（应用数学专业论文）lr模糊数排序方法.pdf

l _ r 模糊数排序方法 摘要 在模糊多属性决策中，备选方案的捧序往往转化为l - r 模糊数的捧序 因此l - r 模糊数的捧序是模糊多属性决策中一个主要问题本文基于l - r 模糊数隶属函数曲线质心的几何性质，提出三种新的l - r 模糊数捧序方法， 主要工作如下： 1 首先根据隶属函数是l - r 模糊数的一个重要特征，将模糊数隶属函 数对应曲线质心在横坐标上的分量，作为区分模糊数优劣的数量指标，得 出模糊数捧序的一个质心横指标另外考虑到模糊数的散度，通过口截集 技术构造度量模糊数扩散程度的数量指标即区分度指标，并根据决策者的 偏好综合质心指标和区分度指标，得出一个基于质心和区分度的模糊数捧 序函数，依据该摔序函数可对模糊数进行有效的捧序 2 模糊数隶属函数曲线的质心，涉及到质心在坐标轴上的两个分量， 分别是模糊数隶属函数对应曲线质心在横坐标上的分量和纵坐标上的分 量。于是将模糊数质心到原点的e u c l i d e a n 距离作为度量模糊数优劣的数 量指标，提出一种基于质心和距离的模糊数捧序方法另外，分别以模糊 数隶属函数曲线几何质心的横坐标和纵坐标作为矩形的长和宽，并以该矩 形的面积作为度量模糊数优劣的数量指标，提出了一种基于质心和面积的 模糊数捧序指标 关键词：模糊数捧序，质心 a p p r o a c h e sf o rt h er a n l ( i n go fl rf u z z y n u m b e r s a b s t r a c t i nf u z z ym u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o n , t h ep r o b l e mo fg i v i n gp r o p e ro r d e rt o a l t e r n a t i v e sf i n a l l yr e s u l t si no n ef o rg i v i n gt h er a n k i n gr e l a t i o no fl - rf u z z y n u m b e r s i nt h e s ep r o b l e m s ，n e c e s s i t yo fp r o c e d u r e st or a n kl - r f u = y n u m b e r si so b v i o u s b a s e do nt h eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so f t h ef f a r v eo f l - rf u z z y n u m b e r sm e m b e r s h i p ，t h r e em e t h o d sw e r ep r o p o s e dt or a n k i n gl - rf u z z y n u m b e r s t h em a i nc o n t e n to f t h i st h e s i sa r ea sf o l l o w i n g ： 1 al - rf u z z yn u m b e ri se x p r e s s e db yi t sm e m b e r s h i pf u n c t i o n ，h e n c et h e m e m b e r s h i pf u n c t i o ni sm u c hm o r ei m p o r t a n tw h e nr a n k i n gf u z z yn u m b e m t h e nw em a yd e p e n do nt h ec e n t r o i do f m e m b e r s h i pf u n c t i o nw h i c hq u a n t i t yo n x - c o o r d i n a t ea st h ef i r s tr a n k i n gi n d e x w h e r e a f l e ran e wi n d e xi so b t a i n e db y u s i n gt h ee u r v i l i n e a rc c n t r o i do ff u z z yn u m b e r a st h ec u r v i l i n e a rc e n t r o i do f f u z z yn u m b e ri n d e xj u s to n l yt h i n k so ft h ec e n t r a lt e n d e n c yo ff u z z yn u m b e r s , b u tr e g a r d l e s so ft h ed i f f u s e dd e g r e eo ff u z z yn u m b e r s t h e nas p e c i f i c a t i o n d e g r e ei n d e xi sa d v a n c e db a s e do nt h ew e i g h t e dd i f f u s e dd e g r e eo f 岫 n u m b e r sb yt h e 盯- c u t s w h e r e a f t e ran e wr a n k i n gm e t h o di so b t a i n e db y s y n t h e s i s i n gt h e t w oi n d e x e s 2 t h ec e n t r o i do f f u z z yn u m b e r sm e m b e r s h i p ，w h i c hc o r r e s p o n d st ov a l u e o nt h eh o d z o n t a la x i sa n dv a l u eo nt h ev e r t i c a la x i s j 1 1 ”e u c l i d e 孤d i s t a n c e i n d e xb e t w e e nt h ec e n t r o i dp o i n ta n do r i g i n a lp o i mw a sp r o p o s e d o t h e rw i s e ，a c e n t r o i d - b a s e d 铷屯am e t h o dw a sp r o p o s e d , w h e r et h ef u z z yn u m b e r sa r e c o m p a r e da n dr a n k e di nt e r m so ft h e i ra r e ad i s t a n c e sf r o mt h e i rc e n t r o i dp o i n t s t o t h e o r i g i l l k e yw o r d s ：f u z z yn u m b e r st a n k i n ge ，e n t r o i d 广西大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文 的研究内容。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究成果，也不包含 本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集 体，均己在论文中明确说明并致谢 论文作者签名： 缘必 学位论文使用授权说明 御年b 月确 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本： 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容 请选择发布时问： 囚郐时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文作者签名：稼乔 工一r 期羲捧序：瞒 1 1 选题的研究意义 第一章绪论 随着生产力和科学技术的不断发展，多属性决策的研究与应用越来越广泛。同 时由于事物的复杂性和人们对事物认识的模糊性，尤其是对发展中事物的认识很难把 握本质，这就使得决策信息具有模糊性。目前，关于模糊多属性决策问题的研究已经 得到人们的重视。在模糊多属性决策分析中，人们对事物的判断常常被表示为一系列 的模糊数，因此模糊数通常被作为描述方案偏好出现在实际问题中从模糊数的定义 及性质知道，模糊数之间的顺序关系不是普通意义下的全序关系，而是格结构下的半 序关系，这就使得模糊数的比较与排序成为模糊多属性决策中既重要而又艰难的任务 之一本文主要探讨应用广泛的l 一硎莫糊数的比较与排序。 1 2 国内外的研究现状 在模糊决策中，模糊数的排序是一个非常重要的环节。自1 9 7 6 年j a i n 第 一次提出模糊数捧序方法以来，很多学者对模糊数的比较与捧序方进行了 研究“。b o r t 0 1 和d e 阴n i t e 于1 9 8 5 年回顾并比较了一些已有的模糊数排序方 法2 0 0 2 年c h e n 和h w 锄g 又总结了近年来大家比较关注的一些模糊数捧序方 法。n a k a m u r a 2 将所有的排序方法划分为两类：第一类捧序方法p 州采用某种捧 序函数将模糊数映射到实数轴上，得到一个以实数大小为基准的自然顺序。第二种方 法陟”- 根据某种准则寻求一个参照物，并以此基准对一组模糊数进行比较和捧序在 第一类方法中：j a i n w 定义了一个模糊极大集，并以此作为标准度量每个模糊集的大 小，从而得出模糊集的捧序；c h e n ”针对j a i n 方法中的缺陷进行了改进，构造了两个 模糊集一模糊极大集和模糊极小集；y a g e r “运用所提出的三个指标f 1 、见、玛对模 糊集进行排序；a d a m o 嘲定义了一个基于即截集的捧序函数；l e 耻“”借助模糊事件 概率测度的概念定义了模糊集的均值和方差。并考虑到了模糊集的可信度；在第二类 方法中：b 瓣k 啪l 【e 珊a a k 通过隶属函数定义了模糊集作为最佳选择的可能程度， 并将其作为排序函数，从模糊集理论的角度来说是合理的；d u b i o s - p r a d 屺”借用模 糊测度的可能性及必然性定义了四个指标：可能优先集p d 、可能严格优先集p s i ) ， 必然优先集n d ，必然严格优先集n s d ；c h e n _ l u 闻通过截集构造了一种方案的指 l ，。i r 夫算q 曩士掌位佬文 三一r _ h 毒肆序j 嚏 标并能应用于信息不完全的模糊集。虽然这些捧序方法在各自的实用范围内都相 当有效，但是不同的方法对同一组模糊数的捧序结果却可能是不一致，甚至可能 是矛盾的；有的则计算繁杂、直观性差现有的模糊数排序方法或多或少的存在某 些方面的缺陷，这就使得决策者对模糊数进行捧序时很难选择合适的捧序方法于 是w a n g 和k e r r e ”给出了决定模糊数排序方法优劣性的一些公理，并用所提出的公 理系统比较了一些现有的模糊数排序方法 从目前研究现状来看，模糊数的排序有待进一步深入研究和完善。在第一类模 糊数排序方法中，比较常见的一种排序方法是基于质心的模糊数捧序方法y a g e r t 4 根 据隶属函数提出了捧序模糊数的质心指标，c h e n g t a l 将质心到原点的e u c l i d e a n 距离作 为模糊数排序的另一个指标，并对y r a g e r 用的方法进行了一定的改进和扩展，同时给出 了贴近度指标用来改进l e a 和l i 方法中所存在的问题。最后，a m 和t s a o t 4 1 指出上 述两种方法存在的不一致性以及与直观结论相反的结论，并给出了新的质心函数，又 将质心到原点的矩阵面积作为模糊数捧序的另一个指标 1 3 论文的主要研究内容和结构安排 在模糊环境下，模糊量通常用l 一刷奠糊数表示，因此工一刷睫糊数的排序尤其 重要本文主要研究内容如下： 从模糊数隶属函数的几何特征，探讨l 一兄模糊数的新捧序方法。模糊数主要 是通过隶属函数曲线表示，因此模糊数的隶属函数在对一系列的模糊数进行捧序的时 候显得尤其重要。本文主要根据数学分析中曲线质心公式，给出模糊数隶属函数曲线 的质心横指标公式，并解释质心公式中密度函数在模糊数捧序指标中的意义。然后基 于质心横指标分别提出三种l 一剜莫糊数捧序指标：( 1 ) 综合质心横指标和区分度指 标，得出第一个新的模糊数捧序指标； ( 2 ) 根据文献f 3 】中c h g 给出的基于距离的 模糊数捧序方法，计算模糊数隶属函数曲线的质心到原点的e u c l i d e a n 距离，并将这个 距离作为模糊数排序的另一个指标； ( 3 ) 文献【4 】中t s a o 提出了基于面积的模糊数捧 序方法，根据这个思想第三个方法主要是将模糊数隶属函数曲线的质心到原点矩阵面 积作为模糊数排序的另一个指标。 论文的结构安捧如下： 第一章：简单介绍论文选题的意义，以及目前国内外关于工一r 模糊数捧序方 法研究现状，然后介绍论文的主要工作 第二章：给出了模糊数的一些基本概念和定义，然后提出模糊数隶属函数对应 曲线质心在横坐标上的分量，为论文后续工作做准备 第三章：依据模糊数隶属函数对应曲线质心在横坐标上的分量构造了捧序模糊 2 二一r 掌搠羲捧序力自 数的一个质心横指标进而考虑模糊数的模糊程度，构造模糊数的区分度指标最后 基于决策者的偏好综合质心指标和区分度指标得出模糊数的一个捧序函数。 第四章：从模糊数隶属曲线质心的角度，分别给出模糊数隶属曲线的质心横指 标和纵指标，将质心到原点的e u c l i d e a n 距离作为一个新的模糊数排序函数。 第五章：根据上面提出的模糊数隶属函数对应曲线质心横指标和纵指标，构造 模糊数的面积排序函数，将质心到原点的矩阵面积指标作为三一r 模糊数捧序的一个 指标。 3 ，1 ，“煳士掌位论文工一r ，期蕾肆序力涪 第二章模糊数的相关概念及质心指标 本章首先简单介绍模糊数的一些必要基础知识内容包括了以后各章中将会涉 及到的一些模糊数的基本概念，然后给出了l r 模糊数隶属函数曲线质心横指标， 为后三章中提出的三种新的l r 模糊数捧序方法作铺垫。更深层次的概念等内容则 在相应的章节中另加说明。 2 1 模糊数的相关概念 p 五c z ，= 攀：；喜i z r c 参， 工一r ，翱舞_ 序：，嘲 其中函数瑶( ) ：【口，6 j f o ，加】；瑶( z ) ： c ，c 町一【o ，伽】 由于瑶( z ) ：【，6 1 一【o ，卸】是连续且严格递增的函数，所以函数瑶( ) 的反函数 ，存在；同样，瑶( z ) ：【c ，司一【o 叫是连续且严格递减函数，所以函数臂( $ ) 的反函数 存在假设函数9 i ( f ) 和鲳( 妒) 分别表示瑶( z ) 和臂( z ) 的反函数又因为瑶( 功：k ，6 】一 【0 ，叫】是连续且严格递增函数，所以函数9 i ( g ) ：i o ，叫一i d ，6 】连续且严格递增；同 理货( ) ：陋，6 l f 0 ”】是连续且严格递增函数，那么函数g 署( j ，) ：【o ，卅一 c ，d 】连续且 严格递减a 并且有9 i ( f ) 和鳕( ) 的积分j 鳍( ) 咖和j 孑鳕( y ) 旬均存在“4 特别的，当三一r 模糊数五是梯形模糊数时，其隶属函数蝴和隶属函数的反函 数有如下表达式： f 谶，o z b 心扛) 当，c b 茹z 0 ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) ( 4 ) a 的a 截集五是满足p 缸) a 的所有z 矧挣普通集，记为 a 。= 。i z r ，p j ( z ) 口 ( 2 - 9 ) 定义2 3 删模糊数a 被称为模糊正数 0 ( 或坳 o ) 。 ( 或负数) 如果满足p 互( 。) = 0 ， ： 定理2 1 删( 分解定理) 设五勾论域肚的模糊集，五是彳的口截集，n 【o 1 】则 彳= ua 五 ( 二l o ) o 【0 q 其中a 五是常数与普通集合的数量积，它们构成r 上一个特殊的模糊集，其隶属函数 被表示为 ， p 以= 协0 , ：r 以f i a ( 射1 ) 定义2 4 嗍对任意的模糊数互，计r ，可导出两个以彳为边界的模糊集： ( 1 ) 所有可能大于或等于z 的数的集合，记为a 。= 医+ ) ，具有隶属函数 p l ( r ) = s u p p , i ( x ) 2 s 7 ( 2 ) 所有可能小于或等于z 的数的集合，记为a r = 【一o o ，厕，具有隶属函数 p r ( r ) = 舳p p 五( 功 如果抽象运算符号+ 表示普通的四则运算之一，即 + ，一， ，用$ 表示相 应的模糊运算，则根据扩张原理，模糊数的四则运算可以被确定如下： 定理2 2 嘲设模糊数五，雪，对任意二元运算( ) ：r ( + ) r r ，模糊数五( + ) 直的隶属 函数被给定为： p 扣) 庙( z ) = m pm i n p 互 ) ，p 宣( ) ) ( 2 - 1 2 ) z , l p z f z t * 憎 6 l r 羲鼻序j 培 上面的定理给出了模糊数四则运算的m a x - r a i n 卷积形式。但式( 2 - 1 2 ) 的实际操作并不 方便，a ( ) 直之隶属函数的实际确定常在五，亩的n 截集上进行。依据分解定理，我 们有 a = a 五= n 【a ：，a 翻( 2 - 1 3 ) o 面，1 l a j 1 0 q 和 卺= la 君a ：l 碱b 囊( 2 - 1 4 ) a 靠，l 】n 函，1 1 式中a l ，锷，础，殿分别为模糊数a ，雪的m 截集的左右边界。从式陋1 2 ) 不难导出 a 9 ) 啻= 口陋卜) 雪k a ( a n ，a ：】( ) 【磁，b a ) ( 2 - 1 5 ) a 而qa 矗q 据此，可以得到模糊数四则运算的具体表达式： ( 1 ) 模糊加法：陋( + ) 钆= 嘴+ 磁，魑+ 磴】 ( 2 ) 模糊减法：【a ( 一) 司。= 心一磁，硝一b a ( 3 ) 模糊乘法：陋( ) 司。= l 岵x 磁，魑x 置翻 ( 4 ) 模糊除法：陋( ) 雪k = 陋。l ，u 。r ，铝b 翻 在讨论模糊数的排序方法之前，不做特殊声明时，首先假定捧序的对象被限制 为正则的凸的且满足定义2 1 的l r 模糊数。在此，每个模糊数代表一种可能的决策 方案，我们的目的是要通过对n 个模糊数的排序确定其中的最大模糊数，亦即可能的 最佳方案。 2 2l r 模糊数的质心横指标 删= 臀 其中9 ( z ) 被视为权函数，表示z 值的相对重要程度。当g ( z ) = z 时，y a g e r 第- - 个捧序 指标m 变成： 砌，= 铩茄 7 工一r 辏翱基埠序力涪 最近l i u 对y a 碍e r 所提出第一个挥序指标m 进行了拓展，给出了模糊数质心期 望值函数： ，6，、。 e ( a 1 = 厶；竺! 型竺 u a ( z ) d x 并进一步定义了模糊数a 的加权函数期望值： ( a ) ：f 2x # a ( x ) f ( x ) d x 。、 f 2 p a ( x ) f ( x ) d x 其中a 是满足定义2 1 的模糊数，这里权重函数，扛) 是满足，( z ) 0 ，e ，( z ) 如0 这些用来强调模糊数支撑集和模糊数隶属函数的权函数并没有实际的背景，同时从理 论上讲有些不太自然。基于以上一些想法，我们给出了模糊数排序的质心横指标。众 所周知，模糊数主要是通过它的隶属函数表示出来的；因此在模糊数捧序的时候模糊 数隶属函数曲线就显得尤其重要。由此可以考虑模糊数隶属函数的曲线，将其在x 坐 标轴上的分量作为质心横指标。在这个指标中，隶属函数曲线的密度函数可以看作是 模糊数隶属函数的权重函数，这将很容易解释质心公式中权重函数的背景。最后证明 所提出的排序函数满足文献 3 2 】中的公理。 首先给出数学分析中曲线在x - 坐标轴上质心的定义： 定义2 5 光滑曲线z 的函数表达式为口= ，( z ) ，z q ，p ( z ) 是曲线f 的密度函数那么 曲线f 在x - 坐标轴上的质心x ： 卵( 功刎卵( 。) 订= _ 驴网2 如 拈商2 蔫丽 p 1 6 通过上面的讨论知道模糊数是通过它的隶属函数表示出来的，因此在模糊数捧序的时 候模糊数隶属函数曲线就显得尤其重要于是可以将模糊数隶属函数曲线在x - 坐标轴 上的质心作为第一个捧序指标。在定义2 5 中，对于任意的z s ( a ) ，当p ( 。) 值越大时 相应的，( z ) 就越重要，因此p ( 霉) 可以作为考虑，( z ) 重要性程度的权重函数。于是在第 一个捧序指标中，隶属函数曲线的密度函数实际上是模糊数隶属函数的权重函数根 据公式陋1 6 ) ，定义2 1 中的模糊数脯如下质心横坐标表达式： $ p ( z ) 1 + m ：i ( z ) p d x 而( 五) = 掣卜7 ：，( 2 - 1 7 ) p ( 。) 、1 + 坛( 圳2 d ：r 而 8 三一r 模糊囊蚌序力涪 其中密度函数p ( z ) 表示，( 。) 的权重函数。 特别的当p ( 。) 为常数时 z 4 1 + l u ：( x ) 2 d x 引勾2 葡丽丽 上面给出的质心指标) 0 ( a ) 具有以下三个性质： 性质2 1 对任意模糊数a 有a 三a 。 证明对于任意模糊数a ，显然有：j ( 五) 一j ( a ) = 0 ，也即a 兰五成立。 性质2 2 如果a 三彦阳台三a 成立，则有a 一亩 证明对于任意模糊数a 和言，如果五三亩和啻艺a 成立，也即：局( 两 昂( 雪) 和局( 亩) 乃( a ) 成立，那么有耳( 两= 耳( 豆) 成立，也即五一秀成立 性质2 3 如果a 三雪和雪兰0 成立，则有a 三0 证明对于任意模糊数a ，雪和0 ，如果a 三彦阳雪三d 成立，也即：局( a ) 芝 ( 雪) 和( 雪) x a o ) 成立，那么有( a ) ( 白成立，也即五兰o 成立 在这里我们取p ( z ) = 心( z ) ，于是第一个捧序指标有如下表达形式： x ( a ) = x ( a ) = w ( a + 2 b 砜) p + 而w ( d f + 2 酊c ) q + r 3 ( c 2 - b 2 ) 其中p = 、百了1 研，q = 、百了弋研。 当a = | 口，b ，d ；叫为三角模糊数的时候 x ( a ) 2 丽pin + ；6 + 石q 而d 其中p = 祈了i 研，q =- - b ) 2 。 9 ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) 工一r 奢嘲奢潍卑力法 2 3 本章小结 本章给出了论文中涉及到的l 一硎莫糊数一些相关概念。然后从l r 模糊数隶 属函数曲线的角度，提出了二一r 模糊数的质心横指标，并将密度函数解释为权重函 数，这就为权重函数的提出给出了一个合理的解释和实际背景。质心横指标的给出主 要是为以后三章中提出的三种新的l r 模糊数捧序方法作铺垫。 1 0 ! 查竺! 圭竺兰竺 生二里竺竺竺竺! ! ! 竺 第三章 基于质心和区分度的模糊数排序方法 模糊数是通过它的隶属函数表示出来的，因此在模糊数排序的时候模糊数隶属 函数曲线就显得尤其重要。由此可以将第二章中所给出的模糊数隶属函数曲线的质心 横指标作为一个指标；并考虑模糊数的模糊程度，将模糊数的区分度作为另一个指 标，最后综合这两个指标得到一种新的l 一硎葜糊数排序方法a 3 1 区分度指标 模糊数五是满足定义2 1 的模糊数。对任给的d i o , 1 】，模糊数五的a 一截集可以 表示成：五；铲( a ) ，9 a ( a ) 1 下面给出a 水平下模糊数a 的跨度定义： 定义3 1 模糊数a 在a 水平下的跨度为d ( a ) ，这里 d ( a ) = 严 ) 一矿 ) 根据离散型权重的定义，给出下面的关于连续型权重的定义： 定义3 2 设o t l ，1 ，若o u ( a ) ，$ q 且j u 恤) d a = 1 ，那么称u 缸) 连续 权函数。 定义3 3 假设f ( a ) 是定义在区间【0 ，t 1 1 内的连续函数t 且埘 ) 是连续权函数，那么 称口：墨丛生! 堂为函数f ) 的加权均值。 酆陋垮梨銎鐾显躞竺丝( 3 - 1 )。( 五) ：暨螋：盟型鐾掣 这里盯( a ) 称为模糊数a 的区分喜。特剐的v a 二【o 1 】，当 ，( a ) = 1 时 厅( 两= d ( q ) 如= 扫r 一g q ) 1 缸 根据公式p 1 ) ，对于梯形模糊数a = i 口，b ，c ，d ；叫 盯(两：fow ( a ) c d - a ) + ( a + c - b - d ) a l w l d a ( 3 - 2 ) 对于三角模期数a = 【0 ，b ，破叫 盯( 两：盟擎迎型盐型唑坚 ( 3 3 ) 1 1 工一r 嘲i o 序力漕 3 2 基于质心和区分度的模糊数的排序方法 考虑上面所提出的两个指标，我们给出l 一骥糊数排序的一个综合指 标f ( a ) ： 。 f ( a ) = 入耳( a ) + ( 1 一a ) 【1 一口( a ) 1 这里a ( 【0 ，1 】) 反映的是决策者对待上述两个指标局( 五) 和口( a ) 的偏好程度。 特别的，当p ( 茹) = p j ( 功，u ( o ) = 1 时，梯形模糊数a = 【口，b ，c ，d 1 】 f ( ) 一 ( a + 2 b ) 。p 憎+ 圳( d + 州2 c ) q 。+ 一3 叫( c 2 塑】+ ( 1 一a ) 【1 一掣】 其中p = 1 + ( b 一口) 2 ，g = 1 + ( d 一6 ) 2 。 当p p ) = p 五( z ) ，u p ) = l 时，对三角模糊数a = 【口，b ，d ；1 】 f ( 两= 州南时扣南】+ ( t a ) 【，一字】 其中p = 川干研，口= 以干研 根据上述讨论，基于质心和区分度的l 一磁糊数排序方法步骤如下； s t e p l ：根据公式协1 7 ) 计算模糊数a 的质心横指标墨( a ) ； s t e p 2 ：根据公式洚1 ) 计算模糊数a 的区分度指标盯( 国； s t e p 3 ：根据公式( 3 - 4 ) 计算模糊数a 的综合指标f ( 两。 3 3 算例 ( 3 - 4 ) ( 3 - 5 ) ( 3 - 6 ) 为了阐明提出的捧序方法的一些性质，给出几个例子用于跟现有的一些排序方 法进行比较。 例3 1 目前存在不少的排序方法都不能很好的区分如图3 1 中的一组三角模糊数五1 = 【0 0 5 ，l 】和a 2 = 【0 3 ，0 4 ，l 】但是我们仅仅用第一个指标x ( 两就可以捧序这两个模糊 数，同时也可以取这两个指标的均值来捧序这两个模糊数。从直观上看图3 1 所给出 的两个模糊数排序结果应为五l 卜五，而y 她雎h ，y a g e r f 3 ，k e r e e ，p d ，n s d 等一些 指标却得出了相反的结论。根据我们所提出的方法有结论五。卜五2 成立 工一r 撬翱羲摊序方镛 图3 _ 1 模糊数五一，五一一 囝3 - 2 模糊数五一五一一 例3 2 如图3 _ 2 的模糊数五= 【o 1 ，0 6 ，0 7 】和五= 【o 4 ，0 5 ，1 】。从图上可以看出由于模 糊数a 。优于五的面积要比五优于五的面积多，所以从直观上来说两模糊数的捧序结 果应为五p - 五。但表3 - l 中a d a m o ，b a s s - k ，p d ，p s d 和n d 等指标得出的数据捧 序结果却与这个直观结论五卜五相矛盾 例3 3 对于图3 3 中的两个模糊数磊= 【o ，0 1 ，0 5 ，1 j 和五= f 0 5 ，0 6 ，0 7 】，显然有五卜 a s 成立y a g e r 的f z ，j a i n ，d u b i o s - p r a d e 蝌的p s d 得出了相互矛盾的结论，i 而b a s s - k 指标并不能排序这组模糊数。 倒3 4 对于图3 - 4 中的两个模糊数a 7 = 【0 2 ，0 5 ，0 8 】和五= 【o 4 ，0 5 ，0 6 】，可以从图 中看出两个模糊数有相同的峰值不同的模糊程度，比较而言a ，的模糊程度相对 1 3 工一r ，i 羲捧序力倍 图3 - 3 模糊数五一，五一一 图3 - 4 模糊数五7 一一，五一 于模糊数a 8 大一些，所以模糊数五优于模糊数压表3 - 1 中给出的一些排序方法 如：y a g e r 凡，尼，b a s s - k ，b - g u i l d ，k e r e e ，p d ，p s d ，n d s 都不能捧序图3 _ 4 中 的五7 和五这两个模糊数。如果仅考虑所提出的第一个指标j 0 ( a ) 同样也不能捧序这 两个模糊数因此必须将模糊数的模糊程度考虑进来，于是通过综合指标来排序这两 个模糊数，得出结论五卜a 7 ，显然这个结论与直观结论是一致的。- 1 4 工一r 模期戴，序力穗r 囊3 - 1 模糊数的排序结果 模期赣 j l南南丸盂 五 五 盂 yq日n05 0 5 7 0 4 70 6 30 4 10 60 00 5 yagerf20670 6 30 6 40 6 7 0 0 70 6 4 0 0 5 0 6 2 yagerfa050 碍0 00 60 40 60 5o 5 a d a m 0 0 9 m 0 5 50 4 6 0 6 10 5 50 5 50 0 10 5 10 5 3 b k 10 9 110 8 21 111 b - g u g d l “l0 4 80 4 4 , 0 5 5 10 30 5 80 3 80 3 8 j a i n l l l0 8 70 6 3 0 6 0 7 30 6 0 6 40 6 30 5 8 kecee089 0 9 5 0 8 50 6 60 5 1 0 8 90 9 10 9 1 pd0910 8 4 0 10 8 2111 p s d m0 7 20 6 70 5 40 4 6 0 6 60 3 20 7 30 2 4 n d h0 3 30 2 8 0 5 40 , 4 601 0 2 7 0 , 7 6 nsd_00 10 0 , 1 600 1 800 = 1 ，叫= 1 0 0 0 0 船0 5 70 3 60 60 5 0 5 = 0 5 ( a ) = 1 0 50 4 20 , 4 10 4 4 0 3 10 , 3 50 30 4 = 0 3 5 ，埘( n ) = 1 0 50 40 罄0 40 2 7o 2 9 0 - 3 40 3 7 = 0 , 5 ，”( a ) = ! 广0 5 3 0 4 4 0 4 30 4 50 3 10 4 20 3 2o 瑚 n + 一 咖j ：藩l ， 【0 ， 模糊数，在这个算例中给出两个一般 5 o 0 7 z 2o 。 z r ( 3 - 7 ) 7 o 0 9 其他 ：隧兰囊删 10 ， 其他 1 5 工一r 攥糊羲捧序方法 图3 - 5 模糊数五一，五l o 一一 裹3 - 2l r m m 数& 和五。的排序结果 3 4 本章小结 一 本章主要通过质心横指标和区分度指标来构造一个工一r 模糊数的综合捧序指 标。从指标提出的背景来看，对于区分度指标的提出主要考虑到l r 模糊数的模糊 程度；从分析和比较的结果来看，所给出的新捧序指标能较好的比较和排序l r 模 糊数所提出的排序指标，可以根据决策者对质心横指标和区分度指标的偏好程度不 同得出不同的l r 模糊数的综合排序指标。同时给出四个实例与现存的些l r 拶 糊数排序方法进行比较和分析。 1 6 工一r 棚羲蚌序j 涪 第四章基于质心和距离的模糊数排序方法 c h e n g 给出了基于距离的模糊数排序方法。在这个方法中，c l m g 把从原 点到模糊数几何质心的e u c l i d e a n 的距离作为捧序指标用来比较和捧序模糊数但 是c h u 和1 腿o 发现文献【3 】中所提出的距离排序方法，当模糊数为负值时并不能正确 的对模糊数进行捧序；并且在实际应用z p c h e n g 嘲所给出的模糊数质心公式是不满足 质心公式所应具备的一些基本性质为了避免这些事情的发生，在本章中我们用第 二章的模糊数隶属函数曲线质心来构造基于距离的l r 模糊数排序的一个新指标 4 1 基于质心和距离的模糊数排序方法 假设a 是满足定义2 1 的模糊数，为了确定模糊数五的质心( 而，痂) ，c h e n g 嗍给 出了下面的质心计算公式： 硇= 帮蒜嚣器 椭= 絮端器 ( 4 - 1 ) ( 4 - 2 ) 尽管事实上公式降1 ) 与y a g e r 陶的排序指标 f ( 两：垡f - 型o o 丝2 f j 一j 扛) 在权重函数9 ( z ) 兰$ 和w = 1 时是一致的；并且在模糊数为正则的时候， 与m u r a k a m i l 约捧序指标嘲 ，一” f - o h z o ( a ) = 。知。) ，砺) 也是相同的但a m 和t s h 发现公式降1 ) 一降2 ) 是不满足质心公式所应具备的基本性 质的。而其应用也有局限性，公式( 4 - 1 ) 不含有硼，这就使得公式( 4 - 1 ) - ( 4 - 2 ) 无法对非 正规的二一剜莫糊数进行捧序。 1 7 ，r 大善嘎士掌位论文 工一r 模期o 序力培 下面根据第二章的内容给出质心公式： 础) 扣丽 啾耻聋丽 p 3 ) 痂( a ) = ( 4 , - 4 ) 公式( 4 - 3 ) 一( 4 - 4 ) 可进一步表不为： ，。r ( 印( $ ) 、卢干万i 面_ ) 如+ 后( 印( z ) 钔i 干j 两如+ f ( 印o ) 4 1 + ( f a n ( x ) ) 2 ) d z x o i j ：l 1 = = = = = = = = = = 7 兰= = = = = = = = = 一 一 e ( p ( 。) 、1 + ( 学( 茹) ) 2 ) 如+ c o ( z ) 们再弋一) 如+ i j c o ( z ) 、1 + ( 学( z ) ) 2 ) 如 ( 4 - 5 ) 烈耻篙籀器篇鬻， 这里( 口) 和7 - ( z ) 分别是函数心( z ) 和p ( ) 的反函数。 ( 1 ) 设模糊数a 具有隶属函数厶( z ) 且满足定义2 1 ：而模糊数b 具有如下隶属函 数磊龇 ， i ，2 扛一6 ) ，口+ j 茁 6 + j 绯，= x 饥- - n 乏囊东 c 【0 ，其他、 常数6 非零。显然模糊数b 是通过将模糊数勰横坐标轴左( 或右) 移而得到 的 模糊数豆的质心横坐标应是将模糊数五质心在横坐标上的分量傲相应的移 动，而其质心在纵坐标上的分量应保持不变，即有孟o ( b ) = 而( a ) + 6 ，f o ( a ) 兰 痂( 豆) 。由于平移并没有改变模糊数a 的形状，因此模糊数百隶属函数的反函 数蟾( ) 和鳕( f ) 可用下面公式进行替换：蟾( ) = 鳕( ) + j 和蟾( ) = 鳄( f ) + 以 x c 骼k ( 4 - 2 ) ，我们可以得到： 痂c 豆，= 竺甓鼍参笔觜竺丐装i 嚣垂l 鬻1 r = 如c 萄 三一r j 翱囊濞序力法 我们可以看到痂( 百) 的值随j 的变化而变化，并且有痂( 萄痂( 蜃) 这显然与直 观结果不相符，因此公式( 4 - 2 ) 是不满足质心公式所应具有的一般性质 然而对于公式( 4 - 4 ) ，当p ( z ) 为常数时 蜘( b ) = = 痂( a ) 这说明，当模糊数a 沿横坐标移动时，变换公式p 4 ) 并没有改变模糊数豆质心 在横坐标上的分量。 ( 2 ) 为了进一步检测 的变化是否影响到模糊数的质心的变化，也就是说当将模糊 数做纵向压缩或延伸时，其质心在横坐标上的分量是否变化。考虑一般的模糊 数否且具有隶属函数后( z ) = a 厅( z ) ，其中o a | r ( 鸟) 成立，那么我们可以得到五卜互 同样如果r ( 五) = r ( 五) 成立，那么我们有五一再最后，如果r ( 五) r ( 也) 成 立，那么我们有五 s ( 曩) 成立，那么我们可以得到五卜五同样如 果s ( 五) = s ( 五) 成立，那么我们有五一五。最后，r a m s ( & ) s ( 五) 成立，那么我 们有五 每。 根据以上讨论，提出基于质心和面积的l r 模糊数排序方法的基本步骤： s t e p l ：根据公式( 4 - 3 ) 计算l r 模糊数a 的质心横坐标勘( 萄； s t e p 2 ：根据公式( 4 4 ) 计算l r 模糊数a 的质心纵坐标拍( 萄； s t e p 3 ：根据公式洚1 ) 计算l r 模糊数a 的面积指标s ( a ) 。 5 2 算例 例5 1 假设需要对两个模糊数西= ( 1 ，2 ，3 ；1 ) ，岛= ( 0 5 ，2 5 ，3 ；2 7 2 8 ) 进行捧序，其 隶属函数的图像如图5 _ 1 所示，从表5 - l 中我们可以看出对于我们所给出的方法有结 论西卜岛的成立 工一r 搠鼻潍序力 围5 - 1 模糊数臼一，0 k 一一 裹5 - 1 二一日i 羹糊数臼，岛，岛和a 的排序结果 例5 2 在这个算例中，我们给出一般的模糊数其隶属函数的表达式分别如下： p 岛( z ) = 地( 功= 二 f 长等“s 1 卫= 0 5 + 1 ，0 5 z 0 9 其他 霉r ( 5 - 2 ) - i - 1 ，0 , 3 z 0 7 z 20 一 霉r ( 5 - 3 ) + 1 ，0 7 - 岛，但表5 - 2 中大部分模糊数捧序方法的结论都与直观结论磊卜磊相反。 三一r 模糊羲捧序方涪 襄5 _ 2 二一r 模糊数鼠和岛的捧序结果 5 3 本章小结 本章主要根据提出的模糊数质心公式提出了新的模糊数质心公式，将模糊数隶 属函数质心到原点的面积作为捧序模糊数的一个指标。最后用几个简单的例子来阐述 所提出的基于质心和面积的工一r 模糊数捧序方法的有效性。 工一r 书i 奢津序：f f e $ - 总结 在模糊环境下模糊量通常用模糊数来表示。因此，在模糊环境下多属性决策中 被选方案的排序通常归结为对模糊数的排序与比较。但由于模糊数之间的顺序关系不 是普通意义下的全序关系，而是格结构下的半序关系，这就使得模糊数的捧序与比较 极其重要而又艰难。对于目前已有的大多模糊数的排序方法，依据其某些特性可以分 为两类，所有现存的模糊数捧序方法大致可以分为两类。第一类根据实数轴的序关系 导出模糊数排序的一个全序关系；第二类给出模糊数成对比较的比较指标。但由于模 糊数的半序关系这就使得第二类方法得到的一组排序结果不满足传递性。本文所提出 的三种l r 模糊数捧序方法主要属于第一类方法。 通过研究，本论文得出以下结论； 1 1 从曲线质心的角度，给出模糊数隶属函数对应曲线质心在横坐标上的分量，并迸 一步考虑模糊数的扩散程度，提出模糊数区分度指标，最后基于决策者的偏好综 合质心指标和区分指标得出模糊数的一个排序函数。 2 1 基于距离的l 一月模糊数捧序方法，主要根据上面所提出的模糊数隶属函数对应 曲线质心，从计算从原点到质心的e u c l i d e a n 距离，由此以e u c l i d e a n 距离作为捧 序l r 模糊数的新指标 3 1 同样以面积作为l r 模糊数的新摔序指标，计算从原点到质心的矩阵面积，并将 面积函数作为三一r 模糊数排序的另一个新指标。 有待研究的问题与展望： 1 ) 本文所提出模糊数的排序方法，主要是对工广r 模糊数进行排序的，如何拓展到一般 的模糊数下将有待于进一步考虑 2 1 从第三章的讨论可知模糊数捧序方法不仅仅应该考虑客观因素，更重要的是将人 的主观因素考虑进去。而对于第三章中所提出得质心指标，权重函数的确定取决 于决策者的偏好，但是将如何确定权重函数有待于进一