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碰撞振动系统的擦边运动分析 摘要 本文研究了一类单自由度和双自由度碰振系统中的周期擦边运 动，利用n o r d m a r k 不连续映射方法推导了擦边周期轨道附近的不连 续映射，用此映射分析了系统在擦边周期轨道附近是否存在局部吸引 子及擦边分岔情况，并用数值方法进行了模拟。主要内容如下： 第一讨论了一类单自由度双约束碰振系统的擦边周期运动。首 先得到了一个对称双擦周期轨道，然后用n o r d m a r k 不连续映射的方 法在这个擦边周期轨道附近建立了擦边周期轨道的不连续映射，对此 映射进行了分析，得到了系统在这个双擦周期轨道附近是否存在局部 吸引子的条件，由此条件得到系统在此双擦周期轨道附近不存在局部 吸引子，所以发生不连续擦边分岔，最后用数值仿真的方法得到了一 致的结果。 第二运用p o i n c a r 6 映射方法，解析的导出了一类双自由度碰 撞系统的擦边周期n 运动的存在性判据，经过数值模拟验证了理论分 析的正确性。然后用n o r d m a r k 不连续映射的方法，在擦边周期n 轨 道附近建立不连续映射，用此映射分析擦边周期轨道的稳定性并通过 数值迭代说明了此系统擦边周期轨道的不稳定性。 关键词：碰撞振动系统擦边周期轨道不连续映射存在性局部吸 引子稳定性 s t u d i e so ng r a z i n gp e r i o d i c m o t i o n si nv i b r o - i m p a c ts y s t e m s a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，p e r i o d i cg r a z i n gm o t i o n si nv i b r o i m p a c ts y s t e m sw j t l l o n ea n dt w od e g r e e so ff r e e d o ma r es t u d i e d o nt h eb a s i so fn o r d m a r k s d i s c o n t i n u i t ym a p p i n gm e t h o d ，ad i s c o n t i n u i t ym a p p i n gn e a rt h eg r a z i n g t r a j e c t o r yi se s t a b l i s h e d t h e nt h em a p p i n g i su s e dt oa n a l y z et h ee x i s t e n c eo fa l o c a la t t r a c t o rn e a rt h eg r a z i n gt r a j e c t o r ya n dd i s c u s st h eg r a z i n gb i f u r c a t i o n s a l s ot h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r eu s e dt ov e r i f yt h et h e o r e t i c a lr e s u l t s f i r s t l y , t h eg r a z i n gp e r i o d i cm o t i o n sa r ed i s c u s s e di nao n ed e g r e eo f f r e e d o mv i b r o - i m p a c ts y s t e mw i t hd o u b l ec o n s t r a i n s a tt h eb e g i n n i n g , a s y m m e t r i c a lp e r i o d i cg r a z i n gm o t i o nw h i c hg r a z e sw i t ht w oc o n s t r a i n si s o b t a i n e d t h e n ，ad i s c o n t i n u i t ym a p p i n gn e a rt h ed o u b l eg r a z i n gt r a j e c t o r yi s d e d u c e db yu s i n gt h en o r d m a r k sd i s c o n t i n u i t ym a p p i n gm e t h o d , a n dt h e d i s e o n t i n u i t ym a p p i n gi su s e dt oa n a l y z et h ee x i s t e n c eo fl o c a la t t r a c t o r sn e a rt h e g r a z i n gt r a j e c t o r y i ti sf o u n dt h es y s t e md o e s n ts a t i s f yt h ec o n d i t i o nm e n t i o n e d a b o v en e a rt h eg r a z i n gt r a j e c t o r y , s ot h e r ea r en ot h el o c a la t t r a c t o r sn e a rt h e d o u b l eg r a z i n gt r a j e c t o r ya n dt h eg r a z i n gb i f u r c a t i o ni sd i s c o n t i n u o u s i ti s s h o w nt h a tt h er e s u l to fn u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sa g r e e m e n tw i t ht h et h e o r e t i c a l a n a l y s i s s e c o n d l y , w eg e ta ne x i s t e n tc r i t e r i o no fg r a z i n gp e r i o d - nm o t i o ni nt w o - d e g r e e - o f - f r e e d o mv i b r o - i m p a c ts y s t e mb yu s i n gt h em e t h o do fp o i n e a r6 m a p p i n ga n dp r o v ei t sv a l i d i t y al o c a la n a l y s i sb a s e do nt h ed i s c o n t i n u i t y m a p p i n ga p p r o a c h i se m p l o y e dt od e r i v et h ep o i n c a r 6m a p p i n gn e a rt h eg r a z i n g t r a j e c t o r y t h e nw ed i s c u s st h es t a b i l i t yo fg r a z i n gp e r i o d i ct r a j e c t o r ya n d g r a z i n gb i f u r c a t i o n st h r o u g hac o m b i n a t i o no fn u m e r i c a ls i m u l a t i o na n dt h e l o c a la n a l y s i s k e y w o r d s ：v i b r o - i m p a c ts y s t e m ； g r a z i n gp e r i o d i cm o t i o n ；d i s e o n t i n u i t y m a p p i n g ；e x i s t e n c e ；l o c a la t t r a c t o r ；s t a b i l i t y ； 广西大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的 成果和相关知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名单位 发表或使用本论文的研究内容。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发 表过的研究成果，也不包含本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研 究工作提供过重要帮助的个人和集体，均已在论文中明确说明并致谢。 论文作者签名：徐菇磊、7 - * 7 年月7 0 日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本： 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 瞰口时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文作者始蜘璩导师签名冶稚唧年石月刀日 碰擅摊动j 漱的，边遥动2 析 第一章绪论 在实际力学系统中往往存在碰撞、冲击、可变刚度、开关、阀值、脉冲、调 制控制、数字控制等大量非光滑因素，它们主要是由约束条件、本构关系和控制 方式决定的，通常还具有很强的非线性特点。非光滑系统动力学问题近年来一直 受到学者们的关注。从牛顿时代开始，人们一直在研究力学系统中由于碰撞、冲 击、干摩擦等因素带来的复杂动力学行为。目前人们讨论最多的是非线性与非光 滑因素同时存在的情形，主要有分段光滑向量场的系统和有刚性约束的脉冲作用 的系统。自六、七十年代以来，人们开始利用p o i n c a x 映射方法，对单、双自 由度的非光滑系统的动力学进行分析，发现其有跟光滑系统相似的动力学行为， 但是还有大量特有的复杂现象，例如多种吸引集的共存现象和边界碰撞分岔现 象。人们还对各种碰撞周期运动及其稳定性、碰振周期运动的h o p f 分岔和高余 维分岔，分段线性系统的擦边行为和擦边轨道的确定，非光滑动力系统f l o q u e t 特征乘子和l y a p u n o v 指数谱计算的通用方法和控制问题进行了研究。总的来说， 非光滑系统动力学的理论分析、数值计算和应用研究是当前动力学与控制领域中 受到广泛关注的问题，有重要的理论意义和应用价值。 本文主要讨论碰撞振动系统擦边轨道的存在性及分岔研究。 1 1 非光滑动力系统的分类及碰撞振动系统的研究进展 对于微分方程描述的连续时间系统和映射描述的离散时间系统，凡是向量场 不具有光滑性的动力系统，统称为非光滑动力系统( n s s ，即n o n - s m o o t h s y s t e m ) 。 对于微分方程描述的连续时间系统，根据系统向量场的非光滑程度可以将非 光滑动力系统分为三类： 1 ) 第一类非光滑动力系统，是指向量场含有瞬时脉冲作用的动力系统，其非 光滑程度是最高的。它可以统一表示为脉冲微分方程的形式。一般地说，已知向 量场f ( t ，工) ，f ：r q r ”，q c r 4 是一个开集，集合m c r x q ，映射 a ：m q ，于是脉冲微分方程可以写成 f s o ( t ) ；，p ，工) o ，石) 圣 ， 1 工o + ) - 爿0 + ，x ( t ) ) ( f + ，x ( t ) ) m 。 脉冲微分方程一般分为两种，即脉冲发生时刻给定t e a ，或脉冲发生时刻 依赖于状态x ( t 。) e x ，刚性碰撞模型的例子则属于后者。 2 ) 第二类非光滑动力系统，是指向量场非连续的动力系统，一般称作 f i l i p p o v 系统，可统一表示为 t 擅摊动曩照的捧垃避动分析 fe ( f ，功工矿，h 0 ) 燃在分 岔点附近必然有一个极小值。 其中条件1 ) ，2 ) 表示轨线是l 临界的，对各种非光滑分岔都适用，3 ) ，4 ) 则是 擦边分岔的主要特征，用于识别和区分擦边分岔。 擦边分岔零时间非光滑映射的推导过程如下： 首先，设擦边轨线为x 。( f ) 中，( 0 ，f ) ，在t t o 处与分界面s 相切。给定扰动e ， 扰动轨线为x ( t ) = 中。( e x o ，f ) 。在x s 。- - t = t t 一一6 处扰动轨线从s + 到s 一，在 石一幺t - t 2 一a - 6 处扰动轨线再从s + 到s + ，该两点均在分界面上。 ：二= 二一尘一 l|l0t ：0 图1 2 擦边分岔非连续映射的推导 其次，根据解析条件确定轨线所走的时间，以满足总时问为零的原则。 第一步： e x o 到i ，求6 。 i 一中1 ( c x o ，一6 ) - e x o 一6 曩+ 6 2 a l 一茚岛一6 3 q 一2 6 d l x 0 2 + e 6 2 巳 + 6 4 一3 6 9 i 玉0 3 + 2 62 2 一d 3 ，l + d ( 5 ) 由解析条件h ( 习= o 一( v h ，i ) ；o 及f 埘- ( v h ，e ) 一o ，可用一个以的近似系 列来表示时间6s 们+ y 2 + y 3 玳+ d ( 2 ) ， 舯n j = 堑n h , t 舶。警以篮鱼笋吐丝v翻朋m n 再代回可得到一个以的近似系列i 一五”2 + 筋f + 局3 胆+ d ( f 2 ) ， 其中五一一e y t ，x 2 - x o 一互r 2 + 4 1 y 1 2 ，x 3 一一五圯一6 尚y 1 + 知1 r i ，2 - q t , 3 。 第二步：从i 到量，求a 。 t 擅舅毒口矗兢的攥皿运动分析 叠- m 2 ( t ) l i + e a + 2 + b 2 孑a + c 2 a 3 + d z x 2 a + e z r a 2 七a t , + g j p + h a 3 + j i 醚+ o n 。 由解析条件 ) 一。营( v h ，主) 一。及五。一( 跗，五) 一o 且而- ( v 日，i ) ；o ，可 用一个；的系列来表示厶- 叩1 7 2 + v 2 e + v 3 e ”+ d ( 2 ) ， 其中 ，。一垃，。一(d2x12)sv,+c2nvl3+(b2_x2)h11+(ezx1)uv12， 1 4 7 2 知 吒+ 如五k y，。一(jzxl)v13+(b2x3)v,+azv22+2(d2x1x2)nvt+(b2x2)uv2+f2nvl4 “ 2 a 2 日v i ( 6 2 五) 日 2 0 2 咒) 口 ，2 + 0 2 - ，2 ) j ：r 吒2 + 3 c 2 h 吒2 + ( 如而) h y l 2 ( d 2 而2 ) 日吃+ ( 9 2 0 ) h 吒 2 a 2 n v t 巾2 溉1 h 第三步：从膏到，保证总时间6 一p - a ) - a - 0 。 已- m l ( 量，6 一a ) i 叠+ e ( 6 一) + 口l ( 6 一) 2 + 6 1 主( 6 一) + c l ( d 一) 3 + d j 2 ( d 一) 2 + 啦( 6 一) 2 + 五( 6 一) 4 + 9 1 孟3 ( 6 一) + 量2 ( 6 - a ) 2 + 量( 6 一) 3 + d c ；) 。 代入上两步缛出的表达式可得： 不同的非光滑动力系统得到的擦边分岔的不连续映射的表达式是不一样的，例如 若e e ，即向量场非连续，则起主导作用的非线性项为s ”2 项。 工，一( 五一互) 吒1 ”+ o ( g ) ( f 2 幔) 单瓶碉+ o ( s ) a 2 h 、a l i t 口| ( 。，( 而) ) | + d ( ) ， 舯扣而v h 券戮幔_ 彤(，( a 巴缸) 最) ( v h ，( 嵋缸) ) f 对于碰撞振动系统的擦边分岔的零时间不连续映射的推导，只需在相应的步骤做 一些调整即可，得到的不连续映射起主导作用的非线性项也是m 项。 下面介绍不连续映射推导的第二种方法：p o i n c a r 6 不连续映( p o i n c a r 6 d i s c o n t i n u i t ym a p p i n g 或p d m ) 碰撞振动系统的微分方程为： 7 t 擅舅l 自秉耽的，皿运动分析 - - d x ；，o ) a t t g 。o 一) 当k ) 0 ， 当k - 0 。 其中h z , o ) = 0 定义了分界面d ，g o 定义了碰撞函数。 定义k ) 一 d ，0 ) ， ) ，口t 砟，o ) 厂0 ) 且 d + t 仁d i 缸o ) o ) ， d 。一仁d l k o ) o ， d 一 x e d l h a x ) to ) 。 为了得到不连续映射d ，我们定义p o i n c a r 截面p 佴o ) - 0 ) ，系统轨线如 图1 3 所示。系统轨线在向量场f 的作用下在点e d 到达分界面d ，在碰 图1 3 擦边分岔不连续映射的推导 撞函数的作用下经过跳跃到达- g o ( k ) e o + ，然后在向量场，的作用下继续 运动。如果我们假设当轨线到达分界面时，轨线穿过分界面仍在向量场，的作用 下运动直到j p ，从出发，在向量场，的作用下逆时间运动直到鼍p a 在这种假设下，我们需要一个# 1 正( c o r r e c t i o n ) ，它可以从到 的映射d 得到， d ) 一中( g d ，- f 1 ) ) ，- t ：) ，其中m 表示在向量场，作用下的流。这就是我们 需要求的不连续映射d 。 下面我们将介绍如何求d 的一般形式。设x 尸n d 是擦边点，给定一个初 始点( 扰动点) 聋一z 且工p ，k g ) ( 0 。我们将分三步得到不连续映射d 的表 8 擅撬动最兢曲搏 j 毫迥动分析 达式。 1 ) 在向量场f 的作用下流从x 出发经过时间c 0 到达d 。 2 ) 应用碰撞函数如。 3 ) 在向量场f 的作用下流再经过时间f 2to 到达p 。 第一步：假设kx ) c 0 ，考虑函数 ”) - f 严堑等塑生盥啪 ( 1 2 1 ) 因为x p ，即k o ) 一0 ，由m 0 ，y ，f ) - 0 ( 设f 0 ) 可得k ( 中0 ，- f ) ) - h d o ) + _ ) ，2 ， 当y - = i 而时，n o ( o ( x ，_ t ) ) 一。即中( x ，- t ) e d 。所以可以看出当) ，- = 瓦而 时，由e 1 似y ，t ) 一0 得到的时间就是我们第一步要求的时间。 又因为 h d ( e p ( - x , t _ ) ) - 广h d ( x ) + 一t h p ( x ) 。 ( 1 2 2 ) 在t o 时是有界的( 从分子对t 的泰勒展式可以看出来) ，可以得到 e 忡o ，0 ，o ) - 0 ，( 1 2 3 ) 州，0 o ) 。污。 ( 1 2 4 ) 由隐函数定理可知在o ，o ) 的一个开邻域内存在唯一的一个光滑函数f 1 o ，y ) ， 使 ， _ r m o ，o ) 一0 ，( 1 2 5 ) 和 e ”g ，y ，f ”) ，) ) ；0 。( 1 2 0 9 从e 1 的定义可以得到f l - 呵卿o ，= j 云丽) 。 因为光滑函数f x ，y ) 是由隐函数( 1 2 6 ) 定义的，由隐函数微分我们可 以计算f o 在o ，o ) 处的任意偏微分。令 d l o ，y ) 一垂o ，f o o ，_ ) ) ) 。( 1 2 7 ) 因为西是光滑的，我们可以计算d 1 在0 ，o ) 的任意偏微分。那么只要在 0 ，o ) 处把d 1 展开到想要的阶数并把) ，- = j 云丽代替x 我们就完成了第一步。 第二步：因为g o 是光滑函数，我们可以把它在x 处展开到想要的阶数然后 再把第一步的结果代入即可。 第三步：最后考虑函数 e 2 o ，t ) = h v ( 中o ，- t ) ) 。 ( 1 2 8 ) 有 e 2 0 ，o ) = h p ( x ) - 0 ， ( 1 2 9 ) 和 巨o ，0 ) - a 0 。( 1 2 1 0 ) 再由隐函数定理可得在z 。的一个开邻域内存在唯一的一个光滑函数f ( 力，使 和 彳( 2 0 ) 一0 ， e 2 f 2 o ) ) i0 。 由e 2 的定义可以得到f 2 一呵2 0 ) 。 ( 1 2 1 1 ) ( 1 2 1 2 ) 因为光滑函数f a o ) 是由隐函数( 1 2 1 2 ) 定义的，由隐函数微分我们可以计 算z - ( 2 在x 处的任意偏微分。令 砬( 力一垂0 ，? ) 。( 1 2 1 3 ) 因为m 是光滑的，我们可以计算d 2 在x 的任意偏微分。那么只要在x 。处把d 2 展 开到想要的阶数并把第二步的结果代替z 我们就完成了第三步。 这样就得到了要求的p o i n c a r 6 不连续映射： 卜0 0 z ( g d ( 讹丽) ) ) i工 学o ) 苫o( 1 2 1 4 ) 当t 0 、7 很明显由于平方根项的存在使得不连续映射在点“h 。o ) t0 ) 处不可微，即不连 续映射在擦边点处不可微。 不连续映射d 在石处的展开式关于x 一工的最低项的表达式为： 卢扛i 两再丐， ( 1 2 1 5 ) 1 0 爿l 曲睁动j 瀚的舅u 奄运动分析 其中 卢。旧型蛩掣a 咝- g d 删) 1 后a 。( 1 2 “) ij1 1 3 本文的工作 本文的结构安排如下： 第一章为绪论。主要论述了碰撞振动系统擦边运动及其分岔的研究现状，阐 述了研究目的和意义。 第二章讨论了一个具有双约束的单自由度碰撞振予的擦边运动，首先我们得 到系统的个双撩轨线( 与两边约束都发生擦边) j 然后用不连续映射方法在擦 边轨道附近推导出双擦轨线的不连续映射，最后用数值仿真证明了不连续映射的 有效性并得到了和原系统的一致结果。 第三章运用p o i n c a r 6 映射方法，解析的导出了一类双自由度碰撞系统的擦 边周期n 运动的存在性判据，经过数值模拟验证了理论分析的正确性。然后用 n o r d m a r k 不连续映射方法，在擦边周期n 轨道附近建立不连续映射，用此分析擦 边周期轨道的稳定性并通过数值迭代说明了此系统擦边周期轨道的不稳定性。 1 1 l 撞振动秉航的月4 j t 动分析 第二章一类双约束单自由度碰振系统的擦边运动分析 2 1 引言 擦边现象存在于大量碰撞振动系统中。由于系统在擦边点处具有奇异性，导 致系统有非常复杂的动力学行为。长期以来人们对碰振系统的擦边运动进行了广 泛的研究。早在1 9 8 3 年，s h a w & h o l m e s 5 8 1 在研究一个简谐激励下有约束的单自 由度刚性碰撞振子时就最早发现了零速碰撞会导致奇异性的发生。w h i s t o n 2 6 1 在研究简谐激励下无阻尼线性冲击振子时，首先用奇异性理论研究了擦边碰撞的 p o i n c a r 跌射不可微性，说明了碰撞振动的复杂运动形式与擦边现象具有内在的 联系。n o r d m a r k 2 7 在这类单自由度碰振系统的研究中发现了擦边碰撞现象，并 首次建立了冲击振子碰撞运动的p o i n c a r 6 n o r d m a r k 映射。c h i n 3 0 - 3 1 等人对 p o i n c a r 6 - - n o r d m a r k 映射做单参数开折后详细研究了它的性质，发现该映射具有 十分复杂的动力学行为。f r e d r i k s s o n & n o r d m a r k 3 4 3 5 推广了以前的工作，通过 引入不连续拉回映射( d i s c o n t i n u i t yb y p a s sm a p p i n g ) 建立起了多自由度冲击振予 的p o i n c a r 6 映射及规范型的计算，并推出了擦边轨道稳定的条件。b e r n a r d o ， b u d d 和c h a m p n e y s 4 7 用n o r d m a r k 不连续映射的方法推导出n 维分段光滑动力 系统在擦边轨道附近不连续映射的规范形，并用此来分析擦边分岔情况。 b e r n a r d o ，k o w a l c z y k 和n o r d m a r k 4 8 j 也推导出了带有滑动的擦边轨道附近不连 续映射的规范形。目前主要有两种建立不连续映射的方法z d m 和p d m ，不连续映 射的方法在擦边运动的研究中起到了非常重要的作用。对对称双约束碰撞系统的 研究s h a w 7 对一个单自由度对称双约束碰撞系统的动力学行为进行了研究。 a c j 。l u o 5 6 研究了一类具有双约束的非光滑动力系统的对称解。 g w l u o 5 7 5 9 等对一类对称双约束碰撞系统的n e i m a r k - s a c k e r 分岔及环面分 岔进行了研究并研究了此系统的余维二分岔。f o a l e 、b i s h o p 6 0 3 耐一个双约束 单自由度系统的擦边分岔进行了数值研究。 本文首次提出在一个对称双擦周期轨道附近建立不连续映射，并用此分析了 系统在擦边点处的局部分岔情况。 2 z 模型 考虑由质量为m 的振子组成的对称双约束单自由度碰振系统如图2 1 所示， 振子由刚度为t 的线性弹簧和阻尼系数为c 的线性阻尼器相连接。质块只作水平 方向的运动，并受简谐激励力厂c o s ( 耐+ 矿) 的作用。处于平衡状态的振子与刚性 约束a 和b 的距离为d ，0 。碰撞系统在没有碰撞时的无量纲运动方程为： d 十；n + q 2 0 + 1 ) 一f c o s ( 2 石f + ) ， ( 2 2 1 ) 其中 考。丝；q ：。氅；f 氅。 l 捆【振动j 嗽的攘遗目 分析 且打f t o t 。振子的平衡位置为一一1 ，刚性约束a 和b 分别位于口。0 和“一2 ， 所以距离d 为单位长度。仍然用f 来表示f ，得到系统的运动方程为： 甜+ t + q 2 0 + 1 ) 一f e o s ( 纫t + 妒) 五一硝 -2之或u。0u 。0 也z m 一- 2 或一i 。 f c o s ( t 珑+ 劝 “= - 2以= - 1“= 0 图2 1 碰撞振动系统 f i g 2 1v i b r o i m p a c ts y s t e m 方程有一个特解： p o ) - ( 1 + 6 ) e o s ( 2 z t ) - 1 ( 2 2 3 ) 当6 - ( f 一) ；- ( q 2 一锄2 ) + 锄2 ；2 ； - a r c c o s ( q 2 一锄2 ) 】。 由此我们可以看出当6 - 0 时系统存在双擦周期轨道p ( f ) ，且d 可以看成是擦边 分岔参数，因为当d 。o 时，振子分别在t - 疗，m + n + l 2 ( 研，n e o 。2 孵+ 1 代表周 期数) 是发生擦边，当6 ，0 时，振子与分界面发生碰撞，当6c 0 时，振子在 t n ，m + ，l + 1 2 都不碰。 方程的通解为： 石o ) 一p o 一气) 瓦( f - t o ) + 歹( f ) 。 ( 2 2 4 ) 再由初始条件“，订( f o ) ) 得到方程的通解为： 厅p ) 一e ( t t o ) i - ( t o ) - p ( t o ) 】+ 歹8 ) ， ( 2 2 5 ) 其中 。去( 嚣蓦e s _ 唧e h t 叩) ， c z z e ， 且毛= 1 2 ( 一f + 肺) s ：1 2 ( 一亭一厣) ，厅( f ) ； m ( f 矿， u ( t o ) = 0 瓴) ，v ( f o 矿，p ( t ) ；( f ) ，声p ) ) 7 。 碰擅摊动囊兢的i 越鼍r 分析 2 3 擦边周期运动不连续映射的推导 下面主要以周期1 运动为例进行推导。由( 2 2 6 ) 式可知p 0 ) 的特征根为 一矿，t 一驴，所以当考，o 时系统的非碰周期轨道是渐进稳定的。令 p c 扣t 去( 嚣，：_ $ 1 e 4 2 h e 彬2 _ e s l 2 心乏) 心a ， 其中特征值为 t 矿胆，如l e 胆，a - t r ( p ) 一一胆+ 驴胆- p , l + 易，f - d e t ( p ) 一 e 2 e 。胆- p 。“一号1 易一号2 巳，且号l 一；置2 - 易 下面我们来分析系统在双擦周期轨道附近的分岔情况。首先以相位面 。( f - n ) 为p o i n c a r 6 截面。系统轨线如图2 2 所示。当6 - 0 时，p o ) 在fi n 与 分界面，( u = 0 ) 在d 1 处发生擦边。当参数变化时，系统轨线与分界面发生碰撞， 在碰撞函数的作用后继续在系统流的作用下运动与l i 。p - n ) 相交于纯，