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非光滑拟变分不等式的正则化间隙函数 应用数学专业 研究生张海森指导教师何诣然 摘要：本文将广义拟变分不等式和非光滑拟变分不等式问题转化为关于正则化 间隙函数的极小化问题在最优化问题中，研究目标函数的方向导数及其次微分具 有重要意义，如利用目标函数的方向导数和次微分讨论最优性条件，建立基于方向 导数或次微分的优化算法本文讨论了边际函数的方向可微性和一类含参变量凸规 划问题的边际函数的c l a r k e 方向导数的上界和下界利用这些结果，我们研究了广 义拟变分不等式问题的正则化间隙函数的方向可微性及极限次微的上界和非光滑 拟变分不等式的正则化间隙函数和d 一间隙函数的c l a r k e 方向导数 关键词：广义拟变分不等式非光滑拟变分不等式正则化间隙函数局部 l i p s c h i t zc l a r k e 方向导数次微分 第i 页、共4 2 页 r e g u l a r i z e dg a pf u n c t i o n sf o rn o n s m o o t h u u a s i v a r i a t i o n a ll n e q u a l l t m s a p p l i e dm a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：h a i s e nz h a n gs u p e r v i s o r ：y i r a nh e a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w eu s er e g u l a r i z e dg a pf u n c t i o n st or e f o r m u l a t e q u a s i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si n t om i n i m i z a t i o np r o b l e m s i no p t i m i z a t i o np r o b - l e m s ，i ti ss i g n i f i c a n tt os t u d yt h ed i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e sa n ds u b d i f t e r e n t i a l so f o b j e c t i v ef u n c t i o n ，f o re x a m p l e ，w ec a l lu s et h ed i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e sa n ds u b - d i f f e r e n t i a l so fo b j e c t i v ef u n c t i o nt os t u d yt h en e c e s s a r yo p t i m a l i t yc o n d i t i o n s a n da l g o r i t h m sf o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m s w b 出s c u s st h ed i r e c t i o n a ld i f f e r e n t i a - b i l i t yo fm a r g i n a lf u n c t i o na n de s t i m a t et h eu p p e ra n dl o w e rb o u n d so fa c l a s s o fm a r g i n a lf u n c t i o n si np a r a m e t r i cc o n v e xp r o g r & m s t h e nw ee m p l o yt h e s e r e s u l t st os t u d yt h ed i r e c t i o n a ld i f f e r e n t i a b i l i t ya n dt h eu p p e rb o u n do fl i m i t , - s u b d i f f e r e n t i a l so ft h er e g u l a r i z e dg a pf u n c t i o n sf o rg e n e r a h z e dq u a s i v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e sa n dc l a r k ed i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e so ft h er e g u l a r i z e dg a pf u n c t i o n s a n dd g a pf u n c d o n sf o rn o n s m o o t hq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s k e yw o r d s ：n o n s m o o t hq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y g e n e r a l i z e dq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yr e g u l a r i z e dg a pf u n c t i o n c l a r k ed i r e c t i o n a ld e r i ，v a t i v e s l o c a l l yl i p s c h i t z s u b d i f f e r e n t i a l s 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师i 虱送鳖一指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明 确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。 如因不符而引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权 所在大学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生 必须按学校规定提交印刷版和电子版学位论文，可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库供检索；2 ) 为教学、科研和学 术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作 为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中 国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 苏翅拓 签字日期：w b 年钞月7e l 导师繇铴。枷坦 签字日期擀铀夕目 1 上| - - 刖吾 变分不等式是一类重要的非线性问题，它是解决最优化问题的一类有力工 具对变分不等式的系统性研究始于2 0 世纪6 0 年代中期，s t a m p a c c h i a 和他的合 作者1 ，2 1 引入变分不等式作为研究非线性偏微分椭圆方程自由边界问题的工 具经过近5 0 年的研究，变分不等式理论及其计算方法得以完善和发展，并在运 筹学、数学规划、博弈论、工程力学等诸多方面都有广泛的应用在本文中，我 们将着眼于有限维上的变分不等式问题，其定义如下 定义0 o 1 ( 简记为：v i ( ek ) ) ：k 是r n 中的一个非空闭凸集，f ：k r n 求解向量z o k 使得 ( f ( x o ) ，y x 0 ) 0 ，v y k ( o 一1 ) 1 9 8 2 年由c h a n 和p a n g 3 】首先提出有限维欧氏空间上的拟变分不等式和广义 拟变分不等式，分别定义如下 定义0 0 2 ( 简记为：q v i ( f , s ，k ) ) ：k 是酞n 中的一个非空闭凸集，定义 f ：k _ r n ，s ：k _ 2 k 求解向量x o k 使得x o s ( x o ) 且 ( f ( z o ) ，y x 0 ) 0 ，v y s ( z o ) ；( 0 - 2 ) 定义o o 3 ( 简记为：g q v i ( fs ，k ) ) ：k 是酞n 中的一个非空闭凸集，f ： k - 2 r “和s ：k _ 2 k 为集值映射求解向量z o k 使得z o s ( x o ) 且存 在毒f ( x o ) 使得 ，可一x 0 ) 0 ，v y s ( z o ) ( 0 - 3 ) 拟变分不等式是变分不等式的推广，即在拟变分不等式中定义变分不等式 v i ( 只k ) 的集合k 将随变量z 变动而变动，广义拟变分不等式是拟变分不等 式中映射f 为集值的情况如需了解更多关于变分不等式及其算法的研究，请 参见文献【4 】 我们知道一个最优化问题在一定条件下可以转化为一个变分不等式问题 反之，一个变分不等式问题也可以通过定义绩效函数的方法转化为一个最优化 问题，从而将求解变分不等式的解转化为求解最优化问题的解对于光滑变分 不等式，即v i ( ek ) 中的映射f 光滑时，f u k u s h i m a ，p e n g 和y a m a s h i t a 等 人已于上世纪九十年代给出了其对应的绩效函数，如间隙函数，正则化间隙函 数和d 间隙函数等等，并证明绩效函数的最优值点或稳定点即为原变分不等 第1 页，共4 2 页 前言 式v i ( 只k ) 的解，参见文献f 5 - 7 1 当f 光滑时，f u k u s h i m a 5 1 首先证明了对 应的一类正则化间隙函数的可微性，并通过正则化间隙函数建立带约束条件的 最优化问题的下降算法求解原变分不等式v i ( 只k ) 的解p e n gf 6 1 于1 9 9 7 年 针对光滑变分不等式v i ( 只k ) 建立一类新的绩效函数，并利用这类绩效函数 将变分不等式问题转化为无约束最优化问题y a m a s h i t a ，w a j i 和f u k u s h i m a 7 】 进一步推广了p e n g 的结果，建立了一类更广泛的绩效函数，称之为d 一间隙函 数，并建立了基于d 一间隙函数的下降算法f u k u s h i m a 8 1 于2 0 0 7 年给出一类 光滑拟变分不等式的正则化间隙函数，证明了其极小值点和原拟变分不等式 q v i ( f s ，k ) 解的等价性，并证明了这类正则化间隙函数的连续性和方向可微 性t a j i 改进了f u k u s h i m a 的结果，他在f 9 1 中给出一类光滑拟变分不等式的广 义正则化间隙函数和d 间隙函数，证明了这类广义的绩效函数对应的极小值点 与原拟变分不等式问题的等价性，绩效函数的稳定点为原拟变分不等式解，并给 出绩效函数连续性和方向可微性的必要条件2 0 0 9 年k u b o t a 和f u k u s h i m a 利 用f 8 1 巾的结论建立起一类广义n a s h 均衡问题的算法，参见文献10 1 对于非光滑变分不等式，即v i ( fk ) 中的映射f 仅仅是局部l i p s c h i t z 而 非可微时，n g 和t a n 给出对应间隙函数和d 一间隙函数在f 局部l i p s c h i t z 的 假设下c l a r k e 方向导数的表达式，并建立了相应的下降算法，参见文献f 1 1 1 3 】 然而目前对于广义拟变分不等式以及非光滑拟变分不等式的绩效函数性质的研 究还很少相对于非光滑变分不等式而言，广义拟变分不等式以及非光滑拟变分 不等式的绩效函数是一类更为复杂的边际函数，它们通常是不可微的在本文 中，我通过对这类边际函数的方向可微性，极限次微分和c l a r k e 方向导数的讨 论来研究对应广义拟变分不等式以及非光滑拟变分不等式的绩效函数的性质 本文共分为四个部分：第一章介绍本文所涉及的非线性泛函分析，集值分 析和非光滑分析的基本概念和相关性质 第二章首先讨论了一般边际函数的连续性，并给出含参凸规划问题对应的 边际函数连续的必要性条件其次我们讨论了一般边际函数的l i p s c h i t z 性和方 向可微性以及含参凸规划问题对应的边际函数的c l a r k e 方向导数的范围 第三章给出一类广义拟变分不等式问题g q v i ( f , sk ) 的正则化间隙函数 我们证明了广义拟变分不等式问题与对应正则化间隙函数对应的约束优化问题 的等价性及正则化间隙函数的连续性在此基础上，我们讨论了g q v i ( f ，s ，k ) 中s 为含参凸不等式解集时其正则化间隙函数的方向可微性并给出这类正则化 间隙函数极限次微分的上界 第四章我们给出非光滑拟变分不等式问题的正则化间隙函数和d 间隙函数 的c l a r k e 方向导数的精确表达形式 z h a n g w z h l 9 9 9 1 2 6 c o r n 第2 页共4 2 页毕业论文 第一章基本概念及相关性质介绍 本文将着眼于讨论有限维上的广义拟变分不等式和非光滑拟变分不等式的 绩效函数的性质，其中涉及有限维上的非线性函数性质，集值分析的基本概念和 非光滑分析基础知识，在本章中我们就相关的概念和性质做简单介绍。 1 1 基本定义 在本文中r n 上的范数定义为 ，x = ( x l ，z 2 ，) r 孔； r n 中点x 到集合a 的距离定义为 d i s t ( x ，a ) ：- w - i n f l | 矽一z l ； 集合a 与集合口的距离定义为 d i s t ( a ，b ) ：= i n f 7 o l acb + v b ( 0 ，1 ) ，bca + u b ( 0 ，1 ) ) ， 其中b ( 0 ，1 ) 为r n 中的单位开球到闭集kcr n 上的投影算子定义为 i i k ( x ) ：= ( x o kd i s t ( x ，k ) = i i ：t 0 一z l f ) 当k 为闭凸集时，投影算子是单值的，并且 i i k ( x ) = x o k i ( x o z ，y x o ) 0 ，v y k ) 设，：妒jr 如果对任意q r 水平集 z 般：f ( x ) q ) 是闭集，则 称，下半连续如果一，下半连续，则称，上半连续称，在点牙方向可微，如 果对t 0 以及任意d r n 极限 ，( 孟+ t d ) 一，( 至) u l u 。一 t - 0 +z 存在，记为，7 ( 牙，回若存在v ，( 牙) ：黔_ r 使得对任意d r 行有，。( 2 ，d ) = ( v f ( e ) ，d ) ，则称，在牙点g a t e a u x 可微；若v ，( i ) 是连续线性的，则称v ，( 牙) 是厂在点2 的g a t e a u x 导数若存在连续线性泛函v 广( 牙) ：r n _ r 使得极限 l i m 丝) 二地三嘤盟兰二垒：o ， x - - + 2 f i x z 则称，在牙点f r 6 c h e t 可微，称v ，( 牙) 是，在点盈的f r 6 c h e t 导数 定义1 1 1 设，：r 铭or 如果对任意z ，y 黔和a ( 0 ，1 ) 有 ，p z + ( 1 一a ) 秒】m a x ，( z ) ，厂( 耖) ， 第3 页，共4 2 页 第一章基本概念及相关性质介绍 则称，是拟凸函数；如果一，是拟凸函数，则称，是拟凹函数；如果对任意 z ，y r n 和入( 0 ，1 ) 有 ， 入z + ( 1 一a ) 引入，( z ) + ( 1 一入) 厂( 可) ， 则称，是凸函数；如果一，是凸函数，则称，是凹函数；如果存在6 0 使得对 任意z ，y 风n 和入( 0 ，1 ) 有 a x + ( 1 一a ) 可】a ，( z ) + ( 1 一a ) ( v ) 一6 a ( 1 一a ) f f z 一引f 2 ， 则称厂是强凸函数 由凸函数和强凸函数的定义知，两个凸函数的和还是凸函数，一个凸函数和 个强凸函数的和是强凸函数当，可微时，强凸等价于存在5 0 使得对任 意z ，y 酞n 有 ( x ) 一y ( v ) ( 厂7 ( 可) ，z 一) + 6 i i z 一秒酽 1 2 集值映射 对于从集合kcx 到y 的映射q ，其中x 和y 为拓扑空间当q 取值 为单点时，我们称q 为单值映射，表示为q ：k _ y ；当q 取值为y 中的集合 时，我们称q 为集值映射，表示为q ：k 一2 y ，其中2 y 表示y 中的全体子集 显然，当集值映射在定义域上取值为单点集时集值映射就退化为单值映射对集 值映射q ：k _ 2 y ，其定义域定义为 d o r aq ：= z x ：n ( x ) 0 ) ； 其图像定义为 g p hq ：= ( z ，y ) x y ：y q ( z ) 定义1 2 1q ：k - - - f2 y 为定义在上的集值映射，kcx ， ( i ) 如果对任意包含q ( z ) 的开集u ，存在包含z 的开集y 使得q ( 可) cu 对 任意y knv 成立，则称q 在点z k 上半连续； ( i i ) 如果对任意开集u 满足u n g t ( x ) d 存在包含z 的开集y 使得n ( v ) n u d 对任意y knv 成立，则称q 在点z k 下半连续； ( i i i ) 如果q 在点z k 既上半连续又下半连续，则称q 在点z k 连续 当x 和y 为度量空间时， z h a n g w z h l 9 9 9 1 2 6 c o r n第4 页：共4 2 页毕业论文 1 2 集值映射 ( i ) 如果对任意序列 z 詹) ck ，矿- z 和y q ( z ) 有，存在子序列 ) cy 使得y 七q ( z 愚) 并且y 血- y ，则称q 在点z k 是开的； ( i i ) 如果对任意序列 x 七) ck ，矿- - + z ，y 岛q ( z 七) 并且矿_ y 有y q ( z ) ， 则称q 在点z k 是闭的 如果对任意z k 都相应的有上面的条件成立，则称q 在k 上上半连续， 下半连续，连续，开或者闭事实上在r n 中，q 是下半连续的当且仅当q 是开 的；q 在k 上是闭的当且仅当q 的图像是闭的 命题1 2 1q ：x _ 2 v ，其中x 和y 是拓扑空间如果k 是x 中的紧集， q 是上半连续紧值的，则e ( k ) 是y 中的紧集 证明任取a ( k ) 的开覆盖 ，o l a ) 则对任意z k 有n ( x ) cu 由于q 是紧值的，存在有限指标集a ( x ) ca 使得q ( z ) cu q a 三以 f 在z 上半连续，从而存在k g ( x ) 使得q ( k ) c 巩k 是紧的，故存在 x l ，z n ) ck 使得kcuk ；因此 扛= 1 几n q ( k ) cq ( u k 。) cu q ( k 。) 即f ( k ) 是y 中的紧集证毕 命题1 2 2 设q ：x - 2 y ，其中x 和y 是拓扑空间如果q 是上半连续 闭值( 或紧值) ，y 为正则空间，则q 的图像是闭的 证明 令e 为g p hq 的余集，则对任意( x o ，y o ) 0 ，y o 聋q ( 铷) 由q 是 闭值( 紧值) 的，y 为正则空间，存在u n ( y o ) 和开集彤使得f ( x o ) cw 并且 un w = d f 上半连续，从而存在v n ( x o ) 使得f ( v ) cw 因此对任意 z v 和y u ，y 岳f ( z ) 故e 是xxy 中的开集，因此g p hq 是闭集证毕 命题1 2 3 设x 和】厂是拓扑空间，q ：x 一2 y 如果g p hq 是闭的，f ( x ) 是紧集并且y 是可度量化的，则f 是上半连续的 证明 假设f 在x o x 不是上半连续的则存在开集u 使得f ( x o ) cu 并且对任意v n ( x o ) 有f ( v ) 垡u 从而可构造序列z n - - - + x 0 ，y n y ( x 竹) z h a n g w z h l 9 9 9 1 2 6 c o i n第5 页：共4 2 页毕业论文 0u 嘶 口 n u 汹 i i n u 汹 c 第一章基本概念及相关性质介绍 使得y n 隹u 由于 蜘 n cf ( x ) 并且f ( x ) 为紧集，不失一般性，假设 蜘。蜘由q 图像的闭性知y o f ( x o ) cu ，与y n 甓u 矛盾故f 是上半连 续的证毕 当x 和y 均为r 佗时，由上面三个命题我们不难得出若f 上半连续闭值， 则f 是闭的；若f 闭且f ( x ) 为紧集，则f 上半连续 定义1 2 2 1 4 】设x 和y 为拓扑空间，q ：k 2 y 为集值映射，kcx 令 y q ( z ) ，z k ， ( i ) 如果对任意矿_ z 存在y 七q ( ) 使得 秒七) 有收敛子序列，则称q 在 z 是内半紧的： ( i i ) 如果对任意x 詹_ z 存在y 知q ( z 彪) 使得 扩) 有收敛子序列收敛到，则 称q 在z 是内半连续的 定义1 2 3 设x 和y 为拓扑空间，q ：k - 2 y 为集值映射，kcx 令 z k ( i ) 如果存在z 的邻域y 使得也y q ( z ) 有界，则称q 在z 一致有界； ( i i ) 如果存在z 的邻域y 使得u 名v f 2 ( z ) 的闭包是紧集，则称q 在x 一致紧 定义1 2 4 设x 和y 为拓扑空间，q ：k _ 2 y 为集值映射，kcx 称q 在z k 局部l i p s c h i t z ，如果存在z 的邻域y 和常数l 0 使得 d i s t ( f 2 ( x 1 ) ，q ( z 2 ) ) l i i x , 一z 2 l iv x l ，x 2 vnk ， ( 1 1 ) 如果对任意z k 都有q 在这点局部l i p s c h i t z ，则称q 在k 上局部l i p s c h i t z 命题1 2 4 设x 和y 为b a n a c h 空间，q ：k - - + 2 y 为集值映射，kcx 如果q 在上闭值局部l i p s c h i t z ，则q 在k 上连续 证明 取z k ，q 在z 的邻域y 上局部l i p s c h i t z ，l i p s c h i t z 常数为l 0 我们首先证明q 在z 上半连续令u 是y 上的开集，使得q ( z ) cu 则存在 7 7 0 使得q ( z ) + b ( o ，7 7 ) cu 令0 r y l 对所有可b ( z ，r ) ny nk 有 d i s t ( f _ 2 ( x ) ，q ( 可) ) l i i x 一训 厂( z o ) 一e ，从而存在y o s ( x o ) 使得妒( 黝，y o ) f ( x o ) 一而妒是下半连续的，故a 。：= ( z ，y ) ：妒( z ，y ) ，( 黝) 一e 】- 是开集，并且( x o ，y o ) a 。因此，存在y l n ( x o ) 和u n ( y o ) 使 得uca 。由y o s ( x o ) nu d 和s 的下半连续性，存在y o n ( x o ) 使 得s ( x ) nu d 对所有的z v o 成立令v = i 1y o ，则对任意z v ，存在 纨s ( z ) nu ，且zxuca 。即( z ，y x ) a 。故妒( z ，y x ) s ( x o ) 一e 从而，我 们有厂( z ) 三s u p ”s ( z ) 妒( z ，y ) 妒( z ，如) ，( z o ) 一e 证毕 命题2 1 2 设s 在z o 上半连续紧值，妒上半连续，则，在z o 上半连续 证明 原命题即证明s ( x o ) i n f y ( z 。) s u p z 矿，( z ) 即对任意e 0 ， f ( z o ) + e i n f y ( z 。) s u p z y 厂( z ) 即证明存在v n ( x o ) 使得s u p x y ，( z ) ，( z o ) + e 由妒上半连续，对任意y s ( x o ) ，a ( y ，e ) ：- - ( z ，y ) x y ： 妒( z ，y ) 妒( 跏，y ) + e ) 是开集，并且( x 0 ，y ) a ( y ，e ) 存在k n ( x o ) 和 第1 2 页，共4 2 页 2 1 边际函数的连续性 ( 秒) 使得ca ( y ，e ) s ( x ) 是紧的，故存在 可1 ，) cs ( x o ) 使得s ( x o ) cuu y i 三u o 由于s 在。o 上半连续，从而存在y o g ( x o ) 扛：1 f l 使得s ( y o ) cv o 令v = y on ( n ) 则v n ( x o ) ，且对任意z v 有 s ( x ) cu o 故对任意y s ( z ) ，存在i 使得y 。由z vck 。，( z ，y ) v y l u 羹ca ( y i ，e ) 得妒( z ，y ) 妒( z o ，秒i ) + e s u p 分e s ( z o ) 妒( z o ，y ) + e = ，( z o ) + e 故s u p 可e s ( z 1 妒( z ，y ) f ( x o ) + e 证毕 推论2 1 1 若s 是连续紧值的集值映射，妒连续，则厂连续 证明由命题2 1 1 和命题2 1 2 可得证毕 引理2 1 1 ( 2 1 】推论8 1 ) 假设s 是连续闭值的。在x q f x l 上连续，m 在x 上非空单值一致紧，则m 连续 引理2 1 2 ( 【2 2 定理a 4 ) 假设妒关于y 对固定的z 是拟凹的，并且在 虬。y 上连续，m 。是x o x 的一个邻域，s 在z o 的一个邻域上闭且在x o 开，s 在x o 的一个邻域上是凸值的，且m ( x o ) 非空有界则m ( x ) 在z o 的邻域 上非空一致有界 命题2 1 3 假设妒关于y 对固定的z 是拟凹的，并且在x q ( x ) 上连续， s 连续闭凸值，且对任意z x ，m ( x ) 有非空单值则m 连续 证明由x ，y 是r n 中的闭子集，由引理2 1 1 和引理2 1 2 可得m 是连 续的证毕 推论2 1 2 若s ：k _ 2 r ”连续闭凸值，则p ( x ，y ) ：= i i s ( = ) ( 可) 连续 证明 令y o 郧，q ( x ) ：= 1 - i s ( z ) ( 蜘) 则q ( x ) 是边际函数，关于妒= 一一 蜘1 1 2 和s 的解映射，其中f ( x ) = s u p 蚯s ( z ) 一恬- 可o l l 2 = 一i n f y e s ( z ) 恬一y o l l 2 ，由 命题2 1 3 有q ( x ) 在k 上连续 对任意固定的( z ，y ) k r n ，令 ( z 竹，) ck r 咒，( z n ，y n ) o ( z ，可) 则 l i n s ( z ) ( y ) 一i i s ( z 。) ) j j i l s 缸) ( 可) 一s ( z 。) ( 秒) | | + l i n s ( z 。) ( 可) 一n j s ( z 。) ( ) i i ，o 们 _ 0 使得对充分小的t 有 l 妒( 2 + t d ，( 亡，d ) ) 一妒( 牙+ t d ，雪+ t w ) i k l i f ( t ，d ) 一雪一t w l l 则 亡一：i 妒( 孟+ 亡d ，( 。，d ) ) 一妒( 牙+ t d , 雪+ 亡叫) l ( 2 - 1 0 ) 亡一1 k i l ( t ，d ) 一雪一t w l io0 ，( t _ o ) 从而 。 厂( 牙+ t d ) 一f ( x ) 、妒陋+ t d ，( 亡，d ) 】一垆( 牙，雪) 了一 了一 妒瞄+ t d ，( 亡，d ) 一纠牙+ t d ，雪+ t w 】 妒瞄+ 亡d ，雪+ 亡叫】三妒( 2 ，哥) 2 1 1 ) + 盟塑掣虹剑 一 _ 妒7 ( 牙，雪) ，( v ，叫) 】 因此 d 一，( 牙，d ) s u p 妒7 【( 牙，雪) ，( d ，叫) ，v d r n ( 2 - 1 2 ) w e d s ( f ：，雪) ( d ) 若解映射m 在点( 牙，影) g p hm 半可微，则对w d m ( 2 ，雪) ( 口) ，任然有 对任意t 0 ，存在( 亡，d ) m ( 2 + t d ) 使得 l i m 塑垡上翌：伽 t - + o + t z h a n g w z h l 9 9 9 1 2 6 c o r n 第1 6 页共4 2 页毕业论文 2 2 边际函数的可微性 从而 f ( x + t d ) 一f ( x )够睁+ t d ，( 亡，d ) 】一妒( 牙，雪) 。1 1 一一。一 亡t 妒p + t d ，( 亡，d ) 一妒瞄+ t d ，雪+ t w 】 一r 妒陋+ t d 雪十t w 】一妒( 牙，雪) 下丁一 一妒【( 牙，雪) ，( d ，伽) 】 因此，方向可微，且 ，7 ( 牙，d ) = 彬。m i n ( 孟f ，雪) ( d ) 妒。 ( 牙，雪) ，( d ，叫) 】，v d r n 证毕 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 定理2 2 2 2 2 若边际函数( 2 4 ) 中妒和俄连续可微，i = 1 ，2 ，m 对固 定的z 有m ( x ) 非空有界，厂( z ) 有限如果假设( b l - b 3 ) 满足，则对任意d r n 有厂7 ( z ，d ) 存在，且 厂x , d 2 倒m i n 胀m m a x 拇以删) ，回+ 善协艘江州) ，啪 下面我们将【2 2 的结果推广到费用函数妒仅仅具有局部l i p s c h i t z 性质而 非可微的情况由于费用函数妒不再可微，从而边际函数，也不具有方向可微 性，故我们退而研究其c l a r k e 方向导数的上界和下界 定理2 2 3 若边际函数( 2 。4 ) 中妒局部l i p s c h i t z ，g i 连续可微，i = 1 ，2 ，m 对固定的z 有m ( x ) 非空有界，f ( x ) 有限如果假设( b 1 山3 ) 满足，则 f tx ，d ) 0 有 妒( 缸+ 亡d ，y 删) + a g t ( u + t d ，纨+ t d ) = 1 f ( u + t d ) 妒( 让+ 地可) + 入：+ 堀g i ( u + t d ，可) ( 2 1 8 ) = 1 在( 2 - 1 7 ) 中用) t u + t d 和y u + t d 代替a 和秒在( 2 - 1 8 ) 中用a u 和纨代替a 和可 则我们有 其中 i ( u ，t ) ( u + t d ) 一( u ) s ( u ，t ) l ( u ，t ) ：= 妒( 仳+ 亡d ，y u + t d ) + s ( 乱，t ) ：= 妒( 仳+ t d ，y u ) + m a ：g i ( u + t d ，y u + t d ) 一妒( u ，批+ t d ) 一 ( 2 - 1 9 ) a 溆乱，阱埘) ； = 1 mm ( 2 - 2 0 ) 入g i ( u + t d ，y u ) 一妒( u ，讹) 一入g tu ，v o ) 0 = 10 = 1 ( 2 2 1 ) 妒局部l i p s c h i t z ，由广义中值定理( 1 6 】定理2 3 7 ) ，存在点v ( u ，u + t d ) 使得 妒( u + t d ，y u ) 一妒( 乱，纨) ( 璐妒( 可，纨) ，t d ) 其中露妒( 秒，y u ) 表示妒在( 秽，可u ) 关于分量z 在( v ，y u ) 的c l a r k e 次微分类似 的，由仇连续可微，存在v i ( 札，u + t d ) ，i = 1 ，2 ，m ，使得 从而 入0 坩g i ( u + t d ，纨) 一入g i ( u ，讥) = = 1 i = 1i = 1 f ( z ，d ) l i ms u p u + z t + 0 + l i ms u d 丝塑二地2 证毕 z h a n g w z h l 9 9 9 1 2 6 c o l x l 第2 0 页共4 2 页毕业论文 第三章广义拟变分不等式的绩效函数 在本章我们将利用第二章中边际函数的结论讨论广义拟变分不等式的正则 化间隙函数的相关性质，如连续性，方向可微性，极限次微分的上界我们定义 广义拟变分不等式g q v i ( f , s ，k ) 的正则化间隙函数厶：k _ r 如下 我们假设： ( a ) f ：k 斗2 r “连续，且对任意z k 有f ( x ) 为非空紧凸集； ( b ) s ：k 一2 9 连续，且对任意z k 有s ( x ) 为非空闭凸集； ( c ) 集合b ：= x l x s ( z ) ，z k ) 非空 ( 3 - 1 ) 3 1 广义拟变分不等式的正则化间隙函数的连续性 设 l ( y ) ：= s u p ( ，y z ) + 等- , l y 一圳1