小学数学简便运算和巧算.doc

小学数学简便运算和巧算一、数的加减乘除有时可以运用运算定律、性质、或数量间的特殊关系进性较快的运算这就是简便运算。（1） 其方法有： 一：利用运算定律、性质或法则。(1) 加法：交换律，a+b=b+a, 结合律，(a+b)+c=a+(b+c).(2) 减法运算性质：a-(b+c)=a-b-c, a-(b-c)=a-b+c, a-b-c=a-c-b,(a+b)-c=a-c+b=b-c+a.(3):乘法：利用运算定律、性质或法则。交换律，ab=ba, 结合律，（ab）c=a(bc), 分配率，（a+b）c=ac+bc, (a-b)c=ac-bc.(4) 除法运算性质：a(bc)=abc, a（bc)=abc, abc=acb, (a+b)c=ac+bc, (a-b)c=ac-bc. 前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。其规律是同级运算中，加号或乘号后面加上或去掉括号，。后面数值的运算符号不变。例1:283+52+117+148=（283+117）+（52+48）=400+200=600（运用加法交换律和结合律）。减号或除号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号要改变。例2：657-263-257=657-257-263=400-263=147.（运用减法性质，相当加法交换律。）例3：195-（95+24）=195-95-24=100-24=76 （运用减法性质）例4; 150-(100-42)=150-100+42=50+42=92. (同上)例5：（0.75+125）8=0.758+1258=6+1000=1006. (运用乘法分配律)例6：（ 125-0.25）8=1258-0.258=1000-2=998. (同上)例7：（1.125-0.75）0.25=1.1250.25-0.750.25=4.5-3=1.5。（ 运用除法性质）例8: (450+81)9=4509+819=50+9=59. (同上，相当乘法分配律)例9： 375（1250.5）=375125*0.5=3*0.5=1.5. (运用除法性质)例10：4.2（0。60.35）=4.20.60.35=70.35=20. (同上)例11：121250.258=(1258)(120.25)=10003=3000(运用乘法交换律和结合律)例12: (175+45+55+27)-75=175-75+(45+55)+27=100+100+27=227(运用加法性质和结合律）例13：（48253）8=488253=6253=450. (运用除法性质, 相当加法性质)（5）和、差、积、商不变的规律。1：和不变：如果a+b=c,那么，（a+d）+(b-d)=c,2: 差不变：如果 a-b=c, 那么，（a+d）-(b+d)=c, (a-d)-(b-d)=c3: 积不变：如果a*b=c, 那么,(a*d)*(bd)=c,4: 商不变：如果 ab=c, 那么， （a*d）(b*d)=c, (ad)(bd)=c.例14：3.48+0.98=（3.48-0.02）+（0.98+0.02）=3.46+1=4.46（和不变）例15：3576-2997=（3576+3）-（2997+3）=3579-3000=579（差不变）例16： 74.66.4+7.4636=7.4664+7.4636=7.46(64+36)=7.46100=746.(积不变和分配律）例17: 12.250.25 =(12.25*4)(0.25*4)=491=49. (商不变)。二：拆数法：（1）凑整法，19999+1999+198+6=（19999+1）+(1999+1)+(198+2)+2 =22202 (2)利用规律，7.52.3+1.92.5-2.50.4=7.5(0.4+1.9)+1.92.5 -2.50.4 =7.50.4+7.51.9+1.92.5-2.50.4=0.4(7.5-2.5)+1.9(7.5+2.5)=2+19=21.2. 199220052005-200519921992=19922005(10000+1)-20051992(10000+1)=0三：利用基准数：2072+2052+2062+2042+2083=（2062x5）+10-10-20+21=10311四：改变 顺序，重新组合。 （1）： （215+357+429+581）-（205+347+419+571）=215+357+429+581-205-347-419-571 =（215-205）+（429-419）+（357-347）+（581-571）=40 （2）：（378525）(40.83.78)=37852540.83.78=(3783.78)(254)x(50.8) =100x100x4=40000 ，五：1：求等差连续自然数的和。当加数个数为奇数时 ， 有：和=中间数x个数。 当加数个数为偶数时，有：和=（首+尾）x个数的一半。 (1):3+6+9+12+15=9*5=45, (2):1+2+3+4+10=(1+10)*102=55. 2:求分数串的和。 因为1/n-1/n+1=1/n(n+1), 1/n+1/n+1=n+(n+1)/n(n+1).所以： （1）：1/42+1/56+1/72+1/90+1/110=1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11 =1/6-1/11=5/66 （2）：5/6-7/12+9/20-11/30+13/42-15/56+。+41/400-43/460 =（1/2+1/3）-（1/3+1/4）+（1/4+1/5）-（1/5+1/6）+（1/6+1/7）-（1/7+1/8） 。+（1/20+1/21）-（1/21+1/22）=1/2-1/22=5/11 3：变形约分法。求：（1.2+2.3+3.4+4.5）（12+23+34+45）的值。因为分母各项是分子各项的10倍。所以有：原式=0.1六：设数法：求（1+0.23+0.34）*（0.23+0.34+0.65）-（1+0.23+0.34+0.65）*（0.23+0.34） 的值。 设a=0.23+0.34 . b=0.23+0.34+0.65.原式=（1+a）*b-(1+b)*a =b+ab-a-ab=b-a=(0.23+0.34+0.65)-(0.23+0.34)=0.65.（二）：巧算的方法：除运用上面所说的简便方法外，最重要的是抓住题目（特别是应用题）中的数量关系，充分利用逻辑推理，变解法不明为解法明确，把一般问题转化为特殊问题，以小见大，以少见多，以简驭繁。从而达到巧算的目的。一：利用数的整除特征和某些特殊规律。 特殊问题来求解。重在一个“巧”。 （1）：一个三位数连续写两次得到的六位数一定能被7、11、13整除。为什麽？ 解;六位数abcabc=abc1000+abc=abc1001. 1001=71311. 六位数abcabc必能被7、11、13整除。 （2）：六位数865abc能被3、4、5整除，当这个数最小时，a,b,c各是数字几？ 解 ：因为该数能被4,5整除,b,c必都是零，要使该数能被3整除，它各位数字和应能 被3整除，a只能是2。所以a,b,c分别是2 ,0 ,0。 （3）：化简：（1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1）（888888888888） =88(888888888888)=1（111111111111）=1/12345654321. (因为：11*11=121,111*111=12321,1111*1111=1234321,所以。 )二：估算法： 求：a=1(1/1992+1/1993+1/1994+1/2003)的整数部分。 解：用一般通分求他得值太繁琐，可巧用“放缩法”估算。 假定除数部分各加数都是1/1992， 则a=1(12/1992)=166。 若除数部分各加数都是1/2003，则a=1(12/2003)=166+11/12 所以它的整数部分是166。三：正难则反法。直接求解困难时，换个角度从反面求解。 （1）：除了本身，合数7854321的最大因数是多少？一般想法是将其分解质因数求之，但 这个数很大，做起来很繁琐。巧解：先求它的最小因数，再通过“除”求它的最大因数。 因为该数各位数字和能被3 整除，所以这个数的最小因数是3，最大因数是：78543213=261807。（2）：某厂人数在90-110之间，做工间操排队时，站3列正好；站5列少2人；站 7列少4人，这厂有多少人？解： 按所给数值正面求解很难，若换个角度从反面做，把它转化为：该厂工人站 3列多3人；站5列多3人；站7列多3人求这厂人数的问题。即求比3，5,7的 最小公倍数多3的数是多少。【3,5,7】=105， 105+3=108人。这厂有108人。四：慎密的逻辑推理：（1）：幼儿园的小朋友分饼干，每人分5块，则差27块。每人分4块，正好分完。这个 幼儿园有多少小朋友？分了多少饼干？ 解：一般用方程法： 设有x个小朋友。5x-4x=27, x=27. 饼干为：274=108块。 巧解：每人分4块，正好分完，每人多分一块（5块）差27块，说明小朋友 为：271=27个，饼干为：274=108块 (2):某商店有两个柜台，甲台比乙台的磁带少120盒，各卖出164盒后，乙剩下的是甲 剩下的3倍，求原来两台各有多少盒磁带？ 一般用方程法：设甲剩x台，乙剩3x台. (3x+164)-(x+164)=120, x=60,3x=180. 甲原有：60+164=224盒， 乙原有180+164=344盒。 推理巧解：因为卖出的数量相等，所以卖出后甲仍比乙少120盒，乙是甲的3倍， 这就转化为差倍问题了。120（3-1）=60。603=180. 甲原有：60+164=224盒， 乙原有：180+164=344盒 (3):甲乙两人进行骑车比赛，当甲骑到全程的7/8时，乙骑到全案程6/7，这时两人相 距140米。如果两人的速度不变，当甲骑到终点时，两人相距多少？ 解：一般方法：7/8:6/7=49:48.140（7/8-6/7）=7840 ，7840:x=49:48, x=7680 7840-7680=160米 推理巧解思路：直接求甲到终点时比乙多走多少米。甲走7/8时比乙多走140米 甲走1/8时比乙多走140/7=20米。所以甲走8/8（全程）时， 比乙多走140+20=160米（4）：求分母为40以内所有自然数的真分数的和。1/2+（1/3+2/3）+（1/4+2/4+3/4） +（1/5+2/5+3/5+4/5）+。+39/40解：用通分法求和很繁琐。通过分析数量关系可知，每个加数乘以2，可顺次得到1、2 、3、4/。39。所以，(2039)2=390 即为所求。 （5）：一正方形，当竖边减少20%，横边增加2米时，得到的长方形面积与原正方形面积相等，求原正方形面积。 解：一般思路：因为正方形面积=边长边长。所以应先求边长。. 用方程解：设正方形边长为一个单位长度，则面积为一个单位面积。长方形的 宽为：1(1-20%)=80%个单位长度，长为：一个单位面积80%个单位长度=1.25 个单位长度， 与2米对应的单位长度为：1.25-1=0.25个单位长度。所以正方 形边长（一个单位长度）=20.25=8米，正方形面积=8x8=64平方米。很繁琐。 巧解思路：因竖边减少20%，在原图形上减少的面积与后来因横边增加2米，增 加的面积相等。 所以设原正方形边长为x米，则： 20%x x=80%x 2 x=8米。 正方形面积=88=64平方米. （6）：某班有40名学生，考数学时有2人缺考，这38人平均分数是89，这2名学生 补考后，两人的平均成绩比全班40人的平均成绩多9.5分，这两人的平均成绩 是多少？ 解：一般从求平均数的共识考虑，用方程解：设这两人的平均成绩为x,则： x-(89*38+2x)40=9.5, x=99. 推理巧解（抓住平均就是移多补少的实质）。这两人的平均分数比全班平均分 数多9.5分，把9.52=19补给38名学生，每人增加0.5分，所以这两人平均 分 数为：89+0.5+9.5=99。五：注意一般解法的特殊形式：（1）：求平均数的一般方法:公式法，平均数=总数量总份数。但当份数相等时， 巧解法： 平均数=（第一份数量+第二份数量+。+第n份数量） 份数。 如： 某人晨练，第一个5分钟的速度是100米/分，第二个5分钟的速度是110米/分， 求他这10分钟内的平均速度 一般解法：平均数=（1005+1105）(5+5)=105米/分 因为“份数”相同，可巧解：平均数=（100+110）2=105米/分。 （2）：甲（带着一条狗）乙两人同时从相距100千米的两地出发相向而行，甲速度为6千米/小时，乙速为4千米/小时， 狗速为10千米/小时，狗碰到乙时就掉头朝甲走来，碰到甲时又朝乙跑去。直到甲乙两人相遇。这狗走了多少米？ 解：若分段求出狗与甲、与乙、与甲、与乙。相遇时走的路程，再加起来是很困难的。 一般巧解方法是：从整体考虑，狗走的时间就是甲乙相遇用的时间，所以狗走的时间 =100（4+6）=10小时， 狗走的路程=1010=100千米. 这还不算巧，更巧的方法是：从题意可知：甲乙速度和=狗速，并且走的时间相同，所以，甲乙共走的路程就=狗走的路程=100千米。 总的来看，“巧解”就是在一题多解情况下的最佳选择。 （三） 总练习题（用简便方法计算1-16题，用多种方法计算17-30题，并指出最巧方法。 1730题只给出巧解答案。） （1）925-28-72+75 （2）（64125)(1628) (3)12.34825 (4) 55 55/56 (5)3.8+3.75+3.85+3.75 (6)123454321（5555555555） （1111=121, 111111=12321, 11111111=1234321.) (7)185/7-54/7 (8)999222+333334 (9)(4.87.58.1)(2.42.74) (10)8.364+1.765 （11）12.5*(36-7.2)3.6 (12)43*11.8+860*0.91 (13)(9+2/7+7+2/9)(5/7+5/9) (14)1/2+1/6+1/12+1/20+1/30 （15） （1+1/2+1/3+。+1/1999）（1/2+1/3+1/4+。 +1/2000）-(1+1/2+1/3+.+1/2000)(1/2+1/3+1/4.+1/1999) （15）4327-98 （16）求：5+10+15+20+。+200的和 （17）比较9/10和11/12的大小。（提示：有比较分子、比较分母、比较与1的差、比较它们的倒数、变成整数比较 和用真分数特点比较等方法。但最巧的比较方法是用“规律”比较：分子分母都相差 1时，分母大的分数大。） （18）比较：2222221/2222223和3333331/3333334的大小。（提示：巧法是先比较他们与1的差。） （19）某厂工人植树，若每人植5棵，剩50棵，若每人植6棵，差40棵。这厂有多少工人？他们共植多少棵树？ 巧解：由题意可知，每人多种1棵，就多种50+40=90棵，所以这场工人有901=90人， 共植5*90+50=500棵。 （20）张老师用216元买钢笔奖励学生，若每支便宜1元，可多买3支，钢笔原价是多少？ 巧解：因为总价=单价数量，所以把216分解成两个数相乘有2和108 、3和72 、4和54 、6和36 、8和27 、 9和24。根据题意，从后两组数可知每支笔原价是9元。 （21）王华和李明在银行都有存款，原来王比李少1/6，每人捐出20元后，李比王多25%，两人原来存款各是多少？ 巧解：由王比李少1/6可知 ；李存款是他两存款差的6倍，由李比王多25%可知，捐出20元后李存歀是他两存款差的5倍，捐款前后“差”不变，李捐出20元后，自己的钱变成“差”的5倍，所以“差”是20元。 李原有钱为20*6=120元 。王原有钱120-20=100元。 (22)甲乙两消防队共有338人，从甲队调出1/3，从乙队调出1/7的和是78人，甲乙两队各有多少人？ 巧解：假设甲乙调出的人数都扩大到3倍，则共调出783=234，原消防队只剩乙队的4/7，所以原乙消防队有：（338-234）4/7=182人，原甲队有338-182=156人。 （23）猴吃桃，第一天吃了全部的1/9，第二天吃余下的1/8，第三天吃又余下的1/7。第八天吃余下的1/2，第九天吃了一个正好吃完，原有桃多少个？ 巧解：从题意可知：每天都吃了总数的1/9，（第二天吃8/91/8=1/9,第三天吃7/9*1/7=1/9.),所以桃子总数为：11/9=9个。 (24)妈妈给上衣缝纽扣，若每天缝15件，比规定日期晚2天，每天缝18件，就可提前3天，这批上衣是多少件？ 巧解：按工程问题做：（2+3）（1/15-1/18）=450件。 （25）：一架飞机的燃料最多可用6小时，飞机去时顺风，速度为1500千米/小时，返回时逆风，速度为1200千米/小时，飞机最多飞出多 远就要往回飞？ 巧解：按工程问题（相遇问题）思路来解答。按题意转化为往返多少千米用6小时。6（1/1500+1/1200）=4000千米。 （26）：某人卖商品，第一天按11元/个的利润卖出10个，第二天是五一，按5元/个的利润卖出11个，两天卖出的总价（营业总额）相同，求该商品的进价？ 巧解：因为总价=（利润+进价）个数。第一天利润为1110=110元，第二天若卖10个，利润为510=50元，总额少60元，多卖出一个，利润仅为511=55元，第二天少得利润 60-5=55元，所以，一件商品的进价为55元。 （27）一农民死前立遗嘱：要把17头牛分给三个儿子，大儿子得1/2，二儿子得1/3，三儿子得1/9，（不得杀或卖）三个儿子不会分，你 应如何分？ 巧解：17不是2 、3 、9的倍数，不能安分率分配，应把三个分率看成分牛时每人得的份数。1/2:1/3:1/9=9:6:2，所以： 17（9+6+2）=1头，三个儿子分别应分：9头，6头，2头。 另一巧解方法是：三个分率的分母最小公倍数是18，可以18头牛为单位“1”，进行分配。181/2=9,181/3=6,18 1/9=2 (28)学校买进一批白色、彩色粉笔，白色是彩色的3倍，开学后平均每周用36盒白色的、8盒彩色的。几周后，白色的用完，彩色的还剩 36盒，原来购进白、彩粉笔各多少盒？ 巧解：因为白是彩的3倍，若每周按比例白36盒，彩12盒使用，則同时用完，现在每周少用彩笔12-8=4盒，可见用了364=9周，所以 白色粉笔为：369=324盒， 彩色粉笔为：89+36=108盒。 （29）前六（2），若甲、乙速度不变，狗速变为15千米/小时，甲乙两人相遇时，狗跑了多少千米？ 巧解：因为狗与两人运动时间相同，所以，路程和时间成正比. x/100=15/10, x=150千米。 （30）某蓄水池长、宽、深分别为10米、8米、3米。一进水管以0.6小时使水深达0.3米的速度往池内放水，多少时间可放满水池？ 巧解：思路：水深达到3米，就满池了。因为放水速度不变，所以水深与时间成正比， 3/0.3=x/0.6 x=6小时。或3（0.30.6）=6小时。 同学们：快来看博客上的文章吧，它有助于你分析问题和解决问题能力的提高，大大提高你学习新知识、复习旧知识的效率。 老师们：快来看吧，看后会使你增加一些引导学生“复习知识”的方法，从而提高复习效率。 文中不妥之处，诚请指正。谢谢。加法类似）：交换律，a*b=b*a, 结合律，（a*b）*c=a*(b*c),分配率，（a+b）xc=ac+bc, (a-b)c=ac-bc.(4) 除法运算性质：（与减法类似），a(bc)=abc, a（bc)=abxc, abc=acb,(a+b)c=ac+bc, (a-b)c=ac-bc.前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。其规律是同级运算中，加号或乘号后面加上或去掉括号，。后面数值的运算符号不变。例1:283+52+117+148=（283+117）+（52+48）=400+200=600。（运用加法交换律和结合律）。减号或除号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号要改变。例2： 657-263-257=657-257-263=400-263=147.（运用减法性质，相当加法交换律。）例3： 195-（95+24）=195-95-24=100-24=76（运用减法性质）例4; 150-(100-42)=150-100+42=50+42=92.(同上)例5： （0.75+125）8=0.758+1258=6+1000=1006. (运用乘法分配律)例6：（ 125-0.25）8=1258-0.258=1000-2=998.(同上)例7： （1.125-0.75）0.25=1.1250.25-0.750.25=4.5-3=1.5。（ 运用除法性质）例8: (450+81)9=4509+819=50+9=59. (同上，相当乘法分配律)例9： 375（1250.5）=375125*0.5=3*0.5=1.5. (运用除法性质)例10： 4.2（0。60.35）=4.20.60.35=70.35=20. (同上)例11： 121250.258=(1258)(120.25)=10003=3000. (运用乘法交换律和结合律)例12: (175+45+55+27)-75=175-75+(45+55)+27=100+100+27=227. (运用加法性质和结合律）例13：（48253）8=488253=6253=450.(运用除法性质, 相当加法性质)（5）和、差、积、商不变的规律。1： 和不变：如果a+b=c,那么，（a+d）+(b-d)=c,2: 差不变：如果 a-b=c, 那么，（a+d）-(b+d)=c, (a-d)-(b-d)=c3:积不变：如果a*b=c, 那么,(a*d)*(bd)=c,4: 商不变：如果 ab=c, 那么， （a*d）(b*d)=c, (ad)(bd)=c.例14： 3.48+0.98=（3.48-0.02）+（0.98+0.02）=3.46+1=4.46,。（和不变）例15： 3576-2997=（3576+3）-（2997+3）=3579-3000=579。 （差不变）例16： 74.66.4+7.4636=7.4664+7.4636=7.46(64+36)=7.46100=746.(积不变和分配律）例17:12.250.25 =(12.25*4)(0.25*4)=491=49.(商不变)。二：拆数法：（1）凑整法，19999+1999+198+6=（19999+1）+(1999+1)+(198+2)+2=22202(2)利用规律，7.52.3+1.92.5-2.50.4=7.5(0.4+1.9)+1.92.5 -2.50.4=7.50.4+7.51.9+1.92.5-2.50.4=0.4(7.5-2.5)+1.9(7.5+2.5)=2+19=21.2. 199220052005-200519921992=19922005(10000+1)-20051992(10000+1)=0三：利用基准数：2072+2052+2062+2042+2083=（2062x5）+10-10-20+21=10311四：改变 顺序，重新组合。（1）： （215+357+429+581）-（205+347+419+571）=215+357+429+581-205-347-419-571=（215-205）+（429-419）+（357-347）+（581-571）=40（2）：（378525）(40.83.78)=37852540.83.78=(3783.78)(254)x(50.8)=100x100x4=40000，五：1：求等差连续自然数的和。当加数个数为奇数时 ，有：和=中间数x个数。 当加数个数为偶数时，有：和=（首+尾）x个数的一半。(1):3+6+9+12+15=9*5=45,(2):1+2+3+4+10=(1+10)*102=55.2:求分数串的和。 因为1/n-1/n+1=1/n(n+1), 1/n+1/n+1=n+(n+1)/n(n+1).所以：（1）：1/42+1/56+1/72+1/90+1/110=1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11=1/6-1/11=5/66（2）：5/6-7/12+9/20-11/30+13/42-15/56+。+41/400-43/460=（1/2+1/3）-（1/3+1/4）+（1/4+1/5）-（1/5+1/6）+（1/6+1/7）-（1/7+1/8）。+（1/20+1/21）-（1/21+1/22）=1/2-1/22=5/113：变形约分法。求：（1.2+2.3+3.4+4.5）（12+23+34+45）的值。因为分母各项是分子各项的10倍。所以有：原式=0.1六：设数法：求（1+0.23+0.34）*（0.23+0.34+0.65）-（1+0.23+0.34+0.65）*（0.23+0.34）的值。 设a=0.23+0.34. b=0.23+0.34+0.65.原式=（1+a）*b-(1+b)*a=b+ab-a-ab=b-a=(0.23+0.34+0.65)-(0.23+0.34)=0.65.（二）：巧算的方法：除运用上面所说的简便方法外，最重要的是抓住题目（特别是应用题）中的数量关系，充分利用逻辑推理，变解法不明为解法明确，把一般问题转化为特殊问题，以小见大，以少见多，以简驭繁。从而达到巧算的目的。一：利用数的整除特征和某些特殊规律。特殊问题来求解。重在一个“巧”。（1）：一个三位数连续写两次得到的六位数一定能被7、11、13整除。为什麽？解;六位数abcabc=abc1000+abc=abc1001.1001=71311.六位数abcabc必能被7、11、13整除。（2）：六位数865abc能被3、4、5整除，当这个数最小时，a,b,c各是数字几？解 ：因为该数能被4,5整除,b,c必都是零，要使该数能被3整除，它各位数字和应能被3整除，a只能是2。所以a,b,c分别是2,0 ,0。（3）：化简：（1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1）（888888888888）=88(888888888888)=1（111111111111）=1/12345654321.(因为：11*11=121,111*111=12321,1111*1111=1234321,所以。 )二：估算法：求：a=1(1/1992+1/1993+1/1994+1/2003)的整数部分。解：用一般通分求他得值太繁琐，可巧用“放缩法”估算。假定除数部分各加数都是1/1992， 则a=1(12/1992)=166。若除数部分各加数都是1/2003，则a=1(12/2003)=166+11/12所以它的整数部分是166。三：正难则反法。直接求解困难时，换个角度从反面求解。（1）：除了本身，合数7854321的最大因数是多少？一般想法是将其分解质因数求之，但这个数很大，做起来很繁琐。巧解：先求它的最小因数，再通过“除”求它的最大因数。 因为该数各位数字和能被3整除，所以这个数的最小因数是3，最大因数是：78543213=261807。（2）：某厂人数在90-110之间，做工间操排队时，站3列正好；站5列少2人；站7列少4人，这厂有多少人？解：按所给数值正面求解很难，若换个角度从反面做，把它转化为：该厂工人站 3列多3人；站5列多3人；站7列多3人求这厂人数的问题。即求比3，5,7的 最小公倍数多3的数是多少。【3,5,7】=105， 105+3=108人。这厂有108人。四：慎密的逻辑推理：（1）：幼儿园的小朋友分饼干，每人分5块，则差27块。每人分4块，正好分完。这个幼儿园有多少小朋友？分了多少饼干？解：一般用方程法： 设有x个小朋友。5x-4x=27, x=27. 饼干为：274=108块。巧解：每人分4块，正好分完，每人多分一块（5块）差27块，说明小朋友为：271=27个，饼干为：274=108块(2):某商店有两个柜台，甲台比乙台的磁带少120盒，各卖出164盒后，乙剩下的是甲剩下的3倍，求原来两台各有多少盒磁带？一般用方程法：设甲剩x台，乙剩3x台. (3x+164)-(x+164)=120, x=60,3x=180.甲原有：60+164=224盒， 乙原有180+164=344盒。推理巧解：因为卖出的数量相等，所以卖出后甲仍比乙少120盒，乙是甲的3倍，这就转化为差倍问题了。120（3-1）=60。603=180.甲原有：60+164=224盒， 乙原有：180+164=344盒(3):甲乙两人进行骑车比赛，当甲骑到全程的7/8时，乙骑到全案程6/7，这时两人相距140米。如果两人的速度不变，当甲骑到终点时，两人相距多少？解：一般方法：7/8:6/7=49:48.140（7/8-6/7）=7840 ，7840:x=49:48, x=76807840-7680=160米推理巧解思路：直接求甲到终点时比乙多走多少米。甲走7/8时比乙多走140米甲走1/8时比乙多走140/7=20米。所以甲走8/8（全程）时，比乙多走140+20=160米（4）：求分母为40以内所有自然数的真分数的和。1/2+（1/3+2/3）+（1/4+2/4+3/4）+（1/5+2/5+3/5+4/5）+。+39/40解：用通分法求和很繁琐。通过分析数量关系可知，每个加数乘以2，可顺次得到1、2、3、4/。39。所以，(2039)2=390 即为所求。（5）：一正方形，当竖边减少20%，横边增加2米时，得到的长方形面积与原正方形面积相等，求原正方形面积。解：一般思路：因为正方形面积=边长边长。所以应先求边长。.用方程解：设正方形边长为一个单位长度，则面积为一个单位面积。长方形的宽为：1(1-20%)=80%个单位长度，长为：一个单位面积80%个单位长度=1.25个单位长度， 与2米对应的单位长度为：1.25-1=0.25个单位长度。所以正方形边长（一个单位长度）=20.25=8米，正方形面积=8x8=64平方米。很繁琐。巧解思路：因竖边减少20%，在原图形上减少的面积与后来因横边增加2米，增加的面积相等。 所以设原正方形边长为x米，则：20%x x=80%x 2x=8米。 正方形面积=88=64平方米.（6）：某班有40名学生，考数学时有2人缺考，这38人平均分数是89，这2名学生补考后，两人的平均成绩比全班40人的平均成绩多9.5分，这两人的平均成绩是多少？解：一般从求平均数的共识考虑，用方程解：设这两人的平均成绩为x,则：x-(89*38+2x)40=9.5, x=99.推理巧解（抓住平均就是移多补少的实质）。这两人的平均分数比全班平均分数多9.5分，把9.52=19补给38名学生，每人增加0.5分，所以这两人平均分 数为：89+0.5+9.5=99。五：注意一般解法的特殊形式：（1）：求平均数的一般方法:公式法，平均数=总数量总份数。但当份数相等时，巧解法： 平均数=（第一份数量+第二份数量+。+第n份数量）份数。如： 某人晨练，第一个5分钟的速度是100米/分，第二个5分钟的速度是110米/分，求他这10分钟内的平均速度 一般解法：平均数=（1005+1105）(5+5)=105米/分因为“份数”相同，可巧解：平均数=（100+110）2=105米/分。（2）：甲（带着一条狗）乙两人同时从相距100千米的两地出发相向而行，甲速度为6千米/小时，乙速为4千米/小时，狗速为10千米/小时，狗碰到乙时就掉头朝甲走来，碰到甲时又朝乙跑去。直到甲乙两人相遇。这狗走了多少米？解：若分段求出狗与甲、与乙、与甲、与乙。相遇时走的路程，再加起来是很困难的。一般巧解方法是：从整体考虑，狗走的时间就是甲乙相遇用的时间，所以狗走的时间=100（4+6）=10小时， 狗走的路程=1010=100千米.这还不算巧，更巧的方法是：从题意可知：甲乙速度和=狗速，并且走的时间相同，所以，甲乙共走的路程就=狗走的路程=100千米。总的来看，“巧解”就是在一题多解情况下的最佳选择。（三） 总练习题（用简便方法计算1-16题，用多种方法计算17-30题，并指出最巧方法。1730题只给出巧解答案。）（1）925-28-72+75（2）（64125)(1628)(3)12.34825(4) 55 55/56(5)3.8+3.75+3.85+3.75(6)123454321（5555555555）（1111=121, 111111=12321, 11111111=1234321.)(7)185/7-54/7(8)999222+333334(9)(4.87.58.1)(2.42.74)(10)8.364+1.765（11）12.5*(36-7.2)3.6(12)43*11.8+860*0.91(13)(9+2/7+7+2/9)(5/7+5/9)(14)1/2+1/6+1/12+1/20+1/30（15）（1+1/2+1/3+。+1/1999）（1/2+1/3+1/4+。+1/2000）-(1+1/2+1/3+.+1/2000)(1/2+1/3+1/4.+1/1999)（15）4327-98（16）求：5+10+15+20+。+200的和（17）比较9/10和11/12的大小。（提示：有比较分子、比较分母、比较与1的差、比较它们的倒数、变成整数比较和用真分数特点比较等方法。但最巧的比较方法是用“规律”比较：分子分母都相差1时，分母大的分数大。）（18）比较：2222221/2222223和3333331/3333334的大小。（提示：巧法是先比较他们与1的差。）（19）某厂工人植树，若每人植5棵，剩50棵，若每人植6棵，差40棵。这厂有多少工人？他们共植多少棵树？巧解：由题意可知，每人多种1棵，就多种50+40=90棵，所以这场工人有901=90人， 共