（应用数学专业论文）非齐次a调和方程及其拓广的若干性质.pdf

上海交通大学博士学位论文 非齐次a 一调和方程及其拓广的若干性质 摘要 拟难受 j 映射是犟特征b e l t r a m i 方程缀 2 d ，( z ) d ，( 茹) = 吁g ( 。) 或双特强b e l t r a m i 方援组 2 d 。f ( x ) h ( z ) d f ( x ) = 巧g ( 。) ( - 1 0 1 ) ( m 1 , 0 2 ) 静广义鳞b e l t r a m i 方程缓懿骚 线经姨慰羧歪裂浃慰戆砭究带聚了一定懿爨建。 1 9 9 2 举和1 9 9 3 年t 1 w a n i e c 和g m a r t i a 6 6 ，7 3 l 运甩义【2 9 l 的恩想方法，将筒维单 特征b e l t r a m i 方瑕组( 1 0 1 ) 转化成a 一调和方程( 级) ，得到了解的正则性与可去 毒舅浚等结暴。最逐，翟金发，方爱衷盼制，露罄挣髑【h 司霹毫臻双特征b e l t r a m i 方程级( 1 0 2 ) 分别在日( 。) 为对角阵和h s i d e r 连续的假设下，将( 1 0 2 ) 转化为非 齐次a 一调和方程( 组) ，并研究了解的溅则性与可去奇异性融知满足( 1 0 1 ) ( 或 一1 0 2 ) ) 戆嚣羧趸籍浃菇对瘦予齐次( 或嚣弃次) 矗一谖秘方程缀) 翡疆弱熬f 馏， 因此我们对这些方程很弱解( 竣弱解) 的融则性，唯一性等的研究尤为重要由于 很弱魑的可积指数小于自然的s o b o l e v 指数，它容许勰有更多的奇性 z 3 1 】，这降低 了霹解静胃器悭瑟零。这骜方程苓经吴蠢夔要耱数学意义，瑟纛在实际中魂有攫 广泛的应用 5 7 1 2 1 ，1 3 4 第章我们对由弱拟正则映射导出纳a # 齐次a 一调和方程 一毹口a 扛，v u ) = b ( ，v “)( 一1 0 3 ) 很弱解的内部正则性和唯一。燃进行了研究。首先在算- 7 ：a ( 8v u ) 鞠昱慨v 缸) 分别 满是帮蠡鬻条传和藏耩增长条传下，我稍秘蘑遂h s l d e r 不等式、h o d g e 分勰荦拜基本 不等式簿工具，得到了在一藏条件下该方程的很弱解可以提商戴可积性而成为通 常的骣解，从两彳替挫：在一定条 牛下弱拟芷则映射呵以提高其w 积性蔼成为拟正 剿映射其次我们考虑区域的边界有镶夕 集静情形( 邵边界酶一滞分容量为鼢。 利用h o d g e 分解的方法我们诚明了当算子a ( x ，x 7 u ) 满足强单调条件和齐次条件， 且b v “) 的控制增长顼的系数适当小对其很弱勰怒唯一的 孛文援要 第：章我们研究了一类非线性椭圆组 d i v a ( x ，d u ) 一君( 。，珏，d u ( 一1 + 0 。4 ) 很弱解的全局正则性其中区域n 的边界a q 为l i p s c h i t z 连续的我们减弱了文 豳，5 3 】慰a 文珏 d u ) 粒假设，即把a ( x ，d u 中关予鲍增长揍数扶p 一1 提离 到迕害糙，并且将嚣端顼从0 发媵到s ( x ，妣，d u ) 对予b 池q d u ) ，我们假设“和 d u 的增长为次临界的当r = p 时，这样的假定与弱斛的情形是吻合的 1 2 6 l 1 3 6 我们把众嚣正则性阕蘧诧分为态部正则性嬲瑟纛边赛燕虽l 性闯题+ 首先，我嬲涯 锈在区域内部正莉慷结论成立对于边界闻题，考虑刘边界的光滑性，我们可以利 用一个可逆的l i p s c h i t z 映射和肖限覆盖定理将边界闻颇化成一个局部问题在证 鼹串，我耱曩h o d g e 分簿的方法取捡验丞数，器要炎服嚣蟊u ，静n ) 垂鲍毒援瞧嚣 难，即对同一积分项使用两次h 6 1 d e r 和y o u n g 不等式由于考虑众局正剜髋，我 们需使用两种类型的p o i n c a r e 不等式，即内部和l i p s c h i t z 边界p o i n c a r e 不等式 与第一掌跑较，由予* 数热入，葵予a ( x ，u ，d u ) 戆条传瞎强予矗曩v u ) ，蓠鬻孛 我们都用了h o d g e 分解，但证明方法本章与上一章有所不同我们用文【3 8 】中的 引理替代第一章中的基本不等式，使得证明更加简练 第三章我弱绘爨了一类羧线性方程 一班口a p 渖，d u ) + 岛扣，_ 【，d u ) = ( x )( - 1 0 5 ) 在嚼3 q ) 孛弱解戆一致话诗+ 这里莲域q 戆邃秀器q 涝是一致p 一浑条箨为了 得到弱解在嚼巾) 中关于指标p 的一致估计，我们需要提高解的梯度的可积性 因此我们必须建立一个全局正则性定理，把指数p 控制在一个确定的小范围内。 枣予边秀为一致p 一潭懿，我稚黉蘩了一个一致梦一零逡羿s o b o l e v 不等式刚，一 些容量不等式f 6 ”，和一个改进的逆h s l d e r 不等式 7 0 | 完成了全局派则性的诞明 从而得到了弱解的一致估计 关键词：非齐次a 一调和方程，很弱懈，正则性，唯一性，h o d g e 分解 i i 土海交逶大攀谗士学撂谂文 s o m ep r o p 嚣鬻藏嚣so fn o n h o m o g e n e o u s 盈- h a r m o 媳g e q u a t i o n s 轰n d t h e i rg e n e r a l i z a t i o n a b s 鬻巍a c t 戳辩i r e 器淞m a p p i n g s 黼g e n e r a l i z e d 赋瑶溉堪搽s i m p l e d i l a t i o nb e ! r a r a i s y s t e m 拶扛d ，霉) 一， 髫嚣)f - 1 , 0 ，6 ) o rd o u b ed i l a t i o n eb e h r a m i 拶# 搪m 嚣2 歹 砖嚣( 尊) 咎，( 茹) = 孝秽秘)( 。l + 0 7 ) b e l t r a 数t ls y s t e m * s 鳙r o n gn o n l i n e 。a - i 玲淑i n 漤辩礅e 娃i 燕髓j i 酶辩黥蜮y 嘴黼i 嘲强1 8 r m a p p i n g s i n1 0 9 2a n d1 9 9 3t 1 w a n i e ca n dg ，m a r t i n i s $ ，7 3 lc o n v e r t e ds i m p l ed i l a - 濑箍蹴檄戚锻燎激 i 。0 1 ) 融g h eh i 酶4 溆e n s i o n 协h o m o g e n e e l sa h a z m e n i e e q u a t i o n ( s y s t e m ) b yu s i n g t h ei d e a s o f 2 9 1 ，a n d o b t a i n e dt h e r e g u l a r i t y a n dr e m o v - a b i 蕊姆o fg e n e r m i m e ds o l u t i o n s a e c e n t , b , u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a th ( x ) 澹d i a g - o n a i , 强嚣露露寄叁赚菇毪。适醛，i 撼s p e c t i v e l y , c h e 蛰gj 甄熬王麓勰鬈蠡i 乳。跫轳羚嚣毒a n dz h e r l g s h e n z h o u 4 瓢t r a n s f o r m e dd o u b l ed i l a t i o n sb e l t r a m is y s t e m ( - 1 。0 ，7 遮强eh i g h d i m e n s i o nt on o n h o m o g e o e o u sa h a r m o n i ce q u a t i o n ( s y s t e 黻，a n ds t u d i e dt h e 冰l 瓣i 瓣a n d 鞠蕊掣张憝丞姆o fs o b a 圣2 0 n a ，蕊转t m o w a 漶懿霹瓣蕊祥嚣簸鬻塞轻i 瓣m a w p i n g ss a t i s f i e d ( * l ，0 ，1 ) ( o r - l 。0 ，2 ) jc o r r e s p o n dt ov e r yw e a ks o l u t i o n so f h o m o n e n e o u s ( o r 辩翻：酶鞠。登e 投e 拳毽墓矗一盎糊粼重ce q u 释t i o 鞋嚣t h e r e f o r ei t 逸v e x yi m p o r t a n t f o r d e 协嚣挂畦yr e g u t a r i wa n du n i q u e n e s s s o l u t i o n so fs 纛e 鬻e q u a t i o n s ，s i n c e 穗嚣 i n i ；e g r a b i l i t ye x p o n e n to fv e r yw e a ks 0 i n t i o n si s l e s st h a nn a t u r a ls o b o l e vs p a c e e x p o r t e r s j7 n o r e 感剥矗矗够c a l 镣蠹i a 蝴w e a k 舔毽髓。璐f 持舶，s u c ht h a tw eo 勰 r e l a xi n t e g r a b i l t yo f 靶l u i o n s t h e s ee q u a f i o n sn o t 辐西h a v e s i g n i f i c a n t8 稍l 释 m a t h e m a t i c a l l y , b u ta l s o 纛辩ee x t e n s i v e l ya p p l i c a t i o n si np r a c t i c e l 5 7 ，1 2 1 l 鞘。 瓠灏螽擎澉1 。黼s t u d yl c e m lr e g u l a r 瓷y 勰硅鼢遗i l e n e s s 。fv e v y 髑藏疑l 替t 妇 f o rn o n h o m o g e n e o u sa - h a m l e n i ce q u a t i o nr e l a t e dw e a k q u a s i r e g u l a rm a p p i n g s 一文w 囊扫，帑站) = 君( 劣，带珏x 扛i 、0 8 ) a 弓s 零r a e ? u n d e rt h ec o n d i t i o n st h a to p e r a t o ra ( x ，v u ) a n ds ( x ，v u ) s a t i s f ye l l i p t i cc o n d i t i o na n dc o n t r o l l a b l eg r o w t hc o n d i t i o n s ，r e s p e c t i v e l y , b yr e v e r s eh s l d e ri n e q u a l i t y , h o d g ed e c o m p o s i o na n db a s i ci n e q u a l i t y , w ef i r s to b t a i nt h a tv e r yw e a ks o l u t i o n s o f ( 一1 o 8 ) a r eu s u a lw e a ks o l u t i o n sb ye n h a n c i n gi n t e g r a b i l i t yo fg r a d i e n t su n d e r s o m ec o n d i t i o n s s ow e a kq u a s i r e g u l a rm a p p i n g sc a nb ei m p r o v e dt oq u a s i r e g u - l a rm a p p i n g sb yh e i g h t e n i n gi t si n t e g r a b i l i t yu n d e rs o m ec o n d i t i o n s s e c o n d ，w e c o n s i d e rt h eb o u n d a r yw i t he x c e p t i o n a ls e t s ( t h e r ee x i s t sz e r oc a p c i t yo nap a r to f b o u n d a r y ) ，b yh o d g ed e c o m p o s i o n ，w ep r o v et h eu n i q u e n e s so fv e r yw e a ks o l u - t i o n su n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h ec o n t r o l l a b l ec o e f f i c i e n to f b 江，v u ) i sa p p r o p r i a t e s m a l l ，o p e r a t o ra ( x ，v u ) s a t i s f ys t r o n gm o n o t o n i ca n dh o m o g e n e o u sc o n d i t i o n s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yg l o b a lr e g u l a r i t yo fv e r yw e a ks o l u t i o n sf o rac l a s so f n o n l i n e a re l l i p t i cs y s t e m s d i v a ( x ，珏，d u ) = b 缸，d u )( 一1 0 9 ) w h e r et h eb o u n d a r ya ni sl i p s c h i t zc o n t i n u o u s w er e l a xt h ea s s u m p t i o n sa b o u t a ( x ，d u ) i n 4 6 ，5 3 】，i e 。i m p r o v et h eg r o w t hi n d e xo f i na ( x ，d u ) f r o m p 一1t o 毕a n d 靴d e v e l o p t h er i g h th a n ds i d ef r o m0t ob ( x ，豇，d u ) ，a n d a s s u m et h eg r o w t he x p o n e n t so fd ua n dui nb ( z ，钍，d u ) t ob es u b c r i t i c a lg r o w t h s u c hg r o w t he x p o n e n t sa r ec o i n c i d e n tw i t ht h ea s s u m p t i o n so fw e a ks o l u t i o n si f r = p 【1 2 8 ，1 罅 w ec o n v e r tt h eg l o b a lr e g u l a r i t yp r o b l e mt ol o c a la n db o u n d a r y p r o b l e m s ，a n df i r s tp r o v et h el o c a lr e g u l a r i t y a n dt h e nf o rb o u n d a r yp r o b l e m ，c o n s i d e r i n gl i p s c h i t zb o u n d a r y 微、w ec a nt r a n s f o r m e dt h eb o u n d a r yp r o b l e mi n t oa l o c a lr e g u l a r i t yb ya p p l y i n gi n v e r t i b l el i p s c h i t zm a p p i n ga n dt h ef i n i t e l yc o v e r e d t h e o r e m i nt h ep r o o f , w ec o n s t r u c tat e s tf u n c t i o n 西b yt h eh o d g ed e c o m p o s i t i o n ，w h i c hc r e a t e ss o m ed i f f i c u l t i e si ne s t i m a t i n gt h ei n t e g r a lo f 器( g ，鞋，d 珏) 。t o o v e r c o m et h ed i m c u l t i e s w ea p p l yh s l d e r sa n dy o u n g si n e q u a l i t i e st w i c ef o rt h e s a m ei n t e g r a n d ；s i n c et h eg l o b a lr e g u l a r i t yp r o b l e mi sc o n s i d e r e d ，w en e e dt ou s e t w o t y p e so f p o i n c a r si n e q u a l i t i e s ，i e 。t h el o c a la n d l i p s c h i t zb o u n d a r yp o i n c a r e i n e q u a l i t i e s c o m p a r e dw i t hc h a p t e r1 ，t h ec o n d i t i o no fo p e r a t o ra ( z ，札，d u ) i s s t r o n g e rt h a na ( 茹，v ) sd u et oa d d i n g “i nc h a p t e r2 t h ep r o o fm e t h o di sn o t s a m ew i t hc h a p t e rte v e ni fw eu s et h eh o d g e d e c o m p o s i t i o ni nc h a p t e r2 ，w e i v 占造奎鎏盔堂整主堂垒燕塞一 r e p l a c et h ee l e m e n t a r yi n e q u a l i t yi nc h a p t e r lb yal e m m a i n 【3 s i s u c ht h a tt h e p r o o f i sm o r es i m p l e 飘c h a p t e r3 ，w e 垂v ea d u n i f o r me s t i m a t eo fw e a ks o l u t i o n si n 蛾。( q ) f o ra c l a s so fq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s d i v a p 沁d u ) + 马( 孑，毽，d u ) = ( 5 ) ( * 1 0 1 0 ) w h e r eb o u n d a r y0 qs a t i s f i e su n i f o r mp - t h i c kc o n d i t i o n i no r d e rt oo b t a i nt h e u n i f o r me s t i m a t eo fw e a ks o l u t i o n so f ( - i 。0 。1 0 ) w i t hr e s p e c tt oe x p o n e n tpi n 蝣，( q ) ，w e n e e dt oe s t a b l i s ht h eh i g h e ri n t e g r a b i l i t yo ft h eg r a d i e n t so fw e a k s o l u t i o n s t h e r e f o r e ，w en e e dt op r o v eag l o b a lr e g u l a r i t yt h e o r e m ，s u c ht h a tt h e e x p o n e n tpw i l lb ec o n t r o l l e dw i t h i na s m a l ld e f i n i t es c o p e ，s i n c eb o u n d a r y 勰 i su n i f o r mp t h i c k ，w ef i n i s ho u rp r o o fb ya p p l y i n ga nu n i f o r mp t h i c kb o u n d - a r ys o b o l e vi n e q u a l i t y i s l l s o m ec a p a c i t yi n e q u a t i e s i s ，a n dn i l i m p r o v e dr e v e r s e h s l d e r si n e q u a l i t y t m s ow eo b t a i nt h eu n i f o r me s t i m a t eo fw e a k s o l u t i o n s k e yw o r d s ：n o n h o m e g e n e o u sa - h a r m o n i ce q u a t i o n ，v e r yw e a k s o l u t i o n s r e g u l a r i t y , u n i q u e n e s s ，h o d g ed e c o m p o s i o n v 跗 牛四 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任俺其他个人或集体已经发表载撰写过的佟晶成巢。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标媚。本人完全懑识割本声萌的法簿结果由本人承担。 学位论文作者签名：溯善争装 日期：印巧；年年月细曰 罐件五 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校肖关保留、使用学位论文的规定， 阕意学校保餐捧淘曩家有关郯f 、l 或枫梅送交论文酶复印传秘电子 版，允许论文被套阅和借阐。本入授权上海交通大学可飙将本学键 论文的全部或部分汰容编入有关数据麾进罨亍检索，可以袋怨影印、 编印或孝薯捺等复铡手段保存翻汇编本学位论文。 保密口，在年勰密后遗耀本授权粥。 本学位论文篷予 不保密口。 学位论文作煮艇名：弼p 搓 日j c i j ：口扩；年印月。扩曰 经。日 凌，炒 、萄 呐 ” v1 名 萃 戤 班 蜊 鼬 教 掺 导 期 龃目n 口 上海交通大学博士学位论文 符号说明 j 矿表示n 维e u c f i d 空间；茹= ( 茹l ，2 2 ，。) 为其中的点，n 2 ； q 表示酽中的子集；= m e s ( f ) 表示n 的l e b e s g u e 测度； o f t 表示n 的边界；伊表示r ”f 2 i v t = d u = ( d l t ，d 2 t ，d 似) 表示函数“的梯度； l v t 上| 2 = i d i c a l 2 + i d 2 c a l 2 + + i m c a l 2 ；d i “= 丢兰，i = l ，竹； s u p p u 表示“的支集，即集会伽i u ( 。) 0 的闭包； 昭( q ) 表示n 上有紧支集的光滑函数全体； l ，表示u 在空间口( q ) 中的范数； 川2 ) 和弼i 。, d p “n ) 分别表示n 和j r 上的局部s o b o l e v 空间； 嚼一( q ) 表示w 1 , v ( f t ) 中有紧支集的全体函数构成的空阉； 孵( n ) 表示孵伊( q ) 的对偶空间，1 p 。， = ：刍； 当l p 0 此外，在流体力学中，剪( 切) 应力( s h e a rs t r e s s ) 卞和流的速度梯度x 7 ，u 满足： 寸( 茹) 嚣口( 。) v p u ，而v p u = i v u p 一2 v u ，l p n ) 可积性 其研究方法与结果在偏微分方程，调和分析中取得了广泛地应用与拟正则映射 相关的a 一调和方程，其弱解的许多性质已经被得到比如m g i a q u i n t a 3 8 】得到了 a 一调和方程弱解的逆h s l d e r 不等式 3 上海交通大学博士学位论文 o 1 - 3 很弱解的背景与发展 对于很多偏微分方程，人们无法得出它的经典解，因此开始探求它的弱解而 如果不能得到它的弱解，那么很自然会探求它的很弱解因此很弱解是弱解的一 个自然拓广就我们所知，很弱解的产生是很自然的，而且对很弱解的研究是很必 要的 首先，在函数论中，弱拟正则映射是拟正则映射的自然拓广，但是它的性质要 复杂很多1 9 9 4 年，t ，1 w a n i e c 7 6 ，6 9 】已经证明，单特征的弱拟正则映射的分量， 不是齐次a 一调和方程的弱解，而是很弱解类似地，我们知道双 特征的弱拟正 则映射的分量，也不是非齐次a 一调和方程的弱解，而是很弱解因此对弱拟正则 映射来讲我们必须研究很弱解 其次，很弱解不但对于弱拟正则是必要的，对其他方程也是必要的比如，j s e r r i n 1 3 l 】和l l e w i s 9 4 】构造了一个线性方程，并指出它的解仅仅是很弱解，而不 是弱解 第三，很弱解的另一个来源是解泛函极小问题 我们考虑泛函： 印 _ 厶l v w ( z ) l d x ， w 1 , p ( n ) ( o - 1 9 ) 如果对每个检验函数q i 埘p ( q ) ，有，扣+ ) f ( u ) 成立，那么u 啊1 。, 。p ( n ) 称为 局部极小点等价地，( o 1 9 ) 可表示为： l v u + v 毋p i v u i d x 0 ( o 1 1 0 ) ，l z 对所有的曲嚼巾( n ) 成立由基本不等式：一1 i p l p k q 引+ ) 9 ，要使 得( 0 i 1 0 ) 左边积分有意义，仅仅需要t 彤1 。, 。r ( q ) 就够了，其中，r m a z 1 ，p 一1 ) 我们考虑更一般的泛函： ，m 。上f ( x , d u ( z ) ) 如，u 。9 ( n ) ( o 1 1 1 ) 如果 i n f ( x , d u o ) + d 妒( 。) ) 一f ( x , d u 扛) ) 】如2 o ( 0 1 1 2 ) 对所有的p c o ( q ) 成立，那么u 啊1 。, 。p ( q ) 称为局部极小点如果下面的l i p s c h i t z 型条件 i f ( 。，+ q ) 一f ( z ， ) isc l q i ( i 严一1 + l v l p - 1 ) ， 4 第零章：绪论 成立，那么要使得( o 1 1 2 ) 左边积分有意义，也仅仅需要t 啊= ( n ) ，p - 1sr p 但是在这种情形，函数z - f ( z ，d u ( 。) ) 和x _ f ( x ，d u ( x ) + d 妒( z ) ) 可能不属于 工1 而它们的差f ( x ，d u ( z ) + d 妒) 一f ( z ，d u ( x ) ) 是可积的因此从泛函的极小问题 考虑，研究很弱极小点更为必要和自然 定义o 1 1f 邵，4 q 一个函数u 。c 1 , r ( n ) ，m 。扫- 1 ，1 ) r p ，被称为阳u 的很弱极小点，如果徊j 纠对每个妒- 蛞- p “( q ) 都成立 正如我们期望的，很弱极小点仍然是对应的e u l e r l a g r a n g e 方程 d i v a ( x ，v u ) = 0 ，( 0 11 3 ) 的解，这里，a ( x ，f ) = v f f ( x ，) ，而f 关于是可微的象通常一样，其中的散度 算子理解为分布意义但是，r = p 和r 0 ，对解“w o 加6 ( q ) ，有t 嚼肿。( n ) 1 9 7 5 年n m e y e r s 和a e l c r a t ( 1 0 7 0l 将前述结果推广到线性椭圆组( 0 1 7 ) 的情形但是用于线性方程的 对偶方法很难应用于非线性情形1 9 9 3 年j l e w i s 9 q 用w h i t i n e y 延拓原理及如 权函数理论【n 2 】来构造合适的检验函数，得到高阶非线性椭圆组 d “a ( x ，d ”u ) = 0 ，( 0 1 1 5 ) 很弱解的正则性即若u 嘴9 “( n ，彤) ，则u w 乏p 十6 ( q ，冗n ) 1 9 9 4 年t 1 w a n i e c 和c s b o r d o n e ( 7 6 】对弱拟正则映射满足的单特征b e l t r a x n i 方程( 0 1 1 ) 所导出的齐次 a 一调和方程 一d i v a ( x ，v u ) = 0 ，0 p 。o( o 1 1 6 ) 的d i r i c h l e t 问题在耐7 ( q ) ( m z 伽一l ，1 ) r p ) 空间中求解，采用h o d g e 分解的 方法构造合适的检验函数，得到了其很弱解的正则性和存在性即在w 它“( n ，毋) 中的很弱解一定在w ? d “( n ，r “) 中，从而u 一定是经典弱解而弱拟正则映射通 过提高其可积性后为拟正则映射但由弱拟正则映射满足的双特征b e l t r a m i 方程 5 上海交通大学博士学位论文 ( o 1 2 ) 导出的非齐次a 一调和方程很弱解的正则性还没有得到本文使用了一定 的技巧在第一章给出了证明 1 9 9 6 年d g i a c h e t t i ，f l e o n e t t i 和r s c h i a c h i 4 6 】采用文【7 6 】的方法研究了非线 性椭圆组 一击 a ( z ，u ，d u ) = 0( 0 1 1 7 ) 很弱解的局部正则性，得到了与文 7 6 】相同的结论1 9 9 7 年d g i a c h e t t i 和r s c h i a n c h i s 3 】利用h o d g e 分解的方法对非线性椭圆组 一d i v a ( x ，u ，d u ) = d i v f ( z )( 0 1 1 8 ) d i r i c h l e t 问题很弱解的边界正则性进行了研究文【4 6 ，5 3 拓广了t 1 w a n i e c 和 c s b o r d o n e f 7 6 】的方程( o 1 1 6 ) ，即从箅子a 不显含t 到算子a 显含u 但( o 1 1 7 ) ( 或 o 1 1 8 ) 的右端拓广到b ( x ，t ，d u ) 的情形，全局正则性问题还没有解决本文在第 二章将研究这一问题 关于椭圆型方程的存在唯一性，已经有很多结果，参看 4 ，5 ，1 0 ，2 5 ，5 1 ，5 4 ，9 6 ： 1 1 7 ，1 2 2 ，1 2 8 ，1 3 3 1 9 6 5 年j l e r a y 和j l l i o m 【9 6 】研究了非齐次a 一调和方程 一d i v a ( x ，v u ) = ，( z ) ，t 矸0 巾( q ) ，1 n 时，m ( n ) cw 0 1 , p ( n ) 1 9 9 5 年p b e n i l a n 等【4 】研究了满足熵条件的非齐次a 一调和方程当，( 。) 三1 ( n ) 时弱解的存在唯一 性1 9 9 4 年j m r a k o t o s o n * 2 2 】对于更广一类的方程 一d i v a ( x ，u ，d u ) + b ( “) = ，( z ) ，( z ) l 1 ( n ) ，u f ：，p ( n ) 的重正规化解在一个t 一集上给出了存在唯一性结果 关于很弱解的存在唯一性，1 9 9 6 年a d o l c i n i 用极大函数的方法 调和型方程 ( 0 1 2 0 ) 研究了p d i v ( a ( x ) l v u l p - 2 v u ) = 0( 0 1 2 1 ) 在1 ，( 兄“，o ) 中解的唯一性，其中o ( z ) 属于m u c k e n h o u p t a p 权，m a x 1 ，p 一1 r p 1 9 9 7 年l g r e c o ，t 1 w a n i e ca n dc s b o r d o n e 【4 5 1 采用h o d g e 分解的方法讨论 了非齐次p 一调和方程 d i v ( 1 v u 4 一2 v u ) = d i v f ( x ) ， ( 0 1 2 2 ) 6 第零章：绪论 当，( z ) ，口) ( n ，r n ) ，“w 0 9 ( q ) 时解的存在唯一性，并给出了非齐次礼一调和 方程 d i v ( i v u l n - 2 v u ) = p ，( o 1 2 3 ) 当“为r a d o n 测度时解的存在唯一性结果1 9 9 8 年l ig o n g b a o ( 李工宝) 和o m a x t i o 5 1 利用容量理论给出了具有很弱边值的齐次a 调和方程 一d i v a ( x ，v u ) = 0 ，0 p 。o( 0 1 2 4 ) 弱解( 或很弱解) 的唯一性1 9 9 8 年a f i o r e n z a 和c s b o r d o n e 利用h o d g e 分解的 方法和位势理论在平面区域对非齐次a 一调和方程 一d i v a ( z ，v u ) = ，( z ) ，( 0 1 2 5 ) 当，( 。) l 1 ( n ) ，t 耐2 ( q ) 时得到了存在唯一性结果他们要求区域是正则的， 即使得h o d g e 分解成立的区域1 9 9 8 年x i a oz h o n g h 4 利用极大函数原理和容量 理论给出了非齐次且一调和方程 - d i v a ( x ，d u ) = p( o 1 2 6 ) d i r i c h l e t 问题，当u 瞄神( q ) ，l p mp 为r a d o n 测度时解的唯一性他要求 区域是正则的，即q c 是一致p 一厚区域但是方程( o 1 2 5 ) ( 或o 1 2 6 ) 的右端包含 v u 的情形，唯一性结果还成立吗? 本文在第一章对啊7 ( n ) 中的很弱解的唯一性 进行了研究 o 1 4 弱解梯度的一致估计 弱解梯度的一致估计是研究方程解的存在性，稳定性的基础许多作者在研 究方程解的性质时，都需要先给出解的梯度的一致估计，参见【3 ，4 ，5 ，8 ，9 ，2 3 ，3 5 ， 5 0 ，8 6 ，9 2 ，1 2 2 ，1 2 8 ，1 3 3 ，1 4 4 但他们大部分考虑正则性边界，比如l i p s c h i t z 连续 边界而文 5 0 】研究的是p - p o i n c a r 6 厚边界他们给出了齐次a 一调和方程障碍 问题 a ( z ，v u ) v ( 一u ) d z 0 ，( o 1 2 7 ) j i 2 在磁口= p w 1 ，9 ( n ) ：口c a 一日w 0 舻( q ) ) 中关于指数p 的稳定性他们 证明中很重要的一步是，必须先得到弱解梯度的一致估计但是在更弱的边界条 件下，对于含有低阶项b ( 。，“，d u ) 的非齐次a 一调和方程，这样的一致估计还没 有得到主要困难是边界的一致p 一厚条件弱于p - p o i n c a r 6 厚条件在这样的边 界条件下，还没有建立弱解的全局正则性结果本文第三章将研究这个问题 7 一尘壅塞整奎兰壁圭黧垒堡查 o 2 主要结果 本文主要醪究与嚣羧歪裂穗美戆l 毒次蠢一潺嚣方黎( 缝) 及冀糍广戆嚣魏颡 报弱解解酌各种性质。比如很弱解的正则性，很弱解的唯一性等 第一章诞明了非齐次且一调和方程 一d i v a ( 。，v u ) = 廖如，v ) ( o ，2 1 ) 很弱解在一定条件下可以提高其可积性而成为通常意义下的弱解。并利用很弱解 戆歪爨毪，对一类菲齐次a - 谖程方程( 0 。2 。1 ) 褥囊了吴蠢续弱逸傻鹣径弱簿懿拣 一性 缓设算子盖江v 缸秘君。，瓿砖 廷： ( a ) 控制增长条件 f a 0 ，f ) 曼卢悖1 9 1 ， b 如， ) ls 辩 。 ( b ) 单调不等式 蠢。， ；，蚤兰搜 莓罗。 我们得剡下面正财性结果 定理0 2 l 如果方程m 2 u 满足条件( a ) 和( 6 ) ，那么一定存在可积指数 a ，强，1 i