中考数学复习4图形与图形的变换.docx

四图形与图形的变换【课标要求】1图形的初步认识掌握画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断立体模型了解几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系掌握比较角的大小，估计一个角的大小，计算角度的和与差，进行度、分、秒简单换算了解角平分线及其性质，了解补角、余角、对顶角；理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等了解两点之间，线段最短；了解经过两点有一条直线，并且只有一条直线了解垂线、垂线段等概念，垂线段最短的性质，点到直线距离的意义；了解过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线掌握用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；了解线段垂直平分线及其性质理解平行线的特征和平行线的识别；了解过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线；掌握用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线理解平行线之间距离的意义；掌握度量两条平行线之间的距离的方法2轴对称认识轴对称理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质掌握能按要求作简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形掌握简单图形之间的轴对称关系，并指出对称轴掌握基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性质及相关性质掌握利用轴对称进行图案的设计3平移和旋转认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质；掌握按要求作简单平面图形平移后的图形；掌握选用平移进行图案设计认识旋转(含中心对称)；理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质了解平行四边形、圆是中心对称图形掌握按要求作简单平面图形旋转后的图形掌握图形之间的轴对称、平移、旋转及其组合四种关系形式掌握运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，培养学生的数学说理的习惯与能力【课时分布】图形与图形的变换在第一轮复习时大约需要3个课时，下表为内容及课时安排(仅供参考)课时数内容1基本图形的认识1轴对称与轴对称图形1平移与旋转1图形与图形的变换单元测试与评析【知识回顾】1知识脉络图形的初步认识立体图形平面图形视图平面展开图点和线角相交线平行线图形之间的变换关系轴对称平移旋转旋转对称中心对称2基础知识(1)两点之间线段最短；连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短(2)视图有正视图、俯视图、侧视图(左视图、右视图)(3)平行线间的距离处处相等(4)平移是由移动的方向和距离决定的(5)平移的特征：对应线段平行(或共线)且相等；连结对应的线段平行(或共线)且相等；对应角分别相等；平移后的图形与原图形全等(6)图形的旋转由旋转中心、旋转角度和旋转方向决定(7)旋转的特征：对应点与旋转中心的距离相等；对应线段相等，对应角相等；每一点都绕旋转中心旋转了相同的角度；旋转后的图形与原图形全等3、能力要求图6-1例1 选择、填空题(1)如图6-1，小军将一个直角三角板绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开得到的大致图形是（ ） B C D【分析】图形的旋转与展开【解】D图6-2ABCDO(2)如图6-2，已知ABCD的对角线BD=4cm，将ABCD绕其对称中心O旋转180，则点D所转过的路径长为（ ）A4 cmB3 cmC2 cmD cm【分析】图形的旋转与圆弧问题结合【解】C(3)有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转，第1次旋转后得到图，第2次旋转后得到图，则第10次旋转后得到的图形与图图中相同的是（ ）图 图 图 图A图 B图 C图 D图【分析】图形的旋转与操作ABCD图6-3C【解】B(4)如图6-3，在RtABC中，C90，AC8，BC6，按图中所示方法将BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C处，则折痕BD的长为_【分析】图形的折叠与勾股定理应用【解】图6-4(5)如图6-4，在的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，A的半径为2个单位长度，B的半径为1个单位长度，要使运动的B与静止的A内切，应将B由图示位置向左平移 个单位长度【分析】图形平移、圆的位置关系与发散思维结合【解】4或6图6-5(6)如图6-5所示，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点分别是边、上，将沿着折叠压平，与重合，若，则 （ ）A. B. C. D. 【分析】图形折叠、三角形内角和与平角的结合【解】A(7)如图6-6-1和6-6-2，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿FH方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）图6-6-1图6-6-2【分析】图形的平移、动点问题及函数图像【解】B【说明】由于概念、性质比较多，复习时可以通过基本练习题的训练，使学生熟练掌握图形与图形变换的基本知识、基本方法和基本技能重视平移、旋转、折叠、展开过程中学生思维的训练，重视平移、旋转、折叠、展开的操作过程，提高学生的分解、组合图形的能力和动手能力。例2 图中的小方格都是边长为1的正方形，ABC的顶点和O点都在正方形的顶点上(1)以点O为位似中心，在方格图中将ABC放大为原来的2倍，得到ABC；(2）ABC绕点B顺时针旋转，画出旋转后得到的ABC，并求边AB在旋转过程中扫过的图形面积ABCOABCOCCABA图6-7【分析】根据位似，旋转变化图形的特征在网格线内作图，重点考察学生的动手操作能力，熟悉网格中图形变换规律【解】(1)见图中ABC(2)见图中ABCS= ( 22+42)=20=5(平方单位)【说明】这是一个旋转变化与网格结合的题目，重点考察学生的动手操作能力，考察学生数形结合的能力这类题在复习中应引起重视A例3 如图6-8-1，将一组对边平行的纸条沿EF折叠，点A、B分别落在A、B处，线段FB与AD交于点MA图6-8-2BCEFDABABCEFDBDCMMN图6-8-1(1)试判断MEF的形状，并证明你的结论；(2)如图6-8-2，将纸条的另一部分CFMD沿MN折叠，点C、D分别落在C、D处，且使MD 经过点F，试判断四边形MNFE的形状，并证明你的结论；(3)当BFE_度时，四边形MNFE是菱形【分析】图形翻折与三角形、特殊四边形【解】(1)MEF是等腰三角形证明：ADBCMFE=EFBMEF=EFBMEF=MFEME=MF即MEF是等腰三角形(2)四边形MNFE为平行四边形ME=MF，同理NF=MFME=NF又ME=NF四边形MNFE为平行四边形(3)60【说明】加强图形与图形变换知识与学科知识之间的联系，提高学生综合运用数学知识的能力，培养学生良好的思维习惯，这是数学常见的解题方法例4 已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.(1)将PAB绕点B顺时针旋转90到PCB的位置（如图6-9-1）.设AB的长为a，PB的长为b（ba），求PAB旋转到PCB的过程中边PA所扫过区域（图6-9-1中阴影部分）的面积；若PA=2，PB=4，APB=135，求PC的长.(2)如图6-7-2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.图6-9-1图6-9-2 【分析】旋转、正方形、勾股定理与逆定理、面积的割补，图形变换在几何问题中的作用【解】(1) S阴影= 连结PP，证PBP为等腰直角三角形，从而PC=6；(2)将PAB绕点B顺时针旋转90到PCB的位置，由勾股逆定理证PCP=90，再证BPCAPB=180，即点P在对角线AC上【说明】加强图形与图形变换知识与学科知识之间的联系，旋转、面积的割补，图形变换在几何问题中的作用在本题中充分体现，这样的方法在几何中经常出现，也有一定难度。适当练习可以提高学生综合运用数学知识的能力，可以培养学生良好的思维习惯，这是数学中常见的解题方法例5 如图6-10-1，在ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM直线a于点M，CN直线a于点N，连接PM、PN；(1)延长MP交CN于点E(如图6-10-2).求证：BPMCPE；求证：PM = PN；(2)若直线a绕点A旋转到图6-10-3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由图6-10-1aABCPMNABCMNaPABCPNM图6-10-3图6-10-2a【分析】图形变换，全等三角形、直角三角形的结合【解】(1)证明:如图2，BM直线a于点M，CN直线a于点N， BMN=CNM=90，BM/CN，MBP=ECP， 又P为BC边中点，BP=CP，又BPM=CPE，BPMCPE，BPMCPE，PM=PE，PM=ME，在RtMNE中，PN=ME， PM=PN； (2) 成立，如图3，证明：延长MP与NC的延长线相交于点E，BM直线a于点M，CN直线a于点N， BMN=CNM=90，BMN+CNM=180，BM/CN，MBP=ECP， 又P为BC中点，BP=CP，又BPM=CPE，BPMCPE，PM=PE， PM=ME，则在RtMNE中，PN=ME，PM=PN. (3) 四边形MBCN是矩形，PM=PN成立.【说明】在旋转过程中的变与不变，变化的仅是图形的位置，有很多不变的因素，万变不离其宗我们只要选取其中的一种情形来证明就可以另外要加强变式与引申训练，让学生举一反三、触类旁通这类几何综合题经常出现，图形改变，方法不变，前面小题往往起提示作用，复习时应加以训练。图6-11例6 已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为（），点B的坐标为（6，0）.(1)若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形O，请直接写出A、B的对称点的坐标；(2)若将三角形沿x轴向右平移a个单位， 此时点A 恰好落在反比例函数的 图像上，求a的值；(3)若三角形绕点O按逆时针方向旋转度（）. 当=时点B恰好落在反比例函数 的图像上，求k的值问点A、B能否同时落在中的反比例函数的图像上，若能，求出图6-12的值；若不能，请说明理由.【分析】轴对称、旋转变化图形与坐标、函数的有机结合。【解】(1) (2) (3)相应B点的坐标是 能，当时，相应,点的坐标分别是，经经验：它们都在的图像上【说明】重点考察学生的动手操作能力和坐标的知识变化过程中的相等的量以及等量关系，通过函数、解直角三角形来解决问题，考察学生数形结合的能力将图形变换与坐标系相结合是中考中经常出现的题型，我们在复习中要适当进行强化。例7 类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位用实数加法表示为 3（）=1若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对a，b叫做这一平移的“平移量”；“平移量”a，b与“平移量”c，d的加法运算法则为解决问题：(1)计算：3，11，2；1，23，1(2)动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”3，1平移到A，再按照“平移量”1，2平移到B；若先把动点P按照“平移量”1，2平移到C，再按照“平移量”3，1平移，最后的位置还是点B吗? 在图6-13-1中画出四边形OABC.证明四边形OABC是平行四边形.(3)如图6-13-2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P(2，3），再从码头P航行到码头Q(5，5），最后回到出发点O请用“平移量”加法算式表示它的航行过程yO图6-13-2Q（5, 5）P（2, 3）yO图6-13-111xxyO11xABC图6-14【分析】新定义型、平面直角坐标系、平行四边形的判定【解】(1)3，11，2=4，3； 1，23，1=4，3 (2）画图，最后的位置仍是B证明：由知，A（3，1），B(4，3)，C（1，2）OC=AB=，OA=BC=，四边形OABC是平行四边形(3)2，33，2-5，-5=0, 0【说明】提高学生阅读能力，培养学生用所学知识和技能去分析、解决新问题的能力，注重数学思想方法渗透，提升学生解题能力，在最后复习阶段要适当练习。yxBOACD图6-15-1例8 已知一个直角三角形OBC，其中AOB90，OA2，OB4将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D(1)若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；(2)若折叠后点B落在边OA上的点为B，设OB x，OCy，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；(3)若折叠后点B落在边OA上的点为B，且使BDOB，求此时点C的坐标【分析】利用翻折后全等三角形的对应边相等把所求的线段和已知的线段归到同一个直角三角形中，用勾股定理解答【解】(1)如图6-15-1，折叠后点B与点A重合，则ACDBCD设点C的坐标为(0，m) (m0)xyBOADCB/图6-15-2则BCOBOC4m于是ACBC4m在RtAOC中，由勾股定理，得AC2OC2OA2，即(4m)2m222，解得m点C的坐标为( 0， )(2)如图6-15-2，折叠后点B落在OA边上的点为B，则BCDBCD由题设OBx，OCy，则BCBC OBOC 4y在RtBOC中，由勾股定理，得BC2OC2OB 2(4y)2y2x2，即yx22由点B在边OA上，有0x2，解析式yx22(0x2)为所求当0x2时，y随x的增大而减小，图6-15-3xyBOACDB”y的取值范围为y2(3)如图6-15-3，折叠后点B落在OA边上的点为B，且BDOB则OCBCBD又CBDCBD,OCBCBD，有CBBARtCOB RtBOA有 ，得OC2OB在RtBOC中，设OBx0 (x0)，则OC2 x0由(2)的结论，得22，解得x00,点的坐标为(0，816)【说明】(1)利用图形的翻折前后的全等关系，以及相似三角形、直角三角形的相关于知识，把几何问题转化为代数问题，要求学生会用变换的观点了看待问题，并能找出变化过程中的相等的量以及等量关系，通过函数、方程知识来解决问题(2)将图形变换与坐标系相结合是中考中经常出现的题型，在复习中要进行强化例9 刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图、.图中，图中，图是刘卫同学所做的一个实验：他将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动.在移动过程中，两点始终在边上（移动开始时点与点重合）.（1）在沿方向移动的过程中，刘卫同学发现：两点间的距离逐渐_.（填“不变”、“变大”或“变小”）（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题：当移动至什么位置，即长为多少时，的连线与平行？问题：当移动至什么位置，即长为多少时，以线段的长度为三边长的三角形是直角三角形？问题：在的移动过程中，是否存在某个位置，使得如果存在，求出的长度；如果不存在，请说明理由.请你分别完成上述三个问题的解答过程.图图图【分析】图形的变换、，相似三角形、直角三角形，方程、分类讨论思想、转化思想等等。是一题难得的好题，综合性很强。【解】（1）变小.（2）问题：解：图6-16连结 设在中，即时，问题：解：设 在中，（）当为斜边时，由得，（）当为斜边时，由得，（不符合题意，舍去）.（）当为斜边时，由得，方程无解.另