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一类差分方程的性质研究 李天国( 应用数学) 指导教师：费祥历教授 摘要 本文讨论了一类差分方程l y n c s s 方程及相关方程的各种性质。 通过对两个具体方程的研究，给出了该类方程包括振动性、周期性、 全局吸引性在内的各种性质。 利用数值模拟给出了一类用r o u n d 函数定义的l y n e s s 方程的周期 性。通过数值实验，给出了方程在不同初值条件下的迭代数据，并对 这些不同初值条件下的迭代数据进行作图，继而直观地看出方程的周 期性。数值实验表明：这些类型的l y n e s s 方程的某些情形随着阶数的 增大具有一些有趣的性质，具有与其阶数相关的周期规律，即当阶数 为k 时，周期为3 k + 2 。此外，在进行数值实验的过程中，发现对于我 们所有研究的方程和选取的初值，当迭代次数很大时，具有图形上的 周期性。由此我们推测，这类差分方程，对于任意初值条件，当迭代 次数充分大后，均呈现周期性。我们还利用取整函数定义了一类l y n e s s 方程，并与以r o u n d 函数定义的l y n e s s 方程进行相关性质的对比。随 后，文章对阶数七较小值时的差分方程进行了周期性的理论分析，给出 了方程在小阶数情况下所有解的情况，彻底解决了方程在k = 0 情况下 所有解的结构。 在随后的一个注解中，我们给出了一个有趣的发现。即我国古代 五行系统周期性与我们所研究的l y h e s s 差分方程在某种情况下周期性 的重合性。通过对比，我们发现，在我国古代关于五行系统相生相克 的学说中，其实蕴含着一个关于周期性的科学论断。这与近几年国内 外数学家们研究的一类l y n e s s 方程具有同为周期5 的性质。 最后，在另一个相关l y n e s s 方程中，基于其线性化方程振动性的 可实现性，对其线性化后，给出了该类方程振动性的充分必要条件。 利用反证法，判定了该类方程不具2 周期解的性质。随后我们指出， 方程的所有正解形成一个不变区闯，在此不变区间内，方程的唯一正 平衡解是一个全局吸引孑。 关键词：l y n e s s 方程，差分方程，振动性，周期性，全局稳定性 s t u d yo nt h el y n e s sd i f f e r e n c ee q u a t i o n l it i a n g u o ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rf e lx i a n g l i a b s t r a e t ac l a s so f d i f f e r e n c ee q u a t i o nn a m e d l y n e s se q u a t i o ni ss t u d i e di nt h i s p a p e r , s oa l et h es a l t l ec l a s so ft w oe x a m p l e s t h r o u g hs t u d y i n go nt h et w o e x a m p l e s ，s e v e r a lp r o p e r t i e s ，s u c ha so s c i l l a t i o n ，p e r i o d i c i t ya n dg l o b a l a t t r a c t i v i t yo f t h i sc l a s so f d i f f e r e n c ee q u a t i o na l ed i s c u s s e d n u m e r i c f lc o m p u t a t i o n sa n ds i m u l a t i o n sa l eu s e dt o s t u d yt h e p e r i o d i c i t yo f an e wr e v i s i o no fac l a s so fl y n e s se q u a t i o n a ni n g e g e r p a r t f u n c t i o nw a ss e tt oc o m p a r et o t h r o u l g ht h i sm e t h o d ，d i f f e r e n ti t e r a t i o n v a l u e so ft h en e wr e v i s i o no fac l a s so fl y n e s se q u a t i o nw i t hd i f f e r e n t c o n d i t i o n sa r e g = 、v e n s e v e r a ld i f f e r e n tg r a p h sa r eg i v e nw h i c hb a s e do nt h e d i f f e r e n tv a l u e s ；f r o mt h eg r a p h s ，w ec a nf i n do u tt h ep e r i o d i c i t yo ft h e n e wr e v i s i o no fac l a s so fl y n e s s e q u a t i o nd i r e c t l y n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n sa n ds i m u l a t i o n ss h o wt h a tt h en e wr e v i s i o no fac l a s so f l y n e s se q u a t i o nh a ss o m er u l ea l o n gw i t ht h ei n c r e a s i n go ft h eo r d e r t h a t i s ，w h e ni t st h ekt ho r d e rl y n e s se q u a t i o n ，t h ep e r i o do ft h e kt ho r d e r l y n e s se q u a t i o ni s3 k + 2 a l s o t h r o u g ht h en u m e r i c a lc o m p u t a t i o n s a n ds i m u l a t i o n s ，w ef m dt h a tw h e nt h ec o m p u t e rr u nm a n ys t e p s ，t h eg r a p h s s h o ws o m ep e r i o d i c i t y f r o mt h i s ，w ee x t r a p o l a t et h a ta f t e rs o m es t e p ，t h e d a t ao ft h ekt ho r d e rl y n e s se q u a t i o nh a sp e r i o d i c i t y , w h i c ha r er i g h tf o r a l lk n a n dt h e n ，t h e o r e t i c a la n a l y s i so nt h en e wr e v i s i o no fac l a s so f l y n e s se q u a t i o na r eg i v e n , w h e nt h e kt ho r d e ri ss m a l l e v e r ys o l u t i o no f t h ee q u a t i o ni ss o l v e dw h e nki sz e r o t h ef o l l o w i n gr e m a r kg i v e sa ni n t e r e s t i n gd i s c o v e r y t h a ti s ，t h es a l n e p e r i o d i c i t yi sf o u n db e t w e e n t h ew u x i n gs y s t e m so fo u rc o u n t r ya n dt h e l y n e s se q u a t i o nw h i c hw e s t u d i e di nt h ep a p e r w ef m dt h a tt h et h e o r yo f t h ew u - x i n gs y s t e m ss u g g e s t e das c i e n t i f i cj u d g m e n ta b o u tp e r i o d i c i t y , w h i c ha b o u tt h es a n l e5 - p e r i o d f i n a l l y , a n o t h e rn o n l i n e a rl y n e s se q u a t i o ni ss t u d i e d w ef i r s t l yg i v e t h el i n e a r i z a t i o no ft h ee q u a t i o n , a n dt h e nf r e do u tan e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h eo s c i l l a t i o no ft h en o n l i n e a rl y n e s se q u a t i o n a n dt h e nw es h o wt h a tt h ee q u a t i o nh a sn op o s i t i v es o l u t i o nw i t hp r i m e p e r i o dt w o f i n a l l y , w es h o wt h a tt h ee q u a t i o ni sp e r m a n e n t , a n d t h eu n i q u e p o s i t i v ee q u i l i b r i u mo ft h ee q u a t i o ni s ag l o b a la t t r a c t o ri nt h ei n v a r i a n t i n t e r v a l k e yw o r d s ；l y n e s se q u a t i o n ，d i f f e r e n c ee q u a t i o n ，o s c i l l a t i o n ，p e r i o d i c i t y , 西o b a la t t r a c t i v i t y 独创性声明 本人声明所里交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中国石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意。 签名： 钢驺 矽，年f 月d 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复 制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名： 导师签名： 加7 年f 月6 日 炒7 年f 月占日 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 第1 章前言 在上个世纪4 0 年代，rgl y n e s s 在研究数论问题时发现了差分方 程 + l - 监即：0 , 1 州2 一 工 一i 后人开始对此进行研究，并将这类方程以他的名字命名。其中，这方 面做的工作比较多的是v l k o c i e 和gl a d a s 。他们首先研究了常系数 的l y n e s s 方程 1 】 x 。：生立珂：o ，1 ，2 ， 耳h 一1 其中b ( o ，0 0 ) ，初值t 。，为任意正数。 1 9 9 5 年，国际差分方程专业靓孙j o u m a lo fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s a n d a p p l i c a t i o n s ) ) 创立，时任杂志编辑的gl a d a s 教授把各国学者在研 究中遇到不能解决的问题，以“公开问题与猜想”的形式在杂志专栏 上提出。这些公开问题与猜想的提出，激起了人们的浓厚的研究兴趣。 目前有关差分方程的一批研究论文和成果，有相当一部分是对这些公 开问题与猜想的解决与完善。其中对l y n e s s 方程进行的研究，绝大部 分都可以在这本杂志的“公开问题与猜想”中找到根源。在该文中， g l a d a s 提出了如下形式的一般l y n e s s 方程 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 = 竺 n = 0 , i , 2 , - - -k l 5 面丽若 其中a , b 【0 ，o o ) ，a + 6 0 ，初值工- l ，为任意正数。 后来，e a g r o v e 等人又研究了一类形式更广的l y n e s s 方程 x n + l ：爿毕即：o ，l 2 ， 2 两衰石牡o ，l 2 ， 其中a ，b ，c ，d 【o ，o o ) ，a + b 0 ，c + d 0 ，初值x - l ，为任意正数。 研究常系数的l y n e s s 方程相对来说是容易的，当系数的取值随甩的 变化而变化时，研究将变得非常困难。这就是所谓的变系数的l y n e s s 方程。对于这类方程，前面得到的结论还成立吗? 对形式较为简单的 变系数l y n e s s 方程 + ，：堑玉目：o ，1 ，2 ， n _ l 其中b 。为非负实数序列，初值x + 为任意正数。计算机模拟结果预示 着前面的某些结论成立，但当时理论并未能证明这一点。gl a d a s 在此 基础上提出了针对此问题的一个猜想。 涉及两个或多个自变量的差分方程叫偏差分方程。泛函偏差分方 程作为一种重要的数学模型早就出现了，然而对于泛函偏差分方程理 论的研究还远远不够广泛、深入，泛函偏差分方程振动理论的研究作 为近几年来形成的一个重要的研究方向结果还不多。随着数值偏差分 方程计算、随机过程、原子物理等诸多学科的不断深入与发展，都涉 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 及到了大量的泛函偏差分方程，对于这一理论进行研究是十分必要的。 另外，尤其是由时滞引起的方程及系统的振动性、稳定性等定性性质 的变化，深刻的揭示了时滞偏差分方程与相应的偏微分方程本质属性 的差异。鉴于此，对这一新的学术领域进行研究是有重要的实际意义 的。对于泛函偏差分方程，也多采用其特征方程的根的绝对值与1 的 大小关系来确定其振动性。另一种方法是采用l a p l a c e 变换的方法，得 到泛函偏差分方程振动性的条件。对于泛函偏差分方程的发展情况， 刘树堂、张炳根【3 2 】有一个较为详细的综述。 由于差分方程的特殊结构和表现出的奇异性质，以及广泛采用的 数学研究方法，使很多数学工作者专注于其内在的美及其深厚的数学 素养需求。并不断提出新的类型的方程。k a ，c u n n i n g h a m ，gl a d a s 等 1 9 提出了下述类型的方程 2 掣肛叫，2 ， 并对其有界性、周期性、解的存在性等进行了细致研究。这些细致的 工作表现出了研究者非凡的数学素养。 对于差分方程，其解的定性研究广泛利用非线性分析的多种方法 如迭代及上下解方法、拓扑度理论、临界点理论等等。如下的 k r a s n o s e l s k i i 不动点定理常用来研究正解的存在性。 定义a ：x 是b a n a c h 空间，e 是x 的非空闭子集，如果下面的 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 条件成立 ( 1 ) 任意甜，v e ，口， 0 ，有口甜+ v e ； ( 2 ) 若“，卅e ，有“= 0 ； 则e 是锥。 定理a ：( k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，【2 4 】) 设x 是b a n a c h 空间， e c x 是x 中的个锥，q 。，q 2 是x 的开子集且o e q 。，五1 q 2 。算 子 t ：e n 西2 、q i ) j e 全连续且满足下列条件之一 ( 1 ) 任意x e n x 2 。，有f i 戤l l - i l x l 且任意工e n m ：有 l i r x l l - l l x l i 。 则丁在e n ( f 】2 、q 。) 中必有不动点。 国内对于l y n e s s 方程的研究起步较晚，现在可查阅到的文献基本 始于上世纪末，数量也不算太多。李先义在这方面做了较多的工作 2 ，2 6 3 0 】。李万同等 2 0 - 2 1 t g 做y 大量工作，对l y n e s s 方程的周期性、 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 振动性、全局吸引性等都有大量的研究成果。作为有应用背景的例子 之一，宾红华、张志g 工 3 3 1 将“食物有限”种群模型离开化后，得到了 如下方程 = 毛唧( 鼍 并对其全局吸引性进行了研究，获得了方程每一解在初始条件下趋于1 的充分条件。 李先义在博士论文 3 1 】中概述了l y n c s s 方程的一些性质，并提供了 一个反例否决了前文所述ql a d a s 的猜想。从而显示了常系数的l y n e s s 方程与变系数的l y n e s s 方程在吸引性方面存在着本质差异。文中李还 将一般l y n c s s 方程 推广到了如下形式 x “2 丽x n 一= o ，l ，2 ， x 一2 而瓦了瓦下x n 币丙以= o ，1 ，2 ， 其 中 口，b o ，6 l ，一，b i 【o ，o o ) ，口+ 鼠 o ，k o ，l ，1 ) ，初值 x _ k - 1 , x ，x - 1 ，x o 为任意正实数。 c d a r w e n 和w tp a t u l a 4 研究了如下形式的l y n e s s 方程 a + b o x n + b l x n 一1 + x h + 12 x n k n = 0 12 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 一1 其中口6 o ，+ ) ，i = 0 , 1 ，k - i r a + 6 l o ，k 1 1 , 2 ，) 。文中讨论了 该类方程的振动性，环长和极限值。改进了vl k o c i c ，gl a d a s 等人的 结果。 m m e 1 一a f i f i 和a m a h m e d 5 研究了如下形式的差分方程 + 。= 竺竺芷堕二监刀：k - 1 ，七， 以- k “ 其中口，甜【o ，+ o o ) ，k 1 , 2 ，) 。文中讨论了该类方程正解的边界值 性质，严格振动性和半环长。 本文基于前述研究的启发，我们把 矗+ 。：竺型二坚业，：0 ，1 n1 ，矗+ 12 “，5 ， 毛4 类型的差分方程修改为 k + ，：阳删芦型= 坠业】，胛：0 ，1 ， 矗。 其中r o u n d 函数为四舍五入函数。我们把修改后的方程仍称为一类 l y n e s s 方程。 和 此外，受p i e l o u 方程 矗+ t2 石f i 瓦x ，以= o ，l ， = 导，甩：0 ，112 硫川2 ， 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第1 章前言 及【8 】的启发，我们提出了如下方程 x l 2 矗乏舻。，l ， 并就其振动性、周期性、全局吸引性等性质在本文中进行了研究。 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章修改l y n e s s 方程周期数值实验及理论分析 第2 章修改l y n e s s 方程周期数值实验及理论分析 2 1 引言 在【l 】中，v l k o e i c 和g l a d a s 提出了如下方程进行研究 而+ 。：竺型= 堡业，力：0 ，。1 ，( 2 。1 )而+ l2 “，力2 ，【z j 一i 当a = l ，k = o ，l ，2 时，方程( 2 1 ) 的解的周期分别为2 ，5 ，8 ，但当k = 3 ，4 ， 时尚未看到相关的研究。 在很多情况下，一些结论的证明需要用到“对于足够大的玎”之类 的话，但到底是多大的n 呢? 在现实的经济问题中，计算经济数据的差 分方程通常需要具体计算出所关心的年份、月份的数据，而这些年份 只要算到几十年，或者几百年，如1 0 0 年，5 0 0 年等己足矣，对于这些 整数类型的n ，差分方程的精确解往往计算量很大，而不见得特别必要。 我们将该类方程修改为 ： 芦型二堡生唑】，：0,1round n 1 ，( 2 2 )“2l 。j ，2，u 纠 吒4 其中r o u n d 函数为四舍五入的取整函数， m x r n 5 , m + ，r o u n 4 x = m 5 x 2 1 7 ，1 ) 2 1 8 ，4 ) 2 1 9 ，1 0 2 2 0 ，4 2 2 1 ， 1 9 ) 2 2 2 ，8 ) 2 2 3 ，3 ) 2 2 4 ，8 ) 2 2 5 ，1 2 2 6 ，2 ) 2 2 7 ，4 ) 2 2 8 ，1 2 2 9 ，8 ) 由图形及数据可看出，此时方程周期p = 6 5 。 此外，我们在进行数值实验的过程中，发现对于我们研究的方程 和初值，当迭代次数足够大时，均有周期性。由此我们推测，上述由 r o u n d 函数定义的l y n e s s 差分方程，对于任意初值条件，当迭代次数 足够大时，在某个阶段之后均呈现周期性。下述为一例。 当k = 3 时，i r a = 1 ，x 0 = 3 ，t l = 2 ，叠= 1 ，x _ 3 = 4 ，经过1 0 0 0 次迭代 运算后对方程( 2 3 ) 中 刀，x n ) 进行描点，所得图形如下 l 3 0 ； - 2 5 2 0 1 5 1 0 5 2 0 04 0 06 0 08 0 0 l o ( 3 0 由图形可看出，此时方程在某个阶段之后( 如进行2 0 0 次迭代运算后) 中国f i 油人学( 华尔) 硕十论文第2 章修改l y n e s s 方稃周期数值实验及理论分析 也呈现出某种周期性。其他仞值条件下，也有类似情形。 而对于i n t e g e r p a r t 函数，在我们所做的所有数值实验中，均在某 一迭代后出现断点的情况。我们根据其形式 k l ：妇f 呼砌f 【竺立垡= 凸王】，阼：0 1 一 x h 一3 可看出，第n 次迭代的结果将在第n + i 步迭代时作为分母，因此，当 第n 次迭代的值较大时，第n + i 步迭代的值必将较小，这将导致第 n + 2 步迭代的值进一步增大，第n + 3 步迭代的值进一步减小，如此， 直到出现在某个点为0 的情况，继而无法进行下次运算。在数值实验 的基础上，对上述现象进行理论分析是有价值的。 2 3 小阶数情形下周期性理论分析 本部分，我们在口= l ，k = 0 情形下讨论用r o u n d 函数定义的l y n e s s 方程( 2 2 ) 的周期性，并对其进行理论分析。 从方程( 2 2 ) 的原意来说1 ，不过当k = 0 时，方程( 2 2 ) 为 x n + l ：1 + r o u n d 【堡k 】 ( 2 5 ) 仍然是有意义的隐式差分方程。当取初值为j 下数时，我们已知( 2 5 ) 右端 式子为正整数，根据方程的形式，设m ：加“。d 旦血 - o ，则 x ” o 监o 5 ，+ l ：1 。从而 ! 里! ! 垫叁堂! 兰堑! 雯十论文第2 章修改l y n e s s 方程周期数值实验及理论分析 吒+ ：= l + r o u ，耐专益堕】= 1 + ，d ”d 1 + _ + ：】：2 + + ： “ 这不可能。从而设l 为正整数。注意到，上述方程中的，d “耐u 函数 中分数分母不能为1 ，否则会出现 _ 1 + 加“耐毕】_ 1 + r o u n d 1 小2 + 矗。 的形式，从而导致矛盾。 基于方程( 2 5 ) 的形式，我们作如下分析。 当疗= o 时，方程为五：1 + ，。姗d 卫土】，l i p x l - 1 ：加“疗d 【生玉】， o 工0 考虑到其形式，不失一般性，可设出葺3 时的一般形式 等= x l - - l + r ，- 1 z 一三2 ( 2 6 ) z 即五一1 为r d “胛d 口函数内坚苎的整数部分，r 为小数部分。 下面对r 分两种情况进行讨论。 2 3 1 o r 土2 时的周期解 此时，方程( 2 6 ) 即为 r 等一+ ， 丢 ， 即置一1 为，。堋d 】函数内旦玉的整数部分，r 为小数部分。所以有 三玉：一一1 + ，2 _ 一1 ，o ， 昙，即1 + 五五一，整理，得 x o z 中国_ i 油大学( 华东) 硕十论文第2 章修改l y n e s s 方稃周期数值实验及理论分析 班等x o1 - 1 + 击x o 1 ( 2 8 ) i 一一 。 通过前面分析，而1 ，下面考虑2 的情况。 情况1 x o = 2 时，e h ( 2 8 ) 式，而s 3 ，又一1 ，故又有如下两种 情况： ( 1 ) 五：2 ，代入鼍一1 = r o u n d 旦三量】，即2 1 = r o 。l n d 【1 + = 一2 】：2 ， 矛盾，故不存在此种情况。 ( 2 ) 五：3 ，代入而一l = r o u n d 旦玉】，即3 一l ：加“。d 【罢导】= 2 成 壶，又而：1 + r o u n d 1 + x 2 ：1 + r o u n d 等- l ，易知恐：2 为其解，同理， 根据迭代公式，x 3 = 3 ，x 4 = 2 ，即( x o = 2 ，而= 3 ，而= 2 ，x 3 = 3 ，_ = 2 ，) 为方程( 2 5 ) 的一个解。 情况2 x 0 = 3 时，由( 2 8 ) 式，五2 ，y x l 1 ，故= 2 ，代入式 子而一1 = r o z l r l 饥卫玉】，即2 一l ：，。堋d 芝；】= l ，该式成立，又由 而：1 + r o u n d 1 + x 2 ：l + r o u n d l y - ，易知而：3 为其解，同理，根据 工- 迭代公式，x 3 = 2 ，h = 3 ，即( x o = 3 ，毛= 2 ，也= 3 ，而= 2 ，x 4 = 3 ，) 为方程( 2 5 ) 的一个解。 情况3 4 时，则而1 + i 鲁l + 击1 1 ；，故必有一= l ，一l 斗一j 与已知葺1 矛盾，故不存在此种情况。 ! 里燮堂燮! 堡主堡皇箩2 章修改l y n e s s 方程周期数值实验及理论分析 综合上述3 种情况，在o s ， 三且当初值知分别为2 和3 时，对 应方程( 2 5 ) 仅有的两个解序列( = 2 ，而= 3 ，x 2 = 2 ，x 3 = 3 ，x 4 = 2 ，) 和( = 3 ， - - 2 ，x 2 = 3 ，黾= 2 ，x 4 - - 3 ，) ，除此之外，方程( 2 5 ) 没有 解。 2 3 2 一三，o 时的周期解 。 此时，不失一般性，方程( 2 6 ) 可写为 等叶l - ，0 构不成方程( 2 5 ) 的周期解。但结合前述分析，序列 ( x o = 5 ，_ = 2 ，x 2 = 3 ，而= 2 ，墨= 3 ，) 为方程( 2 5 ) 的一个解。同理 ( x 0 = 5 ，一= 2 ，而= 4 ，而= 2 ，_ = 4 ，) 也为方程( 2 5 ) 的一个解。 情况5 = 6 时，由( 2 ，1 0 ) 式，_ 2 ，又葺1 ，故而= 2 ，代入 一1 ：r o l a n d 堑1 ，即2 1 = r o z a n d 己挈】：o ，不t a , - r ，故不存在此种 0 情况。 情况6 x 0 2 7 时，由( 2 1 0 ) 式，而君，又五1 ，故不存在此种 情况下的解。 综合上述6 种情况，在一三，o ，且当初值分别为2 、3 、4 、5 时，对应方程( 2 5 ) 存在解序列( ：c o = 2 ，而= 3 ，为= 2 ，屯= 3 ，x 4 = 2 ，) 、 = 2 ，五= 4 ，屹= 2 ，x 3 = 4 ，x 4 = 2 ，) 、 ：c o = 3 ，= 2 毪= 3 ，弓= 2 , x 4 = 3 ，) 、 ( = 4 ，五= 2 ，为= 4 ，x 3 = 2 ，= 4 ，) 、( = 5 ，五= 2 ，与= 3 ，五= 2 ，气= 3 ，) 、 中国石油大学( 华东) 硕十论文第2 章修改l y n e s s 方程周期数值壅竺垦堡堡坌析 ( x o = 5 ，x l = 2 ，而= 4 ，x 3 = 2 ，k = 4 ，) 、( 5 ，2 ，2 ，3 ，。一，2 ，4 ，) 、 ( 5 ，2 ，2 ，4 ，2 ，3 ，) 。除此之外，方程( 2 5 ) 没有解。 2 3 3 结论 综合上述2 种情况，在一丢， 玎，h x 也 0 。称序列瓴) 关于平衡点i 振动，若序列 x o i 是振动的。 本章将研究如下时滞差分方程 矗2 去舻o ，1 ， ( 3 2 ) 其中口为j 下参数，k 为j 下整数，初始条件t 。，均为正实数。 中国4 釉入学( 华东) 硕十论文第3 章l y n e s s 方程性质研究 和 受著名的p i e l o u 方程 2 惫舻o ，1 ， ( 3 3 ) 吒+ 2 币e t x i ，胛= 蜘 ( 3 4 ) 以及文献【7 9 】的启发，我们提出了方程( 3 2 ) 。 方程( 3 2 ) 具有唯一的正平衡点i ，它是方程 的唯一正根，即 3 2 线性化稳定性理论 一， x z 。= 一 1 + 口i 一以再石一1 x = 一 2 a 稳定性是差分方程定性理论关注的重要性质，线性化稳定性分析 是研究非线性差分方程的重要方法。 其中 方程( 3 1 ) 在平衡点i 的线性化方程是 + 1 = i v y + 钐0 小珂= 0 ，1 ， ( 3 5 ) p ：篓( i ，i ) ， 戗 线性化方程( 3 5 ) 的特征方程为 g ：篓( i ，i ) 洲 中国_ 油人学( 华东) 硕十论文 第3 章l y n e s s 方程性质研究 其特征根为 五2 一p 7 一q = 0 ( 3 6 ) 丑= 华 我们在此给出与此相关的一个定理。与该定理相关的定义将在3 3 节中给出。 定理3 1 ( 线性化稳定性定理) 下述结论成立： ( 1 ) 若方程( 3 6 ) 两根的绝对值均小于1 ，则方程( 3 1 ) 的平衡点芽是局 部渐近稳定的。 ( 2 ) 若方程( 3 6 ) 至少有一根的绝对值大于1 ，则方程( 3 1 ) 的平衡点i 是 不稳定的。 ( 3 ) 方程( 3 6 ) 两根的绝对值均小于l 的充分必要条件是 l p f 南) ( 3 1 6 ) 证明( 3 1 5 ) 的特征方程为 ! 堡型查堂! 兰奎2 堡主笙奎 笙! 皇! 塑望! 查型丝堕堕窒 则 f ( 2 ) = ( 1 + g ) a 一1 + p 2 一= 0 ，( 五) = ( 1 + g ) 一p k 2 一( 。+ 1 f ( a ) = 础( 七+ 1 ) z 一( 。+ 2 o ，旯 0 f ( 五) 在( o ，o o ) 区间内具有唯一的拐点 凡= 由 且在( o ，o o ) 区间内， ) 在 点具有最小值。 又因为 f ( 0 + ) = 0 0 且 f ( o o ) = 0 0 因此，( 五) 在( o ，o o ) 区间内在厶点具有全局最小值。 由引理3 2 ，方程( 3 1 5 ) 振动当且仅当 f ( 九) 0 此处 m ) - ( 1 铲1 - 叫( 1 + g ) 竿一寺 因此，f ( 矗) 0 当且仅当 如 鬲k 而1 中国f 釉人学( 华东) 硕十论文第3 章l y n e s s 方程性质研究 当且仅当 证完。 础“广l ( 南) 定理3