（计算数学专业论文）一阶椭圆型方程组边值问题的理论和数值计算.pdf

海人学博 学位论文 摘要 本文主要研究一阶椭圆型方程组的非线性r i e m a n n 边值问题和 r i e m m m m 也瞅边值问题，并利用边界元方法讨论广义解析函数( 一阶椭 圆型方程组的一种特殊形式) 的r i e m a n n - h i l b e r t 边值问题 对于阶椭圆型方程组的r i e m a n n 迈值问题，是通过把它们转化为与 原问题等价的奇异积分方程，利用广义解析函数理论、奇异积分方程理论、 压缩原理或广义压缩原理，证明在某些假设条件下所讨论问题的解的存在 性：对于一阶椭圆型方程组的r i e m a n n h i l b e r t 边值阃题，利用广义解析涵数 理论、c a u c h y 积分公式、函数论方法和不动点原理，证明在某些假设条件 下所讨论问题的可解性：广义解析函数的r i e m a n n - h i l b e a 边值问题的边界 元方法是利用广义解析函数的广义c a u c h y 积分公式，引入c a u c h y 主值积 分，通过对区域边界的离散化，得到边界积分方程，再利用边界条件得 到问题的解 本文的难点是方程的非线性或边界条件的非线性，在证明奇异积分方 程的解的存在性时，要进行模的估计，此估计过程是一个复杂的计算过 程广义解析函数的r i e m m m h i , b e r t 边值问题的边界元方法是以c a u c h y 公 式为基础，c a u c h y 核具有奇性，这是所面临的困难，可以设法利用c a u c h y 主值积分来解决，最后绘出闯题的解 关键词：一阶椭圆型方程组，r i e m a n n 问题，r i e m a n n h i l b e n 问题，奇异 积分方程，边界元方法 v l 海人学博f 学位论义 a b s t r a c t t h ed i s s e r t a t i o nd i s c u s s e st h en o n l i n e a rr i e m a r mb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sa n dt h er i e m a n n h i l b e nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rt h ef i r s to r d e r e l l i p t i cs y s t e m s ，a n dd i s c u s s e st h er i e m a n n - h i l b e nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o r t h eg e n e r a l i z e da n a l y t i cf u n c t i o n ( a l le s p e c i a lf o r mo ft h ef i r s to r d e re l l i p t i c s y s t e m s ) b ym e a n so ft h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d f o rt h er i e m a r mb o u n d a r yv a l u ep r o b i e m sf o rt h et i r s to r d e re l l i p t i c s y s t e m s ，w et r a n s l a t e st h e mt oe q u i v a l e n ts i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n sa n dp r o v e s t h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n 幻t h ed i s c u s s e dp r o b l e m su n d e rs o l n ea s s u m p t i o n s b ym e a n so fg e n e r a l i z e da n a l y t i cf u n c t i o nt h e o r y ，s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n t h e o r y ，c o n t r a c tp r i n c i p l eo rg e n e r a l i e z e dc o n t r a c tp r i n c i p l e ；f o rt h e r i e m a m l - h i l b e r tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf 6 rt h ef i r s to r d e re l l i p t i cs y s t e m s ，w e p r o v e st h ep r o b l e m ss o l v a b l eu n d e rs o l r l ea s s u m p t i o n sb ym e a n so fg e n e r a l i z e d a n a l n i cf u n c t i o nt h e o r y ， c a u e h yi n t e g r a lf o r m u l a ，f u n c t i o nt h e o r e t i c a p p r o a c h e sa n df i x e dp o i mt h e o r e m ；t h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t b n df o rt h e r i e m a n n h i l b e r tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rt h eg e n e r a l i z e da n a l y t i cf u n c t i o n ， w eo b t a i n st h eb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n sb ym e a n so ft h eg e n e r a l i z e dc a u c h y i n t e g r a l f o r m u l ao ft h e g e n e r a l i z e da n a l y l i cf u n c t i o n ，i m r o d u c i n gc a u c h y p r i n c i p a lv a l u ei n t e g r a t i o n 。d i s p e r s i n gt h eb o u n d a r yo ft h ea r e a ，a n dw eo b l a i n s t h es o l u t i o nt ot h ep r o b l e m su s i n gt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h ed i l 蕞c u t yo ft h ed i s s e r t a t i o ni st h en o n l i n e a ro ft h e e q u a t i o n s0 1 ( h c b o u n d a r yc o n d i t i o n s w h e np r o v i n gt h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o nt ot h es i n g u l a r i n t e g r a le q u a u o n ，w em u s te s t i m a t et h en o r mo ft h eo p e r a t o r s ，t h ep r o c e s so ft h e e s t i m a t i o ni sac o m p l i c a t e dp r o c e s s t h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o df o rt h e r i e m a r m h i l b e r tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rt h eg e n e r a l i z e da n a l y t i cf u n c t i o n u s e sc a u c h yi n t e g r a lf o r m u l aa st h ef o u n d a t i o n t h e s i n g u l a r i t yo ft h ec a u c h y v i 海人学博l j 学位论史 k e r n e li st h ed i f f i c u t yw ea r ef a c i n g ，w eg i v et h es o l u t i o nt ot h ep r o b l e m sb y i n t r u d u i n gc a u c h yp r i n c i p a lv a l u ei n t e g r a t i o n k e y w o r d ：t h ef i r s to r d e re l l i p t i cs y s t e m s ，r i e m a n np r o b l e m ， r i e m a n n h i l b e r t p r o b l e m ，s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n ，b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d v l i 】 1 拇人学博t 学位论义 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特另, l d i ：l 以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人己发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：猛! 墅一日期蔓堕：五丝 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：立墨量一导师签名。夕差堕 日期：坦：丝 第一章前言 随着自然科学、工程技术、人类社会的发展与变革，人们对自 然界、人类社会的认识经历了由感性到理性、由定性到定量、由表及 里的深刻变化，人们已经解决了许许多多的科学之谜，获得了一项项 科学技术成就，但人们的认识在许多领域远未达到全面而深刻的程 度众所周知，来源于地质勘探、无损探伤、c t 技术、军事侦探、 环境治理、遥感遥测、信号处理、控制论、经济学等的许多问题都可 以从数学上归结为偏微分方程组的边值问题，而这些问题是当今世界 十分重要而又极其困难的课题，对这些问题的研究与解决将直接提升 国家的科学技术水平甚至综合国力，特别对我国这样一个发展中国 家，倡导边值问题的研究具有非常熏要的意义 对边值问题的研究可分为理论研究与实际应用两方面，地质、 工程、医学、军事、环境、遥测、通信、控制、气象、经济等领域着 重实际应用，而数学研究着重问题的机理、理论和方法在数学上， 偏微分方程的边值问题的研究是应用数学与计算数学的一个重要研 究方向或分支从纵向看，偏微分方程的边值问题的研究是伴随着 微积分的诞生而出现的，如b e r n o u l l i 最速降线问题、简谐振动、热 传导等，解决的问题往往简单而且初步，低维、线性的问题容易求解， 由于受到当时科学技术水平的限制，特别是试验、测量和计算条件的 限制，人们只能解决一些经典的问题时间推到2 0 世纪，数学有了 很大发展，特别是2 0 世纪中叶以来，现代数学、计算理论、传感器、 计算机的飞速发展，为偏微分方程的边值问题的提出与解决提供了强 有力的手段，尽管这些问题是非线性的、高维的、不适定的但是 到目前为止，这些问题还远未达到圆满解决的程度世界上有许多 国家的科学家从事偏微分方程边值问题理论与方法的研究，主要集中 于机理分析、理论方法的探索、算法设计和数值试验等，在2 0 世纪 中取得了丰富、系统、深入的进步和杰出成果在2 0 世纪8 0 年代 和9 0 年代，我国科学家在偏微分方程边值问题的研究领域颇有建树， 有一些方面处于国际领先地位。有人预言：偏微分方程边值问题的 研究在2 1 世纪将有突破性的进展，偏微分方程边值问题的研究成果 将伴随着人们的工作和生活，人们正在并将进一步享受这- 文明成 果 苏联著名数学家i 。n ，v e k u a 院士 1 和美国著名数学家l b e t s 教授 2 1 创建的广义解析函数理论的研究领域，在苏联、美国、德国及西欧 等世界各地得到广泛而深入的发展，井在物理学、力学和工程技术中 得到了有效的应用在我国也有不少数学工作者在从事这方面的研 究，并取得了可喜的成果【3 5 】，受到国际上同行的重视，一阶、二 阶椭圆型方程组的基本理论与边值问题的研究方面也硕果累累 3 , 6 2 0 ，他们所做的工作主要是线性方程或非线性方程的线性边值问 题，在以上研究的基础上，我进一步对一阶椭圆型方程组的非线性 r i e m a n n 和r i e m a n n h i i b e r t 边值问题进行研究，并采用复变量形式 的边界元方法来研究广义解析函数的r i e m a n n h i l b e r t 边值问题 边界元法是继有限元法之后的一种别具特色的新的数值方法， 它是将描述力学问题的偏微分方程边值问题化为边界积分方程并吸 收有限元法的离散化技术而发展起来的将力学问题归结为求解一 组边界积分方程，这就是边界积分方程方法边界积分方程有奇异 性，解析求解极为困难边界元法中有有限元法的思想，它把有限 元法的按求解域划分单元离散的概念移植到边界积分方程方法中，但 边界元法不是有限元法的改进或发展，边界元法与有限元法存在着质 的差异 有限元法要在整个求解域上进行离散，边界元法只在求解域的 边界上进行离散有限元法是完全的或全域的数值方法，而边界元 法在域内采用了力学基本解和s o m i g l i a n a 积分，数值计算只是在边界 上进行，它属于半解析半数值方法论不难看到，边界元法具有有限 元法所没有的优点 现在边界元法的发展已涉及工程和科学的很多领域，几乎可以 解决所有的有限元法能够解决的问题对线性问题，边界元法的应 用已经规范化；对非线性问题，其方法亦趋于成熟 在工程和工业技术领域，边界元法的应用已涉及到水工、土建、 公路、桥梁、机械、电力、地震、采矿、地质、汽车、航空、结构优 化等诸方面 用边界元法求解偏微分方程的边值问题通常分作两类；一类是实 海人学博l + 学位论文 变量边界元法，是从g r e e n 公式出发，导出问题的边界积分方程；另 一类是复变量边界元法，它以c a u c h y 公式为基础目前实变量边界 元法已有较多的资料( 【2 2 1 - 4 8 ) ，但对于复变量边界元法的应用 ( 2 8 ， 4 9 1 - 51 】) 却讨论得比较少，我在此主要是以c a u c h y 公式为基础 讨论广义解析函数的r i e m a n n h i l b e r t 边值问题 以c a u c h y 公式为基础，c a u c h y 核具有奇性，这是所面临的困难， 可以设法利用c a u c h y 主值积分来解决，最后给出问题解的方法 海人学博| 学位论义 第二章一阶椭圆型方程组及边值问题 2 1 一阶椭圆型方程组 力学、物理学、工程机械等领域的许多问题都可以归结为一阶 椭圆型方程组考虑一阶方程组( 参考文献 1 】) dz fdu dv a i i _ + 口1 2i + b t li dx ovox + 6 1 2 芸+ 叩+ 6 1 v = 石， 0v 锄警4 a 2 2 挈+ b 2 ，兰+ b 2 ：兰+ a 2 u + b 2 b 2 v ：艿， 盘2 1 瓦而0 + 1 瓦+ 2 瓦 归，2 dx v dxdy 其中a i k , b t k ，a i , b f ，z 是某一域g 内两个自变量的已知函数对应于这 一方程组的二次形为 其中 a= f a d x 2 + 2 b d x d y + c 咖2 a 1 2 b 2 2 一a 2 2 b 1 2 ( 2 2 ) c ：型立血 ( 2 3 ) 6 = 一去( 2 - - 0 2 1 6 1 2 i f 0 1 2 如i - - a 2 26 1 1 ) a = ( a 1 2 b 2 2 一a 2 2 b 1 2 ) ( 口1 1 6 2 l 一口2 1 6 1 1 ) 一i 1 ( 口11 6 2 2 一a 2 1 6 1 2 + 以1 2 6 2 1 一口2 2 6 1 1 ) 2 ( 2 _ 4 ) 二次形f 当且仅当a 0 ，a 0 时是正定的在这种情形称方程组( 2 1 ) 为椭圆型方程组从条件 0 推出b l l b 2 2 一b 1 2 b 2 1 0 否则就会有 6 1 1 = 6 1 2 ，b 2 l = l b 2 2 ，于是 = 一去o ，6 2 2 - - a 2 1 6 1 2 + a t 2 6 2 1 - - a 2 2 6 t t ) 2 o 5 海人学博i 学位论义 所以我们永远可以将方程组( 2 1 ) 化为下面的一般形式 在这种情形f 的椭圆型条件取以f 形式 口1 1 o ，= 口1 1 日2 2 一( a 1 2 + a 2 1 ) 2 。 1 ( 2 6 ) a o = 常数 引进w = b t + i v ，z = x + 砂，方程组( 2 5 ) 可以化为以下的复形式， 即复形式的一般形式的一阶椭圆型方程组( 参考文献 3 ) ： 芒_ 9 1 ( z ) 娑嘞( z ) 芒+ 4 ( z ) w + b ( z 弦= f ( z ) ( 2 7 ) 0z 0z0z 其中 i q , ( z 1 + 龇) = 、( a , , + a 瓦2 2 ) 2 - 再4 a i + 4 ( r 1 + 6 ) 2 - 4 a ，( 2 8 ) 占= a + 丢0 2 l 一( 2 1 2 ) 2 4 7 由椭圆型条件( 2 6 ) 得 l q l g 】+ 1 9 l ( z 】q o 2 ) 类的函数 2 2 边值问题 2 2 1 解析函数的r i e m a l l n 边值问题 小 吐 6 - 舶 外 2 叩 懈 “ 斗 生蛐塑 q 口 “ + 抛一趴(詈一h 吒 v一苕vx a a a a ! ：塑叁兰堕! ：兰堡堡! 一 所以我们永远可以将方程组( 2 1 ) 化为下面的一般形式 一娑+ 口1 。娑+ a 1 2 娑+ a l u + 即：z ， 一两+ q 瓦 而 岛胪m ( 2 5 ) 彗峋，娑+ 屹罢+ a 2 u + b 2 v ： ， 瓦州：，瓦m z ：万 归。2 在这种情形下的椭圆型条件取以下形式 盘1 1 o ，= q l 口2 2 一l ( a 1 2 + a 2 1 ) 2 。 1 ( 2 _ 6 ) o = 常数 引进w ：甜+ i v ，z ：x + 纱，方程组( 2 5 ) 可以化为阻下的复形式， 即复形式的一般形式的一阶椭圆型方程组( 参考文献 3 ) ： 筹毗) 0 万w 嘞( z ) 等+ 4 ( z 如+ _ 8 ( z 弦= f ( z ) ( 2 7 ) 其中 q 1 0 ) + 啦( z l =瓜鬲了墨匝夏至 l + t ：1 1 l + d 2 2 + 艿 占= + a 2 1 - - a 1 2 1 2 ( 2 8 ) 由椭圆型条件( 2 6 ) 得 q 1 0 l + 随( 2 】q o 2 ) 类的函数 2 2 边值问题 2 2 1 解析函数的r i e m a n n 边值问题 2 2 1 解析函数的r i e m a n n 边值问题 舸人学博i 学位论义 求一个包括无穷远点在内的分块解析函数( z ) ，它在围道1 1 上满 足边界条件( 参考文献( 5 2 】) 西+ o ) 一g o ) 一0 ) = g ( f ) ，( 2 1 0 ) 称此边值问题为单连通区域上的r i e m a n n 边值问题其中g ( f ) 称为这 个问题的系数，它在f 上满足h 6 1 d e r 条件，9 0 ) 为自由项当 g o ) ；0 时，称此边值问题为齐次r i e m a n n 边值问题 若设g +是复平面e 上由有限、封闭、不相交曲线 f k c 1 r ，k = 0 ，m 围成的多连通区域，r o 把其余曲线包含在 它内部我们记g + 的补集为g i ，k = 0 ，m 且g i 是无界的 记g 一= u 惫og i f o 的逆时针方向是正方向，而其它l n u , l c f 方 向为正方向如果w ( z ) 是定义在e r 上的分块解析函数，其中 f = u l ，则对t f 我们记w + ( f ) 为w ( z ) 当z 从g + 内 部趋于f 时的极限( 如果存在) ，n 样 g w o ) 为w ( z ) 当z 从g 一内部 趋于t 时的极限w ( z ) 在围道r 上满足边界条件 w + ( r ) 一g o ) w o ) = g ( f ) ， ( 2 1 1 ) 称此边值问题为多连通区域上的r i e m a n n 边值问题 2 2 2 解析函数的r i e m a n n h i i b e r t 边值问题 在由一条简单的光滑闭围道r 所围成的区域d + ( 有界的或有无 界的) 内，求一个在d + 内解析、在d + + r 上连续的函数 巾0 ) = “( x ，y ) + i v ( x ，y ) ，使在r 上满足边界条件 r e 珏o ) + f 6 ( f + 0 ) - 口( f 沁o ) 一6 0 ) = c o ) ( 2 1 2 ) 海人学博卜学位论史 其中口( f ) ，6 0 ) 和c 0 ) 都是给定在r 上满足h 6 1 d e r 条件的实函数，此边 值问题称为r i e m a n n h i l b e r t 边值问题如果c o ) 兰o ，称此边值问题为 齐次r i e m a n n h i l b e r t 边值问题 2 2 3 广义r i e m a n n h i l b e r t 边值问题 要求在域g 内找方程 要兰+ 4 ( z 加+ b ( z 痧= f ( z ) ，z g ( 2 1 3 ) u z 的解w ( z ) = 甜+ i v ，使它满足边界条件 口甜一卢v * r e 羽w l = y ( z ) ，z f ，允= a + i f l ( 2 1 4 ) 当a ；b ；f ；0 时，这就是熟知的关于解析函数的r i e m a n n h i l b e r t 边 值问题因此我们称问题( 2 1 3 ) 一( 2 2 4 ) 为广义r i e m a n n - h i l b e r t 边值问 题当f ；7 ；0 时，称它为齐次问题 | ：海人学博j j 学位论史 第三章一阶椭圆型方程组的r i e m a n n 问题 3 1 广义解析函数的非线性r i e m a n n 问题 设g +是复平面e 上由有限、封闭、不相交曲线 f k c 1 ”，忌= 0 ，朋围成的多连通区域，r 0 把其余曲线包含在 它内部我们记g + 的补集为g i ，忌= 0 ，加且g i 是无界的 记g 一= u 是og i r o 的逆时针方向是正方向，而其它r 顺时针方 向为正方向如果w ( z 1 是定义在e r 上的函数，其中 f = u l ，则对t f 我们记w + ( f ) 为w ( z ) 当z 从g + 内 部趋于，时的极限( 如果存在) ，n 样i e w 一( f ) 为w ( z ) 当z9 , g 一内部 趋于f 时的极限 下面提出我们要考虑的广义解析函数( 参考文献 1 】) 的非线性 r i e m a n n 问题 问题r ：在g + u g 一内寻找方程 娶兰+ 爿( z ) w + b ( z ) 面= 0 ， ( 3 1 1 ) uz 的解w ( z ) ，它在g + = g + u r 和g 一= g u r 内h 6 1 d e r 连续，对三 的偏导数在三p , 2 陋) ，p 2 内，在无穷远处为零，并且在r 上满足跳 跃条件 w + ( f ) 一g o ) w o ) = g ( f ，w ) ， ( 3 1 2 ) 其中“是一个正常数 f 。海人学博1 j 学位论文 一一 假设： ( 1 ) 爿( z ) ，b 0 ) 是属于三础陋) ，p 2 的已知函数； ( 2 ) g 0 ) ( t e r ) 满足h 6 1 d e r 条件，g ( t ，w ) ( t e r ， w i m ( m 是足够大的正数) ) 满足h 6 1 d e r - l i p s c h i t z 条件，即 l c ( t ，) 一c ( t ：) k g l f l 一f ：i 芦， g ( ，w 1 ) 一g ( t ：，】蜓b ，一，2 p + i m w 2 0 ， 这里k g , k g ，卢( 圭 _ 0 ，且凡，风，1 t 都充分小，问题 r 有唯一解w ( z 1 证明：令p = 万c q w l 卵伍) ，可得( 参考文献 5 2 】) w ( z ) = 矽( z ) + 即， 即：一三胆哮亭却， ( 3 1 5 ) 冗譬 2 在e 内是连续的，因此( 参考文 献 2 0 ) j 海人学博j j 学位论殳 北) = 裂殴弯群驴缄+ 霎a j z j x ( z ) = 型2 ，rij r r 蜮x ( t x t - z ) + 裂搿+ 跏 j i 蹁 p ( f ) d 亭d 玎x + ( f 沁一z 弛一f ) j 八 c j ( z 1 是齐次r i e m a n n 边值问题( 3 1 8 ) 的分块解析解 记 w + ( f ) = g o h o ) v o p = 劢+ x r ( o p ) 一0 r p 】， g ) 又可以表示为( 参考文献【3 ) 因此 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) k l ( z ) = x t ( o p ) - o t p + p ( z k + e a ，办( z ) ( 3 1 9 ) j = l r 1 w g ) = q ) + 劢= v o p + ( z ) k + q 办( z ) ， ( 3 1 1 0 ) aw _ 2p dz 把( 3 1 。1 0 ) ，( 3 1 。1 1 ) 代入( 3 。1 。1 ) 我们可以得到关于未知密度 ，jr 一z，一万一2 趴 娑用 一 = 工r 口 “芦 每即= 韭跳 幽万 rjr 幽勋 尚挚 矾两丛她燃蹦蛳| 砉 巾虻p 型x 一z pfjr 。一幼。引 一一 一2 0 、g ：海人学博l4 学位论义 l p 2 陋) 的奇异积分方程： p 一印= f ( z ) ， 这里 ( 3 1 1 2 ) p p = 一4 0 娥p 一8 ( z ) t o p 一匦( z ) x ( z ) k + b ( z 弦币疋 ， o ) ：一4 g ) x - i 吩办o ) 一8 0 ) 窆口，万曰 户lj = l 首先考虑齐次方程 p p p = 0 ， 对于p lp ：l p , 2 陋) ，有 i p p ，一尸p ： i 么瓦，一p d + l b r o ( p 。一胁) + 枷从( r g ( 一) 一( p ：) 】+ b x ( f e ( p , ) - f g ( p 2 ) 1 】 因此 其中 l 【p p t p p z k ：k ，l i p 、p 2 k ， ( 3 1 1 4 ) k p = ( 爿。+ 曰。遮。+ ( 凡+ b o ) l h g ， l = s u p e l x ( z ) ，l r o ( p - 一p ：) sk 她一p z k ， a = k ：， b 。2l i s ( z i l ：， f v ( p ) 一f g ( p 2 1 h 。l i p , 一p ：k ： 如果a 。，b o 和都充分小，则k p 1 ，因此方程( 3 1 1 3 ) 只有零 解而方程( 3 1 1 2 ) 对任意右端项，( z ) 有唯一解p ( z ) ，由此可知 问题r 有唯一解w ( z 1 ， 2 海人学博【+ 学位论文 定理3 1 2 ：当盯= 觑把0 ) 2 ，可 得 ( z ) = x ( z ) 盱p p ) 一p 劢】+ x ( z 政 一掣畔蜊理 +x ( z ) o ( z )9 尝蜊砰 由于x ( z 1 是齐次r i e m a n n 边值问题的基本解，以及 有 去高= 商 去尚= 一未 口( z ) - - 厕1 z g + 三g 一 z g + z g 一 卜p矽= 吐雠 幽万 rjr 塑劢 一 海人学博i j 学位论义 因此 妒( ：) = ( z 弦p p ) 一目劢】+ ( z ) = x ( z 沙( ) 一即+ 肛x ( z 砖 所以 w ( z ) = x ( z f ( + x ( z ) 把( 3 1 t 1 ) ，( 3 1 i5 ) 代入( 3 1 1 ) 我们可以得到关于未知密度 p 三础陋) 的奇异积分方程： p + 彳g 这。沙( ) + 曰。净( z 沙( ) + - g 弦( z ) r g + b o ) 觋 _ 。 f 3 1 1 6 ) 令 = p + 可以把( 3 1 ，1 6 ) 转化为 p + + 爿( ：沙b ( z ) 孺羽+ 翮( z 爵。 ( 3 1 1 7 ) 其中 = 嘉| f 错 我们考虑齐次方程 p 一p p + = 0 ， ( 3 1 1 8 ) 其中 4 海人学博i 学位论文 p p * = - a ( z 弦”曰( z ) 弼硐一翮( z 础 对p ：，p ；l p , 2 忙) ，有 限一暇m r c d ：一p ：冲i - 2r ”p ：j 因此 其中 + i 爿( r 二c d ：) 一t ：) 】+ 1 日要珏硎 印：一即扎，：耳i i p 7 一础础， ( 3 1 1 4 ) k ，= ( 彳。+ b 。遮+ ( 凡+ 玩) ：， 1 丁i p ；1 - - - kp l p 虬， a 。- - i a ( z 】i 。，：， b 。2 = i l s ( z 】i 。，：， 旺c d ：) 一r g c p ：】日“p ：一p ；t k ： 如果a o ，b o 和t 都充分小，则k p 1 ，方程( 3 1 1 8 ) 有唯一解 p + q ) ，方程( 3 。1 1 6 ) 有唯一解p ( z ) ，因此f 7 题r 有唯一解 w k l 海人学博i 学位论文 3 2 般形式的一阶椭圆组的非线性r i e m a n n 问题 3 2 1 线性方程的非线性r i e m a n n 问题 设g +是复平面e 上由有限条封闭的不相交曲线 r c r ，k = 0 ，m 围成的有界多连通区域，r 0 把所有的r 包含 在它的内部，用g i ，k = 0 ，研来表示。在e 内的补集，g i 是 无界的，g 一= u 毛og f 。定义逆时针方向为r o 的正方向，对 其它的r 顺时针方向是正方向如果w 0 ) 是定义在e f 上的 函数，r = u 卅_ 0 0 ，对t f 用w + ( f ) 表示w ( z ) 当2 从g + 内部趋于t 时的值，用w 一( f ) 表示w ( z ) 当z 从g 一内部趋于 f 时的值 复平面e 上的任意线性一阶椭圆型方程组都可以化为下面的复 形式： 警咱( z ) 娑一q ：( z ) 婴+ 爿( z ) w + b ( z ) w = f ( z ) ( 3 _ 2 1 ) azoz 0z 假设a ： ( 1 ) q i ( z ) g = l ，2 ) 是平面e 上的有界可测函数，在无穷远处为零， 并且满足下面的条件 i q l ( z 】+ i q 2z 】g o 2 ； ( 3 ) g o ) ( r ) 满足h 6 l d e r 条件，g o ，w ) 对f r ，1 w m ( 彳 是一个充分大的正常数) 满足h 6 1 d e r - l i p s c h i t z 条件，即 海人学博i 学位论义 i g ( t 1 ) 一g 0 2 ) k g i f ，一t 2 i ， 鼬】，w ，) 一g ( t 。，w ：】k 。n _ f 2 i 卢+ 1 w ，一w 2 0 ， 其中k g , k g ，夕( 圭 2 都可解，解依赖于盯次多 项式而唯一确定 证明：令p = 娑l p , 2 陋) ，则有 w ( z ) = ( z ) + 即， ( 3 2 6 ) 劢：一! f f 蝎善d 叩，矽是一个分块解析函数，并且在r 上满足 兀；一z 下面的边界条件 痧+ o ) 一g o 够一o ) = g o ) 一1 y p + j 2g ( t ，o + t p ) ( 3 2 7 ) 因为即在e 内对任意的p ( z ) l 啦陋) ，p 2 是连续的，因此( 参 考文献5 2 1 ) j ：海人学博 ：学位论立 北) = 裂幽二螺掣+ ；z ；：a j z j x = 裂特+ 裂错+ x 驴- 1 = 一掣9 ( 刍然卜m 叼 + 掣端辫+ t 驴c - 1 悱) ， ( 3 2 8 ) 记 心，= 嘉蒜滔， t o p = r p + x r ( op ) 一0t p 】， p 刍躺， = 壶辫， 印= 一去f 各删玑 五户= x ( d s ( o p ) 一o ( z ) s p l + x ( z 弦( 口户) 一o ( z ) t p 卜x o 即， ( z ) 可以表示为 矽( z ) = x r ( o p ) 一o r p + ( z k + 口j z 。x ( z ) ， ( 3 2 9 ) 因此 w ( z ) ：( z ) + 即+ 篁口j z j x ( z ) ：p + x ( z ) r 。+ 篁d ，z j o ) ， ( 3 2 1 0 ) aw i a 牙2 p ， 1 8 r 海大学博i “学位论文 娑：五p + s p + x a z ( 3 。2 1 1 ) 把( 3 2 1 0 ) ，( 3 2 1 1 ) 代入( 3 2 1 ) 可以得到关于未知密度 p l p , 2 陋) 的等价的奇异积分方程 p 一尸p = f ( z ) ， ( 3 2 1 2 ) 其中 p p = q l s p + q 2 s p + q t v , p + q 2 五p a t o p b t o p + k 。x r g + 铂x t 一似r g + g ：i i + q 2 x f g b x v 。 ， 而0 ) 仅依赖于方程的右端项f 0 ) 和任意给定的多项式吩z 。，同 未知函数p ) 无关， 首先考虑下面的齐次方程 p p p = 0 ， 对p 1 ) p 2 l p , 2 ( e ) ，有 ( 3 2 1 3 ) p p l p p ：l - i q 。s ( a 一见】+ l g ：瓦f 硐+ 觚( p 。一伤) 十i 擘：丽f 习 + i a t o ( ；，一户：) + i b r o ( p 一p ：) 1 + 峙。x ( r g ( p 。) 一r g ：斟 + 舻也慨) 一r ；( p ：) 】+ b ：面而阐 + q z x ( f g ( p 1 ) - f g ( p z ) 1 + 1 似( r g ，) 一r g p ：) 】+ p i 扩兀百f 硼】 所以 1 1 即1 一p p 2 k ：k j p l l p l 一圳站， ( 3 - 2 1 4 、tj0 x 卜 z ， g 川芦 + 、l ，q xd 一 卜 j ：海人学博 学位论义 其中 k 尸= q o 【人p + k 1 ) + ( a o + 岛皿o + 【g 。e ；+ l h ：) + ( 凡+ 岛弛】， a p2 ：，l = s u p i x ( z ) ，= s u p 占z ) ， 1 互( p ，一p ：】k ，j i p ，一p 2 忆。： i v o ( p ，一p 2 ) k o 慨一p 2 忆， 4 = 悱k ：，b 。= l i b ( z k ：， k ( 角) 一r g ：1 日。l i p 。一p 2 忆： | r g t ) 一r g 。：l 日。1 修一p ：忆， 因此当g o ，a o ，岛和2 都充分小时，有k p 0 ，存在实常数g o = q o ( m ) 2 ， ( 3 2 1 8 ) ( 3 ) g ( f ) ( f r ) 满足h 6 1 d e r 条件，g ( t ，w ) ( f f ，f 卅m ( m 是充分大的正数) ) 满足h 6 1 d e r - l i p s c h i t z 条件，即 g ( t 1 ) 一g 0 2 ) k g i t i t 2 i 卢， ( 3 2 3 ) 龇l ，w 。) 一g ( t ：，w ：】k 。k _ f 2 l 卢+ i w i - - 1 4 ) 2 1 j ( 3 _ 2 - 4 ) 定理3 2 2 ：在假设b 下，当z = 砌搬o ) = 0时，如果 f ( z ，o ) ，v o ( z ) 的l ，2 怛) 范数及q o ，都充分小，则拟线性椭圆 型方程的r i e m a n n 问题有唯一解 证明：类似于定理3 2 1 的证明，可得( 3 2 1 0 ) 和( 3 2 1 i ) ，把 它们代入方程( 3 2 1 5 ) 可得 其中 p p p = 0 ， ( 3 2 1 9 ) p p = q 1 ( z ，p + x r g ) 也p + ，s p + r g + x t ) + 9 2 g ，p + r g 厄焉万面i 百覆) + f b ，p + p x r g ) ， 对p l , p 2 l p , 2 陋) ，有 2 海人学博i 学位论义 尸p l j p 戌1 窆l g f g ，t o p l + 卢x r g h ) ) 一吼g ，t o p 2 + z x f g ( p 2 ) ) l 五a + 印1 + z 。r g ( p 1 ) + x r ：1 1 + 窆k ，( z ，t o p + p x f 。) l 五p 1 一丁p 2 + 5 p l s p 2 + k t x r g c o , ) 一p x 。r g ( p 2 ) 十t ( p 1 ) 一x r i p 2 】 + 1 f ( z ，瓦p 。+ p x r g ( p 。) ) 一f ( z ，t o p 2 + t x f g ( p 2 ) 】 ( 3 2 2 0 ) 利用( 3 2 1 7 ) ，( 3 2 1 8 ) ，( 3 2 3 ) ，( 3 2 4 ) 和( 3 2 2 0 ) ，可得 i i p r - 一印z k ：k j d l i p l 一蒯时， ( 3 - 2 2 1 ) 其中 k p = ( m l + m 2 肛o + l h g ) ( a ，i i p i l + k 。l i p i i + 。 l p 。 i + 三r g ( o ) + l h a p 。i i + r g ( o ) ) + q 。( 八，+ k ，