密度( 强度) 模型的基础上对信用违约联结债券( c d l n ) 进行评价， 研究了在任意时n t 的联结债券的价格，并给出了当违约时间点过程是强度为忽 的p o i s s o n 过程时债券的即时价格。 2 在公司价值模型的基础上假定违约时间点由公司的资产k 和确定的负债 d 决定的情况下，若清偿率为外生变量时，给出了信用违约联结零息票债券的即 时价格。 3 以类似于m e l t o n ( 1 9 7 4 ) 所用的信用风险模型为基础，假定清偿率和违 约时间点均取决于公司资产与负债的相对值，利用鞅论分别推导出了具有确定的 负债和随机负债的信用违约联结债券的价格。 关键词信用违约联结债券，违约时间，清偿率，鞅 a b s t r a c t s i n c e19 9 0 s ，c r e d i tr i s kh a sb e e nt h em o s ti m p o r t a n tr i s ka m o n ga l l r i s k st h e b a n k i n gf a c e s ，w h i c h t h eb a n kc o n s t i t u t i o n sa n dt h e i r s u p e r v i s i o nd e p a r t m e n t sa le m o s tc o n c e m e dw i t h t h ec r e d i td e r i v a t i v e s h a v eb e e no n eo ft h ef i n a n c i a lt o o l sf o rr e n o v a t i o nr e c e n t l y , w h i c hh a s b e e nav e r yi m p o r t a n tm e a n sf o rt h em a n a g e m e n to fc r e d i tr i s ki nt h e b a n k i n g t h em o d e mr i s kt h e o r ym a i n l yd e v e l o p sw i t ht h em a t h e m a t i c a lt o o l s ， s u c ha st h es t o c h a s t i cp r o c e s s ，w h i c hp r o v i d e st h e o r e t i cb a s e sa n d p r a c t i c a lg u i d a n c e f o r o p e r a t i o n t h ep a p e r d e a l sw i t hc r e d i t d e r i v a t i v e s p r i c i n go nc d l n ，t h ef o c u sp l a c e d o nt h ea r r i v a lo f c o n t r a c t - b r e a k i n gm o m e n ta n di t sl i q u i d a t i o nr a t e s ，w i t hh e l p o ft h e c l a s s i c a lm a r t i n g a l ea n dt h et h e o r yo fs t o c h a s t i cp o i n tp r o c e s s ，a i m i n ga t m a k i n gu pf o r t h ed e f i c i e n c yi nt h ec r e d i tm a r k e t ：s t a n d a r d i z et h ec r e d i t c o n t r a c tt ot r a n s f e rt h ec r e d i td a n g e r t h i sp a p e rd i s c u s s e sh o wt oe s t a b l i s ht h em o d e lo fc d l na n dh o wt o i m p r o v ea n dp r i c ei tb a s e do nt h em o d e lo fd e n s i t yw i t ht h e d e t a i l ss h o w n i nt h ef o l l o w i n g ： 1 f i r s tt h ep a p e re v a l u a t e st h ec d l nb a s e do nt h em o d e lo fd e n s i t y a n dm a k e sap r o b ei n t ot h ep r i c e so fc d l na ta n yt i m e ，a n dr a i s e st h e i n s t a n tp r i c e sw h e ni ti si nt h ep r o c e s so fc o n t r a c t b r e a k i n gm o m e n tw i t h t h ed e n s i t yb e i n g ( h , ) p o i s s o n 2 t h i sp a p e rg i v e st h ei n s t a n tc d l n p r i c e so f t h ez e r o - i n t e r e s ts t o c k s ， a s s u m i n gt h a tt h ec o n t r a c t b r e a k i n gm o m e n td e p e n d so nt h ec o m p a n y s a s s e t s ( k ) a n dt h ed e f i n i t el i a b i l i t i e s ( d ) a n di ft h el i q u i d a t i o nr a t ei s e x t e r n a lv a r i a b l e s 3 t h i sp a p e rd e d u c e st h ep r i c e so fc d l nw i t hd e f i n i t el i a b i l i t i e sa n d s t o c h a s t i cl i a b i l i t i e sw i t ht h eh e l po fm a r t i n g a l e ，b a s e do nt h em o d e lo f c r e d i td a n g e rs i m i l a rt om e r t o n s ( 19 7 4 ) r e s p e c t i v e l y , a s s u m i n gt h a tt h e l i q u i d a t i o n r a t ea n dc o n t r a c t b r e a k i n gm o m e n tb o t hd e p e n do nt h e r e l a t i v ev a l u eb e t w e e nt h ec o m p a n y sa s s e t s ( k ) a n dt h ed e f i n i t e l i a b i l i t i e s k e yw o r d s c d l n ，c o n t r a c t - b r e a k i n gm o m e n t ，l i q u i d a t i o n r a t e ， m a r t i n g a l e i i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地方外，不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书 而使用过的材料。与我共同工作的同志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语 中作了说明。 作者签名：日期：2 0 0 7 年1 0 月2 5 日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文。对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。 名：朝私翩签名钔 日期：2 0 0 7 年1 0 月2 5 日 硕士学位论文第一章绪论 1 1 信用风险理论简介 第一章绪论 信用风险可以定义为：由于合约另一方未履行合约订立的义务而导致债权人 发生经济损失的可能性。不论对方是由于财务困难而未能履行合约规定，还是由 于不愿意而不履行非强制性合约，都广义地称为信用风险。长期以来，人们就将 信用风险看作是债务价格与债务承诺回报率的关键决定因素。 1 1 1 信用风险理论的发展史 市场参与者长期以来就知道信用风险对债券价格存在影响。b l a c k 和 s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 在关于期权定价的开创性论文中朝信用风险模型迈出了关键的第 一步。m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 进一步发展了布莱克和舒尔茨模型。之后，人们追随布莱克、 莫顿以及舒尔茨进行了大量的研究。j o n e s 、m a s o n 和r o s e n f e l d ( 1 9 8 4 ) 用简单的 资本结构考察公司，以测试莫顿模型在公司债券价格方面的解释力。他们发现该 模型无法解释投资级债券的价格。d u f l e e ( 1 9 9 9 ) 假设了一个以d u f l e e 和 s i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) 为基础的密度模型，以及方根利率函数，并借助卡尔曼过滤法估 得公司债券的期限结构。之后，在此基础上z h e n g ( 2 0 0 0 ) 展示了一种用来将隐含 的信用利差波动性从公司债券价格中分离的办法。这种方法是以信用风险的障碍 期权为基础的。较典型的信用风险模型还有c o o p e r 和m a r t i n ( 1 9 9 6 ) ，c o s s i n ( 1 9 9 7 ) 及l a n d o ( 1 9 9 7 ) 等。 1 1 2 信用风险模型简介 信用风险模型可以用许多方法进行分类。较典型的是：传统方法、公司价值 模型、首越边界时间模型与密度模型。传统方法收集历史违约数据，并从这些数 据中推得信用利差，关注信用风险评估。这些探讨方法通常都不以模型为基础。 公司价值模型运用m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 发展的探讨方法，把信用风险看作公司资产 价值的看跌期权。首越边界时间模型运用公司价值来确定违约的时问，清偿率通 硕士学位论文第一章绪论 常不是以公司价值为基础来确定的。密度模型运用无套利破产函数，破产导致发 生违约。 ( 1 ) 传统方法 传统的信用风险定价探讨方法关注的是从历史数据中推得违约信息。利用历 史数据估计债券的期望损失，并一次补偿投资者的损失来进行风险债券的定价。 例如，f o r t s ( 1 9 9 4 ) 确定得出的信用风险债券的价格，是与可比证券过去违约所 致的损失相一致。该探讨方法架设投资者真的是风险中立的，除非信用风险不是 系统风险。但研究结果表明，信用风险是系统风险。 ( 2 ) 公司价值模型 公司价值模型通过给相对于其负债的公司资产价值建立模型来推得违约风 险价格。由于建立了公司资本结构模型也称为结构模型。 莫顿模型是m e n o n ( 1 9 7 4 ) 创立发展的。模型假设公司偿还债务的能力取 决于公司资产的全部价值矿。考虑这样的一个公司：他惟一的负债是承诺在某个 时期支付k 。所考虑的债券为零息债券。根据b l a c k 与s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 可知， 通过发行债务，股票持有人将公司资产出售给债券持有人，同时保留赎回资产的 看涨期权。于是，公司债券可以看作是无违约风险债券减去执行价格为k 的看跌 期权，执行价格是根据公司资产签定的。执行价格为k 的风险债券( 零息) 的到 期支付为 = k - m a x ( k v ，0 ) = m i n ( v ，k ) ( 1 1 ) 风险中立测度q 下公司价值的动态变化可以规定为一个标准的几何布朗运 动等= r d t + c r v d w ( r ) ，为瞬间无风险利率，唧为公司价值的标准差。通过从 无风险债券价值推出标准的布莱克一舒尔茨期权，得到可违约风险债券的矿时价 格p d o ，丁) = 尸( r ，丁) ( ( d o v 丁一，) + r ( 一d ) ) ( 1 2 ) l i l r + i 1 仃矿2 ( f f ) 其中d = 弓一，r = 尸( f ，丁) v 是假想的资产负债率。 o v q t t m e n o n 的零息债券信用风险模型有多种扩展方式。如，付息债券、可赎回 债券、抵押债券、可转化债券、可变票面利息率债券等。 2 硕士学位论文第一章绪论 g e s k e ( 1 9 9 7 ) 、g e s k e 与j o h n s o n ( 1 9 8 4 ) 推导出了付息风险债券的闭解。g o x 、 i n g e r s o l l 与r o s s ( 1 9 8 0 ) 将莫顿的探讨应用于可变票面利率信用风险债券的评估。 c h a n c e ( 1 9 9 0 ) 在莫顿模型框架内考察可违约零息债券的持续期，s h i m k o 、t e j i m a 与d e v e n t e r ( 1 9 9 3 ) 推得零息风险债券的闭解。 ( 3 ) 首越边界时间模型 首越边界时间模型试图解决到期日前发生破产的问题，是由b l a c k 与c o x ( 1 9 7 6 ) 引进的，对莫顿的公司价值模型进行了调整，增加的安全条款赋予了债 券持有人在一定条件下强迫公司破产的权利。条款的目的是保护债券人免受公司 价值进一步贬值造成的损失。b l a c k 与c o x ( 1 9 7 6 ) 模型中将这类安全条款处理 成外生的、由时间决定的边界：v d ( ，) = k e 一“) ，k 和，为外生常数。只要公司价 值等于v d ( f ) ，公司就被迫重组或破产。b r e n n a n 和s c h w a r t z ( 1 9 8 0 ) 也对违约进 行了探讨，类似于布莱克和考克斯( 1 9 7 6 ) 模型，并求得了最终p d e 的数值解。 l o n g s t a f f 和s c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) 改进了布莱克一考克斯模型，允许利率是随机变量， 具有v a s i c e k ( 1 9 9 7 ) 性，清偿率是外生的，违约边界也为一个外生常数即v d ( ，) = k 。 信用风险零息债券的价格为 p d ( f ，t ) = e ( t ，丁) ( 1 - 6 q ( x ，丁) ) ( 1 3 ) 其中万是违约时对面值的折扣率，x = v k 。1 是公司价值与违约门槛间的比率。q 为发生违约的风险中性概率。 通过引入随机利率，飚m 、r a a m a s w a m y 和s u n d a r e s a n ( 1 9 9 3 ) 也扩展了模型。 j e s s i c ac a r i b o n iw i ns c h o u t e n s ( 2 0 0 4 ) 模型中假设公司价值过程服从纯跳跃 的列维过程， k = v o e x p ( x , ) ， 0 其中x 为列维过程：x = 置，f 0 ) ，并且违约是由于公司价值低于预先设定的 一个障碍值三而引起的，得到风险中性无违约的概率 以f ) = e o ( x , i n 分q g ) o ( 4 ) 密度模型 硕士学位论文第一章绪论 密度模型采用了与公司价值模型完全不同的探讨方法。违约和破产通过破产 函数来表示。违约函数通常被定义为一个一跳函数，即，可以从无违约跳到违约。 既定时问内发生这一跳的概率取决于违约密度，通常用力表示。由于违约函数模 型中只包含违约时间，而没有包含发生违约时造成的损失的严重程度，因此假设 清偿率是外生的。典型的有约罗一腾布尔( j a r r o w - t u m b u l l ) 模型( 1 9 9 5 ) ，在连 续时间模型中，假设违约或破产时间f 服从参数为五的指数分布，参数旯称为违 约密度( d e f a u l ti n t e n s i t y ) 或败坏率( h a z a r dr a t e ) 。名为常数，独立于诸于利率 之类的任何状态变量。万为违约时的清偿率，由指数分布特征有 p ( r 卟 f ) = e 以，h ， ， 其中假定跳跃风险价格( r ) = 7 d ，得到到期日丁时支付额为1 的信用风险零息 债券的价格为 尸d ( ，丁) = 尸( ，丁) ( q 0 r l z - t ) + 8 ( 1 - q ( r t r ，) ) = p o ，r ) 0 一却。( r f + j ( 1 一e 一( r 一) ) ( 1 4 ) j a r r o w 、l a n d o 和t u m b u l l ( 1 9 9 7 ) 模型是j a r r o w 和t u m b u l l 模型( 1 9 9 5 ) 的扩展，它提出了违约概率应与信用级别相联系，取消了违约密度在不同的实践 中是一个常数的假设。但保留了独立行假设、外部决定假设、清偿率为常数的假 设。假设在一个信用级别上的停留时间是参数为五的指数分布，给定转换率，从 i 跳到j f 的概率为q , j = 乃万1 。得到有违约风险零息债券价格 d o ，t ) = p ( t ，丁) ( 万+ ( 1 8 ) q ( f f i r f ) ) ( 1 5 ) 其中存活率q o r 卜 f ) = q ( f ，t ) = 1 - q , k ( t ，丁) 。 m a d a n 和u n a l ( 1 9 9 8 ) 提出了具有随机密度的密度模型 纵d 2 壶 d 常数d 是公司负债，为违约边界；s 是缩水了的公司价值，即d s = 吒5 d ( f ) ；清 偿率独立于利率，服从贝塔分布。 2 0 0 t 年，g u r d i p b a k s h id i l i p m a d a n 和f r a n k z h a n g 针对清偿率为外生变量 这个缺点，将清偿率定义为违约强度的函数 4 硕士学位论文第一章绪论 j ( “) = m o + q p 一6 。 1 1 3 信用风险衍生产品研究的现状 信用衍生产品是在1 9 9 3 年出现的一类信用风险管理工具，是用来从基础资 产上分离和转移信用风险的工具和技术的统称。其主要特点是分离和隔绝信用风 险，并且通过信用风险交易达到再造、转移及规避信用风险的目的，从而给风险 空头提供违约保护，而为风险多头提供因承担风险而应得的补偿。由于信用衍生 工具具有极大的灵活性、良好的保密性、较强的可交易性，在发达国家取得了极 大的发展。1 9 9 5 年全球信用衍生产品的交易未清偿数为1 0 0 亿美元，到2 0 0 2 年 衍生产品交易名义价值高达1 5 8 1 0 亿美元，到2 0 0 4 年末已达到8 4 2 0 0 亿美元。 信用衍生产品主要有总收益互换、信用风险互换、违约看跌期权和信用联结 票据等。在当前的衍生产品市场上，信用风险互换是一种最受欢迎的双边金融合 约，是上世纪9 0 年代最成功引入的创新工具之一。在市场风险与信用风险相互 独立的假设下，国外许多文献对信用风险互换进行了研究，并给出了各种价差估 值模型。如，h u l l ，j c ，a w h i t e ，p h i l i p pj s c h on b u c h e r ，2 0 0 3 ；h u l l ，j c ， a w h i t e ，2 0 0 3 等。 我国目前对信用衍生产品的研究还处于概念和功能介绍的初级阶段，定价模 型仍在不断的发展和探索之中，只有少数学者对定价模型进行了研究，而且局限 于信用风险互换。王琼，陈金贤( 2 0 0 3 ) 分析了信用违约互换的结构，给出了基 于期权定价理论和k m v 的预期违约率的信用违约互换的估值方法。王保合，李 时银( 2 0 0 3 ) 运用带随机尺度因子的重随机p o i s s o n 过程描述信用衍生产品的违 约可能，在违约强度是随机变量的情况下得到违约时间的分布密度函数，并推导 出信用衍生产品的定价模型。王保合，李时银( 2 0 0 3 ) 运用随机过程中的反射原 理、停时分布以及障碍期权的定价思想扩张了m e r t o n 在1 9 7 5 年提出的信用衍生 产品的定价模型，对允许提前违约且标的资产间具有相关性的信用衍生进行定 价，并给出了该模型的解。杨文翰，刘思峰，王燕( 2 0 0 5 ) 认为宏观经济状态发 生转变时会对违约强度产生重大影响，基于这种影响，对违约强度函数进行分段 并解决分段时涉及到的分段点确定的问题，进而给出一类信用衍生证券定价的强 度模型。余云鹏，李存行( 2 0 0 6 ) 在对信用违约风险互换的支付函数进行分析的 5 硕士学位论文第一章绪论 基础上，利用信用担保合约支付函数与信用违约互换支付函数的相似性，借鉴信 用衍生产品的定价方法，对信用担保合约进行定价。 由于历史原因，我国国有银行信用集中化程度比较高，四大国有银行都有各 自相对集中的贷款领域，一旦企业出现问题，往往会引起连锁反应，从而增大银 行的风险。虽然我国在信用风险管理问题上已经进行了一些有益的探索，采取了 诸如规定信贷现额等方法，但这些方法存在明显的局限性，不利于开拓潜在的市 场。信用违约风险的转移为商业银行的管理提供了一条有效的途径，也有利于其 他的投资者进入到贷款领域。但是信用衍生产品的发展仍处于初级阶段，定价模 型在不断的发展和探索中，需要相当长的时间来完善定价模型的构造，如何根据 我国的实际情况对定价模型进行选择和改进更是一个复杂的问题，需要长期的探 索。同时较为统一的完善的企业及个人信用评级标准和清偿率数据库是银行业急 需解决的问题。 1 2 本文的主要结果 本文第一章概括性地介绍了信用风险理论的发展史、信用风险模型的分类、 信用风险衍生产品定价的主要成果以及本文的主要内容。 第二章引入了信用违约联结债券的模型及给可违约零息票债券定价。 第三章主要在密度( 强度) 模型的基础上对信用违约联结债券进行评价，研 究了在任意时刻f 的联结债券的价格。特别得到违约时间点t 是强度为红的 p o i s s o n 过程时债券的即时价格。 第四章在公司价值模型的基础上假定违约时间点与公司的资产砟和确定的 负债d 有关的情况下得到了信用违约联结债券的即时价格。 第五章以类似于m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 所用的信用风险模型为基础，假定清偿率 和违约时间点均取决于公司资产与负债的相对值，研究了信用违约联结债券的价 格。 第六章结束语。 1 3 记号 6 硕上学位论文第一章绪论 伽一2 ， o y l l h 1 岳+ ( ，一譬) 丁 伽去1 # ， c ，。， l n 告一譬) ， 伽南上 咖窆字2 砜+ 唧厉僻即撕铘“ ：竺逊璺竺， o v n t - t l n l n 一昙( 西一以) ( 丁一，) 九= 上等筹 oo q l l i i l 要习1 唧2 一以) ， 西：j l 之二； t y a x l t h l 导+ ( ，一审丁 蟊= 去1 ， 6 h 兽竹一匆 酗南t ：上： 6 。 l i l 皂一昙( 刃一蠢) 丁 ，t 。且， 铲型毪竽竺， 秘一型一 吒：一竺釜：堡! ：量睾二三竺! ! 兰 o s t 胪塑雩铲型= o ；q j n g v g v i 舻塑铲1 ； o ；，t 一c o v ( a w 2 ( 丁) ，a 昭( r ) ) 几2 蒜 c o v ( a w v r ( t ) , a w v r ( t ) ) z 4 一r t 西 ，以= 塑铲 7 ”叮 d， 既 硕士学位论文 第一章绪论 ( d 为标准正态累积分布函数，( x ) = 去p ，西； 2 ( x ，y ，p ) 为二元标准正态累积分布函数， 啪，力= 丽1 胍筹掀。 8 硕士学位论文第二章信用违约联结债券模型和可违约债券的定价 第二章信用违约联结债券模型和可违约债券的定价 2 0 世纪9 0 年代以来，信用风险已经成为银行业所面临的各种风险中最主要 的风险，是银行机构及其监管部门最关心的问题。信用风险产生的根源在于缔 约方违约或经营的失败，借款人不能按期归还贷款本息，导致银行全部贷款本 息都不能收回或只能收回部分贷款本息而承受损失。信用衍生工具是过去几年 来最重要的金融创新工具之一，已成为信用风险管理的重要手段，它旨在弥补 信贷市场的缺陷：将信贷合约标准化以促进信用风险的转移。 2 1 信用违约联结债券模型 信用违约联结债券( c r e d i td e f a u l tl i n k e dn o t e ，简称c d l n ) ，是银行或其 他机构发行的一种债务工具，可以视为下列两项交易的整合： ( 1 ) 浮动( 或固定) 利率资产：投资人购买浮动固定利率债券。 ( 2 ) 信用违约交换：为信用交换契约的一种。卖方( 亦即投资人，提供 信用风险的保护者) 在契约期间( 期终) 收受费用，并且承诺于契约到期前若 标的资产发生违约事件，则支付买方契约约定之违约尝付金额1 一万，买方将不 再对投资者支付利息，债券仅仅支付基本信用的回收价值一万。若标的资产 未发生违约事件则无需支付，所有的息票和本金都将由买方全额支付。反之， 买方( 寻求信用风险保护者如，银行等) 于契约期间支付费用( 保险费如，利 息等) 得到契约期间若标的资产发生违约事件时之违约尝付。发行者( 买方) 将参照债务( 标的资产如：贷款) 的违约风险隐含在c d l n 中：并将该债券发 行给另一个投资者( 卖方) c d l n 的购买者，其购买者由此承担了标的资产 的违约风险及其发行者( 信用保护买方) 的违约风险，因此信用违约联结债券 利息的支付必须包含对这两种风险的补偿，票面利息率高于普通固定收益证券。 由于c d l n 可全面消除基础工具的信用风险，尤其适合商业银行大额贷款主用 风险的规避。 c d l n 类似于持有无风险债券并卖空一份违约互换。违约的基本信用或是 实物交割或是现金结算，其中支付的金额等于由交易者决定的违约资产的价格。 运用债券定价原理，利用现金流期望值的现值确定价格。 9 硕士学位论文第二章信用违约联结债券摸型和可违约债券的定价 所谓信用违约联结债券，是由具有信用风险的公司甲发行与其他信用风险 债权b 相联结的商品。以无摩檫经济体系为考量，为使模型简化，在各章中 所考虑的债券均为零息票债券。 假设公司甲发行与债券b 连结之债券，称为债券，购买债券，的投资人称 为信用的买方不仅承担发行该债券，的甲公司之信用风险，而且必须承担债券 占的违约风险。假设甲公司发行债券a ( 与债券，其他条件均相同，唯一差别 在于不与债券b 进行违约风险连结) ，因此信用违约联结债券，可视为独立的债 券a 所承诺支付的本金加上针对债券b 于债券发行期间之到期偿付违约损失 率进行本金支付调整的债券。 2 2 可违约零息票债券的定价 令v o ( t ，t ) = 无风险债券在时间，的价值，其到期日为r 。 v ( t ，t ) = 折价的零息票可违约债券在时间f 的价值，其到期日为丁。 在风险中性下， k ( f ，r ) 是到期现金流量$ 1 的无风险零息票债券在f 时刻价值 的期望，则 v o ( t ，r ) = 耳( p 一扣岫) ( 2 1 ) 其中：，( s ) 代表随时间变化的即期无风险利率； 茸【】表示风险中性概率测度下的期望值。j m 陌o w ，l a n d oa n dt u m b u l l ( j l t ，1 9 9 7 ) 已证明在风险中立以及完全市场与无套利条件下，有信用风险债 券的评价如下式： v ( t ，丁) = 嚣( e j “8 油( ， r ) + 以，g ) ) = 耳( e - f 巾) 葛( p r ) + 弘硎) ( 2 2 ) 若在债券发行方违约时间0 超过到期日( 即债券生存，f 丁) 若在到期日t 之前发生违约，即f t 若有违约发生( f t ) ，可回收的债券价值比例为8 ( 0 万 丁) 1 0 1 o 1 0 r1 fi、 = 一 处 旷 对 此 五 硕士学位论文 第二章信用违约联结债券模型和可违约债券的定价 因此，上面两个指数函数加起来代表在到期日不倒闭及倒闭两种情况下的现金 流量( 或到期价值，t h ef i n a lp a y o f f ) ： 孵= ，n + 万，玎，= 三喜主雾约 也就是说，若不发生倒闭( 不违约) ，则到期时，债券支付$ 1 。若发生倒闭 ( 违约) 时，则债券支付万元，即投资人可拾回万元。所以在时刻f ( o t ) + 8 ( 1 - p ( r 丁) ) ) 。 令，= 0 ，则期初可违约债券价值为 v ( o ，t ) = v o ( o ，丁) ( 8 + ( 1 - 8 ) p ( r 丁) ) 。 硕士学位论文第三章强度模型下c d l n 的定价 第三章强度模型下c d l n 的定价 违约强度( 密度) 模型又称缩减式模型( r e d u c e df o r mm o d e l ) ，是由j a r r o w 和t u m b u l l ( 1 9 9 5 ) 首先提出来的，之后陆续有许多针对违约强度进行延伸的 模型，例如：j a r r o w ( 1 9 9 7 ，2 0 0 1 ，2 0 0 2 ) 、d u f f l ea n ds i n g l e t o n ( 1 9 9 7 ，1 9 9 9 ) 、 l a n d o ( 1 9 9 4 ，1 9 9 8 ) ，m a d a n 和u n a l ( 1 9 9 8 ) 等。 该模型放弃了对公司资产价值的假设，将公司的违约现象看作是不可预测 的，并且违约时间点是服从p o i s s o n 过程的随机事件，通过对其参数强度来 刻画违约事件发生的可能性。由于违约函数模型中没有包含发生违约时造成的 损失的严重程度，因此假设清偿率是外生给定的。此模型具有以下特点： ( 1 ) 假设市场完备且为完美市场并符合无套利限制条件。 ( 2 ) 透过违约概率的计算以求得信用风险债券价格，无需计算公司资产。 ( 3 ) 违约为随机过程。 ( 4 ) 违约回收率( 清偿率) 为外生变数。 ( 5 ) 可以运用信用评级的资讯对信用衍生商品进行评价。 ( 6 ) 假定只有到期时才清偿。 在下面的评价中，我们假设信用风险债券的定价模型符合这六大假设。 3 1c d l n 的现值 定理l 到期时间为r 的面值为$ 1 信用违约联结零息票债券，在期初 ( t = 0 ) 时的价值 v ( o ，丁) = 童( p 一7 5 凼) ( 茜( 1 ，r ，：，r ) + 艿营( ，。s r ，：，r ( 3 1 ) + 万e ( f l ，r ，f 2 s 7 ) ) + 万万( f i r ，7 ) ) ) 其中：清偿率艿为债券彳发生违约时可回收的价值比例，为债券b 发生违约 时可回收的价值比例：为发行信用联结债券的甲公司的违约时间点，f ：为信 用风险联结的标的债券b 之相关公司乙的违约时间点，且、吃分别独立于利 率期间结构。 1 2 硕士学位论文第三章强度模型下c d l n 的定价 证明：假设于时间点，= o 发行的面值为$ 1 的零息票债券，到期时间为r ， 则债券，的到期偿付为 w r = la ，胸不违约 万彳违约，b 不违约 艿彳不违约，瞄约 6 万a ，胸违约 则债券1 的到期偿付可用示性函数表不为： 孵= 厶f 1 r ，r 2 r l + 万。厶f l s r ，f 2 r + 万7 。厶妒r ，f 2 r + 万万l f l 7 ，f 2 s r 则由( 2 3 ) 式有到期时间为t 的债券，在，= 0 时刻的价值为 v ( o ，d ：e ( e - 肌) 出孵) 所以 v ( o ，r ) ：e ( e - 跏净孵) ：e ( e - 胁) 凼) ( 童( 睇” = e ( e - 扣冲) 重( f i r f 2 r ) + 6 r l s t , r 2 t - f r i t j 2 s t + 万弛f i 玑删) = e ( e - 【吖盯凼) ( 营( q ，r ，r ) + 4 童( 1 玎以，r ) + 岛e 。( 纠彤r ) + 磊暖童( 但神，) ) = v o ( o ，丁) ( p ( q 丁，吒 t ) + 6 p ( r 1 r ，吃 r ) + 万7 p ( r l 丁，吃丁) + 彩尸( q 丁，r 2 丁) ) = v o ( o ，丁) ( 艺弓+ 8 ( 1 - p a ) p b + 只( 1 一b ) + 掰( 1 - p a ) ( 1 - p b ) ) 其中：只为公司a 在到期前不违约的概率，b 为公司b 在到期前不违约的概率。 3 2 任意时刻的c d l n 的定价 定理2 在任意时刻f ( 0 r ) + 万p ( r i 丁j 1 ，乞 t r 2 ，) + 万p ( 丁l f ，乃丁i 乇 r ) + 万8 p ( qt r i f ，t 2 t r 2 f ) ) v o ( t ，丁) ( 万p ( 丁i 一 f ) + 万万p ( t i 丁1 1 f ) ) v o ( t ，丁) ( 万尸( 乃 t i t , ，) + 万艿p ( t 2s 丁i _ ，) ) v o ( t ，t ) 8 8 在时n t 甲、乙 均未违约 在时刻f 甲未违约、( 3 2 ) 乙违约 在时刻，甲违约、 乙未违约 在时n t 甲、 乙均违约 证明：由于债券彳和债券b 都具有信用违约风险，则对于已经发行的信用 违约风险债券( 假设发行债券4 、b 和联结债券，的时间点为，= 0 ) ，在某个时 间点r ( 0 f r ) ) + 万e , ( i t 嘲玑b r ) ) + 万茸( k 川 丁) + 万尸( 一7 1 i f ，吒 t r 2 f ) + 万7 尸( 1 r i q f ，吒丁i 吃 f ) + 万万7 尸( _ 丁i q f ，吃丁i 吒 f ) ) 情况二：在t 时刻公司甲禾违约，公司乙违约，即乞s t 啦 7 t ) + 万艿e ( k 吼i r ，f 2 s r ) ) = v o ( t ，丁) ( 万p ( 1 t i r l f ) + 艿8 尸( 一t l r , f ) ) 1 4 硕士学位论文 第三章强度模型下c d l n 的定价 情况三：在，时刻公司甲违约，公司乙未违约，即q r 丁l r i 乞 f ) + 万7 尸( q 丁l 丁i 乞 ，) + 万p ( r l t t 1 f ，f 2 f ) + 6 艿p ( r l 丁l f l r i 乞 f ) + 万万尸q ( 乞丁l 乞 f ) ) 情况四：在，时刻公司甲与公司乙皆违约，即_ ，t 2 f 则： v ( t ，丁) ：豆t ( e - rr ( s ) d s w t ) = v o ( t ，r ) 掰7 。 证毕。 3 3 具有c o x 过程的c d l n 的定价 假定公司甲与乙的违约时间点过程分别是具有强度为红( f = 1 ，i = 2 ) 的泊松 ( p o s s i o n ) 过程。违约出现的时间由随机时间( 停时) 列 ) 旭描述。债券彳违 约后可回收的价值比例为4 ；债券占违约后可回收的价值比例嘎。为简单起见， 我们假设出现第一次违约后直至到期日丁，相应债券的可回收价值比例不变。 定义违约记数过程 n ( t ) ：= m a x i l r , f ) = 例 j = l 其中 ，c 彳，= 三姜誊生出现在时间，或之前 为c o x 过程，若存在非负随机过程办( f ) ，使得对给定的强度现实 办( ，) ) ， o ) ，( f ) 是具有强度为办( f ) 的非齐次泊松过程。 由定义可知，对给定的强度现实曩( ，) ( 江l ，i = 2 ) ，在到期日t y _ 前恰好出 现丹次跳( 违约) 的概率为： 硕士学位论文 第三章强度模型下c d l n 的定价 尸( ( 丁) 一( ，) = 门l 曩( s ) 垴h 习) ) = 去( r 囊( s ) 凼) ”e x p 一r 如( s ) 出) 具有刀次跳( 违约) 的概率为： 尸( ( 丁) 一 r ( ，) = 功= 写 尸( 红0 ) ) ( r b 圳) ) = 写 击( r 帕卸( 一r 忡) 从f 到t 的生存( 不违约) 概率为 p o ( t ，丁) = 耳 e x p ( 一r 曩( j ) 凼) ) 若违约强度为常数即曩o ) = 囊( f = l ，2 ) ，则 p o ( t ，丁) = 耳( ex p ( 一j f r 出) ) = e - ( ) p o ( o ，丁) = 五 e x p ( ( - f 曩凼) ) = p 州n p o ( o ，f ) = 营( e x p ( 一f 矗西) ) = p 州r 情况一：在t 时刻公司甲与公司乙皆未违约时信用违约联结债券的价值为 v ( t ，r ) = 茸( p 一肿) - v o ( t ，丁) ( p 一 7 叫p 一心( 7 f ) + 万( 1 一p 一 ( r f ) p 一 2 ( r 1 ) + e 一 ( 1 - e 一屯) + 掰( 1 一e 一 ( r 叫) ( 1 一e 一 2 ( r 叫) ) 。 情8 - - ：在，时刻公司甲未违约，公司乙违约时价值为 m 丁) = 耳( p 一肌冲孵) = v o ( t ，丁) ( 万p 州r - r ) + 掰，( 1 _ e - ( r - t ) ) ) 。 情8 - - ：在，时刻公司甲违约，公司乙未违约时价值为 v ( t ，丁) = 茸( p 一加油) = v o ( t ，丁) ( 万p 瑚+ 掰( 1 一p 喇) ) 。 情况四：在t 时刻公司甲与公司乙皆违约时价值为， v ( t ，丁) = 耳( p 一肿脑) ：彩p - ，( r - ，) 。 由以上讨论得到 推论若发行c d l n 的公司及信用风险联结公司的违约时间点相百独立目 1 6 堡圭堂垡笙奎一笙三皇- 里望壁墼望e 呈型坠型 分别服从参数为啊，| f 1 2 的指数分布，则在任意时刻f 的c d l n 的价值 m 丁) ：耳( p 一加净睇) p 一7 r 一e 一 h p 一们叫+ 6 0 一e 一 ) e “u 叫在明刻甲、厶 + 6 e - l ( n ( 1 - - e - 1 1 2 ( ) + 掰，( 1 一p 一 ( r 川) ( 1 一e 。| 1 1 2 r - o ) ) 均未违约 p 叫h ，j ； e - h - ( r - o + 彩r ( - - e - h l ( t - t ) ) ) 妻墨裂甲未违约。33 ) p 叫m 8 e - ( r - 。+ 册p 州) ) ) 套巢鬻黝、 在时刻f 甲、 掰7 e 一7 ( ) 7 。均讳约 虽然强度模型可以通过市场数据得到公司的