（应用数学专业论文）一类奇异摄动椭圆方程解的集中现象.pdf

摘要 我们主要考虑下列奇异摄动椭圆方程 ，o u u 一口+ ，( “) = o u o m b 1 ( ) 1 瓦= 0 0 8 1 p 解的集中现象，其中b 。是r 中以原点为心的单位球，代表o b l 上的单位外法 向，e 是一个正参数，是一个超线性、具有次临界指数的非线性项这一类方程有 着丰富的生物数学背景及其他的物理应用，近二十年来受到诸多数学家的关注对 该类方程的研究人们已取得了相当多的成果，并随着对此类问题研究的深入，人们 越来越发现，看上去如此简单的方程，却隐藏着复杂而有趣的现象本文中，我们 对其中的集中现象作一些研究，特别是将通过所谓的“局部能量法”来构造方程的 解，这些解会在预先指定的位置发生集中现象据作者所知，这些现象都是新的 本文分成四个部分： 在第一部分中，我们介绍奇异摄动椭圆方程的历史及研究现状，本文的主要结 果，并简要列出与文章有关系的一些基础知识 在第二部分中，我们构造具有多个内部尖峰点的解，这些峰点位于r n 中单位 球的一个对称轴上具体来说，当n 2 时，我们将证明对于任意给定的正整数 k ，当 0 足够小时，方程( ) 都存在一个轴对称的解啦( z ) = ( 一l ，) ，该解 只有耳个内部局部极大值点研，q 备，并且这些极值点位于给定的对称轴x n 轴上，另外，当e 一0 时我们能够确定出这k 个内部极大值点的极限位置 在第三部分中，我们寻找上述的奇异摄动椭圆方程的另一类具有集中现 象的解通过。局部能量方法”，我们构造出尖峰点位于超平面上的解，并给 出尖峰点的个数与参数e 之问的依赖关系，我们证明当足够小时，方程( + ) 存在具有耳个内部局部极大值点的解，这些极值点位于b l 中的一个超平面 f = p = ( $ l ，一) b 1 l z l = o 上，其中1 k 石谛( 3 ) ，常数g 仅 与和，有关作为推论，我们得到：当e 足够小时，方程至少存在砑南】 个解 最后，在第四部分中。我们将对今后所能研究、努力的方向作简要介绍，同时 介绍一些相关的已有结果 关键词奇异摄动方程：集中现象；多个内部尖峰：l i a p u n o v s c h m i d tr e d u c t i o n ；极 大化问题 a b s t r a c t 5 0 2 u 一t + ，( t ) = o ， o 妯b 1 ( ) l 瓦= o 0 l lo b l ， p w h e r eb 1i st h eu n i tb a l lc e n t e r e da tt h eo r i g i no fr ”，d e n o t e st h eu n i to u t w a r dv e c t o r w i t ht h ep e a k sl o c a t e do nas y m m e t r i ca x i so f t h eb a l lb 1i nr m o r ep r e c i s e l y , w ew i l l p r o v et h a tf o rn22 ，a n df o ra n yg i v e np o s i t i v ei n t e g e rk ( k 1 ) t h e r ee x i s t sas o l u t i o n t k ( z ) = t b ( 1 i ，z ) w h i c h i s a x i a l l ys y m m e t r i ca n d h a s e x a c t l y k l o c a l m a x i m u m p o i n t s ki n t e r i o rp e a k sl o c a t e do nah y p e r p l a n er = z = ( 。l ，一) b 1 l l ：= 0 ，w h e r e 1 石葫( 3 ) 诵m gap o s i t i v ec o n s t a i i d 三? 出n g 趾d ， 吣a s a c o n 唧撇，w e o b t a i n m a t 岫e x i s t s a t l e a s t 诵面严】s 。1 u s f o r f i n a l l y , i nt h ef o u r t hp a r t , w e w i l li n t r o d u c es o m er e l a t e dt o p i c sa n do p e nq u e s t i o n s t h a tw ec a ns t u d yi nt h ef u t u r e a tt h es a m et i m e ，s o m er e l a t i v er e s u l t sw i l lb ep r e s e n t e d i fn e c e s s a r y k e yw o r d s ： s i n g u l a r l yp e r t u r b e de q u a t i o n ；c o n c e n t r a t i o np h e n o m e n a ；m u l t i p l e i n t e r i o rp e a k s ；l i a p u n o v - s c h m i d tr e d u c t i o n ；m a x i m i z a t i o np r o b l e m 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写的 研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的说 明并表示谢意 作者签名车喃瑚 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：堆 导师签名 期：塑! ， 第一章绪论 在本章中，我们首先介绍本文所研究的一类奇异摄动椭圆方程的历史背景及 研究现状，然后介绍本文的主要结果及研究方法，最后简要介绍本文需要的一些基 础知识 1 1 研究背景及方程的推导 非线性偏微分方程是偏微分方程研究的一个重要分支，其中的一类奇异摄动 糖圆方程 i d a u t + u p = 0i nq ， u 0 i nq ，( n ) 【= 0 o na q 近二十年来倍受人们的关注并对此取得了一系列重要的成果，其中q 是r 中的 光滑有界区域，指数p 满足当n 3 时，1 p 等墨；当n = 2 时，1 p ( 3 0 ， 为一个正参数正因为该类方程有着丰富的生物数学背景及其他的物理应用， 引起了数学家的广泛关注生物数学中的许多模型是由非线性n e u m a n n 问题所 刻划的，其中最著名的例子之一就是下面的t u r i n g 的“受迫扩散引起的不稳定 性”( d i f f u s i o n d r i v e ni n s t a b i l i t y ) ( 参见【3 5 1 ，【4 3 】) 水蛭的再生现象，首先于1 7 4 4 年被a t r e m b l e y 【5 4 1 发现，这是生物形态学中 最早的例子之一水蛭( h y d r a ) ，长为几毫米的一种动物，由大约1 0 0 ，0 0 0 个1 5 种不 同的细胞组成水蛭的身体包含位于一端的“头”部对于水蛭典型的实验就是将它 的“头”部切下移植到身体的其他部位结果发现，当且仅当被移植的部位距离原 1 1 1 研究背景及方程的推导第一章绪论 来的“头”部足够的远，才会有新的“头”产生这一现象使得人们作出了对两种化 学物质存在性的假设一一种是慢性扩散( 短距离) 催化剂，另一种是快速扩散( 长 距离) 抑制剂在1 9 5 2 年，九t u r i n g 5 5 1 提出，尽管催化在单个化学系统中是一种 平稳的、自然的过程，而对于具有两个或更多化学物质的系统，不同的催化率能促 使一致稳定态变得不稳定，并且导致反应物的非齐次扩散这就是著名的“受迫扩 散引起的不稳定性”随着这一思想的发展，在1 9 7 2 年，g - i e r e r 和m e i n h a r d t 2 0 1 提 出了下面的催化一抑制系统( a c t i v a t o r - i n h i b i t o rs y s t e m ) ( p 标准化) 来模拟上面的水 蛭再生现象： iu t = d l a u u + 而u p i n n 【0 ，刁， r k = d 2 a v y + 器i n n 【0 ，t ) ， ( 1 - 1 ) 【筹= 面o v = o o n 锄【o ， 其中，是拉普拉斯算子，n 是r 中的光滑有界区域，表示锄上的单位外法 向，t s ( 3 0 ，系数7 - ，d 1 ，d 2 ，p ，q ，r 均为正的常数，s 0 且 0 o ； o na q ： ( i c )( z ，0 ) = t 幻( z ) 0 ，口( $ ，0 ) = t ，0 ( z ) 0 i n q ， 其中，d 1 、d 2 和x 是正常数；妒是一个光滑函数使得当r 0 时( r ) o ；k 是一 个光滑函数使得k 0 ，o ；代表a q 上的单位外法向，“敏感函数”咖通常的 例子有妒( 口) = c v ，c l o g v 或c v v ( 1 + v 2 ) ，其中c 0 是一个常数 现有的大量工作都集中在研究( ) = c v 的线性情形上，对这种情形的结 果我们知道的也比较多。至少对低维情形n = 1 或2 是如此这种情形呈现出 丰富的数学现象，包括从非平凡的稳定态到爆破( b l o w - u p ) 动力学对此，我们介 绍d h o r s u n a n n 的两篇很好的综述性文章【2 6 及【2 7 ，它们对于这种线性情形，从 k e l l e r - s e g e l 模型的来源，到许多重要结果都作了描述，同时也介绍了这些数学结果 在生物上对应的研究 3 1 1 研究背景及方程的推导第一章绪论 对于对数情形咖( ) = l o g ，令七( t ，t ，) = 一+ b u ，其中a 和b 是两个正数， n a g a i 和s e n b a 4 2 】证明了n = 2 时改进了的抛物椭圆系统整体解的存在性由 条件( k s d 和( b c ) 知，对于任意的 0 。有厶u ( x ，) 缸= 厶咖( z ) 如我们考虑下 列问题的正解t 和口： jd 2 a u x v ( u v l o g v ) = 0 i n q ，( 口) ld 2 一o + b u = 0 i n q ，( b ) 1o u a y = 丝o u = 0 a q ， ( c ) ij q r l f u ( x ) d x = 霞， ( d ) 其中面是一个给定的常数解问题( a ) 一( d ) 可以归纳到找一个单个方程的解实 际上，方程( a ) 可以写做v d 1 u v 1 0 9 u x d i l l o g 叫 = 0 ，再利用( c ) ，就得到 u = ) , v x “，a 为某个正常数从而，( a ) 一( d ) 就等价于下列关于( 口，a ) 的系统； ld 2 a v 一+ b a v x 。1 = 0 i n q ， 瓦0 v _ o o n 砌， 【吲- 1 f n v d x = 蚕 令p = x d l ，d = d 2 o ，p = ( a - 1 6 a ) 1 沪“，( z ) = p 口( $ ) ，我们就得到 r l d a w 一 + w p = 0i n q ， l 等= o 。n 舯 当区域维数n = 1 时，t a k a g i 在【5 3 】中做了很多工作对于n 2 ，问题 会变得更加复杂和有趣在【3 5 】中，l i n ，n i 和t a k a g i 给出了问题0 q ) 极小能量 ( 1 e a s t e n e r g y ) 解的存在性接着在 4 4 ，4 5 中，n i 和t a k a g i 证明当e 足够小时， 极小能量解只有一个( 局部) 极大值点r ，并且r e 0 1 2 另外，只一定位于a q 最弯曲的地方，即当一0 时。日( 只) 一m “p 印n 日( p ) 这里h ( p ) 表示0 1 2 在点 p 处的平均曲率具体的说，当s 一0 时，除了点足之外，心一定在囝上处处趋于 0 这样的点只叫做尖峰点( p e a k s 或s p i k e s ) 自从n i 和t a k a g i 开创性的工作【4 4 4 5 】以来，问题0 q ) 由于它的解具有丰富 而有趣的结构，已经受到了人们广泛的关注，在描述解的形态，特别是解的集中 4 1 研究背景及方程的推导第一章绪论 e 吣) i i 删 m s ， f 、l - - l y + 矿：oi n 呸一 t ：o 钒，p 酗铷龃 等i j = 1 ，) n ， 1 1 研究背景及方程的推导第一章绪论 也。p 关于点p 是c 1 的，p 。p + t 毫p 蜒，p 且 f f 以。pf f 舻( m se e x p 一导d ( 只a 回 ( 1 8 ) 啦( p ) = 以( p ) = 五( 最，p w + 以，p ) ，( 1 9 ) 五扣) = ；上( ，i v 训2 + 铲) 一歹玎1 上t 节1 让日1 ( q ) 不难看出吼的极大值点最。即 垂e ( 只) 2 紧垂s ( 尸) ( 1 1 0 ) 给出了方程( n ) 的解= 只。最t ，4 - 以，b 对于 峥地+ 醒= 薹n 等， 这里o t l ，o t n r ，由( 1 1 0 ) 和( 1 1 1 ) ，有 。= 警k 硝) 鲁 = 萎厶。等警= p n 叼，。j 刁 其中矩阵( o 埘) 由最后一个等式定义再由积分 z 。等等 聊 j n 。j h 8 p j a 弧 ”。 当k j 时几乎为零及( 1 8 ) 可知口从i f , a 幻( k j ) 大很多从而，d e t ( a k l ) 0 所 以哟= 0 ，j = 1 ，n ，证明完成这种方法可以推广到任意多个尖峰点 1 矿“一u + u n = 0i nq ， ： 1 1 研究背景及方程的推导第一章绪论 也是很有意义的当q l , j , 时，( n ) 和( d ) 都是奇异摄动问题然而，如前所述， 传统的方法在解决这类问题时却失效了对于d i r i c h l e t 边界条件，n i 和w e i 在 4 8 】中证明了当足够小时，极小能量解在彘中只有一个( 局部) 极大值点 足q 另外，除了尖峰点只之外，在e 趋于0 时会趋于0 ，并且当一0 时， d ( 只，a q ) 一m a x p nd ( p o n ) 这个有趣的结果表明，对于只有一个尖峰的情形，与 n e u m a n n 边界问题所不同的是，d i r i e h l e t 问题的“s p i k e - l a y e r ”尖峰一定位于区域q “最中间”的部分另外，d i r i c h l e t 问题具有多个内部尖峰的“s p i k e l a y e r ”解通常是 不存在的例如，当n 是一个球时，【1 8 】的结果意味着问题( d ) 的解一定是径向对 称的，从而) 只能有单个尖峰的解这一结果还被w e i 在 5 9 】中推广到严格凸区 域从这些可以看出，d i r i c h l e t 问题( d ) 多个尖峰“s p i k e l a y e r 解的存在性与相应的 n e u m a n n 情形( n ) 还是存在很大不同的，通常会依赖于区域q 的几何性质另一方 面，从n e u m a n n 边界与d i r i c h l e t 边界的物理意义上来看，问题( n ) 与问题( d ) 也会 有不同的现象发生n e u m a n n 边界条件“赛l = 0 ”说明u 所处的环境是一个封闭 的系统，与外界无能量交换；而d i r i c h l e t 边界条件“u l o n = 0 ”说明u 处在一个并不 封闭的系统中，这个系统与外界存在着能量交换对于已有的d i d c h l e t 问题( d ) 单 个及多个尖峰点解的存在性结果，有兴趣的读者可以参见【9 ，1 5 ，1 6 ，3 4 ，4 7 ，5 7 ，6 1 】 及其相应的参考文献本文所考虑的主要是具有n e u m a n n 边界条件的问题，至于具 有d i r i c h l e t 边值的问题，将是作者接下来的研究目标 至此，我们所讨论的无论是n e u m a n n 边值问题，还是d i r i c h l e t 边值问题都存 在所谓的“s p i k e l a y e r ”解，这类解共有的一个性质就是其能量集中在q 中离散的 点( 即尖峰点) 附近，这些点是0 维的从而我们将“s p i k e - l a y e r 解视为具有0 维集 中集的解另一个方向是研究能量集中在高维区域的解，如曲线或曲面这一方面 的进展虽然很有限，但还是取得了一定的成果，见【2 ，3 。3 8 ，3 9 ，4 0 ，4 1 注1 11 我们应该指出，当趋于无穷大时，方程( ) 只有平凡解兰1 ( j l 3 5 ) 7 1 2 本文主要i 作概述第一章绪论 1 2 本文主要工作概述 本文主要用。局部能量法“来构造具有n e u m a n n 边界条件的一类奇异摄动椭 圆方程的解通过构造我们不仅得到解的存在性，还从构造中了解到解的浙近行为 全文分为四个部分，着重考虑两个问题： 第二章中，我们主要构造一类n e u m a n n 边界奇异摄动方程具有多个内部尖峰 点的正解，使得这些峰点位于单位球的一个对称轴上具体来说，考虑下列方程 矿o 钍一t + ，( u ) = o ，缸 o mb 1 (114)u l 石- 0 0 n o b l ， u “叫 其中，b 1 是r 1 v ( n 2 ) 中以原点为心的单位球，：r r 属于c 1 + 4 类 ( 。 口 1 ) 并且满足下面三个条件( ，1 ) 一( ，3 ) ： ( ，1 )当0 时，( 乱) 兰0 ，并且当“一o o 时，f ( u ) 一+ o o ( f 2 )f ( o ) = 0 ，( 0 ) = 0 ，且当珏一o o 时，f ( u ) = d ( 伊1 ) ，( ) = d ( 伊1 - 1 ) ， 这里1 p t 2 _ o o 如果n = 2 ) 另外，存在 1 2 9 , i j ， d ( 只，a b l ) 占 o ，i ，歹= 1 ，j f ) ， 其中6 0 所得到的主要结果为： 定理1 21 设，满足条件( f 1 ) 一( 3 ) 则对于任意给定的正整数k 以及足 够小，方程f j 1 4 ) 都有一个解( z ) = u 。( i x 小髫) ，该解只有k 个局部极大值点 饼，q 夤，且当_ o 时，妒( 研，一，瓴) 。( 。l 冀器) v ( o ，q 耳) ，这里 。= ( z 7 ，z ) ，( 饼，q 备) 九进一步地，我们有 c z ) s 。e x p ( 一型塑拦螋) ， 这里o ，b 为两个正挽 第三部分中，我们仍然是用类似的方法来构造问题( 1 1 4 ) 的具有多个内部尖 峰点的解所不同的是，通过更加精细的计算，我们不仅给出了具有一定对称性质 的集中解的存在性，以及其渐近行为，还给出尖峰点的个数与小参数之间的关 系，从而得到方程存在解的最少个数具体来说，设( 1 1 4 ) 中的岛是r ( 芝3 ) 中 以原点为心的单位球。f ：皿一r 对于某个0 0 使得对0 e 0 为一个很小但固定的常数 1 0 1 3 预备知识第一章绪论 1 3 预备知识 在本节中，我们汇总了本文经常用到的一些预备知识，简单介绍一些概念及结 论。对于想进一步了解这些内容的读者，可参阅相关的文献 首先，我们叙述大家熟知的f r e d h o l m 二择一定理 定理1 3 1 ( f r e d h o l m 二择一定理j 设y 是b 口，z a c h 空间，a ：v y 是一紧线性算 子，j r 是y 上的恒等算子，则以下两种可能有且仅有一种发生? l t 寿j 柱2 v , z o 。使j ；l z a x = o ；( 1 1 8 ) 例对于任意y n 存在唯一的z 使得 z a x = f ( 1 1 9 ) 换言之，如果齐次方程( 1 1 8 ) 只有平凡解，则非齐次方程( 1 1 9 ) 对任何9 v 存在 唯一解 设x ，y 为两个b a n a c h 空问，l ( x ，y ) 表示所有从x 到y 的连续线性映射构 成的空间考虑映射f ：a u y ，其中a 和u 分别是b a n a e h 空间t 和x 的开 子集 定理1 3 2 f 隐函数定理j 设f c ( a 阢y ) ，k 1 ，其中y a ，c ，如上如果 f ( ，) = 0 并且兄( ”，矿) i n v ( x ，y ) 则存在舻在t 中的邻域e 矿在x 中 的邻域u 以及映射g c 。( e ，x ) ，使得 r f jf ( a ，9 ( a ) ) = 0 ，v a 0 ， 俐f ( 叉，h ) = 0 ，( a ，世) 0 x u ，意味羞= 夕( a ) 。 ( i i i ) ，( a ) = 一阪( p ) r 1o b p ) ，其中p = ( a ，g ( a ) ) ，a o ， 其中i n v ( x ，y ) = a l ( x ，y ) ：a 是可逆的) 1 3 预备知识 第一章绪论 ：a w 戮荔 1 9 - ( n ) 一9 - ( ”) i t i 品，。u ，。t 幻 “”( r ) + 墨；+ 9 ( “( r ) ) ：o r o ，( 1 2 0 ) 矿( r ) + ! ；( r ) + 口“( r ，q ) ) 庐( r ) = o r ( o ，r ( 口) ) ， ( 1 2 3 ) 1 3 预备知识第一章绪论 妒( o ) = 1 且4 ( 0 ) = 0 ( 1 2 4 ) 令 ： = o 0 i 存在r ( 0 ，c o ) ，使得t ( r ，n ) = o ， ，：= 恤 0 lu ( r ，o t ) 是( 1 2 0 ) 一( 1 2 2 ) 的解) 证明问题( 1 2 0 ) ( i 2 2 ) 解的唯一性的关键步骤，是证明当a a c u 了时， 妒( r ( q ) ，a ) 0 同时，这也暗示着 定理l 。王4 佛1 4 5 1 中的附录。当m j 时，口何以) 是问题( 1 2 0 ) 一( 1 2 2 ) 的非退 化解 注1 3 5 u ( r ，q ) 是退化的，当且便当初值问题( 1 2 3 ) - ( 1 2 4 ) 的解当r r ( q ) = + o 。时趋于0 由定理1 3 3 一定理1 3 4 ，我们可知当，满足条件( ，1 ) ( ，3 ) 时。方程 a m z t j + ，( ) = 0i n 璃， 郇 o ，( o ) = ；m 。a x w ( 。) ， t l ，- - 40 a t0 0 存在唯一的解( f ) ，它是径向对称的，递降的，并且具有下面的渐近行为 卅y a m 。伽扫) e l u l i 邶= 卅l i m 。丽w ( 1 y 1 ) u j = 一1 驯一驯一 l y i j 第二章内部峰点位于对称轴上的集中 解 本章中，我们将构造出问题( 1 1 4 ) 的一个具有内部多个尖峰点的解与已有的 结果所不同的是，这里我们所得到的解会在区域的一个对称轴上发生集中现象，并 且由于区域所具有的对称性，解也将具有一定的对称性 对称性的研究是非线性偏微分方程的现代理论中非常重要的一个课题特别 地人们渐渐地知道在有对称性的区域中不同的边界条件是如何影响正解的对称性 的首先，边值问题的解非常不同于全空间问题的解另外，具有n e u m a n n 边值问题 的解与对应的d i r i c h l e t 边值问题的解也表现出截然不同的行为例如，在众所周知 的文献 1 8 】中。作者证明了下列d i r i c h l e t 问题 i “+ ，( ) = 0 i n b r ( 0 ) ， 【t = 0 o h o b r ( o ) 所有的c 。正解一定是径向对称的，其中是f 中的拉普拉斯算子，是一个g 1 的函致，b n ( o ) 是以0 为心r 为半径的球另一方面，在【4 4 】中作者证明了对于足 够小的下面的n e u m a n n 问题 。 ， i e 2 a u t + u p = 0i n b r ( o ) ， 1 笔= 0 慨( 0 ) ， 其中是0 b r ( 0 ) 上的单位外法向，1 p o mb “ ( 2 1 ) 1 咖= o o nc o b l ， 瞄j 其中毋是r ( 2 ) 中以原点为心的单位球方程( 2 1 ) 所具有的能量泛函以定 义为 嘶) = ；上。( 2 阳1 2 + 矿) 一上，卿) 缸h i ( 剐， ( 2 2 ) 其中f ( u ) = j ：0 ) d s 非线性项，：r r 属于c 1 ”类( o 口 1 ) ，并且满足下 面三个条件( ，1 ) - ( ，3 ) ： ( y 1 )当u s0 时，l ( u ) 兰0 ，并且当t 一时，( u ) 一+ o o ( ，2 ) ，( 0 ) = 0 ，( o ) = 0 ，且当u o o 时，( 让) = 0 ( 妒) ，( ) = 0 ( u p l 一1 ) ， 这里1 p l 2 ；= o 。如果n = 2 ) 另外，存在 1 o ，彬( o ) 2 1 警吾* ) ， ( 2 3 ) w - - t0a t0 0 存在唯一的解w ( u ) 并且伽是非退化的所谓非退化，是指算子 l ：= a 一1 + ，( 叫) 1 5 2 。2 主要结果 第二章内部峰点位于对称轴上的集中解 在空间琊( r ”) ：= t = u ( 1 u 1 ) h 2 ( r ”) 中存在有界的逆 对于上述的函数，( u ) ，一个典型的例子就是f ( u ) = u p ，1 p 5 o ，i ，j = 1 ，k ) ， 1 6 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 2 3 有用的分析第二章内部蜂点位f 对称轴上的集中解 其中6 0 注意到，对给定的k 1 。我们总能找到6 使得a 非空由 o ( p 1 ，p 2 ，p k ) 和a 的定义，下面的不等式 ( n ，躐) o ( p 1 ，磁) ( 耻m ，珞a x ) e b a o ( p 1 ，忍) ( 2 7 ) 总是成立的 现在，我们叙述本章的主要结果如下： 定理2 21 设，满足务件( f t ) 一( f 3 ) 则对于任意给定的正整数k 以及足够小 的，方程r 2 j 都有一个解( z ) = 。( m ，) ，该解只有k 个局部极大值点 q ，q 夤，且当_ 0 时，l p ( 饼，q 女) 。( 。m a x 弧) c a i p ( q l ，q 耳) ，这里 2 = ( 一，。) ，( 瞒，q 夤) 九进一步地，我们有 地( z ) 。e x p ( 一型塑譬螋) ， ( 2 8 ) 这里皿b 为两个正规 注2 2 2 事实上，可以证明妒( p l ，尸k ) 在a 中的极大值等于1 k 反之也确定 了k 个尖峰点的位置 注2 2 3 ( $ ) 的k 个极大值点可以位于单位球的任意一个对称轴上 对本章接下来的内容将做如下安排：一些符号，准备工作及有用的估计将在 2 3 中介绍2 4 中将研究一个线性问题，它是应用l i a p u n o v s c h m i d tr e d u c t i o n 过 程的第一步接下来在第2 5 中我们利用l i a p u n o v - s c h m i d tr e d u c t i o n 方法将所要 研究的问题约化成一个有限维的问题2 6 包含一个极大化问题，从而确定k 个尖 蜂点的位置最后，在2 7 中，我们将证明极大化问题的解实际上给出了问题( 2 1 ) 的解，并且该解满足定理2 2 1 的所有性质 2 3 有用的分析 本节中，我们将介绍一些符号，并给出关于近似解的一些分析 1 7 2 3 有用的分析 第二章内部峰点位于对称轴上的集中勰 l i m 。岫叫讣肛w 2 嘞训l i m 。篓 r i d 器一1 ( 2 9 ) 一l i _ l 驯， ) = ；厶( 阳1 2 + w 2 ) 一m f ( ”) fa u - - u + ，( 。) ：o m 矾 1 筹= 。 御 b i 。= b 舻 0 使得对于所有的茹o b l ， 有 扛一只) 2c o 0 ， 其中是。a 历的单位外法向则由引理2 3 1 和引理2 3 2 ，在吼上有 警一删止( 一；) 掣 o vn 1 ， i 却吕( z ) 2 一；”苔厂 = ；如c + 。( ) ) 气三群 = - ( 1 + 0 ) 警 从而由比较原理，存在某个，】0 0 。使得对于足够小的 一( 1 + ，7 0 ) 妒易忱。p - ( 1 一如) l p d p ， 并且由b 1 关于点p 是凸的这一事实。有知 0 2 1 _ 2 3 有用的分析第二章 内部峰点位于对称轴上的集中解 由引理2 3 1 和引理2 3 2 ，我们有 识p ( p ) = 一e1 0 9 ( 一，p ( p ) ) 一2 d ( 只8 8 1 ) 记 k ，p ( 们= 函1 两帅( c y + p ) ，耖岛，p 则k ，尸( o ) = 1 ，k p ( ) 0 ，并且成立以下结果 引理2 3 3 对于任意序列靠一0 ，都存在一个子列e 斛一o 使得k 。，在r 的每 个紧子集上都一致趋于矿，其中矿是方程 瞄。： s ， s u pe - ( 1 帕) k q v , “p ( z ) 一矿l _ o z e b t “，p 篇= 峨p 亿切 粉嘶) 硒， ( 2 2 0 ) 2 3 有甩的分析第二章 内部峰点位于对称轴上的集中解 我们先假设( 2 2 0 ) 成立，则当z b ( i 一5 ) d ( p , s b o ( p ) 时，有 蝶d ，p ( 。) 桶 从而对于z b ( i 一6 ) a ( y , o m l ) ( p ) 及e 0 ， 在勋处我们有 c 1 1 1 2 2 ( v 埸v x 。k e ( a x - - 观察到 v 自舀v x l i v 妒p a f v x l i = x i v + , 易1 2 j v x l l 2 = 、( 1 + 铿) p ) l v x d 2 屈辱 g 川j 丽d ( p o b l ) c o + 矗) d ( p o b l ) s 叫d ( p o b l ) + c 2 矗d ( p a b l ) 2 4 2 3 - h - m 的分析 第二章内部蜂点位于对称轴上的集中解 同时有l x l 一2 竖芋j sc d 2 ( p , a b l ) 成立从而，由( 2 柳我们可知在知处有 a ( c e d 2 ( p , a b l ) ) 矗+ ( c d ( p , o b l ) ) + ( c s l d ( p , o b l ) ) f ( c d ( p , a b ) ) 兀+ ( c e d ( p a b l ) ) 因此，如果取e 0 证明首先证明，y 0 设r 为一个固定的正常数，面为方程 曲叫w _ 0 且 0 i n r ”， 【 ( o ) = m a x r r 埘( 。) 且加( z ) _ 0 嬲- + 的唯一解，则有 ，( ) e m = ( 铆一a w ) , a ( e 一“) = l ，( 挈”一矿o w “) ：一竺孕l ，。飞一( 丑) l f 。咄。r o b r ( o ) “、厶且r ( o ) 。 2 3 有用的分析 第二章内部峰点位于对称轴上的集中解 类似地，我们得 l 栉n = 一警厶钟，e - y y - - , d ( r ) f o b 删e 一 亿z s ， 由( 2 9 ) 式知，存在常数0 0 使得 舰器姐舰器观 所以，存在某个比较大的兄使得 埘( r ) 鲁面( r ) ，一埘( r ) 一害面( r ) ( 2 2 9 ) 由( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) 及( 2 2 9 ) ，我们得对于某个较大的r 有 ，、伽)e-yljbr(o萼j ，b e ( o ) 舻e 呻1 ， ) 这里我们用到了 e - v , y 1 - 里2j r , v 面p e ，1 。j r 下面证明等式成立 由( 2 9 ) 我们有：当l g z i 0 ，i = 1 ，2 ，1 只一恳i 2 6 0 再由引 理2 3 3 及类似【4 8 】中引理5 1 的证明，我们有 e 2 i v p b , ，幻1 2 + i 魄，加1 2 d 毋j b t ，( ”)