（光学专业论文）原子激光传输的abcd形式理论研究.pdf

捅要 激光问世以来以其高强度、高单色性和高相干性在科学和技术中获得广泛应 用，改变了整个光学的面貌。原子激射器自产生以来，也一直是科学研究的热点。 这种在玻色爱因斯坦凝聚( b e c ) 的基础上产生的新型激光器，具有和以往的 光子激光类似的特征：单色性、相干性和方向性。原子物理学家也在期望着原子 激光能像光子激光那样产生一个新的光学革命。但要想把原子激光付诸于应用， 首先就要了解原子激光的特性和传输规律。原子激光作为一种新型的光源，目前 还没有形成一套能够被大家普遍接受的传输理论。我们试图提供一种研究原子激 光传输的一般方法，为进一步的实验和理论预测提供个理论工具。 本文主要是利用含时量子系统传输的s c h r o d i n g e r 形式理论初步探讨原子激 光的传输问题。本文在含时量子系统传播子的a b c d 形式理论的基础上，引入 某方向的束宽、发散角、曲率半径和品质因子等光束传输参数来表征横向势能 满足x 和y 分量相互独立的原子激光的传输。对于某一方向上品质因子守恒的情 况，可以通过解析某一方向品质因子守恒的充要方程，找到原子激光的a b c d 形式的传播子。如果考虑原子激光内部原子间相互作用的影响，就要引入描述原 有品质因子和原子间相互作用综合作用效果的物理量有效品质因子和有效 复数曲率半径，利用h e i s e n b e r g 图像得到传播子的有效a b c d 形式。无论是否 考虑原子激光内部原子问的相互作刚传播子表达式和a b c d 变换矩阵都仅与 所通过的势场有关，可以用以研究各种原子束的传输，而且计算极为简单。 第一章：本章回顾了原子激光器的理论和实验方顽的进展；比较了原子激光 和激光之间的差异，为进一步选择适当的方法来研究原子激光的传输奠定了基 础；最后，综述了原子激光传输的研究进展并总结了本人的工作。 第二章：本章介绍了傍轴光束在实数折射率介质和复数折射率介质中传输的 s c h r 6 d i n g e r 形式理论，同时指出由于原子激光的传输满足s c h r 6 d i n g e r 方程，与 含时量子系统的传输方程类似，故利用含时量子系统的s c h r o d i n g e r 形式理论来 研究原子激光的传输是可行的。 第三章：本章在含时量子系统的s c h r 6 d i n g e r 形式理论的基础上初步讨论原 子激光这种品质因子不守恒的含时量子系统的传输问题。本章讨论在忽略了 原子间的相互作用情况下，横向可分原子激光的传输，这个问题实际上仍属于品 n i 质网子守恒系统的范畴。文中还把所得到的结果与l ec o q 等人的工作进行了比 较。 第四章：由于原子激光内部原子问相互作用的存在，原有的品质因子不再守 恒，需要引入描述原有晶质因子和原子间相互作用综合作用效果有效品质冈子来 讨论原子激光的传输。因此，本章在s c h r 6 d i n g e r 形式理论的基础上，引入守恒 的有效品质因子来讨论有效品质因子守恒的的含时量子系统原子激光( 考虑 了原子激光内部原子间相互作用) 传播子的有效a b c d 形式。 第五章：本章总结了前几章的内容，并在前文的基础上提出可以进一步深入 的工作。 关键词：原子激光，传输，s c h r 6 d i n g e r 形式理论，a b c d 矩阵，光束传输参数， 品质因子守恒 a b s t r a c t t h er e a l i z a t i o no fa t o ml a s e r so p e n su pt h e n e wi n t r i g u i n g p e r s p e c t i v e s i n c o h e r e n ta t o mo p t i c s t h e s e n o v e la t o ms o u r c e s a r eb a s e do nb o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t e s ( b e c ) f r o m w h i c hac o h e r e n tm a t t e rw a v eb e a mi se x t r a c t e d ，w h i c hh a v e c o h e r e n c e ，m o n o c h r o m e a n d h i i g h d i r e c t i o n i ti s i m p o r t a n t t oc h a r a c t e r i z et h e q u a l i t i e sa n dt h ep r o p a g a t i o n o ft h e s ea t o mb e a m s t h ep r o p a g a t i o no fa na t o ml a s e r , w h i c hi s o u t c o u p l e d f r o mab o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e ，i s i n v e s t i g a t e d w i t h i nt h e f r a m e w o r ko fq u a n t u mm e c h a n i c s w ed i s c u s s e dt h ep r o p a g a t i o no ft h ea t o ml a s e r b e a mw h i c hh a dn o n - c o n s e r v a t i o nq u a l i t yf a c t o rb a s e do nt h et h e o r yo fa b c d f o r m u l a t i o no f p r o p a g a t i o no f a t i m e d e p e n d e n tq u a n t u ms y s t e m t h ee q u a t i o nf o rt h e q u a s i - c o n t i n u o u sa t o ml a s e rb e a mw a v e f u n c t i o ni sg i v e nb ys c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ， t h eb e a mw i d t h ，d i v e r g e n c ec u r v a t u r er a d i u sa n dq u a l i t yf a c t o rw e r ei n t r o d u c e dt o r e p r e s e n tt h ea t o ml a s e rb e a mw h o s e t r a n s v e r s ep o t e n t i a lc o u l db es e p a r a t e d f o rt h e c o n s e r v a t i v eq u a l i t yf a c t o rs y s t e mi ns o m ed i r e c t i o n , w ec a ng e tt h e p r o p a g a t o ro f a b c df o r m u l a t i o n w ec o n s i d e r e dt h ep r o p a g a t i o no ft h ea t o ml a s e rb e a m d u r i n gt h e i n t e r a c t i n gw i t hb e c ，t h ep r o p a g a t i o nw i t ht h et r a po na n dt h ef r e ep r o p a g a t i o nw i t h t h et r a po f fw h i c hp o t e n t i a lc a nb e s e p a r a t e db yxa n dy w i t h i nt h ef r a m eo ft h e a b c df o r m u l a t i o no fp r o p a g a t o ro fat i m e d e p e n d e n tq u a n t u ms y s t e m ，t h ea b c d l a wi se x t e n d e dt ot h es o c a l l e de f f e c t i v ea b c d s y s t e mw h i c he f f e c t i v eb e a mq u a l i t y f a c t o ri sc o n s e r v a t i v e ；w ed i s c u s s e dt h es y s t e ml i k et h ep r o p a g a t i o no ft h ea t o ml a s e r b e a m t h ee f f e c t i v eb e a m q u a l i t yf a c t o ra a dt h ee f f e c t i v ep a r a m e t e ra r ei n t r o d u c e dt o o b t a i nt h ee f f e c t i v ea b c df o r m u l a t i o no f p r o p a g a t o rb ym e a n so fh e i s e n b e r gp i c t u r e t h ea t o m - a t o mi n t e r a c t i o ni nt h ea t o ml a s e rb e a mm a k e st h eb e a mq u a l i t yf a c t o r n o n c o n s e r v a t i v e ，a n dt h ee f f e c t i v eb e a mq u a l i t yf a c t o rd e s c r i b e st h eb e a mq u a l i t y f a c t o ra n dt h ea t o m - a t o mi n t e r a c t i o nt o g e t h e r i nc h a p t e r1 ，ar e v i e wo ft h ea t o mi a s e r sa n dt h ea t o ml a s e rb e a m si s g i v e n t h e c o m p a r eb e t w e e nt h ea t o ml a s e ra n dt h eo p t i c a ll a s e ri sa l s or e p r e s e n t e d ，w h i c hi st h e f o u n d a t i o no ft h ep r o p a g a t i o no fa na t o ml a s e rb e a m a tt h ee n do ft h i sc h a p t e r ，w e l i s to u rw o r k sa b o u tt h ep r o p a g a t i o no fa na t o ml a s e rb e a m i nc h a p t e r2 ，a s c h r 6 d i n g e rf o r m u l a t i o nf o rp a r a x i a ll i g h tb e a mp r o p a g a t i o no f v t h er e a la n dc o m p r e h e n s i v er e f r a c t i v ei n d e x e si s r e p r e s e n t e d t h ee q u a t i o nf o r t h e a t o ml a s e rb e a mw a v e f i m c t i o ni sa l s o g i v e nb y as c h r s d i n g e re q u a t i o n , w h i c hi s s i m i l a rt ot h e e q u a t i o n o ft h et i m e d e p e n d e n ts y s t e m t h e r e f o r e ，i ti s p o s s i b l e t o i n v e s t i g a t et h ep r o p a g a t i o no f a na t o ml a s e rb e a m i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s s e dt h ep r o p a g a t i o no ft h ea t o ml a s e rb e a m ，w i t ht h e t r a n s v e r s e i n d e p e n d e n to fg r a v i t a t ed i r e c t i o n ，w h i c h h a dn o n - c o n s e r v a t i o nq u a l i t y f a c t o rb a s e do nt h et h e o r yo fa b c df o r m u l a t i o no fp r o p a g a t i o no fat i m e d e p e n d e n t q u a n t u ms y s t e m a c t u a l l y , t h ea t o ml a s e rb e a mw i t ht h et r a n s v e r s ei n d e p e n d e n to f g r a v i t a t e d i r e c t i o ni si n c l u d e di nt h ec o n s e r v a t i v e s y s t e m w ea l s oc o m p a r eo u r m e t h o d sa n dr e s u l t sw i t hl e c o q s i nc h a p t e r4 ，t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e na t o m sw i t h i nt h ea t o ml a s e rb e a mw i l lb e i n c l u d e di nt h ep o t e n t i a le n e r g y ，w h i c hl e a d st ot h en o n - c o n s e r v a t i o no ft h eq u a l i t y f a c t o r a ne f f e c t i v eq u a l 时f a c t o rr e p r e s e n t i n gb o mt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e na t o m s w i t h i nt h ea t 0 ；类使光束发散， 一妒) ) v y ) o 。 为了简单起见，这里讨论光束在中心对称介质中的传输，由于对称陛的缘故， 9 坐标算子，和动量算子卢的平均值为零：( i ) = ( 砖= 0 。 2 3a b c d 系统和有效a b c d 系统 2 3 1a b c d 系统 实数折射率介质中，对于光束质量因子守恒的系统，可以定义一个q 参数( 刘 承宜等2 0 0 0 ，l i ue ta l2 0 0 0 ) ：g = r 。+ 2 埘2 w 。2 。同理，在复数折射率介质 中也可以定义类似的g 参数：日= r 一1 + i m2 w 一k 。然后，根据( 1 1 ) 和( 2 0 ) 曲式可得质量因子守恒或复数质量因子守恒的充要条件都是 ”。老小。2 矿d 0 2 ( 2 2 ) 叭r i c a t t i 代换( t o v a r e t a l1 9 9 5 ) 南= 而n o 盟d z ，可得 一o 等一斋出) = o ( 2 3 ) ”1 厂一矿“2 o ( 2 3 j ( 2 3 ) 式的解和相应的微分可以表达为两个独立函数的线性组合( t o v a re ta l 1 9 9 5 ) u ( 2 ) = 爿( z ) “( o ) + b ( 刁n o d u ( o ) i 出( 2 4 ) 庙z ) 娩= c ：) “( o ) + d ( ；) d “( o ) j z( 2 5 ) 由( 2 4 ) 式和( 2 5 ) 式可得 c = 警，。= i d b ( 2 6 ) 上箜=土塑=去黑(27a d zbd z d w ) 2 显然，a d b c 与z 无关，一般取为a d b c = l 。根据r i c a t t i 代换、( 2 4 ) 和 ( 2 5 ) 三式可得实数折射率介质中的a b c d 定律或复数折射率介质中的复数 a b c d 定律： 口i = ( c + d g i l x 爿+ 8 , , - 1 ) 1 ( 2 8 ) 利用( 2 6 2 8 ) 三式可以得到( 2 2 ) 式。n n n 子守恒和复数质量冈子守恒分别 是a b c d 定律和复数a b c d 定律成立的充要条件。因此，把质量因子守恒的系 统称为a b c d 系统，把复数质量因子守恒的系统称为复数a b c d 系统。将( 2 2 ) 式的解写成( 2 8 ) 式的形式可得常数折射率系统( n = n 。) 和类透镜系统 ( 。：一；( i a ：，：) ) 的 a b c 。 矩阵元分别为f ：2 乍。 和 k c o s 血t i 您 意斟 为了了解复数曲率半径的物理意义，将( 2 ) 或( 4 ) 式的解写为 如拈丢。x 一 等 ， 将上式代入( 4 ) 式，利用( 2 0 ) 式可得( d = 2 ，工= 拥2 d 2 ) 寺鲁h ，+ 去m 帆2h 小上n o k o q 一，+ 熹一筹， 显然，只有常数折射率介质( 一= ，三= 0 ) 和类透镜介质( ”2 = 瑶l 一( _ 1 ) 7 口z r2 】， 三= ( - 1 ) z o f 2 n ；) 才可以取，g ，z ) = ( z ) 厶归) ( 2 p2 = k o q ) 。利用这个解析表 因子04 ) ( r 2 ) 2 ( m a r t i n e z - h e r r e r oe ta l1 9 9 5 ) 为常数。根据( 2 2 ) 、( 2 9 ) 和( 3 0 ) 三式可得 警2 杀 例， 显然，信息熵变化的符号与曲率半径变化符号是一致，能够反映光束的聚焦或发 散情况。( 1 0 ) 和( 3 0 ) 两式表明，曲率半径不仪标度了束宽的进化，而且标度了 信息熵的进化。因此，这个理论还进一步揭示了曲率半径的物理意义。 一般来说，a 、b 、c 和d 是实数。分别取( 2 8 ) 式的实部和虚部，利用( 1 0 ) 式可得 昭= o 十艘i 1 ) 2 昕+ b 2 寿m 7 。 ( 3 2 ) 蚓叼= o + 艘i x c + 。盯k 2 + 口。寺m 7 ( 3 3 ) 由于质量因子或复数质量因子守恒，根据( 2 0 ) 式可得发散角。或有效发散角 的表达式，利用( 1 1 ) 、( 2 6 ) 、( 2 7 ) 、( 3 2 ) 和( 3 3 ) 五式可得： 。i = ( c + o r ? 1 ) 2 啊2 + d 2 砉m m 。2 ) 虽然p o r r a s 等人( 1 9 9 2 ) 利用推广的h u y g e n s 积分( c o l l i n s1 9 7 0 ，s i e g m a n 1 9 8 6 ) 经过复杂的推导也得n t ( 3 2 3 4 ) 三式，本文理论的推导却非常简单且前后自 恰。 在h e i s e n b e r g 图像中，根据光束传输参数的定义，由( 4 ) 、( 3 1 ) 和( 3 3 ) 两式可得： 名：= ( 爿i 。+ 占死) ，五。：= ( c 瓦。+ 日i 。) ( 3 5 ) 根据空问坐标算子和动量算子的对易关系和( 2 9 ) 可以证明( 1 0 ) 式。根据光学 变换的物理意义，本文取“+ ”的形式来进行讨论，可得 f 7 = a t y 十b t p ，卢，= c t + d 硒( 3 6 ) n a z a r a t h y 等人( 1 9 8 2 ) 将r 称为正则算子，从( 3 6 ) 式出发建立了算子理论。 从本文上面的推导可知，( 3 6 ) 式是a b c d 系统和复数a b c d 系统的基本特性。 利用表象技术很容易从( 3 6 ) 式推出a b c d 系统和复数a b c d 系统的衍射积分 公式。 在空间坐标表象中，分别用瓴l 和1 只) 左乘和右乘( 3 6 ) 式可得 矗d 矗，五；z ：，z ，) = 爿再g 皖，i ；z ：，z ) + t b k l o0 。i g 皖，i ；z ：，：。) ( 3 1 ) 一杀毒g 疏z 。) 蛔g z ) 瑚寺苦g 皖，i 根据以上两式求出格林函数 g ( 嘲再= | _ 去卜一l ，耐f 一一2 嗡昏研) i ， 代入( 7 ) 式可得空间坐标表象中的h u y g e n s 积分( c o l l i n s1 9 7 0 ，s i