（应用数学专业论文）多圆柱上的bloch空间上的加权复合算子.pdf

中文摘要 加权复合算子是一类重要的算子，其可以看成是点乘子和复合算子的推。 而在不同的函数空间中，算子的研究的方法也是很不相同的。针对同样的问题， 不同的作者可以用很多不同的方法加以解决。 设u ”是n 维复空间中的单位多圆柱，若( z ) 是矿到自身的一个全纯映射， 帕) 删一个全纯溅j a 满, e s 奢掣i 蒜一o 雌得舭出有k 羔, l = l l l 掣l 靠i 拆i “。 o o t 1 竹、o ， 紧的充要条件：，有界，并且v 占 o ，3 r 0 当z u ”，d i s t ( ( z ) ，o u ”) 0 ，f o rv z u ”s u c h t h a t 加圳l 掣i 黼f 。 4 i s c o m p a c t i fa n do n l y i f ：，i s b o u n d e d ，f o rv s o ，b r o 加| | 掣i 焉 o ，= 1 ，纷称 e ( a ，r ) = ( 戤，一，焱) ：| 习一唧| 0 势半强耱蘧是撂： 露( 。，p ) = ( 现，- ，如) ：l 一q | 2 矿 j 嚣l 待别，当a = 0 ，p 一1 时，称它为单位球，记为最，即 n 玩一 ( 句，) ：蚓2 1 j 糟l 当n 一1 时，它也是单位圆盘 u ”稀玩都是单健医盘农c - 串翡推广僵它锅不是全绒等价酶嚣忿泸稀 臻上的函数论有很大的区别 天肄大学疆士论文 4 搀t 季 逡垒纯丞数戆摄念，我我毙了鳃多重级数。绘定 笈羧嚣令摇撂懿数麓 蛳，称乏蒜。l 吩，k 为= 重级数，数，= e 圣1 2 ：1 ，k 称为它的部分和如果 l i m 。一s 存繇，就说= 重缀数牧教，s 是它静和蔼游样静方法定义觳 多重级数收敛的概念。 。m ( g n 1 ) “1 ( 一) “( + ) 毡i ，嘶 = o 称为n 重幂级数 我们在蕈笈交交羧沦孛胃淡霜拇器一黎受条释来翔定霹数是否为解析霹数 雨在多变量的情形下，w i e r s t r a s s 采用幂级数为工具慰义解析】函数为可以展为鞯级 数的蛹数故可得下酹的定义： 为德亿记号，我靛采曩下嚣戆习蠼记法慰予有拶数组a 一( a ；，) ，葵孛 都是非负整数，记 n f = 删1 + + ，a ! = 。1 1 ! ，z 。= 名口1 篇“ 这样耀级数( $ ) 就可筒记为麓 定义；设q 是伊申豹域，：q c 是定义程q 上静令复德蘧数，媳果 对每一点n 毫n ，存磁多圆械p ( 。，p ) c q 和鞯级数e 。( z n ) n ，使得 ，( 。) = c a ( # 一n ) 4 口 在p ( a ，p ) 中成立，则称f 为q 中的垒纯函数我们雨z ( a ) 诡q 上全纯函数所成 的集 设x 和y 为b a n a c l l 空间，r ：x y 为线性算子，如聚存在正常数c ，使 褥对一凌芏x 有 i i t = i i c l i 茹i i 天津大学硕士论文 5 则称t 为x 到y 中的有界线性算子若记 i i t i l = s 婶 l i t x l i ：恻i 1 = s u p l i t x l i ：恻i = 1 ) 则称l i t i i 为算子t 的范数 紧算子定义t 设x 和y 是赋范空间，t ：x y 是线性算子若对于每一个 x 的有界子集m ，t ( m ) 是y 中的列紧集，则t 称为紧线性算子，或称为全连续 算子，筒称为紧算予 定理：设是赋范空间x 到b a n a c h 空间y 的一列紧算子若r 一致收敛 于t ( 即l i t 一t | | 一o ) ，则t 也是紧算子 天津大学硕士论文 第二节函数空间及算子的研究 先简单介绍几个单变擞函数空间以增强对函数空间的认识： 我们鑫帮若，h ( d ) 刚有，( z ) = 嚣o a j z j 、 l h a r d y 空越 灯一( d ) 。 ，h i d ) ：l i f l l ，：s t t p o r in m 妒磊d 9 o 。 榜别当p = 2 时等价手 2 b e r g m u n 空阅 。00 日2 ( d ) = f 一a j z ： 1 2 。 j = oj = 0 掣( 拶) = 歹譬p ) ：l i f t ! ，一厶掇矧，塑警 。 特型避p = 2 时等俊予 其范数定义为 a 2 ) _ ，一a j z 子地上 。 鲁；j 十1 口= ，日：厶叭z ) 2 下d a ( z ) 。) i l i l 刍= l f ( o ) 1 2 + 加f 2 掣 特别当p = 2 时等价子 移= ，= 啄：e ( 5 + 1 ) t g 2 一1 则日 得f 面两个空间： 4 加权b e r g m a n 空间 缘。) = 胙h ( d ) 2 = 厶幽| 2 ( 1 却n 。掣 。) 5 加权d i r i c h l e t 空间 口。= ，打( d ) ：i l f l j 2 = ，( o ) 1 2 十厶 ，( 矧2 ( 1 一i z 一。掣 o 。 对于多变最的情况，对多圆柱和单位球上的空闻分别加以定义( 其中冉( z ) = ，( m ) ) ： 6 h a r d y 空间( 多圆柱) 日9 ( u “) = ，h ( u “) ： 刘9 s 誓。c ，c t 正咿| | 9 d a 。 。 其中( t n ( a u “) = 1 7 h a r d y 空间( 单位球) 日”( 风) = ，日( & ) ：m 尸= s 印。t ，c ，z 凰 引9 矗 。 其中矿。( a ( 玩) ) = 1 8b e i g r o a n 空闻( 单位球) 4 ”= ，日( 玩) ：孙。厶 卯d 其中l , r 。( 风) = l 在经典的h a r d y 空间上的复合算子的研究涉及算子理论与解析函数中许多漂 亮的经典结果之闻的联系。它使得许多古老的阉题有了新意。复合算子是泛函分析 中一类很有趣的具体线性算子，这类算子的研究已取得较系统拭目以待理论成果。 复合算子的有界性，本质上是著名的l i t t l e w o o d 从属原理；复合算子的进一步性质 天津大学硕士论文8 的研究，如紧性自然她与许多经典的硝数论绺皋发生联系。如：实际上为s c h w a r z 弓| 理推广的n e v a n l i n n a 计数蛹数的一些结果。 京复含棼予魏舂努洼戆嫒宠中，l i g l e w o o d 驮嚣定理起了关键佟薅。l i t t l e - w o o d 胝理最早见于l i t t l e w o o d 的文章f l t w 2 5 。实际上他给出了更为一般的络论。 l i l d e w o o d 诞锾了：对d 的解孝厅鸯映辩妒( o ) = 0 及任意0 p 。，0 妄r - i 上，c 0 为繁算子豹充要条 孛筵妒无有限露露数。 缀过研究，s h a p i r o 等发现，要使得口2 ( d ) 上的笈合算子。成为紧算予的。 天津大学砸士论文9 妒靠避o d 的遮度不能太快，接触o d 的点不能太多，为把这关于g 的紧性的 纛观原理描述清楚，s h a p i r o 终予找到了一秽工其，即绝引用的n e v a n l i n n a 计数爨 数) ，他在【s h 0 8 7 a 中利用 0 ) 给出了盯2 ( d ) 上的复合算子c 0 的本性范 数公式 慨幢一，i ms u 即一等总 从而证得。为何2 ( d ) 上紧算子的充要条件为： 咖。一旦- l o g 堕p 。l 一。 绽得表 萎( 乇綮钕特征的问题得弼较为理想的结祭， 单位圆盘d 的h a r d y 空间抖2 ( o ) 上的复合算子的研究已被众多的作爨推广到 b e r g m a n 空间，d i r c h l e t 空间及静种加权的函数h i l b e r t 奄间；单位圆盘d 也被更 一般豹送滚，魏笈平嚣中戆上半平嚣，有爨多连遗区竣，g 8 中黪单位球或毒爨对 称域等所代替，并得到了许多相应的结果。 叠蓊，许多静作者研究了不同解析函数空蔺中复合算子的有券憔和蘩稳：s m i t h 研究了b e r g m a a 空间和h a r d y 空间之闻复合算子的有箨性和紧性。j a r c h o w 和 r i e d l 研究了b l o c h t y p e 空间和h a r d y 空间之间复合算子的有界性和紧性。s m i t h _ 髑z h a o 疆究了b e r g m a n 空阕器h a r d y 空阁，b l o c h 空阕型g 空闰之超匏复会 算子的性质。作为复合算子推广的加权复合算子的研究也引起了许多作者的重视。 单变量静精浇已经有了诧较好静结果，雨对于多交星的稽况，出子不麓单纯酌出颦 变量推广到多变爨的情形，所以在不同的函数空间中加权复合算子的研究也有许多 的差异。本文主要考虑是在多圆楗上b l o c h 空间加权复含算子的有界性和紧性。 天津大学硕士论文1 0 一 第三节b l o c h 空间 设d 是c “中的有界齐次域，d 中的全纯函数的全体记为日( d ) 。称k ( z ，z ) 为口的b e r g m a n 核函数。口中的b e r g m a n 度量也( p ，p ) 定义为： 嘶川= ；，蹇絮掣厩 此h 寸。d ，p = ( p l ，一，灿_ ) c “。 由此，称f h ( d ) 如果满足 f i l e d ) = s u p ：d q ，( 。) c x 2 此时 q 北) ：s 印 学：p c n o ) 爿z 【芦，川 相v f ( 。) = ( 掣，掣) v f ( z ) “= 坠。掣m 则称f 卢( d ) 设u ”是n 维复空间中的单位多圆柱，若咖( 。) 是c p 到自身的一个全纯映射， 垆( z ) 是u “的一个全纯函数，h ( u “) 表示u “上所有的全纯函数的全体。复合算子 ( 0 定义为( q ，) ( z ) = ，( ( z ) ) ，点乘子 定义为( 埘；，) ( z ) = p ( 。) ，( z ) ，而加权 复合算子w 0 ，就定义为( 仰0 ，c f ) ( z ) = l p ( z ) ，( ( z ) ) ，这里z 泸，f h ( u n ) 。 易见加权复合算子可以看成点乘子与复合算子的推广。 对于单位球b 。的核函数为： 酢= 筹f 南 当n = 1 时，就可得到单位圆盘的核函数为 11 丌( 1 一名f ) 2 天津太学硬支沧文 嚣努零位多薅鞋是塞个n 单馕强盏终璇静乘积壤，猁褥多灏挂u “熬棱函数菇 去啄t 丽1 则可得到下面的等价的结果： 若f ( 沪) ，有 s u p k 妻= l l 鼢难l 也国 。 翔称f 芦( 驴) 。定义 l t f t l l f ( 蚓+ 她；驴耋| 簧黔嘞| 2 ) 。b = l “ 剜易溅靼a ( u ”) 在范数| | 妇下是令b a n a c h 空弼 如果d 怒c 中的单位圆盘，m a d i g a n 和m a t h e s o n m m 】证明了g 在( d ) 孛基燕骞雾静势显逐绘t i lt 在多圆串紧充萎条箨 最近，s h i 和l u o s l 】证明了q 在p ( 口) 中总是有界的，并且还给出了瓯在 联p ) 紧的充分条件诧时口是g “审的有界齐次域 本文豹主要结果魏下； 窳理1 ，设庐是刭自身的垒纯映射，妒是的一个金纯函数。且 唧删n 壹 鼬i 揣 刚 0 ，使缮对协渺骞 毫j j 掣i 蒜 g ( 1 ) 患理2 。设妒是列自身的全纯映射，妒熬的一个垒纯函数。且 天津太学疆士论文 呻刈“塞l 鼬j 龋 0 ，当毒汐，d i s t ( 乒( z ) ，毋泸) r 旨 子川。垫垃i ! = 堂 。 k | 妒转警l 揣 s , t = 1 ) 1 1 ”“$ 1 l t o ， 天津大学硕士论文 1 3 第四节一些引理 本文的证明中用到以下几个引理，现一一说明： 引理1 ：若，p ( 扩) 则i f ( z ) 1si f ( o ) l + 驯州口廷，2 卵爿射 证明：因i l fn = i f ( o ) l + s u p ：。 n _ 1i 瑟( 。) l ( 1 一l | 2 ) 0 3 所以 i 差l 雨l l f l l p f ( z ) 一，( o ) i 兰i i ( z l ，施，) 一1 ( o ，砘，) 1 + i i ( o ，砘，一，) 一f ( o ，0 ，一，) i + + l ， 1 2 1 2 0 ，0 ，一，0 ，) 一f ( o ，0 ，一，0 ，o ) i f l l z 叩洲咖怕咖矧扣曲州砌矧 刘啻叼渊 所以 i f ( z 胚i ，( o 新l 啻o g 矧 引理2 ；如果g ( x ) = ( 1 一x 2 ) “l 警，v o 1 ，则l i m 一1 一= 0 并且g ( x ) 在 0 ，1 ) 是有界的 由数学分析的知识易证明z l 一时，极限是0 从而g ( x ) 在【0 , 1 ) 是有界的。 由m o n t e l 定理，再由紧算子的定义很容易证明下面的一个结论 引理3 ：设妒是驴到自身的全纯映射，妒是u “的一个解析函数，w 勺。t 在 卢( u “) 上紧的充要条件是一对卢( 严) 的任意有界序列 ，若a 在u “上内闭一致 收敛于零，则有 l i 吼丘恬一0 ，七一o 。 天津太挚硕士论文 1 4 一 第五节主要结果 足螺l 的证明 毽戈 s u 呦”亳j 甏e 圳揣 刚 $ x 于v z c ，”，k ，l ，脊i 罄( 。) f 高拯转 c 即 f 掣i ( 1 吨门 叩啪沪 同对由予在声( 泸) 空闻申在( o ) 酌点估计是宥箨线性泛函故考 | ，( 垂o ) ) c i l 5 1 1 。 ( 注 纛以下莲爨事爨熙豹c 是一缝瓣鬻数，农不嚣戆滚方其德有霉熬零蓠) 假如( 1 ) 式成立，对于，卢( 泸) 。u n ， 吼俐俐= m ( o ) ) i + s u p 舢。妻l 型笔坳 忡) m ( 0 ) ) | + s u p 制。妻j 笔竽m ( 删1 一时) + s u p z e w 妻 掣删”i ：) 醐，( 。瓣s 疆p 则n | 歹静渊 等掣| i 一时) s u 呦“；塞”笔掣| 圭而躲 墅掣鼹嘞圆 l 妒( o ) ，( 毋( o ) ) + s u p ；口。n ( ，( 庐( o ) ) l + 新f 一妻l = 1z 啪爿粼) f 掣叱一+ g i t f l l 。 天津犬学硬士沧文 1 5 妒( 8 ) ，番) ) | - i - c 2 s u p ：。沙( | ，乒( o ) ) l + i i i i i i 毒姻剖渊) ( 1 制列2 ) a + 岛l l f l l 一 ( q + 岛+ 晚) 8 州4 g 吲b 教w ；，t 在z ( u ”) 有爨。 1 殿过来，若吼，# 在俄 ) 有界的。则对任意的。u ”，z ( u ”) i i d f l l c t l f l l 对固定的1 ( 1 i 竖n ) ，可树造p ( ) 中的凿数厶：u c ， 1 如下： 蒋u 0 ，敝 胁) 和一器打1 奶 满足凡( o ) = 0 ，因为u 0 ，笋= ( 1 辞嚣) _ ，磐= o ( 七z ) 翁证| | 矗f | p ( u n ) = 1 ，弼 ，矗p ( u n ) 冬f l 丘i p 口n ) = c 酃 妻k = l 掣盼埘净蹦i a 喊t ( z ) 踯汹耋错| ( 1 制j 9 w 勺，女南8 冬c l l a 恢u n ) c 若森g ) 0 ，令搿= 森f ：) ，蠹赘瑟豹涎疆毒絮 耋| 掣黼渊搬l 制m 可得 i 善n 北可赫掣”j g + 塞l 掣1 制i 2 ) 2 g 天洙太学褒蠹逡文 1 6 获囊 ：和”掣”南l 0 ，0 7 1 1 ，当d i s t ( 垂( z ) ，o u 8 ) 1 时，l 办( 毋( o ) ) i r ，j 1 时，脊： i i w + 蒯矧鲫删。) ) | + 盹e 沙k 妻= l | 掣盼喇l 2 ) 秽蓟渤|i-tlslls甄斟捌)to口e(z)吨tsupz - i - ；- i l s i l o v 2 t z ) 1 1 = 1 2 ) 秽f | 秀( e ) | p 蚴# 罢黑)一 强。) t = l l ￥口l o ，iu 七 + s u p z e u - 静圳掣l 南躲t l f l l ， 洲( o ) 枷( 0 ) ) | + ：圣 ；l l f l t 炯剖粼( 1 啪| 2 ) “+ i l f l l e l l f l l t 一曼1 妒( o ) 如 ( o ) ) i + ! p z p p 二半；今型( 1 一l 幽( z ) 1 2 ) n + 8 。专= j一l ￥q 、4 ， c s ( 4 ) 设e = 泸：d i s t ( w ，o u n ) r l ，厕e 是u ”的一个綮子集，由i i ) 斌知 秀，只在e 上收敛予零，所以毒在飓 0 ，当j 2 对，对弩幻e ，有 天津大学硬支潦文1 8 l 岛p ) | ，| 彰( w l # 慨蒯矧姻胤删峨泖科t f a ( o ) ) | | 掣 ( 1 也一 + s u 舯：挚j l 掣l 南黥掣( ，制圳2 )l ；担l“壤i 一 纰t o ，l 。日 洲( 0 ) 删( 0 ) ) 岷沙砉姒似川( 1 州如炉) 。 + s 峨e 孙毒f 掣l 0 对 任意的j = 1 ，2 ，有 蠢掣i 蒜兰翻 ( 6 ) 由定瑷1 知条件( 1 ) 成立，所以澍任意的1 曼南，；n 存在z j 的一个子序列仍记为 使徉 蝴| | 警i 南躲 收敛予某有限数 盎( 6 ) 式不失一般性可假定对某个k 有 删| | 警l 南旆独，阮，s 铀 趣曩( 式褪逡彦裂秀灌是： 天游太学蘸士论文 l j ：f j 程娥秽8 ；上露赛。 i i ) ：如在u ”上内闭一致收效于零 瓣) ：l 磁自4 是8 0 耋j 一时。 出等i 理3 蜘此彤，一曲紧性矛鹰教溅嬲了( 2 ) 式媳必要的 令= 妒) 一( 讲，) ，因为当j o 。时妒( ) 一o u n ，所以对某个 s f l gs 墨霹) ，奎j 一嚣孛磁l l ，不失毅磐除s = 1 设 讲i = 蠢8 娜，鸯= 撂喇盈黝一。峨一1 再令 f f l z ) 糍歹= l 2 ， 藤霄 绷闺，掣刊2 k n ) s 等= 一童1 - 嘎z l 垂站始 ”j 警| ( 1 刊2 ) 两1 + 南矧( 1 啪| ) 4 即 蝴俐娟l + s 嗡e 驴塞 掣盼吨办硅 嚣羰秀烈泸) 设d 是泸的任意紧子熊，假定对一切比d ，七 e t - c i 锶糕) ( 1 啪鳓尹 定臻2 得证 天津大学硕士论文 2 1 后记 由于多圆柱与球不是全纯等价的故在其上的算子的研究也有很大的不同在单 位球上的p - b l o c h 空间中定义其范数为 i fh ，= i ，( 0 ) l + s u p ；e b 。( 1 一l z l 2 ) 9 | v ，( z ) i 。 对于单位球上的p - b l o c h 和q - b l o c h 间的复合算子周泽华教授已经给出了研究 和证明，见参考文献【f 】 在单位球上我们现在也想同在多圆柱的情形类似给出算子有界和紧的充分必要 条件而对于其上的加权复合算子的研究还有待于进一步的研究和证明 天渗穴学疆女论文 2 2 一w _ _ h _ _ w m _ _ 一 参考文献 【m m 】k m a d i g a x la n da 。m a t h e s o n ，c o m p a c tc o m p o s i t i o no p e r a t o r s o nt h e b t o c hs p a c e ，0 蕊m & a m e r 。m a t h 。s o c 3 4 7 ( 1 9 9 5 ) ，2 6 7 9 - 2 6 8 7 + i t l lr 。t i m o n e y , b l o c hf u n c t i o n i ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b t e s ，l ，b u u l o n d o n m a t h 。s o e l 2 ( 1 9 s 0 ) ，2 4 1 - 2 6 7 。 l t 2 l 我t i m o n e y , b l o c hf u n c t i o n i ns e v e r a lc o m p l e x v a r i a b l e ，i i ，j 。r e i n ea n g e w m a t h 3 1 9 ( 1 9 8 0 j 2 2 醌ij ，h s h ia n dl 。l u o ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r so nt h eb l o c hs p a c eo fs e v e r a l c o m p l e x v a r i a b l e + a e t am a t h s i n i c a ( n 。s ) 1 6 ( 2 0 0 0 ) ，8 5 9 8 ，f a z 。h z h o ua n dj 。珏s h i ，c o m p o s i t i o n o p e r a t o r s o nt h eb l o c hs p a c ei np o l y d i s c s ，c o m p l e xv a r i a b l e s ，2 0 0 1 ，4 6 ( i ) 7 3 8 8 l 瑗z ，疆z h o u 雒畦3 ，h s 酝，c o m p o s i t i o no p e r a t o r so rt h eb l o c b - s p a c e 殛p o 争 d i s c s ，s c i e n c ei nc h i n a ( s e r i e sa ) j 4 4 ( 2 0 0 1 ) 2 8 6 2 9 1 。 c z ，珏。z h o u ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r s o nt h e l i p s c h i t zs p a c e s i np o l y d i s c s 。s c i e n c e i nc h i n a ，3 2 ( 2 0 0 2 ) a s s - a s 9 f d z ，h z h o u ，c o m p a c t n e s s o f c d o m p o s i t i o no p e r a t o r s o nt h eb l o c h s p a c e i nc l a s s i c a lb o u n d e d s y m m e t r i cd o m a i n s ，t h em i c h i g a n m a t h e m a t i c a lj o u r n a l 5 0 ( 2 0 0 2 ) 3 s l 一 4 0 5 溺z h 。z h o u ，t h e e s s e n t i a ln o r mo fa c o m p o s i t i o no p e r a t o r o nt h eb l o c hs p a c e i np o l y d | i s c s ，数学年列( 0 1 0 5 0 2 e ) 潮z h 。z h o u ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r sb e t w e e np - b l o c bs p a c ea n dq - b l o c hs p a c e i nt h eu n i tb a l l ，p r o g r e s si nn 毪毫烈s c i e n c e c o l ，1 3 n o 3 ，m a r c h ，2 0 0 3 g l 褥泽肇，艇济黼：多嘲柱上b l o c h 空闻中的簸合算子的本性橼数学年鞭 2 4 a ：2 ( 2 0 0 3 ，1 9 9 2 0 8 ) 天津大学疆圭论文 h l 建泽肇。史凌惨。多嚣棱上懿b 1 0 c h 空耀上薛紧复会算子，孛嚣辩学a ) ， 3 1 ( 2 0 0 1 ) ，i i i - 1 1 6 f l t w 2 5 】j e l i t t t e w o o d o ni n e q u a l i t i e si nt h et h e o d o f f u n c t i o n s p r o c 。l o n d o n m a t h 。s o c ( 2 ) 2 3 ( 1 9 2 5 ) ，4 8 1 5 1 9 【s h o s v a l h s h a p i r o ，t h ee s s e n t i a ln o r mo fac o m p o s k i o no p e r a t o ra n n a l s m a t h ，1 2 5 ( 1 9 8 7 ) ，3 7 5 4 0 4 c w c c c o w e na n db d m a c c l u e r ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r so ns p a c e so fa n a - 骁i cf u n c t i o n s ，c r cp r e s s ，b o c ar a t o n ，f l ，t 9 9 5 【m m i 】k m a d i g a na n da m a t h e s o n ，c o m p a c tc o m p o s i t i o no p e r a t o r s0 1 1t h e b l o c hs p a c e ，t r a n s a m e r m a t h s o c 1 1 9 ( 1 9 9 3 ) ：4 6 5 - 4 7 3 j s l j s h a p i r o ，c o m p a c tc o m p o s i t i o no p e r a t o r so l ls p a c e so fb o u n d a r yr e g u l a r h o i o m o r p h i cf u n c t i o n s ，p r o e a m e r m a t h s o c 1 0 0 ( 1 9 8 7 ) ：4 9 - 5 7 【p j a p s b o u r d o n ，j 。a c i m a , a n da l m a t h e s o n ，c o m p a c tc o m p o s i t i o no p e r a - t o r s o nb m o a ，t r a n s a m e r m a t h s o c 3 5 1 ( 1 9 9 9 ) 2 1 8 3 - 2 1 9 6 j x j x i a o ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r sa s s o c i a t e dw i t hb l o c h - t y p es p a c e s ，c o m p l e x v a r i a b l e s ，4 6 ( 2 0 0 1 ) ：1 0 9 1 2 1 p j p g a u t h i e ra n dj x i a o ，b l o c h * t y p em a p s ：e x i s t e n c e a n db e y o n d ，c o m p l e x v a r i a b l e s ，4 7 ( 2 0 0 2 ) ：6 6 6 7 8 f m a m d c o n t r e r a sa n da g ，h e r n a n d e z - d i a z ，w e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r s i n w e i g h t e d b a n a c hs p a c e s o f a n a n y t i c f u n c t i o n s ，j a u s t r a l m a t h s o x ( s e r i e r a ) 6 9 ( 2 0 0 0 ) 4 1 4 6 a m a l f o n s om o n t e s r o d r i g u e z ，w e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r so nw e i g h t e d b a n n a c hs p a c e so fa n a l y t i cf u n c t i o n s ，j l o n d o nm a t h + s o c ( 2 ) 6 1 ( 2 0 0 0 ) 8 7 2 - 8 8 4 d d i d d c l a h a n e ，b o u n d e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r so nh o l o m o r p h i cl i p s c h i t za n d 天津大学硕士论文 b l o c hs p a c e