2008年中国西部数学奥林匹克解答.doc

2008年中国西部数学奥林匹克 (2008年11月1日 8：00-12：00)贵州省贵阳市每题15分BNMCPDEFAQ1 实数数列满足：，n=1，2， 证明：对任意正整数n，都有 =1证明：由条件可知1-an+1=an(1-an)=anan-1(1-an-1)=ana1(1-a1)=ana1a0,即an+1= 1-a0a1an,n=1,2,. 下面对n归纳来证明 当n=1时,命题显然成立.假设nk时,命题成立,对n=k+1的情形有 = =1.故命题对n=k+1成立. 所以,对任意正整数n,命题都成立.2 在中，其内切圆I切边于点，为弧(不含点的弧)上一点 设线段交I于另一点，直线分别交直线于点证明：(1) 四点共圆； (2) 证明： (1) 连EF,由条件可知EF/BC,故 ABC=AFE=AFP+PFE=PEF+PFE=180-FPE.所以，P,F,B,M四点共圆.(2) 利用正弦定理，EF/BC及P,F,B,M四点共圆可知 =.结合BF=BD即可知命题成立.3 设整数，都是正整数证明：存在无穷多个正整数n，使得数都是合数证明：取数a1+2a2+mam的质因子p,由Fermart小定理可知对任意1km,都有kpk(mod p),所以，对任意正整数n,都有 a1+a2+ama1+2a2+mam0(mod p),从而，数a1+a2+am(n=1,2,)都是合数.4 设整数，为正实数，为非零实数，数列定义如下：， 证明：(1)当0且为偶数时，数列有界的充要条件是-2；(2)当0时，数列有界的充要条件是证明：(1) 当b0且m为偶数时，如果abm-1-b0，于是a(abm+b)m+babm+b0,即x3x20.利用axm+b在(0,+)上单调增可知数列的每一项都比前一项大,并且从第二项起每一项都大于-b. 考察数列中的连续三项xn,xn+1,xn+2,n=2,3,我们有 xn+2-xn+1=a(xn+1m-xnm)=a(xn+1-xn)(xn+1m-1+xn+1m-2xn+xnm) amxnm-1(xn+1-xn)am(-b)m-1(xn+1-xn)2m(xn+1-xn)xn+1-xn，这表明数列中相邻两项的差距越来越大,因此是无界的. 若abm-1-2,我们用归纳法证明数列的每一项都落在区间b,-b中. 第一项b已经在区间b,-b中，如果某项xn满足bxn-b，那么0xnmbm，从而b=a0m+bxn+1abm+b-b. 所以,此时数列有界的充要条件为abm-1-2.(2) 当b0时，数列的每一项都是正数我们先来证明，数列xn有界的充要条件是方程axm+b=x有正实根 如果方程axm+b=x无正实根，那么函数p(x)= axm+b-x在(0,+)上的最小值大于0，不妨设其为t那么对于数列中的任意连续两项xn与xn+1，有xn+1-xn=a-xn+b，故数列中后一项至少比前一项大t，因而此时无界 如果axm+b=x有正实根，设其一正根为x0，下面利用归纳法证明数列中的每一项都小于x0首先第一项b显然小于x0,假设某项xnx0，由axm+b在0,+)上是增函数知xn+1=a+ba+b=x0，因此数列有界 而axm+b=x有正根的充要条件是axm-1+在(0,+)上的最小值不大于1，而axm-1+的最小值可以由平均值不等式给出，即 axm-1+=axm-1+.此时数列xn有界的充要条件是1，即 当b0,yn+1=aynm+(-b),注意到xn有界的充要条件是yn有界,故可转化为上述情形.综上可知(2)成立.2008年中国西部数学奥林匹克第二天(2008年11月2日 8：00-12：00)贵州省贵阳市每题15分5. 在一直线上相邻两点的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008证明：将青蛙放在数轴上讨论,不妨设最初四只青蛙所在的位置为1,2,3,4.注意到，处于奇数位置上的青蛙每次跳动后仍处在奇数位置上,处于偶数位置上的青蛙每次跳动后仍处在偶数位置上.因此,任意多次跳动后,四只青蛙中总是两只处于奇数位置上,另两只处在偶数位置上.如果若干次跳动后,青蛙所在位置中每相邻两只之间的距离都是2008,则要求它们处在具有相同奇偶性的位置上,不可能.6. 设，满足： ，求的最大值解： 记u=,则由条件及均值不等式可知 2u3=2=-(x+y+z) -=-u2.故4u3+2u2-30,即(2u-)(2u2+2u+3)0,所以,u.依此可知,xyz,等号在x=y=z=时可以取到.因此，所求最大值为.7. 设n为给定的正整数，求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集，和满足：对任意1jk，都有解：由条件可知kn3=,因此，k+1. 下面给出k=+1的例子 若n=3m,对1jm+1,令xj=j-1,yj=m+j-1,zj=2m-2j+2;对m+2j2m+1,令xj=j-1,yj=j-m-2,zj=4m-2j+3即可； 若n=3m+1, 对1jm,令xj=j-1,yj=m+j,zj=2m-2j+2;对m+1j2m,令xj=j+1,yj=j-m-1,zj=4m+1-2j;而x2m+1=m,y2m+1=2m+1,z2m+1=0即可； 若n=3m+2, 对1jm+1,令xj=j-1,yj=m+j,zj=2m-2j+3;对m+2j2m+1,令xj=j,yj=j-m-2,zj=4m-2j+4;而x2m+2=2m+2,y2m+2=m,z2m+2=0即可. 综上可知，k的最大值为+1.8. 设P为正n边形内的任意一点，直线交正n边形的边界于另一点，i=1，2，n证明：证明： 记t=+1,并设An+j=Aj,j=1,2,n. 注意到,正n边形的任意一个顶点与边界上任意一点