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( ，g ) 一反演关系的代数结构 摘要 ( ，9 ) 一反演关系的代数结构 中文摘要 本文主要讨论( ，9 ) 反演的代数结构方面的问题 第一章介绍了数学中存在的一些反演关系，我们研究反演关系的目的， 并简单的介绍了本文重点考虑的几类矩阵反演关系，即g o u l d h s u 反演， k r a t t e n t h a l e r 反演，g o u l d - h s u c a r l i t z 反演，b a i l e y 引理，b r e s s o u d 反演 第二章研究了插值反演的定义和性质，推导出一类特殊的插值反演： ( ，g ) 反演；以及( ，) 一反演的算子证明 第三章给出了( 9 ) 反演的通解，马欣荣在文【9 】中建立了迄今为止广 泛的一对反演公式( ，口) 反演，它完全取决子所给的一对函数f ，g 是否满足 函数方程 g ( a ，b ) f ( x ，c ) 一g ( a ，c ) f ( x ，b ) + g ( b ，e ) f ( x ，a ) = 0 这一章就f ，g 为多项式和无穷幂级数时给出了上述方程的一般解 第四章研究了( ，们反演的遗传性质，首先是给出了遗传性的定义和性 质然后又讨论了反对称矩阵与f = g 时( ，g ) 反演通解的联系：秩为2 的 反对称矩阵与( ， 厂) 反演通解是一一对应的 最后一章是关于( ，9 ) 反演的几个应用，即g a s p e r 双基反演，初文昌的 多重反演等 关键词：无穷下三角矩阵， ( ，9 ) 一反演，k r a t t e n t h a l e r 公式，w a r n a a r 反 演 作者：路韵 指导老师：马欣荣( 教授) ( ，9 ) 一反演关系的代敷结构 a b s t ，r a c t t h e a l g e b r a i cs t r u c t u r eo ft h e ( f ，9 ) 一i n v e r s i o n a b s t r a c t t h i st h e s i si sm a i n l yc o n c e r n e dw i t ht h ea l g e b r a i cs t r u c t u r eo ft h e ( f ，9 卜i n v e r s i o n i nc h a p t e ro t l e w em a k eab r i e fi n t r o d u c t i o na b o u tt h ed e f i n i t i o no fi n v e r s i o n r e l a t i o n 、s o m ec l a s s i c a li n v e r s i o nr e l a t i o n s ，a sw e l ta st h ep u r p o s eo fs t u d y i n gi n v e r s i o n r e l a t i o n s a m o n gt h e s ea t et h eg o u l d h s ui n v e r s i o n ，t h ek r a t t e n t h a l e ri n v e r s i o n t h e g o u l d h s u c a r l i t , zi n v e r s i o nf o r m u l a ，t h eb a i l e yl e m m a ，b r e s s o u d si n v e r s i o n i nc h a p t e rt w o w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to ft h ei n t e r p o l a t i o ni n v e r s i o na n du s ei t t os e tu pt h e ( 9 ) i n v e r s i o n w ea l s op r e s e n ta n o t h e rp r o o fo ft h e ( ，) 一i n v e r s i o nb y u s i n gk r a t t e n t h a l e r so p e r a t o rm e t h o d c h a p t e rt h r e ei sd e v o t e dt ot h ep r o b l e mo ff i n d i n gt h ee x p l i c i te x p r e s s i o n so ff a n dgs u c h t h a t g ( a ，b ) f ( x ，c ) 一g ( a ，c ) f ( x ，b ) + g ( b ，e ) f ( x ，o ) = 0 w i t ht h ea s s u m p t i o nt h a t | a n dga r ep o l y n o m i a l so ri n f i n i t es e r i e s a sw ew i l ls e e l a t e r ，s u c hap a i ro ff u n c t i o n sia n dga l w a y sl e a d su st ot h e ( i ，0 ) - i n v e r s i o nd u et o m a ( c f f 9 】) ，w h i c hi so fv a l u et ot h eb a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s i nc h a p t e rf o u r ，w em a k ef u r t h e ri n v e s t i g a t i o no i lt h es o c a l l e di n h e r i t a b l ep r o p e r t y o ft h es e to fs o l u t i o n so ft h ea b o v ee q u a t i o n $ h r t h e r m o r e ，w ef i n dt h e r ee x i s t sa b i j e c t i v er e l a t i o nb e t w e e nt h i ss e ta n dt h es e to fa n t i s y m m e t r i cm a t r i c e si nt h ec s - s e f = g t h i sb i j e c t i o nm a k e st h e ( ，9 ) 一i n v e r s i o nc o n v e n i e n t l yt oa s e a sa p p l i c a t i o n so fm a i nt h e o r e m si nc h a p t e rt h r e e ，t h el a s tc h a p t e rp r o v i d e ss o m e r e p r o o f sa b o u ts o m er e m a r k a b l ei n v e r s i o n si nc o m b i n a t o r i c s ，a m o n gt h e s ea r eg a s p e r l s b i b a s i ci n v e r s i o na n dc h u sb i v a r i a t ef o r mo fg o t f l d - h s ui n v e r s i o n i ti sw o r t hn o t i n g t h a to u rp r o o f s & r es i m p l e ra n ds h o r t e rt h a no n e sp r e v i o u s l yk n o w n k e y w o r d s ：i n f i n i t e ，l o w e r - t r i a n g u l a rm a t r i c e s ，( 厶9 ) 一i n v e r s i o n ，k r a t t e n t h a l e r sf o r m u l a ， w a r n a a r si n v e r s i o n ， i i w r i t t e nb yl uy u n s u p e r v i s e db yp r o f m ax i n r o n g 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独御性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承 担本声明的法律责任。 研究生签名：越! 神! 日期： 学位论文使用授权声明 9 o o 宝年z o 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 导师签名： 塑日期： 彬巧 日 3 口口互争2 口 第一章引言 反演问题源自特殊函数论的一个基本分支一超几何级数和基本超几何 级数基于超几何级数的研究始于1 7 4 8 年，以e u l e r 将无限乘积( 蕲= ： n 墨。( 1 一矿) - 1 看作一个正整数n 的分拆数p ( 九) 的发生函数为标志 在此之后e u l e r 和p f a f f 研究了超几何级数 薹警扩 的许多重要的性质在1 8 1 2 年，g a u s s 进一步对这个超几何级数( 我们称它 为g a u s s 级数或一般超几何级数) 进行了广泛的研究并证明得到下面的含，y 函数的求和公式 。f 1 r。b1：厕7(c-a-b)7(c)- 这里b 0 或者r ( c ) r ( a ) + r ( 6 ) 到了1 8 4 6 年，h e i n e 对一般超几何级数 的q 模拟形式( g _ 超几何级数) 进行了系统的研究，g _ 超几何级数也被称为 基本超几何级数，在这期间j t h o m a e 和j r o g e r s 在这方面也做了很多的工 作。直到1 9 世纪后期，f ，h j a c k o n 开始系统的研究基本超几何级数理论， 研究发展了q 微分，q 一积分理论，得到了很多漂亮的恒等式在1 9 3 0 年到 1 9 5 0 年期间，w n b a i l e y 在超几何级数和基本超几何级数方面也得到了很 多重要的结果，他的最大贡献就是我们称之为的b a i l e y 变换 在五十年代，g n w a t s o n 和l 。j s l a t e r 从c o n t o u r 积分的观点发展了基本超 几何级数理论同一时期双边超几何级数理论也逐步形成大约在六十年代 左右，g e a n d r e w s 开始了他在数论方面的研究，从中可以看出基本超几何级 数的求和公式和变换公式在分拆理论的作用到七十年代中期，g e a n d r e w s 和i ：t a s k e y 在基本超几何级数这一领域取得了丰富的理论成果基本超几 何级数理论的应用并不限于上面所提到的数论和正交函数，它在根系( m a c - d o n a l d 恒等式) ，结合方案，组合学，差分方程，李代数和李群，物理学，统 计学等方面都有广泛的应用 基于基本超几何级数理论的应用价值，人们用各种方法来研究基本超几 何级数使得对它的研究方法逐渐形成了三大类：w z 一方法，变换的方法， 反演的方法 。 本文主要围绕第三种方法展开讨论故对其特作以下详细介绍 简言之，反演方法就是利用两个相互等价的关系来证明和导出超几何级 数和基本超几何级数的关系式与求和式 第一章引言 ( ，9 ) 一反演关系的代数结构 反演关系的研究是以1 9 6 1 年i i w g o u l d 发表了一系列的研究一类特殊 的反演关系的文章开始的，其后h w g o u l d 和h s u ( 徐利治) 发现了反演关系 的一般形式，也就是我们现在所称的g o u l d - h s u 反演，不久g o u l d h s u 反演的 q 一模拟就被c a r l i t z 解决了，也就是后来的g o u l d h s u - c a r l i t z 反演，但是他并 没有给出任何应用后来a n d r e w s 证明几十年前的b a i l e y 引理恰好是g o u l d l t s u c a r l i t z 反演的一种特殊情形，不久，g e s s e l 和s t a n t o n 进一步发展了应用 a n d r e w s 的思想，应用c a r l i t z 反演的另外一种特殊情形得到了一系列的基本 超几何级数恒等式，变换及r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式b r e s s o u d 考虑有限 形式的l 气o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式，他证明所用的变换实际上等价于一种反 演，这些反演与c a r l i t z 反演有些是相同的，但并不能完全包含于后者几 年以后，g o s p e r 和i l a h m a n 得到了一类双基反演，统一了g e s s e i ，s t a n t o n 和 b r e s s o u d 的反演，并且他们利用这个反演得到了大量的非常瀑亮的基本超几 何级数的平方，立方和四次方变换的q 一模拟这些事实突现了反演的重要 性1 9 9 6 年，k r a t t e n t h a l e r 建立了所谓算子方法，并具体给出了k r a t t e n t h a l e r 反演公式，作为对此前提到的那些反演的统一2 0 0 4 年，马欣荣在指导他 的几个硕士生的教学工作中，逐渐形成了本文将要提到的( ，口) 反演，使得 k r a t t e n t h a l e r 反演成为它的一种特殊情形，这也是目前最为广泛的结论， 1 1经典的反演关系 为读者方便起见，我们首先给出本文用到的第一个概念 定义1 1 1 设f = ( 厶，t ) 础。z 侈表示整数集合，是无穷阶下三角矩阵，即 厶= 0 ，当扎 后称g = ( g n ，t ) 础z 为f 的逆矩阵当且仅当 m 矿矗女 是s s n 其中，f , ，k z 称这样的一对矩阵为矩阵反演 如前所述，这样的矩阵关系在组合数学和特殊函数的领域里是非常重要 的比如当我们处理组合求和问题时，就可以利用这样的反演关系来简化 问题或者得到一些新的恒等式 首先让我们回顾一下计数组合学中一些古典结论： 1 经典的l a g r a n g e b u r m m a n 反演公式( 分析学中泰勒展开定理的推广) ： 假设形式幂级数f ( x ) 满足f ( o ) = 0 ，( o ) o , g ( x ) 是任意的形式幂级数，那么 z 】“g ( ，一1 ( z ) ) = 去k 】“一1 ( 9 ( 茁) ( ，( z ) z ) 一“) ， 2 ( l 9 ) 一反演关系的代敷结构第一章 i 言 由此可得 9 ( z ) = ，e 厂( 。) ， n 兰七 f a ( z ) = fb 础g ”( z ) n 七 则f = ( q 汁) 和g = ( b 础) 是互逆矩阵当且仅当，( g ( z ) ) = z 2 数论中的反演经典的m o b i u s 反演： 假设，g ：n 一，那么 g ( 凡) 一m ) v k ：k l n 当且仅当 ，( 礼) = p ( 芸) 9 ( 七) v k ：n n 。 其中，u ( n ) = ( 一1 ) 或1 或0 ，称为m o b i u s 函数 3 组合数学中的反演偏序集上的m o b i u s r o t a 反演 假设f ，9 ：p r ，那么 m ) = 卢，( 刎) 9 ( 。) ， y x ：z y 当且仅当 咖) ：fp 。( z ，可) ，( z ) v x ：x y 其中l ，p 2 ：p $ p r 的m o b i u s 函数对，满足 ( p - * p 。) ( 砌) = m ( 舭) 卢。( 硼) = 以，。 f z s y 1 2研究反演的目的 我们研究反演的目的大致有几个方面； ( 1 ) 建立超越函数中的变换与恒等式，主要方法是利用这个结论； 假设f = 、( ，t ) 和g 一( 乳 ) 是一对反演， a 。) 和 k 是复数序列，那么 o 。= = ，n k 错x = a y ( x = a t 】，) k = o 3 第一章i l 言 ( ，9 ) 一反演关系的代数结构 转置形式称为原来的旋转形式( r o t a t i o n a lf o r m ) 代表性的结论是b a i l e y 变 换 ( 2 ) 生成函数( g e n e r a t i n gf u n c t i o n ) 通过形式运算的方式建立计数对象的量之 间的一一对应关系 ( 3 ) 给出组合解释，建立组合双射 ( 4 ) 研究计数对象的代数结构l a g r a n g e 反演对应h o p f 代数中的a n t i p o d 运 算；m o b i u s 函数实际上是与偏序集相关的拓扑空间的约化的欧拉特征 1 3几个著名的( ，9 ) 一反演实例 我们来研究反演关系中的特殊的一类，本文对反演的讨论就是建立在以 下部分例子的基础之上的 ( 1 ) g o t f l d h s u 反演障 如果，( z ，秽) 矗茁+ k y ，g ( x ，萝) = 髫一掣，即得g o u l d h s u 反演 假设 ，n 篓( 吩+ 地) ，f 百j 矿一 那么 叭斗矿丽a k + k b 接掣 ( 1 s - ) ( 2 ) k r a t t e n t h a l e r 反演 如果( x ，) = 。+ y ，9 ( z ，可) = z 一可，可得k r a t t c n t h a c r 反演 为了从一般意义上对反演做一个统一( 这曾一度是一个研究的热点问题) ，k r a t t e n t h a l e r 在文献【2 l 中提出了算子法，而用这个方法只能得到下面这个被文献【3 1 称 之为g o u l d i l s u c a r l i t z k r a t t e n t h a l e r 公式或者简称k r a t t e n t h a l e r 公式的结论 ，兀型( q + b k ) j n , k 一兀各( b j b k ) 和 =丽ak+bkgn,k麟 ( 1 - 。) 2 而：葡蚕丽 ( 】。2 ) x r | ! rx 一 4 f | y c 塞 肌 。 【_ k 于价等 ( ，9 ) 一反演关系的代数结构 第一幸引言 ( 3 ) g o u l d 1 s u c a r l i t z 反演( 简称g o u l d h s u 反演的g 模拟) 4 假设 那么 其中 1 - ( a j + q k b j ) 船，气而_ ( 口；g ) 。= ( 1 一o ) ( 1 一a q ) ( 1 一a q 2 ) - ，( 1 一a q “一1 ) 这个反演又称为g o u l d h s u 反演q 一模拟 ( 4 ) b r e s s o n d 反演阱 假设 = 坚警黯糍掣 那么 ( 1 3 3 ) 肌，k ：( 1 - b q 万2 k ) ( a 百；q 瓦) + k 了( a b - 7 1 ；q ) 丁_ k ( a b 一- 1 ) k ( 1 3 4 ) 跏，22 矿了丽莎i 西瓦_ “j 从b r e s s o n d 研究有限阶r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式所得到的结果中，我们可 以看出以上两个反演矩阵的重要性 ( 5 ) b a i l e y 引理 6 1 6 设a 是不定元，无穷下三角矩阵f = ( f ( n ，) ) 定义如下 鼻1 ( 弛南) 一丽匠鬲1 而磊 无穷阶下三角矩阵g = ( g ( n ，七) ) 是f 的逆矩阵，则 g ( n ，岛) 一1 ；j ! 瓣( 一) “一a ( “i ) b r e s s o n d 反演 5 和b a i l e y 引理 6 】对q 级数的发展起了重要的作用，可参考 文献【7 ，8 1 5 娑篇 椭 一 第二章插值反演 在第一章中列举的几种矩阵反演中，概括起来都是如下形式的矩阵反 演：设一1 ( ，k ) 。，埏z ，g = ( 9 。，) 础白其中 r b ，k 、 凡 礤i 面硒 2 蔫 这种形式上的相似性促使我们对其进行研究，形成本章内容 2 1插值反演的定义和性质 首先我们给出插值反演的定义 定义2 1 1 f 一( a ，k ) 和g = ( 眠) 是矩阵反演如果 f f ( n ，k ) n 一磺= 币i 可 g n , k ：而牲 ( 2 小2 ) 2 厩面面。 2 j 其中 坟) 蔷是一个复数序列，且i j 时，b l b k 和吼，k 都是关于 k ，饥扎，k 的函数，且任意的堍b a i j ) 时，( n ，k ) 0 ，9 ( k ) 0 规 定在任何空集上定义为l ，则称f g 是关于序列 b d 枷+ t o 的插值反演 我们不禁要问：对于由( 2 1 】) 和( 2 1 2 ) 给出的矩阵，当 ，t 和，t 满足 什么条件时，才能使f g 成为插值反演? 为此，首先引入 引理2 1 1 如) 盘是一个复数序列，定义 v ( n ，斛= ll ( b 一玩) ( 2 13 ) k j “ y ( 仃，南；p ) 一 1 l ( b j 一) ( 2 1 4 ) k j n j p 记 嘶，垆篙铬 6 ( 2 1 5 ) ( ，p ) 一左演关系的代数结构第二幸括值反演 则有 ( i ) k ( n ，) 是不合b p 算子的多项式； m 蚓吼傣曩焉0 ， 证明：( i ) 易见 ，七) n ( b j ，一如，) k 兰， 七 讧e t t 丌( 屯一6 n ) ( b j 一饥) j = ij = k 十1 砉辫= 。 急u ( 礼， 。 在上式两边同乘于u ( n ，忌) ，即得( 2 1 1 0 ) 定理2 。l 。3 。( 9 ( 他，奄) 的递推关系式) 而 9 ( n ，七) i h ：b k + ，= f ( k + 1 ，七) g ( n ，南 1 ) l k ：k 证明：由定理21 2 知 皈( n ，七) 9 ( 鸭i ) f ( i ，) = 0 i = k 巩( 礼，k ) g ( n ，k ) f ( k ，k ) l u , ：b 。+ 魄+ l ( 几，k ) g ( n ，k + 1 ) f ( kf 1 ，七) i k 一6 。= 0 9 ( 2 1 1 0 ) 0 口 l2 第二章插值反演 ( ，9 ) 一反演关系的代数结构 即 ( 吣1 6 k ) ( 6 j 一饥) 9 ( n ，k ) f ( k ，k ) l b 商。 j = k t2 + ( “一6 。) 9 ( 礼，+ 1 ) f ( k + 1 ，k ) l b o ：6 。+ 。= = = = = 0 因为f ( k ，k ) = 】，b n = b k + 1 化简上式即得 9 ( 珏，k ) l b ：k + 。一f ( k + 1 ，k ) g ( n ，+ 1 ) h 。“+ 。 2 2 ( f ，g ) 一反演 口 由讨论班中研究，根据插值反演的定义和性质，我们可以得到一类特殊 的插值反演：( ，g ) 反演下面给出它的详细推导过程 引理2 ，2 1 假设f = ( 厶。k ) 和g = ( 如t ) 是如下的一对矩阵 n 一1 i - 1 ，( 筑，b k ) 厶，。= 喜各一 ng ( b i ，b k ) 蛳= 觥糕 其中9 ( z ，) 是。，y 的反对称多项式， 风 酱， 耐仁+ o ，o 是两个任意的序列，并 且规定在空集上的定义为零，那么f 和g 是一对插值反演当且仅当 ( 一l r 缸小i i 武筑 t = k k _ i l ( i 2 n ，i l ， 2 i n 一1 k ) f ( x j ，如) = 0 ，札南+ 2 ( 2 2 1 ) j = k + l 证明：f 和g 是一对反演当且仅当 兵璐尸如一 显然当佗= k 时上式成立，当n = 尼+ 1 时，由9 ( 矧，) 是。，耖的反对称多项式 易知上式成立下设n 十2 ，则 。 。 1 - i ，( 研，执) 警班 叫。b 善蒜 1 0 ( ，口) 一反演关系的代数结构 第二章插值反演 则我们只要证 nf ( x j ，6 i ) j = k + i n ng ( ，6 ；) jk ，t 0 用ng ( 6 。b i 2 ) 乘于上式两边，我们得到( 2 2 2 ) 的等价形式 k _ i l i 2 兰” n 2 i ng ( b i 。) n ，( 奶，坟) = 0 k _ i l i 2 _ t l ，i l ，t 2 tj = k 故f 和g 是一对插值型反演当且仅当 ( 2 2 2 ) 口 注释：在上面的证明中，由于 戤 等是任意的序列，设q t = 奶一则 ( 2 2 1 ) 式子左边为 1 ) 一蚪1 。 七s i l 一 几0 | | k z ， l 斟 h k g 氮 一 b k n 一 。m 第二章插值反演 ( ，口) 一反演关系的代数结构 即 9 ( b k ，6 k 1 ) j ：( z k ，b k i2 ) 一口( 6 女，b k 十2 ) ，( z k ，6 k 1 ) g ( b k t ，b k l2 ) ，( z k ，b k ) = 0 由于 机 酱】 以 蓦是两个任意的序列，故对va ，b ，c ，有 反过来，若已知上式成立，我们要证u ( n ，k ) = o ，仉kl 2 为此，我们对礼一k 用归纳法 当礼一k = 2 时，由上面的证明过程易得甜( 凡，k ) = u ( k i 2 ，) = 0 假设n k = m 时，甜k ) = u ( k + m ，k ) = 0 ，则当n k = m + 1 时 n 一2 1 ) 一抖1 一ii i9 ( k ，b i 。) i if ( x ，b i ) 七旬 2 s n ，i 1 ，t 2 ij = k ( 一1 ) “+ 1 9 ( 6 b i 。) l ( x j ，k ) + ( i = k + 1 十m 。确乩) g ( 坟，b 。) k + l g j n 一1 丌譬，k 由假设知纠m 一1 ，k ) = 0 ，即 故有 9 ( 6 。b i 。) 他。蝴) ( 记s 札，i i ，b t n 一3 1 ) 蚪1 。2 nf ( x j ，玩) r 1 - - 3 g ( b i 。，b i 。) i i f ( x j ，b 。) 一o ( 一1 ) 一2 川n f ( x j ，k ) 9 ( 吼b i ) = kk + l 量1 i 2 ：n - i ，i l 。i 2 i 仃一1 n - 3 ( 一1 ) 一“n9 ( 6 。b i 。) ，( 巧，b i ) 矗 一 蜒，“、f 、j、， k ， 棚潞 “ 曼、 ( 六9 ) 一聂演关未的代数结构 第二章括值反演 则我们有 n 一2 n 一1 n 一3 “( 女) = ( 一l 广1 g ( b l 。，b i 。 n 他j ，k ) 十( - i ) 一川。f ( x j , 坟) 知s i l t 2 s n 一1j = kf 一凫+ 1，= 七 r 9 ( b 小b 圮) m 一，吼) l k q i 2 n ，；l ，t z t 、 一m 一、6 t ) n g ( b ，6 。) 9 ( b i b i ) 十l _ j n - 1k i x i 2 _ r t - - i ，t 1 ，幻tj n 一2n 一1n 一3 = ( 一1 ) “+ j9 ( 6 幻b i 。) ，( ，k ) + ( 一1 ) 一州一i i f ( x j ，b d k _ i t i a _ n - 1，= 七i = 七十lj = k t $ - - 1 9 ( 吗，k ) 9 ( 机，饥。) g ( b k ，b n ) ，( z n - - 2 ，b t ) 一9 ( b i ，6 n ) ，( 。z ，饥) 由于9 ( 6 t ，k ) ，( z 。喝k ) 一g ( b i ，6 n ) ，( 名。- 2 b k ) = g ( b k ，b d f ( z 。- 2 6 n ) ，故我们可得 u - 2 “( n ，七) = ( 一1 ) “+ 1 9 ( 碗。，b i ：) i i m j ，b 。) 南s l 电n 一1j = k n 一1n 一1n - 3 + ，- 2 ) 6 住) 岔o * ，蚴( 一1 ) ”州1 ，( 彩，坟) 9 ( 巩。，6 赴) i = k + li = k 4 - 1j = k k + l q t 2 s n ，i l ，如弗 n 一1n - 3 = m 。咄b 。) 1 - ig ( b k , 玩) ( 一1 ) 一一9 ( ，( 码，6 ) i = k + 1 i = k + lk + l 曼i l i 2 兰n ，z l ，t 2 tj = k 由假设，此时n 一( k + 1 ) = 南+ m + 1 一k l m 故“( 礼，+ 1 ) 一0 ，即( 这里 我们取序列幻= 一。) 则我们有 ( 一1 ) 一扛 i = k + 1k 1 9 l 2 ，l ，b l n - - 1 故“( n ，q = ，( 一2 ，b 。) n 口( 魄，b d 0 = 0 i = k + 1 n 一3 9 ( 6 。，b i ：) i i ，( ，b i ) = 二：o 定理2 2 1 假设f = ( 。t ) 和g = ( 鲰，) 是如下的对矩阵 兀，( 研，k ) 厶，t = 专 一 兀口( 6 i ，k ) 1 3 口 ( 2 2 3 ) o | l m 巧“ 棚斟 协 h “ 一婚 ( 一 抖 ” d 一 。浙 第二幸插值反演 ( ，口) 一反演关系的代数结构 g n , k 渊掣竺， ( 2 。) 厩丽育磊百 掣z 刨 其中9 ( z ，分) 是掣，9 的反对称多项式， 坟) 髫， 韪) 髫是两个任意的序列，并且 规定在空集上的定义为零，那么f 和g 是一对插值反演当且仅当对va ，b ，c ， 有 证明：由引理2 2 1 和引理2 2 2 易得 _ 1 我们称定理2 2 1 中的插值反演为( ，g ) 一反演实际上我们可以看出，( 。，可) ，g ( x ，y ) 是多项式这一条件可以去掉，得到一个更广泛的结论 定理2 2 2 假设f = ( 厶，k ) 和g = ( g n ，k ) 是如下的两个矩阵 n i 1 - i ，( 轨，k ) a ，t = 兰孝一， n9 ( 饥，b k ) = 删禚 9 ( z ，可) 是关于z ，y 的反对称函数，即g ( 。，y ) = 一g ( y ，z ) ，那么f 和g 是一对 ( ，9 ) 一反演当且仅当 g ( a ，b ) f ( x ，c ) 例2 2 1 令9 ( z ，可) 一，( z ，y ) ： - g ( a ，c ) f ( x ，b ) + g ( b ，c ) f ( x ，a ) 一0 z y ，那么 厶，=n n 慨 t = 七+ 1 ，n ( 敬一b n ) z k 一0 女b + 1 眠f 再而 就是c o u l d h s u c a r l i t z k r a t t e r t h a l e r 反演 1 4 ( 厶9 ) 一反演关系舌代敷结构 第二章插值反演 例2 2 2 令g ( x ，y ) = ( z 一可) ( 1 一a x y ) ，l ( x ，可) 一( 1 一z ) ( 正一a y ) ，那么 g n ，k t = ( 1 咄以) ( 驴也) ；旦，( 1 咱k ) ( 矿。6 n ) ( 1 一z n k ) ( z n 一。k ) n 兀- l ( 眈一k ) ( 1 一。玩k ) 是一对插值型反演，特别地，令b l , = q k , x ，= 印，我们可以得到下面的b r c s s o n d 公式 ，( 1 一a q 2 ) ( 6 ；g ) 。+ 女( k 1 1 ；q ) 。一k ( 施_ 1 ) o 础2 可j 丽i 磊i i 磊_ ( 1 6 尹) ( o ；q ) n + k ( a b _ 1 ；g ) 。一k ( a b _ 1 ) 眠扩可j 而瓦瓦磊历i _ ：_ 2 3( 工，) 一反演的算子证明 在 2 】中，c k r a t t e n t h a l e r 提出算子证明方法，解决了与下三角矩阵求逆 密切相关的l a g r a n g e 反演问题本结利用k r a t t e n t h a l e r 的算子证明方法给出 了( ， ，) 一反演( 即( ， 9 ) 一反演中取，= 口情形) 的算子证明 为了保持本节的完整性，我们先介绍算子方法形式幂级数是指形为i ，。o t i z l ( 对某个m z ) 的幂级数给定形式幂级数a ( z ) 和6 ( 孑) ，定义双线性公式( ，) 这里( 妒) c ( z ) 表示c ( 孑) 中的系数给定任意线性算子c 作用在形式幂级 数上，表示c 关于( ，) 的伴随线性算子，即对任意形式幂级数a ( z ) 和 b ( 孑) ( o ( 名) ，6 ( z ) ) = ( n ( 石) ，c + 6 ( 彳) ) 引理2 3 1 设f = ( k ) 时z 是一个无穷下三角矩阵，且 ，k 0 ，v k z 对于k z ，形式幂级数 ( z ) 和五( ：) 定义为 ( z ) = 。， ，t 扩，五( 。) = 。! k 倒z ，这里( 硝) ”e z 唯一确定了可逆矩阵f 假定对k z ， “ ( 。) = 吼v ( z ) ( 2 3 1 ) 1 5 第二章插值反演 ( ，9 ) 一反演关系的代数结构 “和v 是作用在形式幂级数上的线性算子，l a 双线性，且( c ) 。z 是一常数 序列如果h ( z ) 是 h ( z ) 一c k v h k ( z ) f 2 3 2 ) 的满足h k ( 2 ) 0v k z 的解，则 五( 。) 。丽可两犷办 ( 23 - 3 ) 下面给出( 厂，) 一反演的算子证明 定义厶( z 卜二，。厶e 扩，厶e 满足 显然，对礼k i - i ，( b k ) 厶，t = = 一 1 - ig 慨，b k ) ( 2 3 ，4 ) ，( k ，k ) 厶，= = f ( x l ，6 ) a 一蛐( 2 3 5 ) 在( 2 3 5 ) 两边乘以f ( z ，c ) ，我们得到 f ( x ，c ) ，( k ，以) 厶，k = ，( z ，c ) f ( x 一1 ，b k ) 一1 k 利用，( 。，y ) k e r c ( 。，b ，c ) ，得 f ( b n ，c ) ，( z ，k ) 一，( 6 k ，c ) f ( z ，k ) l ，t = 【f ( z 。一，c ) f ( x ，b k ) 一f ( b k ，c ) ，( z ，x n - ，) 】厶屯k ( 2 3 6 ) 如果定义线性算子b ，z ：e z = b k z k l x z = x k z ，及t ( 召，c ) ，t ( x ，c ) t ( b ，c ) 矿= f ( b k ，c ) z k ，t ( x ，c ) z k = ，( z ，c ) z 则( 2 3 6 ) 可表示为 ，( z ，b k ) 丁( 日，c ) 一，( 缸，c ) t ( z ，8 ) 】 ( z ) = 【，( z ，b k ) z t ( , v ，c ) 一y ( b k ，c ) z t ( z ，爿) ( 。) 又由于f ( z ，掣) = 一f ( y ，。) ，对任意复数z 和y 定义 一，( c ，k ) 一丽 1 6 ( 六9 ) 一反演关系的代数结构 第二章插值反演 得 t ( c ，b ) 一z t ( c ，爿) l az ) = c k i t ( x ，b ) 一刃1 ( z ，x ) i 厶( g ) ，( 2 3 7 ) ( 2 3 7 ) 对任意z 都成立( 2 3 7 ) 是( 2 3 1 ) 型方程，这里“一一t ( c 、子) 一 z 1 1 ( c ，爿) ，v = - i ( z ，8 ) 一z ( z ，疋) 引入辅助形式幂级数k ( ：) ，对偶方程( 2 3 2 ) 在这种情况下为 了( c ，舀) 一7 c ，z ) + z h k ( z ) - - 银【m ( 搿，召) 一t ( x ，疋) + z l h k ( z ) ( 2 3 8 ) 注b + ：6 肛一，t ( c ，8 ) + z 一。f ( c ，6 b ) z 比较( 2 3 8 ) 中# 一2 的系数，我们得 到 f ( c ，籼) 一c k f ( x ，6 f ) 】托艇= f ( c ，z j ) 一c k f ( x ，x 1 ) h k h 1 若设坟t = 1 ，则 利用( 2 3 3 ) ，得 兀k - i c ，q ) 一c k f ( x ，x j ) j n 斟2 面甄丽万i 丽 一囊麓艨格揣酬 = k 里- i 糕嬲= 秽篙 五( z ) = 志阶) 一嘶) 机( 巩 ( 2 3 9 ) 再次比较( 2 , 3 9 ) 两端。一的系数的系数，可得 f - 一f ( z ，b 1 ) h k l 二丛z ，觑) 旦 “。一了i 习百一 一鱼! 鱼2 ( 兰! 丝! 二壁! 兰! ! 垒! 坠211 兰! ! ! 丛兰：坠! 一 f ( z ，b k ) f ( x k ，6 e ) n 篓jf ( b j ，b * ) 一丝! 堕丝! ：堕壁垒堡! ! 堕堕 。f ( x ，6 t ) ，( k ) 兀兰? ，( 6 j ，k ) 1 7 生 一一八啦皑 哟丽丛地 第二章插值反演 ( 口) 一反演关系的代数结构 即 坼刮= 糕涨 最后，利用矩阵逆的唯一性知上述证明反之亦成立于是给出了( ，) 一反 演的算子证明 口 结论：我们的证明表明k r a t t e n t h a l c r 的算子方法只适用于( ，) 一反演，而对 ( ，口) 一反演无效若要用算子方法证明( ，9 ) 一反演，还需扩展定义双线性公 式( ，) ，对此我们还会做进一步研究 1 1 这部分结果发表在苏州大学学报上 1 8 第三章 ( 厂，g ) - 反演的通解 本文所说的矩阵反演意指：f = ( ak ) 。蚝z ，g = ( 9 。t ) 稚酣是两个无穷阶 下三角矩阵，它们满足 v 礼，k 凡g f 嘶 t = k 有时又称f ，g 是一对矩阵反演 在【9 l 中，马欣荣建立了如下的普遍性矩阵反演理论 定理3 0 1 设f = ( 厶， ) 。舴z ，g = ( g 啦) 础z 是两个无穷阶下三角矩阵， ，t = 里h ! = 邋k + 1g ( b i , b j ：) ( 3 叫j “一。u lj 蛳= 渊糌， c s 眦， 其中：下标小于上标时连乘记作j ，9 ( z ，轳) = 一g ( 可，z ) 则f ，g 互为可逆 矩阵当且仅当 va ，b ，c g 9 ( o ，6 ) ，( z ，c ) 一g ( a ，c ) ，( z ，b ) + g ( b ，c ) ，( z ，n ) = 0 ( 3 0 3 ) 我们将( 3 0 3 ) 称为( ，9 ) 一反演的函数方程 本章的目的就是给出函数方程( 3 0 3 ) 的一般解 3 1(