（概率论与数理统计专业论文）几类更新风险模型中的破产理论.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 几类更新风险模型中的破产理论 摘要 在保险数学中，破产论是风险论的核心内容大多数有关风险论的文献涉 及的是由经典风险模型所推演出来的结果s p w r ea n d e r s e n ( 1 9 5 7 ) 研究了当 索赔发生为更新过程时的情况，并得到某些情况下的最终破产概率，在此模型 下，m a l i n o v s l 【i i ( 1 9 9 8 ) 得到了索赔额为指数分布时的破产概率的拉氏变换， w i n ga n dl i u ( 2 0 0 2 ) 把这一结果推广到索赔额为混和指数分布时的情况 近年来，许多人对索赔间隔时间为e r l a n g 分布的e r l a n g 风险模型很感兴 趣，例女d i d 【s o na n dh i p p ( 1 9 9 8 ) ，d i c k s o na n dh i p p ( 2 0 0 1 ) ，c h e n ga n d i j a g ( 2 0 0 3 ) ，g e r b e ra n ds h i u ( 2 0 0 3 a ) b ) ，l ia n dg a t r i d o ( 2 0 0 5 ) 喜争等 g e r b e ra n ds h i u ( 2 0 0 3 b ) 年得到了广义e r l a j l g 过程的g e r b 盯- s h i u 函数的完美结果，其后l i 和 g a r r i d o ( 2 0 0 5 ) 又得到了带干扰的广义e r l a n g 过程的积分一微分方程并给出了 此方程的解 本论文的第一章主要研究了对于索赔计数过程是更新过程而索赔额是e r l a n g 和混合e r i a n g 随机变量的时候所得到的破产概率及破产时间的拉普拉斯 变换的表达式，并得到了破产时间的矩函数 本文的第二章我们考虑s p a r r ea n d e r s o n 风险模型 k l 2 ( t ) u ( t ) = u + c t 一置一巧+ 一b ( t ) t = 1 j = 1 其中初值“ o ，c 为正常数， 托，t 1 ) ， 巧，j 兰1 ) 分别是独立同分布的随 机变量其密度分别是厶( 。) ，y ( 。) ，k l ( t ) 是参数为p 的p o i 8 s o n 过程； 鲍( t ) = m “ 1 ：m + - + 帆讣 其中索赔时间间隔睨独立同分布且服从广义e r l a n g ( n ) 分布； b ( ) ：t o 是 标准布朗运动且与 茏，t 1 ) ， 巧，j l ，l ( t ) 和鲍( ) 独立在此模型下我 曲阜师范大学硕士学位论文 们得到了g e r b e r - s h i t - 函数的微分积分方程；特别，考虑砘( ) 是广义e 。l a 。g ( 2 ) 过程的情形下得到了g e r b e r - s h i u 函数的表达式 关键词：s p a r r ea n d e r s e n 模型生存概率拉普拉斯变换l u n d b e r g 基本方程 混合e r l a n g 过程积分一微分方程破产时刻 曲阜师范大学硕士学位论文 r u i nt h e o r yi ns o m er e n e w a l “s km o d e l s a b s t r a c t i na c t u a r i 出m a t h e m a t i c s ，r u i nt h e o r yi st h ec o r ei nr i s kt h e o r y m a n y l i t e r a t u r e so nr u i nt h e o r ya r ec o n c e r n e dw i t ht h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，i nw h i c h c l a i m so c c u ra sap o i 8 s o np r o c e s s s p a r r ea n d e r s e n ( 1 9 5 7 ) c o n s i d e r e dt h e s i t u a t i o ni nw h i c he l a i m 8o c c u ra sag e n e r a lr e n e w a lp r o c e s s ，a n da ne x p l i c i t r e s u l tf o rt h eu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t yw a sd e r i v e df o rap a r t i c u l a rc a 8 e t h e e x p l i c i te x p r e s s i o nf o rl a p l a c et r a n s f o r mo ft h er u i nt i m ew i t he x p o n e n t i a l l y c l a i ma m o u n td i s t r i b u t i o ni so b t a i n e db ym a l i n o v s k i i ( 1 9 9 8 ) ；a n d ，a n ga n d l i u ( 2 0 0 2 ) g e n e r a l i z e dt h er e s u l tt ot h ec a s ew h e nc l a i ma m o u n th a st h em i x e d d i s t r i b u t i o no f 诹oe x p o n e n t i a l s d u r i n gt h er e c e n ty e a r s ，i n 也es t u d yo fi n s u r a n c er i s ka n a l y s i s ，m a n y p e o p l eh a 聃b e e ni n t e r e 8 t e di nt h ee r l a n gr i s km o d e li nw h i c ht h ei t e r c l a i m t i m e sh a 吧e r l a n gd i s t r i b u t i o n s e ee g d i c k s o na n dh i p p ( 1 9 9 8 ) ，d i c k s o n a n dh i p p ( 2 0 0 1 ) ，c h e n ga n d7 f a n g ( 2 0 0 3 a ，b ) ，g e r b e ra n ds h i u ( 2 0 0 5 ) i i a n dg a r r i d o ( 2 0 0 5 ) ，a m o n go t h e r s g e r b e ra n ds h i u ( 2 0 0 3 b ) g o tt h ep e r f b c t r e s u l tf o rg e n e r a l i z e de r l a n gp r o c e s s l ia 血dc a r r i d o ( 2 0 0 5 ) o b t a i n e di n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o rg e n e r a l i z e de r l a n gp r o c e s sw i t hp e r t u r b e db yd i f f h s i o n i nc h a p t e rl ，w es t u d yt h er u i np r o b a b i l i t ya n dt h el a p l a c et r a n s f o r m o fr u i nt i m ef o rr e n e w a lr i s km o d e l i nw h i c h 七h ec l a i ma m o u 矗ti se r l a n ga n d m i x e de r l a n gr a n d o mv a r i a b l e s i np a r t i c u l a r ，w ec o n s i d e rs o m es o l u t i o n sf 0 i t h em o m e n t so ft h et i m et or u i nb y 矗r s ts o l v i n gf o r 圣 i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e ras p a r r ea n d e r s o nr i s kp r o c e s s 1 ( o )2 ( t ) u ( t ) = “+ 矗一五一巧+ a b ( t ) ， 。= l j = 1 w h e r eu 0i si n i t i a ls u r p i u s ；ci st h ep o s i t i v ec o n s t a n tp r e m i u mi n c o m er a t e ； j ， ，i 1 ) ， 巧，j 1 a r ei i dr a n d o mv a r i a b l e sw i t hp d f ，x ( 茁) ， ，( 嚣) ， 睦阜师范大学硕士学位论文 r e s p e c t i v e l y ；k 1 ( t ) i sp o i s s o np r o c e s sw i t hp a r a m e t e r 恐( t ) = m a x 1 ：m + + 矾好 w h e r et h ei i d c l a i mw a i t i n gt i m e s 仰：h a v eac o m m o ng e n e r a l i z e de r l a n g ( n ) d i s t r i b u t i o n ； b ( t ) ：t o ) i sas t a 肌d a r db r o w n i a nm o t i o nt h a ti si n d e p e n d e n t o f 托，i 芝1 ) ， 巧，j 1 ，硒( t ) a n d 恐( t ) ，盯 o w eg e ta ni n t e g r 0 - 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