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带干扰的多险种风险模型的破产概率 摘要 风险理论是经营者或决策者对风险进行定量分析和预测的一般理论，但经 典风险模型及其拓广模型为描述单一险种的风险。对于保险公司经营规模的日 益扩大，险种的多元化及新险种的不断开发，这些模型已存在很大的局限性。 作者首先建立了保费收入为复合泊松过程的风险模型，在新的风险模型中 包含了两个复合泊松过程；其次，在实际索赔过程中，为了使模型变得更有应 用价值，本文又考虑了随机二项序列对模型的影响；最后，由丁保险公司还有 些不确定蝴改支，所以本文又加入了随机_ t 扰项。文中应用随机过程序列弱 收敛，鞅以及概率论等理论，讨沦了推广模型的伦德伯格不等式和最终破产概 率公式，得出了和经典风险模型一样的结论。 关键词：破产概率；复合泊松过挥：随机二项序列：维纳过程：随机干扰 t h er u i n p r o b a b i l i t y o f m u l t i p l e l i n er i s km o d e l p e r t u r b e d b y d i f f u s i o n a b s t r a c t r i s kt h e o r y , a sa p a r t o fi n s u r a n c eo ra c t u a r i a l m a t h e m a t i c s ，d e a l sw i t h s t o c h a s t i cm o d e l so fa ni n s u r a n c eb u s i n e s sa n ds t u d i e st h ep r o b a b i l i t yo f r u i n w i t h c o n t i n u o u s l ye x p a n d i n go f t h er i s ko p e r a t i o n ss i z ef o r mi n s u r a n c ec o m p a n i e s 。t h e r e i sal i m i t a t i o nt ot h ec l a s s i c a lr i s km o d e l a n do t h e rg e n e r a l i z e dr i s kf l l o d e l i nt h i sa r t i c l e ，t h ea u t h o rd e f i n e st h em o d e lt h a tp r e m i u m i n c o m ei sa c o m p o u n d p o i s s o np r o c e s s ，n o tac o n s t a n tr a t ep r o c e s s i ti sn a m e d c o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s p r e m i u m i n c o m er i s km o d e l t h e ni nt h ep r o c e s so f c o m p e n s a t i o nw e u s es t o c h a s t i c b i n o m i a ls e q u e n c et oi n a k et h er i s km o d e lv a l u a b l e f i n a l l yw ea d dr i s k p r o c e s s p e r t u r b e db yd i f f u s i o nt ot h em o d e lb e c a u s ei n s u r a n c ec o m p a n i e sh a v ei n d e f i n i t e i n c o m ea n d p a y o u t b yt h em e t h o do fm a r t i n g a l e ，w ep r o v et h el u n d b e r gi n e q u a l i t y a n df o m m l ao nt h er u i n p r o b a b i l i t y k e yw o r d s ：r u i np r o b a b i l i t y ，c o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s ，s t o c h a s t i cb i n o m i a l s e q u e n c e ，w i e n e rp r o c e s s ，s t o c h a s t i cd i f f u s i o n 合肥工业大学 本论文经答辩委员会全体委员审查，确认符合合肥工业大 学硕士学位论文质量要求。 主席： 委础 受眨9 j矿 l 虱坼 答辩委员会签名 张存球系孑安 哎发粳餐 履嚷极散弦 么 一 足匙 一 红 乞以坎爪 ， 7 、 乙 一生仑a少纪史仑仑饥 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得盒世王些太堂或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒起王些左堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金 8 b 王、业太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 签字日期：年月日 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 导师签名 摧戈 签字日期：町哞厂月 电话： 邮编： 致谢 在完成论文的过程中，数学系的多位师长及许多的朋友给了我无私的帮 助，在此向他们表示衷心谢意! 本学位论文是在杜雪樵教授的悉心指导和关怀下完成的。导师最大限度地 提供了良好的学习和科研条件。从课程学习到按研究方向所进行的论文选题， 课题立项、论证、研究、实验、总结、论文撰写和修订中，杜老师始终给予了 我悉心地指导，倾注了大量的心血，使得课题的研究取得了很好的成果，论文 也得以顺利完成，我的专业技术和科研能力有了长足进步。杜老师渊博的知识、 严谨的治学态度、和诲人不倦的敬业精神，使我受益匪浅。在此，向尊敬的杜 老师表示衷心的感谢和最诚挚的敬意。 同时，还要特别的感谢我的亲人们，谢谢他们! 作者：沈爱婷 2 0 0 5 年5 月9 日 第一章前言 金融风险理论是当前精算界与数学界研究的热门课题，在国外已经有上百 年的研究历史。许多学者运用概率方法和随机过程取得了不少经典性的结果。 而破产论是精算数学的核心内容。由于保险业的快速发展，行业内竞争的加剧， 破产风险管理在保险公司的日常管理中起着举足轻重的作用。破产论正是为破 产风险管理提供数学上的支持，因此日益受到人们的重视。在我国，对此课题 的研究起步较晚，亚洲经济危机爆发后，才得到保险金融界与数学界的高度重 视。 破产论的研究可以追溯到瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士 论文。至今已近百年，不过l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准，它的 严格化是以c r a m e r 为首的瑞典学派完成的。c r a m e r 在完善l u n d b e r g 的数学 工作中，也对概率论和数理统计发展作出了重要的贡献。 经典风险模型提出后对模型进行了研究和推广，g e r b e r 等研究了破产前的 盈余和破产时赤字，g e r b e rh u 和s h i ue s w 研究了破产时间，破产前的盈余 和破产时赤字的联合分布，d o b o u r d i e u 得到著名的b e e k m a n 公式， 歹俐= 士( 士) ”珥( “) n = 0 i + 口l + p 其中： 凰纠： ? u o o 凶 鼠倒是励砂= 吉( 1 删出的一重卷积 这一公式可以用来估计最终破产概率的上下界。m a l i n o v s k i iv k 得到有限 时间内破产概率的修正正态估计，p i e a r dp 和l e f e v r ec 研究了离散索赔分布在 有限时间内破产概率，d u f r e s n e f ，g e r b e rh u 研究了破产概率计算的三种方法。 比较经典的推广有：广义复合泊松过程的风险模型，完全离散后经典风险模型 = “协咒 其中，个体索赔额x 是仅取正整数的随机变量，( h ) 表示( o ，n ) 时段内所 发生的索赔次数，假定似功是以p ，o 0 ，( 力 o ) 为破产时刻，称r ( 曲= p ( t 0 。由强大数定理有 引理1 ：对于 趴幻，t 0 ，以卜概率有 4 柑 的。 ( 1 ) 若c t - e ( s ( 幻) = ( 产 “) t o ，t o ，f o ，这种情况是比较有意义 n ( o 假定2 ( 相对安全负载假定) 5 ( 0 = z x k ，r o ，它表示到t 时刻的索赔 心 总额。约定当乒o 是，s ( o ) = o ，它表示到时刻t 的索赔总额，由上面的假设可 知，均值是 以s ( 幻) = o ，称p 为相对安全负载 “ 假定3 ( 调节系数存在唯一性假定) 首先，要求个体索赔额( i n d i v i d u a lc l a i m ) 的矩母函数， 产hpr x 肛( 习= f ( 一= j 0 ed f ( x ) = l + rj o e ( 卜以曲) d x 假定至少在包含原点的某个领域内存在： 其次，要求下述方程九膨( ，) 一丑= c r ( 3 ) 有正解。 令占( 一= a ( 膨( ，) 1 ) 一盯 事实上，我们对口( d 可以求两阶导数 日( 一= 五( e 矿订r x j 一1 ) 一盯 6 2 a 毫x 矿d f ( x ) 一c ( ，) = 五f x 2 e “d f ( x ) o ，o 故口( 力是连续的严格凸函数。因此( 3 ) 式如有正解，则必唯一。 2 2 经典风险模型有限时间内破产概率估计 除了破产概率外，人们对在有限时间内的破产概率的计算也十分关注 u ，窃= 砾a + i 1 譬( i p ( z t ) ) d z 巩鼻) = p ( 一c t 幻一f ( ，r o ，t c o ) f 尸( 时c + 砌，珊) 一p ( x + c c o ，0 9 ) ) 其中尸( 几。：酬，p ( 一五。妻譬二，t ( 力 k = o 把， 文 2 1 介绍了当索赔额为指数分布时，在有限时间内破产概率一个简单的 公式， 假设以西：l - e - 6 x ，j o ，有限时间内的破产概率满足： 甲0 u 两= p 。e - 舯w h 一毫g ( 硫，奴y ) d y 其中：= 车 咖以胆l + 7 c - 2 q 万、c o s yi 咖s 加( y + 芳咖 在这一节考虑用随机过程依分布收敛的内容来估计经典风险模型在有限时 间内的破产概率 有关随机过程的依分布收敛的知识可参见 2 9 ) ，首先将随机 过程的依分布收敛( 弱收敛) 应用于风险理论的是i g l e h a r t 文 2 6 ，我们现在 的叙述是根据g r a n d e l l 文 3 ，2 7 ，2 8 中内容。 假设i ( 疗= 笺2 。，显然有 k = l 缸i ( 幻 = 舡tv a r j ( f ) = a ( 2 + 盯2 ) t 舣_ ( 加糍 由随机过程的依分布收敛的相关知识可知：随机过程i ( 0 依分布收敛到标 准维纳过程矿( 疗， 一 d 记作s ( 幻斗旷( 幻当仃斗一。 定义e ( 幻= y n - 届：司j ( f ) 以幻= y 卜佩：司( o g r a d e l l 文 2 7 ，2 8 证明只( 幻斗以幻当7 - - 。当且仅当y 。斗，由随机过 d 程依分布收敛的性质，我们可知有i n fk ( t ) 斗f 矿j ，( f ) o g t g l eo s ，奄6 因此有，尸( i n f 只( 幻 一曲 以f 以力 一曲 鸳o o g t - t d 现在考虑经典风险模型在有限时间内的破产概率v ( 嵋幻的估计， _ ；f ，( “t ) ：p i n f x ( s ) 一曲= 尸 啦厂c r i ( 0 一曲 o g s r o j 口 = 爿阿掣 一睾m 丝警型 一睾) o 盘 行4n o s j 、，珂h ：尸 i n f 竺二戛型坐：塑二丝! 一姜 t - o 立s 三 吖以叫玎 7 = 麒i n f ( c - 2 , u ) i r r 2 + 盯2 ，吾。( o 0 ) 的鞅( m a r t i n g a l e ) ，若有 ( 1 ) x ( 幻f ，即j ( 苟是f ，可测的 ( 2 ) k l x ( t ) 1 3 o o ，vf o ： ( 3 ) 对o s 0 ，( r t 是n 可测的 ( 2 ) p ( r o ) 的有界停时，则有研z ( f ) = 缸x ( o ) 鞅论的另一个重要结果是收敛性定理。 定理2 设“( 0 ：2 0 ) 是一非负鞅，则存在几乎处处收敛的有限极限，即 有l i m x j = x ( o o ) 一 a s 令f ? = 盯( 巩0 ，占0 ，显然( f ? ，f o ) 是一非降子盯代数流a 下面证明口“w 是关于 f ? ，f o ) 的鞅。 证明：1 ) 麒是f ? 可测的。 2 ) 剐e “叫) = e ( e - 舢埘1 w ) = 矿“础“阿f w ) 由斤的定义得，乩一8 创) = 1 故绷p 一。即1 ) = 矿“ 0 = 互( 7 ) i ，童胡p ( 7 幻+ 缸上( 0i7 胡p ( 7 幻( 十) 注意到，当f t 时，以幻0 ，从而 爿( 0 = e x p ( 一亓玖幻) 1 这样，在( ) 式两端令t 一+ 一，由单调收敛定理与l e b e s g u e 控制收敛定理， 即得 e x p ( 一r u ) = 双z ( d l7 o o ) p ( 7 o o ) + f ( 盖( 一) i 产o 。) p ( 芦一) 再因l i m 巩幻= + 一a s ，故知矗= oa s ，从而有 e x p ( 一砌= 研x r 【t o o p ( t 0 ) 的指数分布时，最终破产概率 为( 曲= 兰；! e x p ( 一，0 其中r 为调节系数，由方程五e ( e x p ( r x i ) ) = 五+ c ，o u ( t - ) ，k 一) f 2e x p ( , g x ) d x j 2 e x p ( a x ) d x u ( r j = e x p ( 砂) 于是 e ( e x p ( 一r u ( z ) ) ) = e x p ( 一r y ) d p ( u ( 7 ) 0 ) 为参数的泊松过程( 州( 幻， o ) ， 置，j 1 ) ，( i ( 幻， 0 ) ， 儿，七1 ) 是相互独立的。 令占( 幻= 笺毛一笔儿，v o 。约定当# o 时，s ( o ) = o 。 = lk = l 由上面的假设及第1 苹第1 节( 1 ) ，( 2 ) 式司知 f ( s ( 幻) = f ( 朋( 幻) 以丑) 一f ( 膈( 幻) f ( m ) 5 ( 五。2 一五2 ：) t 跆，c s c 幻，= 如r ( 篙：i ) + 断( 篙几) = a l ( 。2 + 仃- 2 ) t + 2 2 ( 2 2 + 盯z 2 ) t 假定2同时保险公司为经营的安全，必然要求 f ( s ( ) ) 2 ( 元，一五2 2 ) t 0 ，t 0 类似我们可以定义相对安全负载 令p = 鱼型攀 o ，称p 为相对安全负载 以2 2 假定3( 调节系数存在唯一性假定)首先，要求丑，y k 的矩母函数 版( ，) = e ( d ) = 杪粥( 曲= l + i e 8 卜矗( 力 d x 彬( ，) = e ( e m ) 2j e r y 粥( 力= 1 + ，j 矿 1 ( 力 咖 假定至少在包含原点的某个领域内存在。 令占( ，) = 五。( 膨( 一0 一1 ) + 五：( 膨( ，) 一1 ) ； 其次。要求下述方程 占( ，) = 五。( 版( 一一一1 ) + 五2 ( 膨( 力一1 ) = o ( 1 ) 有正根尼斤称为调节系数。 事实上，我们对p ( 0 可以求两阶导数 刺i i e - “d e _ 1 + 五：( j 矿押：”， ( ，) = 无j - x e - “d f ，g ) + 九y e 9 d f ：( y ) i 故占( ，) 是连续的严格凸函数。因此( 1 ) 式如有正解，则必唯一。 3 2 推广模型的化简 首先我们说明这一事实复合泊松分布的和还是复合泊松分布，即具有 可加性。 设有两个复合泊松分布5 ；，s ，s = 兰孙其中蹦是参数为五的泊松分布， 扛i 五独立同分布，分布函数为月( d ，s = 兰儿， 6 是参数为y 的泊松分布，儿独立 r = l 同分布，分布函数为扁( 力。假设萨兰z ，是复合泊松分布，其中心是参数为五+ ， j = l 的泊松分布，乃独立同分布，分布函数为焉( 。万苦斤( 力+ 万与最( 。则s + s 和h 具有相同的分布。 事实上，以纯o ) 表示随机变量f 的特征函数。则有 眈o ) 2 f c 一。刁。：“识c 而2 专! 。积c 曲+ 寰! ”粥c 曲 2 南吼q + 南哆( f ) 弧。舻归 唧噍船 =量0唧摊1=1。-01 = 1 船k = 七1 p = t ) ， 2 盖彳唧悖，j ”j p ( n , 叫2 荟气唧懦船 卸 量彳卉e 屿1 p ( 州= = 妻( 以扩) ) _ ( 卅= k = 0 i - i k - - o 泖( ( 致( 幻一1 ) ) 类似有妒。，o ) 2 e x p ( y ( 哆( 幻一1 ) ) v s ( t ) = e x p ( ；v ( 眈( 0 1 ) ) 所以有下式 妒。o ) 2 唧旧乎唧( ( 砷) ( ( 寿级( f ) + 寿哆抄1 ) ) 而s ：o ) = f ( 产圳) = e ( e i t 5 1 ) e ( e i ) 故结论成立 2 e x p ( a ( 吼( t ) - 1 ) ) e x p ( y ( 吼( t ) 一1 ) ) 2 e x p ( ( a + y ) ( ( 专妒：o ) + 南妒，防1 ) ) 3 , 3 推广模型破产概率的上界 下面应用鞅的技巧来讨论保费收入是复合泊松过程的风险模型的最终破 产概率的上界。首先我们来证明e - r u ( ) 是关于f ? 的鞅。 其中f ? = 盯( 耿曲，s - o ，给定概率空间( d ，只一， 0 ， 1 r f j2 r 矾幻2 叶艺蔚一艺y f + c w ( 幻 称 叭t ) ， o ) 为盈余过程，l 是保险公司的初始资本，毋表示每次出售保 险的收入，且表示每次的赔付额。f 凰j l ， nj 1 ) 是独立同分布随机序列， 州( t ) ，f o ) ， 5 ( 幻， 0 ) 是强度分别为旯。，旯：的泊松过程。蹦( 幻表示到时 刻t 时收取的保单数， 5 ( 幻表示到时刻t 时的理赔次数， 以幻，t o ) 是一种标 准的维纳过程。表示保险公司的不确定的收益或付款， 州( 幻， o ) ， 膈( 幻， o ， 以力， o ， 册，j 1 ) ， n ，j 2 1 ) 是互相 独立的。记 s ( o = 笺：，一絮y ，+ c 以匀， 显然为了保险公司的稳定运营要求e ( s ( 0 ) o 。 定义2 假设在包含原点的一个领域内 埘( 力= e ( e x p ( r x , ) ) ，膨( 力= e ( e x p ( r y , ) ) 存在，且方程 五。( 埘( 一力1 ) + 五：( 弼( 一一1 ) + i ? c = 0 有正根最斤称为调节系数。 由于上式的左边二阶导数是大于0 的，所以它在收敛域内是一凸函数，故 若月存在，则一定是唯一。 定义3 称t = i n f ( f o ，u + s ( 幻 o ) 为破产时刻， 称5 f ，( 西= 尸( k l 【，( 0 ) = 曲为最终破产概率。 2 l 4 2 模型( i 】的性质 引理1 随机过程 s ( 幻，0 ) 是一个平稳独立增量过程。 由泊松过程和维纳过程具有齐次独立增量以及模型独立性假定易证。 令f y 一盯( 州( 句，s 0 ，f y ：= 盯( 旭( 0 ，s 幻，f y = 口( 以曲。占幻， 序f y vf ，zvf 7 ，显然 只，c o 是尸的非降子口代数流。 引理2 对于随机过程 s ( 0 ，0 ，有f ( 日印( 一r ( s ( 幻一s ( 力) ) ) = 1 ，o p - _ o ) 是一个鞅，m 。= e x p ( 一g ( u + s ( 0 ) ) 。 证明1 ) 勉是最可测的。 2 ) 司m ，| = e ( e x p ( 一斤( 叶s ( 幻) ) ) 2 e x p ( 一r u ) 。e x p ( 一r s ( 幻) 由斤的定义得，捌 彳， - e x p ( 一r u ) + 。 3 ) 任意一个o kr 觑膨l 功= e ( e x p ( - g ( w - s ( 幻) ) l 功 = 双e x p ( - r ( u + s ( 一+ j ( 力- s ( 力) ) i 同 = e x p ( 一斤( 叶s ( 力) ) 反e x p ( - g ( s ( 0 ) 一s ( 力) l 固 ：e x p ( 一r ( u + s ( d ) ) = 肥 结论成立。 引理4 对于固定时刻t ，t a t 是 只，f o 的有界停时。 4 3 模型( i ) 的破产概率 定理在带干扰的多险种风险模型 伙幻，t 0 下晟终破产概率为 p ( 2 瓦面丽e x p 币( - r 而u ) i 面 证明，为破产时刻，由于对固定的时刻 。r at 是有界停时，利用有界 停时定理知，珂厨氟l = 科馏 = e x p ( 一r u ) 于是有e x p ( 一砌= 所眠。i 愿t 尸( 珏0 + 缸觚。i 胗胡尸( p 苟 = 反肼i 肛t p ( 以幻+ 所膨l 胗t 尸( 幻 注意到当 ，时，以t ) o 所以有肛唧( 一删幻) i ，又 膨，f o 是非负鞅， 故l i r a 似= 饩 + 。 a s m 因此由单调收敛定理和勒贝格控制收敛定理，在上式两端令 一。取极限得， e x p ( 一斤仂= 目胁it + o o p ( ， o 及引理1 ，得l i m 饥幻= + o 。，a s 故有饩= 0 ，a s r w 从而有e x p ( 一脚= 研辨it + o o 以 o ，c o ，给定概率空间( 臼，f 曰，t = - o ，1 ，2 n d t n t n 3 ( t ) 巩幻= 叶石一y j z , z k + d ( t ) f = l爿k = l 称 巩幻，为盈余过程。 u 是保险公司的初始资本，( 毋) 、( 乃) 、 磊) 是独立同分布的随机序列， ( 州( t ) ) 、 5 ( 疗) 是具有参数元、五：的泊松过程，( 5 ( 幻) 为具有参数p ( o 0 。 兄2 鸬+ p i t 3 以及破产时刻7 _ i n f ( 0 ，巩0 0 f e “。 = e l e - 州。l 咫胡p ( 蔗幻+ 反矿i 殄妇p ( 胁幻( i ) 由于研矿“。 = e j p 卜r u + t 2 l ( 膨( 一) 一1 ) + 五2 ( 磁( ，) 一1 ) 砒( 尸膳( 一+ 。+ 圭朋 选择调节系数尼使 州聃一圳( 必( ，) _ 1 ) m ( 删( 一十。) + 圭，矿= o 则有反f 。 = f “ 在( 1 ) 式中将，换为尼则有 百“兰研f 。l7 胡尸( 7 幻+ 研f “。i7 妇尸( 7 幻 ( 2 ) 显然l i r a 研矿。i 聪胡尸( 咫幻= 研矿“。ik 一 ( 关于( 2 ) 式右端第2 项，所以幻 2 叶( 无t i - 旯：i t 2 - p l t ，) v a r u ( t ) = 无( ；+ 盯。2 ) 十五：( ：2 t 盯2 2 ，t 从g ，2 + c r y ) + d t 对于t ，考虑函数 g ( 幻。叶( 五，a i - 五：p ，) t 一历 ，2 2 m ：w r ：2 + 盯甄2 而万习i 3 因为九， 五：鸬+ p p ，则当t 充分大时，口( 力 0 ，因此 既d “。i7 胡= 研e - “。ij r 以0 口( 幻) 尸( 以幻 g ( t ) ) + e x p 一肋( 力 对于上式中的第2 项，显然有l i me x p 一向( 幻 = 0 。对于第一项，应用契贝 r 晓夫不等式， p ( o 巩幻9 ( 幻) = p ( 0 以疗所以t ) 卜 瓦耳i 而而五万丙万习巧矿“) 尸( 阳j e f u 侧 佤砑2 + i 2 f 函i 2 + 西2 面虿2 + i 2 厢2 矿7 3 ) v a r u ( t ) 1 一“i t ，九r i + 盯；j + 五：r ：+ 盯i j + p r g ；+ 盯，2 j + c 2 i t 4 卢。 所以l i r a 尸( o 以幻g ( 力) = 0 ，综上所述，对于( 2 ) 式两端关于 f + 目 一。取极限，则矿唣e - “olk 一 v ( 曲 所以v ( 曲= e e - “w i r ， 注：当ko 。时，巩幻 l ，则 v ( 曲 矿“ 这就得出了和经典破产模型一样的破产概率公式和伦德博格不等式。 参考文献 1 成世学破产论研究综述 j ，数学进展2 0 0 23 1 ( 5 ) 4 0 3 4 2 2 2 g e r b e r h u 著成世学严颖译数学风险论导引 m ，北京，世界图书出 版发行公司，1 9 9 7 3 g r a n d e l l ja s p e c t so f r i s k t h e o r y m n e wy o r ks p r i n g v e r l a g 1 9 9 9 【4 d u f r e s n e f ，g e r b e r h u t h r e em e t h o d st oc a l c u l a t et h ep r o b a b i l i t yo fr u i n ， a s t i n b u l l e t i n ，1 9 8 9 ，1 9 ：7 1 - 9 0 5 g e r b e r i i ，u ，s h i ue s wt h ej o i n td i s t r i b u t i o no ft h et i m eo fr u i n ， t h es u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i na n dd e f i c i ta tr u i n i n s u r a n c e ： m a t b e m a t i c sa n de c o n o m i c s1 9 9 7 ，2 1 ：2 9 1 3 7 6 龚日朝李风军双p o i s s o n 风险模型下的破产概率 j 湘潭师范学院学 报2 0 0 13 ( 1 ) 5 5 5 7 7 卞保武司建东一类带干扰风险过程的破产概率的估计 j 南京工业职 业技术学院学报 2 0 0 29 ( 3 ) 3 7 - - 4 0 8 g o n gr i z h a o t h es u r v i v a lp r o b a b i l i t yi ng e n e r a l i z e dp o i s s o nr i s k m o d e l j c h i n q u r t j m a t h v o l l 8 ( 2 ) 2 0 0 31 3 4 1 3 9 9 蒋志明王汉兴一类多险种风险过程的破产概率 j 应用数学与计算数 学学报v o l l 4 ( 1 ) 2 0 0 0 1 0 戚懿王静龙汪荣明调整保险费率模型下的破产概率 j 应用数学与 计算数学学报v o l1 3 ( 2 ) 1 9 9 95 5 - 7 2 1 1 m a l i n o v s k i iv k c o r r e c t e dn o r m a la p p r o x i m a t i o nf o rt h ep r o b a b i l i t y o fr u i nw i t h i nf i n i t et i m e j s c a n d i n a v i a na c t u a r i a lj o u r n a l1 9 9 4 6 l 一1 7 4 1 2 p i c a r dp l e f e v r ec t h ep r o b a b i l i t yo fr u i ni nf i n i t et i m ew i t h d i s c r e t ec l a i ms i z ed i s t r i b u t i o ns c a n d i n a v i a na c t u a r i a lj o u r n a l 1 9 9 7 ，5 8 6 9 1 3 g e r b e r h u a ne x t e n s i o no ft h er e n e w a l e q u a t i o n a n di t s a p p l i c a t i o n i nt h ec o l l e c t i v e t h e o r y o fr i s k j s c a n d i n a v i a n a c t u a r i a lj o u r n a l1 9 9 7 ，2 0 5 2 1 0 1 4 蒋涛缪柏其复合混合p o i s s o n 模型中的破产概率 j 中国科技大学学 报v 0 1 3 1 2 0 0 2 ( 4 ) 4 0 0 4 0 6 1 5 尹居良广义保险模型破产概率的研究 j 应用数学2 0 0 31 6 ( 1 ) 9 8 1 0 2 1 6 孙立娟顾岚保险公司破产概率的估计及随机模拟 j 系统过程理论与 实践2 0 0 0 76 3 6 8 1 7 d u f r e s n e f 。6 e r b e r h ur i s kt h e o r yf o rc o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s e s t h a ti s p e r t u r b e db yd i f f u s i o n j i n s u r a n c e m a t h e m a t i c sa n d e c o n o m i c s1 9 9 11 0 ：5 1 5 9 n 8 j 汪荣踢带干扰风险模型下的破产概率双边界的估计y 3 华东师范大学 学报自然科学版2 0 0 33 2 4 3 0 1 9 f u r r e rm j ， s c b m i d l ih e x p o n e n t i a li n e q u a l i t i e s f o rr u i n p r o b a b i l i t yo fr i s kp r o c e s sp e r t u r b e db yd i f f u s i o n j i n s u r a n c e ： m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s1 9 9 3 ，1 3 ：5 7 - 6 2 2 0 v e r a v e r b e k en a s y m p t o t i ce s t i m a t e sf o rt h ep r o b a b i l i t yo rr u i ni n p o i s s o am o d e lw i t h d i f f u s i o n j i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n d e c o n o m i c s1 9 9 3 ，1 3 ：5 7 6 2 2 1 t o m a s zr o l s k is t o c h a s t i cp r o c e s sf o ri