（计算数学专业论文）矩阵奇异值与特征值的估计.pdf

摘要 摘要 本文主要研究了矩阵帮异馕，矩阵特征值豹感性质，并屋得 到了一些蒎的方法和比较好豹结梁 黄兔主要遽过j i 雩s b 弧l i l l 【2 c j 戆缭暴傲了炽缡与改进，褥到了非 受矩阵最大特征值的新界馕它逶应予任何 负矩箨，与f r o b e n i v s 界值定理相比，理论证明箍单，精确度更高 其次用一耱新方法建立了一个区闻，以至于缀艨豹掰蠢鬻异值 包含在每个区阙内，并显这个区闻怒一个递减序列， 焉次用一种新睑方法褥到了 n j 奇羿复矩阵的最大、最小特征 值界的单调序列，髂计了特征傻韵包含域， 最舞仅仅零翔七，z ，嚣，陋眭鞠d c t z 吉计了o ) 刃( 众) 帮 o ) + + 砰( 么) ( 1 后z 咒) 的界并层当_ j = ，= l 时，俸为特例，霹以 得到单个奇异僮的龟含区域 关麓谲：菲负矩障，奇异值，特征值，p e r r o n 榱 a 幻f m c f a b s t r a c t t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e ss o m ep r o p e r t i e sa b o u tt h es i n g u l a rv a l u e a n de i g e n v a l u eo fm a t r i e e s f i f s t ly ， g e n e f a l i z es h u 一班n 鞭u 瞄0 l s r e s u l ta n di m p r o v eh i sr e s u i t ， o b t a i nt h eg r e a t e s te i g e n v a l u eo fan o n n e g a t i v em a t f i x 1 tc a nb e a p p l i a b l et oe v e r yn o n n e g a t i v em a t l t x ，t h en e wb o u n d sa r es h a r p e ra n d t h ep f o o fi sm o r es i m p l et h a nt h ef r o b e n i u st h e o f e m s e c o n d l y ，c o n s t r l l c ta ni n t e r v a li ns u c haw a yt h a ta l lt h es i n g u l a r v a l u e sa r ec o n t a i n e di ne a c hi n t e r v a l ，a n dt h i si n t e f v a li sad e c r e a s i n g s e q u e n c e t h e n ，d e r i v em o 珏o t o n i cs e q u e n c eo fb o u 硅d sf o rt h eb i g g e s t 、t 量l e s m a l l e s te i g e n v a l u e so f托珂 n o n s i n g u l a rc o i l l p l e xl n a t r i xa n de s t i i n a t e t h ei 呈l c l u s i o nr e g i o n so fe i g e n v a l u e s f i na l ly ，b o u n d sf o r ( 国回( 4 ) a 强d ( + + 霹( 椰，i n v o l v i n g 七， f ，h ，9 0 ，a n dd e t “o n l y ，a r eo b t a i n e d a n dw h e n 露= f = l ，a ss p e c i a l c a s e s ，w ec a no b t a i nb o u n d sf o fi n d i v i d u a ls i n g u l a fv a l u e s k e yw o r d s ：n o n n e g a t i v em a t r i x ，s i n g u l a rv a l u e ，e i g e n v a l u e ， p e r r o n r o o t 。i i 主要符号表 n c ( 黧) c “( 科) _ i l 靠( c ) ( ( r ) ) ( ) d e t ( 4 ) 丑( 4 ) p o ) 4 o 爿 o 盯( 一) f ，( 4 ) 主要符号表 自然数集合 复( 实) 数集合 h 维复( 实) 向量集合 n 阶复( 实) 矩阵集合 矩阵且的菇轭( 转鬣) 矩阵 矩阵的行列式 矩阵么的特征值 矩阵彳的谱半径 矩阵“是非负矩降 矩阵彳是正矩阵 矩阵一的奇异值 矩阵“的迹 m 猿剑牲声蹊 李久声骥掰璺交藜擎使谂文蹩零太塞零爨搔导下避嚣熬磅裳工露及激簿 的研究成果据我艨知，除了文串特别加以榉淀和致谢韵地方外，论文巾不 趣会箕簸天已经发表凌撰篝过藩霹巍袋暴，瞧苇餐禽瀑获褥鸯予秘接大学凌 其它教赣机梅的学使域证书嚣傻鬻避静材料与我一鳓王作的丽恚对本研党所 傲戆镁储爨靛蟓醴在论文中 搴了鼹磷抟谖骥舞：袭承落意。 签名：l ! ! 亟蛾瓣爨：秽8 罐每舅f 瑟 关子论雯攘透援投鼢瀵鬻 本擎缀论文梅者宪垒了解电予秘技大学簿获傈鬻、使薅学德论文的瓣定， 霄投保愁弗向罄家霄关部门或辊构邀交论文的复印件期磁盘，允许论文被套 阕帮蜜满+ 零夫莪蔽浇予辩撩夫掌冒戳耱学爱谂交瓣全鄢裴部分海容编入嚣关 数攥瘁激行检索，哥以采爝彩霹、缫印或j 薯搦等复制攀段僳眷、汇编学稼论 交。 f 傺徽的学戡谂文在解密焉疲遵守站翘定) 签端：蔓4 叠鲶 婚师签名 辩舞铲年 鎏 舞b 弱 第一章；l 嘉 1 ， 选题背景 第一耄引誊 作为数学的一个鬟要分支，矩阵鸯着悠久的发展掰史秘极其豢富的连容， 作为一种熬本的数学工具，矩箨在数学学科与其它科学技术领域，诸如数值 分褫、优化理论、微分方程、概率统计、运筹学、控制论、系统工程等学萃萼都 有广泛的应用，甚至在经滂管理、被会葺i 学等方遂，矩阵也起著十分鬟聚黥作 用现代科学技术的发展，特别怒电子计算枫技术的发展，为矩阵豹应用歼辟 了更广翔的前景 短阵豹奇异馕秘特征毽的 砉计在数馕代数移矩阵理论申砉有十分熏簧懿 逑位箍矩阵最小奇舅值和矩阵最大特征俊的估计是矩簿分析中的熏妥课越 之一，例如在迭代求解线性方程缎时，我们往往需要估计矩薄豹谱条件数矩 阵谱条传数在数德分柝等镶域中霄重要的佟爝，它给出了对数据抗动戆解瓣 敏感憔，特别堍，在线性方程缀的解的扰动分橱，特征俊润题的扰动分析等闯 题中都会邋到矩阵钓条件数因此给出矩簿条件数的继诗对研究各种矩阵闯 题的扰动闯题的扰动分辑有薰要意义其中最小奇异值豹下券镳计是一个估 计矩簿谬条传数的荧键豹数。最小奄舅值的下界估诗在其豫许多领域中瞧楚 一个极羹要的课题，弱藤有很熏要的理论和实际应用价值，因而最小奇异值 下界的估计一点是普遍关注的润题 1 + 1 1 矩阵奇募僮 设彳一吩) 为肼摆鼢复矩阵，不失一般帔我们可以假设雄m ，4 的奇异 蕊按照递减次序撄捌为 、 q ( 一) 如( 爿) 吒( 一) o ， 其中a 的奇笄值口0 ) 一翮，a ( 彳) 表示矩阵删+ 的特征馑 不妨设短薛么一( 鳓) 为一令雅弹羚复矩阵，鬻；l ，2 ，糟，我粕谴 塑型熬盔望堡圭鲎焦篓塞 蕊( 。) 。乏k | ，g ( 爿) = 1 | 1 9 7 5 年，j m - v 毳撼在【l j 中仅茅| j 用爿鲍元素得到了吒( p 豹下界倍诗，至 今仍被广泛弓| 用，结果如下：设爿芒坛( c ) ，k l r ( 4 ) 且k | g ( 彳) ， l = l ，2 ， ，则 民( 爿) 嬲蚓一冀) 德吲一( 蠢) ) ) 守 1 9 8 4 年，l i q t l l lq i 在 2 】中毽仅仪利用矩阵一是已的元索得到了下面翡结 果： ( 4 ) 鳃 1 卜一 墨( 么) ，g ( 4 ) ) 1 9 8 9 年，c h 黼e s r j o 醯s o i l 鞲将g e f s g o r i n 藏盘定骥瘦爝予最，j 、奇雾德豹 估计，结采明显优予【l 】，【2 谤q 结聚，结果如下： 镰( 彳) 嬲 k | 一言 琏( 4 ) + c ( 一) ( 1 。1 ) 、 j i 9 8 9 筝， 王，e w k o w i e z 在【4 珥= 给爨了( 一1 ) 孛取等母对鼢一令必要条俘， 静： 当( a ) = 磁( 名) 时，有 ( 五) = & ( 叠) ， 这里吩o ) = 懋 k l 圭 置- ) + c j p 蟠 ，五o ) ，l ：l ，2 ，托，为4 的特绽傻， 艇瞰啦瞰4 耠凇( 磷叠皇爿纨( 爵高，高 。 1 9 9 2 年，v 争h o n g 和c tp a n 在【5 】中利用行列式和雉阵“的行、列的2 范数给出了最小奇异值的下界： 删。驴忡a x 最揣，最编 ， 这里i ( 爿) 和q ( a ) 分别是矩阵4 的第缉 和第f 列的欧几恩德范数1 9 9 7 镲，y u y j - s h e n g 和g ud l l n h e 在 6 中给出了y p h o n g 和c tp a n 关于最小奇昴僮 第一章；l 言 f 界更简短浆证明，势鼠得到了翼勰糈确的结果。 黄廷祝和游兆永1 9 9 4 年在【7 】中利用g 一函数鹃概念寐讨论最小奇异德的 下界。撵广了【3 】的结聚 吒( 4 ) 寒粤 r e 一z ( 搿( 彳) ) ， 这里厂= ( z ，五，) 岛，定理黔接论为 吒( 4 ) 嘲 r e 一i ( ( 4 ) ) ， 这黑靛援论潮为【3 】鞠志要绩泉，这里静定理将j 遨绩荣耀j 一。到怼任一g 一涵数 成立1 9 9 7 年，黄廷祝、游兆永谯【8 】中零j 餍矩阵的分块技术和对角占优性质对 最小奇异傧的下界进行了估计，改进了前两的一些已有结聚 1 9 9 8 年，著名的矩阵学家c r 。j o h n s o n 鄹量s z l i l c 嘲基予霸g e r s c h g o r i n 豳 盘定理樱荚的谱包含定理：o s t r o s 瓣定理、b r a l 凇定理和e m d k o vj # 奇猴刘，得 到了矩阵最小奇异值的三个新的下界，并指蹬了这三个下晃是夏不包含的， 但它们的形式沈较复杂，结果如下： 嘶) ，簪4 阀2 砌) 矧a 吖一 醐) 吲么) ) ， 嘶域簪黔+ 鼯吩一辱i 可可丽 ) ， ( “) 栅n 嘞，) ， 鳓2 呻，舞蛾 i l 一言 蕊o ) 十q ( a ) ， = 。毋孙 | 讯卜丢e 荟 f 可习j 毫牟 这里 + k 瓣龄 ，2 陬l k 卜r p ) 一q ( 。) j | 炳( 彳) = f l ，州协m 长趣( 么) + g ( 名) 电子科技大学硕士学位论文 l 。1 2 矩薄特毯馕 + 扣( 。) + g ( z 腑啦一，小舛 辩阶复矩阵“的船个特征馑的几何意义是复平猫上的拧个点对予除数较 窝的矩薄，要计算出其特征傻静精度擅楚耀当困难的。纛姥，能由叠的元索氆。 的赫肇关系式使哥继计出么豹特摄馕濒褒位置豹范围( 帮所谓的特征僵 翥计) ， 就显得尤其熏要所给出豹范围越小，则估计的精度就越齑。实际应用中的 大最问题，往往不需要精确地计算出短阵的特征值，仅需估计出它们所在豹 范围就够了例如：线性代数方程缌迭代求解收敛性韵分析中，要估计个 矩阵豹特德德是否都在复乎遥的单位蠲内：与差分法的稳定性有关的闽题， 癸判定矩阵的特锰值楚秀都落在零位圆土：系统与控制理论中，通过估计缒 终特征值是否都霄负实部，即是否都位予复平面的左半平面海，便娜知道系 统的稳定性：等等在实际问题中，经常会遇到h e 勰i t e 短阵，如用等距的差 分格式求解调和方程的第一类边值润题所产生的短阵：用霄限元法求解莱些 结槐同题融所产生豹澍度矩阵等等对于h e f m i t e 短薅，特征僮可以表征为一 系蘸蕞优佬溺越懿勰 关予矩阵特征值的分布区域闻题，1 9 3 1 年，g e r s 积g o r i n l “1 蓄先证明了著名 豹圆盘定理，在这綦磷上，1 9 3 7 华和1 9 5 1 年，o s 拍w s 礤1 1 1 作了改进，1 9 5 8 牮，f a n k 尹4 得到了一个类似的结果，1 9 6 2 年，f e i n g o l d 和v a r g a f l 3 j 又将 g e r s c h g o i n 鲍结果搬广到分块短阵1 9 7 9 年，v 勰d e r s l u i g 州又月抗动对角予块 瓣方法讨论了这一瓣憨，毽所有这些帮簧霜若于个子集( 稿盘、郛髟或其德区 域) 豹并集才能确定会体特征值的分布区域，除g e r s c h g o r i n 圜盘定理外，其余 这些结果往往都很复杂，理论分析和实际计算都不方便。 非负矩阵理论楚研究元素非负的实矩箨的理论。它起源予由p e f r o n 在 1 9 0 7 年研究正耀薄谱性质辩发现，厨来由f f o b e n i u s 在1 9 1 2 年推广到荚予替 受矩阵谱半径豹一个优美结果非负短阵静慕零理谂，它以p e r r o n f r o b e n i u s 理论为基础，遴过上个氆纪中麓以采著名矩阵论专家a b r a u 。r ，0 t a u s s k y ， r s v a r g a ，a 。o s t r o w s 弑等的卓有建树的工作，现在巴逐步形成比较完美的理 论非负矩阵的理论在各类矩箨豹谱分柝中有着广泛的应用，尤其是对予 曼：垩鐾基 ： m a r k o v 链理论、偏微分方程数值解的一般理论之应用，鲞是人们十分关注 的热门课题藤非负矩阵谱半径即是p e r r o n 根 菲爱矩阵p 。n 根的话计最著名的是f r o b e n i u s 不等式，鄹： 戆骞嘞，( 4 ) 懋喜吆， ( 1 - 2 ) 熟喜嘞量r 一) 鬻砉嘞 若4 避正矩降，磷荟吩 鳓蔷嘞，划上嚣的式予中肖一边的等号成立 当盈仅警 ， ，；杰吩，f 吐2 ，托 l c d e 瑚a n l l 提出，如何确定厩数a 和仍，使得 戆喜气把州衅群砉吩协 成立他获得如下结论： 矿+ 蹿( 去一t p ( 班震一簪( t 括) ， 其中，r 2 峄荟吻，p 2 哆n 荟，譬2 睁吩，艿2 鬻- 以) ，i 为一的第f 行 行裙。 l e d e r m a i l n 的结果出o s 仃o w s l ( i 彳乍了如下改进： p + 蹿皓一t p ( 蠢) 史一哿( t 一仃) ， 其中，盯= i i i 5 7 两因为 疗2 = ( p 一蟹矽( 矗笮) 夤臀( 。) 地 所以，0 8 t r o w s k i 豹界馕眈l e d e 珊a n n 的界值更精确+ 皇王型墼态堂堡主堂垡篓塞 8 r a u 文”又改进了正矩阵最大特征值的这些赛，并证明了在涉及玑r 翻p 的一切可能的界值中，他豹结果是最好静，因为对予侄传绘定的玩霆程1 d 瀵足 震 矿聊 o ， 都存在编晨和p 分捌为最大行和，最小行莘眭与最小元察的疆 x 撑矩障，其最大 特征德取到b r a u e r 的上下界值： ，p + 叩( 磊一t ) r ( 彳) 袁一笮( ，一言 ， r 一2 芍+ r 2 4 誓( 震一p 口= - - m - - - - - * ：- - - - - ：- - - 6 2 ( 妒一叩) 。 矗。：2 竺! ： o ，这对得到豹结果至少总是帮 2 1 鹃绩栗一样好： r ( o ) 这里 莨 押= 2 ，4 ， 禺i i 丽卜乇s ， 膨一 f 璐；悟掣) ， 万= 蛐n 如，珊嘲 ，+ 朋瓦 ，霞2 = 去办( o 甜) 2 ) 卢琳璋、马飞在【2 4 】中鄹用校议变换这个方法褥到翔下的结果： p ( 一) m a x 溪乒。，m 。一珊丐璺q ，。 o ，0 m t b b b 8 p 融# 5 l 得到了两个哭予p e r r o n 稷的不铸式，对任意的f ， o f l ， 崔 ，( d + ( 1 一r ) 露) 驴( 么) 十( 1 一f ) ，( 嚣) ， ( 1 3 ) 这里4 ，艿跫静受不可约嚣栉矩阵，并晨有公共豹右特征向量v 和公共豹左特征 国量甜，当o f o ) 、 定义2 i 2 _ ( j = l ，2 ， ) 为的f 行行和，r 是a 的最大特征值，有时候 我们也叫它为p e “o n 根。 f r o b e n i u s 界值定理设，是n 阶非负矩阵且的最大特征值，f ( f _ 1 ，2 ，、n ) 为_ 的j 行行和，则 m i o ，m a x ， ( 2 - 1 ) 对于“的f 列列和c ( f = l ，2 ，”) ，有相同的结论 对于有非零行和的非负矩阵，h m i n c l l 9 】把( 2 1 ) 式改进为 哪“唼善) 如峄吉善协 ( 2 。2 ) 对于正矩阵“，w l e d e n n ，a o s h o w s d l 7 1 和丸耻a u e r 对( 2 - 1 ) 式有相 继作了改进，但这三种界值都可归纳为f r o b e n i u s 界值的特殊情况 在2 2 节中介绍非负矩阵最大特征值的一种新界值，它适应于任何非负矩 阵与f r o b e n i u s 界值定理相比，理论证明简单，精确度更高 2 2 非负矩阵最大特征值的新界值 引理2 2 1r 是n 阶矩阵的一个特征值，( 五，如，j ) 和( m ，儿，儿) 分 别是一和一7 对应于，的特征向量，则 别是一和一7 对应于，的特征向量，则 一。釜三童整壅缝蓬璧盔鳖堑焦墨整焦盐 ，：。t = ：，薯，( 2 3 ) ，：，咒= ：；只q ( 2 4 ) 零f 联2 2 。2 设甄，碍2 ，吼是遥数，a ，见，岛是经意的安数，刘 唧n 等s 篆鼍筹三蛩峄导，、 弘s ， | q t q l 七q 2 斗七q n t q 。 、 当且纹警挠骞的琵傻职舔楣等对，( 2 5 ) 取等学。 孳l 璞2 2 3 ( ( 2 0 ) 设爿= ( ) 建再阶矩阵，豹f 行行鞠与f 到期和记为 ( 4 2 ) 与q ( z 2 ) ( f = l ，2 ，靠) ，哭0 ( ) = 三嚷i ( 幻，( 2 6 ) t “) = 二q ) ( 2 。7 ) 定理2 - 2 l 设，魁挖阶非负矩阵4 的最大特征使，似) ，t ( 4 ) o = l ，2 ，h ) 分嗣为其第f 行行秘与f 捌列和，艿= 织+ ? 广1 ( ，是单位矩阵) ，则对经意囊整数 _ j ，掰，有 平哆并) s 峄( 篙等) ， p s ) 平呼辫) 峄( 警等) 弘9 ) 证鞠设y = 执，款，咒) 7 o ，爿= ( 鼍，如，投) o 分剃是爿翔一对疲于r 的特征向鳖，显二蕾= l ，：，咒= l ，易徭 嚣哼= p + 1 ) “y ，( 矿) 7 肖= p 十1 ) 如”1 搿，彳”y = ，m e 爿m 肖：r m 爿， 名辫嚣。】i ，= ，“p 十1 ) + 加一”只( 爿埘b 。) r 。v = ，“p + 1 ) 。枷l 并， ， 由弓| 理2 2 i ，p 十1 ) 坳。：，一i ( ) ，( ，十1 ) 2 呐= ：，t ( ) ，于是 再由弓l 理2 2 2 叩鬻母筹妒s 峄鬻叩鬻， 竺 耔百 l 黔 膨 电子科技大学硕士学位论文 定理2 。2 2 设r 是弹阶赣受矩阵4 豹最大特锻值，秘) ，( _ ) 0 = l ，2 ，h ) 分别为其第f 行杼和与f 剜列和，嚣= _ 十，) 一- ( j 是攀位矩阵k 则对任意委整数 锄， 鞣啤n ( 篙筹彤 与 憋峄( 篙筹) 存在，丑 l t 珠m 弧攀彤r l i m 瓣双蝉弘。 m 。、馏。) 7 _ ，、t ( 扩) 7 证明记雪= ( 毛) ，对于任意菠整数| ； ，m ，由弓l 联2 2 3 中的( 2 6 ) 和引理 2 2 2 中的( 2 5 ) 褥 错：黑鬻g 峄鬻， “1 竞毛i ( 矿) 一“。嗡( 萨) 一。( 矿) 故h 辫，卜递减有下鼽同瑗可诞陋鬻，卜递增 有上界从霹，定遴2 ，2 2 缮 正+ 2 3 洼记与数德髑予 2 。3 。1 洼记 1 如果妒= ，当奄= o 时，( 2 8 ) 式即为f r o b e n i u s 界值 2 由定理2 。2 。2 的证明过程可知 m f 鬻细鬻9 甲鬻甲“，；i ( 嚣。) t t ( 艿“)- ( 廖) ，“7 所以，这銎所分绍的界值与f r o b e n i u s 界值定理褪比，精确发受麓。 3 ，如果4 是雄阶非负可约矩阵，则存在筇阶鬣换矩阵p ，使褥 第：蕈i # 煎恕i 辱最大猎让值界嗣佶计 只4 p 7 ： 砖14 2 o 4 2 0o 蠢。 呜。 磊。 2 ) ， 其中块对角线上每块乓o = l ，2 ，棚) 或为不可约矩阵或为一阶零矩阵 懿莱记4 的最大特征藏为五( 4 ) ，卫( 么) = 五( 黝) = 滋冀( 4 ) 蹩缀器然的， 这样我髓就可毅对茭的最大值避行储计 2 3 。2 数值例子 对正矩阵么= 旺 封，我们计算它的的最大特征俊r 如下表 表卜l 实际上，么的最大特征值，= 5 7 4 1 6 5 7 3 8 电子科技大学颈士学位论文 3 1 弓l 害 第兰章矩薄奇异值的包含区域 o s c 曩rr o ，r i 黻r d o s d t o 和毯c t o fr 砖。在 3 8 巾穗经构建了一个递减豹 长方形序列( ) 经得筇+ l 酚复簸降掰有特征痿都寇含在每一个中，送里 | r e 磊一删娜 l拧十ll 陋一荆|雌+ l 4 这墨t = l ，2 ， | ，n + l ，p o ，并鼠( & ) ，弓= 巧巧是递减瀚，这里 = 高和一掣玎， 岛= 高和气一掣 2 物， 巧- 掣吩掣+ 卜 巧= f 掣嘭掣+ 岛1 。 对予矩阵的奇舅值，矩阵a 的奇异傻的平方实质上就是h e r m i t i a n 矩阵4 + 4 或 删+ 豹特征值，舒髯傻的包含区间可以通_ j 遣应用关于4 或删+ 的定璎得到。 不牵豹是这秘方法怒嚣常复杂的瞧商一些佟豢铡蠲_ 是身的元素得赉奇异 傻弱 舂计，例始 3 3 3 9 4 0 这里通过运用 3 8 中得封静一垡结采，我们褥到个递减区溜，并且矩 阵所有的奇异值都包含在每一个区间肉 第三章矩薄鸯舅催的包含区域 3 。2 主娶结果 善l 理3 2 1 设，盔，l i ，或+ l 楚实数，并翌嫉+ + + 奴l = o ，嬲当 i = l ，2 ，一，摊+ l ，j p n 时，有 犯篙耖， 成立， 定理3 。2 1 彳为个行十l 阶豹复雉阵， 有奇异值峻 = l ，2 ，摊+ 1 ) 包含在区闯 阿，巧 n f ， 这里p 墨n ，著鼠 诞疆嚣为 掇据弓 壤3 。2 1 褥 它的奇异值为q ，+ ，。则所 ( 3 一1 ) = 呙和矧靴， ：， 。降辑r = 阵一r 乳一矧。 i - 1 开 k 一蚓 缓一球缓+ 因诧，每个哝= l ，2 ，刀+ 1 ) 包含在区间( 3 一1 ) 游 下嚣番一下区闻序列 ， 豹收敛瞧 孳l 理3 2 。2 如粜磷，哦，攻。楚实数，并藏旗手吱十十哦+ ，= o ，至少存在 电子科技大学矮士学位论文 个，使得磙o ，剿序列( ) 是递减的，这里 s 嵩耖r 定理3 2 2 4 为一个船+ 1 阶的复矩终，q ，吼，吒+ l 烂它的奇异值，黉h 序 列 ，巧 是递减豹 试酮力了涯髓 ，+ ， 量 ，名 成立，我们要诞明。茎成立 露一磐一磐，矗一磐， 1 孵+ l 。 厅+ l 。 1 搿+ l 满飕引理3 2 2 的祭件，则 ：岛黔矧搬， 趋遄缓盼，邵。憋避藏的，j l i l j 序多 ，。，匕 是递减瓣。 定理3 2 3 么为一个 + l 阶的复矩阵，它的奇异傻蹙q ，嚷m 潮由 ( 3 + 2 ) 定义的序列旁下嚣的极限 w ；慧：峄k 缓| ， 谜明设y 。降缓一缓，矗一缓1 2 建一个向量，邮圆褥 可荔专n ， 这里嗍2 ，燕向量v 的2 p 藏数 因为当p 趋向冤穷大融m ：，趋予。，则当p 趋淘无穷大时薯矗1 怖趋 予l 。显然 w ：磐制b p k 一缓 3 3 数馕例予 第三牵矩阵奇舞焦静包含酝域 这羹我们用黎罗罗在f 4 1 中的例子，设 一= 匿嘲 褒f 4 1 】中，作蠹褥翻么的所霄特征馕包含燕嚣润【o ，l o 3 6 4 9 】内出定理 3 2 2 ，我僻褥到 表2 1 p 巧 l o l o 3 2 1 7 2ol o 。3 2 1 7 40 l o 2 4 2 8 8o1 0 2 1 5 3 1 6 o l o 2 1 3 7 i 3 2oi o 2 1 3 7 矩阵a 的奇异僚为l o 2 1 3 7 ，5 9 s 8 8 和2 8 s 9 0 电子羊粤技大学硕士学位论文 4 1 写i 富 第豳耄矩薄特征值豹单调序列 设蠢是一个埠摊除静复矩阵，q ( 4 ) 吼固怒么豹奇异值，曩 ( _ ) + 霹( 么) 十+ ( 4 ) = l 么躲， 嚷( a ) 玎j ( 4 ) 一( 爿) = | d e t 4 i ， 这里0 嗣i d e t 一| 分别是“的f r o b e n i u s 范数和么的行摊式1 9 9 9 年，9 r o j o 在 【4 2 】中获穆了最大奇异佳界的单调j 挚列： 8 ( 4 4 m e 瑶( 4 ) s ”。2 ， 这墨瓠建方程 妒一，x 十( ”一1 ) 胁彳r ”= o ， 的两个正根，并且 当= o 对，( 霹w 2 ) 遥吒( 么) 上界的个递增序列； 当= 驴l 1 辩，霹。”2 ) 楚q ( 4 ) 上界的一个递减净列 这薰裱) 是序列 雌一l 陋爿p “一 1 。丽瓣+ 根据f 4 2 】我们褥出一些相似的结果，并且形式与o 。r o j o 哭予最大奇异值 豹结暴类似。镁设五删) 冯捌) 五( 一) o 是弹栉陵嚣奇异复矩阵妁特征德， 量 。 五( 么) + 疋( ) + 十一( 么) = 护( 彳) ， ( 4 ) 五( a ) 以( 一) = l d e t 叫， 这里护f 一) 是么的迹 毒2 主要绩巢 搬据几薅算数平均数，有 第鲤章矩阵特征氆的革调窿列 炉阁”1 ， 不等式两边同时乘以气( 4 ) 得 矗( 蠢) 是( 固气( 么) l 昔| 五( a ) ， f 乃( 固r 刚( 鼍掣卜， 删r ”( 塑车半抄1 ) ( 国 。 k群一l，6 、 霞越，褥到弓| 理4 2 1 弓l 理4 2 1 蛰么是糟n 阶的复矩阵，并且它有正的实数特征值，则每个特 征值满足 五箩”一1 ( “) 一妒( ) 彭轴一1 ( 4 ) + ( 雄一1 ) l d 毹么，枷_ 1 o ( 4 1 ) 摄据不等式( 4 1 ) ，建立了方程 厂( x ) ；x 一一挣( 4 ) x + ( 胛一i ) l d e t a l ”o - 1 ， 在下瑟的弓| 理孛给出了函数厂的一篓性臻。 弓l 理4 2 2 设，：f 曼丝r ”，则 l 。，( r ) g 钒。当且仅当 d e t 彳p 。堂， 押 孵取等弩 2 霉( ，) ：o ， 积 3 。当o o d譬dx ( 4 - 2 ) ( 4 - 3 ) 妻王銎墼盔堂堡圭堂焦擒塞 4 。当x r 时，是一个凸函数 涯明霰援尼嚣算数平均数，蠢 阳= 枣树) s 掣n 则 陋么p “一 r 辩是严格璞热懿，当x o 辩，函数，在r 肖最小僮； 2 辱在难一的8 ( o ，】和难一豹 ，使得厂( a ) = o ，( 夕) = o ； 3 。当茹 o 时，当且仪当x k ，用时，( x ) o 定理4 2 1 嚣么是群聆黔豹复方矩蹲，并基它有获的实数特征值，则它的 特 垂篷磊( 么) 包含在 f 窿枷。) ，夕。卅1 ， 这基，是方穗 第四荦矩阵特征德的单调厣则 x 4 一护( “) 并+ ( 一1 ) i d c t 一”= o ，( 4 4 ) 的两个正根，特剐豹， 口”。磊( 固；稽& ( 4 ) 8 。( 4 5 ) 证明由弓l 理4 2 1 知，( 硝陋1 ( 崖) ) o ，再运用接论4 2 1 待 掣“( 4 ) 【a ，声 自= l ，2 ，- ，n ， 五( 4 ) l 口枷。，矿。l 女= l ，2 ，儿 方程( 4 4 ) 的弼个芷根群，w 以掇据解非线性方程根的基零数学方法得到，考 虑当工 0 孵函数厂的凸性，鼹牛顿法是非常方便的， 对方程( 4 。4 ) 露牛顿迭代法樗 确= 焉嚣， 洚a ， ，2 而奇茄瓣 【4 曲) 当并o 辩，根据函数，的凸往证明了如果而= o 时，序列( 稚j 是递增豹并虽收 敛予d 为了获得一个收敛于的序列，我们需要发现一个最初的来船数 我们裔 歹( 扩帆“。( ) ) = ( 群一1 ) l d e t 矗| 靴” o ， r 扩如。( 4 ) ， 因此， o 是楚蹲芷豹实特镊氆在 4 3 】中j o r m ak a a r l om e r i k o s k i 和a 鞋v i r t a n e n 仅仅用_ j ，z ，器，加( 么) ，d e t “已经得至9 了以五和以+ 十& ( 1 豇z n ) 的界。这个闯题在以往的文献中没眷被讨论 过在理论和实践上奇异姨的德计也是菲常熏要豹为了在实跤中方便，理 论上完餐，可能需要和j o r m ak a 碳om e 放o s k i 和a r iv i f t a n e n 的矩阵特征傻结 果相似的矩阵奇舅傻的界 相似的，设一是 n 阶的复短阵，矩簿的资异值为 q ( a ) ( 么) 兰( ) ，那么我稍用相弼豹方法仅仅聪髑露，z ，聆，渊沁和 d e t 彳去估计o ) 回( 国和霹一) + + 曰( “) ( 1 七z ”) ，作为特倒，我们能 得到单个的奇异值的界 不论x 是磷定义，这里定义妒= l 和敬= 0 5 。2 烹要结果 榔嘲刮罐七叫附陋群r “，。 ( 。( 砂。( _ ) ) 牡亟趔粤地避亟坐掣， 厅挖贸 ( 。( 国( 爿) ) 壮s ( d e t 蠢广兰( 霄( 固( ) 班亟垡生；! ! 塑尘， 矗删卜。洽i 蔫j 刚2 - 电子科技大学硕士学位论文 斟陋卵r 婀柏垆) 篓! 生! 主：三互! 曼! 一t 蚴洲r r ( 蠢_ ) ( 4 ) ) 姆“( ( 固回( 彳) ) 1 ( 。“” 噻! 生2 ：生l 生! 。童! 生2 立：盔i 兰! 柏哟，岛b 蝌1 1 睁“， 翻伊碟砷叫寄厂厂 ( 5 一1 ) ( 5 2 ) 第五章矩阵鸯昴傻的眷 所以 证髓因为 露( 么) 露( _ ) ( d 量，( 名) + 。+ ( 么) ) ( ! i ! ! ! 三二二二! i ! 三墨! ；! ! ! ! ! ：蔓型丁“ = 槲1 ， ( 霹 一) ( 固y “。1 p e t 么f = ( 砰( 4 ) ( _ ) ) ”。磙；( 么) t 爵( 一 这样我们可数得戮 ( c 呼( 爿) c ( 一) ) “一2 ( ! ! ：! t ! ：； ：! - ；f ! ：丝丁一。 掣r i一一丘l 霹( 固( 鼻) 南( 鳟小”， 陋“| 2 舻2 | l 应用( 5 一1 ) 到| d e t 名| 2 = ( 露( 4 ) 醴。( a ) ) ( 州( 4 ) ( 。) ) ，这样就得到了结果 卜蚋胁卵斟。“珧”轴辄玲锨固 岛船1 r “帅+ l ， 电子科技大学硕士学位论文 当露，= 荐一l 时，这个下界也是有效的 证明由定蠖5 。2 1 耱雩l 理5 2 2 ，诞明是显然静 写l 理5 2 3 设l 露冬n ，更 枷删s 南堡嘲“， 一啪冰蠡一南筝( 孵 证辨设o f l ，则 f 垃卜f l 肿1 l ( 5 m 3 ) ( 5 - 4 ) f ( 露( “) + + ( 爿) ) 蜓! 坐堕! 竺：! ! 二垒堡! 竺三垒! 竺：篓! 垄 f ( 回( 4 ) + + 霹( 爿) ) ( 1 一f ) 砰( 名) t 田( 么) = f ( 1 一f ) 。( ( “) + 叶司( 么) ) 阻么1 2 ， 然两 露( 固+ + ( 固可圭了南 因为岛= 击 蒯 11 而硼4 c ， ：学， 因此，( 1 2 ) 就证明出寒了应用( 1 2 ) 到 4 彳睦= ( ( + + 。( 爿) ) + ( 。( 由+ + 霞( “) ) ， 这样就褥到了( 1 3 ) 定理5 ，2 3 设l s 意z h ，翼h 等岫；一南寿科1 l 障磊 赤 第纛章矩阵奄异傣静界 ( 一) + + 豸( 么) 印拼，南( 钭“， 这个定理包含引瑗5 2 。3 作为特例 证明应羽定理5 2 1 和引理5 2 3 ， 雁明是显然的 s 。3 例予 设蠢= 蕊孵( 5 ，4 ，3 ，2 ，p ，下面燕我们的界： ( 崖) + ( z ) 3 4 6 2 8 ，表定理5 2 1 霹( “) 霹( 4 ) 7 8 9 4 6 4 7 ，由定理5 2 2 ； 霹( 名) + 霹( z ) + 西( 彳) 2 5 1 ，4 7 0 0 ，由定理5 2 3 ， 电子科技大学硕士学位论文 致谢 程论文完成之际，衷心感谢辱群黄廷祝教授的关心帮教诲。在教读硖士 学位的两年多来，黄教授在备方面都绘了我精心指导本文从选题到完成都 楚在黄廷祝教授豹攒导下遴彳亍瓣德为我论文的完成提供了大量的文簸强料 我的每一篇论文稳鄱认真纲致逮审溺修敬遗。 黄老烀严谨的治学态度，敏锐的澜察力，渊薄的学议移高尚的人格都深 深地感染过我，将使我终生学之不尽，受益无穷! 感谢邓建华老师、受兆红老廊等应用数学学院的老掇对我学习生活上的关 心和帮助 衷心感谢我靛鬻学帮蘩劲j 窭我豹髓发雷】：麓小琴、强静、郭育红、周生傣， 感谢健们给我的鼓励和支持! 感谢电子科技大学应用数学学院的每一位给予我帮助的老师霸工作人员! 参考文献 【2 】 参考文献 j m v a r a h 。al o w e rb o u n df o r 协e a p p l ，1 9 7 5 ，l l ：3 5 l i q u n q i s o m es i m p l ee s t i 撒a 毫e s a l g e b r aa p p l ，1 9 8 4 ，5 6 ：1 0 5 - 1 1 9 s m a l l e s ts i n g u l a fv a l u e l i n e a fa l g e b r a f o rs i n g u l a rv a l u e so f 鑫m a t r i x 。l i n e a r f 3 】c r j o h l l s o n ag e f s g o r i n - t y p el o w e fb o u n df o rt h es m a l l e s ts i n g u l a rv a l u o l i n e a ra l g e b f 鑫a p p l 。，1 9 8 9 ，l12 ：l - 7 【4 】i 己e w k o w i c z 。r e m a r k so ne q u a l i t yi nj o h n s o n sl o w e rb o l l n d sf o rt h e s m a l l e s ts i n g u l a rv a l u eo fam a t f i x l i n e a ra l g e b f aa p p l ，1 9 8 9 ，1 2 0 ：3 9 - 4 6 【5 3y 。我h o n 岛c 。t 。p a n al o w e rb o u n df o ft h es 糯a l l e s tv a i u e s l i n e a ra l g e b r a a p p l 。，1 9 9 2 ，1 7 2 ：2 7 3 2 e 6 】y uy i s h e n g ，g ud u n 地e an o t eo nal o w e rb o u n df o rt h es m a l l e s ts i n g u l a r v a l h e l i n e a ra l g e b r aa p p l ，1 9 9 7 ，2 5 3 ：2 5 - 3 8 【7 】黄廷祝，游熬永，矩阵最小奄异值静下器，王程数学学报，1 9 9 4 ，l l ： 1 l o 一1 1 2 【8 】黄廷祝，游兆永，矩阵摄小奇异俊的下界健计，计算数学，1 9 9 7 ，1 9 ： 3 5 9 - 3 6 4 【9 】c h 8 r l e s r 。j o h n s o 拄a n dt o m a s zs z u l c ，f u r t h e rl o w e fb o n n d sf o rt h e s m a l l e s ts 抽g u l a rv a l u e ，l i n e a ra l g e b r aa p p l ，1 9 9 8 ，2 7 2 ：1 6 9 - 1 7 9 1 0 】v a f g a r s m a t r i xi t e r a t i v ea n a l y s i s 。嚣n g l e w o o dc l i f f s ，n e wj e f s e y ： p r e n t i c e h 挂l l ，i n c ，l9 6 2 【11 】p u n m a nn j m a t r i xt h e o r ya n di t sa p p l i e a t i o n s 。n e wy o r ka n db a s e l ， m a r c e ld e k k 嚣r ，l n c ，l9 7 6 12 】f a nk y n o t eo nc i r c u l a rd i s k sc o n t a i n i n gt h ee i g e n v a l u e so f8 d a l r i x d u k em a t h j ，1 9 5 8 ，2 5 ：4 4 l * 4 4 s 【1 3 】f e i n g o l dd g a n dv a r g ar s b l o c kd i a g o n a i l yd o m i n 矗n t 嗄a t r i c e sa n d g e n e r 鞋l i z a t i o 辞so f # h eg e r s c h g o r i nc i f c l et h e o r e m p a c i f i cj m a t h ，19 6 2 ， i2 ：l2 4 l 。】2 5 0 - 2 9 - 电予科技大学硕士学位论文 fl4 】a + v a nd e rs l u l s ，g e r s c h g o f i nd o m a i n sf o rp a r t i t i o n e dm a t r i c e s l i n e a r a l g e b r aa p p l t ，19 7 9 ，2 6 ：2 6 5 2 8 0 【1 5 】g f f o b e n i u s ，u b e f 垤a t r l z e na u sn i c h t n e g a t i v e n 嚣l e 玎l e 菇t e n ，s i t z 驻n g s b e r k o n 。u s s a k a d w i s s b e r l i n 1 9 i 2 【l6 】w l e d e r m a n n ，b o u n d sf o rt h eg r e a t e s tl a t e n tf o o to fap o s i t i v