（计算数学专业论文）数学物理中的若干反问题.pdf

复旦大学博士学位论文 摘要 数学物理反问题是源于物理，生物、医学地质等众多科学领域中的实际同题， 经过数学建模而产生的一个新兴交叉学科领域其特点是问题种类繁多，涉及多学 科领域的理论，大多属于数学中的不适定问题，数学理论和方法尚不完善，很多问 题的研究依赖于其正问题的研究本文研究的问题分别属于下面两个反问题领域中 的问题，未知边界探测问题和生物电磁场问题全文共分为四部分； 1 椭圆方程沿直线唯一延拓的条件稳定性 2 波动方程和逆波源问题沿直线唯一延拓的条件稳定性 3 ，e e g 和m e g 的正问题 4 卵球模型的m e g 反问题 在论文的第一部分，我们的主要工作是利用c ”中全纯函数的延拓方法讨论了 研中一类高阶椭圆方程的解沿直线作唯一延拓时的条件稳定性该问题的条件稳 定性意即，在锯的先验界的假设下，我们可以由较小部分直线段上解的值来估计较 大直线段上的值该类问题是近些年来研究未知边界探测反问题中所呈现出来的一 种新的反问题弹性力学中许多问题是我们这里所讨论的椭圆方程类型的重要的实 际背景作为应用，我们将该稳定性结果用于弹性力学中的两个方程， l a m 6 方程 组和具有解析系数的k i r c h h o f f 板方程最后，根据我们建立的条件稳定性结果，我 们针对二维调和函数进行了数值试验，意在考察这种条件稳定性对数值解的影响 数值结果显示我们得到了较高精度的近似解，并且随着大线段上的点与小线段右端 点之间的距离越小而误差精度越高，与我们的条件稳定性的理论结果相符合 论文的第二部分则考察的是波动方程和逆波源问题沿直线的唯一延拓问题，我 们通过f o u r i e r - b r o s - i a g o l n i t z e r 变换，并将波动方程问题化为l a p l a c e 方程问题， 进而利用l a p l a c e 方程的有关结果得到了波动方程的解沿直线唯一延拓的对数型条 件稳定性结果根据该结果，我们进一步研究了逆波源问题，建立了与空间变量有 关的渡源项在线段上延拓的条件稳定性 本文的第三部分是医学影像技术中的问题一一脑电图影像( e l e c t r o e n c e p h a l o g - r a p h y ，简记e e g ) 和磁源影像( m a g n e t o e n c e p h a l o g r a p h y , 简记m e g ) 的正问题， 求解e e g m e g 正问题是研究通过e e g 和m e g 测量数据来确定脑内部神经电 流源分布的反问题的一个重要组成部分，e e g 和m e g 的正问胚是在假定电流源 分布已知的情况下，分另b 计算脑皮层上的电位势和脑外部磁场在m a x w e l l 方程的 复旦大学博士学位论文 i i 拟稳态的假设下，我们给出了适合处理一般的非球脑模型的e e g m e g 问题的解 析表达式并利用边界元加权残数配点法和最小二乘配点法给出了数值计算的统一框 架然后，我们利用上述两种方法针对非球模型一一卵球模型，分别在单层卵球模 型和三层卵球模型下实施了多方位的e e g m e g 正问题的数值试验，并且详细地 分析了上述两种方法在处理单层及三层卵球模型下，e e g 和m e g 正问题的饵相 对于偶极子位置和方向变化时的误差在各种情形下，得到了稳定可靠的e e g 和 m e g 正问题数值结果 第四部研究的是m e g 反问题我们利用均匀卵球体作为人脑模型的近似，该 模型比球模型和椭球模型更接近人脑，比椭球模型更便于数学上的处理在m a x w e l l 方程拟稳态假设下，根据g e s e l o w i t z 方程，我们首先考察了m e g 传感器被置于z 轴上( 头上方) 的情况，通过将主要电流分别在直角坐标系，柱坐标系和球坐标系 下分解，建立了脑外磁场与主要电流分量之间的关系然后，针对m e g 传感器的 一般位置，通过将主要电流在球坐标系下分解，并利用将m e g 与e e g 结合的方 法，得到了由脑外磁场和脑皮层上的电位势测量唯一地确定脑内部神经电流的解析 结果 关键词t 椭圆方程，全纯延拓，条件稳定性，波动方程，逆波源问题，m a x w e l l 方 程，g e s e l o w i t z 方程，e e g ，m e g ，边界元法，加权残数法，配点法，最i j 、_ - - 乘配 点法 i n t r o d u c t i o n t h ei n v e r s ep r o b l e m si nm a t h e m a t i c a lp h y s i c so r i g i n a t e df r o mv a r i o u sp r a c t i c a l p r o b l e m si np h y s i c s ，b i o l o g y , m e d i c i n ea n dg e o g r a p h y , e t c b ym a t h e m a t i c a lm o d - e l i n g ，t h e yh a v eb e c o m eap r o m i s i n gi n t e r - d i s c i p l i n a r yr e g i o nw h i c hi sc h a r a c t e r i z e d b yi t sv a r i e t ya n dn u m e r o u st h e o r i e si n c l u d e d m o s to fi n v e r s ep r o b l e m sb e l o n gt o i u - p o s e dp r o b l e m s n ec o m p l e t et h e o r ya n dm e t h o df o ri n v e r s ep r o b l e m sa r en o t a v a i l a b l e m a n yp r o b l e m sd e p e n do nt h e i rd i r e c tp r o b l e ms t u d i e s i nt h i sp a p e r ，w e d e a lw i t hs o m ep r o b l e m sw h i c hb e l o n gt ot w oa l e a 8o fi n v e r s ep r o b l e m sa sf o l l o w s ： t h eu n k n o w nb o u n d a r yd e t e c t i o na n dt h eb i o p h y s i c sp r o b l e m s t h ew h o l ep a p e ri so u t l i n e da sf o l l o w s ： 1 ，t h ec o n d i t i o n a ls t a b i l i t yo fu n i q u ec o n t i n u a t i o na l o n ga nl i n ef o ra l le l l i p t i c e q u a t i o n 2 t h ec o n d i t i o n a ls t a b i l i t yi nl i n eu n i q u ec o n t i n u a t i o nf o raw a v ee q u a t i o na n da n i n v e r s ew a v es o u r c ep r o b l e m 3 t h ef o r w a r dp r o b l e m st oe e ga n dm e g 4 t h ei n v e r s em e gp r o b l e mi no v o i dg e o m e t r y i ns e c t i o n1 ，w em a i n l yd i s c u s st h ec o n d i t i o n a ls t a b i l i t yo ft h eu n i q u ec o n t i n u - a t i o na l o n gal i n ef o rak i n do fh i g h - o r d e re l l i p t i ce q u a t i o nw i t ha n a l y t i cc o e f f i c i e n t s b yu s i n gh o l o m o r p h i ee x t e n s i o ni nc “s u c hc o n d i t i o n a ls t a b i l i t ym e a n st h a tu n d e r a na s s u m p t i o no ft h ep r i o r ib o u n do ft h es o l u t i o nw ec a ne s t i m a t et h ev a l u e so f t h es o l u t i o nt ot h ee l l i p t i ce q u a t i o no nal a r g e rp a r to ft h el i n ef r o mt h ev a l u e so f t h es o l u t i o no nas m a l l e rp a r to ft h el i n e t h i sp r o b l e mi sak i n do fn e wi n v e r s e p r o b l e mo r i g i n a t e df r o mt h ei n v e r s ep r o b l e m o fd e t e r m i n i n gt h eu n k o n w nb o u n d a r y a sa na p p l i c a t i o n w ea p p l ys u c has t a b i h t yr e s u l tt ot w oe q u a t i o n so fe l a s t i c i t y ： a ni s o t r o p i cl a m ds y s t e mw i t hc o n s t a n tl a m dc o e f f i c i e n t sa n dt h ek i r e h h o f fp l a t e e q u a t i o nw i t ha n a l y t i cc o e f f i c i e n t s ，a tl a s t ，w ei m p l e m e n tan u m e r i c a le x p e r i m e n t f o rah a r m o n i cf u n c t i o ni nt w od i m e n s i o n a ls p a c e w ei n t e n dt ov e r i f yh o ws u c ha c o n d i t i o n a ls t a b i l i t ya f f e c t so n rn u m e r i c a lx e s u l t a sar e u l t ，w eo b t a i na nu p p r c e d - m a t es o l u t i o nw i t hb e t t e ra c c u r a c y a n dt h en u m e r i c a lr e s u l ts h o w st h a tt h es m a l l e r d i s t a n c eb e t w e e nt h ep o i n to nt h el o n gs e g m e n ta n dt h er i g h te n dp o i n to ft h es h o r t j i j 复旦大学博士学位论文_ i v s e g m e n t ，t h eh i g h e ra c c u r a c yo ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o nw eh a v e t h i sa c c o r d s w i t ho l l rt h e o r e t i c a lr e s u l to ft h ec o n d i t i o n a ls t a b i l i t yo ft h eu n i q u ec o n t i n u a t i o n i ns e c t i o n2 ，w ei n v e s t i g a t et h ec o r r e s p o n d i n gp r o b l e m sf o raw a v ee q u a t i o na n d a ni n v e r s ew a v es o u r c ep r o b l e m w eo b t a i nac o n d i t i o ns t a b i l i t yo ft h el o g a r i t h m i c t y p ef o raw a v ee q u a t i o ni nl i n eb yu s i n gt h ef o u r i e r - b r o s - i a g o l n i t z e rt r a n s f o r m a t i o n ， a n dt r a n s f o r m i n gt h ew a v ee q u a t i o np r o b l e mt ol a p l a c ep r o b l e m t h e nw ea p p l yi t t oa ni n v e r s ew a v es o u r c ep r o b l e mo fd e t e r m i n i n gas p a t i a l l yv a r i n gs o u r e st e r mo n i t se x t e n d e dl i n ewo b s e r v a t i o n so fas e g m e n ta n de s t a b l i s ht h ec o n d i t i o n a ls t a b i l i t y i ns e c t i o n3 ，w ed e a l 丽t ht h ef o r w a r dp r o b l e m so fe e g ( e l e c t r o e n e e p h a l o g r a p h y ) a n dm e g ( m a g n e t o e n c e p h a l o g r a p h y ) w h i c hb e l o n gt om e d i c i n ei m a g i n gm e t h o d s t h es o l u t i o nt ot h ef o r w a r dp r o b l e mi sa ni m p o r t a n tc o m p o n e n tf o rs t u y d i n gt h e i n v e r s ep r o b l e mf o rd e t e r m i n i n gt h ed i s t r i b u t i o no ft h en e u r a ls o u r c e sb yt h em e a - s u r e m e n t so fe e ga n dm e g t h ef o r w a r dp r o b l e mi n v o l v e sc o m p u t i n gt h es c a l p p o t e n t i a l so re x t e m a lm a g n e t i cc o n f i g u r a t i o n u n d e rt h eq u a s i s t a t i ea p p r o x i m a - t i o no fm a x w e l le q u a t i o n ，w ep r e s e n ts o m ea n a l y t i ce x p r e s s i o n sf o re e ga n dm e g p r o b l e m si nn o n s p h e r i c a lm o d e la n dau n i f i e df r a m e f o rn u m e f i c a ls o l u t i o n so ft h e f o r w a r de e ga n dm e gp r o b l e m sb yw e i g h t e dr e s i d u a lb e m ：c o l l o c a t i o na n dc o l l o c a t i o no fl e a s ts q u a r e t h e n ，f o ran o n s p h e n e a lm o d e l a no v o i dg e o m e t r y , t h e n u m e r i c a le x p e r i m e n t si nm u l t i - d i r e c t i o n sa r ei m p l e m e n t e di nas i n g l el a y e ro v o i d h e a dm o d e la n dt h r e e - l a y e ro v o i dh e a dm o d e lb yt w om e t h o d sa b o v e w em a k ea d e t a i la n a l y s i sa b o u tt h er e l a t i v ee r r o r so fe e ga n dm e ga c c o r d i n gt ot h ep o s i t i o n s a n dd i r e c t i o n so ft h ed i p o l e a n dt h es t a b l ea n dr e l i a b l er e s u l t sa b o u tt h ee r r o ro f e e ga n dm e ga r eo b t a i n e di na l lc a s e s t h ed i s c u s s i o no fi n v e r s em e gp r o b l e mi si n c l u d e di ns e c t i o n4 w ea p p r o x i - m a t eah u m a nh e a db yu s eo fah o m o g e n e o u so v o i dg e o m e t r yw h i c hi sm o r er e a l i s t i c t h a ns p h e r ea n de l l i p s o i d a n dm o r ee a s i l yt od e a l 丽t ht h a ne l l i p s o i dm a t h e m a t i - c a l l y b yg e s e l o w i t ze q u a t i o n ，w ei n v e s t i g a t et h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ec o m p o n e n t s o fp r i m a r yc u r r e n ta n dt h ee x t e r n a lm a g n e t i cf i e l d su s i n gt h ed e c o m p o s i t i o no fp r i - m a r yc u r r e n ti nd i f f e r e n tc o o r d i n a t e si nt h ec a s eo fas p e c i a lm e gs e n s o rp o s i t i o n ， w h i c hi so nz - d s ( o v e rt h eh e a d ) i nt h ee a s eo fg e n e r a lm e gs e n s o rp o s i t i o n ， u s i n gd e c o m p o s i t i o no ft h ep r i m a r yc u r r e n ti ns p h e r i c a lc o o r d i n a t e s ，w eo b t a i na n 复旦大学博士学位论文 v a n a l y t i cr e s u l ta b o u tt h eu n i q u ed e t e r m i n a t i o no ft h ep r i m a r yc u r r e n tf r o mt h em e a - s u r e m e n t so fs c a l pp o t e n t i a l sa n dt h ee x t e r n a lm a g n e t i cf i e l d sb yc o m b i n i n gm e g w i t he e g k e y w o r d s ：c o n d i t i o n a ls t a b i l i t y , u n i q u ec o n t i n u a t i o n ，e l l i p t i ce q u a t i o n ，h o l o m o r p h i ce x t e n s i o n ，i n v e r s es o t t r c ep r o b l e m ，u n i q u ec o n t i n u a t i o n ，f o u r i e r - b r o s - i a g o l n i z e r t r a n s f o r m a t i o n ，e e g ，m e g ，m a x e w e l le q u a t i o n ，g e s e l o w i t ze q u a t i o n ，b e m ，w e i g h t e d r e s i d u a l s ，c o l l o c a t i o n ，a n dc o l l o c a t i o no fl e a s ts q u a r e 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果论文中 除了特别加以标注和致谢的地方外不包含其他入或其它机构已经发表或撰写 过的研究成果其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确 的声明并表示了谢意 祧各塑函 日期：趔上：型 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的觌定即：学校有权保 留送交论文的复印件允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部 分内容可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文保密的论文在解密后 遵守此规定j 第一章椭圆方程沿直线唯一延拓的条件稳定性 引言 自1 9 3 9 年c a r l e m a n 的工作【1 8 1 问世以来，偏微分方程唯一延拓问题得到相 当广泛的研究( 1 5 ，1 1 ，1 2 ，1 8 ，1 9 ，2 7 ，2 s ) ，但偏微分方程沿直线延拓的唯一性和条 件稳定性是近些年研究未知边界探测等反问题中所呈现出来的一种新的反问题相 关的工作，如，文献 8 ) 【9 1 0 文献【8 】和【9 】分别研究了二维空间和高维空间中的拉普拉斯方程沿直线唯一 延拓的条件稳定性我们这里考虑的是在弹性力学等领域有着广泛实际应用背景的 一类椭圆方程，其椭圆微分算子的主要部分形如多重拉普拉斯算子形式，即 ”让+ o 。( z ) d 。t = 0 - 一 l a l 2 m - 1 其中系数o 。( z ) ( i 口i 2 m 一1 ) 是解析的该问题可以看成是m - 阶的多调和函数 沿直线唯一延拓不同于经典的解析函数的唯一延拓和椭圆方程由部分子域上的延拓 以及椭圆方程c a u c h y 同题的唯一延拓，它是完全基于方程的外延拓问题，不需要 任何c a u c h y 数据该结果可以视为介于上述两种经典理论之间的一个结果，它对 于研究探测未知边界的反问题至关重要( 参见【3 】， 6 】，【7 】) 本章我们首先回顾几个经典的解析延拓的主要结果和椭圆方程的c a u c h y 问题 的唯一延拓理论，然后，分别介绍调和函数在区域内部线段上唯一延拓的条件稳定 性结果，以及调和函数直到边界的条件稳定性着重研究无需c a u c h y 数据的一类 高阶椭圆方程沿直线唯一延拓时的条件稳定住我们采用的方法是利用复分析的工 具，即全纯延拓其主要思想就是将舻中椭圆方程的解看成c o 中的全纯函数， 然后利用全纯函数延拓理论及调和测度估计式，首先得到全纯函数的条件稳定性估 计，继而由此建立了椭圆方程解的条件稳定性估计作为应用，我们讨论了弹性力 学中的两个例子s 一个是l m 6 方程；一个是具有解析系数的k i r c h h o f f 板方程 最后，我们针对二维调和函数进行了数值试验，得到了较高精度的数值结果，且与 我们的条件稳定性的理论结果相符合 1 复旦大学博士学位论文 1 1 解析延拓和调和函数延拓的一些经典结果 2 1 1 1 解析延拓的唯一性 解析延拓问题始于十九世纪，与经典的唯一性定理同时诞生的，解析延拓的有 关理论已得到广泛的应用，尤其是对偏微分方程问题的研究具有巨大的推动作用 它的有关结果已列入众多的教材中下面是解析延拓问题的一些经典结果； 定理1 1 1 设，( z ) 是区域d 上的解析函数，d l 是d 的子域如果对于o d l ， 有，( z ) = 0 ，那么，对z d ，有，( ：) = 0 定理1 1 2 设，( ：) 是区域d 上的解析函数，a 是英极限点属于p 的点集如果 对z a ，有，( z ) = 0 ，则对z d ，有，( z ) = 0 定理1 1 3 设( z ) 是区域d 上的解析函数，r 是d 的边界，且f tcf 是可求 长的曲线如果z f t 。，( z ) = 0 。则z d 时，( ：) = 0 r i e m a n n 流形的概念与解析延拓密切相关我们给出如下有关定义。 定义1 1 1 设d 是复平面上的区域，( z ) 是d 上的解析函数，则称偶对 d ，) 为解析元 定义1 1 2 两个解析元 0 1 ， 和 d 2 ，2 ) 互称为区域d = d 1 n d 2 上的解析 延拓，如果对z d ， ( ：) = ，2 ( z ) 定义1 1 3 解析元 d o ，0 ) 和 d f ；，厶 互称为解析延拓，如果存在解析元 d k ， 和区域d e ，；1 ，n l ，使得解析元( d ， ) 和 d + l ，a + 1 ) 是区域d k 上的解析延拓 定义1 1 4 任何解析函数都是单一解析元的解析廷拓函数的集合，属于同一解析 延拓函数集合的函数丘( z ) 称为该解析函数的解析分枝 定义1 1 5 设a 是复平面上一点，厶( z ) 是圃盘上的解析函数，称h a u s d m 扩 空间 o ，五0 ) 为r i e m a n n 流形 解析函数与r i e m a n n 流形之间是一一对应的 定义1 1 6 所有属于r i e m a n n 流形的函数是某个解析函数的解析分枝，该r i e m a n n 流形构成的区域称为r i e m a n n 曲面 定理1 1 4 假设点集a 的极限点仍然属于解析函数，( z ) 的r i e m a n n 曲面则解 析函数，( ：) 的r i e m a n n 曲面唯一地由f ( z ) 在点集a 上的值确定 复旦大学博士学位论文 3 1 1 2解析延拓的条件稳定性 解析延拓问题的条件稳定往最初是由c a r l e m a n 的工作【18 】得到的解析延拓 的条件稳定性基于下面的三圆定理： 定理1 1 ，5 ( h a d a m a r d ) 设，( z ) 是环域r h r 中的解析函数，且在闭环域 r i z i r 中连续则有 i f ( z ) 1 0 使得 9t i ( c l u 0 被 视为调和函数u 的先验界一般地，没有这个条件估计( 1 2 2 ) 是不可能成立的， 在这个意义下，我们称之为条件稳定性估计 为证明上述定理，我们引入下面的引理t 设 o ，( z o ) = ( z l ，z 2 ) | l z z o i r 其中z o ：= ( 。2 ，z 2 ) r 2 引理1 2 1 设两cq ，r o 使得 砉恬( 赫) 0 依赖于r 和f 2 定义 口( z ) 一fl 口9 ( ( z 一1 ) 2 + ；) p 德) d 靶，z o ， ( 1 2 6 ) j 鼢 由于z o ，时，0 一1 ) 2 + 镗0 ，且( 1 ，缸) 0 0 , - ，我们可以证明 f j = v ( z ) 是 d r 中的全纯函数由( 1 2 5 ) 和( 1 2 6 ) ，可见 口( z ) = u ( z l ，o ) ，i m z = 0 且 h c c i l i c ( s d 其中常数a = c l ( r ，z o ，q ) 依赖于d r 和q 此引理得证 口 下面我们将给出调和测度的概念及其估计式我们设 d = p = $ l + i x 2 c 10 l z z o l r ，la r 9 0 2 0 ) i 曰) 其中z o r ，且日 则调和测度的定义如下： 定义1 2 1 设0 r 1 r 2 r ，函数( z ) 被称为d 和【r l ，r 2 】的调和测度，如果 西满足 毋拓) = 0z d i z o + t 1 ，z o + r 2 如) = 0z 8 d 妒0 ) = 1z 【z o + r l ，z o 十r 2 】 关于调和测度的存在性和唯一性我们可参见文献【15 】和 2 2 】，且由【1 5 的方 法易知妒c ”( 一) ( 0 t 1 ) ，于是我们可以证明下面的引理： 复旦大学博士学位论文 7 引理1 2 2 存在正的常数g c 5 ( r l ，7 2 ，r ) 使得 ) c ( 动+ r z ) z 【z 0 + r 2 ，知+ r 1 ( 1 2 7 ) 证明不失一般佳。我们假定硒= 0 由驴( z ) 的定义及l a p l a c e 方程的最大值原 理。可得 0 ( z ) 1z d r l ，r 2 】 及 掣i o 面- 旧尹“ 假设结论( 1 2 7 ) 不成立，则存在 鲰 是oc , - 2 ，r 】使得 监! - 。0 仃。 ( 1 2 8 ) 由于h ，r 】是紧集，存在点口【r 2 ，r 】使得 g n _ 口n _ o 。 如果口= r ，由( 1 2 8 ) ，可得 掣i ：o 如l ”= 。 此为矛盾如果口r ，由( 1 2 8 ) 和庐的连续性，我们有毋( d ) = 0 ，此亦矛盾 于是引理得证 口 根据上述引理，我们可以建立如下全纯函数的条件稳定性 引理1 2 ，3 假设 = ( z ) 是d 中的全纯函敷我们令e = m 凹。p ，吲p ( z ) 1 如 果扣( z ) l m 1 ， z d ，那么则有 i v ( z ) l 晒( 蠹) 岛，z 】 证明，考察函数 m ( z ) = 扣( z ) l e ( 。) l 。g 胁+ ( 1 一( 。) ) 崦 则 ；a 。m m a x 倒m ( z ) = 尬 ( 1 舢) 往证 肘( 2 ) 捌。m u s p x ，吲m ( z ) = e ( 1 2 1 1 ) 由于匈在d r l ，您】中，所以存在一个以z o 为心的小球0 ) 使得0 ) c d 【r 1 ，r 2 】由复变函数理论，可知对于0 ( 匈) 中的调和函数( z ) ，有全纯函数 圣( z ) 使得 r e 西( z ) = 妒( z ) ，z 0 ( 匈) 其中r 曲( z ) 是西( z ) 的实部 设 y 0 ) = 盯( z ) 矿o ) i o g n + ( 1 一蕾扛) ) l o g c ，z d ( 动) 则l y ( z ) i m ( z ) ，z 0 ) 易见y ( z ) 是0 ) 中的全纯函数且i y ( 。) i 在幻 达到最大值m ( z o ) 由全纯函数的最大值原理有 v ( z ) = 常数z d ( 询) 因此 j m ( z ) j = 常数z d 此与( 1 2 1 1 ) 矛盾于是( 1 2 1 0 ) 成立由( 1 2 1 0 ) ，我们有 i v ( x ) ls 露一9 砷e 扛) z i t 2 ，r 】 根据引理1 2 2 即得我们的结论口 注记1 2 2 由上述证明可知，当# 【r 2 ，r 】时，0 c 5 ( r z ) q ) 1 。 1 2 2 定理l _ 2 1 的证明 证明不失一般性，我们假定 l = ( z l ，0 2 ) i 勋= o ) 目 r = 扛1 ，o ) l r l ； ( 。l ，o ) f ，y = 0 l ，o ) l 0 。1 冗 a l 6 c z l d 复旦大学博士学位论文 其中0 a c d b r 设 9 e = = 。m 。a ，。x 。i u ( = ，o ) l 由于r 1 是r 中的紧子集，所以对( z l ，0 ) f 1 ，存在以慨，0 ) 为心的小圆盘 0 d ( ( z 1 ，o ) ) 使得仇( ( 轧，o ) ) cq 而且，由于 的紧性，它可以被有限个小圆 盘d h ( ( z ，o ) ) ，n = l ，2 ，覆盖，其圆心( z ? ，0 ) ，且满足仇。( ( 贯，o ) ) n 0 “( ( x n 。+ l ，0 ) ) 0 ，n 1 所以存在正的常数k ，使得( 口一k ，6 + k ) ( 一片，片) c u 磐1 瓦玎砑_ 可cq 由引理1 2 1 ，知存在o h ( ( z ，o ) ) 中的全纯函数( z ) n = 1 ，2 ，使得 ( ：) = u ( x z ，0 ) i m z = 0 ，r e z 一如，z ? + 6 )( 1 , 2 1 2 ) 且 i i v 1 l c ( o , ) c , l m i c ( ) 由全纯函数的解析延拓及o h ( ( 墨，o ) ) n0 6 ( ( z ，o ) ) 口，j 可觅 v j ( z ) = v k ( z ) z o 岛( ( 珥，o ) ) n o “( 0 ，o ) ) 所以我们可以定义全纯函数w 为 v ( z ) = ( z ) z 0 由( ( 墨，o ) ) j = 1 ，2 ， 显然，口= v ( z ) 是( a ，b ) ( 一片，托) 中的全纯函数，且 f i 口l l c ( ( 。) ( 。) ) a f c ( n ) c z m 考虑扇形区域d z = p c li z c l b c + f , ，a 。g ( z c ) l 口l 其中巩= a r c t a n z 且d tc0 一k ，b + 柚x ( 一厅，k ) 应用引理1 2 3 ，可得 i “( 钆o ) i = i 口( z 1 ) | a m 西南) 国1 g e 岛 且由注记1 2 2 可知，0 q = q k g p4 - k z 1 ) 1 口 注记1 2 3 r l 上的点z 越靠近线段，y 的右端点，q 越大，接近于1 注记1 , 2 4 定理1 2 。1 中的结果表明我们在区域内部得到了h 6 1 d e r s 型的估 计式但定理中要求的条件是r 1 不能与a q 相交，即，r 1 f 如果要得到边界上 的条件稳定性，我们需另外的假设，这时只能得到较弱的对数型估计式，见下节 复旦大学博士学位论文 1 0 注记1 2 5 定理1 2 1 的结果只限于调和函数在直线上的信息，不能保证调和 函数在直线外也有类似的性质( 如下例) 例1 2 1 我们考察q = z l 薪+ z ； 1 ) 中的调和函数； 牡( z l ，；沈) = z 2 3 x 2 x 则易见当z 2 = 0 时，u ( x l ，。2 ) = 0 然而，t 在q 中并非为零此例表明沿直线 唯一延拓不同于经典的调和函数的唯一延拓另外，对于一维实解析函数而言，条 件稳定性不成立，如下列。 例1 2 2 考察实解析函数 厶( 。，) ：e 一( 譬rz 1 ( 0 ，聊，n = 1 ，2 ， 易验证厶= f ( x 1 ) ，礼= 1 ，2 ，关于x l ( o ，r ) 是解析鲍，且褥足先萼金界的条件z 1 厶( z 1 ) i l ，$ 1 ( 0 ，r ) 然而， 熙厶( 蝴= 1 ，z 。( o ，等) 恕胁，) = e 一= 罢 一l i r a 。m 茹1 ) 一o ，善l ( 虿r ，动 所以帝理1 2 1 的结论不成立 上述两例表明，定理1 2 1 的结果不同于经典的解析函数延拓和调和函数的唯 一延拓 1 2 3 边界上的对数型估计 本节利用全纯函数的延拓和调和测度的估计式可建立直到边界的条件稳定性， 设直线工与q 边界相交于两点，且设r = l n n 对0 日1 ，我们定义以z o 为 顶点的锥； 心= ( 。舻l 陋一x o i 一露要妒 其中目为x 2 ；0 和r 之间的夹角令 目= s u p 妒i 确 。o ) c q ) 复旦大学博士学位论文 1 1 和 ”；a r c t a n ( j 1t a n ；口) 则有 硒。 茹o ) c q 定理1 2 ，2 设直线二与q 边界相交，其中一点为；r 0 ，且线段1 紧致地包含于 f = l n q 中设t c p ( q ) n c l + 7 ( 晓) “o 0 ，r ，0 p 1 1 以及o o 与线段7 的两个端点之问的距离 证明证明详见【8 】定理3 3 口 我们知道，l a p l a c e 方程c a u c h y 问题是不适定问题，在区域内部有h s l d e r s 型条件稳定估计式根据上述结果，我们也可以建立l a p l a c e 方程c a u c h y 问题的 解在边界上的对数型条件稳定性估计 定理1 2 3 设n