（理论物理专业论文）基于超对称量子力学的能级及波函数的研究.pdf

摘要 波函数的精确解在量子力学中具有非常重要的作用，因为它几乎包含了所有需要的量 子信息，如：氢原子和谐振子薛定谔方程的精确解在量子力学的诞生初期起到了重要的基 石作用，对于量子理论正确性的证明提供了强有力的证据。因此，对于精确解的寻求一直 是一项非常有意义的工作。然而，能够解析或精确求解的只是极少数的简单量子系统，如 谐振子和氢原子。因此，对于精确解韵寻求也是一项非常有挑战性的工作。本文正是在这 一背景下，试图采用超对称及其它方法来求解几个典型模型的波函数及能级。首先，本文 对超对称量子力学进行了简单的介绍，说明了超对称方法在量子力学波函数及能级求解中 的应用。然后，我们采用超对称方法研究了二维各向同性变频率谐振子的超对称性及其不 变量的超对称量子力学精确解，并且对不变量的超对称性进行了讨论。最后，我们还采用 合适的指数近似对两个典型的指数分子e c k a r t 和m a n n i n g r o s e n 模型进行了研究，求解了 它们的散射态解析近似解，为我们进一步结合超对称方法及指数近似方法给出任意l 波情 况下这两个模型的超对称量子力学解析解做好铺垫。 关键词：超对称量子力学，波函数，能级，变频率谐振子，e e k a r t 和m a n n i n g r o s e n 模型，散射态近似解析解 a b s t r a c t i t i sw e l lk n o w nt h a te x a c ts o l u t i o n sp l a ya l li m p o r t a n tr o l ei nq u a n t u mm e c h a n i c ss i n c et l l e y c o n t a i na l lt h en e c e s s a r yi n f o r m a t i o nr e g a r d i n gt h eq u a n t u ms y s t e mu n d e rc o n s i d e r a t i o n f o r e x a m p l e ，t h ee x a c ts o l u t i o n so ft h es c h r o d i n g e re q u a t i o nf o rah y d r o g e na t o ma n df o ra h a r m o n i co s c i l l a t o ri nt h r e ed i m e n s i o n sa r ea ni m p o r t a n tm i l e s t o n ea tt h eb e g i n n i n gs t a g eo f q u a n t u mm e c h a n i c s ，w h i c hp r o v i d e das t r o n ge v i d e n c ef o rs u p p o r t i n gt h ec o r r e c t n e s so ft h e q u a n t u mt h e o r y s of i n d i n ge x a c to ra n a l y t i c a ls o l u t i o n si sa l li m p o r t a n ta n ds i g n i f i c a n tw o r ka l l t h et i m e h o w e v e r , o n l yaf e ws i m p l eq u a n t u ms y s t e m sc a nb ea n a l y t i c a l l ys o l v e ds u c ha st h e h a r m o n i co s c i l l a t o ra n dt h eh y d r o g e na t o m t h u sf i n d i n ge x a c to ra n a l y t i c a ls o l u t i o n si sa l s oa v e r yc h a l l e n g i n gw o r k b a s e do nt h i sb a c k g r o u n d ，t h i sw o r ki sa t t e m p t e dt os o l v et h ew a v e f u n c t i o n sa n de n e r g yf o rs e v e r a lt y p i c a lm o d e l sb ys u p e r s y m m e t r i cm e t h o da n dt h eo t h e r s f i r s t , w eb r i e f l yi n t r o d u c et h es u p e r s y m m e t r i cq u a n t u mm e c h a n i c sa n d g i v es o m ea p p l i e de x p l a n a t i o n i ns o l v i n gw a v ef u n c t i o n sa n de n e r g yb ys u p e r s y m m e t r i cm e t h o d s e c o n d , w ei n v e s t i g a t et h e s u p e r s y m m e t r yo f t w od i m e n s i o n a li s o t r o p i ch a r m o n i co s c i l l a t o r 谢t ht i m ed e p e n d e n tf r e q u e n c y a n dp r e s e n ts u p e r s y m m e t r i cq u a n t u mm e c h a n i c se x a c ts o l u t i o n so ft h ei n v a r i a n tf o rt h i sm o d e l ， m e a n w h i l e , d i s c u s st h es u p e r s y m m e t r yo ft h ei n v a r i a n t f o rt h i sm o d e l f i n a l l y , w ea l s o i n v e s t i g a t et w ot y p i c a le x p o n e n t i a lm o d e l s ( n a m e l y , e c k a r ta n dm a n n i n g r o s e nm o d e l s ) b ya p r o p e re x p o n e n t i a la p p r o x i m a t i o na n dp r e s e n tt h e i ra p p r o x i m a t e l ya n a l y t i cs c a t t e r i n gs o l u t i o n s ， w h i c hw o u l d p r o v i d eab a s i sf o rf u r t h e rs o l v i n gt h e s et w ot y p i c a lm o d e l si nt h ec a s eo fa r b i t r a r y l - w a v eb ys u p e r s y m m e t r i cm e t h o da n dt h a te x p o n e n t i a la p p r o x i m a t i o nm e t h o d k e y w o r d s ：s u p e r s y m m e t r i cq u a n t u mm e c h a n i c s ，w a v ef u n c t i o n ，e n e r g y , h a r m o n i c o s c i l l a t o r 诵t i lt i m ed e p e n d e n tf r e q u e n c y , e c k a r ta n dm a n n i n g - r o s e nm o d e l s ，a p p r o x i m a t e l y a n a l y t i cs c a t t e r i n gs o l u t i o n s 2 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究在做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：二雌 日期：业 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅；本人授权贵州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：兰查鹭i - 导师签名：筮釜箝一日期：垫业蛐 第一章前言 量子力学是研究微观物质世界运动规律的理论，是现代物理学的理论基础和支柱。 1 9 0 0 年普朗克( p l a n c k ) 提出了能量子假设，开创了量子论的新纪元。1 9 2 5 年海森堡 ( h e i s e n b e r g ) 提出了矩阵力学，随后1 9 2 6 年薛定谔( s c h r 6 d i n g e r ) 提出了波动力学，从 而宣告量子力学诞生。此后，人们开始冲破经典物理学框架，对微观世界的奥秘进行了探 索。现在，量子力学理论已深入到物理学各个领域，并且在化学和生物学的某些领域中也 得到及其广泛的应用。波函数之所以重要并不在于波函数本身，而在于波的强度才有明确 的物理意义，它给出了粒子时刻t 在空间各点出现的几率分布。这就是波恩于1 9 2 6 年对 波函数所作出的统计解释。波函数的精确解在量子力学中具有非常重要的作用，因为它几 乎包含了所有需要的量子信息，如：氢原子和谐振子薛定谔方程的精确解在量子力学的诞 生初期起到了重要的基石作用，对于量子理论正确性的证明提供了强有力的证据( l 1 s c h i f f 等，1 9 9 5 ；l d l a n d a u 等，1 9 7 7 ；s h d o n g ，2 0 0 7 ) 。因此，对于精确解的寻求一直是一 项非常有意义的工作。然而，能够解析或精确求解的只是极少数的简单量子系统，如谐振 子和氢原子。值得高兴的是人们已经发展了许多有效的方法( 如变量分离( 张解放等，2 0 0 4 ) 、 因式分解( 张民仓等，2 0 0 6 ) 、超对称( 陈刚，2 0 0 4 ) 、s w k b ( c h e r t g 等，2 0 0 4 ) 等方法) 来精确求解一些物理模型，如：h a r t m a n n 势( c h e ncy 等，2 0 0 6 ；c h e ng ，2 0 0 4 ) 、反谐振子 势( d o n gsh 等，2 0 0 5 ；w e igf 等，2 0 0 7 ) 、非球谐振子势( c h e l ag 等，2 0 0 4 ；李宁等，2 0 0 5 ) 、 环状非球谐振子势( z h a n gx a 等，2 0 0 5 ；g u o jy 等，2 0 0 6 ；张民仓等，2 0 0 7 ) 、c o u l o m b 势加 新环形势( c h e ncy 等，2 0 0 5 ；陈昌远等，2 0 0 6 ) ，v 0t a n h 2 ( r d ) 势( q i a n gwc 等，2 0 0 5 ) 等。 超对称便是其中一个非常有效的方法。 长期以来，物理学家都在寻求包括强相互作用，电弱相互作用及引力相互作用在内的 自然界所有基本相互作用的统二描述。数十年来，科学家们进行了大量的尝试。现在越来 越多的迹象表明，超对称( s u s y ) 在任何一个统一理论中都是必要成分。该理论的一个重要 性质是它能把费米子的自由度与玻色子的自由度联系起来。超对称于1 9 7 1 年被l i k h t m a n ( y a g e l f a n d 等，1 9 7 1 ) ，r a m o n d ( e r a m o n d ，1 9 7 1 ) 及n e v e u 与s e h w a r t z ( a n e v e u ，1 9 7 1 ) 等发现。超对称中所包含的代数是一个g a r d d el i e 代数，该代数在一组对易和反对易关系 下封闭。最初，超对称是在弦模型中为解决费米子与玻色子的统一问题而提出的。后来， w e s s 与z m u i n o 用它来构造在超对称变换下不变的3 + l 维场论。在该场论中有许多有趣的 性质，如弱的紫外发散，成对出现的费米子与玻色子自由度等。对粒子物理学家来说，超 3 对称提供了一个统一s 矩阵的时空及内部对称性的可能方法，该方法可以避免c o l e m a n 与m a n d u l a 的基于对称性的李代数的实现这个假定而证明的n o - g o 定理。考虑了超对称后 的引力理论被称为超引力。在超引力理论中，e i n s e t n i 的广义相对论是局域规范超对称性 的必然结果。因此局域的超对称理论提供了一个统一引力与自然界其它相互作用的框架。 尽管这些理论都很优美，然而目前还没有超对称在现实世界中存在的实验证据。没有破缺 的超对称理论的一个重要预言是存在与夸克、轻子和规范玻色子质量相同的超对称伴粒 子。但是，我们并没有在实验上观察到此类粒子，这表明超对称是自发破缺的。人们希望 超对称破缺的标度是电弱相互作用标度的数量级( 1 0 0 g e v ) ，这样就可以解释质量差异的 h i e r a r c h y 问题但这会导致一个原则性的困难，因为对称性自发破缺的自然标度应是引力 或p l a n k 标度，为1 0 1 9 g e v 量级。为解决这个h i e r a r c h y 问题，人们提出了包括s u s y 非微 扰理论在内的许多方案。正是在此背景下，w i t t e n ( e w i t t e n ，1 9 8 1 ) ，c o o p e r 及f r e e d m a n ( e c o o p e r 等，1 9 8 3 ) 首先研究了作为最简单例子的超对称量子力学( s u y s q m ) 。在这些早 期的研究中，量子力学中的超对称性是当作场论中的超对称性破缺非微扰方法的检验基础 而研究的。当超对称性量子力学的不同方面的研究展开时，人们发现该领域本身也是很有 意思的，而不能仅仅当成场论模型的一个检验模型。超对称量子力学使人们对工i n f e l d 和 h u l l ( l i n e f l d 等，1 9 5 1 ) 的对可解析求解势场问题进行分类的因子化方法有了更深刻的理 解。逐渐地，基于超对称来理解可解势场模型的一整套技术发展起来了，现已发展成一套 自成体系的的理论。 十多年来，在物理学的其它分支上，基于超对称的思想产生了许多新的方法 ( v a k o s t e l e e k y 等，1 9 8 5 ) ，例如，已有证据表明存在联系偶一偶核与偶一奇核的动力学超 对称性，l a n g e v i n 方程和随机量子化方法有一个体现超对称性质的路径积分形式，超对称 在原子物理，凝聚态物理及统计物理中都有广泛的应用( v a k o s t e l e e k y 等，1 9 8 5 ) 。 本文主要是基于w i t t e n 和c o o p e r 所提出的超对称量子力学的方法来研究如何将超对 称方法应用于量子力学能级和波函数的求解中。第二章对超对称方法进行了全面的介绍， 并对与超对称方法密切相关的形状不变势进行了全面介绍，讨论超对称破缺的问题，给出 了超对称量子力学的求解范围。在第三章中，我们将超对称方法应用于二维各向同性变频 率谐振子中，首先给出了二维各向同性变频率谐振子的不变量，采用超对称量子力学方法 精确求解了不变量的本征值和本征函数，讨论了不变量的超对称性。第四章是与下一步工 作密切相关的近期工作，因此我们在这里给予简要介绍。本文在第四章中，首先简要介绍 了近期的工作情况、取得的结果和遗留的不足，畅想了解决这一问题的可能方法超 4 对称方法( 前人已经采用该方法探讨了e c k a r t 模型的s 波束缚态精确解，我们需要将这一 方法推广至任意l 波，给出任意l 波情况下s e h r 6 d i n g e r 方程的解析束缚态和散射态解， 我们所取得的成果可以作为检验这一方法推广正确与否的标准) 。最后，在第五章，我们 对所取得成果进行了总结，对存在的问题进行分析，畅想了解决这一问题的方法和下一步 我们研究的方向和目标。 5 第二章超对称量子力学 在这一章中，我们主要介绍超对称量子力学的基础知识。我们首先介绍超对称哈密顿 伴的概念。这是w i t t e n 于1 9 8 1 年首先提出的，互为超对称伴的两个哈密顿量具有相同的 能谱( 除基态) ，且本征函数可以通过相应的升降算符相联系。基于这个概念，s u k u m a r c v 提出了构造哈密顿序列的思想，这是超对称量子力学的又一大进步。在序列中的任意两 个相邻的哈密顿，互为超对称伴。那么已知序列底哈密顿束缚态能谱，序列中其它哈密顿 的束缚态能谱即可轻易得到。如果已知序列中各哈密顿的基态本征值和本征函数，那么其 它哈密顿的能谱和本征函数也可通过相应的关系得到。1 9 8 3 年g e n d s e h i n e 提出了形状不 变势的概念，这也是超对称量子力学的一大突破。这个概念与哈密顿序列思想相结合，只 要应用简单的代数方法，就可以得到形状不变势的能谱和波函数，然后我们又对形状不变 势进行了分类，从而更全面的认识这些势场。最后我们讨论超对称破缺的问题，并给出了 超对称量子力学的求解范围。 2 1 超对称伴哈密顿 本节主要介缁趋对称哈瑟顿佯( e w i t t e n ，1 9 8 l ；崔红宇等，2 0 0 6 ) ，及它们的能量本征值 和本征函数所满足的关系。我们将会看到，互为超对称伴的两个哈密顿量皿具有相同的 束缚态能谱( 除盟的基态) ，相应的本征函数可以通过相应的升降算符相联系。并且给出 了超势的概念，为下一章进一步具体求解二维各向同性变频率谐振子问题做好准备。 在s c h r 6 d i n g e r 绘景中，一维势的s c h r 6 d i n g e r 方程可以表示为( 2 m = 壳= 1 ) 盟旷b ) ：一掣+ 圪( 咖( 曲：印( 班 ( 2 1 1 ) 己r 。 对于基态，当本征值为0 时，方程可简化为 一旦王字+ 圪( 功“_ ( 工) = 。， ( 2 1 2 ) 化简上式可以得到 呻) = 糍 ( 2 1 3 ) 联立方程( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 可以将哈密顿以表示为 爿一= a 1 a ， ( 2 1 g ) 其中彳= d 。+ 形( 工) ，a + = 一= d + r e ( x ) ，而k ( x ) ：w 2 ( 曲一w ，( z ) ，( 2 1 5 ) d xd x 这便是r i c c a t i 方程。在超对称量子力学中，( x ) 被称为超势或者超函数。联立方程( 2 1 3 ) 和( 2 1 5 ) ，可以得到 = 窝 ( 2 1 6 ) 由此，我们可以看出，对于任意一个势场眨( 功，我们只要能够得到它所对应的超势 ( 力，我们便可通过求解方程( 2 1 6 ) 容易的得到其基态波函数。这便是超对称方法在 量子力学中应用的核心，当然构造超势形( x ) 也是相应的难点。 同时我们可以通过计算看到，酬一( 力= o ( 这是超对称未发生破缺的条件，后面会 详细介绍) 。相应地，1 t _ “一( x ) = 彳+ 彳姑( 功= o ，基态解为0 ，这与我们前面的假设一致。 现在，我们构造如下算符 皿= a a + = 一嘉堋m ( 2 1 7 ) 其中，k = w 2 ( 砂+ 形( 石) 现在，让我们来讨论两个哈密顿量的本征函数及本征能谱之间的关系。 对于盟的本征态以，有 蛐诈( x ) = 彳+ 彳汗( 功= e 一汁( 功，( 2 1 8 a ) 月r + ( 彳以一( x ) ) = a a + 彳以一( 力= 互( - ( 彳沙f ( 工”( 2 1 8 b ) 同理，对于皿的本征态以，有 皿以+ ( x ) = 州+ 以( 力= e + 以+ ( 曲， ( 2 1 9 a ) 见( 彳+ 以+ ( x ”= 彳+ a a + 以+ ( 功= 砭+ ( 彳+ 以+ ( x ”( 2 1 9 b ) 由以上方程( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 结合以的基态为0 这一条件可以看出，盟与见具 有相同的能量本征值，并且他们的本征函数可以通过一对共轭算符彳和爿+ 相联系，即 e = e ：；，耳。= o ， ( 2 1 1 0 a ) 以+ ) = ( e ：) 一啦彳以：；，姑；= ( 砰) 邶彳+ 以” ( 2 1 1 0 b ) 需要指出，如果这里的姑：是归一化的，则以+ 也必然是归一化的，相应的，如果以+ 是 归一化的，则以：也是归一化的。 具有以上关系( 2 1 1 0 a ) 和( 2 i 1 0 b ) 的两个哈密顿算符皿互为超对称伴。互为超 对称伴的两个哈密顿算符之间的关系可以用下图形象的表示 由上图，我们可以发现，只要知道了互为超对称伴的：两个哈密顿中一个的能谱和本 征函数，那么另一个的能谱和本征函数便可通过共轭算符彳和a + 轻易得到。 2 2 哈密顿序列 在上一节中，我们看到互为超对称伴的两个哈密顿风具有相同的能谱，并且它们的 波函数可以通过一对共轭算符彳和彳+ 相联系。受此启发，我们也可以用同样的方法构造 一个哈密顿算符作为皿的超对称伴，使他们具有相同的能谱，且波函数通过一对算符相 联系，然后我们可以继续构造这个新哈密顿算符的超对称伴依次做下去。这就是构造 哈密顿序列的思想。构造哈密顿序列日，h ( n ，日( 舶它们任意相邻两个互为超对称 伴，每个哈密顿比前面的少一个束缚态能级，日( o ) 一共有多少个束缚态能级，哈密顿序列 中就有多少个哈密顿。由此我们可以看到，假如我们已知日o 的束缚态能谱和波函数，那 矗 么j 予夕甲兵。巴嗡搿坝阴f i 邑语相圾凼效就很谷易得到jo 同时1 阪卿知遁1 f 兵e 哈卺顿的基态 本征值和本征函数，那么日( o ) 的能谱和波函数也就很容易得到了。下面我们给出具体介绍。 从上一节中我们可以看到，当n 的基态本征值为0 时，我们可以将它表示为共轭算 符a 和a + 的乘积，当日( o 的基态本征值不为0 时，我们可以将它表示为 日( 。) = 名以+ 鹾。) = 一万d 2 + ( x ) ， ( 2 2 1 ) 其中，4 = 否d + ( 功，“= 一夏d + ( ，( x ) = 豁 其超对称伴日( 1 可构造为 日( 1 ) = 鸽筒+ 。) = 一万d 2 + k ( x ) ， ( 2 2 2 ) 其中，巧= 眩( 力+ w o ( x ) + 耳。) _ + 2 聪( x ) = 一2 筹上，砒 同理， e o ) = e ( i ，以1 = ( e ：一砭o ) 一啦。a j o o y t 川( 0 ) ( 2 2 3 ) 依次类推，可以构造日( 1 的超对称伴日( 2 为 h 1 = 4 菇+ e 。24 4 + 鹾n ， ( 2 2 4 ) 其中，4 = 旦d x + ( 力，4 = 一夏d + 彤( 功，彤( x ) = 篆等 日( 2 可表示为 日( 2 ) = 4 彳+ e 1 ) = 一万d 2 + k ( x ) ， ( 2 2 5 ) 其中， 吒= 2 ( 功+ ，( 曲+ 甚。= 一2 等工缈r 缈， ( 2 2 6 ) 能量本征值和本征函数满足 e 2 ) = 鹾n - = e ! ：， ( 2 2 7 a ) 9 以2 = ( e 芝一目o ) 一v 2 ( e 芝一屈o ) v 2 4 4 以o ) ( 2 2 7 b ) 依次类推，我们可以得到哈密顿系列中任意哈密顿h ( m 的本征值和本征函数满足的关系 h 伽) = 4 l l + 鹾帕= 一参+ 匕， ( 2 2 8 ) 其中，厶= 夏d + 既( 功，鬈= 一五d + ( 功，既( x ) = 锾鬻 且 e 刖一- - 一再州( m - d = = 碟乙，( 2 2 9 a ) 以哪= ( e = 一础) - 1 2 ( 豌一球) 一v 24 ，川4 4 蛾 ( 2 2 9 b ) 可以看出，只要知道了胃o 的本征值和本征函数，就可以通过上面的关系得到任意哈 密顿的本征值和本征函数。同样如果知道了序列中各哈密顿的基态本征值和本征函数，通 过公式( 2 2 9 b ) 就可以得到h ( o 的本征函数 ”= ( 砭n 一球) v 2 ( e 一砭o ) - w 4 锋：锋。“”， ( 2 2 1 0 ) 2 3 形状不变势 1 9 8 3 年g e n d s c h i n e 提出了形状不变势的概念，这是超对称历史上的一大飞跃。首先， 我们对形状不变势的概念进行简单的介绍。如果一对超对称伴的势k ( 力的形状相似，它 们的区别仅在于参数不同，我l f 贝j j 说k ( 曲具有形状不变性。即满足以下条件 k ( x ，口o ) = i _ ( x ，q ) + 尺( q ) ， ( 2 3 1 ) 其中，a o ，q 是一系列参数，且q = f ( a o ) ，犬( 口1 ) 是与x 无关的参数，则称圪( 功是形状 不变势。表示成超势的形式即为 形2 ( x ，a o ) + w ( x , a o ) = w 2 ( x ，q ) + 形( x ，口1 ) + r ( 口1 ) ( 2 3 2 ) 下面，我们结合哈密顿序列的思想，给出求解形状不变性的势场。我们将会看到，在超对 称未发生破缺时，其能谱可以通过简单的代数方法得到。首先，我们构造一个哈密顿序列 日= h ( 们，日n ，日( ，。为了讨论简单，我们在这里假设日的基态本征值为o ，因为序列 中两相邻哈密顿互为超对称伴，因此有 1 0 日( 。) = 一d 了2 d x + 圪( x ，口o ) ， z 一、v7 日( 1 ) = 一嘉+ 一( x ，) = 一万d 2 + 圪( 工q ) + 尺( 口1 ) ， ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 驴。虿d 2 + 州+ 喜地) ， ( 2 3 5 ) 其中，a s = 厂5 ( ) = 九厂【厂( 口0 ) 】，厂函数运算s 次，那么日( 川可以表示为 ) - - 嘉州砜) + 喜酏) - _ 万d 2 堋碱) + 喜地) ，( 2 3 6 ) 通过公式( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) 可以看出，由h 哼h 川，只需要把圪( x ，q ) 一e ( x ，q ) ， 其余相同。这说明日e 5 和日( ”1 的对应势具有形状不变性。 通过下面的分析我们可以进一步了解到余项尺( q ) 的物理意义。 k = l 比较公式( 2 3 3 ) 和( 2 3 4 ) ，因为日( o 和日( 1 互为超对称伴，因此除了h ( o 的基态能级 外，日o 和何1 具有相同的能谱，而日1 的最低能级为足( q ) ，因此，日( o 的第一激发态 s j 能级也为r ( q ) 。同理，h 曲的最低能级为r ( ) ，则日。的第s 激发态能级为r ( q ) 。 k f f i l t = i 据此，我们可以得到h o 的第n 激发态能级为 e = 尺( q ) 当然如果日o 的基态能级不为0 时，则其第n 激发态能级为 疗 e = 尺( q ) + 掣 k = l ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 由此，我们可以看出，如果我们讨论的势具有形状不变性，其能谱可以通过简单的代数关 系得到，其余项具有能级的性质。 2 4 超对称量子力学的求解范围和超对称破缺 通常找1 门用趟对称量于力字时万祛只能求解一维势和中心秀( 具本质也是一维势) ， 那么是否可以用此方法来求解非中心势呢? 事实证明是可以的，只要在分离变量后每个坐 标方向上的都是形状不变势，我们就可以用代数方法轻易求解。下面给出简单的分析。 在球坐标中，最普遍的势为 哪脚川，) + 等+ 器， ( 2 4 1 ) 设波函数具有形式甲( 厂，秒，矽) = r - l r ( 厂，( s l i t n ( 们0 ) 石k ( ) ，则其s c h r 甜i n g | e r 方程可以分离变量为 一7 d 2 r ( r ) +咖2 ，z 一! m ) + 乎 太( 厂) = e r ( r ) ， ( 2 4 2 a ) 一可d 2 h ( o ) + + ( 加2 一) c o s e c 2 0 即) 纠即) ， 亿4 舶， 一学+ y ( 砂) k ( 矽) 崭k ( 矽) ， ( 2 4 2 c ) 其中，m 和，为分离变量常数。如果选择r ( r ) ，y ( 9 ) 和y ( 矿) 均为形状不变势，则此方程 便可以用超对称量子力学方法进行求解。 在场论中，决定超对称是否破缺是很困难的。但是在量子力学中，超对称是否破缺的 条件是与方程q i o ) = o l o ) 是否存在归一化函数相联系的，如果方程存在归一化函数，我们 则说未发生超对称破缺，反之，则超对称破缺。 1 2 第三章超对称方法在二维各向同性变频率谐 振子模型中的应用 本小节我们主要将超对称量子力学的方法应用于二维各向同性变频率谐振子模型的 研究中，采用该方法具体求解其不变量的超对称量子力学精确解，同时讨论不变量的超对 称性质。 3 1 不变量的超对称量子力学精确解 二维焚频率谐振子的哈密顿量 日= 三( 见2 + 乃2 ) + 虿1 缈2 ( 吼工2 + y 2 ) ( 3 1 1 ) 为了方便起见，我们假设粒子的质量所= 1 ，其中c o ( t ) 为时间的任意函数。该哈密顿量所 对应的不变量为 j = 壮c 昙+ 扣叫户h 学) 2 他) 其中p = p ( f ) 满足辅助方程( 3 1 2 ) 式，下面通过代数方法求解不变量的本征值五和本征 函数( z ，y ，f ) 。 定义产生算子和消灭算子，分别为 口+ = 珊却睁珈川小( 等) ， a ， a = 铷。枷( 丢+ 珈州小( 等) ) n 协 通过计算可得到 a + a = l - h ，a a + = i + 壳- ( 3 1 4 ) 刚+ = 2 7 l ， 【口，i = 2 h a ， 口+ ，i l = - 2 h a + ( 3 1 5 1 ) 定义算子 一一1 + n 2 a 。a ， 壳 ( 3 1 6 ) 那么不变量可以写成 j = ( + 1 ) 7 i ( 3 1 7 ) 按照量子力学教科书中通常的做法，可以确定不变量，的本征值以为 九= ( 以+ 1 ) 壳， n - n 工+ n y ；以，b ，n - 0 , 1 2 , ( 3 1 8 ) 不变量，的本征函数( x ，y ，t ) 满足关系式 小班垆南( 酊) j k ( q + m 毛y ，) ， 。 其中q 。= 击陋幼昙却) + 倒， 小册却导却) ， 而( x ，y ，f ) 由关系式 a y o ( x ，y ，f ) = 0 ， ( 3 1 1 0 ) 来确定。将( 3 1 3 b ) 式代入( 3 1 1 0 ) 式得到 吣川= c o 唧 去睁爿p 卅 ， ， 其中c o 为归一化常数。利用( 3 1 9 ) 式，经过计算可得到 一力删风( 矧巩( 矧e x p 甑争珈2 卅 其中以( 刳，风( 赤卜米多赋啪，是归一化撒根据卜化条件 m 姗= 1 ， 3 l 1 3 ) 便可确定g 现在，让我们来讨论一种特殊情况，即，若频率不随时间变化，则可取缈( ，) = ，则p = 圳2 1 4 是辅助方程的一个特解，则将其代入( 3 i 2 ) 式，得到这种情况下的不变量 厶= 一圭筹( 昙+ 参) 2 + 三( 工+ y ) 2 c 3 4 ， 取 风= 厶= 一等( 昙+ 昙) 2 + 圭嘞2 ( x + y ) 2 ， c 3 - 5 ， 该式就是通常的二维常频率谐振子的哈密顿量。将p = 。1 挖代入( 2 8 ) 式，则得到该情况 下的本征波函数 垆g q 居h 厣h 一扣川 ( 3 由( 3 i 8 ) 式可以得到哈密顿量n o 的本征值为 e = ( n + 1 ) h o o ， 疗= + ，吃，b ，刀= 0 ，1 ，2 ( 3 1 1 7 ) 这便是众所周知的二维各向同性谐振子的能量本征值。 3 2 不变量的超对称性 哈密顿量 所对应的不变量为 其中 假设不变量 满足条件 日= 圭( 见2 + 乃2 ) + i i 缈2 ( f ) ( x 2 + y 2 ) ， ( 3 2 1 ) ，= 矩却c 耪七叫+ g ， 限2 g ( 等) = ( 警) 2 ( 3 2 3 ) l 滩酬耪七圳声+ g ( 等) ， 2 舢 t 甄( 工，y ，t ) - - 0 ， ( 3 2 5 ) 即不变量的基态本征函数( x ，y ，) 所对应的本征值矗一- - 0 ，则可得出 这样不变量【可表示为 定义算子 则可得到 其中 q ( 等) = 一 【= 三 一，幼( 丢+ 专) 一c j + y ，p 2 一三 彳+ = 弓 一劫( 丢+ 参) 一c x + y ，户 + 击 彳= 击 一却( 丢+ 昙) _ c 石+ y ，p 一了l i h 昙+ 珈卅，户卜 h 昙+ 珈川，户卜 岔a = l 一， 肌l 帮却c 耪七训p 卜( 等) ) ， g i = 旺一2 ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ，( 3 2 8 a ) ( 3 2 8 b ) ( 3 2 9 ) ( 3 2 1 0 ) ( 3 2 1 1 ) 我f ，称g + ( 警) 和g ( 警) 为一对超对称伙伴函数。下面将会看到，不变量，- 和l 具 有相同的本征值谱( 除不变量t 的基态本征值外) 。 为了方便起见，可假设超势 1 6 w ( x ，y ，) = ( 3 2 1 2 ) 则a 和a 口j 用趟势表不出采 彳+ = 二苦 一却( 昙+ 参 一c x + y ，声 + ，( 3 2 1 3 a ) 彳= 铷却睁珈叫声h ( 3 2 1 3 b ) 超对称伙伴函数也可用超势表示出来 q = 卜隆珈州，户卜旷 叫4 ， 并且一形2 是超对称伙伴函数的平均值，即 州等h 剀川 2 朋， 而且，a 和a + 的对易关系与超势的关系是 彳，彳+ = 一幼( 昙+ 昙) 一( x + y ) p c 3 2 - 6 ， 取珐( x ，y ，r ) 为的本征函数，对应的本征值为一，即 t 以_ ( 石，y ，) = 一蚱( x ，y ，f ) ， ( 3 2 1 7 ) 则相应的以+ ( z ，y ，) 为l 的本征函数，对应的本征值为”，即 l 以q ( x ，y ，f ) = 硝 ( x ，y ，) ( 3 2 1 8 ) 通过简单的计算可得到 l ( 彳以_ ) = 州+ ( 彳汁) = 么t 以_ = _ ( 彳汁) ， ( 3 2 1 9 ) 说明彳疗( x ，y ，t ) 也是l 的本征函数，对应的本征值为硝一。同理可得到 l ( 彳+ 以+ ) = 彳+ 彳( 彳+ ) = 彳+ l 以+ ) = 乃+ ( 彳+ “+ ) ， ( 3 2 2 0 ) 说明彳+ 以+ ( t y ，f ) 为l 的本征函数，对应的本征值为疋，从中可以看出l 的本征值和l 的本征信有如- f 关系 1 7 毛卜= 硝：，( n = o ，1 ，2 ，3 ) ( 3 2 2 1 ) t 的本征函数和t 的本征函数之间也如下关系 3 2 结论 础r 彳以：， 姑) _ r ，2 彳+ 滞 ( 3 2 2 2 a ) ( 3 2 2 2 b ) 在讨论哈密顿量随时间变化的量子力学系统时，一种重要的方法是首先找到该系统的 不变量算子，求出不变量算子的本征值和本征函数，将含时哈密顿系统的波函数在不变量 表象中展开。所以讨论非保守的哈密顿系统时，不变量起着非常关键的作用。在上面的讨 论中，我们采用超对称方法讨论了二维变频率谐振子的不变量式，精确求解了它的本征值 和本征函数。并且采用取烈r ) = t o o 的方式得到了二维各向同性常频率谐振子的本征函数和 本征值。鉴于不变量在求解含时问题中的重要作用，我们又采用超对称的方法讨论了不变 量，引入了超势，超对称伙伴函数，超对称伙伴不变量等概念，着重讨论了超对称伙伴不 变量的本征值和本征函数满足的一些性质，即( 3 2 2 1 ) 和( 3 2 2 2 ) 式，这些性质的讨论 为我们下一部讨论含时问题必定有着重要的作用。 1 8 第四章两个典型指数分子模型势的解析解 本节首先介绍了两个典型的指数分子模型及其研究现状，然后对离心项作了一种合理 的指数近似，将人们对于这两个模型的研究从s 波推广至任意l 波，尤其是给出了少为人 们关注的任意l 波散射态近似解析解，并且对该指数近似进行了客观的分析和评价。最后， 我们通过对这两个模型进行了调研，发现这两个模型都具有形状不变性，据此为我们下一 步将指数近似方法和超对称量子力学方法结合起来研究研究任意l 波情况下的束缚态近 似解析解做好了铺垫。这也是我们介绍本节的主要意图。 4 1e c k a r t 和m a n n i n g r o s e n 模型简介 m a n n i n g - r o s e n ( m a n n i n gmf 等，1 9 3 3 ：r o s e nn 等，1 9 3 2 ) 势是由m a n n i n g 和r o s e n 在1 9 3 3 年 提出的一个非常重要的指数型双原子分子短程模型势。m a n n i n g r o s e n 势函数为 附，= 击【篆竿一筹j ， 其中口和彳为无量纲参数，b 为与势程有关的参数。研究发现：当把口变为口一1 时即： 口 1 ) 时，m a n n i n g - r o s e n 势具有最小值v ( r o ) = - a 2 4 b 2 a ( a 一1 ) 】。 e c k a r t ( c e c k a r t ，1 9 3 0 ) 势也是一个在量子化学及量子力学中非常重要的指数型分 子模型势，它是由e c k a r t 首先在1 9 3 0 年提出的。它的表达式为 附即品+ 南双p 0 ， 其中口和表示势井的深度，a 是与势程相关的参数。 对于这两个势，人们进行了大量的研究，采用各种方法给出了其相对论及非相对论情 况下的束缚态能级及波函数。但是由于离心项型掣的存在，s c h r 6 d i n g e r 方程、 k l e i n - g o r d o n 方程和d i m e 方程的求解大都被限制在s 波( ，= 0 ) 解。在这一节中，我们 对离心项作一种合适的指数近似( r l g r e e n e 等，1 9 7 6 ；gf w e i 等，2 0 0 8 ；o a a y r a l ( ，g 等，2 0 0 6 ； b g 6 n 0 1 等，2 0 0 0 ；c yc h e n 等，2 0 0 7 ) ，将s c h r 6 d i n g e r 方程、k l e i n g o r d o n 方程和d i r a e 方 程的求解推广至任意l 波，给出任意l 波情况的方程的近似束缚态近似解析解和散射态近 似解析解( 在过去的研究中，人们的研究大多限制在束缚态而忽视了散射态，然而散射态 解和相移对于量子化学中分子性质的预测具有非常重要的意义) 。然后，我们对该指数近 似与离心项的差别进行了估计，证明了该指数近似在较短势程范围内是一种合适的近似。 最后，我们对两种模型进行了简单的调研，发现这两种模型都具有形状不变性，因此，可 以采用超对称量子力学的方法进行求解( 人们也已经采用超对称量子力学的方法给出了一 维情况下该模型的精确s 波束缚态解) ，也为我们下一步将指数近似方法和超对称量子力 学方法结合起来研究任意l 波情况下的束缚态近似解析解做好了铺垫。这也是我们在简介 该指数近似方法求解这两个典型模型的意图。 4 2 指数近似在求解具有离心项薛定谔方程中的应用 一三v 2 甲( 厂，秒，驴) + y ( ，) 甲( 啪，) = 胖( 啪，矽) ( 4 2 1 ) 对于m a n n i n g r o s e n 势，该方程分离变量后