（应用数学专业论文）正则剩余格的理想及其性质.pdf

扬州人学硕士学位论文 中文摘要 在逻辑推理系统和逻辑代数系统的研究中，理想和滤子是两个重要的概念和工具本 文在剩余格上引入：i c 一运算并使用代数工具，拓扑学方法对正则剩余格上的与水一运算有关的 各种理想进行研究并建立逻辑、代数和拓扑的联系 本文第一章介绍了有关偏序、蕴涵算子、拓扑和剩余格及理想方面的概念和相关结论 第二章在剩余格上定义了木一运算，研究了j 下则剩余格及其术一运算的若干性质，进一步 探讨了带有木一运算的正则剩余格与其它逻辑代数，如b c k 代数，格蕴涵代数，预线性剩余 格等之间的关系证明了任一带有半一运算的f 则剩余格都是有界b c k 代数，给出了带有木一 运算的正则剩余格成为格蕴涵代数和预线性剩余格的充分条件 第三章在带有木一运算的正则剩余格上定义了水一理想和准宰一理想，研究了他们的性质及 相互关系，证明了所有的木一理想一定是准木一理想，并用例子说明该定理的逆不必成立得 出了木_ 理想的如下综合刻画定理：正则剩余格l 的非空子集i 为术一理想当且仅当下列五组 条件之一成立： ( 1 ) v a , b ，e e l 有( i ) o e i ，( i i ) 如果a * b e i 且b * c e i 则a * c e i ； ( 2 ) v a ，b ，c e l 有( i ) o e i ，( i i ) 如果a * b e i 且b o c e i 则a c e i ； ( 3 ) v a , b ，c e l 有( i ) o a i ，( i i ) 如果b * a e i 且c 专a i 则c - - - b e i ； ( 4 ) v a ，b ，c e l 有( i ) o e i ，( i i ) 如果b * a e i 且b c i 则a - - - c e i ； ( 5 ) v a ，b ，c e l 有( i ) o e i ，( i i ) 如果a n , b e i _ i t ( b , c ) * _ 1 a m e i ，则a m + n * e e l 其中 a 2 = a 圆a ，a m + n = a m a n ，a o = 1 最后第四章讨论了带术一运算的正则剩余格上的同余关系和素，l c 一理想，研究了素，i c 一理想 的性质，在满足一定条件的正则剩余格l 的全体素水一理想之集木p i ( l ) 上定义了一个拓扑t ， 并称为素木一理想拓扑， 证明了拓扑空问( 木p i ( l ) ，t ) 是紧t o 拓扑空间，并给出了( 木p i ( l ) ，t ) 成为t 。拓扑空自j 的充要条件 关键词：正则剩余格；蕴涵算子；，l c 一运算；木一理想；准木一理想；素木一理想；紧集；拓 扑空间 朱芳芳：正则剩余格的+ 理想及其性质1 1 a b s t r a c t i nt h es t u d yo fl o g i ci n f e r e n c es y s t e m sa n dl o g i ca l g e b r as y s t e m s ，i d e a l sa n df i l t e r sa r et w o i m p o r t a n tc o n c e p t sa n dt o o l s t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oi n t r o d u c et h e 木o p e r a t i o na n ds t u d y i d e a l sr e l a t e dt ot h e 木o p e r a t i o nu s i n ga l g e b r a i ct o o l sa n dt o p o l o g i c a lt e c h n i q u e so nr e g u l a r r e s i d u a t e dl a t t i c e s t h i ss t u d yc a ne s t a b l i s hl i n k sa m o n g l o g i c ，a l g e b r aa n dt o p o l o g y c h a p t e rio ft h i sp a p e ri n t r o d u c e sb a s i cc o n c e p t sa n dr e s u l t so fp a r t i a lo r d e r ，i m p l i c a t i o n o p e r a t o r s ，t o p o l o g ya n di d e a l sa sp r e l i m i n a r i e s c h a p t e ri id e f i n e st h e 木。o p e r a t i o ni nr e s i d u a t e dl a t t i c e sa n di n v e s t i g a t e sp r o p e r t i e so f r e g u l a rr e s i d u a t e dl a t t i c e sa n dt h e i r 宰- o p e r a t i o n w ea l s oe x p l o r ef u r t h e rr e l a t i o n s h i p sb e t w e e n r e g u l a rr e s i d u a t e dl a t t i c e sw i t h 牝o p e r a t i o na n do t h e rl o g i ca l g e b r a s ，s u c ha sb c k a l g e b r a s ， l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a s ，p r e l i n e a rr e s i d u a t e dl a t t i c e s i ti s p r o v e dt h a tr e g u l a rr e s i d u a t e d l a t t i c e sw i t h 水- o p e r a t i o na r ea l lb o u n d e db c k a l g e b r a s s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rr e g u l a r r e s i d u a t e dl a t t i c e sw i t h 木- o p e r a t i o nt ob ei m p l i c a t i o na l g e b r a so rp r e l i n e a rr e s i d u a t e dl a t t i c e sa r e o b t a i n e d c h a p t e ri i id e f i n e s 木- i d e a l sa n dq u a s i 木- i d e a li nr e g u l a rr e s i d u a t e dl a t t i c ew i t h 木o p e r a t i o n a n di n v e s t i g a t e st h e i rp r o p e r t i e sa n dr e l a t i o n s h i p s i ti sp r o v e dt h a t 木一i d e a li sq u a s i 木i d e a l a n e x a m p l ei sg i v e nt os h o wt h a tt h ec o n v e r s eo ft h et h e o r e mi sn o tt r u e ac o m p r e h e n s i v e c h a r a c t e r i z a t i o nt h e o r e m si so b t a i n e df o r 木一i d e a l s ： an o n e m p t ys u b s e tio fa r e g u l a r r e s i d u a t e dl a t t i c el w i t h 木。o p e r a t i o ni sa 木- i d e a li fa n do n l yi fo n eo ft h ef o l l o w i n gf i v eg r o u p so f c o n d i t i o n sh o l d s ： ( 1 ) v a ，b ，e e l ，( i ) o e i ( i i ) i f a * b e ia n db * c e it h e na 木c i ： ( 2 ) v a ，b ，e e l ，( i ) o e i ( i i ) i f a * b e ia n db o c e it h e na o c e i ； ( 3 ) v a ，b ，e e l ， ( i ) o e l( i i ) i f b 拳a ia n dc 争a it h e nc b i ： ( 4 ) v a , b ，e e l ，( i ) o e i ( i i ) i f b * a e ia n db - - c e it h e na 专c i ； ( 5 ) v a ，b ，e e l ， ( i ) o e i ( i i ) i f a n * b e ia n d ( b 木c ) 木1 l n l it h e na m + “木c i ，w h e r ea 2 = a a ， a m 蜘= a m o a n a 0 = 1 f i n a l l y ，c h a p t e ri vd i s c u s s e sc o n g r u e n c er e l a t i o n sa n dp r i m e 木i d e a l si nr e g u l a rr e s i d u a t e d l a t t i c e sw i t h 牝o p e r a t i o na n di n v e s t i g a t e sp r o p e r t i e so f p r i m e 牝i d e a l w ei n t r o d u c eat o p o l o g yt ， c a l l e dt h ep r i m e 术- i d e a lt o p o l o g y ，o nt h es e t * p i ( l ) o f a l lp r i m e 牝i d e a l so fa r e g u l a rr e s i d u a t e d l a t t i c ew i t hc e r t a i nc o n d i t i o n s i ti sp r o v e dt h a tt o p o l o g i c a ls p a c e ( * p i ( l ) ，t ) i sac o m p a c t t o s p a c e an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sa l s og i v e nf o rt o p o l o g i c a ls p a c e ( * p i ( l ) ，t ) t ob eat 1 - s p a c e k e yw o r d s ：r e g u l a rr e s i d u a t e dl a t t i c e ；i m p l i c a t i o no p e r a t o r ；木- o p e r a t i o n ；木一i d e a l ；q u a s i 木i d e a l ； p r i m e 木一i d e a l ；c o m p a c ts e t ；t o p o l o g i c a ls p a c e 扬州人学硕十学位论文 符号名称 符号说明 本文中代表的意义 蕴涵算子 取下确界 取上确界 偏序关系 偏序集或格 三角模 伴随对 拓扑空间 定义的运算 由全体木理想组成的集合 由全体准木理想组成的集合 由木理想i 决定的同余关系 由全体素术理想组成的集合 包含a 的最小木一理想 不包含x 的素木理想之集 素牝理想集的族 页码 3 3 3 3 3 4 4 5 7 1 4 16 18 1 9 1 9 2 0 2 0 1 1 1 q 叫 d o 畎 专 八 v 峪。 邮 术 懈 懈阿删 扬州火学硕+ 学位论文 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果。 除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体己经发表的研究成果。对本 文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名： 趣猜 签字日期：力卯夕年月驴 学位论文版权使用授权书 本入完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关 部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。本人授权扬州大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录 到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 学位论文作者签名：移 签字日期：7 御夕年月日 v j 导师签名： , 气鹄山 签字日期渺7 年月孕日 扬州人学硕十学位论文 引言 数理逻辑科学发展至今已经有3 0 0 多年的历史了，如果从1 8 8 0 年前不久j 下式提出谓 词演算和集合论时算起，那也有1 0 0 多年的历史可以追溯了如今的数理逻辑已经发展成 为了一门枝繁叶茂的科学了，在数理逻辑的发展史上，经典的二值逻辑以其形式化推理的 严谨性而成为现代计算机科学的理论基础随着数学和计算机科学的迅速发展以及生产实 践对理论的要求的不断提高，为了能够更好地处理和概括自然界广泛存在的复杂现象，在 人们的长期的探索中促成和推动着数理逻辑的一个新的领域一非经典数理逻辑的产生和 发展 非经典数理逻辑是多值逻辑，模糊逻辑以及模糊控制等的理论基础模糊逻辑是非经 典逻辑中的一个极具活力的分支模糊逻辑的研究包括形式模糊逻辑系统的逻辑演算的 语法问题、语义问题、代数问题以及代数的完备性问题等等在对模糊逻辑的长期的探索 和研究的过程中，专家和学者们发现和经典的数理逻辑相类似，每一种模糊逻辑系统都与 一个逻辑代数相对应作为其基础。因此，长期以来利用泛代数的方法来研究逻辑问题也倍 受广大学者们的青睐 1 6 - 17 】强大的代数方法在模糊逻辑的研究过程中发挥出了其不可替 代的作用这方面已经取得了许多重要成果其中比较有影响的工作有捷克学者j p a v e l k a 的模糊逻辑理论，众多的学者对l u k a s i e w i c z 公理系统的完备性问题所做的研究等我国 学者在这方面也做了很大贡献，徐扬教授基于格蕴涵代数【4 1 建立了相应的形式逻辑系统， 获得了一些有价值的成果【2 0 1 王国俊教授在对众多学者关于模糊推理和模糊逻辑的研究 工作进行分析和总结的基础上，引入了模糊逻辑系统r ，在系统l 的框架中从语义方面 为f m p 和f m t 建立了逻辑基础【蛤17 1 以懿算子为基本蕴涵算子，建立了修正的k l e e n e 逻辑系统【1 2 1 ，提出了模糊推理的全蕴涵三i 算法【2 1 1 ，将模糊推理重新引入到逻辑语义蕴涵 的正确轨道文献 2 】总结了已有研究成果，并找到了模糊推理的非模糊形式所有这一切 研究成果使得模糊推理缺乏逻辑基础的状况大大得到了改善，从而弥补了模糊推理的不 足，使得模糊推理同渐完善 值得提的是，拓扑、逻辑和序是紧密联系的，有限观察逻辑所对应的代数f r a m e 就 是某种广义拓扑，而每个拓扑又都可看作几何逻辑，同时又都是具有某种无穷分配律的完 备格所以对逻辑系统和逻辑代数的研究，拓扑学方法和序结构方法都是有用的拓扑学 作为近代数学的一个重要组成部分，发展到今天仅有1 0 0 多年的历史，但它已经形成包括 点集拓扑学( 也称一般拓扑学) ，代数拓扑学和微分拓扑学等重要分支的庞大学科体系它 朱芳芳：正则剩余格的幸理想及其性质 2 一 的发展不仅深刻影响着数学的其它分支，而且对其它学科( 如物理，化学和生物等) 也表现 出了巨大的应用价值【2 3 3 4 1 连续格理论及其推广的d o m a i n 理论源于两种不同的背景 一是理论计算机中的操作语义，另一是数学中的逼近理论从2 0 世纪7 0 年代d s s c o t t 提出连续格概念以来，由于d o m a i n 理论中，拓扑、序、逼近以及逻辑的概念和思想可以 相互转换和统一，所以d o m a i n 理论吸引了来自计算机科学和数学领域的许多学者的关注 2 0 0 3 年出版了由g g i e r z 等六位作者合著的d o m a i n 理论研究的著名专著 3 5 】 逻辑与代数是密不可分的，在对非经典数理逻辑的长期探索和研究中，人们发现，与 经典数理逻辑类似，每一种模糊逻辑系统都以一个逻辑代数作为其基础1 9 5 8 年c c c h a n g 引入了一种新的逻辑代数m v 代数，从而成功证明了无限值l u k a s i e w i c z 系统的完备性 我国的许多学者在数理逻辑与各种代数之间的联系做了和深入的研究【6 。13 1 ，从而更深入详 细地讨论了他们的性质，也为进一步完善和充实逻辑内容作出贡献徐扬教授把格运算和 蕴涵相结合于1 9 9 3 年提出了格蕴涵代刿3 1 ，并对其进行了深入研究，建立了相应的逻辑推 理系统王国俊教授于1 9 9 6 年引入了凡代数，并把它应用到模糊命题逻辑中，建立了形 式推理系统l ，获得了l + - l i n d e n b a u m 代数，引入了蕴涵格的概念在众多的多值逻辑和 模糊逻辑的代数系统中，剩余格是一类比较重要且相当广泛的代数类是理想的代数框架， 因此吸引了不少学者对剩余格进行深入的研究，也取得了不少成果口卜14 。，尤其是裴道武教 授对剩余格和正则剩余格做了系统的研究和概括n 引，所以对剩余格的性态作深入的研究， 将有助于把握各种逻辑代数的特性 在逻辑推理系统和逻辑代数系统的研究中，理想和滤子是两个重要的概念，也得到了 广泛的研究【5 1 5 18 1 ，本文就是在这种基础上，在正则剩余格上引入了新的运算木，研究了 它的若干性质，然后探讨了带有木一运算的正则剩余格与其它逻辑代数，如b c k 代数，格 蕴涵代数，预线性剩余格等之间的关系接下来在带有木一运算的正则剩余格上定义了水一理 想和准术一理想，分别研究了他们的性质及关系，从而得出了，i c 一理想的若干等价刻画定理 最后文章还讨论了带木一运算的正则剩余格上的同余关系和素水一理想，并研究了素木一理想的 性质，在满足一定条件的正则剩余格l 的全体素木一理想之集术p i ( l ) 上定义了一个拓扑t ， 并称为素木一理想拓扑，探讨了该诱导拓扑的性质 这些工作一方面使我们可以更进一步的认识和把握众多的逻辑代数系统的共同的本质 特征，极大地丰富模糊逻辑的代数理论，另一方面把逻辑和拓扑联系起来，为拓扑的研究 工作注入新的活力，而且为这些学科寻求新的广阔的应用领域，有利于促进逻辑学与这些 学科间的交叉和渗透 扬州大学硕十学位论文 第一章预备知识 在本章中，首先对文中涉及的有关偏序、三角模和蕴涵算子、拓扑和d o m a i n 等方面 的基本概念作简单介绍有关逻辑方面的概念大都取自文献 1 2 】；有关偏序结构和d o m a i n 理论方面的概念取自文献【1 和 3 3 ；有关拓扑方面的知识主要来源于文献 2 9 31 ；有关剩 余格的内容取卧1 5 】有关。与本文有关的内容取自 1 8 1 1 偏序 定义1 1 1 【1 2 】设p 是一个非空集合，称p 上的满足自反性、传递性和反对称性的二元 关系为p 上的一个偏序关系或简称偏序，并称( p ，) 是一个偏序集 定义1 1 2 【2 1 设( l ，) 是一个偏序集，a ，b ，x e l ，b c l ( 1 ) 如果 v b e b ，a b ，则称a 为b 的一个下界 ( 2 ) 如果v b e b ，b a ，则称a 为b 的一个上界 ( 3 ) 设a 是b 的一个下界，如果对于b 的任意一个下界x 都有x a ，则称a 为b 的最 大下界，也称下确界 ( 4 ) 设a 是b 的一个上界，如果对于b 的任意一个上界x 都有a x ，则称a 为b 的最 小上界，也称上确界 定义1 1 3 t 1 捌( 1 ) 设( l ，) 是偏序集，若a ，b l 在l 中s u p a ，b ) 和i n f a ，b ) 都存 在，则称( l ，) 是一个格s u p a ，b 和i n f a ，b ) 常常分别记为a v b 和a k b ( 2 ) 设( l ，) 是一个格，如果v a ，b ，c e l 都有 a v ( b 入a ) = ( a v b ) ( a v e ) ，( 1 - l 1 ) a a ( b v c ) = ( a 八b ) v ( a 八c ) ，( 1 一l 一2 ) 则称( l ，) 是一个分配格 ( 3 ) 设( l ，) 是一个格，如果l 的任何子集在l 中都有上确界和下确界，则称( l ，) 是一个完备格 ( 4 ) 设( l ，) 是一个格，如果l 中有0 和l 使得 v a e x 有o a l ，则称( l ，) 是有 界格，0 和1 称为它的最小元和最大元 ( 5 ) 设( l ，) 是一个格，称一元元算：l l 为一个逆序对合对应，如果( a ，) ，= a 且当a b 时有b a t 朱芳芳：正则剩余格的卑理想及其性质 4 一 引理1 1 4 i 1 】一个格( l ，) 满足等式( 1 1 1 ) 当且仅当它满足等式( 1 1 2 ) ，从而格( l ，) 为分配格当且仅当它满足等式( 1 一l 1 ) 或( 1 1 2 ) 之一 定义1 1 5 设p 是一个偏序集，称p 上的二元运算 和斗是互为伴随的，如果以下 条件成立： ( 1 ) 圆：p x p _ p 是单调递增的； ( 2 ) j ：p x p 专p 关于第一变量是不增的，关于第二变量是不减的； ( 3 ) a 圆b c 当且仅当a b 专c ，v a ，b ，c el 此时称( ，专) 为p 上的伴随对 1 2 三角模与蕴涵算子 定义1 2 1 【1 1 设 ： 0 ，1 2 j 0 ，1 是二元函数，如果当a ，b ，c e 0 ，1 时有 ( 1 ) a 砭= b o a ：( 2 ) ( a o b ) o c = a ( b o c ) ： ( 3 ) a q l - 一- a ；( 4 ) 若b c ，则a o b a c 则称 为 0 ，1 上的三角模，简称t 模 例1 2 2 可以验证，按如下给出的二元算子 都是三角模：当a ，b 0 ，1 时 ( 1 ) l u k a s i e w i c z 三角模羽b = ( a + b 一1 ) v o ( 2 ) g 6 d e l 三角模 a b = a a b ( 3 ) 乘积三角模 a o b = a b c 4 ，凡三角模 a 栌a 3 冀三j ： 定义1 2 3 t 1 1 三角模0 称为左连续的，如果对每个a e 0 ，1 都有 以v i l b i ) = v i i f a ( b i ) 这里厶( x ) = 姻x 三角模 左连续也可以简单地说成当且仅当f d x ) = a o x 保并 容易验证，例1 2 2 中所给的四个三角模都是左连续的 定义1 2 4 【1 1 设。是【o ，1 上的t 模，专： o ，1 】2 专 o ，1 是 o ，1 上的二元函数如果v b ， c 【0 ，1 有橱b c 当且仅当a b c ，则称寸为与圆相伴随的蕴涵算子，称( ，专) 为伴随对 扬州人学硕十学位论文 1 3 拓扑 5 一 设x 是集合，称x 的包含x 和彩且满足对有限交和任意并关闭的子集族t 是x 的一 个拓扑，并称偶对( x ，t ) 是一个拓扑空间t 中的元称为( x ，t ) 中的开集，其补集称为( x ，t ) 中的闭集如果x 的每一开覆盖都有有限子覆盖，则称( x ，t ) 是紧致空间如果y c _ x 作为x 的子空间是紧致空间，则称y 是x 的一个紧致子集 引理1 3 1 【2 0 】设( x ，t ) 是一个拓扑空间则x 是一个不连通空间当且仅当x 中存在 着一个既开又闭的非空真子集 假设x 是一个非空集合，u ，v c = x x x ，规定 = ( x ，x ) e x x l x e x ；u 叫= ( x ，y ) e x x xl ( y ，x ) u ) ； u 。v = ( x ，y ) x x i 了z x 使得( z ，y ) e u 且( x ，z ) e v 1 4 剩余格及相关结论 定义1 4 1 1 1 】三元组( l ，o ，一) 称为剩余格( r e s i d u a r e dl a t t i c e ) ，如果 ( 1 ) l 是有界格，最大元是1 ，最小元是o ； ( 2 ) ( ，一) 是l 上的伴随对； ( 3 ) ( l ，q ，1 ) 是以1 为单位元的交换半群 定义1 4 2 设( l ， ，一) 为剩余格，定义_ 1 ：l l ， 1 a i a 争o 如果任意a e l ，1 _ 1 a _ a ，则称( l ，o ，一) 为正则剩余格，_ 1 称为l 上的补算子，容易看 出1 也是l 上的逆序对和对应 引理1 4 3 1 2 】( l ，圆，一) 成为剩余格的充要条件是，v a , b ，c e l ( r 1 ) p 是不减的，即，当a b 时，a c b c ； ( r 2 ) 一关于第二变量是不减的，即，当b c 时，绀b a c ； ( r 3 ) 一关于第一变量是不增的，即，当a b 时，b 专c a 寸c ； ( r 4 ) a q b c 当且仅当a b c ； ( r 5 ) 圆满足结合律，即( a o b ) 固c = a ( b c ) ； ( r 6 ) o 满足交换律，即a q b = b a ； 朱芳芳：正则剩余格的幸理想及其性质 ( r 7 ) q 以1 为左单位元，即l a = a 引理1 4 4 【1 2 】若( l ， ，寸) 是剩余格，则 ( r 8 ) a b 专a b 或a a ( b - - - a b ) = a ； ( r 9 ) ( a j b ) 圆a b 或 ( a 专b ) a 】vb = b ； ( r 1 0 ) ( a v b ) 圆c = a c v b 圆c ； ( r 1 1 ) a b 八c 2 ( a _ b ) 入( a 寸c ) ； ( r 1 2 ) a v b j c = ( a c ) 八( b j c ) ； ( r 1 3 ) b c ( a 寸b ) 寸( a o c ) ； ( r 1 4 ) a = 1 a ： ( r 1 5 ) a b 当且仅当a b = 1 ； ( r 1 6 ) a b j c 当且仅当b a 岭c ； ( r 17 ) a o ( b c ) = b ( a c ) ； ( r 18 ) a 岫a o c - - - b p c ； ( r 19 ) a o b 哼c = a 专( b c ) ； ( r 2 0 ) a 圆b a b ( r 2 1 ) 当m n 时，a n a m ，其中a k 归纳地定义为：a 1 = a ，a k + l = a k q a ，k 1 定义1 4 5 【1 2 】设( l ，0 ，) 是剩余格，则 ( r 2 2 ) a 专b ( b 专c ) 专( a 专c ) ； ( r 2 3 ) a 争( b 专a ) = 1 ； ( r 2 4 ) a 一( b a b ) = 1 ； ( r 2 5 ) a - 专b a v c b v c ； ( r 2 6 ) a 专b a 八c b 八c 定理1 4 6 1 1 1 设x 是预线性剩余格，则v x ，y ，z e x ，有 ( 1 ) x ( x 寸y ) x 八y ； ( 2 ) ( x v y ) z - - x 圆z v y o z ； ( 3 ) x v y = ( ( x y ) j y ) ( y x ) 专x ； ( 4 ) x 寸y v z = ( x 寸y ) v ( x 寸z ) 6 一 扬州人学硕十学位论文 第二章正则剩余格木运算的性质及其刻画 7 一 本章主要研究正则剩余格上木一运算的性质；讨论它与b c k 代数，格蕴涵代数及预线性 剩余格之间的关系在不特别指出时本章中的j 下则剩余格均指带有，l c 一运算的j 下则剩余格 2 1 正则剩余格的木一运算 定义2 1 1 在剩余格中定义二元运算木：l x l l 使得 a 木b = 1 ( a 争b ) v a , be l 定理2 1 2 设( l ， ，一) 为下则剩余格，则对任意钆b ，c e l 有 ( 1 ) o * a = o ，a ，i c 0 = a ； ( 2 ) 1 木a _ 1 a ，a * l = o ； ( 3 ) a b 当且仅当a * b = o 特别地，a 木a = 0 ； ( 4 ) 如果a b ，则a 木c b ，i c c 且c 木b c 水a ； ( 5 ) a 木b = a o b ： ( 6 ) a 木b 专c = a 木c 专b ； ( 7 ) a 木( b 专c ) = b 木( a 专c ) ； ( 8 ) ( a 木b ) 水c = ( a 木c ) 柚； ( 9 ) a * b a ； ( 1 0 ) a 木( a 术b ) b ； ( 1 1 ) a 木( a 柚) a 八b ： ( 12 ) 水( a ，i c ( a 木b ) ) = a * b ： ( 1 3 ) ( a v b ) * c - a * c v b * e ，c 木( a 八b ) = c * a v c * b ； ( 1 4 ) ( a 专b ) 木( a 专c ) b 半c ，( a 专c ) 木( b j c ) b 木a ； ( 1 5 ) ( a v c ) * ( b v c ) r b ( 7 ) 由定义2 1 1 和d em o r g a n 律有a 术( b j c ) = ( a 寸( b 专c ) ) = 一( b 寸( a 专c ) ) = b 木( a 寸c ) ( 8 ) 根据定义2 1 1 和d em o r g a n 律有( a 木b ) 木c = 一( ( a j b ) 一c ) = 一( 1 c o ( b 寸一a ) ) = 一( b 寸( a c ) ) = ( 1 ( a 争c ) 北) = ( a 木c ) 木b ( 9 ) 根据定义2 1 1 和上面的( 8 ) 知( a 柚) 木a - ( a 木a ) 木b = 0 木b = 0 ，结合( 3 ) 知a 柚a 成立 ( 1o ) 由定义2 1 1 知( a 木( a 木b ) ) 术b = ( a 术b ) 术( 秽b ) = 0 ，由( 3 ) 知a 术( a 术b ) b ( 1 1 ) 由( 9 ) 易知水( 水b ) a ，另一方面结合( 1 0 ) 便得a 木( 稍b ) a 八b ( 1 2 ) 一方面证a 木( a ，i c ( a 术b ) ) a 木b ，根据定义2 1 1 有 ( a 木( a 木( a 木b ) ) ) 木( a 木b ) = ( a 半( a 木b ) ) 木( a 木( 稍b ) ) = o 又由( 3 ) 便得a 木( a 木( a 木b ) ) a 木b 另一方面，由( 1 0 ) 和( 4 ) 得a 木( a ，i c ( a 柚) ) a 术b 综合两个方面便得a 木( a 木( a 柚) ) = a 袖 ( 1 3 ) 根据定义2 。1 1 ，引理1 4 。4 的( r 1 2 ) 和d em o r g a n 律便有 ( a v b ) 木c = 一( ( a v b ) j c ) 2 1 ( ( a 专c ) 入( b 专c ) ) = ( a j c ) v1 ( b c ) = a 木c v b * c 同理易证另一等式成立。 ( 1 4 ) 根据定义2 1 1 和引理1 4 4 的( r 1 3 ) 可知 ( a 寸b ) 木( a o c ) 2 一( ( a b ) 一( a c ) ) 一( b j c ) b 术c 同理根据引理1 4 4 的( r 1 2 ) 可证另一式 ( 1 5 ) 根据引理1 4 4 的( r 2 5 ) 有( a 专b ) ( a v c ) j ( b v c ) ，由正则性有 - 1 ( ( a v c ) 争( b v c ) ) - 1 ( a b ) ， 根据定义2 1 1 ，于是得( a v c ) - + ( b v c ) r 、a * c ，* 、a * b ，、a , c ，* 、a * c ，* 、b * c ) ) 一方面由定理2 1 2 ( 1 6 ) 知( a 水c ) 木( b 水c ) a 木b ，再由定理2 1 2 的( 4 ) 得 ( a 爿c c ) 爿c ( a 爿c b ) ( a ，i ：c ) 木( ( a 木c ) ，l c ( b 木c ) ) ， 另一方面只需证： ( a 木c ) 爿c ( a 术b ) ( a 木c ) 木( ( a 木c ) 木( b 木c ) ) c ( a 爿c c ) 爿c ( ( a 水c ) 水( b 爿c c ) ) ( a 爿c c ) 木( a 爿c b ) 21 c 亨( a 木c ) 木( ( a 木c ) 木( a 半b ) ) ( a ，l c c ) ，i ：( b 木c ) = 1 ( a 木c ) 木( ( a 木( a 木b ) ) ：l c c ) j c 水一a ) 木( 1 c 水一b ) = 1 ( a ，i c c ) 爿c ( ( a 八b ) ，l c c ) ) ( ( - 1 c 木( 1 c 木1b ) ) ，k - 1 a ) = 1 ( a 木c ) ：l c ( ( a b ) 木c ) ) 专( ( 一c 入 b ) 牢1 a ) = 1 ( a * ( c v b ) = 1 令( a 木( a 木( c vb ) ) - - - ( c v ( a a b ) ) - 1 ( a a ( c v b ) ) - ( c v ( a 八b ) ) = 1 由定理2 1 2 的( 4 ) 知即证a a ( c v b ) 弋 1 ( 一b 1 a ) ) a - 一( 一a b ) = 一b 1 ( 一b 一a ) c a ( a 争b ) 2 b ( b 争a ) 命题2 2 5 设l 为满足条件v a ，b l ，a a b = a 木( a 柚) 的正则剩余格，则l 是拟格蕴涵代 数 证明：因为l 为正则剩余格，显然l 满足i j ，1 2 ，和1 3 ，又由定理2 1 2 的( 4 ) 便得1 4 成立由上面的引理2 2 4 可知1 5 也成立，从而l 为拟格蕴涵代数 推论2 2 6j 下则剩余格l 为格蕴涵代数当且仅当v a , b ，c l ，a a b = a 木( a 水b ) 且 ( a 八b ) 木c = ( a 爿c c ) 八( b 木c ) 朱芳芳：正则剩余格的幸一理想及其性质 1 2 定理2 2 7 在正则剩余格中，v a ，be l 有 a ab = a 木( 稍b ) a vb = ( b 专a ) 寸a 证明：“必要性 ：由定义2 1 1 和d em o r g a n 律有 a vb = ( 1 a 八小) = 一1 一醛( 1 稍1 b ) ) = 1 ( 1 ( 1 稍1 b ) 木a _ 一( 1 ( b 术a ) 木a ) 2 ( b 专a ) 专a “充分性 ：由d em o r g a n 律和定义2 1 1 有 a a b = - 1 ( - 1 a v b ) = ( ( 一1 b - 1 a ) 争- 1 a ) = 1 ( ( 一b 爿c l a ) - 1 a ) 2 一( - t b 爿c l a ) 水一1 a = a 术 ( 、b 水，a ) = a ，i c ( a 爿c b ) 根据定理2 2 7 立即得如下结论： 推论2 2 8在正则剩余格l 中，v a , b ，cel 有a 木( 稍b ) = 船( b 木a ) ( b 专a ) 一a = ( a j b ) 专b 2 2 3 正则剩余格与预线性剩余格 定义2 2 9 【1 1 1 称满足条件( b ) v ( b 寸a ) = 1 的剩余格为预线性剩余格 定理2 2 1 0 设l 为正则剩余格，如果v a ，b ，c e l 有a * b 八b , a ：0 ，则l 为预线性剩余 格 证明：根据定义2 2 9 和d em o r g a n 律易证 定理2 2 1 1 设l 为正则剩余格，如果v a , b ，c e l 有a a b = a 宰( a 术b ) ，则下面陈述等价： ( 1 ) a 专b v c = ( a 专b ) v ( a j c ) ， a 专b 八c = ( a b ) 八( a 专c ) ； ( 2 ) a 木( b 八c ) = ( a 木b ) v ( a 木c ) ， a 术( bvc ) = ( a 术b ) 八( a 芈c ) ； ( 3 ) a ( b 入c ) = ( a o b ) 八( a q c ) ， a ( bvc ) = ( a o b ) v ( a c ) ； ( 4 ) a a ( b v c ) = ( a a b ) v ( a a c ) 证明：( 1 ) j ( 2 ) 由定理1 4 6 的( 4 ) a j b v c = ( a j b ) v ( c ) ，根据d em o r g a n 律便有 、( a b v c ) = ( ( a 专b ) v ( a 专c ) ) ，再由d em o r g a n 律及定义2 1 1 ，有a * b v c = a * b v a * c 同理由( 1 ) 的二式易证a 术( b 八c ) = ( 秽b ) v ( a 术c ) 成立 扬州大学硕十学位论文 1 3 ( 2 ) j ( 3 ) 由定理2 1 2 的( 5 ) 及d em o r g a n 律有 a 木( b 八c ) = a 圆一( b 八c ) = a ( - 1 bv 1 e ) = a * bva * c = a - 1 bva 圆- 1 c ， 即有捆( 1 b v _ 1 c ) = 姻一b v a o c ，从而有姻( b v c ) = ( a 鼬) v ( 羽c ) 同理由( 2 ) 的第二式可得( 3 ) 的第一式 ( 3 ) j ( 1 ) 由定理2 1 2 的( 5 ) 和d em o r g a n 律有 ( a - 1 ( b v c ) ) = 一( a j _ b ) v 一( a j - 1 c ) ， 再根据d em o r g a n 律得a ba _ 1 c - ( a j b ) 入( a 寸_ 1 c ) ，从而有a b c = ( a 专b ) 入( a 专c ) 同理由( 3 ) 的另一式可得( 1 ) 的第二式 ( 2 ) ( 4 ) 由定理2 2 3 易证 推论2 2 1 2 设l 正则剩余格，如果满足v a ，b ，c l 有a a b = a * ( a * b ) ，则下面陈述等价： ( 1 ) a v b 专c = ( a j c ) 八( b 专c ) ， a 入b 专c = ( a 专c ) v ( b j c ) ； ( 2 ) ( a vb ) * c = a * cvb * e ， ( a 入b ) * c = a * e v b * c ； ( 3 ) a v ( b 八c ) = ( a v b ) a ( a v c ) 朱芳芳：正则剩余格的幸理想及其性质 第三章正则剩余