（概率论与数理统计专业论文）一种构造二元copula的新方法.pdf

西南交通大学硕士学位论文第1 页 摘要 随机变量之间的相依性，是概率论与数理统计研究的核心。随机变量 的联合分布完全决定了其各个分量的分布以及相依关系。由于多维随机变 量的联合分布比较难确定，而其边缘分布是可以得到的，将边缘分布与相 依关系区分开来分别进行研究是必要的。 一个多维分布的连接函数是一种描述其各个分量间怎样相互依赖的函 数，它不考虑边缘分布的影响，而只聚焦于相依结构。c o p u l a 就是这样一 种连接函数，近年来对c o p u l a 的研究已有很多。c o p u l a 已经很广泛地应 用到了经济领域和随机过程方面。 本文主要通过c o p u l a 的加权几何平均来构造c o p u l a 的。构造c o p u l a 的方法已经有很多了，有通过生成元、已知c o p u l a 的偏导或其线性组合来 构造的，还有通过中间函数g 函数来构造的。本文是通过已知c o p u l a 的加 权几何平均来构造c o p u l a 。 文中给出了一类新的c o p u l a - w g mc o p u l a ，它是正象限相依的。用 其加权几何平均来构造的c o p u l a 仍为w g mc o p u l a 。c u a d r a s a u g ec o p u l a 就 是用w g mc o p u l am = m i n ( u ，) 和兀= 删的加权几何平均来构造的，它具 有很好的上尾相依性。本文用c u a d r a s a u g ec o p u l a 和g u m b e lc o p u l a 对 数据进行刻画并比较其优劣，得出c u a d r a s a u g ec o p u l a 稍优的结论。 关键词：w g mc o p u l a , c o p u l a 构造；c o p u l a 择优 西南交通大学硕士学位论文第1 i 页 a b s tr a c t d e p e n d e n c er e l a t i o nb e t w e e nr a n d o mv a r i a b l e si st h em a i ns u b j e c t i np r o b a b ili t ya n ds t a t i s t i c s t h ej o i n td is t r i b u t i o no fr a n d o m v a r i a b l e sc a nt o t a l l yt e l lu st h ed i s t r i b u t i o no fi t sc o m p o n e n t sa n d t h ed e p e n d e n c er e l a t i o nb e t w e e nt h e m f o rm u l t i v a r i a t er a n d o m v a r i a b l e s ，i ti sd if f i c u l tt of i xo nt h e i rj o i n td i s t r i b u t i o n ，t h o u g h w ec a ne a s i l yg e ti t sm a r g i n a ld i s t r i b u t i o n s i ti se s s e n t i a lt os t u d y t h em a r g i n a ld i s t r i b u t i o n sa n dt h ed e p e n d e n c er e l a t i o nb e t w e e nt h e m d i v i d u a ll y t h eli n kf u n c t i o no fm u l t i v a r i a t er a n d o mv a r i a b l e sc a n c h a r a c t e r i z et h ef u n c t i o nr e l a t i o nb e t w e e nt h e m ，w i t h o u tc o n s i d e r i n g a b o u tt h ei n f l u e n c eo fit sm a r g i n sa n do n l yf o c u so nit sd e p e n d e n c e s t r u c t u r e c o p u l ai sak i n do fs u c h1 i n kf u n c t i o n ，a n di th a sb e e n s t u d i e dw i d e l y c o p u l aa ss of a rh a sb e e na p p ll e dt of i e l d sa sf i n a n c e a n ds t o c h a s t i cp r o c e s s t h em a i ns u b j e c to ft h ep a p e ri st oc o n s t r u c tb i v a r i a t ec o p u l a c o p u l ah a s b e e nc o n s t r u c t e dt h r o u g hag e n e r a t o ro rai n d i r e c t f u n c t i o ngo rb ym a k i n gu s eo fk n o w nc o p u l a sw i t ht h e i rd e v i a t i o n s o rt h ew e i g h t e da r i t h m e t i cm e a no ft h e m i nt h ep a p e r ，i ti sc o n c e r n e d a b o u tt h ew e i g h t e dg e o m e t r i cm e a no fk n o w nc o p u l a s t h e r ei sg i v e nan e wk i n do fc o p u l a _ _ _ _ w g mc o p u l aw h i c hh a st h e p r o p e r t yo fp o s i t i v e l yq u a d r a n td e p e n d e n c e t h ew e i g h t e dg e o m e t r i c m e a no fw g mc o p ula sm = m i n ( u ，1 ，) a n dn = u vs u c ha sc u a d r a s a u g e c o p u l a i ss t i l lw g mc o p u l a c u a d r a s a u g ec o p u l ai sh a sb e t t e r p r o p e r t yo fu p p e rt a ild e p e n d e n c e c o m p a r i n gc u a d r a s a u g ec o p u l a w i t hg u m b e lc o p u l ai nc h a r a c t e r i z i n gp r a c t i c a ld a t a ，w ef i n dt h a t c u a d r a s a u g ec o p u l ai sb e t t e ri na n a l y z i n gd a t a w i t hu p p e rt a i l d e p e n d e n c e k e yw o r d s ：w g mc o p u l a ：c o p u l ac o n s t r u c t i n g ；c o p u l ac h o o s i n g 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被 查阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编 本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密团，使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“ ) 学位论文作者签名：钱_ i l 、砩 日期： ) 口口子、 指导老师签名： 1 每 日期： 咖以多厂 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工 作所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均己在文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由 本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： l 用c o p u l a 的加权几何平均来构造新的二元c o p u l a 2 讨论了在何种条件下，a r c h i m e d e a n 属于此类c o p u l a 3 通过对实际数据的拟合证明了其在拟合上尾相依数据上的优越性。 西南交通大学硕士学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1c o p u l a 的发展过程 在概率论与数理统计这门学科中，研究最多的就是单个随机变量的性 质及多个随机变量之间的关系。相关性是我们一直关心的一个焦点问题。 相关系数就是一种常用的度量相关性的一种工具，它实际上是线性变换下 不变的一种相关性指标。当涉及到非线性的相关性时，它就会得出相反的 结论。 比如设x 的分布律为： 表1 - 1x 的分布律 x- 11 p 1 2 1 2 令y = x 2 则e ( x ) = 0 ，e ( y ) = 1 ，e ( x y ) = e ( x 3 ) = 0 。所以相关系数 p = 0 。这也就是说p = 0 仅能说明x ，y 线性不相关，并不表明x ，y 之 间不存在其它的相关关系。 。 随机变量的联合分布完全决定了其各个分量的分布以及相依关系。反 过来，联合分布是由边缘分布以及分量的相依结构两个组成部分共同决定 的。只要知道了单个随机变量的分布函数和多个随机变量的联合分布函数， 就能比较完整地描述随机变量表达的随机现象的统计规律。至于单个的随 机变量的分布，现在已可以用非参数统计中的经验分布进行描述和拟合。 在维数比较高的时候，对于分析多维随机向量的联合分布，将边缘分布与 相依关系区分开来分别进行研究是必要的。一个多维分布的连接函数就描 述了其各个分量间是怎样相互依赖，它不考虑边缘分布的影响，而只聚焦 于相依结构。 通常，经过简单的计算就可以得知单个随机变量的数字特征比如数学 期望、方差，就大致把握了这个随机变量的变化规律及其性质；应用我们 所熟知的公式得出多个随机变量的协方差及相关系数、k e n d a l lf 、 s p e a r m a n 夕等，就对这多个随机变量之间的关系有了大致的了解。 西南交通大学硕士学位论文第2 页 在实际情况中，多个随机变量的边缘分布是可以得到的，只是要确切 地找到多个随机变量的概率分布不太容易。而c o p u l a ，就是把多维随机变 量的分布函数与其一维边缘分布联合起来的函数。它是一种构造多维分布 的工具，也是探索随机变量间相依关系的工具。 “c o p u l a 是一个拉丁语名词，意为“接，系，捆绑 等含义，它实 质上就是连接联合分布函数与边缘分布函数的函数。现在国内的很多文献 把它称为连接函数，一般还用“c o p u l a ”表示。n e l s e n 指出若对变量做单 调的增变换，相应的c o p u l a 函数不变，则由c o p u l a 函数引出的度量相关 性的指标，就是严格单调增变换下的相关性，比线性相关的范围要宽。 对c o p u l a 的最早研究是在1 9 4 0 和1 9 4 1 年，h o e f f d i n g 发现了“标准 化函数”及其一些结论。1 9 5 1 年，f r e c h e t 也取得了很多和h o e f f d i n g 相 同的结论，还发现了“f r e c h e t h o e f f d i n g 界 等重要性质。在1 9 5 9 年， s k l a r 第一次把c o p u l a 这个定义引入到数学中来，并且证明了c o p u l a 的存 在性。二十世纪七十年代，k i m e l d o r f ，h m p s o n ，g a l a m b o r 和d e h e u v e l s 1 9 7 8 也找到了c o p u l a 函数，只是名字不同。s k l a r 和s c h w e i z e r 合作研究概率 度量空间也得到很多关于c o p u l a 的重要结论。二十世纪九十年代这十年间 举行了三次著名的国际数学会议：1 9 9 0 年在罗马举行的“关于给定边缘分 布的联合分布函数专题讨论会”；1 9 9 3 年在西雅图举行的“给定边缘分布的 联合分布函数、双随机测度、马尔可夫算子”；1 9 9 6 年在布拉格举行的“具 有给定边缘分布的联合分布函数和矩问题”的讨论会。这些会议的主题表 明c o p u l a 是与给定边缘分布的联合分布函数的研究密切相关的。 利用c o p u l a 对随机变量相依性进行研究的最早文献是s c h w e i z e r 和 w o l i f 的文章，他们讨论了两个随机变量之间相依测度在随机变量严格单调 变换下的c o p u l a 不变性。c o p u l a 在概率与统计中得到了发展还是n e l s e n 在1 9 9 9 年把c o p u l a 的定义及其重要的结论做了系统总结，从而使c o p u l a 这个概念得以进一步的推广。1 9 9 9 年，e m b r e c h t s 首次将c o p u l a 理论引 入金融领域，l i ( 2 0 0 0 ) 在他的文章 中使用c o p u l a 函数研究多个债券的违约时刻的联 合分布问题。c a r r i e r e 将c o p u l a 理论应用到精算科学上，他用双参数双 变量的f r e c h e tc o p u l a 来研究生存年金和联合年金的界，也利用c o u p l a 理论研究了损失模型和风险评估问题，之后，c o p u l a 理论被广泛地应用到 保险精算领域。 近年来，国外出现了很多关于c o p u l a 理论应用于金融领域的文章。 西南交通大学硕士学位论文第3 页 b o u y e ( 2 0 0 0 ) 系统介绍了c o p u l a 在金融中的一些应用。文献 3 、 4 中， e m b r e c h t s ( 2 0 0 3 ) 、g e n e s tc ( 1 9 9 5 ) 分别于模拟技术、半参数估计、参 数估计对c o p u l a 的统计推断作了详细介绍。文献 5 中，r o b e r t od e m a t t e i s ( 2 0 0 1 ) 对c o p u l a 函数，特别是a r c h i m e d e a nc o p u l a 函数作了 较为全面的总结。文献 6 中，r o m a n oc ( 2 0 0 2 ) 开始用c o p u l a 进行了风 险分析，计算投资组合的风险值，同时用多元函数极值通过使用m o n t e c a r l o 方法来刻画市场风险。文献 7 中，f o r b e sk ( 2 0 0 2 ) 通过对固定 c o p u l a 模型来描述各种相关模式，并把这一个方法广泛地应用在金融市场 上的风险管理、投资组合选择及资产定价上。文献 8 中，h u ( 2 0 0 2 ) 提出 了混合c o p u l a 函数的概念，即把不同的c o p u l a 函数进行线性组合，这 样就可以用一个c o p u l a 函数来描述具有各种相关模式的多个金融市场的 相关关系。文献 4 3 中，d e a nf a n t a z z i n i ( 2 0 0 3 ) 引入条件c o p u l a 函数 的概念，同时将k e n d a l l 秩相关系数和传统的线性相关系数分别用于混合 c o p u l a 函数模型种对美国期货市场进行分析。文献 9 中，j i n gz h a n g ， d o m i n i q u eg u e g a n ( 2 0 0 6 ) 开始构造拟合优度的统计检验量来判断样本数 据在进行动态c o p u l a 建模时适用的模型结构，也就是时变相关的c o p u l a 模型与变结构的c o p u l a 模型的统计推断。 在国内，对c o p u l a 的研究起步较晚，最早是张尧庭( 2 0 0 2 ) ( 文献 1 7 ) 在理论上，特别是概率论的角度上探讨了c o p u l a 方法在金融上应用的可行 性。对c o p u l a 的分类研究和实证分析则是最近几年的事情。文献 1 8 ，1 9 中，韦艳华( 2 0 0 3 ，2 0 0 4 ) 利用c o p u l a 方法结合中国股票市场对金融市场 的相关性做了较为深入的研究。史道济、姚庆祝( 2 0 0 4 ) 在文献 1 9 中给 出了相关c o p u l a 、秩相关系数s p e a r m a n 与k e n d a l1t a u 和尾部相关系数， 以及这三个关联度量与c o p u l a 之间的关系，各个相关系数的估计方法等。 叶五一、缪其柏、吴振翔( 2 0 0 6 ) 在文献 2 1 中运用a r c h i m e d e a nc o p u l a 给 出了确定投资组合条件风险价值的方法。而在动态c o p u l a 建模方面，韦艳 华、张世英( 2 0 0 6 ) ( 文献 2 2 ) 开始研究金融市场间的动态相关结构，并 实证分析变结构c o p u l a 模型与时变c o p u l a 模型在刻画动态相关结构能力 上的优劣。总的来说，国内对c o p u l a ，特别是动态c o p u l a 的实证分析还 是比较少见的。肖璨( 2 0 0 7 ) 建立c o p u l a g a r c h 模型并在中国期货市场 进行实证分析，并用时变c o p u l a 函数来研究随机变量间相关性的动态变 化，并对金融资产的组合风险进行度量。李健论，方兆本等对c o p u l a 方法 在相依违约研究中的应用进行了探讨。孙清，蔡则祥应用c o p u l a 函数分析 西南交通大学硕士学位论文第4 页 信贷资产组合相关结构，并通过m o n t ec a r l o 法比较了两类风险刻画方面 精度的差异，认为g u m b e lc o p u l a 更适合应用于银行信贷资产风险管理。 现在c o p u l a 还用在随机过程的研究中。更多领域还在继续引入并应用 它，而它也越来越焕发出勃勃生机。 1 2c o p u l a 的研究意义 c o p u l a 为研究相依性非数值测度的一种方法，它作为构造二维函数的 起点还可以用于随机模拟。 例1 1 ：从连接函数的统计特性出发可构建出m a r s h a l 卜o l k i n 连接函 数。考虑有两个部件组成的一个系统，墨，墨表示每个部件的寿命，有三 种独立的服从泊松过程的致命冲击，两种分别只对其中之一部件有影响， 一种对两者都有影响。冲击到达的时间记为z l ，z 2 ，z i ：服从具有参数为丑， 以，丑：得独立指数分布，因此x 1 = m i n z i ，z l ：) ，置= m i n z 2 ，z 。：) ，这样 整个系统的生存函数 h ( ，x 2 ) = 尸 五 而，x 2 而) = p z l x t ) 尸 z 2 x 2 p z 1 2 m a x ( x , ，x 2 ) ) = e x p ( 一( a + 丑2 ) 一( 五+ 丑2 ) 恐) + 2m i n ( x t ，x 2 ) ) = e ( x i ) e ( x 2 ) m i n ( e x p ( 2 1 2 x i ) ，e x p ( 丑2 x 2 ) ) 令口。= ：( + ：) ，口：= ：( 五+ ：) 则互( 五) 吨1 = e x p ( 丑2 x 1 ) ，最( 恐) 1 2 = e x p ( 丑2 x 2 ) 。 那么联合生存函数的连接函数为 c ( u 1 ，u 2 ) = u l u 2m i n ( u 1 吨1 ，u 2 吨) 由此得到m a r s h a l1 - 0 1i k i n 一族 删引叩：h 妒侄0 笨荔 由于两个随机变量间相依性的非参数性质可以用二元c o p u l a 来描述， 西南交通大学硕士学位论文第5 页 如果可以构造出c o p u l a 族，那么对于相依性的研究是非常有利性。在构造 出c o p u l a 族之后，就可以根据s k l a r 定理求出任意指定边缘分布的联合分 布函数。而且，c o p u l a 在金融理论研究中也起到了很大的作用。国内学者张 尧庭从理论上探讨了c o p u l a 在金融应用上的可行性，另有其他学者介绍了 c o p u l a 理论在金融时间序列分析、金融市场的相关性分析、金融风险分析 中的应用，还有将c o p u l a 技术应用到了外汇投资组合分析。可见，构造 c o p u l a 族在理论和实际应用中都非常有意义。 而且由c o p u l a 函数导出的相关性度量并不是唯一的，k e n d a l lf 、 s p e a r m a np 都是单调不变的相关性度量，都可以用于对实际数据进行描 述。 定理1 2 1 1 1 ：设( 一，x ) ，( 置，k ) 是独立同分布的连续随机向量，其联 合分布函数分别为日，边缘分布都为f ( 置和x ，都服从分布f ) ，g ( 和k 都服从分布g ) 。其相应的c o p u l a 函数为c ( u ，v ) ，令 f = 尸 ( x 。一置) ( x e ) 0 ) 一尸 ( 五一五) ( x 一艺) 0 ) 一尸 ( x x ) ( ，一】，) 0 ) 】 则 p = 1 2 j 0 l 】：“订c ( “，v ) 一3 = 1 2j 0 i 】：c ( “，1 ，) d u d 一3 。 定义1 2 3 - x ，y 为两连续随机变量，其c o p u l a 为c ，k 为j ，】， 间的相依测度，如果盯满足下面的条件： ( 1 ) 一1 h ，y 1 ，h ，工= 1 ，h 。一x = 一1 西南交通大学硕士学位论文 第6 页 ( 2 ) h y = 唧，x ( 3 ) 若x ，】，为独立的，则h r = h = 0 ( 4 ) k x 。y = h ，一y = 一k x ，l ， ( 5 ) 若c l ，c 2 为c o p u l a ，j tc , _ x ) 为x 的非增函数，则称】，关于x 右尾增，记为 r t i ( 】，ix ) 。 ( 4 ) 若p x xy y ) 为y 的非增函数，则称x 关于】，右尾增，记为 r t i ( xi 】，) 。 定理2 3 6 c 1 】：x ，y 为随机变量，则 ( 1 ) l t d ( yx ) jp q d ( x ，y ) ； ( 2 ) l t d ( xy ) jp q d ( x ，y ) ； ( 3 ) r t i ( yx ) jp q d ( x ，y ) ； ( 4 ) r t i ( xy ) p q d ( x ，y ) 。 证明：只证( 1 ) 。 l t d ( yx ) jp r yx x ) 为工的非增函数，则 西南交通大学硕士学位论文第1 3 页 p y yx x ) p y yx - t - o o ) i 尸 】，y ) 所以 尸 x z ，y y ) p x x p y y ) 其他的证明类似。 定理2 3 7 1 1 ：若x ，】，为连续随机变量，c o p u l a 为c 。则 l t d ( yx ) v ( u ，1 ，) 0 ，l 】2 ，c ( “，v ) u 关于“非增。 2 4 生存c o p u l a ，对偶c o p u l a ，协c o p u l a 定义2 4 1 ：若x ，】，为随机变量，其c o p u l a 为c ，则e ： o ，1 】2 一 o ，1 ， c ( u ，v ) = u + v - 1 + c ( 1 一“，1 一v ) 为其生存c o p u l a 。 2 4 1 生存函数和生存c o p u l a 的关系 若h 为随机变m x ，y 的联合分布函数，f ( x ) ，g ( y ) 分别为x ，y 的 分布函数，其c o p u l a 为c ，为生存c o p u l a 为e ，则其生存函数 h ( x ，y ) = p x x ，y y ) = 1 一f ( x ) 一a ( y ) + h ( x ，y ) = f ( x ) - t - c ( y ) 一1 + c ( f ( x ) ，g ( y ) ) = f ( x ) - t - c ( y ) 一1 + c ( 1 一f ( z ) ，1 一g ( y ) ) = c ( ，( x ) ，g ( y ) ) 注意把生存c o p u l a 为e 和e 区分开来。 c 一为服从( o ，1 ) 均匀分布、联合分布函数为c o p u l ac 的随机变量的生 存函数。 c ( u ，1 ，) = 尸 u “，v v ) = 1 一“- - v + c ( u ，v ) = c o 一“，1 一，) 西南交通大学硕士学位论文第1 4 页 2 4 2 对偶c o p u l a ，协一c o p u l a 若c 为一c o p u l a ，则其对偶c o p u l a 为e = “+ 1 ，一c ( u ，1 ，) 协一c o p u l a 为c + ( “，1 ，) = 1 - c 0 一比，1 一y ) c o u p l ac 的对偶c o p u l a 和协一c o p u l a 都不是c o p u l a 。 若c 为随机变量对( x ，y ) 的c o p u l a ，则 p x x ，y y ) = c ( f ( x ) ，g ( y ) ) 尸 x x ，y y ) = c ( f ( x ) ，g ( y ) ) 尸 x 工o ry y ) = c ( f ( x ) ，g ( 少) ) p x xo r 】， y ) = c + ( 户( x ) ，6 ( y ) ) 2 5 有序c o p u l a 定义2 5 1 ：若c l ，c 2 是c o p u l a ，若对任意的“，ve 0 ，1 】，都有 c l ( “，) c 2 ( “，1 ，) ( c l ( “，v ) c 2 ( “，v ) ) ，则称c l 小于c 2 ( c 2 大于c 1 ) ，即c i ，c 2 成正序( 负序) 记为c 1 - c 2 ) 。 定义2 5 2 ：对单参数c o p u l a 族 c ) ，若当q 砬时，有 q ( q ) ，则称单参数c o p u l a 族 g ) 为正( 负) 序的。 2 6c o p u l a 的历史构造方法 下面以定理的形式给出c o p u l a 的几种构造方法。 定理2 6 1 。1 ： ( c ：c 为c o p u l a ) 为二维c o p u l a 族，则 v c l ，c 2 ，e c ， v a l ，口2 ，q ，q 0 ， i = l ，2 ，z ， 口，= l ， f = i 有 西南交通大学硕士学位论文第1 5 页 y 口i e c 。 l l f _ l 1 歹02 3 ：m ( u ，v ) = m i n ( u ，y ) ，n ( u ，) = u v 为c o p u l a ，贝0v 曰 0 ，1 】，有 c = o m + ( 1 一o ) n 为c o p u l a 。 证明：m ( u ，v ) = m i n ( u ，v ) ，n ( u ，v ) = 删为c o p u l a ，则 m ( u ，o ) = 0 = m ( o ，v )r i ( u ，0 ) = 0 = n ( o ，1 ，) m ( u ，1 ) = um ( 1 ，v ) = v1 - i ( u ，1 ) = un o ，v ) = 1 ， v u l ，u 2 ，m ，屹【o ，1 】，而且u l u 2h 1 2 时， m ( u 2 ，2 ) 一m ( u 2 ，u ) 一m ( u l ，v 2 ) + m ( u l ，m ) 0 n ( u 2 ，1 ，2 ) 一i - i ( u 2 ，v 1 ) 一n ( u l ，屹) + 兀( “l ，v t ) o ( 1 ) c ( u ，0 ) = o m ( u ，0 ) + ( 1 一o ) u 0 = 0 c ( o ，1 ，) = o m ( o ，v ) + ( 1 一目) 0 1 ，= 0 ( 2 ) c ( u ，1 ) = o m ( u ，1 ) + ( 1 0 ) “1 = o u + ( 1 一o ) u = u c o ，v ) = o m ( 1 ，1 ，) + ( 1 0 ) 1 1 ，= v ( 3 ) v u l ，u 2 ，1 ，i ，屹 o ，1 ，而且u 2h v 2 时， c ( u 2 ，屹) 一c ( u 2 ，h ) 一c ( u i ，v 2 ) + c ( u l ，v i ) = 6 i m ( u 2 ，v 2 ) 一m ( u 2 ，v i ) 一m ( u l ，v 2 ) + m ( “l ，1 ，1 ) + ( 1 一臼) 兀( “2 ，v 2 ) 一r i ( u 2 ，u ) 一r i ( u l ，v 2 ) + r i ( u i ，u ) 】 0 。 定理2 6 2 0 1 ：假设函数缈：【o ，l 卜【o r + 叫为连续严格单调递减的且为 凸的，而且们瑚叫= 扩力焉篓乙， 西南交通大学硕士学位论文 第1 6 页 - l _ - - _ - l l _ - _ i i _ - l _ _ _ ii i _ l l _ - - _ l i i i 一 若函数c ：【0 ，1 】2 一 0 ，1 】，满足条件 c ( u ，v ) = 缈卜1 1 ( 妒( “) + 妒( y ) ) ， 则c 为一c o p u l a 。 此类c o p u l a 为a r c h i m e d e a nc o p u l a s ，够为其生成元，不同的生成元 可以构造不同的连接函数。如果缈( 0 ) = 0 0 ，则生成元和其所对应的c o p u l a 函数称作是严格的。此时。1 1 为缈的反函数妒。 下面给出几种常见的a r c h i m e d e a nc o p u l a s ： 例2 4 ：若缈( f ) = ( 一i n t ) 口，0 l ，g u m b e l 连接函数 c ( “，y ) ：e x p ( 【( 一1 1 1 “) p + ( 一i n v ) 9 】) c 1 ( “，v ) = “v = h ，l i mc o ( “，v ) = m i n ( u ，v ) = m - - 9 0 0 例2 5 ：妒( f ) = o 一一1 ) o0 一1 ，) o ) c l a y t o n 连接函数 c o ( “，1 ，) ：m a x ( - u - 口+ v - 口- 1 一，o ) 嬲c ( 州) = u y = 兀阳l i m c o ( u , v ) = m i n ( “，y ) = m 例2 赢 缈( f ) = 一h 1 暑目尺 。) f r a n k 连接函数 啪= 一扣+ 坚拦， 定理2 6 3 【l 】：若c 为一个a r c h i m e d e a nc o p u l a 函数，其生成元为缈， 则 ( 1 ) c ( u ，v ) = c ( v ，扰) ( 2 ) c ( c ( u ，v ) ，w ) = c ( u ，c ( v ，w ) ) ( 3 ) 如果c 是大于0 的任意常数，则c 妒也是c 的生成元。 例2 7 ：设缈( f ) = 一i n t ，te o ，1 】。因为9 ( 0 ) = 0 0 ，所以缈是 西南交通大学硕士学位论文第1 7 页 严格的，则c o t - 1 j ( t ) = 缈1 ( f ) = e x p ( - t ) ，有 c ( u ，v ) = c o 卜1 1 ( 9 ( “) + 妒( v ) ) = c o 一( 驴( “) + 妒( v ) ) = e x p ( - ( - l n “- i n1 ，) ) = “1 ，= n ( u ，1 ，) 由此可见独立c o p u l a 函数兀是严格的a r c h i m e d e a nc o p u l a 。 例2 8 ：设c o ( t ) = 1 - t ，t 【o ，1 】，则 缈卜1 1 0 ，= ：) 一：妻【0 1 1 ，即伊卜1 1 c z ，= m 去c - 一r ，。，有 c ( u ，1 ，) = 缈一1 1 ( 妒( “) + 缈( v ) )= m a x ( 1 一( ( 1 一“) + ( 1 一v ) ) ，0 ) = m a x ( u + v - 1 ，0 ) = w ( u ，1 ，) 由此可见f r e c h l e t h o e f f e d i n g 下界为非严格的a r c h i m e d e a n c o p u l a 。 h r c h i m e d e a n 连接函数具有可交换性和结合性，它的随机结构也是相 当巧妙的。g e n e s t ( 1 9 9 3 ) 证明过如下的结论： 定理2 6 4 ： 设c 是a r c h i m e d e a n 连接函数，生成元为缈，则 即v 砷) = k c 斗器。 定义2 6 5 ：若c l ，c 2 为c o p u l a s ，记 q c ( “，v ) ：_ o c ， d “ d 2 c ( “，v ) ：= o c 一 v 则 ( c l 木c 2 ) ( ) = c d z c , ( u , t ) d , c 2 ( t ，) d t 为c l ，c 2 的卷积函数。 定理2 6 6 ： 若c l ，c 2 为c o p u l a ，则c l 宰c 2 ：【o ，1 】2 寸 0 ，l 】为c o p u l a 。 西南交通大学硕士学位论文第1 8 页 件： 定义2 6 7 ：对任意的“，t 1 ，如果非负二元函数g ( u ，t ) 满足下面的条 ( 1 ) v t i ，函数g ( u ，t ) 在，上是u 的非降函数； ( 2 ) g ( o ，t ) = 0 ，g ( 1 ，t ) = 1 ； ( 3 ) f g ( u , t ) d t = “。 则称非负二元函数g ( u ，t ) 为g 函数。 “在0 处无定义时，可以扩展为l i mg ( u ，t ) = 0 在文献 4 1 中，有如下的结论： 定义2 6 8 ：设函数a ( o ) 在p 0 时有定义，如果对于复参变量s = c + i c o ， 积分f e x p ( 一j 曰) 允( 臼) d 9 在5 的某一区域存在，则由此积分所确定的函数 缈( j ) = f e x p ( 一卵) 旯( 目) d 9 称为函数旯( 日) 的l a p l a c e 变换。 若非负值随机变量o 的概率密度函数为a ( o ) ，那么上式即为概率密度 函数为a ( 0 1 的l a p l a c e 变换。 定理2 6 9 t 4 1 1 ：若非负值随机变量0 的分布函数a ( o ) 为连续函数且反 函数存在，概率密度函数为z ( o ) ，函数缈( s ) 为a ( o ) 的l a p l a c e 变换，则函 数g ( u ，t ) = e x p ( 一人- 1 ( t ) t p 叫 ) ) 为g 函数，“，t 1 ，缈。1 为一个阿基米德生存元。 定理2 6 1 0 】：砉存在 o ，+ 叫上的连续非增函数妒( “) = f 厂( f ) “a r t ，其 反函数为缈，l i m 妒( x ) = 0 ，缈( o ) = lj 则g ( u ，f ) = ( 厂( f ) ) 下1 ( ，厂( f ) 1 ， 为g 函数。 证明：根据题意，。1 ，i m 。+ 妒一似) = + 垆。1 ( 1 ) = 0 则 1 i m g ( u ，t ) = 0 ，g ( 1 ，t ) = 1 ， l f + u 西南交通大学硕士学位论文第1 9 页 f g ( “，f ) d r = f 厂o ) 一妒。( h ) d t = 缈( 矽一1 ( “) ) = “ 又( 缈- 1 ) n ) 2 而i = 一而而1 掣u u 叫下l ( “志u i 汐ili fu f ( t ) 1 。1 d t 则 0 g ( u ，t ) = ( 厂( f ) ) 呻弋，厂( f ) 1 ，为g 函数。 定理 2 6 11 ：v u ，v ，ts o ，1 1 ，若g l ( “，f ) ，9 2v ，f ) 为g 函数，则 c ( “，1 ，) = f g 。( “，t ) g ：( v ，f ) 班为c o p u l a 。 例2 9 ：令厂( f ) = 1 t ，根据定理2 6 1 0 ， 驴( “) = f ( f ) d t = f ( 1 f ) 1 d t = 1 ( “+ 1 ) 缈一似) = 1 u 一1 g ( u ，f ) = ( 厂( f ) ) 一伊一( h ) = ( 1 f ) 一( 1 似1 ) ) ：t l , - 1 根据定理2 6 1 1 ， c ( ) = j cg ( “，f ) g ( 1 ，f ) 出 = fl l u - i f i v - d t ： 型 j o u + v u v 西南交通大学硕士学位论文第2 0 页 第3 章一种新的构造c o p u l a 的方法 3 1c o p u l a 的一个充分条件 根据c o p u l a 的定义及其作为一个联合分布函数，给出一个充分条件： 定理3 1 1 ：一个二维函数c ( u ，v ) 满足下列性质： ( 1 ) c ：【o ，l 】2 一 0 ，1 】 ( 2 ) v u ，1 ， o ，l 】，有 c ( u ，0 ) = 0 = c ( o ，v ) c ( u ，1 ) = u ，c o ，v ) = v ，( 3 ) c ( u ，1 ，) 关于每个变量都是非降的。 ( 4 ) v 卟 o 1 】，邪州，器关于x 为非增的贝| j 二维函数 c ( u ，1 ，) 为c o p u l a 。 根据2 1 1 中c o p u l a 的定义，只需证明二维函数c ( u ，v ) 为2 一增的，下 面证明其为2 一增的。 证明：只需证v “l ，u 2 ，v l ，v 2 o ，1 ，u l u 2m 屹时， c ( u 2 ，v 2 ) 一c ( u 2 ，1 ) 一c ( u l ，1 ，2 ) + c ( u l ，y 1 ) 0 ( 1 ) c ( u ：，v ：) = 0 时，由于c ( u ，v ) 关于每个变量都是非降的，则 c ( u 2 ， 1 2 2 ) = c ( u 2 ，v 1 ) = c ( u l ，v 2 ) = c ( u l ，h ) = 0 c ( u 2 ，屹) 一c ( u 2 ，v 1 ) 一c ( u i ，v z ) + c ( u l ，h ) 0 。 ( 2 ) c ( u ：，v 1 ) = 0 时，由于c ( u ，v ) 关于每个变量都是非降的，则 c ( u l ，m ) = 0 。 西南交通大学硕士学位论文第2 1 页 c ( u 2 ，v z ) 一c ( u 2 ，u ) - c ( u l ，v z ) + c ( u l ，u ) 2 c ( u 2 , 屹) 一c ( u l ，v z ) 由于c ( u ，v ) 关于每个变量都是非降的，可以得到 c ( u 2 ，屹) 一c ( u l ，v z ) 0 ， 进而 c ( u 2 ，v 2 ) - c ( u 2 ，) - c ( u l ，屹) + c ( “l ，1 ，1 ) 0 。 ( 3 ) c ( u 2 ，v 2 ) 0 ，c ( u 2 ，h ) 0 时，根据定理3 1 1 的条件可得 v 佻 o ，1 】, v l - v 2 时，丽c ( u l , v 2 ) 渊删 1 一竺( 竺! ：兰2 l 一竺! 竺! ：兰! c ( u 2