（计算数学专业论文）迭代求解约束矩阵方程axbcxdf相关问题.pdf

兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 摘要 本论文主要给出了几个迭代算法来求解约束矩阵方程a x b + c x d = f 相关 问题在这些迭代算法里面，矩阵方程a x 日+ c x d = f 的相容性能够自动判断 当矩阵方程a x 口+ g x d = f 相容时，在有限的误差范围内，对任意初始矩 阵) ，1 或初始对称矩阵x l ，可以分别应用迭代算法，通过有限步迭代得到矩阵方 程a x b + c x d = f 的一般解和对称解；通过选取合适的初始迭代矩阵，还可以 分别迭代出极小范数解和极小范数对称解。而且，应用逼近迭代算法，对任意给定 矩阵凰，矩阵方程a x b + c x d = f 的最佳逼近解和最佳逼近对称解可以分别通 过求解新的矩阵方程a x b + c x d = f 的极小范数解和极小范数对称解来得到。 当矩阵方程a x b + c d = f 不相容时，本论文还给出了算法来迭代求解矩 阵方程a x b + c x d = f 的最小二乘解 此外，本论文给出的数值例子也证实了这些算法的有效性 关键词：约束矩阵方程；迭代算法；对称解；极小范数解；最佳逼近解；最小二 乘解 兰丛盔兰：塑：星堡主兰堡垒苎 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , s o m ei t e r a t i v em e t h o d sa r ep r e s e n t e df o rs o l v i n gt h er e l a t e dp r o b l e m s o ft h el i n e a rm a t r i xe q u a t i o na x b + c x d = fo v e ru n k n o w nm a t r i xx t h e s o l v a b i l i t yo ft h em a t r i xe q u a t i o na x b + g x d = fc a nb ed e t e r m i n e da u t o m a t i c a l l y i nt h ei t e r a t i v em e t h o d s w h e nt h em a t r i xe q u a t i o ni sc o n s i s t e n t , i t sg e n e r a ls o l u t i o n a n ds y m m e t r i cs o l u t i o nc r nb eo b t a i n e dw i t h i nf i n i t ei t e r a t i v es t e p si nt h ea b s e n c eo f r o u n do f ff i l t o r sf o ra n yi n i t i a lm a t r i x 魁a n ds y m m e t r i cm a t r i x 墨r e s p e c t i v e l y , a n dt h e l e a s t - n o r ms o l u t i o na n dl e a s t n o r ms y m m e t r y - s o l u t i o nc a na l s ob ed e r i v e db yc h o o s i n g as u i t a b l ei n i t i a li t e r a t i v em a t r i xr e s p e c t i v e l y m o l _ e o v e r , a p p l y i n gt h ei t e r a t i v em e t h o d s ， t h eo p t i m a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o na n dt h eo p t i m a la p p r o x i m a t i o ns y m m e t r y s o l u t i o n o ft h em a t r i xe q u a t i o na x b + cxd=f t oag i v e nm a t r i xx oc a l lb eo b t a i n e db y f i n d i n gt h el e a s t - n o r ms o l u t i o na n dt h el e a s t - n o r ms y m m e t r i cs o l u t i o no fan e wm a t r i x e q u a t i o na x b + c x d = fr e s p e c t i v e l y i na d d i t i o n 。w h e nt h em a t r i xe q u a t i o n a x b ；u x d = fi si n c o n s i s t e n t , a ni t e r a t i v ea l g o r i t h mi sp r e s e n t e df o rs o l v i n gt h e l e a s t - s q u a r es o l u t i o no ft h em a t r i xe q u a t i o n f i n a l l y , s o m en u m e r i c a le x a m p l e sv e r i f yt h e e f f i c i e n c yo ft h ea l g o r i t h m s k e yw o r d s ：c o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o n ；i t e r a t i v em e t h o d ；s y m m e t r i cs o l u t i o n ；l e a s t - n o r ms o l u t i o n ；o p t i m a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n ；l e a s t - s q u a r es o l u t i o n 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数 据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成果做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承 日。 论文作者签名：上氧曳阻 日期： 2 2 2 ：，圭3 1 = 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州 大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学校 保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查 阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本人 离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第 一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：6 潞三扛导师签名： 日期：赳出。、 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 1 1 概述 第1 章绪论 约束矩阵方程问题是指求矩阵方程具有一定约束条件的矩阵解约束 条件不同或方程不同，得到不同的约束矩阵方程问题相对说来，我们 更喜欢研究线性矩阵方程譬如，( a ) a x = b ，c o ) a x + x b = c ，( c ) a x b = c ，( d ) a l x b l + a 2 x b 2 + + a x 置= g ，( e ) a x + y b = c 等都 是典型的线性矩阵方程( 参见【l 】) 随着未知矩阵x 的不同要求，譬如，x 为 对称矩阵，就得到了不同的约束矩阵方程 约束矩阵方程问题在结构设计、参数识别、生物学、固体力学、自动控 制理论、振动理论、有限元、线性最优控制等领域都有重要应用譬如：有 限元静力模型修正问题就可归结为矩阵方程a x = 引的反问题求某种约束解 及其最佳逼近 事实上，约束矩阵方程问题被国内外专家、学者研究了很多年，也 取得了很多的成果所研究的约束矩阵方程问题涉及的约束矩阵一般都是 具有某种特殊结构的矩阵，例如，对称矩阵、反对称矩阵、中心对称矩 阵、中心反对称矩阵、自反矩阵、反自反矩阵、双对称矩阵、对称次反 对称矩阵、正定矩阵、半正定矩阵、对称半正定矩阵、正交矩阵、非负 矩阵等( 见【2 】) 所使用的方法主要有奇异值分解( s v d ) 【3 】一【4 】、广义奇异值 分解( g s v d ) i s j 一 6 1 、标准相关分解( c c d ) 1 7 】、商奇异值分解( q s v d ) 【8 1 、s c h u r 分解、c h o l e s k y 分解( s v d ) 3 1 一【4 1 等 对于矩阵方程a x b = c 和矩阵方程组a 1 x b l = a 、a 2 x b 2 = q 的 研究可分别参考文献 9 1 【1 5 】以及【1 6 】- 1 1 9 1 9 7 7 生l z f l a d e r s 和w i m m e r 2 0 1 研 究了矩阵方程a x x b = c 和a x y b = c 求一般解的问题；w e r o t h l 2 1 和j k b a k s a l a r y , i lk a l a 2 2 1 也分别于1 9 7 7 年和1 9 7 9 年讨论了这两 个方程通过矩阵广义奇异值分解( g s v d ) ，文 2 3 - 2 5 给出了矩阵方 程a x b + c y d = e 的相容条件和一般解，而x u 等【2 a 应用矩阵对标 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 准相关分解( c c d ) 得到了它的最小二乘解文 2 7 - 2 9 给出了矩阵方 程a x c + b y d = f 的一般解及其对称解，其中a = c 口，b = 萨；s y s h i ma n dyc h e n t a o l 给出了有效的算法来求得矩阵方程a x b + c y d * = e 最小二乘解( x ，y ) 应用共轭梯度( c o n j u g a t eg r a d i e n t ，简称c g ) 思想，y a - x i n ，p e n g ( 3 1 1 给出 了求解矩阵方程a x b = c 及矩阵方程组a 1 x b l = q 、a 2 x b 2 = 6 2 的约 束解( 一般解，对称解与反对称解，中心对称解与中心反对称解，自反 解与反自反解，双对称解与对称次反对称解) 及其最佳逼近的有效迭代 方法应用共轭梯度思想，文【3 2 】和【3 3 】分别给出了不同的算法迭代求解 了矩阵方程a x b = c 的最小二乘对称解；z h p e n g 迭代求解了矩阵方 程a x b + c y d = f 的几类特殊矩阵解；m i n g - h u i ，w 锄g 等刚给出了求 解矩阵方程a x b + c x t d = e 一般解及最小二乘解的迭代算法本文应 用c g 思想，构造迭代法成功地求解了矩阵方程a x b + c x d = f 相容时的 解及其最佳逼近解以及不相奢隋况下的最小二乘解 1 2 本文主要解决问题 本论文主要研究以下问题： 问题i 给定矩阵a ，g 妒”，b ，d r p 。口，f 。口，求x s i v 一，使得 a x b + c x d = f 其中，0 l l 为f r d b e i l i u s 范数，s 为形。p 或s 尼。“( 此时竹= 西 问题当问题i 相容时，记其解集合为，对给定的x 0 s ，求戈 如，使德 幅一弱0 2 x r a 。i 地n i i x 一弱m 其中，0 i i 为f r o b e n i u s 范数，s 为舻。p 或s 舻”( 此时竹= p ) 2 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 问题h i 当问题i 不相容时，求x 使得 m x i l s l uf a x b g x d0 其中，0 l i 为f r o b e n i u s 范数，s 为酽” 1 3 所用记号 让n ( f ) 表示数域f 上的m n 矩阵集合，记妒”表示m n 实矩阵集合，舻= 舻“，厶表示仃阶单位矩阵，e i 表示厶的 第i 列，s 舻m 和a ，s f p 一分别表示j 一对称矩阵和反对称矩阵集合 对矩阵a j p m ，记表示a 的转置，表示a 的m o o r e - p e n r o s e 广义 逆，打( a ) 表示a 的迹，r ( a ) 表示a 的列空间定义 = t r ( b t a ) ， 其中a r k 一，b 舻m 作为矩阵a 和b 的内积，则由它诱导出 的范数为f r o b e n i u s 范数，即i i a i i = i 万刁了= 打t n ，z 1 对矩 阵a = ( a l ，o , 2 ，a 。) 砂“，其中a i 妒，i = 1 ，2 ，n ，记v e c ( ) 表示矩阵的拉直向量算子，b p v e c ( a ) = ( 西，口；，碟) ? ，aob 表示矩 阵a 与b 的k r o n e c k e r 内积 3 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 第2 章迭代求解a x b + c x d = f 一般解及其最佳逼近 这章内容主要是应用共轭梯度思想，构造出迭代算法来解决a x b + g x d = f 一般解及其最佳逼近问题 定义2 1 设矩阵m ，研。p ( n ，p 为正整数) ，若t r ( m r n ) = 0 ，则称 矩阵m ，是相互正交的；若对于给定的对称正定矩阵a 研“，满 足t r ( m r a l v ) = 0 ，则称矩阵m ，是4 一正交的 若非零矩阵组 n ， 毛，m k ei v 。p 中任意两矩阵尬，坞均是正交 的或是a 一正交的，则称矩阵组尬，m 2 ，尥为正交矩阵组或a 一正交 矩阵组 显然，正交矩阵组或a 一正交矩阵组舰，m 2 ，m k ej 护。p 必为线性 无关矩阵组，即若c l 五+ c a m 2 + + e k m k = 0 ，则必然有c l c a c k = 0 定义2 2 【1 】 设数域f - r 或c ，矩阵a = 蝴m m ，。( f ) ，矩阵b = 【b q 】 名，口( f ) ，则称 0 1 1 bo l 行b 1 b 口”m b 鸩印棚( f ) 为矩阵a 与b 的k r o n e c k e r 积，记为aob 下面介绍些关于k r o n e e k e r f t 臾的性质 1 1 ( a ) ( a a ) 圆b = a o ( a b ) ，对所有的a f ，a ，n ( f ) ，b 口( f ) ( b ) ( a o b ) t = a t 固b t ，g e f a m m 一( 冗) ，b 毛口( 兄) ( c ) ( a ob ) + = a + b + ，对a m r a 一( f ) ，b 知，口( f ) ( d ) a 固b ) o g = a o ( b p c ) ，对a m m 一( f ) ，b 且冬丹( f ) ， c m r 。( f ) 4 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 ( e ) ( a + b ) 圆c = a o c + b o g ，对a ，b ，。( f ) ，c 屿，口( f ) ( d a o ( b + c ) = a o b + a o c ，对a 一( f ) ，b ，g 纭口( f ) k r 0 1 嘣斑e r 积可以很方便地表示线性矩阵方程，下面的引理也说明了这 点 引理2 o 【1 1 设a m m ，。( f ) ，b 知，q ( f ) ，c 尬。灯( f ) ，x 且磊 p ( f ) 未 知那么矩阵方程 a x b = c 与线性系统 ( b t a ) v e c ( x ) = v e c ( c ) 等价，r p v e c ( a x b ) = ( b tpa ) v e c ( x ) ； 更一般地，矩阵方程 a x 玩士+ a k x b k = c 与 【钾照a l + + 霹固a j c v e c ( x ) = v e c ( c ) 等价，i i 1 v e c ( a 1 x b l + + a k x b k ) = 陋f o a l + + 霹o m 】u e c ( x ) 问题i 给定矩阵a ，c r m “，b ，d r p q ，f r m q ，求x 形”， 使得 a x b + c x d = 只 ( 2 1 ) 问题1 1 当问题i 相容时，记其解集合为岛，对给定的形p ， 求戈s e ，使得 i i x 一训5 脚r a i n 。i i x x o l l ( 2 2 ) 2 1 迭代求解问题i 求解闯题i 的迭代算法如下： 5 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 算法2 1 ： ( 1 ) 输入矩阵a 尼“，b r p 。q ，c 砂“，d r p 。口和f 妒。口， 任取墨j 矿。p ； ( 2 ) 计算 r 1 = f 一( a 五日+ c x i d ) ， p l = a t r l b t + e r r l d t ， q 1 = p 1 ， 如果r 1 = 0 ，那么停止； k = 1 ( 3 ) 计算 = 拖+ 群矾 ( 4 ) 计算 风+ 1 = f 一( a 玩+ 1 b + c x + i d ) ， p k + 1 = 吼+ 1 矿+ 汐r 知+ 1 d t ， q k + l = 琢一帑铲钒 ( 5 ) 如果r k + 1 = 0 ，或r k + 1 0 ，q k + 1 = 0 ，停止；否则，让k = k + 1 ，回 到( 3 ) 下面再介绍几个关于上述迭代算法的引理 引理2 1 对上述迭代算法2 1 所产生的尼，q ，p j ，i ，j = 1 ，2 ，有 打( 砰。弓m ( r t r j ) 一群打( 霹弓) 证明： 打( 毫0 1 局) = t r ( f 一( a x i + 1 b + c 五+ 1 d ) ) r 而】 卸 ( f - a ( 恐+ 丽i i p hi i = q t ) + 衙i ir i i i = q ) 。) r 叫 6 ( 3 ) 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 曲k 口+ 辩鲍b ) 一圳群c q d ) ) r 易 = 打 ( 砰一群c 郴+ i d ，r ) 马 卸( r t r j ) 一群圳( b r 钾妒+ d t q t c t ) r j 叫砰驴黼“b t q t a r r j ) 一群州。t q t o t r ，) _ t r ( 碍驴雠打( q t a t r j b r ) 一群打( q t c t r j d t ) 曲( 砰驴群打( q t p j ) 打( 砰r j ) = 0 ，t r ( q t 劬) = 0 ，i ，歹= 1 ，2 ，k ，t 歹 证明：用数学归纳法证明 由于打( 霹马) = t r ( 碍r ) ，我们只需要证明i j 即可 对k = 2 ，由引理2 1 和迭代算法2 1 ，有 即 舌r ( 砑r - ) = t r ( 矸r - ) 一燃州钾p 1 ) 舶1 1 2 一群州骈剐 = i ir - 1 1 2 一群州 ) _ 0 。 7 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 即 t r ( 霹冗1 ) = 0 纵锄。搬黜= 打p ”帮t = 打( 谬q 1 ) 一可t r ( p 乒q 1 ) 打( 钾q 1 ) t r ( q t q l ) = 0 ( 5 ) 假设( 4 ) 对七= 8 2 成立，注意到打( 讲识一1 ) = 0 ，由引理2 1 和迭代 算法2 1 ，与( 5 ) 相类似的证明，我们有 州碹耻ij r 1 1 2 一 雠静q t ( q 。+ 镌等叫 = ij r 1 1 2 一 群小孙) + 而t r ( p t 可q s - 1 ) 打( q t q 州) = i ir 。1 1 2 一群打( q t q 扣。， 与( 6 ) 相类似的证明，我i f w 打( q 矗1 q 。) = 0 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 硒，= l ，田剐埋z l 侣t r t 蟛+ 1 j 弓) = u 硒，= 2 ，5 ，s 一1 ，狂思 至i j t r ( r t r j ) = 0 ，t r ( q q i ) = 0 ，t r ( q 芋q j 一1 ) = 0 ，由引理2 1 和迭代算 法，得到 纵r t + 。马) = 打( 霹鳓一 堵洋弧钟黝 = 一群打p + 篙掣) 铀 一 雠卜黝+ 篙等州如_ i = 0 ，嘞= l ，2 ，8 1 ， 嚼啦怕一帮q 州 _ t r ( 磅。q ) 一销铲打( q t q j ) = 打( 殴l 鲂) = t r ( q j p , + 1 ) 注意到打( 碍1 马) ；0 ，t r ( r t + 1 吩+ 1 ) = 0 ，由引理2 1 ，有 打( g 矗l 仍) = 打( 田只+ 1 ) = 1 i 丽i q ji f f 叭譬兄+ - ) 一打( 磷- 见+ ) = 群m 碍。马) 却( 碍。啪) 】0 因此，对k = 8 + 1 ( 4 ) 成立 根据归纳法知，引理2 2 得到了证明 9 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 引理2 3 设贾为问题i 的任一解，则 打【( 元一凰) q 翻= 0r knk = 1 ，2 ， 证明：用数学归纳法证明 当k = 1 时， 打【( 支一x , ) q t 】= t r ( 灭一x 1 ) 明 = t r ( 2 一x 1 ) ( b 砑a + d 砰p ) 】 = t r ( 2 一x 1 ) b r t a + t r 【( 元一x , ) d r t lc = 打【g a ( 2 一局) b 】+ t r r t c ( 2 一x 1 ) d 】 = t r 弘珂( a f i ：b a x l b ) 】+ 打【砑( c x d c x l d ) 】 = 圳r t ( a x b a x l b - i - c 2 d c x l d ) 1 = 打【砑( f a x l b c x i d ) 】= 打( 研r 1 ) = 0r 11 1 2 也就是 t r ( 2 一x 1 ) q f 】_ 0r 1f 1 2 假设当k = s 时( 7 ) 成立由于 i o 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 洲灭一驯硼= 打卜墨一群q 。) 叫 = 圳( 贾吲翎一群州d = i ir , 1 1 2 一黼纵 扣。， 那么，由迭代算法2 1 有 州c 贾址t r 卜酬- 一帮q 。) = 打 ( 宕一墨+ z ) 硌1 一l r 盯( p 矿s t + i q s ) 打【( 灭一五十) q 刃 ：t r t ( f i 一兄；1 1 磁，1 跟( 8 ) 的证明完全类似，得到 圳( 灭一咒+ 1 ) q 髯1 】= 圳( 灭五十1 ) 霸1 】= j | 风+ 11 1 2 因此，由归纳法原则得证 定理2 1 假定问题i 相容，那么，对任意的初始矩阵r n 。p 。问题i 的解 可以通过有限步迭代得到 证明： 若r 0 ，i = 1 ，2 ，m g ，则由引理2 3 可知q 0 ，i = l ，2 ，m g ，那么，由算法2 1 可以计算五哪+ 1 ，足n 口+ 1 由引理2 2 ，有 打( 礁+ 1 忍) = 0 ， = 1 ，2 ，r a q ， 和 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 打( 砰马) = 0 ，i = 1 ，2 ，m q ，i 歹 因此r l ，场，是矩阵空间矽。q 的一组正交基，从而+ l = 0 ，即x 。+ 1 是问题i 的一个解 当问题i 相容时，可以证明问题i 的解可以通过最多不超过t o ( t o = 仇饥( 仇吼聊) ) 步得到事实上，若n p m q j | 忍0 ，i = l ，2 ，印，那么由引理2 3 知，q 0 ，i = 1 ，2 ，坤，根据算法2 1 可计 算墨卅1 ，岛l p + 1 ，瓴卅1 跟前面的证明相类似，得到q 咐1 = 0 及r n 卅1 = 0 ，从而五卅1 就是问题i 的一个解 从定理2 1 ，很容易得到下面的推论 推i 仑2 1 问题i 不相容的充要条件是在迭代算法2 1 中存在某个正整数k ，使 得吼0 而钒= 0 证明：充分性；假着存在某个正整数k ，使得吼0 而q k = 0 ，由引 理2 3 知，问题i 不相容 必要性：若问题i 不相容，则对所有的正整数l ，有咒0 若对所有的 正整数i 都有q 0 ，由定理2 1 的证明过程知，问题i 有解，与不相容性矛 盾则必然存在某个正整数k ，使得吼0 而e k = 0 引理2 4( 参见 3 1 1 ，引理2 1 6 ) 设相容线性方程组m y = b 的一个解y o r ( m r ) ，那么珈为此相容线性方程组唯一的极小范数解 定理2 2 设问题i 是相容的，若取初始迭代矩阵x 1 = a t h b t + c t h d t ， 其中日是舻。q 中的任意矩阵，特别地，让x 1 = 0 酽。p ，则由迭代算 法2 1 ，通过有限步可以得到问题i 唯一的极小范数解 证明；由迭代算法2 1 和定理2 1 知，若让x 1 = a t h b t + o r h d t ，其 中日是胛x q 中任意矩阵，则经过有限步迭代可得到问题i 的解x + ，且解x + 可以被表示成 x ，= a t y b r + o q y d t 记v e c ( x ) = 茁，v e c ( x + ) = 矿，v e c ( y ) = y ，v e c ( f ) = c ，则矩阵方 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 程a x b + c x d = f 等价予如下线性方程组 ( b t 固a + d t o a ) 茁= c 另外 矿= v e c ( x ) = v e c ( a t y b t + c t y d t ) = ( bqa t ) v e c ( y ) + ( d c r ) v e c ( y ) = ( b o a t ) y + ( d o 矿 = 饵o + d p ) 可 e r ( ( b t 固a + d r p g ) t ) ， 由引理2 4 知，矿是线性方程组( 9 ) 的唯一极小范数解，而拉直算子是同构 的，因此x + 是矩阵方程a x b + c x d = f 唯一的极小范数解，即是问题i 的 唯一极小范数解 由上面的讨论可知，对任意初始矩阵墨研。p ，在算法2 1 的迭代过 程中，着存在某个整数k ，使得r 自0 ，而饥= 0 ，则问题i 无解若问题i 有解，则迭代算法2 1 经过有限步终止得到问题i 的一个解若取初始矩 阵x 1 = 4 r 日b t + c t h d t ，h j 沙q ，或者更特别地取x 1 = 0 j p 。p ， 则也可迭代出问题i 唯一的极小范数解 2 2 问题的解 当问题i 相容时，问题i 的解集s 台非空，对x s 匆，由a x b + c x d = f 得， a ( x z o ) b + c ( x x o ) d = f a x o b c x o d 让贾= x x o ，p = f a x o b c x o d ，则问题等价于求解相容矩 阵方程 a r b + c x d = p( 如) 的极小范数解戈 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 根据算法2 1 ，取初始迭代矩阵盔= a t h b t + c t 曰矿，其中日为任 意尼一口矩阵，或者更特别地让戈l = 0 形p 。可得到矩阵方程( 1 0 ) 的 唯一极小范数解戈，从而也就得到了问题的解戈，且戈被表示 成贾= 元+ 凰 2 3 数值例子 例1 ：设 a = b = 328- 903 0 3 7 12 1 5o一31 2 0 6 g 2 7 40 5 41 1 - 2 5 43 1459o1 90 - 1 1 - 50 3 51 0 220 0 - 1 64 694 34o 38 6 9 76 01 27 038 6o1 1 4 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 d = d = f = 一20736 1 548030 36184o 043o82 2o一6591 22- 1 3 - 1 01 22 44425 2 12369o 86 1404 81 45341 9 16 14o一8 2 0 83 57 6 0 31 1 9 6 - 5 8 7- 8 51 7 65 5 0 3 4 9 9 3 84 9 13 3 2- 4 5 53 6 5 - 9 8 5 8 1 3 4 8- 2 2 7 6 4 6 8 3 1 1 0 5 1 - 5 0 7 5 0 46 9 9- 3 3 87 3 1 8 4 5 8 4 1- 5 4 8 - 5 9 1- 2 2- 1 0 0 8 7 0- 6 8 3 - 9 9 05 9 41 7 0 5 - 1 2 6 7 - 4 6 3 1 0 5 4 8 7- 4 7 99 9 4 8 4 求相容矩阵方程a x b + c x d = f 的解及其极小范数解 记矩阵方程a x b + c x d = f 的所有解集合为s ，不妨取 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 弱= 23165 03812 23109 337 14 1o862 26043 求贾s b ，使得 i i x z o l l 。x m 邑i s n e i x - x o l l a e ( i ) 应用迭代算法2 1 ，可得到矩阵方程a x b + c x d = f 一般解 和极小范数解由于计算误差的影响，在具体的迭代过程中， 余项忌0 = 1 ，2 ，) 一般不会等于零因此，任取充分小的，譬 如= 1 , 0 e 一0 1 0 ，当0 吼0 e = 1 0 e 一0 1 0 时，就停止迭代，视凰为矩阵 方程a x b + c x d = f 的一个解 任取一个初始迭代矩阵x 1 舻。p ，这里取 x 1 = o 一2 012 21131 o 一5 8 12 205o1 4 26 4 7 02413 由迭代算法，得 1 6 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 x 4 9 = 一3 2 0 0 0 4 8 0 0 0 2 8 0 0 05 2 0 0 03 8 0 0 0 0 0 0 0 0 一o 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 8 0 0 0 一3 2 0 0 0 一6 2 0 0 02 8 0 0 05 2 0 0 0 1 8 0 0 0 2 2 0 0 0 o 2 0 0 0 2 2 0 0 05 2 0 0 0 3 8 0 0 0 4 。2 0 0 06 8 0 0 06 2 0 0 02 8 0 0 0 3 4 0 0 0- - 1 4 0 0 0 - - 0 4 0 0 02 6 0 0 0o 6 0 0 0 i i 风9 l l = 1 6 4 0 7 e 一0 1 1 因此，可得矩阵方程a x b + c x d = f 的一 个解x 4 9 即 若取初始矩阵x 1 = a t h b t + 伊日d t ，其中日r m x 口，不妨设 h = x 1 = 013571 2 o49 13 312764 04 8o23 193501 11 3070 5031 02 1 2 2 45 6 04 5 71 0 7 18 6 4 8 4 37 4 42 0 6 0- 4 1 3 6 0 - 1 3 6 71 3 4 07 1 8- 2 1 8 11 2 4 4 - 9 5 3 8 4- 4 9 5 0 1 8 9 8- 2 1 8 3 1 0 4 92 9 6 - 3 9 71 1 6 01 0 4 0 8- 1 1 98 4 9- 1 3 3 1 8 9 1 7 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 且 可迭代出矩阵方程a x b + c x d = f 的一个极小范数解 x + = 施3 = 一3 8 0 0 0 4 2 0 0 0 一2 2 0 0 05 8 0 0 03 2 0 0 0 一o 。0 0 0 0 一o 0 0 0 0 2 ，0 0 0 03 0 0 0 01 o o 一3 8 0 0 0 - 1 2 0 0 0 4 2 0 0 04 8 0 0 03 2 0 0 0 3 4 0 0 0 一o 6 0 0 01 4 0 0 0o 6 0 0 03 6 0 0 0 3 2 0 0 04 8 0 0 06 2 0 6 8 0 0 02 。2 0 0 0 3 0 0 0 0 - i 0 0 0 0 一o 0 0 0 03 0 0 0 0- 1 0 0 0 0 r s s l i = 8 8 4 2 7 e 一0 1 1 ，0 恐3 i l = 1 8 2 0 9 9 若取墨= 0 ，也得到矩阵方程a x b + c x d = f 的极小范数解 x + = 甄8 = 一3 8 0 0 0 4 2 0 0 0 2 2 0 0 05 8 0 0 0 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 一o 0 0 0 0 - 2 0 0 0 03 0 0 0 01 0 0 0 0 一3 8 0 0 0 - 1 2 0 0 0 4 2 0 0 04 8 0 0 0 3 2 0 0 0 - 3 4 0 0 0 - 0 6 0 0 01 4 0 0 00 6 0 0 0 3 6 0 0 0 3 2 0 0 0 4 8 0 0 06 2 0 0 06 8 0 0 02 2 0 0 0 3 0 0 0 0 - i 0 0 0 0 一0 0 0 0 03 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 风圳= 7 2 2 0 3 e 一0 1 1 e ，f j 五硎= 1 8 2 0 9 9 ( ) 求知在中的最佳逼近时，令元= x x o ，户= f a x o b c x o d ， 取初始迭代矩阵贾= 0 ，得到矩阵方程a 贾b + a 贾d ：亏的极小范数解贾 且 1 8 兰州大学2 0 0 7 届硕士学位论文 例2 让 x + = 叉矗= 一7 2 0 0 00 2 0 0 01 8 0 0 01 2 0 0 06 8 0 0 0 1 2 0 0 0 一4 2 0 0 0 4 8 0 0 00 8 0 0 00 2 0 0 0 3 2 0 0 0 一0 8 0 0 0一7 8 0 0 02 2 0 0 03 2 0 0 0 6 0 0 0 02 0 0 0 0 6 0 0 0 0