（光学专业论文）部分相干光通过球差透镜的聚焦特性.pdf

摘要利用光学系统聚焦激光光束可使得激光光束的功率密度更高、光斑半径更小，而被广泛应用于材料加工、光信息存储和处理、惯性约束聚变等领域内。目前，完全相干光束的传输已经得到了广泛的研究。但研究发现，完全相干光在实际中并不存在，所有的激光光束都属于部分相干光或非相干光。并且，部分相干光在某些实际应用中比完全相干光更具优越性。例如，在大气中传输时，部分相干光所受大气扰动的影响要比完全相干光小得多；并且部分相干光束具有光强比较均匀，对散斑灵敏度低等优点而被应用于激光核聚变等领域。因此，j对部分相干光的研究成为了当今激光领域内最热门的课题之一。本文研究相干度场函数为零阶贝塞耳函数的高斯光束和空心光束入射球差透镜后的聚焦特性及焦开关现象。主要内容包括：1 、从广义惠更斯一菲涅耳衍射积分方程( c o l l i n s 公式) 出发，推导了相干度场函数为零阶贝塞耳函数的部分相干高斯光束和部分相干空心光束通过球差透镜后的传输公式，分析了该系统中光束的聚焦光场分布和焦移。2 、根据部分相干高斯光束通过球差透镜后的光场分布解析式，改变部分相干光的光谱相干度或透镜球差系数可以得到平顶光束和局域空心光束，并且实际聚焦面的位置分别与光谱相干度，球差系数大小有关。3 、研究了部分相干空心光束入射球差透镜后的聚焦特性，详细分析了透镜球差系数、空间相干长度、菲涅尔数对焦移和焦开关的影响。焦移的大小与球差系数的绝对值和相干度成正比，而且在无光阑的光学系统中，焦开关与光束的菲涅耳数、透镜的球差系数、空间相干长度有关。关键词：部分相干光；球差；焦移；焦开关；零阶贝塞耳函数a b s t r a c ts i n c et h el a s e rb e a mf o c u s i n gb ya no p t i c a ls y s t e mi sau s e f u lw a yf o ra c h i e v i n gh i g h e rp o w e rd e n s i t ya n ds m a l l e rb e a mw i d t h ，i ti sa p p l i e di nm a n ya r e a ss u c ha sm a t e r i a lp r o c e s s i n g , t h es t o r a g ea n dd i s p o s a lo fl i g h ti n f o r m a t i o n ，i c fe t c a tp r e s e n t ，t h ep r o p a g a t i o no ft h ef u l l yc o h e r e n tb e a m sh a sb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l y ,b u tt h er e s u l t ss h o wt h a tt h ef u l l yc o h e r e n tb e a m sa r ei n e x i s t e n ti np r a c t i c e ，a n da l lb e a m sa r ea t t r i b u t e dt ot h ep a r t i a l l yc o h e r e n tb e a m so rn o n - c o h e r e n tb e a m s f u r t h e r m o r e ，i n $ o m ep r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，t h ep a r t i a l l yc o h e r e n tb e a m sh a v eb e e nd e m o n s t r a t e dt op o s s e s sa d v a n t a g e so v e rt h ef u l l yc o h e r e n tb e a m s i th a sb e e ns h o w nt h a tt h ep a r t i a l l yc o h e r e n tb e a m sa r el e s sa f f e c t e db yt h ea t m o s p h e r i ct u r b u l e n c et h a nt h ef u l l yc o h e r e n to n e s m o r e o v e r , i th a sb e e na p p l i e di nl a s e rf u s i o nf o ri t sa d v a n t a g e s ，s u c ha sl o ws e n s i t i v i t yt os p e c k l ea n ds m o o t h e rf o c u s e ds p o te t c t h e r e f o r e ，t h er e s e a r c ho nt h ep a r t i a l l yc o h e r e n tb e a m si so n eo ft h eh o t t e s tt o p i c si nt h ef i e l do fl a s e rb e a m s t h ep r e s e n tt h e s i si sd e v o t e dt os t u d y i n gf o c u s e di n t e n s i t yd i s t r i b u t i o na n df o c a ls w i t c hp h e n o m e n o ni ng a u s s i a nb e a m sa n dh o l l o wb e a m s ，w h o s es p a t i a ld e g r e eo fc o h e r e n c ei sb e s s e lf u n c t i o no fz e r oo r d e r , p a s s i n gt h r o u g hal e n sw i t hs p h e r i c a la b e r r a t i o n t h em a i nr e s u l t sa c h i e v e di nt h i st h e s i sc a l lb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ：1 b a s e do nt h ee x t e n s i v eh u y g e n s - - f r e s n e lp r i n c i p l e ( c o l l i n sf o r m u l a ) ，t h eo n a x i sb e a mi n t e n s i t yd i s t r i b u t i o na n df o c a ls h i f to ft h ep a r t i a l l yc o h e r e n th o l l o wb e a m sa n dt h ep a r t i a l l yc o h e r e n tg a u s s i a nb e a m sw h o s es p a t i a ld e g r e eo fc o h e r e n c ei sb e s s e lf u n c t i o no fz e r oo r d e rp r o p a g a t i n gt h r o u g hal e n sw i t hs p h e r i c a la b e r r a t i o nh a v eb e e ni n v e s t i g a t e d 2 b a s e do nt h ep r o p a g a t i o ne x p r e s s i o no fp a r t i a l l yc o h e r e n tg a u s s i a nb e a m sp a s s i n gt h r o u g has p h e r i c a la b e r r a t e dl e n s ，i ti ss h o w nt h a tf l a t t o p p e db e a m so ri i ib o t t l eb e a m sc a nb ea c q u i r e db yc h a n g i n gs p e c t r a ld e g r e eo fc o h e r e n c eo rs p h e r i c a la b e r r a t i o ne f f i c i e n t t h er e a lf o c a lp l a n ei sr e l a t e dt ot h es p h e r i c a la b e r r a t i o nc o e f f i c i e n ta n dt h es p e c t r a lc o h e r e n td e g r e e 3 w ei n v e s t i g a t et h ef o c u s i n gp r o p e r t i e so fp a r t i a l l yc o h e r e n th o l l o wb e a m sp a s s i n gt h r o u g hal e n sw i t hs p h e r i c a la b e r r a t i o n ，a n dt h ei n f l u e n c eo fs p h e r i c a la b e r r a t i o nc o e f f i c i e n t ，s p a t i a lc o h e r e n tl e n g t h ，a n df r e s n e ln u m b e ro nt h ef o c a ls h i f ta n df o c a ls w i t c h t h ef o c a ls h i f ti sp r o p o r t i o n a lt ot h ea b s o l u t ev a l u eo fs p h e r i c a la b e r r a t i o nc o e f f i c i e n ta n dt h es p e c t r a ld e g r e eo fc o h e r e n c e o t h e r w i s e ，t h ef o c a ls w i t c hi sr e l a t e dt ot h ef r e s n e ln u m b e r , s p h e r i c a la b e r r a t i o nc o e f f i c i e n ta n ds p a t i a lc o h e r e n tl e n g t hi nt h en o n d i a p h r a g mo p t i c a ls y s t e m k e yw o r d s ：p a r t i a l l yc o h e r e n tb e a m ；s p h e r i c a la b e r r a t i o n ；f o c a ls h i f t ；f o c a ls w i t c h ；b e s s e lf u n c t i o no fz e r oo r d e ri v独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名：夕易霞签字日期：谚年月够日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书)学位论文作者签名：老弓殳签字日期：扩莎年f 月西日江七了月嘞部分相干光通过球差透镜的聚焦特性1 1 研究工作的背景1 引言激光器的发明使我们摆脱了过去缺乏高强度、高聚焦光源的束缚，推动了激光科学技术相关基础和应用学科研究的进展。其中，以研究光束相干特性的传输、变换和控制为主题的相干光学成为了热点之一，在理论和应用均取得了迅猛发展。过去通常认为激光的基本特性是方向性好、单色性好、相干性高和高亮度，并把激光的方向性好( 发散角小于1 0 4 t a d ) 归结于激光的完全相干性。然而，在1 9 7 8 年美国r o c h e s t e r 大学w o l f 教授却否定了这一结论共识【1 】，认为：( 1 ) 相干性不同的光源可产生相同的远场光强分布；( 2 ) 要光束产生象激光一样的方向性，完全空间相干并非必要。之后，有大量的研究证明了某些部分空间相干光源也可以产生像激光一样方向性极好的光束【2 。1 3 1 。另外，在实际情况中不可存在完全相干激光束，并且在某些实际应用中，部分相干光比完全相干光更具优越性。例如，部分相干光在大气中传输时所受大气骚动的影响要比完全相干光小得多【1 8 。2 0 】，并且部分相干光束具有光强比较均匀，对散斑低灵敏等优点而被应用于激光核聚变等领域【2 1 ，2 2 1 。因此，对部分相干光束的研究是非常有实际意义的【1 4 1 7 1 。众所周知，任何透镜都有像差，而像差能使波前发生畸变，所以研究用光束直接照射球差透镜具有实际意义。除了像差能导致波前产生畸变，还有一个重要原因是因为高功率激光所产生的热效应和高功率激光通过吸收介质时的热晕均会产生球差，基于以上原因使得我们在进行理论模拟时候更多的讨论具有实际意义的球差透镜，而不是无像差的理想光学系统。1 9 9 9 年p u 研究了利用球差透镜可以获得超衍射极限聚焦【2 3 1 。2 0 0 1 年j i 和l 旺研究了超高斯光束通过球差透镜后的光强分布，并以m 2 因子和桶中功率f e r n ) 进行光束质量评价【2 4 1 。2 0 0 6 年h u 和p u 研究了当完全相干光通过球差透镜后的光谱变化【2 5 1 。随着激光技术的发展深入，激光的应用领域也随之扩展。近年来非常热门的光束整形将激光的研究推向了一个高潮。如何把光强分布为高斯分布的激光光束变成局域空心光束或平顶光束成为了一个大家都很关心的问题。由于局域空心光束是一种在聚焦区域出现的中心光强较小，四周被光强较高的区域所包围一种特殊光束，而这种光束在原子引导、原子囚禁，以及光学镊子等方面有着广泛的应用，所以目前在实验上得到了多种局域空心光束的产生方法。例如，o z 丽等【2 6 1硕士学位论文采用两个环的圆形万相位片产生了一束局域空心光束，并实现了冷原子的单束光学偶极子囚禁。稍后，o z 耐等【z7 】采用二元相位全息片产生了一束暗区体积较大的局域空心光束，并实现了冷原子的大体积光学囚禁。c a c c i a p u o t i 等【2 8 】采用几何光束方法产生了一束纵横比为1 4 的局域空心光束。h e r m a n 等【2 9 】采用一球差透镜和投影透镜构成的成像系统产生了一束纵横比较小的局域空心光束。而对于平项光束，由于其具有光强空间分布均匀的特性，可以广泛应用到激光材料a n t 、惯性约束聚变、激光核聚变、激光热处理、光的数字化处理等实际应用中。在理论上，p a r e n t 等人较早用超高斯光束【3 们、g o r i e 利用平顶高斯光束模型【3 i 】来模拟平顶光束的特征，近年来，研究者的兴趣集中在用光束合成的方法来产生和模拟平顶光束。吕百达等人提出了用偏心高斯光束叠加【3 2 】和厄米一高斯光束合成【3 3 】来模拟平顶光束，t o v a 采用多束高斯光束叠加【3 4 j 来得到平顶光束，b o r g h i 提出利用复宗量拉盖尔一高斯光束叠加【3 5 】等模拟平项光束。而在实验上，l 和k l i n g s p o m 等人提出用吸收滤光片得到平顶光束【3 引，之后，人们还采用微透镜列阵和衍射光学等方法得到平顶光束1 3 争4 4 1 。本文在理论上给出了一种比较方便的方法得到局域空心光束和平顶光束，其内容请见第三章总的来看，无论是局域空心光束还是平顶光束，归根到底，都可以利用入射光束经过透镜聚焦后的得到所需的光强分布形式。因此，对激光的聚焦特性的研究成为了激光工作者们的热点话题之一。激光无论是民用还是军用，都要求功率密度更高、光斑更小的光束，而且能准确确定光束焦点的位置以及焦点随光学系统和光束参数的变化规律。二十世纪初，l o m m e l 在惠更斯一菲涅耳( 衍射积分)原理或德拜积分表达式基础上利用l o m m e l 函数计算衍射积分得到了会聚球面波焦点附近的三维光强分布情况【4 5 】，并得出了强度分布关于焦平面是对称的，光束的光强主极大处于几何焦点位置的重要结论。后来，b a c h y n s l d l 4 6 研究球面波通过圆形光阑的衍射时，发现轴上光强极大值点的位置一般与几何光学预示的焦点位置不一致。g o u b a u 4 7 1 ，v a nn i e 4 8 】和k o g e l n i k 4 9 】分析发现在某些情况下高斯光束的实际焦面比传统几何光学给出的焦面更靠近透镜。随后，h o l i l l e s 【5 0 j s t a m n e s 5 1 】，s t a m n e s 和s p j e l k a v i k t 5 2 】研究发现如果会聚光束是受光阑限制的高斯光束或通过圆形光阑的单色光时也存在类似的现象。1 9 8 1 年，w o l f 和y l i 明确提出焦移【5 3 】的概念，认为光束的实际聚焦点与几何聚焦点并不一致。随后，g r e e n e和h a l l 对矢量贝塞耳高斯光束的研究中，得出光束的菲涅耳数、与贝塞耳部分有关的菲涅耳数的减小和角向模式指数的增加使光束焦移( 绝对值) 增大。而对于部分相干光，空间相干度也成为影响焦移的参数，l n 和z h a n g e 驯以及f r i b e r g等人【5 5 】发现空间相干度减小使部分相干光的焦移( 绝对值) 增大。然而，m a r t i n e z和c l i m e n t 在研究会聚球面波通过一特殊的轴向超分辨衍射屏时，发现伴随着焦移的出现，焦点的位置会产生突变，这一现象称为焦开关【铜。作为光束聚焦特性2部分相干光通过球差透镜的聚焦特性中出现的一种新现象，焦开关正被国内外同行们关注着。本文在第四章详细阐述了当部分相干光入射球差透镜后的焦移与焦开关现象。1 2 本论文内容安排1 引言。简要介绍了光束聚焦特性及光束整形的研究目的、意义和研究进展。回顾了国内外在光束传输聚焦及整形方面的研究。2 基础理论介绍了光传输的研究方法以及部分相干光的基本理论和数学一物理模型。3 部分相干高斯光束通过球差透镜的光束整形从理论上研究以零阶贝塞尔函数为相干度场函数的部分相干高斯光束通过球差透镜后在几何焦平面附近光强分布情况。通过调节空间相干度或球差系数可使得在几何焦平面附近产生局域空心光束或平顶光束。并且还详细分析了在出现局域空心光束时，球差系数、相干度和菲涅尔数对空心光束内部的暗斑纵向和横向尺寸大小的影响。4 部分相干空心光束通过球差透镜的焦移与焦开关从理论上研究以零阶贝塞尔函数为相干度场函数的部分相干空心光束通过球差透镜后的聚焦特性，详细分析了球差系数、相干度、菲涅尔数对聚焦特性和焦开关的影响。5 结语详细归纳本论文的重要结论和创新点，并对尚未完成的工作加以补充，为以后的继续研究提供理论基础。3硕士学位论文2 光束传输的基础理论众所周知，基于麦克斯韦( m a x w e l l ) 方程组的经典电磁场理论是光传输变换研究的主要理论基础，在数学上归结为如何求解波动方程或衍射积分方程，在本章中，将详细阐述几种重要的研究激光光束传输的方法。另外，部分相干光的经典理论是以光场的统计特性为基础。在空间一时间域中我们采用互相干函数r ( 岛，p 2 ，f ) ，在空间一频率域中我们采用交叉谱密度函数矿( a ，7 2 ，国) 来描述光场的相干性，其具体内容也将在本章中详细阐述。2 1 光传输的主要研究方法基于麦克斯韦( m a x w e l l ) 方程组的经典电磁场理论是激光传输变换研究的主要理论基础，在数学上归结为如何求解波动方程或衍射积分方程。对于不同的实际情况有不同种方法研究光束的光束传输变换特性，比较常用的有：几何光学方法、矩阵光学方法、波动方程方法、广义衍射积分法、算子光学方法、傅立叶光学方法、哈密顿光学方法以及w i g n e r 分布函数方法。2 1 1 几何光学方法在研究光束传输的多种方法中，以几何光学方法最为直观。当波长兄- - ) 0 时，几何光学近似成立，光的波动性不起主要作用，可用几何光学方法把光看成光线来处理。进一步，若光线的传输方向与光轴夹角秒 3 0 。，使得近轴近似( 亦称傍轴近似)s i n 0 t a n a 幺c o s o l( 2 1 1 )成立，则问题归结为研究近轴光线的传输。几何光学用几何学的方法来研究光线的运动轨迹，以光的直线传输定律，界面反射定律和折射定律三大实验定律为基础。几何光学的基本原理是费马原理。按照这一原理，沿光线真实路径上光程的变分为零，即艿i 刀讲= 0( 2 1 2 )式中以为传输介质折射律，m 为空间路径元。4部分相干光通过球差透镜的聚焦特性从费马原理出发，很容易导出几何光学三大定律。不仅如此，还可得到描述稳态光传输的程函方程( ) 2 = n 2 ，l 为程函( 2 1 3 )和光线方程旦d l ( 力塑d 1 ) 蝴，( 2 1 4 )l，、7其中，p 为从某点到光线上一点的矢量。在近轴近似下d l = d z ( z 为光轴方向) ，式( 2 1 4 ) 简化为罢( 刀訇= 珊仁，光线方程，基于几何光学三大定律的光线追迹方法和透镜几何成像的高斯公式以及牛顿方程等是激光中常用的几何光学方法。2 1 2 矩阵光学方法矩阵光学，即用矩阵代数运算方法来研究光学问题，最初本质上并未超出几何光学的范畴，随着激光器的问世和激光科学技术的发展，矩阵光学方法大大扩展了它的研究范围，使其具有了丰富的内涵【4 5 ，5 7 嘲】，它将激光束通过光学系统的行为用一个变换矩阵( 即a b c d 矩阵，亦称传输矩阵) 来描述，激光束通过光学系统的变换则服从著名的a b c d 定律。由解析几何学知道，任意空间直线的位置和方向一般需要四个独立变量才能完全确定。例如，可选定一个垂直于z 轴的砂平面做参考面，那么空间光线可由它与拶面交点的坐标“力和光线池y 轴的方向余弦( 色，b ) 来完全确定。空间光线经过任意光学系统变换后的位置和方向也可用这四个量来表示。对近轴光线见，只，都很小，选择适当的坐标系统可使这种变换是线性的，于是可用一个4 x 4 的变换矩阵来表示为j ry见g4 。4 。q 。g xy 蟛( 2 1 6 )式( 2 1 6 ) 为用几何光学方法研究空间近轴光线变换的基本方程。矩阵光学中研究的光学系统主要是一阶光学系统，包括自由空间、折射和反射二次曲面、剃度折522 幢丝跏励口既耶助肌办如如硕士学位论文射率介质等。变换矩阵一般为4 4 的，但对于轴对称光学系统，( x ，) 和( y ，嘭)经历的变化相同，只需用一个2 2 矩阵( 称为轴对称光学系统的变换矩阵或a b c d 矩阵) 。m = e 三)仁乃来描述这一变换( 主) = ( 尝三 ( 主( 2 1 8 )即ij = 血+ 曰矿饭：例+ d 奁但 缈可简写为x = m 噼( 2 1 1 0 )式中x = ( 主 ，x = ( 主)j 2 t ，式中( 2 1 8 ) 、( 2 1 9 ) 、( 2 1 1 0 ) 都是近轴光线a b c d 定律的数学表示式。若光线顺次通过变换矩阵为m = 暖甜鸠= ( 乏差叫2 ，的光学系统，利用矩阵乘法规则得到( 主 = ( 三三) ( 主式中( 矧= 睦差盖)仁3 ，简写为m = 鸩毗( 2 1 1 4 )式( 2 8 ) 可简写为x = m 2 叫, x = 旧( 2 1 1 5 )6部分相干光通过球差透镜的聚焦特性柯格里克从高斯光束复参数g11a一2 一r q叫万彬。( 2 1 1 6 )( 式中r ，w 分别为高斯光束波面曲率半径和光束宽度，a 为波长) 与球面波曲率半径r 几何成像公式上的相似性，得出口参数通过变换矩阵为( 2 1 7 ) 光学系统的变换公式，即高斯光束的a b c d 定律吼= 筹( 2 ，乃a b c d 定律是用矩阵方法处理高斯光束传输变换的基本公式，有着丰富的物理内涵。2 1 3 波动方程法光频电磁场的普遍运动规律由麦克斯韦方程组和物质方程描写。在已知边界条件和初始条件下，可利用它们求解光传输的问题，但是，这种方法比较复杂。该种方法常用于研究强激光在大气中、脉冲放大器和等离子体中的传输，也可以用于研究激光在波导和光纤中的传输等问题。2 1 4 广义衍射积分法眈1在数学上，求解波动方程与求解衍射积分相比较，前者相当于建立空间某一点的场与其附近场之间的联系，后者相当于已知空间某一曲面上的场分布，求距该曲面一定距离的某一点或者定曲面上的场分布。广义衍射积分法实质上是衍射积分方法和矩阵光学方法结合的产物，此方法除使用了标量近似外，是比较普遍和严格的理论，它可用于处理光传输中的大部分问题。衍射积分方程理论实际上是采用一定的边界条件，如基尔霍夫边界条件，从波动方程得到标量衍射理论的基本公式，其中包括菲涅耳一基尔霍夫衍射公式、菲涅耳衍射积分、夫琅和费衍射积分和c o l l i n s 公式。经典标量衍射理论中的基本公式是菲涅耳一基尔霍夫衍射积分公式：1 酏协缸一寺i c 。她删型竽凼嘲。叫8 )式中，互( 五，乃) 、易( 屯，儿) 分别为源点和场点处场的复振幅；p 为源点与场点间的距离；( 1 + c o s 0 ) 2 为倾斜因子；p 是s 面上源点处( 五，乃，o ) 的法线与p 的夹硕士学位论文角。当满足菲涅耳近似条件：衍射面与观察面的距离远大于衍射孔径和观察区的线度时，在近轴近似条件下有惠更斯一菲涅耳衍射积分公式：易( 而，耽，z ) = ( - 寺州施) 。置( j c l ，m ，o ) e x p 尝【( j c 2 一五) 2 + 魄一m ) 2 】) 也嘲( 2 1 1 9 )若进一步增大衍射屏与观察屏之间的距离，则满足夫琅和费衍射条件，则得到夫琅和费衍射积分公式：最如，儿力= ( 一。e x p 珐( z + 蔓麦生) 1 。巨& ，m ) e x p 卜善魄五+ 耽m ) 】幽呶( 2 1 2 0 )当衍射面和观察面之间是复杂光学系统时，菲涅耳衍射积分公式不再适用。c o l l i n s 对经典衍射理论进行了有意义的推广，他证明，当衍射面与观察面之间不是自由空间，而是用传输矩阵描述的复杂光学系统时，惠更斯一菲涅耳衍射积分公式可推广为：”，、，e ：( x 2 y 2z ) = ( 一爿啪) 皿。酏舢) 叫嚣1 4 研“) 1 )+ d ( x g + y g ) - 2 ( x l 工2 + y i y 2 ) j j 出l a y l在柱坐标下可改写为：e z ( r z , 够z , z ，= ( 一去) e 坤c 汜，几。巨c ，i 拂吣唧 砉 a q 2 + 研- 2 q r zc o s ( c , 一仍) 】) ，i 砒d 仍( 2 1 2 2 )式( 2 1 2 1 ) ；9 1 ( 2 1 2 2 ) 就是著名的c o l l i n s 公式。公式中出现的a 、b 、c 、d 即为变换矩阵 三三 诸元素。2 1 5 算子光学法这一方法的要点是使用平方相位算子、标度算子、傅立叶变换算子和自由空间传输算子等基本正则算子及其有序乘积来表示光学系统。使用算子表示的优点是可将激光光束通过光学系统的变换和衍射积分等有关的积分运算用简单的矩阵和算子对运算代替，并使公式表示形式和运算过程得以简化，具有较为普遍的意义，但它只能处理无穷大孔径情况。部分相干光通过球差透镜的聚焦特性2 1 6 傅立叶光学法傅立叶光学，或称信息光学，是光学与通信和信息理论相结合而产生的一个现代光学的新分支。其基本思想就是用空间频谱的概念来研究光传输和成像上的信息提取和信息分析等问题。出于傅立叶级数、傅立叶积分和傅立叶变换这套数学方法使用的方便性，以及傅立叶光学上对空间频谱和光学滤波等问题的详尽分析，使之在光束传输变换研究中仍具有吸引力。在数学上，衍射积分可表述为傅立叶变换形式，二者在处理衍射和空间滤波器等问题上是完全一致的，再加之发展了用计算机实现傅立叶变换的快速算法，因此，在对某些大型激光系统的光束传输变换进行模拟时通常用傅立叶光学方法代替衍射积分方法来处理问题。2 1 7 哈密顿光学法研究光束传输变换的另一途径是试图将光频电磁场的运动规律纳入物理学的“统一理论一框架之中。于是，一些已经做过深入研究的物理学方程和相关数学手段可直接借用来处理激光光学问题。例如，用式( 2 1 2 ) 表述的费马原理与分析力学中的哈密顿原理数学形式上是相似的。此外，缓变振幅近似下的亥姆霍兹方程即类薛定鄂波动方程，与量子力学中的薛定鄂方程有类似的形式。因此，熟悉经典力学和波动力学的物理学家们很容易采用类比的方式建立哈密顿光学，并用于研究光束传输变换问题。在哈密顿光学中，最重要的结果是光学啦格朗日方程和光学哈密顿正则方程。2 1 8wig n e r 分布函数法同时在空间一频率域定义一个光学信号有时会比只在空间域或只在频率域定义一个光学信号会显得方便些w i g n c r 分布函数就是这样一个能同时在空间一频率域描述一个信号的分布函数，对于一个一维的光学信号脚，它的w i g n c r 分布函数为：磁川= j 厂o + 寺矿o 一) e x p ( 一i u x ) d x ( 2 1 2 3 )或者，用频率变量来表示，可定义成磁圳= 互1 ，i f ( u + 争勘一争e x p ( 一i u x ) d u ( 2 1 2 4 )助复振幅厂的傅里叶变换，当一维的光学信弓删为部分相干光时，它的w i g n c r分布可以表示成以下形式：，9硕士学位论文磁础) = j r + 寺x , x - - 吉x ) e x p ( 一i u x 7 ) 出( 2 1 2 5 )或者用频率变量表示k 圳= 户 + l l a t , 2 1 - - 百1u r ) e x p ( 嘲 x ) d u ( 2 1 2 6 )式中f 为r 的傅立叶变换，我们称作方向功率谱( d i r e c t i o n a lp o w e rs p e c t r u m ) ，跟方向有关的谱密度函数。目前，在光学领域内利用w i g n e r 函数得到了广泛的应用。例如，它可以应用在用a b c d 矩阵表示的光学系统中【6 3 弼】，也可以用来研究部分相干光传输、光学位相、空间、光束质量因子、光学系统的成象质量的分析，以及波动光学的其它领域，还可以运用于信号分析、纹理信息处理和图像识别。2 2 部分相干光的基础理论2 12 2 1 空间一时间域部分相干光的经典理论是以光场的统计特性为基础的。在空间一时间域中用互相干函数r 加，p 2 ，f ) 来描述光场的相干性，其定义为：r o ，p 2 ，f ) = ( 2 2 1 )式中v 0 , ，+ f ) 和v 曲2 ，f ) 分别为光场在空间点p ，、时刻r + f 和在空间点几，时刻，的复解析信号( 复振幅) ， 表示系综平均，空间位置矢量用p = g ，y ，z ) 表示，而z = ，埘平面上的位置矢量用，= g ，j ，) 表示。在( 2 2 1 ) 式中令p l = p ：= p ，f = 0 可得空间点p 处的平均光强：1 0 ) = - r 0 ，p ，0 )( 2 2 2 )归一化的互相干函数称为复相干度厂d ，p 2 ，f ) ，即7 d - ，p 2 ，f ) = j 菅气i = 揣( 2 2 3 )光场的相干性可以用复相干度来量度，它的模沙d ，p z ，r 】确定了干涉条纹的可见1 0部分相干光通过球差透镜的聚焦特性度o i y o ，儿，f ) l 1 ，当l y ( p ，几，f ) i = 1 时为完全相于，l y ( p ，p 2 ，f ) i = o 时为完全非相干，o l y ( p ，p ：，f 】 1 时为部分相干。复相干度描述了光场在空间一时间域中的相干性。空间相干性用r ( p 。，p ：，o ) 来描述，时间相干性用y ( p ，p ，f ) 来描述。后者又称自相干函数r ( f ) = r ( p ，p ，f ) = ( 2 2 4 )平均光强，( p ) 可用自相干函数表示为x l o ) = r ( p ，p ，0 ) = r ( 0 )( 2 2 5 )在准单色近似下，即谱宽远小于平均频率时，可用互强度y ( p 。，p ：) 代替互相干函数r ( p l ，p 。，0 ) 描述光场空间相干性。互强度的传输公式为：- ，( 五，乃，而，儿，z ) = ( _ 2 # l b ) 2j p ( 而，乃，而，一，o ) e x p 一- 砉【彳( j c l 2 + _ 2 ) 一2 ( j c i + 乃乃+ d ( # + 订) 一( 彳( 屯屹+ 虼吃) 一2 ( 屯屯+ y 2 y 2 ) + d ( z + z ) ) 】) 血嘲呶酬、，( 2 2 6 ) 2 2 2 空间一频率域部分相干光的空间一时间域理论已经被推广到空间一频率域。在空i 司一频率域中，描述光场相干性的基本物理量是交叉谱密度函数d ，几，彩) 为形c p ，办，缈) = h ，彩弦( 几，国) )( 2 2 7 )式中h ，国) 为场函数v - ，f ) 的傅里叶变换，即电，缈) = v ( p ) e x p o 研) d , 1( 2 2 8 )，- 1 ，2 ：彩为圆频率。空间点p 处，频率为国的平均光强，i ( p ，国) = w ( p ，p ，国)( 2 2 9 )归一化的交叉谱密度函数称为复空间相干长度：硕士学位论文(p，p：，国)=了霄气嚣若等等=了翥岳wi(p丢l丽,p2,(0)(22。)与空间一时间域中情况类似，有o 陋0 ，p 2 ，缈】s1 。交叉谱密度函数通过近轴a b c d 光学系统的传输公式为：形( 五，咒，j c 2 ，咒，z ) = ( 2f f f l w ( 五，乃，而，儿，o ) e x p 一j i 函km ( 五幢+ 乃屹) 一2 ( j r l 毛+ 咒乃)+ d ( 砰+ m 2 ) 一( 彳( 屯屹+ 儿屹) 一2 ( 恐屯+ y 2 y 2 ) + d ( + 以) ) 】) 奶咖红7 d y 2 t佗2 1 1 )2 3 部分相干光的数学一物理模型2 3 1 高斯一谢尔模型前文已经提到，过去人们对完全相干光做了大量的研究并取得了一定量的成果，但是随着光学技术的发展特别是在强激光技术中，人们发现完全相干的高斯光束比较难以实现，比较符合实际情况的是采用高斯一谢尔模型( g s m ) 光束描述部分相干的多模激光，在一定条件下可得到比较好的模拟结果。假设部分相干光在源z = 0 处的交叉谱密度函数可表示为形“，2 ，o ) = 网、：砚“一，2 ，o )( 2 3 1 )式中复空间相干度“一，2 ，o ) 是一眨的函数。若光强，和复空间相干度都由高斯函数表征删= 厶d 一引)( r t - r 2 , 0 ) 一p - 簪i，则称为各向同性高斯一谢尔模型光束。式中i o 为一常数，w o 、o o 分别为源处高斯一谢尔模型光束的束腰宽度和相关长度。高斯一谢尔模型光束是描述部分相干光的一个常用物理模型。高斯一谢尔模型光束在自由空间传输距离z 的公式为1 2硕士学位论文& ( 卸壶+ 护耻碍魂走莓一卜争白2 申纠i2 3 2 贝塞耳一高斯模型场函数形如磊( ，) = j o ( a r ) e x p ( - r 2 w 0 2 )( 2 3 1 2 )( 2 3 1 3 )( 2 3 1 4 )的光束，我们称之为零阶贝塞耳一高斯光束。其中，g o 为零阶贝塞耳函数；a 是与厶项相关的参数；w o 为对应高斯光束的束腰宽度。与d u m i n 提出的“无衍射贝塞耳光束【6 6 l 能携带无限大能量不同的是，贝塞耳一高斯光束携带着有限大的能量，其振幅部分呈高斯规律迅速减小并且在实验中得到【6 7 1 。2 3 3 空心光束空心光束( h o l l o wl a s e rb e a m ) ，顾名思义，是一种在传播方向上中心光强为零的环状光束。其光束截面及其轴向强度分布如图2 1 所示空心光束对于微观粒子的光学囚禁，具有许多有用的特点。首先，因为其轴向光强为零，大大减少了光的散射；其次，由于轴向的光强为零，它比一般的高斯光束的光学囚禁的效率高的多；另外，空心光束可以用于囚禁和操作不同种类的微光粒子，包括纳米或微米粒子、生物细胞等，克服了粒子折射率的局限。1 4部分相干光通过球差透镜的聚焦特性，臼r )一00 0 joa 0 0 5图21 空心光束光束截面及其轴向强度分布硕士学位论文3 部分相干光通过球差透镜的光束整形在当今的激光技术的许多应用领域中，如在材料加工、光信息存储和处理、以及在医学和军事上的应用，都对激光光束质量有着较高的要求。在激光核聚变、激光热处理等领域需要将激光光束整形成平顶光束，而局域空心光束则作为激光导管、光学镊子在微观粒子的精确、无接触操纵和控制中得到了广泛应用。o z e r i等分别在1 9 9 9 年利用2 个环的圆形7 相位片和在2 0 0 0 年采用二元相位全息片产生了局域空心光束并成功实现了对微观粒子的囚禁。本章基于c o l l i n s 公式，研究了部分相干光通过球差透镜后的光强分布以及光强分布随光学系统和光束参数的变化规律。+、3 1 球差透镜聚焦部分相干光获得局域空心光束近年来，许多研究者已经对部分相干光光束通过球差透镜时作了研究呻。7 2 】。j i 和l 豇研究了超高斯光束通过球差透镜后的光强分布，并以m 2 因子和桶中功率( p r o ) 进行光束质量评价。p u 则研究了利用球差透镜可以获得超衍射极限聚焦。之所以采用球差透镜这是因为高功率激光所产生的热效应和高功率激光通过吸收介质时的热晕均会产生球差n 叼，因此对光束通过球差透镜后的传输和聚焦的研究更符合实际情况。而局域空心光束是一种在聚焦区域出现的中心光强较小，四周被光强较高的区域所包围一种特殊光束，这种光束在原子引导、原子囚禁，以及光学镊子等方面都有广泛的应用。本节从惠更斯一菲涅尔原理出发，推导出了光强为高斯分布，相干度场函数为零阶贝塞尔函数形式的部分相干光通过球差透镜后的光强分布，着重分析相干度( ) 、球差系数( 磷) 对光强分布的影响，并进一步讨论了菲涅尔数( 虬) 、球差系数( 蝇) 、相干度( ) 对局域空心光束内的暗斑尺寸的影响情况。3 1 1 理论分析如图3 1 所示，0 点为几何焦点，p ( r ，z 夕为观察平面。波长为允，频率为国，1 6部分相干光通过球差透镜的聚焦特性束腰半径为的部分相干光束入射于焦距为厂的球差透镜。在透镜平面，该部分相干光的交叉谱密度函数可表示为叭1 ：l形o ( ，呓，缈) = 【，o ( 吒，国) ，o ( 呓，缈) 】- o ( 弓巧，彩)( 3 1 1 )其中，巧，分别为透镜平面的两个位置矢量；o ( 巧，巧，c o ) 为透镜平面处部分相干光束的光谱相干度：在透镜平面处，入射光强采用高斯分布的光束，因此f 2，( r t ，c o ) 0 ( r w , t r ，c o ) = i oe x p ( 一动( 3 1 2 )l两- j )一口一z - ，一一，- 图3 1 部分相干光束通过球差透镜不意图根据交叉谱密度函数传输定律，部分相干光的交叉谱密度函数通过球差透镜的光学系统可用a b c d 传输矩阵表示，因此在观察平面的交叉谱密度函数可表示为删形( ，i ，巳，z ，缈) = ( 刍2w ( o ( ，i ，呓，国) 睦x p ( 一i k c 4 ( ，：4 - 吒q ”( 3 1 3 )e x p 一盖”叫2 ) 们( 卜a - 2 ( “一一) 】) 啦砚式中七= 2 万五为波数；e x p 一崛( ，：4 _ 乞q ) 】为球差因子；瞩为球差系数m ! ；t l 和吒是观察平面( z 平面) 的位置矢量；并且a b c d 传输矩阵可表示为= ( 荔0 n ，利用公式删一2 于e 啾一垦型c o s ( 9 彬) ) d ( 口一0 3 ：- 2 万厶禹( 3 1 5 )将( 3 i 1 ) 、( 3 1 2 ) 、( 3 1 4 ) 、( 3 i 5 ) 代入( 3 1 3 ) ，令，i = r z - - t ，根据文献【7 2 】虹= 蝇，可得到几何焦平面附近的光强分布为1 7硕士学位论文地石咖厶2 咖2 e x 烈_ 争( 呓一棚e x p - i k 鸟( w o ，：l 咖e x p - 志2 t“2 一卿【，+ 功堋一筹) 厶岛砒叫。)由( 3 1 6 ) 式可知，几何焦平面附近的光强分布，( ，z ，国) 分别与入射光强分布，( ，c o ) ，透镜的球差系数竭，以及入射光束的空间相干度o ( 巧一弓，缈) 有关。本节诜取波长2 = 6 3 2 8 1 0 - 9 m 诱镣焦足瓦f ：1 m 。3 1 2 数值计算与分析由于几何焦平面附近的光强分布依赖于入射光束的光谱相干度和透镜的球差系数，因此当入射光束的强度一定时，不同的相干度或者不同的球差系数均能得到不同的光强分布。为了验证不同相干度对光强的影响，我们选择入射到透镜平面处光束的空间相干度为【7 7 】( 呓一，国) - j o ( p 1 ；一巧i )( 3 1 7 )其中，为入射的部分相干光的光谱相干度，厶为零阶贝塞耳函数。定义1 p 为空间相干长度【7 7 1 。值越大，则入射的部分相干光的空间相干长度越低，反之则越高。图3 2 ( a ) 、( b ) 反映了分别改变光谱相干度和球差系数鹤在几何焦平面( 剐处的光强分布情况。菲涅耳数w = 1 0 0 ，w o = 五厂= 7 9 5 5 x l o - 3 m 。在图3 2 ( a ) ，球差系数蜗= 0 3 ，选取三个不同的值对应三个不同的光强分布。当f