（理论物理专业论文）格点qcd中有限温su3胶球谱与qcd相变研究及sd对壳模型对核低激发谱性质和形状相变研究.pdf

摘要 摘要 本论文的主要内容包含了格点量子色动力学( l a t t i c eq c d ) 与原子核配 对壳模型( s d p s m ) 两个领域。 有限温度有限密度q c d ，特别是q c d 相变研究，由于与相对论重离子 碰撞( r h i c ) 以及宇宙粒子物理实验密切关系，已成为重要的研究领域。但 是，在q c d 相变区域( t 1 0 0 ，3 0 0 m e v ) ，夸克胶子还属于强耦合系统， 传统微扰论无法适用。而从第一性原理出发的格点q c d 被认为是可以给出 可信赖结果的理论。基于格点q c d ，这里我们主要讨论了两项与q c d 相变 和夸克胶子等离子体( q g p ) 性质密切相关的工作。首先，利用各向异性 格子，在o 3 e 到1 9 t o 的温度范围内研究t q u e n c h e ds u ( 3 ) 胶球的热力学性 质。为了使胶球算符基态投影最大，我们利用组合 s m e a r i n g 方案的变分方 法对算符进行了优化。计算了格点上定义的所有2 0 个道的热关联函数。给 出的所有道的结果显示，在从低温到趋近临界温度疋过程中，胶球p o l e m a s s ，g 几乎保持常数，超过临界温度后开始逐渐溶解。通过设定每个热胶球基 态p o l e m a s s 的热宽度r ，我们利用b r e i t w i g n e ra n s a t z 分析了0 + + 、0 一+ 和2 + + 道 的关联函数。分析结果表明u o 在所研究的整个温度区域上没有明显的温度 响应，而热宽度1 1 在临界温度疋上下差别显著。热宽度的值在e 下很小( 只 有u o 的百分之几，甚至更小) ，但是当t 疋时却急剧增大，在t 1 9 正几 乎达到r u 0 2 。再者，在有限密度q c d 研究中，期望q c d 相变存在一个从 低密度的c r o s s o v e r 至l j 有限密度一阶相变的临界点。为了研究有限密度q c d 相 图，我们应用正则系综方法来扫描温度一密度空间。对于一个给定的温度， 我们描出化学势相应重子数密度的函数形式，从中寻找对应一阶相变信号 的”s s h a p e ”结构。我们采用w i l s o n 费米开展研究，其中格子为6 3 4 ，丌。介子 质量为m 丌1 g e v 。作为检验，我们开展的4 一f l a v o r 模拟结果给出了明确的信 号。对于2 一f l a v o r 的情况，直n o 8 3 乃我们依然看不到一阶相变对应的信号。 在这里，我们同时发展 w i n d i n gn u m b e re x p a n s i o nm e t h o d 。 核子配对壳模型，是基于s d 子空间截断进行构建的。首先，我们应 用s d p s m ，研究了1 2 6 1 3 4 x e 和1 2 8 1 3 6 b a 。我们知道这些核都展示o ( 6 ) 对称 性。在这里，我们用一个仅包含三个参数的哈密顿量来描述这些核的谱和 电磁跃迁等性质。理论结果与实验结果符合的很好，m 1 强度分裂随中子 数增加自然出现。同时结果显示，随核子对数的增加，s d 近似表现的越 来越好。另一方面，我们也利用s d p s m 研究了质子一中子耦合系统中的形状 - l i l 摘要 相变。得到的结果表明，s d p s m 中的一些相变行为与相互作用玻色子模型 的u ( 5 ) 一s u ( 3 ) 、u ( 5 ) 一s o ( 6 ) l 变的临界点对称表现一致。 关键词格点规范q c d胶球q c d 相变正则系综w n e ms d 配对 壳模型电磁跃迁临界 i v a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t w om a i nr e s e a r c hs u b j e c t sa r ec o n c e m e d ，l a t t i c eq u a n t u m c h r o m o d y n a m i c sa n ds d p a i rs h e l lm o d e l t h eq c da tf i n i t e t e m p e r a t u r ea n df i n i t ed e n s i t y , e s p e c i a l l yq c dp h a s e t r a n s i t i o n ，h a sb e e na nd i s t i n g u i s h e da r e a ，f o rt h ec l o s er e l a t i o nw i t hr h i c ，l h ca n d a n s t r o p a r t i c l ep h y s i c s h o w e v e r i nt h eq c d c r i t i c a lr e g i o n ( t 【1 0 0 ，3 0 0 m e v ) ， q u a r k g l u o ns y s t e m sa r es t i l ls t r o n gi n t e r a c t i n g ，s ot r a d i t i o n a lp u r t a b t i v em e t h o dc a n t w o r kw e l lh e r e t h en u m e r i c a ll a t t i c eq c d s t a r t i n gf r o mf i r s tp r i n c i p l ei sc o n s i d e r e d a st h eb e s tt h e o r yt og i v er e l i a b l er e s u l t s w i t hl a t t i c eq c d ，w em a i n l yt a l ka b o u tt w o w o r k sc o n n e c t e dw i t hq c d p h a s et r a n s i t i o na n dq g pc l o s e l y f i r s t ，t h e r m a lp r o p e r t i e so ft h eq u e n c h e ds u ( 3 ) g l u e b a l l sa r ei n v e s t i g a t e di nal a r g et e m p e r a t u r er a n g e f r o m0 3 疋t o1 9 瓦o na n i s o t r o p i cl a t t i c e s t h eg l u e b a l lo p e r a t o r sa r eo p t i m i z e df o r t h ep r o j e c t i o no ft h eg r o u n ds t a t e sb yt h ev a r i a t i o n a lm e t h o dw i t ha s m e a r i n gs c h e m e t h e i rt h e r m a lc o r r e l a t o r sa r ec a l c u l a t e di na l l2 0s y m m e t r yc h a n n e l s i ti sf o u n di n a l lc h a n n e l st h a tt h ep o l em a s s e sm co fg lu e b a l l sr e m a i na l m o s tc o n s t a n tw h e nt h e t e m p e r a t u r ei sa p p r o a c h i n gt ot h ec r i t i c a lt e m p e r a t u r e 瓦f r o mt h eb e l o w ，a n ds t a r tt o r e d u c eg r a d u a l l yw i t ht h et e m p e r a t u r eg o i n ga b o v e 瓦t h ec o r r e l a t o r si nt h e0 + + ， 0 一+ a n d2 + + c h a n n e l sa r ea l s oa n a l y z e db a s e do nt h eb r e i t w i g n e ra n s a t zb ya s s u m i n gat h e r m a lw i d t hft ot h ep o l em a s sw 0o fe a c ht h e r m a lg l u e b a l lg r o u n ds t a t e w h i l et h ev a l u e so fw 0a r ei n s e n s i t i v et ot i nt h ew h o l et e m p e r a t u r er a n g e ，t h et h e r m a l w i d t h sre x h i b i td i s t i n c tb e h a v i o r sa tt e m p e r a t u r e sb e l o wa n da b o v e 正t h ew i d t h s a r ev e r ys m a l l ( a p p r o x i m a t e l yf e wp e r c e n t so fw oo re v e ns m a l l e r ) w h e nt 正a n dr e a c hv a l u e so fr o u g h l yr w o 2a tt 1 9 疋 s e c o n d l y , q c da tn o n z e r ob a r y o nd e n s i t yi se x p e c t e dt oh a v eac r i t i c a lp o i n tw h e r e t h ez e r o - d e n s i t yc r o s s o v e rt u r n si n t oaf i r s to r d e rp h a s et r a n s i t i o n t oi d e n t i f yt h i s p o i n tw es c a nt h ed e n s i t y t e m p e r a t u r es p a c eu s i n gac a n o n i c a le n s e m b l em e t h o d f o r ag i v e nt e m p e r a t u r e ，w ep l o tt h ec h e m i c a lp o t e n t i a la saf u n c t i o no fd e n s i t yl o o k i n g f o ra “s - s h a p e ”a sas i g n a lf o raf i r s to r d e rt r a n s i t i o n w ec a r r i e do u ts i m u l a t i o n su s i n g w i l s o nf e r m i o n sw i t hm 7 r 1 g e vo n6 3 4l a t t i c e s a sab e n c h m a r k ，w er a nf o u r f l a v o r ss i m u l a t i o n sw h e r ew eo b s e r v eac l e a rs i g n a l i nt h et w of l a v o r sc a s ew ed on o t s e ea n ys i g n a lf o rt e m p e r a t u r e sa sl o wa s0 8 3 瓦 t h en u c l e o n p a i rs h e l lm o d e l ，t r u n c a t e dt oa ns ds u b s p a c e ，i sa p p l i e dt o a b s t ra c t | 1 2 6 - 1 3 4 x ea n d1 2 8 一1 3 6 b a t h es p e c t r a ，e i g e n s t a t e s ，a n de l e c t r o m a g n e t i ct r a n s i t i o n s t r e n g t h so ft h e s en u c l e i ，w h i c ha r ek n o w n t od i s p l a y0 ( 6 ) s y m m e t r y ，a r ed e s c r i b e di n t e r m so fat h r e e p a r a m e t e rh a m i l t o n i a n a g r e e m e n tw i t he x p e r i m e n ti sg o o d i np a r - t i c u l a r , m i x e d s y m m e t r yc o n f i g u r a t i o n sa n dt h eu p w a r ds h i f ta n df r a g m e n t a t i o no ft h e mis t r e n g t hw i t hi n c r e a s i n gn e u t r o nn u m b e r se m e 唱e sn a t u r a l l y t h er e s u l t ss h o wt h a t t h es ds u b s p a c ea p p r o x i m a t i o ni m p r o v e sw i t ht h en u m b e ro fp a i r s o nt h eo t h e rh a n d ， p a t t e r n so fs h a p e - - p h a s et r a n s i t i o ni nt h ep r o t o n - n e u t r o nc o u p l e ds y s t e m sa r es t u d i e d w i t h i nt h es d p a i rs h e l lm o d e l t h er e s u l t ss h o wt h a ts o m et r a n s i t i o n a lp a t t e r n si nt h e s d p a i rs h e l lm o d e la r es i m i l a rt ot h eu ( 5 ) 一s u ( 3 ) ，u ( 5 ) 一s 0 ( 6 ) t r a n s i t i o n sw i t h s i g n a t u r e so ft h ec r i t i c a lp o i n ts y m m e t r yo ft h ei n t e r a c t i n gb o s o nm o d e l k e yw o r d s l a t t i c e e n s e m b l ew n e m g a u g eq c d g l u e b a l lp h a s et r a n s i t i o n c a n o n i c a l s d p a i rs h e l lm o d e le l e c t r o m a g n e t i ct r a n s i t i o n c r i t i c a l v i i 牵i 7 r 人学博 j 学住论文使用授权书 南开大学博士学位论文使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如 下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保 存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手 段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供本学位论文伞文或者部分的阅 览服务；学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和 电子版；在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部 内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 呻每6 其噼 盘诨芒 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 指导教师签名： 学位论文作者签名： 解密时问：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) 秘密1 0 年( 最长1 0 年，可少于1 0 年) 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 南j r 人学学似论艾原创性声明 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工 作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不 包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论 文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 一i i 一 琶 译 占甥 轹 护 签 扎 彩月 仁 妇 年 越吵 位 m 剿 ) 第1 章绪论 第1 章绪论 基于s u ( 3 ) n o n a b e l i a n 规范群的量子色动力学( q c d ) 现在已被认为是研究 强相互作用的基本理论【l 2 1 。q c d 的两大理论基础是：渐进自由和夸克紧闭。 作为一种可重整化的理论，q c d 已经很好的利用微扰方式解决了渐进自由的 问题( 在小距离处，夸克的相互作用变弱，这是与实验事实相符的) ；而夸 克紧闭( 在低能情况下夸克将被束缚在强子中) 却无法从微扰论得到根本的 解决。 1 9 7 4 年，k g w i l s o n 提出了格点q c d 理论【3 1 ，为利用非微扰方式来研究夸 克紧闭以及q c d 的其它问题开创了新途径。格点q c d 理论是基于4 维离散的 欧几里德时空格点和路径积分的方法，利用统计力学的观点来解决q c d 的物 理问题，它充分体现了量子场论和统计力学的结合特征 4 1 。格点q c d f 里论已 不仪仪局限于研究夸克紧闭问题，它在研究强子谱、衰变常数、有限温度场 论、q c d 相变及夸克胶子等离子体等等方面都做出了相当的贡献。 最近，相对论莺离子碰撞实验数据和现象，带给我们很多惊喜的 信息，分析显示夸克胶子等离子体( 或说一种新的物质态) 可能已经 被发现【5 】【6 1 。同时，实验现象和数据分析表明在高于临界温度瓦的一 定范围内( 约为瓦_ 2 疋) ，夸克胶子等离子体并不是一个弱相互作用的体 系；m o l n a r 和g y u l a s s y 币l j 用b o l t z m a n n 方程来研究胶子散射的椭圆流发现，相 应的散射截面要比由微扰论的大接近5 0 倍【7 1 。于是，现在非常需要利h j 非微 扰的方式来研究q c d 相变以及今克胶子等离子体的性质。 本文中，我们介绍了采用格点q c d 理论丌展的一些与q c d 术n 变及q g p 密 切相关的研究工作。在有限温度情况下，为了研究q c d 相变及q g p 性质， 开展了很多关于有限温度c h a r m o n i a 性质的研究工作。唯象的研究预言， 在临近临界温度疋时，夸克之间束缚的减弱会使得j 砂溶解，并指出可以 由c h a r m o n i a ) 乐低作为判断q g p 出现的信号【1 2 5 ，1 2 6 1 。例如，势模型研究表明砂 和) ( 。这些激发态会在瓦处溶解掉，但是c h a r m o n i a 的基态j 皿和叩c 会一直存在 到丁= 1 1 疋1 1 2 7 - 1 3 2 1 。 但是，现在还不清楚势模型是否能很好的用来研究有限温度问题1 1 3 3 1 。比 较而言，最近很多数值研究的结果显示j 雪和仇有可能一直存在到超过1 5 瓦 1 3 4 - 1 3 8 。当然，也存在这种可能，就是格点q c d 中所测量的石c 态是一种散射 态。为了澄清这一问题，格点q c d 中也开展了相应的研究工作 1 3 9 1 。研究结 果表明，对于能量较低的酏系统，在温度区域1 1 1 2 0 7 瓦中，它们是空间定 】 第1 审绪论 域的束缚态。这样，数值格点q c d 的研究结果就同过渡区域的q c d 相变图像 一致。 在这些研究工作的推动下，我们开展了有限温度下s u ( 3 ) 胶球的演化 研究。利用各向异性格子，在0 3 e 到1 9 瓦的温度范围内研究t q u e n c h e d s u ( 3 ) 胶球的热力学性质。为了使胶球算符基态投影最大，我们利用组合 t s m e a r i n g 方案的变分方法对算符进行了优化。计算了格点上定义的所有2 0 个 道的热关联函数。给出的所有道的结果显示，在从低温到趋近临界温度正过 程中，胶球p o l e m a s sm c 几乎保持常数，超过临界温度后开始逐渐溶解。通 过设定每个热胶球基态p o l e m a s s 的热宽度r ，我们利用b r e i t w i g n e ra n s a t z 分析 了0 + + 、0 - + 和2 + + 道的关联函数。分析结果表明u o 在所研究的整个温度区域 上没有明显的温度响应，而热宽度r 在临界温度瓦上下差别显著。热宽度的 值在正下很小( 只有u o 的百分之几，甚至更小) ，但是当t 正时却急剧增 大，在t 1 9 瓦几乎达到r 一蛐2 。这一研究进一步明确了胶球的热力学性 质，反应了胶球谱与温度的响应关系，对相对论重离子碰撞实验开展q c d 相 变研究有重要的指导意义。 第二项工作，我们采用格点q c d 中的正则系综方法研究了有限密度 下q c d 的相变问题。在有限密度q c d 研究中，期望q c d j c h 变存在一个从低 密度的c r o s s o v e r 到有限密度一阶相变的临界点。为了研究有限密度q c d 相 图，我们应用正则系综方法来扫描温度一密度空间。对于一个给定的温度， 我们描出化学势相应重子数密度的函数形式，从中寻找对应一阶相变信号 的”s s h a p e ”结构。我们采用w i l s o n 费米开展研究，其中格子为6 3 4 ，7 r 一介子 质量为m 。1 g e v 。作为检验，我们开展的4 一f l a v o r 模拟结果给出了明确的信 号。对于2 一f l a v o r 的情况，直到0 8 3 己我们依然看不到一阶相变对应的信号。 在这里，我们同时发展( w i n d i n gn u m b e re x p a n s i o nm e t h o d 。这一理论方法现 在还在逐步完善，3 - f l a v o r 结果正在利用改进的作用量进行模拟。 另一。方面，博士期问的研究也涉及到了核物理中的壳模型领域。开展这 些工作的主要目的是：首先，将高性能计算应用到的s d 壳模型研究领域，拓 展s d 壳模型的研究范围：再者，丰富自身核物理方面的研究背景，调研用格 点歼展核物理研究的可能性( 在l a t t i c e 2 0 0 8 同际年会上，已经有一些这方面的 研究报告) 。 壳模型是由梅逸夫人( m g m a y e r ) 和詹森( j h d j e n s e n ) 在1 9 4 8 1 9 4 9 年分别提出的。这个模型仍在广泛地应用、发展着，与该模型有关的研 究成果不断涌现。该模型不但可以用于研究稳定核素以及弱束缚体系，而且 也可以用于研究双p 衰变、丰中子核以及天体物理等问题【8 1 。 一2 - 第1 章绪论 对于低能核系统，若其能量e 型1 0 1 0 0 m e v ，我们可以把该系统看作 是由中子和质子组成。由于核多体力现在尚不了解，所以说在研究核多体系 统时都是从两核子系统出发。由两核子得到的两体力在用于研究其他的多核 子系统时，一般说来所得到的结果并不违背基本假设，而且由于能量低，相 对论效应也不显著。因此，我们在研究低能核结构时，我们可以做如下的一 些基本假设： 原子核是由点状的中子和质子构成的。 他们满足非相对论的薛定谔方程。 核子核子之间的相互作用是二体势。 根据这样的物理图象，a 个核子体系的非相对论薛定谔方程【9 1 如下所 日= t i + 石1 ( 1 1 ) i = 1 一i , j = l 其中t i 是第i 个核子的动能，k j 是第i 个与第j 个核子之间的势能。对 于少体系统( a 6 ) ，该问题可以解决。但是对于核多体系统，由于传统的 少体技术小再适用，只有寻找新的方法求解该方程。在解决该问题的所有方 法当中，最重要的突破应该是平均场的引入【l o 】。根据平均场的假设，i 体系 统的哈密顿量可以写为a 个一体哈密顿量与剩余相瓦作用之和，即： h = h o j rh r e 8 ( 1 2 a ) 凰= t i + 以 ( 1 2 b ) i = i 研e 。= 毒一u i ( 1 2 c ) “i , j - - - - 1 i = 1 在确定阢时，要使得既确定的足够好，从而使得h r e 。很小即可以被当 作小量利用微扰论求解。这个问题可以通过自洽求解b h f 方法t l l j 进行。但 是一般说来这种方法求解比较麻烦，一种更为简单的方法是我们可以假定一 种势能，例如w o o d s a x o n 势或者更简单的谐振子势，利用这样的势能我 们可以得到同样的物理结果。更进一步引入自旋轨道相互作用，壳模型就建 一3 第1 带绪论 立起来了【1 2 l 。当时该模型可以成功地再现原子核的幻数是该模型最大的成功 之处【1 3 1 。 壳模型可以成功地描述靠近满壳层核的性质。但是该理论在用于讨论远 离满壳层核时，由于组态空间太大，对角化矩阵无法完成，所以该模型的应 用也受剑限制。幸运的是由于在给定的空间内，不是所有的态都同样重要， 所以我们可以将空间进行截断。我们将基矢选择为只有价壳层空问而下面所 有壳层均被填满，上面所有的壳层都忽略掉。在实际的应用中，我们一般只 考虑一个价壳层。现在的问题是通过这样的截断，不能保证原来的哈密顿量 在这样小的空间里再现原有空间下同样的物理结果。为此引入有效相互作用 来弥补这一缺点。在实际应用中有很多确定有效相互作用的方法，大家经常 采用的方法是假定一个有效相互作用，该相互作用有几个可调参数，然后通 过拟合一些观测量来确定这些可调参数。通过这样的空间截断，壳模型的应 用范围扩大了很多。但是如果希望利用该模型讨论那些中重核，其组态空间 会很大，例如一个相对简单的中重核，其组态空间都回达到1 0 1 4 1 0 i s ，对 于这样的空间，同样由于组态空间太人，现有的计算技术都无法完成，凶此 需要将组态空间做进一步的截断。在这方而已经发展了一系列的方法和模 型，其中最为成功的截断为相互作用玻色子模型( i b m ) z 4 l 。 但是，b z 为玻色子模型，而真实的物理系统则是由费米子组成的，所 以，胃d f e n 9 等人建立了费米子动力学对称性模型( f d s m ) 【1 5 】。但是考虑 到在费米子动力学对称性模型中由于无法记入壳模型哈密顿量l f j 的最重要 的部分：单粒子能级分裂项，而日其s d 对是由对称性决定的非真实的物理 对，所以原子核配对壳模型( n p s m ) 1 1 6 1 应运而生。之后应用i b m 理论思 想，在p5 f m 硝! 论的基础卜创造出更具实用价值的s d p s m 理论，对此， 我们将在第七章中做详细介绍。 由于该模型具有以上特点，可以用于讨论复杂体系，为系统研究中、重 核低激发谱的集体性质提供了，个有效的方法。但我们发现，即使将壳模型 空间截断为s d 对子空间，原子核配对壳模犁的计算也只能进行到价核子对数 小于等于4 的情况。这卡要原因：一是随着价核子对数的增加，组态空间仍然 会急剧增加，导致计算量急刷增加( 从现有测量结果来看，价核子每增加一 对，计算时间是以c ) ( 1 0 3 ) 的量级增加的) ；_ 是由于传统串行算法受c p u 计 算能力和内存的限制，无法开展大规模计算。为此，我们开展了，基于高性 能计算的s d 对壳模型计算的尝试。 本文的主要内容为：第二章，讨论了格点规范理论，构建出格点理论模 型，简单介绍了有限温度有限密度格点q c d ：第三章，介绍了格点q c d 中的 数值模拟算法，主要是h m c 和r h m c ；第四章，主要介绍了数据处理过程中 4 一 第1 章绪论 所采用的方法，如j a c k k n i f e 方法、谱密度方法、最大熵方法等；第五章，这 里重点讨论s u ( 3 ) 胶球随温度的演化；第六章，讨论的是利用i e n 系综方法研 究有限密度下q c d 的相图，这项工作我们现在仍然在继续开展；第七章，主 要介绍的是s d 对壳模型理论基础；第八章，讨论了我们基于s d 对壳模型理论 开展的关于1 2 6 x ea n d1 2 8 b a 的具体结果和核形状相变研究；第九章，是工作展 望。 - 5 一 筇2 审格 鼠了色动j 学( q c d ) 卵论 第2 章格点量子色动力学( q c d ) 理论 1 9 7 4 年w i l s o n 构建起了欧氏空间下的格点规范理论【3 】，用来研究夸克禁 闭并进行量子色动力学( q c d ) 的非微扰分析。格点规范理论的建立主要包 括【1 7 】： 一对时空进行离散化。 表示出离散时空中的规范和费米自由度。 一构建出作用量。 一定义路径积分的积分方式。 表示出与真实物理相关的算符。 在这其中，构建作用量和算符是最重要的。 2 1格点规范场理论 2 1 1规范场的格点化 对规范场的格点化，具体的操作是如下进行：首先，将时空进行离散 化；时空离散化不止有一种方式，这里主要讨论的是超立方( h y p e r c u b i c ) 格 点方式( 图2 1 ) ，其他方式不在此讨论【1 8 - 2 0 1 。超立方格点的间隔是相等的a = a 。= a t ，体积为s x 肌s 批。格点规范理论是要把场定义在定域的格点 上( 图2 1 ) ，其中最近邻的两点之问是一个链变量，它们之间的关系是： 在这里 u ( x ，z + 肛) = 【，0 ( z ) = ( ! i a g a u + 鸶) ( 2 1 ) u ( x ，z 一，) = u 二p = e 。9 a p ( z 一兰) = u + ( z 一肛，z ) = u 0 ( z p ) ( 2 2 ) 格点化以后，原来连续理论中的对称群将简化为分立群。在一个超立方格点 上，只能进行9 0 0 的旋转。所以，在分立格点上所取的是超立方群【2 1 1 ，转换至 少要在一个格点单位上进行，所以相应的动量也是分立的 尼2 瓦2 7 r n 6 礼= 。“，l ( 2 3 ) 第2 章格点鼠子色动力学f q c d ) 理论 定域规范变换的具体形式是 图2 1 时空格点与链变量 u n p u + 叶p ，p ( z ) _ y ( z ) u 0 ( z ) y + ( z + 面)( 2 4 ) 这里y p ( z ) 和u p ( z ) 一样，都是s u ( n ) 矩阵。另外对格点规范变量，其对 应的作用量是在表2 1 中给出的宇称( p ) ，荷共轭( c ) 和时间翻转( t ) 变换下 是不变的【 1 。在进行格点规范场中物珲量的定义时，最基本的瞥位 表2 1 存分娩的c ，p 丁变换i 。规范自【l i 皮的行为 p c t u l ( x ，7 - )莎“一x ，7 - )u + 4 ( x ：7 _ )u 一4 ( x ，- - 7 - ) 阢( x 7 - )虬i ( 一x ，7 - )u + i ( x ，t ) 以( x ，- - t ) 是p l a q u e t t e ( 1 蛩2 2 ) ，也就是1 1w i l s o nl o o p ( w i l s o nl o o p 还有其他形式，将 在后面讨论) ，对应的p l a q u e t t e 作用量 跏= r e t r ( ( z ) 巩( z + 力) u + p ( z + v ) u + ( z ) )( 2 5 ) 7 第2 幸格点髓了色动力学f q c d ) 辟沦 图2 2 格点中的p l a q u e t t e 变鼍 这是一个严格规范不变的量。 t r ( u u ( z ) c ，( z + 声) u 7 十p ( z + 痧) u + p ( z ) ) = t r ( v ( x ) ( z ) y + ( z + 声) y ( z + 声) 巩( z + 互) y + ( z + - f i + 声) y ( x + - f i + 万) u + 肛x + 痧) y + ( z + 痧) y ( z + 痧) + ( z ) ) y + ( z ) ) = t r ( v ( x ) ( z ) 巩( z + 声) u + px + 痧) u + ( z ) y + ( z ) ) = 丁7 ( ( z ) 巩( z + 芦) u + px + 痧) + ，( z ) ) ( 2 6 ) 格点规范理论中的规范作用量就是以这个量为基础构建起来的。在这里，先 看最简单的情况u ( 1 ) 模型，s u ( n ) 情况是类似的。考虑最简单的w i l s o nl o o p ， 对应1 1p l a q u e t t e ： v 吃# 1 = u 0 ( z ) 巩( z 十声) u + p ( z + 痧) u + ( z ) = e i a g a ，上( 七十譬) + a p ( z + 声+ 罢) 一a 肛( z + 痧+ g ) 一a v ( z + ；) 】 8 一 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 第2 章格a 最。f 色动力学( q c d ) 理论 在z + 譬展开可以得到 e x p 【i a 2 9 ( g a p 一乱a p ) + i a 王4 么g ( a 3 p a v - - 0 3 u a p ) + i ：l + n 2 夕一丁a 4 9 2 兄v f m + d ( n 6 ) + l o o p 的实部和虚部分别是： ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) r e t r ( 1 一眈；1 ) = t a 4 9 2 v f p v + o ( n 6 ) ( 2 11 ) i m ( 眈：1 ) = n 2 夕p ( 2 1 2 ) 在连续规范场理论中，用平行输运算子定义的场强在+ 几何上对应的是一个平 行四边形；而在格点中，当格距a 足够小时， 眈苫1 1 + i a 2 9 兄 ( 2 1 3 ) 场强是和w i l s o nl o o p 对应的，也就是说，在理论上格点规范理论在a _ 0 的 极限条件下，将恢复为连续规范场理论。到前面的讨论中，“和还没进行区 分。存每个超市方格点中有6 个正定方向的p l a q u e t t e s ，( p ) 。对w i l s o nl o o p 进行求和，并考虑由“和引入的重复操作，可以得到 万1 r et r ( 1 一眈：1 ) = 等o p f ( 2 1 4 ) u z“ - ix“ 呻去| 毋茁f 。v f 叫 f 2 1 5 ) 所以，只保留到p l a q u e t t e 展开项实部中a 的最低阶就可以得到连续规范场的作 用量。 对于n o n a b e l i a n 情况，最终的表达式也只是常数因子的差别。例如 对s u ( 3 ) ，最终的w i l s o n 作用量为 岛= 参z 脚脚r 丢( 1 一嘧1 ) ( 2 6 ) 一9 一 第2 审格点茕了色动力学( q ( ? d ) 羼论 在这里我们引入另一个耦合常数三矿6 ，这是一个形式更普遍的量，因为在 统计力学和重整化p f u c t i o n d p 都使用。 基于前面构建的格点规范作用量，这里我们有如下四点需要指出【1 7 】： 1 ) 作用量的领先阶修正是o ( a 2 ) 。挈( a 3 “4 p a 3 p a 肛) 项将会出现在所有 平面w i l s o nl o o p 中，通常消除掉它方法是，选择一个由l 1 和1 2 的w i l s o n l o o p 线性组合的作用量。 2 ) 量子效应也会带来修正，它修正的是与格距误差相关的那些算符对应 的物理量的贡献，这就会引入非平面w i l s o nl o o p 。改进的作用量将相应的要 加入这些l o o p 。 3 ) 之所以选择最小的l o o p 来构建作用量是为了考虑计算速度和减小领先阶 的误差。例如对1 1 l o o p 领先阶误差是与a 2 6 成正比的，而对1 2 1 0 0 p 领先阶 误差是与5 a 2 1 2 成正比的( 要得到进一步的误差修正，两种l o o p 都是需要考虑 的) ；而且模拟时间也会增大2 3 倍。 4 ) 场强凡p 是i 主1 p l a q u e t t e 的虚部给出的。 完成格点规范理论的第四步，就是定义出合理的积分方式。与连续理论 不同，在格点理论中s u ( 3 ) 群元被限定在 o ，l 】范围内。w i l s o n 最早提出了针 对这一积分的h a a r 方法。对任意群儿v 和w ，它定义为 d u f ( u ) = d ，( y ) = d u f ( w u ) ( 2 1 7 ) 其中厂( u ) 是一个任意的平方可积函数。它采用如f 的规一化方式 t id u = 1 ( 2 1 8 ) 这样，有了前面的这些理论，格点规范理论就基本建立起来了。 利用格点规范理论，町以对很多规范不变量进行计算。在零温条件下， 最重要的一个是- w i l s o nl o o p 。考虑格点上沿着时间方向和空间方向宽度分 别为t 和r 的一个矩形封闭回路。将这个矩形回路，卜的规范场依次相乘并取 迹。这是一个规范不变量。它的系综平均称之为w i l s o nl o o p ( 有时我们也把未 1 0 一 第2 荜格点最子色动力学( q c d ) 理论 求系综平均以前的量成为w i l s o nl o o p ) ： w ( r ，t ) = l z ，f o 【，t r ( u 1 ) e - s 【1 ( 2 19 ) 其中z 为配分函数，定义为 z = f n u e - s t ， ( 2 2 0 ) w i l s o nl o o p 之所以重要，是因为对于足够大的“时间”t ，它与相距为r 的一 对重的正反夸克之间的相互作用势能v ( r ) 是直接相联系的 w ( r ，丁) 赢e y ( r ) t ( 2 2 1 ) 因此，通过计算w ( r ，1 ) ，我们可以得到重夸克对的相互作用势能。正是基于 这一点，w i l s o nl o o p 就可以作为一个判断夸克是否禁闭的序参数，当 夸克是禁闭的；而当 0 = 0 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 夸克是非禁闭的。格点规范理论正是根据这一点旨先得出了n o n a b e l i a n 规范 理论中正反今克对势能在大尺度上是线性增加的，也就是夸克是被凶禁的。 当然，也还有其它判断夸克紧闭的序参数，如th o o f il o o p 【2 2 】。 2 1 2 改进的格点规范作用量 在构建格点q c d 理论中的作用量时已经指出，所有w i l s o nl o o p 的领先项 都是秽( 4 ) = f 。，只。f u p ，修止项都是o ( n 2 ) 。我们用最d x w i l s o nl o o p 定义的作 用量也就存在这样领先项为o f n 2 ) 系统误差。要消除或减小这种误差，就需 要对作用量进行改进。改进的初步思想就是，我们可以选取不止一个w i l s o n l o o p ，适当的调节他们之间的相对系数，就可能部分的、或者全部的消除作 用量中的这种误差。在这里我们讨论的只是部分的消除o ( a 2 ) 误差。 1 1 第2 章格点最了色动力学( q ( ：d j 坪论 l ( 6 ) 1l ( 6 ) 2 图2 36 - f 旌l o o p 的三种结构 t h et h r e et y p e so fs i xl i n kl o o p 2 。1 2 1 s y m a n z i k 改进 对于作用量的改进，我们需要两个方面的信息【2 3 】：第一，要有一个改进 条件，也就是能判断出我们的作用量确实改进了；最为完全的条件就是所谓 的在壳改进条件，这个条件要求理论中所有在壳物理量对于连续极限的偏差 软得改进。第二，当改进条件明确以后，我们必须能够计算与之相应的物理 量。 s y m a n z i k 最早依据在壳改进条件，提出了利用裸微扰论计算来改进作州 量的方法，因为对于一个n o n a b e l i a n 的格点规范理论，要精确计算任何的 物理量都是复杂的。1 9 8 5 年l f t s c h e r 并h w e i s z $ l j 用裸微扰论，计算了准确到一 圈时改进的规范作用量的系数【2 4 1 。他们选择了4