（理论物理专业论文）若干不同宇宙演化模型的研究.pdf

摘要 本文综述了现代宇宙学的形成过程及其背景知识，概述了目前主要的宇宙学模型一 标准宇宙学模型的观点和观测证据，总结了标准宇宙学模型中存在问题及为解决这些 问题而提出的暴涨宇宙学理论，讨论了宇宙的起源问题及其相对应的量子宇宙学。 给出了极端相对论密度分布和非相对论密度分布以任意比例混合的一个新的一般 密度分布，利用这个新的分布给出了宇宙的演化和各种参数( 如密度参数q 。、宇宙学 常数a 和任意比例相关参数a 等) 之间的关系，并在晨( f ) f 曲线上具体表示出来。 求出了k o 时一般情况下标准宇宙模型演化方程的解，得到了一般物质密度的表 达式，解出了表征宇宙标度因子不同演化的一般新解，并通过对不同情况下标准宇宙演 化方程的求解，证明参数a ，的正负取值直接影响宇宙尺度因子的表达形式。首次发现 当宇宙学常数对物质密度的贡献大于零时有指数复合函数型的一般暴涨，当宇宙学常数 对密度的贡献小于零时宇宙有余弦形式的演化。通过对宇宙中压强和温度的计算，得到 新的压强和温度的表达式以及暴涨宇宙模型中温度随时问演化的表达式。 依据一般情况下量子宇宙拉氏量的表示，给出了约束条件下w h e e l e r d ew i t t 方程 的一般表示式，并对标量势的不同形式给出了其对应的w h e e l e r - d ew i t t 方程的具体表 达式，同时得到了基于b r a l l s d i c k e 理论的w h e e l 弘d ew i t t 方程，给出了一个宇宙创生 的推广模型，并求出了其w h e e l e r - d ew i t t 方程的解，同时给出了它们的物理意义。 关键词：爱因斯坦方程物质密度暴涨宇宙 a b s t r a c t t h et h e s i s 西v e sm eb a c k 掣d u n da c l m o w l e d g ea i l d 1 e d e v e l o p i l l gp r o c e d u r eo ft h e c o s m 0 1 0 9 i c a lm e o r y ，s 嘲m a r i z e sm ev i e w - p o i m si nt h es t a n d a r dc o s m o l o 百c a lm o d e la n dm e t e s t i m o r t i e s 丘d mt h eo b s e r v i n g e x p e r i m e n t s a n dt l l et 1 1 e s i ss m s t l l ep r o b l e m si nt l l es t a n d a r d c o s m o l o g i c a lm o d e la 1 1 dt h ei n n a t i o nt 1 1 e o r yt l l a tc a i ls o l v et l l e s ep r o b l e m s t h em e s i sa l s o d i s c u s st h eo r i 百no f t h eu n i v e r s ea i l dt l l et h e o r y o f q u a l l t l l m c o s m o l o g y t h et h e s i sp u t so u tan e wd e n s i t y 鼬c t i o no fr e l a t i v i s t i ca n dt l l en o n r e l a t i v i s t i cm a t t e r s a t a n yp p o r t i o n u s i n g 也en e wd e 璐i t ym n c t i o f l w eg i v 髂m er e h t i o n sb e t w e e nm e d i f r e r tp a r a m c t e r s ( s u c ha s 也ep 咖n e t e ro fd 锄s i t y q o ，t h ec o s m o l o g i c a lc o 工l s t a n t a 锄dt 1 1 e p r o p o r t i o np a r 锄e t c r ae t c ) a i l dt l l ee v o l 埘o no ft l l eu i l i v e r s e ，如n h e r m o r e ，m e c o n c r e t ee v o l u t i o nc u r v e si n 也e 丘目l r e r ( f ) r i ss l o w n u p t h ee x a c ts 0 1 u t i o no ft h ee i n s t e i nf i e l de q u a t i o ni sg a i n e dl l i i d e rm e p o p u l a rc o n d i t i o n s w h e n 七0 ，m e n e w g e n e r a le x p r e s s i o no f m ed e n s i t y f i i n c 矗o ni sd e d u c e d ，t l l en e ws o l u t i o n o fm ec o s m i cs c a l ef a c t o ri s 如慨rd e r i v e do u tu n d e rd i r e n te v o l u t i o nm d d e l w bf i n dt h a t t l l ec o s m i cs c a l ef 犯t o rh a s 也ef o 肋o f e x p o n e n ti n n a t i o n i ft l l e c o s m o l o 昏c a lc o n s t a m c o n 仃i b u t e st ot l l ep o s i t i v em 曲e r i a ld e l l s i t y ，柚dt t l ef a c t o ri st 王l ec o m p o s i t ef i l n c t i o no f c o s i n e i f t l l ec o s m o l o 百c a lc o n s t a i l tc o n 砸b u t t ot l l en e g a t i v em a t 耐a ld e n s i t y m r n l e 姗o r e ，w eg a i n t h en e wf o r m so f 也ep r e 髂u r e 姐dm et 鼬p e r a t u r ei n 也ep r o c e d u r eo fc o s m o l o 舀c a l e v o l u t i o n w i t ht l l e g e n e r a l f o n no ft l l e l a 鲫l g eo fm eq u 锄i t l l mc o s m o l o g y w eg a i n t l l e w h e e l e r - d ew i t te q u a t i o nu n d e rt h cc o n s m i i l l tc o n d i t i o n s ，w ea l s og i v et l l ed i 8 h e l l tc o n c r e t e e x p r e s s i o n so f m e 肌l e r i d e w i t t e q u a t i o n sa c c o r m n g t od i 疵r c n ts c a l a rp o t e n 蛀a l s a n dw e o b t a i nt h e 、v h e e l e r _ d ew i t te q u a t i o nb a s e do nm eb 舢s d i c k em e o 啊a g e n e r a l i z e dm o d e l o fc o s m o l o 百c a lb i n l li ss h o 啪u p ，w e 缸耄l l e r 垂v et l l es o l 谢o no fi t s ，h e e l e r _ d ew i t t e q u a t i o n ，e x p a t i a t ep h y s i c a ls i 鲥f i c a n c e o f t l l es o l u t i o n k e y w o r d s ：e i n s t e i ne q u a t i o nm a t t e rd e i i s i t yi n n a t i o nc o s m o l o g y h 第l 章绪论 第1 章绪论 均匀各向同性的空间模型也称为标准宇宙模型，这个模型的重要性不仅在于 任何的非均匀，非各向同性的宇宙在零级近似下总可以看作是均匀各向同性的， 更重要的是在目前的宇宙学观测也证明了在大尺度的范围( 大于超星系团的尺 度) ，宇宙是各向同性的，尤其是宇宙微波背景辐射几乎是各向同性的观测事实 更进一步说明了真实的宇宙和各向同性宇宙之间的偏离量是很小的。求解空间均 匀的和各向同性的e i n s t e i l l 场方程，求解的结果为均匀各向同性的宇宙的动力学 模型，即标准宇宙模型。 宇宙学原理是标准宇宙模型( w e i n b e r g ，1 9 7 2 ) 的基石，这个原理告诉我们虽 然宇宙中物质分布极不均匀，但在大尺度空间能够做平均，则所得的物理量( 温 度、压强、密度等) 就可在大尺度平均意义下具有相同的值，所以在物理上是可 以不去分辨的，也被一些学者认为宇宙是没有中心的。在广义相对论宇宙学提出 早期，由于无法考虑宇宙解的边界条件，所以用宇宙学原理来代替边界条件，通 过近期的宇宙观测事实证明，真实的宇宙和均匀的各向同性的宇宙的微小差别可 以看作各向同性宇宙的一级微扰。 宇宙学原理有两层含义，一是均匀性。二是各向同性。均匀性的含义上面已 经给出，各向同性是比均匀性更高的要求，各向同性表明各个方向上观测到的物 理量和宇宙图景是相同的，当然要求宇宙各处是均匀的。反之，均匀可以是各向 异性的，例如：某些天然的晶体就是均匀而不是各向同性的。而且，如宇宙存在 整体的旋转，也不符合各向同性的要求。同时，如我们的宇宙存在整体的旋转， 那么我们观测到的远处的星系总角动量的和不应该为零。由于漩涡星系的角动量 可以通过测量得到，那么对于漩涡星系角动量的测量就可以得到我们的宇宙是否 存在整体转动，但是限于望远镜的观测水平以及对于遥远星系角动量测量的困 难，这一点目前尚未得到证实。 1 1 宇宙学的提出 现代宇宙学的建立是以爱因斯坦于1 9 1 7 年把广义相对论应用于整个宇宙的 北京工业大学理学硕士学位论文 一篇论文的发表为标志。在这篇题为根据广义相对论对宇宙学所做的考查中 以广义相对论的理论作为新的引力理论，应用于整个宇宙，引进的许多新观念， 至今仍然极大地影响着现代宇宙学的发展。这不仅是爱因斯坦的第一篇宇宙学论 文，也是宇宙学这一领域中第一篇具有现代意义的论文。 广义相对论作为一种区别于牛顿引力理论的一种新的引力理论，其本质特征 只有在宇宙学这一领域内才能全部显现出来。因为两种引力理论只有在强引力场 存在下才有明显的差别。引力场的强弱可以用g m c 2 r 加以标志，其中g 是万 有引力常数，c 为光速，m 和r 分别是一个体系的质量和线度。表1 中列出了 几个常见对象的g m c 2 r 值，这值的场强意义是类似于点电荷的电场强度的。 表l 常见对象的g m ，c 2 r 值 1名称质子人地球太阳银河 l ig m c 2 r1 0 _ 4 01 0 一l ol o 。2 5 1 0 。6l o 6i 爱因斯坦的开创性的工作为宇宙学找到了可靠的理论工具，奠定了宇宙学的 理论基础。在这篇论文中爱因斯坦抓住了人们已经为习惯所接受的宇宙在空间上 是三维平直而且无限的偏见。分析并证明它们的正确性并不是先验自明的，也与 已有的牛顿引力理论是不相容的，结论是：应放弃牛顿的引力理论，修改已经习 惯的关于空间的观念。后来，标准宇宙学的出现证明爱因斯坦是正确的。 爱因斯坦1 9 1 7 年提出来的宇宙模型是一个有限无界的静态模型。虽然在理 论上它是自洽的，但观测证明它是不正确的。1 9 2 9 年哈勃根据当时距离已知的 2 4 个河外星系的谱线红移量确定了红移量与距离二者的线性关系，即现在众所 周知的哈勃定律。次年s 爱丁顿把河外星系的这种谱线红移归结为河外星系相 对于观测者退行所引起的多普勒效应。哈勃的发现意味着宇宙在膨胀( 其实早在 1 9 2 2 年前苏联的数学家f r i e d m 籼在研究了爱因斯坦1 9 1 7 年那篇论文后，令宇 宙项a = o 得到了相对论场方程的一个动态解，只是由于其他非科学的原因未能 引起天文学界的重视。1 9 3 2 年比利时的物理学家勒梅特首先提出了宇宙来自于 一次大爆炸的观点。虽然这见解未能引起科学界的重视，但是爱因斯坦1 9 1 7 年提出的静态宇宙模型被突破了。1 9 4 8 年旅美俄藉物理学家伽莫夫结合当时的 核物理的成果发表了题为膨胀宇宙和元素起源论文，勾勒了宇宙创生初步的 2 第1 章绪论 图景。伽莫夫从理论上预言大爆炸后形成宇宙背景上留有5 k 的辐射，但未引起 射电天文学的重视。一直到1 9 6 4 年在贝尔实验室工作的r w 威尔逊和彭齐 亚斯在使用高灵繁变的号角天线测量银晕气体射电时发现了有总消除不掉的背 景噪声，得到了相当于3 5 k 的绝对黑体辐射，和1 6 年前伽莫夫的预言相一致。 大爆炸宇宙学开始受到天文学、物理学普遍的重视。r w 威尔逊和彭齐亚斯 因此而获得了1 9 7 8 年的诺贝尔物理学奖。 宇宙背景辐射( c m b r ) 的发现促进了大爆炸宇宙学的发展。大爆炸宇宙学很 快发展成为宇宙学的标准理论。 1 2 标准宇宙学的主要观点和观测证据 大爆炸宇宙学结合现代物理前沿理论有了长足的发展，尽管目前在许多细节 方面还有争议，但在以下几个方面取得了共识，构建了宇宙学的模型( 刘辽， 1 9 8 7 ) 。 ( 1 ) 认为宇宙有一个热起源。在宇宙的极早期经历了一个从极高温极高密度 向低温下降和物质变稀疏的一个膨胀过程，类似于一次大爆炸。 ( 2 ) 宇宙的温度随着宇宙的膨胀而下降。这个过程的现象在膨胀下使一些物 理过程被冻结，其产物作为温度下降到e 瓜时的遗迹被保留下来。 ( 3 ) 理论计算表明爆炸后过了1 旷3 6 秒便进入大统一时期，即强相互作用、弱 相互作用和电磁相互作用统一时期。在这个时期形成了重子不对称，即重子数比 反重子数多，这就导致了今天宇宙中正物质比反物质多。在核形成以前宇宙中的 物质主要是光子、中微子和少量的电子、质子和中子。当宇宙的温度下降到1 d x 时，质子和中子便结合形成了氦核和氘核。当宇宙的温度降到1 0 8 k 时核的形成 便停止了，核形成大约持续了三分钟。现在天文学家普遍认为氦和其他几种轻元 素是在宇宙最初三分钟内合成的，其余的元素是在恒星漫长的演化过程中形成 的。在退耦时期之前，宇宙中辐射密度大于物质密度，也称辐射为主时期。从退 耦时期之前不久开始，物质密度超过了辐射密度，此后的宇宙一直处于物质为主 时期。我们今天看到的各类天体都是在退耦之后陆续形成的。 ( 4 ) 大爆炸宇宙模型为宇宙的演化历史提供了准确依据。基于广义相对论的 罗伯逊一沃尔克( r o b e r t s o n w a l k e r ) 度规的相对论宇宙模型为这种反推提供了强 北京工业大学理学硕士学位论文 有力的武器，它可追朔到宇宙初期的1 0 4 3 s ，即所谓普朗克时期，其时宇宙温度 高达1 0 3 2 k ，能量接近于1 0 1 9 g e v 。在这个时期，粒子物理的标准模型大统一理 论是适用的。它可以提供宇宙暴涨的机制。大爆炸宇宙学之所以成为现代宇宙学 的标准模型，受到一系列观测事实的支持。主要表现在以下几个方面。 ( 1 ) 宇宙确实正在膨胀，1 9 2 9 年哈勃发现河外星系红移时，只是根据当时距 离已知的2 4 个河外星系。半个多世纪过去了，对于河外星系的红移观测一直是 天文观测中一个重要课题。目前最大的星表是p m 星系表，由大约5 0 0 万个星系 组成，其有效深度为6 0 h 1 m p c 。已知有红移的星系有2 8 0 0 个，红移量在类星体 中已经扩大到4 以上。对于所有这些观测基本上符合哈勃定律，只是由于各星系 的距离测定的差异引起了h o 的不确定，但是宇宙正在膨胀已经是一个无可争议 的事实。 ( 2 ) 宇宙的年龄，3 0 年代凰的数值是5 2 6 k m s 。m p c 。1 由这个数值推算出来的 宇宙年龄仅2 0 亿年，随着天文观测工具的改进和测量手段的完善，h o 的数值也 得到了进一步的测定。目前国际上普通采用h 0 的值是h 庐1 0 0 h k m 1 m p c ，其中 h ：0 4 h r r 。它表明，今天观测到的如此 相似的大尺度宇宙似乎是不可能有因果联系的。 1 _ 3 2 暗物质问题 宇宙的密度决定着宇宙的空间的几何性质，但是宇宙的物质密度的测定是一 个十分棘手的问题。因为宇宙物质有多种物质形态，很难说现在已知的物质形态 北京工业大学理学硕士学位论文 穷尽了物质形态的多样性。本世纪3 0 年代瑞士天文学家l w i c k y 在对后发星系团 的质量测量中发现用动力学方法测量的质量是用光学方法测量值的四百多倍，当 时把这结果叫质量短缺。这就是说在宇宙中除了发光物质还有许多不发光物质， 特别是对银河系r 1 5 的测量，其视速度4 0 5 k i l l s ，用动力学推出银河质量是光学 测量的1 0 倍。目前认为宇宙间的质量主要是由暗物质贡献的是天文学界的普遍 看法。暗物质的存在使宇宙的物质密度具有不确定性。也使宇宙的空间性质确定 不下来。因宇宙的临界密度为p 。，当po 大于p 。时宇宙的膨胀会逐渐停下来， 进而收缩。这种宇宙是有限的、封闭的。如果po p 。宇宙是开放的。宇宙将一 直膨胀下去，从而宇宙是无限的。目前由于暗物质还确定不下来，宇宙的有限和 无限还没有定论。值得注意的是粒子物理学中有一种倾向，认为中微子的静止质 量可能不等于零。前苏联的一个科学研究小组则更进一步的认为中微子的质量下 限是6 1 0 0 2 克。如把中微子作为暗物质的负荷者，则仅中微予的质量贡献就大 于p 。，这样宇宙可能是封闭的。总之中微子的质量问题和暗物质问题为目前物 理学界两个极端领域宇宙学和粒子物理学所共同关注。 现代科学研究已经推论出暗物质的存在，但却从来没有得到证明。一切可见 的宇宙天体，都属于正物质，通常所说的宇宙，就是正物质构成的。但是除了正 物质以外，还可能存在反物质，它和正物质完全相反，就像正负电子一样，如果 相遇，就会化为乌有，并且在化为乌有的同时，变成光( 酗皿e y ，k 0 1 b & t u m e r ， 1 9 9 7 1 。也有大爆炸理论家认为，宇宙开始大爆炸的时候，同时产生正反物质， 两种物质由于相互分离，就形成了正反宇宙。我们正宇宙的任何物质不能进入反 宇宙，否则就会化为乌有，同样反宇宙的物质也不能进入正宇宙，不然同样化为 乌有。这种理论有助于解释宇宙中的一些奇怪现象，但却难以得到实证。在宇宙 中还有一种奇特的现象。科学家计算出某种类星体爆炸产生的能量，远超过核爆 炸能量的倍数，甚至达千万倍以上。这说明宇宙中有一种能量超过核能，但属于 什么能量尚不清楚。 在观测到超核能量的同时，一些证据还表明，宇宙中一些物体的运动速度超 过光速，而一般的看法是光速是宇宙速度的极限。是什么原因能促使物体的运动 速度超过光速，这是一个有争议的问题，人们还需要注意的来自实验室的报告。 夸克是已知的最小，它们构成了强子、核子，强子、核子又进一步构成了原子， 6 第l 章绪论 在原子的基础上，再形成普通的物质世界。在实验室中，可以看到强子，但组成 强子的一个个单独的夸克，却不能观测到。 对于暗物质，可以这样来加以设想，随着宇宙的演化，暗物质由于自身一个 特殊过程，产生了大量的能量。这个过程类似水中产生气泡一样，这些能量就是 夸克或更小的物质单位，是最基本的正物质。它们大量地从暗物质中溢出，并且 相互进行比核子反应更剧烈的连锁反应，类似于大爆炸，却又不同于大爆炸，并 且急剧地聚合，就变成相对随意的强子和核子，然后就变成各种相对稳定的物质 单位原子，于是我们现今的正宇宙就开始了质量、时间和空间也都随能量的 产生开始了。正宇宙开始的阶段，就已经有了一个很大的空间，由于能量不停地 相互作用，宇宙开始的景象可以描述为：不同的原子随着一个个类似漩涡的运动 进行聚集，那时，银河的中心是一些最大的漩涡，变成最大的引力源。散布在银 河中心以外的小漩涡，则逐渐变成恒星，跟随着恒星的则是更小的漩涡，它们变 成行星或更小的星体。与此同时银河中心、恒星及行星也在旋转过程中抛出部分 物体，或由于星体相撞，产生奇怪又复杂的天体。由于恒星拥有的物质过多，自 身引力强大的挤压作用，很快点燃了物质的热核反应，使恒星纷纷变成燃烧的天 体。而那些行星则由于自身引力不足以自动产生热核反应，故而都变成冷天体。 宇宙中的超核爆炸，最有可能的是暗物质与正物质之间的一种特殊过程，所 以才产生那种不可思议的宇宙现象。宇宙中的奇异速度，同样与暗物质有关。可 能的情形是正物质突然走进暗物质，但暗物质又不与正物质完全吻合，所以正物 质并不化为乌有。 1 3 3 宇宙的奇异性问题 这个问题的出现是由于标准宇宙学所依赖的理论广义相对论( w a l d ， 1 9 8 4 ) 本身的问题。场方程的动态解在时间反演必然导致理论上的奇点但a w k i n g e 1 l i s1 9 7 3 ) 。1 9 7 4 年彭罗斯和霍金证明了一个结论，自然界厌恶裸奇点( 宇宙监 督原则) ，这样，奇点问题必导致黑洞的概念。实际上在宇宙没有塌缩成黑洞之 前，在理论上就遇到了另一问题：广义相对论是否适用的问题。这构成了标准宇 宙学的奇性问题。爱因斯坦的广义相对论是一个非量子的引力理论，因此标准宇 宙学也是非量子的。当宇宙反向追及其极早期的演化时，在接近奇点之前其量子 北京工业大学理学硕士学位论文 效应是无法回避的。可以用量纲分析方法找到非量子引力理论适用的条件。因此 当追及宇宙的极早期有t t p ，r pp 时非量子的广义相对论是不适用的， 目前人们正在发展量子引力理论及对应的量子宇宙学以代替标准现在的宇宙学。 1 3 4 磁单极子问题 在宇宙膨胀过程中温度发生连续的变化，在t = 1 0 4 6 秒，温度是1 0 2 8 k ，相应 的能量尺度为1 0 ”g e v ，这个条件正好对应于粒子物理中g u t 理论所要求的条 件。即在t 1 0 琊秒之前现在自然界的四种力是统一的一种力。按照大统一理论， 在宇宙的膨胀过程中温度继续下降，将相继发生相变，产生大量的磁单极子。按 照粒子物理理论，此时磁单极子的数密度n - 1 0 7 5 ，( 厘米) 3 ，随着膨胀n 下降，计 算表明现今的n 0 - 1 0 8 立方厘米，约是重子数密度的百分之一，这是一个很大的 值。实际上物理学界至今没有记录到一个磁单极子。从现在的实验观测资料估计 磁单极子的数密度上限是1 0 五8 ( 厘米) 3 。换言之实验似乎表明磁单极子实际上并 不存在。这是宇宙膨胀理论结合现代物理作出一个理论预言和实际观测不相符的 问题。 l - 3 5 平直性问题 在大爆炸后宇宙一直均匀地各向同性地膨胀着，至今仍未明显地表现出它是 开放的或封闭的性质。种种迹象表明今天的宇宙是十分平坦的( ( p p 。) p 。 1 0 娜) 。宇宙为什么这样平? 换言之为什么宇宙中物质的密度po 如此接近宇宙的 临界密度p 。? 在标准宇宙学里，po 和p 。是两个独立的物理量，如此接近为了不 求助于偶然来解释这一巧合，就应当从理论说明如何把po 调节到p 。这就是所谓 的宇宙的平性问题。 宇宙的演化和大爆炸宇宙学虽然存在着许多问题，甚至可以说是有严重的困 难，但在现代宇宙学中至今它仍是得到天文观测最多最有力支持的一部分，它提 供了宇宙演化的主要轮廓，被称之为标准宇宙学。大爆炸宇宙学在理论上取得了 巨大的成功，主要有： 1 大尺度的均匀和各向同性 这是大爆炸宇宙模型的基础，对宇宙大尺度结构的观测结果已经证实宇宙学 第l 苹绪论 原理的正确性。即宇宙在大尺度上一定是均匀各向同性，1 9 8 9 年发射的c o b e 卫星对微波背景辐射的精密测量迸一步表明在1o “精度内宇宙是各向均匀、同 性的。 2 哈勃定律 从哈勃定律得到启示建立的大爆炸宇宙模型反过来可以预言这种定律。它已 被2 8 0 0 0 个星系的红移( 或退行速度) 与距离的关系的观测数据所证实。 3 宇宙的年龄 宇宙既然是在一次大爆炸中诞生，那就可以谈论它的年龄。大爆炸宇宙学预 言宇宙今天的年龄约为l5 0 亿年，宇宙中的结构，例如恒星、星系等，都是在 宇宙形成以后逐渐形成的，所以它们的年龄必须小于宇宙年龄。近年来，人们通 过采用多种不同的方式来测定星系和恒星的年龄，例如测量放射性元素及其衰变 产物在星体中的丰度等，最后得到的结果是完全一致的。即星系和恒星的年龄， 都在几十亿年的数量级，这与宇宙的年龄是相容的。 4 大爆炸的核合成 大爆炸宇宙学认为最初的宇宙中，既没有分子，也没有原子。第一批原子核 是在大爆炸后1o 。2 秒到3 分钟这一时间内，由质予和中子组合而成并遗留至 今的。 因而预言了宇宙中轻元素的丰度( 如氦的丰度约为2 5 ，氢的丰度约为7 5 ) 。 多年来人们对天体范围内的轻元素丰度的观测结果，正好与大爆炸的预言相一 致。从而成为大爆炸宇宙学的最早证据。 5 微波背景辐射 大爆炸宇宙学模型认为温度降低到3 0 0 0k 左右时，中性原子将大量形成， 光子与他们失去耦合，从而作为宇宙中的一个独立组分存留下来。伽莫夫预言， 这种作为历史遗迹的背景光子应当可以在今天观测到，并估计出大约温度为1 0 k 19 6 4 年就在物理学家们计划用辐射计观测这种背景辐射的时候，美国贝尔 电话实验室的两位工程师，彭齐亚斯和威尔逊在安装调试卫星天线的过程中，发 现天空各个不同方向上都存在一种不变的相当于3 5 k 的黑体辐射背景( 即微波 背景辐射) 9 北京工业大学理学硕士学位论文 1 4 宇宙暴涨一个解决问题的方案 1 9 8 1 年美国物理学家g u t h 针对磁单极子，视界和平性问题提出t c t r 。由于 磁单极子的产生率与宇宙的膨胀率是反相关的，暴涨使磁单极子的产生率几近于 零，也就是说今天找不到磁单极子不是由于它在原则上不可能存在，而是宇宙一 直没有提供生成磁单极子的条件。包括暴涨理论在内的现代宇宙学提出了一个完 整的宇宙演化图景，如表3 所示。 表3 宇宙演化过程中的时间、能量和物理特征 时间物理特征 1 0 - 4 3所有四种力统一成一种力，量子引力和超弦时代 1 0 1 5引力同其他力相分离，大统一时代，宇宙暴涨开始 l s强力同电磁力和弱力分离，暴涨结束 5 0 万年 电磁力和弱力分离，夸克结合成质子，原始核合成阶段 1 0 0 万年 宇宙开始透明，物质释放出辐射，形成背景微波辐射 l 亿年 星系开始形成，但大多位于现在可观测范围之外 1 0 亿年 可探测的星系或射电星系开始形成 3 0 亿年 包括银河系在内的大多数星系形成 1 、q 。= 1 和q 。 1 时，此时七= 1 ，引入变量使： h 刚= 警z 根据( 2 4 2 ) 式，积分有： r = 击 蒜事c o s 。( h 卜寺刳 一击愠书。柚c 胄) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 在( 2 4 4 ) 式中，当r 芦o 时，t = o ，即当仁0 的时刻宇宙还没有开始暴涨 第2 章f e d n 瑚n 宇宙动力学方程的求解 当时，此时r = r 。，则( 2 4 4 ) 式司以写为： r = 击 蒜缸c o s 。1 ( c 击棚 一击 眨4 因为击= 半( 亿年) ，h 的取值范围为：。5 - 一1 ，当取h _ 。8 ，q 。= 2 时， 宇宙的年龄为： r = 击驯- o 酽年。 从( 2 4 3 ) 可知当臼= 石时 f 器 他4 将且一带入到( 2 4 4 ) 中可以得到宇宙达到尺度最大时的时间： ：i 罢正丽 ( 2 4 7 ) 一2 风( q o 一1 ) “1 “ 如果令q 。= 2 ，h _ 0 8 ，带入到上式中，可以求得 f 一= 3 9 3 1 0 ”年 ( 2 4 8 ) 根据上面求的的结果，我们可以这样认为，闭合的宇宙( k = 1 ) 处于周而复 始的震荡之中，经过大约3 9 3 亿年之后r 到达最大值，之后开始越来越小，整个 的宇宙震荡周期为7 8 6 亿年，需要指出的是，这个数字并不是严格的宇宙演化周 期，由于h u b b l e 常数i 0 和q 。在很大程度上都依赖于观测的情况下，这些数字 的参考意义大于宇宙的真正的演化周期。 闭合字宙的演化图像如图2 1 所示： 1 9 北京工业大学理学硕士学位论文 y 袖r 州 门乙门j 2 4 2 平宇宙的解 图2 1闭合宇宙的演化曲线 当q 。= 1 时，此时k = o ，由( 2 4 1 ) 式可以求得 轴旧 肌竽：墨簪= 訾2 9 。蒯= 华 眨。m 33 r3 r 。” r 则可得： 即脚。降厂 旺4 加， 此时k _ o ，2 9 0 = q 。= l ，相当于平直时空的情况，在这种情况下r ( t ) 一直 随时间增加而增加，根据( 2 4 1 0 ) 式容易求出今天的宇宙年龄为( 这里取 h = 0 8 ) ： 扣委h i l = o 8 3 1 0 1 0 年 ( 2 4 1 1 ) 可以看到所求的宇宙年龄比当取h = 0 8 ，q 。= 2 时的宇宙年龄差别较大。说 明不同的宇宙演化方案对于宇宙的年龄的判定还是有一定的差距的。 平宇宙的演化图景如图2 2 所示： 第2 章f d e d n l 蛐宇宙动力学方程的求解 2 4 3 开宇宙的解 图2 2 平宇宙的演化曲线 当q 。 0 和f o ，分别从现在 向将来和向过去逐步计算出相邻时刻的r ( f ) f 值，并通过数学软件将得到的图 线绘制出来，从而得到用r ( f ) f 图线表示的宇宙演化图景( 为了讨论方便，我 ) ) ) 劢 脚 加 2 2 互 2 王 o 们将j i 记作m ) 。 3 h ； 第3 章宇宙常数a o 时宇宙的演化 ， 、y 1 一n h ，。 轴哪 图3 _ l 当q 种= o 1 对对应于h 仁- o 1 值的r ( f ) f 曲线 y 轴 j 7 r ( t ) 沙2 一 弋r 卅 卜。5 x 轴( t ) 图3 - 2 当q 。= o 5 时对应于不同m 值的r ( ) f 曲线 北京工业大学理学硕士学位论文 ， 、y l【r 吗 - 。 ， _ ii 轴m 图3 3 当q 种= 1 5 时对应于m 2 3 值的r 0 ) f 曲线 y 轴 r ( d 啪门 m ，3x 轴( t ) 图3 4 当q 扣= 2 o 时对应于不同m 值的r ( f ) f 曲线 第3 章宇宙常数a o 时宇宙的演化 i | 2 0 y 轴 f r ( t ) ft 忙17 5 f 阵8 一。 1 f i z o ，可得其一般解为： c f = ： 鼠等 ( 4 2 5 ) 利用所求得的解( 4 2 5 ) ，我们可一般地求解得到宇宙尺度因子a 与时间和 参数口。、口：、屈以及七的函数关系： 拇舟躯飞p 躯 署 ：m 上式中已令：c 。= g 。，( 4 2 6 ) 式为我们要详细讨论的一般关系式。为了看清楚 厚浮甓 届 、l，j簪 一 一 性旧 ， 北京工业大学理学硕士学位论文 p = 盖广( 卅吖) 托： 妒o ( 4 2 7 ) 故( 4 2 7 ) 式中a 。、a ：和函数厂( ) 为可以由理论或观测试验拟合决定的常数和 函数。( 4 2 7 ) 式是我们首次得到的具有一般指数爆涨宇宙的物质密度分布与标 量场间的一般关系，它是不同于所有已知关系的一般关系，( 4 2 2 ) 式纠正了过 去所有文献认为p 是口的单项函数而非一般的多项函数的不足( 例如见文献 ( l i i l d e ，1 9 9 0 ；“d d l e ，2 0 0 0 ) ) ，克服了过去文献关于爆涨宇宙对物质密度 与4 的关系在此方面的遗漏掉的项，而且下一节将看到，当c 0 ，届取适当的值时， 可得通常的指数爆涨形式，这在特殊情况下所得的公式正是文献( l i n d e ，1 9 9 0 ； l i d d l e ，2 0 0 0 ) 的结论。 进一步讨论当口， 吉，宇宙受到负压力加速膨涨： ( i i ) 当l 一吉= o 时，y = 吉，宇宙不再受到负压力而保持惯性膨涨； ( i i i ) 当1 一古 o 时， 吉，宇宙受到吸引的压力减速膨涨。 由于b e r n o p p e n h e i i n e r 近似的基本方法是：体系中存在快、慢变量，快变 量随慢变量变，或等价地，慢变量也随快变量而变，也就是把慢变量当作l 司定参 量，求解快变量的运动，然后再处理慢变量的运动( b o m ，o p p e n h e i i l l e r & p h y s i k ， 1 9 2 7 ) ) 。近年有许多工作( 如文献( s 吼，2 0 0 1 ) ) 用b e r l l 0 p p e l l h e i m e r 近似研究量 子退相干的一般理论。在宇宙学中也可用这近似，如当y 取为慢参量，使y 在 = f 锄e x p ( 玎) ( 5 1 1 ) 其中泛函积分是对连接( x 1 ，t 1 ) 、( x 2 ，t 2 ) 的所有路径进行的，这一表述可以 同样应用于量子场论，可以把场( x ) 看作是位形空间的坐标，则上面所给出的两 个事件可以用( 庐( _ ) ，t 1 ) 和( 庐( x 2 ) ，t 2 ) 给出，此时场由( 痧( ) ，t 1 ) 到( 庐( 工2 ) ，t 2 ) 的几率幅为： ( 妒( x 2 ) ，f ：i ( z 。) ，f i ) = i 口矿( 工，f ) e x p ( 订) ( 5 1 2 ) ( 5 1 2 ) 式中积分按照位形空间中的由( 妒( _ ) ，t 1 ) 到( 驴( 工2 ) ，t 2 ) 的所有路径 进行，这样相当于作代换( x ，t ) _ ( 庐( 石) ，t ) ，对单粒子的讨论和对场的讨论在 形式上完全一样。 作为量子理论的起点，通过在合适的位形空间中给出系统的波函数，从而确 定系统的状态，波函数的构造要从它的几率解释出发，可以写为下面的形式 ( l i u ，1 9 9 0 ；w a n g ，2 0 0 0 ) ： y ( x ，f ) = i 移x o ) e x p ( 玎 x o ) 】) ( 5 1 3 ) 其中n 是归一化因子，由系统的初始条件给出，积分是沿着一类路径进行 的，这类路径是从( x ，t ) 出发并按照前面所叙述的方式进行加权。 如果在( 5 1 1 ) 、( 5 1 2 ) 式积分的过程中出现发散，可以通过将时间轴在虚 平面上顺时针转到虚时间轴f _ f f ，并且考虑到当f 专一时时系统对应于 f 斗一。0 ，按照这种规则，单粒子系统的基态波函数应对应于： y ( z ，f ) = i 移x ( f ) e x p ( 一，【x ( f ) 】) ( 5 1 4 ) 上式中j 【x ( f ) 称作欧氏作用量，它是通过代换f _ f f 并调整一个整体符号得 到的。可以看出，如果工( f ) 】是正定的，则路径几分( 5 1 4 ) 便是收敛的。 ( 5 1 4 ) 式可以直接推广到量子场的情况，系统的基态波函数具有形式： 矿( ( j ) ，f ) = 陋( 工) e x p ( 一，【x ( f ) ) ( 5 1 5 ) 在一般情况下，引力场是由度规来描述的，一个普遍的度规可以写为下面的 形式： 硼2 = 一( 2 一f ) 出2 + m 出出+ 出出 ( 5 1 6 ) 其中为延迟函数( 1 印s e 鼬c t i o n ) ，f 为滑移函数( s l l i f im n c t i o n ) ，为 三维类空超曲面扣c d n 盯的内禀度规。、m 、 。均为时空坐标的函数。因此， 最直接的想法是场的位形空间由( 、l 、) 来描述，而路径积分是对位形 北京工业大学理学硕士学位论文 空间中连接两点( ；： 、最、越) 到( 霈、藏、嚣) 的所有路径进行。但是事 实证明这样做是错误的。因为根据广义坐标的变换不变形，、m 可以通过广 义坐标变换而消除，因此它们不构成单独的自由度，所以路径几分不应该对、 ；等的等价类进行。 在经典宇宙学中，所谓的宇宙学时间，是由诸如宇宙的平均密度或平均温度 等宇宙的内禀性质来刻画的，我们将这样的时间成为“内禀时间”，因此，在研 究宇宙学问题时，原则上不存在一般量子系统描述的“外部时间”，因为任何一 个系统只能作为整个宇宙的一个子系统而存在。在经典情况下，如果考虑某些场 量的演化，人们可以选取另外的一些场量作为实践标志，或者选取特定的规范而 使“外部时间”依然存在。在量子情况下，由于测量系统本身作为整个宇宙的一 个部分也必须量子化，因此“外部时间”便完全失去了意义。所以，位形空间中 的坐标应该仅有( ) 来描述，或者，如果存在物质场的情况下，由( f ，f ) 来描述，具体可以表述成为： ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( f ，fi ，f ) = j 口【g ，f 】e x p ( 捃 g ，f d ( 5 1 7 ) 上式的物理意义可以解释为宇宙由刻画的三维类空超曲面( 其上的场为 ) 到以爨刻化的三维类空超曲面( 其上的场为) 跃迁的几率幅。 5 2w h e e l e r - d ew i t t 方程 经典力学和量子力学之间的媒介是由作用量来充当的。作用量可以由作用量 原理给出经典运动方程。也可以给出量子力学中的每个路径的权重。对于一般的 场和单粒子系统，由于系统的拉格朗日中只包含对时空的一阶微商项，因此作用 积分中的端点项仅与场量本身有关。而和他们的时空微商无关，所以在变分中， 如果场量在端点保持不变，那么端点项就会消失。这就是通常意义下的变分原理。 对于引力场来说，应该在作用量： = 志儿i ( r 一2 a ) + 2 p 3 x 瓜j ( 5 2 1 ) 上式中第二项为表面项。因为对( 5 2 1 ) 式对g 。，做变分时： 虬= 志。( 瞄g ”一i w c r 4 ( 5 2 2 ) 积分是在流形m 的表面a m 上进行的，由于含有场量的g 。，的一阶导数项， 所以r 在表面a 肼上不能取为零。因此，在式( 5 2 1 ) 中， = d e t ，足= k ”， f 和岛分别为3 维边界上的内禀度规和外部曲率张量，r 是标曲率，a 为宇宙 常数。 考虑度规( 5 1 6 ) 式，同时考虑物质场存在的情况，在作用量中还应该再添 加一项九，可以写为： = + k = 志p 4 砌“2 ( 畅k f k 2 + 3 尺一2 a ) + “ ( 5 2 3 ) 其中： 铲专( 鲁，) c s z 舢 上式中( 表示对取协变微商，3 r 是由给出的内部曲率标量。 根据( 5 2 3 ) 可以得到系统的哈密顿量的表示式： = p 3 x ( 耐+ 石j + 删。+ f 日) ( 5 2 5 ) 由( 5 2 3 ) 式可以看出，和m 均为l a 孕孤g e 乘子，而不是动力学自由度， 前面指出，这是在广义坐标变换下不变的结果。因此，有( m o ，1 9 8 8 ) ： 石：墨：o ( 5 - 2 6 ) 丌r ：曼：o ( 5 2 7 ) a j 牙f ：里：坐蛔口一足卟 ( 5 2 8 ) 劢。1 6 石、 因此系统的h 锄i l t o n 量可以写为( m