（计算数学专业论文）奇异摄动对流扩散问题的有限差分法.pdf

中文摘要 最高阶导数项含有小参数的微分方程称为奇异摄动问题，其解存在指数边 界层或内部层奇异摄动问题常常会在科学研究、工程实践中碰到例如，流体力 学中的高雷诺数n a v i e r - s t o k e s 方程，多孔媒质的流体方程，半导体的扩散方程， 化学反应中的反应方程等等 对于摄动系数比较小的情况，经典的数值方法给不出令人满意的数值结果 特别地，基于中心或迎风差分策略的逐点误差在一致网格上是与e 的负次幂成正 比的本文根据准确解的先验估计，合理构造自适应网格在自适应网格上进行有 限差分离散来求解奇异摄动对流扩散问题通过建立离散算子的不同的稳定不等 式来分别进行误差分析理论分析显示我们的有限差分策略是关于小参数e 一致 收敛的，数值实验表明理论结果的正确性，证实了数值方法的稳健性 本文的组织如下：第一章考虑一维奇异摄动对流扩散问胚首先对应用于奇异 摄动问题的自适应网格进行了分类其次对一维连续问题的连续算子的稳定性、 准确解的分解等有关内容进行了讨论最后，建立了基于自适应网格的简单迎风 差分策略，根据一阶差分算子的不同的稳定不等式，用三种方法进行了误差分析 第二章考虑一维奇异摄动对流扩散问题的二阶差分策略给出了在加密阿格 上使用中心差分离散，而在粗网格上则采用中点迎风差分格式的混合差分策咯， 得到此格式在s h i s h k i n 型网格上是几乎二阶收敛的本章还介绍了两种常用的加 速技巧；r i c h a r d s o n 外推法和缺陷修正法，这两种方法都是从低阶差分策略出发 进行加速来得到高阶收敛策略最后，本章考虑了对流系数不连续的奇异摄动问 题，这类问题由于系数的不连续性导致存在一个内部层在s h i s h k i n 网格上构造 了混合差分格式，得到几乎二阶收敛的误差估计 第三章考虑奇异摄动拟线性问题在自适应网格上，用两种迎风差分格式分 别对拟线性问题进行离散，给出混合稳定不等式，得到在离散最大模意义下的一 致误差估计 第四章讨论了奇异摄动对流扩散方程组问题由于方程组的每个方程的最高 阶导数项各含有一个小参数，这就导致存在一个重叠的边界层，我们分析了准确 解的性质，据此构造了分片一致的s h i s h k i n 型网格，并应用两种方法分别证得迎 风差分策略是一阶收敛的，并且是关于两个小参数一致收敛的 第五章考虑一个两维奇异摄动对流扩散问题在自适应网格上构造迎风差分 格式，用两种方法分别对差分策略进行了误差分析 第六章应用单调迭代法( 也称上下解法) 来计算非线性差分方程组此单调迭 代法在每个迭代步只需求解一个线性方程组，并且很容易确定迭代的初始值我 们分别建立了半线性对流扩散问题和拟线性问题的差分方程组的迭代过程，证明 其是全局收敛的 1 1 a b s t r a c t d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t has m a l lp a r a m e t e rem u l t i p l y i n gt h eh i g h e s to r d e r d e r i v a t i v et e r m sa r es a i dt ob es i n g u l a r l yp e r t u r b e da n dn o r m a l l yb o u n d a r yl a y e r s o c c u ri nt h e i rs o l u t i o n s s i n g u l a r l yp e r t u r b e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eu b i q u i - t o t mi nm a t h e m a t i c a lp r o b l e m si nt h es c i e n c e sa n de n g i n e e r i n gf o re x a m p l e ，t h e n a v i e r - s t o k e se q u a t i o n so ff l u i df l o wa th i g hr e y n o l d sn u m b e r ，t h ee q u a t i o n sg o v - e r n i n gf l o wi np o r o u sm e d i a ，t h ed r i f td i f f u s i o ne q u a t i o n so fs e m i c o n d u c t o rd e v i c e p h y s i c s ，a n dm a t h e m a t i c a lm o d e l so fl i q u i dc r y s t a lm a t e r i a l sa n do fc h e m i c a lr e a c - t i o n s c l a s s i c a ln u m e r i c a lm e t h o d su s u a l l yg i v eu n s a t i s f a c t o r yn u m e r i c a lr e s u l t sw h e n t h es i n g u l a rp e r t u r b a t i o np a r a m e t e r i ss m a l l i np a r t i c u l a r ，t h ep o i n t w i s ee r r o r si n n u m e r i c a lm e t h o d sb a s e do nc e n t e r e do ru p w i n d e dd i f f e r e n c e so nu n i f o r mm c s h e s d e p e n di n v e r s e l yo nap o w e ro f i nt h i sp a p e rw ec o n s r u c tf i n i t ed i f f e r n c em e t h o d o nl a y e r - a d a p t e dm e s h e sf o rs o l v i n gs i n g u l a r l yp e r t u r b e dc o n v e c t i o n - - d i f f u s i o ne q u a - t i o n sw h o s ec o n v e r g e n c eb e h a v i o ri nt h eg l o b a lm a x i m u mn o r mi se - u n i f o r m t h e n u m e r i c a lr e s u l t sa r ec l e a ri l l u s t r a t i o n so ft h ec o n v e r g e n c ee s t i m a t e t h e yi n d i c a t e t h a tt h et h e o r e t i c a lr e s u l t sa r ef a i r l ys h a r p t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 as i n g u l a r l yp e r t u r b e dc o n v e c t i o n - d i f f u s i o np r o b l e m si no n ed i m e n s i o ni ss t u d i e d f i m tw ed e r i v eag e n e r a le l a s s i f i c a t i o nf o rl a y e r - a d a p t e dm e s h e s s e c o n dw es t u d yt h es t a b i l i t yo ft h ec o n t i n u o u s o p e r a t o ra n dt h ep r o p e r t i e so ft h ee x a c ts o l u t i o n f i n a l l y , b a s e do nd i f f e r e n ts t a b i l - i t yp r o p e r t i e so ft h ef i r s t o r d e ru p w i n dd i f f e r e n c es c h e m e ，w eg i v et h r e ec o n v e r g e n c e a n a l y s i s e so nl a y e r a d a p t e dm e s h e s ， i nc h a p t e r2 ，f o ro n ed i m e n s i o n a lp r o b l e m sw ea n a l y s es e c o n d o r d e ra c c u r a t e d i f f e r e n c es c h e m e s o u rh y b r i dd i f f e r e n c es c h e m eu s e sc e n t r a ld i f f e r e n c eo nt h ef i n e p a r to ft h em e s ha n dt h em i d p o i n tu p w i n ds c h e m eo nt h ec o a r s ep a r t w es h o w t h a tt h eh y b r i ds c h e m ei sa l m o s ts e c o n d - o r d e rc o n v e r g e n ti nt h em a x i m u mn o r m w h i c hi si n d e p e n d e n to fs i n g u l a rp e r t u r b a t i o np a r a m e t e r w ea l s op r e s e n tt w oc o n - v e r g e n c ea c c e l e r a t i o nt e c h n i q u e s ：r i c h a r d s o ne x t r a p o l a t i o na n dd e f e c tc o r r e c t i o n t og e th i g h e r o r d e rs c h e m e s f i n a l l y , as i n g u l a r l yp e r t u r b e dc o n v e c t i o nd i f f u s i o n p r o b l e mw i t had i s c o n t i n u o u sc o n v e c t i o nc o e f f i c i e n ti sc o n s i d e r e d d u et ot h ed i s - c o n t i n u i t ya ni n t e r i o rl a y e ra p p e a r si nt h es o l u t i o n t h ep r o b l e mi ss o l v e du s i n ga h y b r i dd i f f e r e n c es c h e m eo nas h i s h k i nm e s h i nc h a p t e r 3 ，as i n g u l a r l yp e r t u r b e dq u a s i l i n e a rt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mi sc o n s i d e r e d t h ep r o b l e mi sd i s c r e t i z e du s i n gt w ou p w i n dd i f f e r e n c es c h e m e s n l o nl a y e r - a d a p t e dm e s h e s w eg i v eu n i f o r me r r o re s t i m a t e si nad i s c r e t em a x i m u m n o r mb yt w oh y b r i ds t a b i l i t yi n e q u a l i t i e s i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h ep a r a m e t e r - u n i f o r mf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o df o ra c o u p l e ds y s t e mo fs i n g u l a r l yp e r t u r b e dc o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s t h el e a d i n g t e r mo fe a c he q u a t i o ni sm u l t i p l i e db yas m a l lb u td i f f e r e n tm a g n i t u d ep o s i t i v e p a r a m e t e r ，w h i c hl e a d st ot h eo v e r l a pa n di n t e r a c tb o u n d a r yl a y e r w ea n a l y s e t h eb o u n d a r yl a y e ra n dc o n s t r u c tap i e e e w i s e - u n i f o r mm e s ho nt h ev a r i a n to ft h e s h i s h k i nm e s h w ep r o v et h a to u rs c h e m e sc o n v e r g ea l m o s tf i r s t o r d e ru n i f o r m l y w i t hr e s p e c tt os m a l lp a r a m e t e r s i nc h a p t e r5 ，w ec o n s i d e ra nu p w i n df i n i t ed i f f e r e n c es c h e m eo nan o v e ll a y e r - a d a p t e dm e s hf o ram o d e ls i n g u l a r l yp e r t u r b e dc o n v e c t i o nd i f f u s i o np r o b l e mi n t w od i m e n s i o n s w eu s et w om e t h o d st oa n a l y s i st h ec o n v e r g e n c eo ft h eu p w i n d d i f f e r e n c es c h e m eo nas h i s h k i nm e s h i nc h a p t e r6 t h em o n o t o n ei t e r a t i v em e t h o df a l s ok n o w na st h em e t h o do f l o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s ) i sa p p l i e dt oc o m p u t i n gt h en o n l i n e a rd i f f e r e n c es c h e m e s a f t e rd i s e r e t i s a t i o no ft h es i n g u l r l yp e r t u r b e dp r o b l e m t h em o n o t o n ea l g o r i t h m s s o l v eo n l yl i n e a rs y s t e m sa te a c hi t e r a t i v es t e po ft h ei t e r a t i v ep r o c e s sa n dt h e i n i t i a li t e a r a t i o nc a nb ee a s i l yc o n s t r u c t e dd i r e c t l yf r o mt h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n w i t h o u ta n yk n o w l e d g eo ft h es o l u t i o n w es h o wt h a tf o rn o n l i n e a rs i n g u l a r l y p e r t u r b e dc o n v e c t i o n - d i f f u s i o np r o b l e m st h em o n o t o n ei t e r a t i v em e t h 9 d i sg l o b a l l y c o n v e r g e n c e 1 v 致谢 本文是在导师江金生教授和程晓良教授的悉心指导下完成的在五年的学习 期间，两位导师给丁我很多的关心指导和教诲鼓励他们严谨的治学作风、敏锐的 科研洞察力、诲人不倦的高尚品格都使我受益非浅借此机会，对江老师和程老师 表示衷心地感谢! 感谢浙大数学系的各位老师和资料室的工作人员的帮助特别感谢王兴华教 授、郑士明教授、韩丹夫教授、黄正达教授、叶兴德副教授、吴庆标副教授等老师 的关心帮助同时感谢梁克维、李大明、金中秋、薛莲、陈柏钦、王营、应玮女擎、 凌晓峰等同学，多年来在计算数学讨论班上与他们的交流令我受益匪浅 我还感谢我工作单位的同事，感谢他们的帮助鼓励，特别要感谢奚李锋敦授 给予的大力帮助 最后感谢家人对我多年来学习的理解和支持，使我能顺利地完成学业 岑仲迪 2 0 0 5 3 3 第一章一维奇异摄动对流扩散问题 1 1 介绍 自然科学和工程技术中各种基本规律往往以微分方程作为其数学模型，而熊 够求出精确解的方程只有极小部分，所以微分方程数值解法的研究是非常重要和 必要的 最高阶导数项含有一个小参数的微分方程称为奇异摄动问题由于小参数 的存在，方程的解在某些区域的变化会变得非常激烈，也就是说方程的解存在边 界层或内部层奇异摄动问题广泛存在于天体力学、流体力学、固体力学、量子力 学、光学、声学、化学、生物学以及控制论、最优化等等领域最著名的要数高雷 诺数的n a v i e r - s t o k e s 方程 在奇异摄动问题中，摄动系数e 一般是比较小的，经典的数值方法给不出令 人满意的数值结果特别地，在等矩网格上基于中心或迎风差分策略的逐点误差 是与小参数e 的倒数成正比的当e 比较小的情况下，数值解的误差会相当的大 由于奇异摄动问题的广泛应用和工程实践的迫切需要，奇异摄动问题的数值 方法越来越受到学术界的广泛关注在应用数学、计算数学和力学等领域的科研 工作者的共同努力下，这一领域得到了飞速发展，特别是近二十年来得到了不少 好的结果，已经成为国际上科学界研究的重要课题之一 本文我们考虑一维奇异摄动对流扩散问题 一e u ”一b u + c u = ，z ( 0 ，1 ) ，“( o ) = 7 0 ，u ( 1 ) = 7 1 和两维奇异摄动对流扩散问题 一c a u b v u + “= ，扛，y ) nc r 2 ，u l o a = g ， ( 1 1 ) ( 1 2 ) 这里0 0 是独立于的，而且满足 熙口( ) 2 0 有限差分方法是求解微分方程数值解的主要方法之一在求解奇异摄动| 可题 中，有限差分法分为拟合算子法和拟合网格法拟合算子法是指在差分格式中日i 进 拟合因子，根据准确解的性质对差分算子进行拟合因其不能比较有效地推广到 高维问题，近年来的研究工作进展不大，有关这方面的内容可参见7 ，3 8 ，1 0 8 1 拟 合网格法是指根据准确解的性质，采用自适应网格一在准确解变化剧烈的区域采 用加密网格，而在其他区域则采用粗网格，对于差分格式则仍可采用经典格式 拟合网格法已经成为近二十年来研究奇异摄动问题的主流方法本文考虑基于自 适应网格的有限差分策略 注1 1 无特殊说明本文中出现的均表示网格结点数本文中出现的g 表 示与，n 无关的正常数，且在不同地方的g 可以表示不同的值对于任意函数 g c o 【o ，1 和一族网格点 z 。) c 0 ，1 】j 令g l = 9 ( z i ) 类似地，在两维问题中记 g l j = 9 ( ，蜥) 注1 2 本文中所考虑问题所含的小参数e 是非常小的，一般假设其满足e c 1 2 自适应网格 由于奇异摄动问题的解在某些区域( 边界层或内部层) 内梯度比较大，经典的 差分策略无法得到令人满意的结果因此我们从奇异摄动问题的特性来选取自适 应网格，使得逼近误差达到最优从直观上分析，由于奇异摄动问题的解在边界层 或内部层区域变化比较剧烈，而在外部区域变化比较缓慢，因此我们想到在边界 层或内部层区域用加密网格，而在外部区域使用粗网格，于是得到一个边界层或 内部层加密网格为了使得数值方法的误差分析变得简洁，我们经常引入两个坐 标空间：要构造的非均匀网格的物理空间和相应的均匀网格的计算空间，通过网 格变换函数来建立两个空间之间的对应关系于是只要在均匀网格上构造合适的 网格产生函数就可得到相应的非均匀网格首先定义网格产生函数： 定义1 2 ( 网格产生函数) 令妒：【0 ，1 】一 0 ，1 】是一严格单调算子若算子妒 把均匀网格映射到一自适应网格上，则称z = 妒( ) 为网格产生函数 下面我们介绍几种常用的自适应网格 2 1 2 1 b a k h v a l o v 型网格 1 9 6 9 年，b a k h v a l o v 5 q 提出在边界层内( = 0 附近) 用等距的f 一网格，然 后通过边界层型函数映射到x 轴上即边界层内的网格结点缸满足： q ( 1 一e x p ( 一鲁) ) = 6 = 寺。_ 0 1 b 一， 其中参数q ( 0 ，1 ) ，它表示边界层内的网格结点数与总结点数之比；参数口 0 ， 它决定了边界层内阿格结点分布的梯度大小在外部区域直接用等距的z - 网格， 并选取过渡点r ( 从边界层区域到外部区域的转换点) 使构造的网格产生函数具有 一阶连续导数由此方法构造的阿格产生函数为： 妒 ) = x ( 曲三一管1 n ( 1 _ ：) f 【0 ，t 】， i7 r ( f ) 兰x ( r ) + x ( 下) ( 一r ) 下，l 】， 其中过渡点r 满足 x ( 丁) + x ( 下) 嬉一f ) = 1 从几何图形上可看出直线7 r ( ) 是过点( 1 ，1 ) 与曲线z = x ( ) 相切的切线， ( 1 3 ) ( 1 4 1 ( r ，) ( ( 7 - ) ) 是切点 由于非线性方程( 1 4 ) 不能准确地求解，因此v u i a n o v i d 用( 0 ，1 ) 一p a d d 估计 来代替上面网格产生函数中的指数函数部分，这就有下面的网格产生函数 觚) ： 删i 锆， f5 ( 1 5 ) i ”( ) 2 ) + x ( r ) 心一r ) i r ，1 1 ， 这里选取满足方程( 1 ) = 1 的r ， 所有由估计b a k h v a l o v 网格产生函数所得到的网格称为b a k h v a l o v 型网格， 简称为b 型网格由l i s e i k i n 和1 h n e n k 0 【”( 边界层外选取为二次函数) 所构造的 网格、b o g l a e v 3 s ( 网格转折点r 选取为x ( r ) = 7 il n e i ) 构造的网格和最近广捱 研究的等分布网格以及由g a r t l a d f 7 】提出的梯度网格都属于b 型网格 简单迎风差分格式在b a k h v a l o v 型网格上的典型收敛结果是： | | u u l l 。c n 一1 ， ( 1 6 ) 其中i l v l l * ，u2 - m o a x i q | 即在l m 模或离散极大模的意义下关于e 一致的一阶 收敛 1 2 2s h i s h k i n 型网格 另一种经常使用的网格是s h i s h k i n 网格 3 t , 1 2 ，它是分片等距网格，具有比较 简单的结构我们以问题( 1 1 ) 为例来分析s h i s h k i n 网格令q ，口是两个网格参 数，满足q ( 0 ，1 ) ，口 0 ，并且q 为边界层内的网格结点数与总结点数的比值选 取网格过渡点 使得当z 陋，1 】时，边界层函数e ) c p ( 一譬) 小于一，故令 a = m i n h a 口s i n n ) 则把区间 0 ，刈和1 分别分成q n 和( 1 一q ) n 个等距的小区间( 假设口是整 数) 如果g2a ，则此网格可认为是由下面的网格产生函数生成 妒c 9 = 1 菩- ；l n ( 1 - 管h ，篝。eh 0 , q 。l 】, c l ， 与b a k h v a l o v 网格及v u l a n o v i d 提出的修正的b a k h v a l o v 网格不同。s h i s h k i n 网格的网格产生函数只具有分段一阶连续导数，并依懒于节点数为简便起见， 本文中我们都假设q ，否则n = 0 ( e x p ( ) ) ，故用等距网格即可求解此类问题 尽管与b a k h v a l o v 型网格相比较， s h i s h k i n 网格结构简单，并且由它肝构 造的数值方法易于分析，但是在s h i s h k i n 网格上得到的数值解的误差界不如在 b a l d a v a l o v 型网格得到的数值解的误差界来得好例如，简单迎风差分格式在s h i s h k i n 网格上的误差估计为： l i “一v i i ，。c n 一1 i n n ，( 1 8 ) 与式( 1 6 ) 相比，收敛阶要相差因子l n 为了弥补这个不足，许多科研工作者不断地改进s h i s h k i n 网格v u l a n o v i d 7 q 提出引进更多的网格过渡点： 扣1 孙= l n n a 2 = 弘n 孙2 芳学孙一。 并在每个子区间h + 1 ，a ，】，i = 0 ，一，2 上进行等分则在此网格上迎风差分格式提 高了收敛速度： l l 一u ”i | * ，u c n 一1 ! ! ! ：! b n ( 1 9 ) l i n g ( s o 舯) 提出了在 0 ，刈上采用b a k h v a l o v 网格( 取r = ) ，而在区间h1 上采用等距网格，则迎风差分格式在此网格上的误差估计为； u 一j i 。，。c ( e + n 一1 ) ( 1 1 0 ) 4 我们把具有过渡点a = 署l n n 及在盼，l 】上等距的网格称为s h i s h k i n 型网 格，简称为s 型网格r o o s 和l i n f j 2 3 】对s 型网格进行了归纳，得出s 型冈格 由下面的网格产生函数生成： 妒c e ，2 罟1 - 嬉( 1 一孑h ， ；i ： c ，- ， 其中函数事( ) 在区问 0 ，q 上单调递增，并且满足庐( o ) = 0 ，庐( g ) = i n n 我们 引进网格特征函数妒( f ) = 唧( 一乒( f ) ) ，此函数在区间 0 ，q 上单调递减，且满足 妒( o ) = 1 ，妒( q ) = n 例如 s h i s h k i n 网格 3 7 j 2 悯= e x p ( 一( i r n n ) ，m a x ，j 妒= 了i n n ， ( 1 ，1 2 ) b a k h v a l o v s h i s h k i n 网格9 8 】 昧) = 1 _ ( 1 一嘉) ；，鼢) l = ；( ，一丙1 ) ； ( 1 ，3 ) 我们将在下面证明：当妒满足一定条件时简单迎风差分格式在s h i s h k i n 型网格上 的误差估计为 一g l 一sc ( h + m a x “i 妒( ) 旷1 ) 其中h 为最大网格步长 1 3 一维连续问题的性质 首先我们考虑一维奇异摄动问题 l u 三一u ”一b u 4 - c u = ，z ( 0 ，1 ) ，“( o ) = b ，( 1 ) = 7 1 ，( 1 1 4 ) 这里 0 是个小参数，在区间【0 ，1 上b ( x ) 卢 0 为简便起见，我们还假 设在区间【0 ，1 】上c 0 和6 ，4 - c o 没有这些假设条件，下面给出的结论依然 成立 z 0 2 l ，但是分析过程将变得更加复杂实际上，对于e 小于某个阈值e o 的情 况，如果p 0 ，那么条件c 0 及6 ，+ c 0 可通过一个简单变换u = e x p ( s x ) 保证成立，这里5 是适当选取的常数 5 1 3 1 连续算子的稳定性 研究微分算子稳定性的重要工具是极大模原理和比较原理考虑下面的一般 二阶微分算子 云“i 一( z ) + 6 ( z ) u ( z ) + c ( z ) u ( z ) ，z ( 0 ，1 ) 引理1 1 ( 极大模原理 4 4 1 ) 设函数 伊( 0 ，1 ) n c o ，1 满足 v ( x ) 0 ，z 0 ，1 ，l v 0 ，z ( 0 ，1 ) 则连续算子l 在d i r i c h l e t 边界条件下满足极大模原理即，如果对于。( 0 ，1 ) 有u ( 0 ) 0 ，u ( 1 ) s0 和l u ( x ) 0 ，那么对于所有的ze 【0 ，1 都有u ( z ) 0 ， 一个直接的结果是下面的比较原理 推论1 1 ( 比较原理) 假定引理1 1 中的假设条件成立如果两个函数面和 n 满足d ( 0 ) n ( o ) ，n ( 1 ) o ( 1 ) 和工n l f i ，z ( 0 ，1 ) ，那么在区间 0 ，1 】上有 缸( 。) 缸( z ) 利用试验函数 ( z ) = 1 一z 可知l v p 0 ，由此可看出式( 1 _ 1 4 ) 中的算子 l 满足引理1 1 中的假设条件，因此由推论1 1 可得方程( 1 1 4 ) 中的解“( 。) 满足 1 一+ l u ( z ) ism a x i 川) + 彳躺i m ) i ：z 【0 ，1 设 是满足u ( o ) = u ( 1 ) = 0 的任意函数，则我们有 ( z ) = 19 ( z ，) ( l u ) ( ) d f ，z 【o ，1 ，( 1 1 5 ) j o 这里9 ( z ，) 是与算子l 和d i r i c h l e t 边界条件相联系的格林函数，对于固定点 【0 ，l 】满足 ( n g ( ，) ) ( z ) = 6 ( z 一) ，z ( 0 ，1 ) ，g ( o ，) = 9 ( 1 ，f ) = 0 ， ( 1 1 6 ) 这里d 表示d i r a c - 5 函数因此，式( 1 1 6 ) 应该是在分布意义下的等式方程( 1 1 6 ) 等价于求一解9 ( ，f ) c 2 ( ( o ，1 ) f ) ) nc o ，1 】，且满足 ( 幻( t ，f ) ) ( z ) = 0 ，z ( 0 ，1 ) k ) ，g ( o ，f ) = 9 ( 1 ，) = 0 ，一e g ( ，) ( ) = 1 1 1 7 ) 这里m ( d ) iw ( d + 0 ) 一”( d 一0 ) 表示u 在点d 处的跃度 格林函数也可利用共轭算子l * v ；一e ”+ ( ) + c v 来定义对于固定的 t 0 ，l 】求满足 ( l 9 ( z ，) ) ( f ) = 6 ( 一z ) ，f ( 0 ，1 ) ，9 ( z ，0 ) = g ( x ，1 ) = 0( 1 1 8 ) r 的解 可得 类似于推论1 1 ，由式( 1 1 7 ) 定义的算子满足比较原理 l 豇( z ) sl f i ( x ) ，ze ( 0 ，1 ) ) 一e 1 ( ) 一陋 ( f ) ， 面( o ) 也( o ) ，面( 1 ) 茎也( 1 ) 由比较原理和障碍函数 = n ( z ) o ( z ) ，x 【0 ，1 1f l 0 z 0 - - = 0 , 9 2 万ie 一口扛一f ) 止 。l 0 9 ( z ，) 卢一1 ，z ，f 0 ，1 下面考虑格林函数g 的单调性由于对于x ，f 【0 ，1 】有9 ( 。，) 20 ，9 ( z ，0 ) = 0 ， 因此对于所有的z 0 ，l 】有乳( z ，0 ) 0 在区闻 o ，副上对( 1 1 8 ) 进行积分可得 止 一c g ( x ，) + c g f ( x ，0 ) + 6 ( ) 9 ( z ，f ) 一b ( o ) g ( x ，0 ) = 一t c ( s ) g 扛，s ) d s ， 。( l 1 9 ) ou 那么由9 ( z ，) 0 和乳( z ，0 ) 0 可知 ： e g d z ，) e g ( x ，0 ) + 6 ( ) 9 ( 。，) 0 ， x 故9 ( 置- ) 在区间( 0 ，z ) 上单调递增 另一方面，由于9 ( 。，) 0 ，g ( x ，1 ) = 0 ，z ，f 1 0 ，1 】，因此对于z 0 ，1 l 有 如( z ，1 ) s0 则再由微分方程( 1 1 8 ) 可知口= 鳜( z ，) 满足 。一 一e 。+ b y = 一( 6 。+ c ) 9 0 ，z ，1 ) ， ( 1 ) 0 ， 这里已经利用了b + c 是非负的假设条件对一阶算子应用极大模原理可得在区 间扛，1 上有”茎0 故9 ( z ，- ) 在区间( z ，1 ) 上是单调递减的 类似地可证明：对于0sz f 茎1 有啦( z ，f ) 0 ，对于0 z 1 有 啦( z ，) 0 故有 g = d x ，0 ) 0 ，9 ( ，1 ) 0 ， 0 ，l 】， 这里已经利用了鲰( z ，0 ) = 如( z ，1 ) = 0 ，z 0 ，1 对方程( 1 , 1 9 ) 关于z 微分可得 一e 9 。f 扛，) + 如f ，o ) + 6 ( ) 啦( z ，) 一6 ( o ) 啦扛，o ) = 一rc ( s ) 吼 ，s ) d s ， 嚣 7 因此由如( 茹，) 0 ，9 ；f ( z ，0 ) 0 和出( z ，0 ) = 0 可得乳f 扛，) 0 ，0 。1 当。 时，对方程( 1 1 8 ) 微分可得 = 9 。f ( z ，) 满足 一 + b y = 一( 6 ，+ c ) g 。0 ，z ( 0 ，) ，u ( 1 ) s0 ， 这里已经利用了b + c o ，乳( z ，) 0 ，z f 对一阶算子应用极大模原理可得在 区间k 1 上有9 ( z ，) 0 因此有下面的结论成立 定理1 1 与算子l 和d i r i c h l e t 边界条件相联系的格林函数9 ( z ，) 满足 0 g ( x ，) 卢一1 ，z ，f f 0 ，1 ， g e ( x ，) 0 ，0 f z 1 ，驰s0 ，0 z f 1 和 啦f ( z ，f ) 0 ，z ， 0 ，l 】，z 为进一步分析，我们引入下面的记号： 最大模： l 。ie s ss u pl ( z ) 1 ； l l 模： | | w i i - ；1i ”( z ) i d 。； 负模：i 。 滓测竺。l l y i l o o ， 由于 i i = 燃1 1j f i v ( s ) d s + g 因此负模的定义是有意义的另外， 忙, = 刚s u p 锹i 1 , 1 u w l 因此”忆是空间w 吐”= ( w j 。1 ) 中的模 和 对于固定的z o ，l 】，我们计算格林函数及其导数的模由定理1 1 可知 1 1 9 扛，) 1 ix | | 9 ( z ，) l l 。卢一1 ，( 1 2 0 ) i l g d 墨) i i - = o 。鲰( z ，f ) d 一f 1 鲰( 置) d = 2 9 ( z ，z ) s2 卢一1 ( 1 2 1 ) | | 啦 ，) i i = 一z 。啦f 扛，f ) 一z 1 9 扛，) 畦 = 啦( 。，z + 0 ) 一啦( z ，z 一0 ) = 乳扛一o ，x ) 一乳扛+ 0 ，z ) = e ( 1 2 2 ) 这些模可用来建立算子工的稳定不等式 定理1 2 算子工满足 卢l l v l 。i i l v l l 。，w w 学”( o ，1 ) 卢l l v l l 。i i l v l l 。， 嚼1 ( o ，1 ) 和 ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) l i l y 。；扣h o o + i i ”i i 。si l l v l l 。，”喇1 0 ，1 ) ( 1 2 5 ) 证明：由表示式( 1 1 5 ) ，h 6 1 d e r 不等式和式( 1 2 0 ) 可推出式( 1 2 3 ) ，( 1 2 4 ) 成立 吓面令vew o ，”( o ，1 ) 是满足v = l v 的任意函数对( 1 1 5 ) 式进行分豁积 分可得 ”( 。) = 一j ( 1 口f ( 茁，) y ( ) d f ， 。( o ，1 ) 和 ( z ) = 一z 1 啦f ( 。，) y ( ) d ， z ( o ，1 ) 由h 6 l d e r 不等式，式( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 和负模的定义可得式( 1 2 5 ) 成立 注1 3 ( i ) 注意到 1 1 ”队l l u l l ，兰i i u l i 。，口w 言o 。( o ，1 ) ， 负模稳定不等式( 1 2 5 ) 是定理1 2 中三个稳定不等式中最强的一个 ( i i ) 对于守恒形式的微分算子 l 。u 三一e ”一( 阮) 7 + c u = ，) z ( 0 ，1 ) ，“( o ) 一仙，札( 1 ) = 饥( 1 2 6 ) 上面有关的稳定不等式依然成立 9 1 _ 3 2准确解的分解及其导数的界 由前面比较原理可知边值问题( 11 4 ) 存在惟一解，而且易知在边界z = 0 处 存在一个指数边界层；解u 及其直到q 阶导数满足下面的估计： l u ( ( z ) l c 1 + e 一e - z = 6 ) ，k = 0 ，l ，q ，z 0 ，1 ，( 1 2 7 ) 这里最高阶q 依懒于系数的光滑程度，参见文献【6 9 1 _ 在许多情况下，可参见文献【2 7 ，3 7 ，2 3 ，1 6 ，需要知道关于u 及其导数的更多的 信息特别地，我们需要把“分解成光滑部分和边界层部分下面的定理给出了 准确解的有关性质 定理1 3 设b ，c ，c ，k 0 ，1 ) 则解u c o “，而且能够分解成u = + ， 这里光滑部分u 满足 ( l v ) ( x ) = ，( 。) ，l ( 4 ( z ) l 茎c ( 1 + e k + l - i ) ，i = 0 ，1 ，k + 2 ，z ( 0 ，1 ) ，( 1 2 8 ) 而边界层部分w 满足 ( l ) ( 而= 0 ，l 叫o ( z ) l 茎c e 一e 一衄，i = o ，1 ，一，k + 2 ，x ( 0 ，1 ) ( 1 2 9 ) 证明：通过对一阶微分方程的讨论可证得结论成立参见文献 4 3