（理论物理专业论文）周期驱动对玻色爱因斯坦凝聚体动力学行为的影响.pdf

摘要 玻色一爱因斯坦凝聚( 简称b e c ) 是玻色子体系在温度小于某一临界值时大量 粒子宏观的占据量子力学基态的现象。b e c 是量子统计物理学最基本的理论之一， 是超导超流物理学的理论基础和很多宏观量子现象的物理根源。b e c 是一类涉及 物理学很多领域( 如原子与分子物理，量子光学，核物理，统计与凝聚态物理和天 体物理等) 的普遍物理现象，所以b e c 的研究具有非常重要的理论意义。另外，b e c 的研究也有非常诱人的应用前景。因此，对b e c 的研究成为目前科学研究的热点 之一。 本文应用平均场理论研究了周期驱动对二、三势阱中b e c 动力学行为的影响， 并取得了一些有意义的结果。全文共分四章：第一章，我们介绍了玻色一爱因斯坦 凝聚体的研究过程及应用，实现b e c 的相关技术，无相互作用玻色气体的凝聚和 平均场理论；第二章，首先推导了量子系统的正则形式，接着给出了周期驱动下双 势阱中玻色一爱因斯坦凝聚体所满足的方程，最后利用数值模拟研究了受驱双势阱 中玻色一爱因斯坦凝聚体相空间的动力学行为，并和对称双势阱作了比较。结果发 现加入周期驱动以后可以减小发生自俘获时粒子间相互作用的临界值；为了把我们 的研究推广到更令人们感兴趣的多能级系统，第三章我们首先给出了三势阱中玻色 一爱因斯坦凝聚体的理论模型，接着研究了三势阱中b e c 的能级结构，发现三势阱 体系的能级有非常复杂的拓扑结构，最后研究了三势阱中的b e c 在没有周期驱动 和周期驱动下的遂穿动力学性质；最后一章是对本文工作的总结。 关键词：玻色一爱因斯坦凝聚平均场近似周期驱动自俘获 i i i a b s t r a c t b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ( b e c ) i sap h e n o m e n o no fm a c r o s c o p i co c c u p a t i o ni n q u a n t u mg r o u n ds t a t eb yal a r g en u m b e ro fi d e n t i c a lb o s o n sw h e nt h et e m p e r a t u r eo ft h e s y s t e mb e l o wac r i t i c a lt e m p e r a t u r e b e ci so n eo ft h em o s tb a s i ct h e o r yi nq u a n t u m s t a t i s t i cm e c h a n i c sa n dt h ef o u n d a t i o no fs u p e r c o n d u c t i v i t ya n ds u p e r f l u i d i t y b e c t h e o r yi sa l s ot h ep h y s i c a lr o o to fm a n yk i n d so fm a c r o s c o p i cq u a n t u mp h e n o m e n a t h e r e s e a r c ho fb e ci sau b i q u i t o u sp h e n o m e n o nr e l a t i n gt om a n yf i e l d si np h y s i c s ，s u c ha s a t o m i ca n dm o l e c u l a rp h y s i c s ，q u a n t u mo p t i c s ，n u c l e a rp h y s i c s ，s t a t i s t i c a lp h y s i c sa n d c o n d e n s a t em a t t e rp h y s i t s ，a s t r o p h y s i c s ，a n dh e n c eh a ss i g n i f i c a n ti m p o r t a n c ei nt h e t h e o r e t i c a lv i e w p o i n t i ti sa l s oh a sp r o m i s i n gf u t u r ep r o s p e c t si np r a c t i c a la p p l i c a t i o n t h e r e f o r et h ei n v e s t i g a t i o no ft h eb e cb e c a m eaf o c u sf i e l dt ot h ep h y s i c a ls c i e n t i s t s i nt h i st h e s i s ，b yu s i n gt h em e a n - f i l e dm e t h o dw ei n v e s t i g a t et h ei n f l u e n c eo f p e r i o d i cd r i v e no nd y n a m i c so fb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o na n do b t a i nas e r i a lo f v a l u a b l er e s u l t s t h et h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s ：i nc h a p t e ro n e ，w em a i n l yi n t r o d u c e t h eh i s t o r yo fb e cr e s e a r c ha n da p p l i c a t i o n ，t h ee x p e r i m e n t st e c h n o l o g i e so fr e a l i z i n g b e c ，t h ec o n d e n s a t i o no fn o n - i n t e r a c t i o nb o s eg a sa n dt h em e a n f i l e dt h e o r y ；i nc h a p t e r t w o ，w ed e r i v a t et h ec a n o n i c a lf o r mo fq u a n t u ms y s t e ma n dt h ed y n a m i c a le q u a t i o no f b e ci nt h ed r i v e nt w o w e l l ，t h e n ，w es t u d yt h ed y n a m i c so ft h e i rp h a s es p a c eo fb e c u n d e rp e r i o d i cd r i v i n gf o r c e ；i no l d e rt o e x t e n d i n go u rs t u d yt om o r ei n t e r e s t i n g m a n y - c o m p o n e n ts y s t e m ，i nc h a p t e rt h r e e ，w ef i r s tg i v et h et h e o r e t i c a lm o d e lo fab e c i nat r i p l e - w e l lt r a p ，a n dt h e ns t u d ye n e r g yl e v e l ss t r u c t u r eo ft h eb e ca n df o u n de n e r g y l e v e l ss t r u c t u r ea r ev e r yi m p l i c a t e ，a n df i n a l l yw ed i s c u s st h ed y n a m i c so fab e ci na t i l t e dt r i p l e w e l lt r a pu n d e rap e r i o d i ce x t e r n a ld r i v i n gf o r c e ；i nt h ef i n a lc h a p t e r , w e s u m m a r i z et h em a i nr e s u l t so ft h ep r e s e n tp a p e r k e yw o r d s ：b o s e - - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n m e a n f i l e d a p p r o x i m a t i o np e r i o d i c d r i v e n s e l f - t r a p p i n g i v 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文周期驱动对玻色一爱因斯坦凝聚体动力学行为的影 响，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注 明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签名) ：机灵 指导教师确认( 签名) ： 叩年f 月 日 即7 年多月少日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以 将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影e p 、缩印或其 它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作者夕签孙溶屿义走舯撕c 竿孙扬诤 杪( 7 年6 月) 口扣口7 年多月7 同 1 前言 玻色一爱因斯坦凝聚( 简称b e c ) 是一类涉及物理学很多领域如原子与分子物理、 核物理、量子光学、统计与凝聚态物理和天体物理等的普遍物理现象。能够实现b e c 的体系可以是气体、液体或固体，也可以是原子核和基本粒子，甚至还可以是中子星或 超新星中的物质。所以b e c 对于凝聚态物质、原子、原子核和基本粒子物理的研究具 有非常重要的意义。 从1 9 2 5 年玻色一爱因斯坦凝聚这一理论提出之后，人们就在探索实现b e c 的方法， 终于在1 9 9 5 年美国科罗拉多大学的j 几a 小组、莱斯大学的r i c e 小组和麻省理工学 院的m r r 小组分别用碱金属原子8 7 r b 和2 3 n a 通过激光冷却、磁势阱束缚与蒸发冷却 等技术实现了b e c 1 。3 】。这是b e c 研究史上的重要里程碑，自此掀起了b e c 研究的狂 潮，后来相继实现了氢原子的b e c 、费米原子组成的分子和费米原子对的b e c 。对于 b e c 体系动力学行为的研究，它的基本出发点为g r o s s p i t a e v s k i i 理论，这种平均场理 论为b e c 及有关现象的描述提供了更为简单和有效的方法。 1 1b e c 的研究过程和应用 1 9 2 4 年印度物理学家玻色提出以不可分辨的n 个全同粒子的新观念，使得每个光子 的能量满足爱因斯坦的光量子假设，也满足玻尔兹曼的最大机率分布统计假设，这个光 子理想气体的观点可以说是彻底解决了普朗克黑体辐射的半经验公式的问题。可能是当 初玻色的论文因没有新结果，遭到退稿的命运。他随后将论文寄给爱因斯坦，爱因斯坦 意识到玻色工作的重要性，立即着手这一问题的研究，并于1 9 2 4 和1 9 2 5 年发表两篇文 章附】，将玻色对光子( 粒子数不守恒) 的统计方法推广到某类原子( 粒子数守恒) ，并预言 当这类原子的温度降低到某一临界温度耳下，会有相变新的物质状态产生，所有 的原子会突然聚集在一种尽可能低的能量状态，这就是我们所说的玻色一爱因斯坦凝聚。 即当t r c 时，= 0 ，有 = 。“= 。+ 等c 2 耐心j c o 若鲁， 其中n 。为处于基态上的凝聚粒子数，为各激发态上的热粒子数之和。在临界温度以 下的热粒子数由积分可以得到 - v = 树” 所以凝聚粒子可以写为 0 _ 州1 。秒2 1 从上面两式可以看出，当体系温度低于临界温度t c 时，n 。与n 可以相比拟，若 t = 0 ，则全部粒子处于凝聚状态。 图i1 爱因斯坦( 右) 在玻色( 左) 工作的基础上预言了 玻色一爱因斯坦凝聚现象 早期的b e c 研究进展比较缓慢，研究的目标也主要集中在实验物质的选择方面。 1 9 3 8 年，法国人l o n d o ne t , q 提出液氨( h e 4 ) 超流本质e 足量子统计现象，是b e c 的反应， 并计算出临界温度为32 k ，玻色一爱因斯坦凝聚才真正0 i 起物理学界的重视。从那时起， 物理学家都希望能存寅验上观察到这种物耻现象但由于找小到合适的实验体系和实蛉 技术的限制，玻色一爱因斯坦凝聚的早期实验研究进展缓慢。1 9 5 0 年，p e n r o s e 和o n s a g e r 在研究超流的长程作用时发现它们具有玻色系统的关联并推断在超流氮中，有8 的 原子具有玻色一爱因斯坦凝聚的特性。虽然超流显示了玻色一爱因斯坦凝聚现象的存在， 但这些系统都很复杂，凝聚现象只是部分的发生在这些系统中，系统中粒子间的强相互 作用也使得玻色一爱因斯坦凝聚现象表现得不那么单纯。因此寻找一个能够用简单的量 子统计理论描述的弱相互作用玻色一爱因斯坦凝聚体系成为了物理学家的目标。1 9 5 9 年， 芝加哥大学的h e c h t 指出：强磁场中的自旋极化氢原子气体中可能发生b e c g j 。物理学 家们为此做了大量的工作，但实验上的进展一直不大【1 0 。3 1 。9 0 年代初，麻省理工学院 的最好结果是：温度降低到1 0 0 a k ，密度达到8 1 0 - 1 3 c m - 3 。然而，实验工作无法再继 续下去，其主要原因是：极化氢原子会回复为氢分子，并且释放出能量，复合速率比例 于密度的三次方，从而限制了密度的增加，而释出能量则妨碍了温度的进一步降低。继 氢原子之后，人们就将目光转向了半导体中的激子。1 9 8 0 年，巴黎大学的h u l i n 首先提 出用氧化亚铜( 国，d ) 中的激子进行玻色一爱因斯坦凝聚实验【1 4 】，美国伊利诺斯州立大学 的研究小组于1 9 9 3 年报道了有关的实验结果【1 5 1 ，氧化亚铜中的激子的相互作用力很弱 但是较为复杂，难以从实验数据中提取激子的有关信息，因而也不能看作是真正的玻色 一爱因斯坦凝聚。物理学家发展了很多弱相互作用玻色系统的理论，华人物理学家杨振 宁、李政道和黄克逊在这方面也做了很多出色的工作。然而弱相互作用玻色系统的理论 在1 9 9 5 年之前都没有得到确切的验证。 由于气体中原子之间的相互作用很弱，更接近于爱因斯坦提出这一概念的系统，于 是在稀薄气体中实现玻色一爱因斯坦凝聚成为物理学家们长期的梦想。首先人们把注意 力放在了氢上，早期的实验用液氦冷却氢，但是当温度很低时，氢就会粘在氦表面上而 与其结合，并且由于氢原子相关制备测量系统的技术困难，使得这方面实验工作的开展 相当困难， 所以这种实验失败了。 接下来m i t 的h h e s s 等人【1 6 】开始用磁场束缚( m a g n e t i ct r a p p i n g ) 法，尝试产生 玻色一爱因斯坦凝聚。在磁势阱中的原子和容器没有接触，所以表面吸附结合问题被消 除了；另外，磁势阱使得原子可以用蒸发的方法被继续冷却，即蒸发冷却( e v a p o r a t i v e c o o l i n g ) 法，图1 2 为蒸发冷却形成b e c 的示意图。蒸发冷却最重要的是可以使相密度 显著增加，所谓原子的相密度，就是在德布罗意波长为尺度的三维空间内的原子数，但 是偶极子的弛豫作用和测量成像上的困难使得实验无法进行下去。 厂气 二 专 奉急差 毒 i n i t i a lm a g n e t i c 唧 童f h 孵e v a p o r a t i v 簪军o o l i r t g 图1 2 蒸发冷却形成b e c 的示意图 原子物理学家们开始猜想用碱金属原子气体可能更容易发生玻色一爱因斯坦凝聚 1 7 - 2 1 1 。这是因为碱金属原子具有三个吸引人的特性：第一，通过激发容易得到共振线， 可以利用光散射使得原子气云的能量和密度更加明显，这样一来就可以容易地获取样品 的相关信息；第二，碱金属原子之间的相互作用相对于其它原子来说比较弱( s 一波散 射长度a 大约为1 0 4 c m ，而在要求的密度下，粒子间的空间距离大约为l o - 4 c m ) ；第三， 碱金属原子之间的相互作用可以通过对自旋态的选择、态密度以及外势场的应用来改 变。此外，由于实验技术，特别是激光冷却和束缚中性原子技术的发展【珏2 6 1 ，为在碱金 属原子中实现玻色一爱因斯坦凝聚的实验研究提供了成功的条件。 1 9 9 5 年6 月，美国科罗拉多大学实验天体物理联合研究所( j i l a ) 和国家标准技术研 究所( n i s t ) 的c w i e m a n 和e c o n e l l 研究小组在铷( 8 7 r b ) 原子蒸气中第一次直接观测 到玻色一爱因斯坦凝聚，图1 3 展示了9 7 r b 原子凝聚体的图像。几个月后麻省理工学院的 k e t t e r l e 研究组在钠( 2 n a ) 原子蒸气中实现了b e c ，凝聚了5 0 0 万个钠原子，形状为长 约三分之一的短柱体。因此，美国科学杂志把b e c 定为1 9 9 5 年年度的“分子 。皿一a 的c o m e l l 、w i e m a n 和m i t 的k e t t e r l e 因此获得了2 0 0 1 年的诺贝尔物理学奖，以表彰他 们在实现b e c 工作中所做出的突出贡献，使相干物质波的研究进入了崭新的一页。随着 c o m e l l 和w i e m a n 以及k e t t e r l e 的研究组在实现玻色一爱因斯坦凝聚方面取得成功，人们 重新对玻色一爱因斯坦凝聚这一独特现象引起极大的关注，物理学家关于b e c 的理论和 4 实验研究也掀起了新的热潮。1 9 9 8 年白旋极化氢原子气体的b e c 也被观察到。2 0 0 3 年 底，i n n s b r u c k 的g r i m m 小组。j i l a 的j i d 小组，m r r 的k e r e r l e 小组先后在费米原子中 制备出了分子凝聚体( m o l e c u l a r c o n d e n s a t e ) 。2 0 0 4 年1 月，j i n 小组利用同样的f e s h b a c h 共振技术实现了人们寻求己久的费米凝聚体( f e r m i o n i cc o n d s 砒e ) 。 图1 3 不同温度下5 7 r b 原子的速度分布图 玻色一爱因斯坦凝聚的实验证实有着十分重要的科学意义和潜在的实用价值。首先， 它证实了一个新物态的存在，而且这个态是用相干波函数描述的物态，为实验物理学家 提供了一个独一无二的新介质。 其次，利用物质波的相干性可开拓很多新的研究领域。比如原子激光产生和原子 放大的研究：类似于非线性光学，可开展非线性原子光学的研究；利用b e c 的相干性， 可进行凝聚体涡旋态的研究；利用费什巴赫( f e s h b a c h ) 共振，可改变坂了间相互作用 的大小，从而导致超新星的b e c 爆炸；由于费米子不能处于虽低能量状态即使在零 温下仍有压力存在，因此可将类似于实现玻色一爱因斯坦凝聚的技术用于费米气体8 7 删， 在实验中模拟白矮星的内部压力。 在芯片技术、精密测量和纳米技术等领域也让人们看到了非常美好的应用前景。凝 聚体中的原子几乎不动，可以用来设计精确度更高的原子钟，以应用于太空航行和精确 定位等。凝聚体具有很好的相干性，可以用于研制高精度的原子干涉仪，测量各种势场， 测量重力场加速度和加速度的变化等。原子激光还可能用于集成电路的制造。利用凝聚 体能操纵光子减速或者停止以便把信息输入光子，然后根据需要再将光子发往某地以及 某时再发，这种可能性使人们看到了量子计算机研制成功的曙光。对玻色一爱因斯坦凝 聚的奇特性质以及应用前景的深入研究，极有可能会像激光的发现那样给人类带来另外 一次技术革命。 总之，玻色一爱因斯坦凝聚的实现为科学研究和高技术应用打开了一扇新的大门， 众多的新事物等待人们去发掘和开拓。 1 2 实现b e c 的相关技术4 早期的玻色一爱因斯坦凝聚实验，由于没有降低粒子温度的有效手段，不能进行很 好的研究。随着碱金属原子的激光冷却和囚禁技术取得巨大的进展，高密度大数目产生 超冷原子气体已成为可能。实现b e c 的关键是彳 0 表示排斥相互作用，a 0 表示吸引 相互作用。杨振宁教授等人应用e f e r m i 发明的赝势法，给出了稀薄玻色气体相互作用 的一般形式 u ( o ：4 7 配h 2 以尹) ( 1 1 7 ) ，竹 m 为粒子的质量，这样处于外势矿( 石) 中的个具有相互作用的玻色子体系的哈密顿量 可以通过二次量子化的方法给出 疗= p 矿+ ( 功( 一篆v 2 + y ( x ) ) 痧( z ) + 三弘撤u o 一石) 矽+ ( 工) 矿( 工) 痧+ ( z ) 护( 石) ( 1 1 8 ) 将( 1 1 7 ) 带入上式，得到描述b e c 波函数性质的海森堡运动方程 历未婚) _ - 笔v 2 蛔川城( 卅等叭堋堋( 扩( 1 1 9 ) 其中g ：兰塑兰表示两粒子之间的相互作用。上述方程的场算符可以分解为 沙( 曲= 沙( 功+ 烈功( 1 2 0 ) y ( x ) = ( 矿( x ) ) 为凝聚体的波函数，而认x ) 是非凝聚体各态的场算符，表示凝聚体波函数 的量子波动值，将( 1 2 0 ) 式带入( 1 1 9 ) 式，并取平均值，考虑到( 谚= ( 5 2 i + ) = o ，令 ( 矿动= ，由此可以得到凝聚体波函数y ( z ) 满足的非线性薛定谔方程 历未y ( z ) = 一笔v 2 少( z ) + 矿( x ) y ( 功+ g ( 2 + l 沙( 工) 1 2 ) 矿( z ) ( 1 2 1 ) 其中y ( x ) 满足归一化条件：m y ( x ) 1 2 d r = n ，为总粒子数。由于形成b e c 以后，m 2 比要大的多，可以忽略非凝聚体的部分，故得到平均场近似下的g r o s s 。p i t a e v s k i i 方 程，简称g p 方程4 2 ，4 3 】 访未吣，= ( 一篆v 2 川卅咖1 2 ) 吣卜2 2 ) g p 方程可以用来研究弱相互作用稀薄玻色气体的宏观行为，由于用了平均场近 似，且略去了非凝聚体部分，( 1 2 2 ) 式只有在凝聚体形成之后才适用。它的有效性和 合理性得到了很多实验的证实。如j i l a 与m i t 实验小组【4 4 1 得到的单粒子释放能与g 。p 方程的理论结果吻合的就很好。1 9 9 8 年h a u 4 5 1 等人所得的具有8 0 0 0 0 个钠原子的密度 分布曲线也与g p 方程的数值解完全一致。 1 3 2受驱双势阱中玻色一爱因斯坦凝聚体的动力学行为 1 9 9 5 年三种碱金属原子中玻色一爱因斯坦凝聚的实现，为我们在宏观尺度上研究量 子现象提供了一个非常有利的条件，十多年来，b e c 中一系列的新现象( 如约瑟夫森 效应【舡4 8 1 、原子激光 4 9 1 、涡旋瞪0 1 、t 超流一绝缘体量子相变【5 1 , 5 2 、自俘获现象5 3 5 4 1 等) 向人们展示出这一发现的强大生命力，b e c 的奇特性质，不仅对基础研究有重要意义， 而且在芯片技术、纳米技术、精确测量、量子信息和量子计算等高新技术领域也具有非 常好的应用前景。 双势阱模型是一个非常简单的基本物理模型。人们可以用它来研究b e c 原子的量 子相干和量子隧穿等相关特性。如：l i u 等【5 5 】从g - p 方程出发利用反散射方法结合数值 模拟研究了囚禁于双势阱中的b e c 的相干动力学性质；s a l m o n d 等【5 6 】运用两模式展开 方法结合f l o q u e t 算符解释了在弱周期调制势阱中的b e c 中量子遂穿行为的动力学性 质；g a m i e r 等【5 7 】采用椭圆函数方法结合数值模拟讨论随机外力作用下两个弱耦合b e c 的动力学行为。g a m i e r 认为囚禁于双势阱中的原子会产生周期性的振荡行为，引起原 子在两个阱之间转移，从而使处于势阱中的粒子表现出不同的动力学行为：当一个周期 内两势阱之间交换的粒子数相等，则表现为约瑟夫森( j o s e p h o s o n ) 效应；当一个周期 内两势阱之间交换的粒子数不等，部分粒子局域在其中的一个势阱底部做小幅度的振 荡，这就是自俘获现象。这时即使原子间存在排斥相互作用，在对称双势阱中演化的 b e c 却可以呈现高度的不对称分布，好像绝大多数原子被其中的一个阱囚禁，这种反 直觉的现象引起了人们的极大兴趣【5 8 1 。本章就是以两模模型为基础，首先介绍量子系统 的正则形式，然后简要的推导出量子系统的经典哈密顿，最后研究了受驱双势阱中玻色 一爱因斯坦凝聚体的动力学行为。 2 1量子系统的正则形式 二十世纪八十年代，人们发现，虽然量子力学【5 9 】与经典力学遵循不同的力学规律， 然而在经过一系列精确的变换之后，量子力学可观测量的平均值在形式上可以满足与经 典哈密顿力学完全相同的正则形式。后来，人们逐渐意识到这种观点在处理b e c 系统 时是非常重要的。由于b e c 系统是非线性量子系统，波函数线性叠加原理4 再成立， 所以传统的量子力学方法在处理该系统时变得非常困难，而且一般情况下我们只关心 1 4 b e c 系统嗣宏规性质，比如凝聚、目俘获等，这时将各个物理量半均值演化的问题转 化为经典力学微分方程问题将会很方便。 考虑一个具有厅自由度的量子系统，a j ( f ) 是波函数沙关于一组正交基的第，个波 幅，在这组正交基的矩阵表象中薛定谔方程为 d a ； ih；=饵妙)，(21)dt 。 j 对于线性量子系统，系统的总能量h = ( 州l y ) ，i 故( h g ) ，= ，日p q = 未h ，因此薛 定谔方程可以写成 访堕d：未脚，z)(22)t a 口：、”7 对于非线性情形，( 少1 日i y ) 一般不再代表系统的总能量，而是化学势，但我们依然可 以定义一个物理量h 使其满足兰h = ( 日y ) ，而这个h 也就是系统的总能量。 d a ： 定义口，= i 乙。玑，则口；= 孓溉，取自然单位制，贝, t jh ：1 ，由于口j f ，口； 是j ，够的函数，所以有 啬= 等毒+ 等音= 酉1c 口；专心i - 1 a a 击卜c 2 一= = _ 一+ 二- 一= 一f ，l一+一、 f7 气、 刁s j b sja tj 宅s ja n j 2 sj j jb d j j “j 啬= 芳击+ 鲁毒叫i 口；毒a a 一，- , - - 击3 a 卜c 2 削 一= 二一+ 二一= f 仃一一月一、f ，) 4 、 a ga 嘭妇；。a ga 口， 弋”7 ；，7 一一7 由式( 2 1 ) 及h 的定义式可以得到下面两个方程 f 要口，：0 h ( 2 5 ) 7 瓦口2 面h 2 5 f 导口一f _ l h ( 2 6 ) 2 瓦口，一h 2 6 由上面两式可以得 z 翱2 叫毒茜一叫2 1 5 2 i 玎i 丢色叫毒茜吨剐 利用( 2 3 ) 和( 2 4 ) 式并注意到j ，= l 口斤，得 d 一毒u q 9 ， 丢g = 专泣 上面两式就是刀自由度h a m i l t o n 系统的正则方程，其中s 为正则动量，g 为正则坐标， 它是由量子系统的薛定谔方程( 2 1 ) 得到的，所以此经典h a m i l t o n 的运动完全等价于 原有量子系统的运动，而且此经典h a m i l t o n 系统的能量h 也一定是原量子系统的总能 量。若h 不显含时间，此系统为保守系统，能量守恒。 这样，无论对于线性还是非线性量子系统，我们都可以得到 访d 出a _ _ l = 毒肌厕他 其中h ( a j ，a ；) 为系统的总能量，并且经过变换量子系统可以转化为经典h a m i l t o n 系统， 于是，可以通过求解经典h a m i l t o n 而得到量子系统的重要性质。尤其是非线性量子系 统，此时波函数叠加原理不再成立，原有量子力学方法应用起来相当困难；另一方面， 经典动力学理论在处理非线性问题上已经积累了丰富的经验。 2 2 理论模型 根据平均场理论，对于双势阱中的弱相互作用b e c 体系，可以用非线性薛定谔方 程，即g p 方程【6 0 - 6 2 来描述： 访掣= 一芸v 2 吣力+ m 刈) + g ，拟珊( 2 1 2 ) y ( x ，f ) 为凝聚体的波函数，y 是凝聚体所处的外部势，g ：坐为非线性相互作 用常数( 口和m 分别表示原子的s 波散射长度和质量) ，处于两势阱中的b e c 原子可以 相互遂穿，而总的粒子数守恒。凝聚体总的波函数由两个势阱中的波函数线性叠加组成， 1 6 即 y ( 工，t ) = a l ( f ) 仍( x ) + a 2 ( f ) 仍( x ) ( 2 1 3 ) 其中口。( f ) = 厕e x p i 8 1 ，a 2 ( f ) = 厕e x p i 0 2 是不同势阱中随时间演化的波函数， 。( f ) ，n ：( f ) 是不同势阱中的粒子数，岛( ，) ，皖( f ) 是不同势阱中的凝聚体的位相， 仍( x ) ，仍( x ) 是不同势阱中随空间变化的实波函数，满足正交归一性。则整个体系的总粒 于双n2 l + 2 。 把( 2 1 3 ) 式带入( 2 1 2 ) 式，可以得到 访鲁= ( e l + c l i ) 盱阳：( 2 “) 访鲁= ( 易+ c 2 n 2 ) a 2 飞( 2 1 5 ) 其中 驴 嘉酬2 + w y 】出 c i = p w d r y ：一f 【- h 2 ( v 吼v 仍+ 鲲y 仍) 】出 o 2 m ( i = 1 , 2 ) 分别为各个势阱的零点能、粒子间的相互作用和耦合常数。 取( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 式的复共轭，有 一访等= ( e l 托n i ) 1 2 1 * - - 西( 2 1 6 ) 一坊等= ( 易+ c 2 n 2 ) a 2 * _ 阳。( 2 1 7 ) 所以由( 2 1 4 ) x 矾一( 2 1 6 ) x 矾一r