（光学专业论文）光纤放大器中啁啾组合孤波传输特性的研究.pdf

中文摘要 中 文 摘 要 孤子又称孤立波，是一种在传播过程中形状、幅度和速度都维持不变的脉冲状行波。 它首先是在流体力学中提出来的，由于孤子具有这种特殊性质，因而它在等离子物理学、 高能电磁学、 流体力学和非线性光学中得到广泛的应用。 其中， 光孤子(optical soliton) 是一种能在光纤中传播的长时间保持形态、 幅度和速度不变的光脉冲。 利用光孤子的特性 可以实现超长距离、 超大容量的光通信。 在时间域中光脉冲的线性色散和非线性自相位调 制达到精确平衡时便形成了光孤子。 它不仅仅是非线性科学中一个重要的研究方向， 而且 具有广阔的应用前景，可应用于新一代的光通信传输系统和高速全光开关的研制。 本文我们将变系数的 ginzburg-landau 方程作为非均匀光纤放大器的理论模型， 利用 拟解法获得该方程的精确啁啾组合孤波解，以研究这种啁啾组合孤波的稳定传输为目的， 分别从解析理论和数值分析两方面进行详细的研究， 获得一些有益的结果。 这对研究实际 的非均匀光纤放大器以及孤子控制系统中光脉冲的稳定传输提供了一定的理论依据。 本文 的主要内容如下： 1. 对光纤通信的历史与发展进行概述,并简单介绍孤子理论及光孤子通信系统的现状， 最后介绍光孤子通信中啁啾类组合孤波研究的意义。 2. 介绍了光脉冲在光纤中的传输模型：非线性薛定谔方程和高阶非线性薛定谔方程，以 及描述脉冲在非均匀光纤放大器中传输的变系数 ginzburg-landau 方程， 并简单介绍 了其数值模拟方法。 3. 以变系数 ginzburg-landau 方程为模型， 利用拟解法找到该方程的精确啁啾组合孤波 解，并分析了该解的特性。 4. 借助于数值方法，讨论这种啁啾组合孤波在各种初始扰动情况下的稳定性，并进一步 分析啁啾组合孤波在非均匀光纤放大器中的相互作用。 关键词：光纤放大器；啁啾组合孤波；非线性增益；变系数 g-l 方程 abstract abstract soliton, also known as solitary wave, is a particular ultra short pulse. it is a pulse-shaped traveling wave with unchanged shape, amplitude and velocity during the transmission. it was proposed in fluid mechanics of physics for the first time. due to the specific property, soliton is widely studied and used in the field of plasma physics, high-energy electromagnetics, hydrodynamics and nonlinear optics. especially, optical soliton is a light pulse with unchanged shape, amplitude and velocity during the transmission. optic communications with extra-long distance and ultra-large capacity is achieved by the peculiarity of optical soliton. in time domain，soliton is formed when linear dispersion is exactly balanced with nonlinear self-phase modulation. it not only is one of the most important researches in nonlinear science but also has broad application prospects. in the dissertation, based on the ginzburglandau (gl) equation with varying coefficients governing the propagation of optical pulses in optical fiber amplifier, we present the chirped combined solitary waves solution by ansatz method, detailed study on the stable transmission of the chirped combined solitary waves by theory analysis and numerical simulation and obtain benefit results. these results may be helpful for studying the stable transmission of optical pulses in inhomogeneous fiber amplifier and soliton control systems. the main contents are as follows: 1. the history and status of optical fiber communication are reported in summary, the theory of soliton and the status of optical soliton communication are introduced briefly, and the significance of studying chirped combined solitary waves is presented. 2. the (higher-order) nonlinear schrdinger equation describing the propagation of optical pulses in inhomogeneous or ideal fiber system and the ginzburglandau (gl) equation with varying coefficients governing the propagation of optical pulses in optical fiber amplifier are presented, respectively. finally, a numerical method, i.e. the symmetric split-step fourier method is introduced. 3. exact chirped combined solitary wave solutions of the ginzburglandau (gl) equation with varying coefficients were found by using a suitable ansatz and analyze the natures of the solutions. 4. by numerical method, we consider the problem of stability of these combined solitary waves solutions under finite initial perturbations. furthermore, we analyze the interaction between two neighboring combined solitary waves in inhomogeneous fiber amplifier. key words: optical fiber amplifier; chirped combined solitary waves; nonlinear gain; ginzburglandau equation with varying coefficients. 承承 诺诺 书书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指 导下独立完成的，学位论文的知识产权属于山西大 学。如果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论 文相关的内容，将承担法律责任。除文中已经注明引 用的文献资料外，本学位论文不包括任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的成果。 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指 导下独立完成的，学位论文的知识产权属于山西大 学。如果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论 文相关的内容，将承担法律责任。除文中已经注明引 用的文献资料外，本学位论文不包括任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的成果。 学位论文作者 （签章） ： 200 年 月 日 第一章 前 言 1 第一章 前 言 光纤通信的崛起与发展是人类通讯史上的一场革命, 它的发展对通信网和信息产业带 来深远的变革和影响，对社会和经济的发展产生了巨大的推动作用。如今光纤通信已成为 通信领域最为活跃的技术，它与卫星、移动通信共同构成现代通信技术的三大主要发展方 向和研究领域。现在光纤通信已是各种通信网的主要传输方式，它在信息高速公路上扮演 着越来越重要的角色，是近年来人们的研究热点之一 1-5。随着技术日新月异的发展，超长 距离的高速率、低干扰的光孤子通信悄然兴起，它被认为是第五代光纤通信系统。光孤子 通信，凭借其容量大、误码率低、抗干扰能力强、无需中继站等特点，在通信领域有着广 阔的应用前景。 1.1 光纤通信的历史与研究现状 “孤子(soliton)”这个名词首先是在流体力学中提出来的。1834 年，英国科学家 scott russel 在偶然的情况下观察到一种奇妙的水波，他在 1844 年 9 月英国科学促进会第 14 次 会议上做了论波动的报告，对此做了生动的描述 6-7。报告的主要意思是他于 1834 年 8 月在运河里发现了一个滚圆而平滑轮廓分明的水波，它大约以每小时八、九英里的巨大 速度滚滚向前，在行进中它的形状和速度没有明显的改变，当他跟踪 1-2 英里后，它的高 度渐渐下降，终于消失在逶迤的河道中。russell 认为这种孤立的波动是流体运动的一个稳 定解，并把它称之为孤立波(solitary wave)，简称为孤波。在此之后的几十年中，有关孤立 波的问题引起了许多物理学家的广泛争论。直到 1895 年，荷兰著名数学家柯特维格 (korteweg)和他的学生德弗累斯(g.devries)根据流体力学研究了浅水波的运动，导出了 单项运动的浅水波运动方程即著名的 kdv 方程，并给出了与 russell 描述一致的具有形状 不变的脉冲状的孤立波解，在理论上证实了孤立波的存在 8-9。孤立子是 1965 年美国的物 理学家 zabusky 和 kruskal 命名的。他们在用数值模拟方法详细分析了等离子体中孤立波 碰撞的非线性相互作用过程中，证实了这类孤立波相互做用后能保持各自形状，具有类似 于粒子碰撞后不变的性质，他们将这种孤立波命名为孤立子（soliton，简称孤子） 10。 他们的这一研究工作为推动孤立子理论的发展树立了一个重要的里程碑。在以后的几十年 中，孤立子理论得到了蓬勃发展，除了上述流体物理和等离子体物理等领域之外，在电子、 生物、分子、磁学、光学以及非线性传输等领域都有类似的孤立子现象 11-17。在现今的物 理学术语中，我们统称为孤子。 由于光孤子在传播过程中具有保持形状不变的特性，这决定了它是光纤通信中最理 想的载波光束，它经光束中的群速度色散和自相位调制两种过程的结合而在光纤中得以产 光纤放大器中啁啾组合孤波传输特性的研究 2 生和传播，其特点决定了它在通信领域的应用前景。1972 年，前苏联著名科学家 zakharov 和 shabat 发展了反散射变换法（ist） ，求解了非线性薛定谔（nlse）方程，给出了非 线性薛定谔方程的亮、暗孤子解 18,19。1973 年，a.hasegawa 和 f.tappert 从理论上预言： 在光纤的负群速度色散区可以传输亮孤子， 在正群速度色散区可以传输暗孤子 20,21。 在 1980 年和 1987 年，mollenauer et al 和 emplit et al 分别从实验上观察到了亮孤子和暗孤 子在光纤中无畸变地传输 22,23。1984 年孤子激光器的出现和 1987 年光纤放大器的发现加 快了光孤子系统的发展，掀起了光孤子通信研究的热潮 24,30。在 2000 年，利用光学滤波器 和同步调制技术实现了 820gb/s 传输超过 10,000 公里的实验 31。光孤子通信已被认为 是下一代高速、长距离全光通信的理想方案之一。光孤子通信具有以下特点： （1） ：传输 码率一般可达 20gb/s，最高可达 100gb/s 以上； （2）误码率低、抗干扰能力强：基阶光孤 子在传输过程中保持不变及光孤子的绝热特性决定了光孤子传输的误码率大大低于常规 光纤通信，甚至可实现误码率低于 1012 的无差错光纤通信； （3）可以不用中继站：只 要对光纤损耗进行增益补偿， 即可将光信号无畸变地传输极远距离， 从而免去了光电转换、 重新整形放大、检查误码、电光转换、再重新发送等复杂过程。近几十年来，光孤子通信 的研究已取得突破性进展。 实验方面对光孤子的放大和光孤子的控制方面有了突出的成就， 1980 年美国贝尔实验 室的 l. f. mollenauer 等人利用色心激光器观察到亮孤子在光纤中的无畸变传输 32。1992 年,美国 at 53. v. n. serkin and t. l. belyaeva, “optimal control of optical soliton parameters: part 1. the lax representation in the problem of soliton 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绍，在此基础上推导出ginzburg-landau方程。最后介绍用于研究光纤中脉冲传输问题的常 用数值模拟方法分步傅立叶(fourier)变换法(fft) 3。 2.1光脉冲在光纤中传输的基本方程 非线性薛定谔方程是描述皮秒光脉冲包络在光纤中传输的基本方程，而光脉冲同所有 电磁现象一样，其传输也服从maxwell方程组。所以非线性薛定谔方程必定可以由maxwell 方程组出发推导得出。1973年，hasegawa 和tappert 在解决有关光纤色散引起的光纤通信 的困难时，借助于非线性效应，建立了描述光纤中包络波的非线性薛定谔方程，它直接由 麦克斯韦方程出发在准单色、慢变包络近似以及假定非线性极化是瞬时响应的前提下导 出，其具体形式如下： aiaa t a z a i 22 2 2 2 2 =+ （2.1.1） 其中),(tza为脉冲包络的慢变振幅， g vztt/=是随脉冲以群速度 g v移动的参考系中的时 间度量。参数表示光纤损耗)/(kmdb，而参数)/( 2 2 kmps和)/( 1 kmw 分别表示群速度 色散和自相位调制的效应。通常当参数0=时，方程（2.1.1）被称为非线性薛定谔方程， 它成功地解释了大量的非线性现象 4，特别是被广泛应用于研究孤子的传输及产生5。理 论研究表明，当群速度色散参数 2 为负时（对应于反常色散区），光纤能维持光学亮孤子 传输 6；当群速度色散参数 2 为正时（对应于正常色散区），光纤能维持光学暗孤子传输。 实验方面，1980 年美国贝尔实验室的mollenauer、stolen 和gordon首次成功地观察到了 亮孤子在光纤中的无畸变传输 7。1987 年emplit 等人观察到了暗孤子 8，随后 1988年， krokel 等人分别观察到了黑孤子和灰孤子 9,10。群速度色散效应导致波形展宽，而自相位 调制效应导致脉冲压缩，当这两种效应所起的作用达到平衡时，脉冲在传输过程中就能够 维持波形不变。这就是光纤中形成孤子的条件。当脉冲宽度fst100 0 时，非线性薛定谔 方程可以很好地描述光孤子在光纤中的动力学行为，也就是光孤子在光纤中的演化方程。 非线性薛定谔方程(2.1.1)在许多问题上取得了成功，但由于它是在近似条件下成立 光纤放大器中啁啾组合孤波传输特性的研究 12 的，故仍需要根据不同的实验情况加以改进。在进行大量的实验研究时，相继发现了许多 新现象，如光脉冲输出谱的不对称性，光孤子的自频移，脉冲沿的陡峭，光孤子的分裂等。 尤其是脉冲宽度由10ps量级发展到少于100fs。事实上，由于非线性薛定谔方程(2.1.1)只 考虑了群速度色散和非线性kerr 效应，没有包括诸如受激拉曼效应等非线性效应的影响， 所以它只适应于描述皮秒量级的光脉冲的传输。对于脉宽小于100fs的亚皮秒量级和飞秒量 级的光脉冲，非线性薛定谔方程(2.1.1)已不再适用，这时必须考虑诸如三阶色散、自陡 峭和自频移等高阶效应的影响。考虑到这些效应的综合影响，kodama和hasegawa从理论 上又提出描述飞秒光脉冲在光纤中传输的演化方程高阶非线性薛定谔方程 11： t a aaa t aaia t a t a i t a z a =+ + + 2 2 2 1 2 3 3 3 2 2 2 1 )( 262 （2.1.2） 与方程（2.1.1）相比较，增加了三项附加项。其中正比于 3 的项描述了光纤的三阶色散 效应 12，由于超短光脉冲的宽频带，因此此项对超短光脉冲的影响十分重要13；正比于 1 的项近似等于 0 /，一般引起脉冲沿变陡，通常被称为自陡峭效应 14-23。正比于 2 的最后 一项是与延迟拉曼响应有关，对应于脉冲内拉曼散射诱发的自频移效应 24,25。一般来说 2 为复数，可按实部和虚部展开为 rv ti+= 2 其中 v 是与非线性延迟响应有关的常数，而 r t与拉曼增益的斜率有关，大约为5fs。后两项属于高阶非线性效应，它们都可能引起孤子 分裂。 方程(2.1.2)我们一般称为高阶非线性薛定谔方程，它主要是描述飞秒或亚皮秒光脉 冲在光纤中的传输特性。需要注意的是，脉宽pst5 0 ，参量 1 00 )( t和 r tt / 0 很小，方程 (2.1.2)中的最后两项可以忽略，对这种脉冲三阶色散项的贡献也很小，此时高阶非线性 薛定谔方程(2.1.2)就可以约化为非线性薛定谔方程(2.1.1)。 我们在求解方程(2.1.2)时，一般需要引入以群速度移动的参考系（即延时参考系）， 即作变换ztvztt g1 /=，同时为了计算方便，进一步对时间t ，距离z 及振幅a 作 如下无量纲归一化变换 0 /pau =， 0 /ttt =， d lzz/= 则变换后的方程(2.1.2)可简写成 t u u t uu t u uu t u iu z u + =+ 2 5 2 4 3 3 3 2 2 2 2 1 0 )( )( 2 （2.1.3） 其中方程各系数分别为 d l= 0 ，)sgn( 2 1 21 =， 2 2 n=， d d l l =)sgn( 33 ， 2 00 4 2 n t =， 第二章 光脉冲在光纤中及数值特性研究 13 )( 0 2 5rv ti t n +=， nld lln/ 2 =， 2 2 0 /tld=为二阶色散长度， 0 /1plnl=为非线性长 度， 3 3 0 /tld=为三阶色散长度， 0 t为归一化脉冲宽度， 0 p为归一化功率。 我们看方程（2.1.3），是归一化的高阶非线性薛定谔方程，在飞秒或亚皮秒范围内， 它是描述超短脉冲在光纤中传输的理论模型，而且同时考虑了二阶和三阶色散、kerr 非线 性和受激拉曼散射。对于方程(2.1.3)，人们采用不同的方法，比如，广田直接法 (hirota) 26,27、akns 反散射法 28、darboux-backlund 变换 29、守恒定律法30及行波变换 法等 31，从不同侧面研究了飞秒光脉冲的传输特性。这样我们就得到了各种不同类型的非 线性薛定谔方程及其精确解，比如亮孤子形式的n 孤子解 32-36、暗孤子形式的n 孤子解 37-40、组合孤波解41,44以及在连续背景下的孤子解43-48。同时人们也研究了在单模光纤中不 同频率的n 个孤波叠加的传输特性以及保持初始脉冲对称的扰动对传输特性的影响 49-52。 在三阶色散和受激拉曼散射的影响下，对具有两个不同频率和任意相位漂移的类孤波的动 力学演化也进行了详细研究 53。 研究飞秒量级的超短脉冲，由于其谱宽很宽，增益带宽有限，同时要考虑增益对频率 的依赖性，所以当光脉冲的谱宽和放大增益谱宽相当时，增益带宽限制效应及增益的非线 性效应都将对光脉冲的传输产生影响。在这种情况下，（高阶）非线性薛定谔方程就很难 描述增益介质对光脉冲的传输的影响。1989年blanger等人引入了ginzburg-landau方程 作为对非线性薛定谔方程的修正 54： uui t u iuiuu t u z u i 2 2 2 2 2 2 2 22 + +=+ （2.1.4） 与方程（2.1.1）相比较，增加了两项附加项，正比于的项描述非线性增益（损耗） ；正 比于 的项描述了由增益带宽限制放大或滤波的谱限制的效应。 通常在不考虑高阶项的情 形下，我们称方程（2.1.4）为复系数ginzburg-landau方程，而在考虑高阶项时，则称为 复系数高阶ginzburg-landau方程，此方程已被广泛的应用于各种非线性领域 55-64。前面给 出的光脉冲在光纤中传输的理论模型都是常系数的偏微分方程，这就说明用来描述各阶色 散和非线性效应的物理参数在整个光纤长度上保持不变，即光纤是理想均匀的。实际上， 由于拉制技术的限制和长距离通信的需要，光纤几乎都是非均匀的 65。我们研究的光纤的 非均匀性主要体现在两个方面，一是由于光纤介质晶格参数的变化导致相邻原子间的距离 在整个光纤中不是常数；二是由于纤芯直径的波动使光纤的几何形状发生了变化。描述光 纤的特征参数如：线性的和非线性色散、kerr 非线性系数以及光纤的损耗或增益系数等都 不是常数，而是光纤轴向坐标的函数 66，则相应的光脉冲演化方程就变为变系数的非线性 薛定谔方程： 光纤放大器中啁啾组合孤波传输特性的研究 14 u z iuuz t uz z u i 2 )( )( 2 )(2 2 2 2 =+ （2.1.5） 变系数的高阶非线性薛定谔方程: t u uz t uu z t u zuuz t u ziu z z u + + =+ 2 5 2 4 3 3 3 2 2 2 2 1 0 )( )( )()()()( 2 )( （2.1.6） 变系数的ginzburg-landau方程： uuzi t u ziu z iuuz t uz z u i 2 2 2 2 2 2 2 )()( 2 )( )( 2 )( + +=+ （2.1.7） 上面方程中各参数的物理意义与常系数方程中参数的物理意义是一致的，不同的是方程中 的各个系数都是归一化距离z的函数。 非均匀光纤系统中光脉冲的传输引起了人们极大的兴趣，方程（2.1.5）和(2.1.6)各 方面的内容已经被广泛的研究 67-77。在人们不断的广泛深入研究中，发现了一个重要的概 念就是孤子的控制和管理，色散管理孤子以其优越的性能可能会成为下一代光纤通信系统 采用的方案。本文将以变系数的ginzburg-landau方程为理论模型，对光脉冲在光纤中的 演化行为进行一系列的探讨。 2.2 分步傅立叶变换(fft) 上面我们看到的传输方程（2.1.5）和（2.1.6）是变系数的非线性偏微分方程，一般 情况下它比常系数非线性偏微分方程更难解析求解，所以为了探讨光脉冲在光纤中的传输 特性，通常需要作数值处理。常用的数值方法有分步傅立叶变换法(fft) 78,79和有限差分 法(fdm) 80-82。傅立叶变换（fft）算法相对于大多数有限差分法有较快的速度,已得到广 泛的应用。 应用分步傅立叶变换算法处理变系数的ginzburg-landau方程(2.1.7)，先把方程改写 为如下形式： und z u ) (+= （2.2.1） 2 2 2 2 )( )( 2 )( t z iz z d += （2.2.2） 2 )()( uzzin+= （2.2.3） d 是线性算符，表示线性介质的色散和吸收；n 是非线性算符，它决定了脉冲传输过程中 光纤的非线性效应。 通常沿光纤的长度方向，色散和非线性效应对光脉冲是同时起作用的。而分步傅立叶 第二章 光脉冲在光纤中及数值特性研究 15 方法通过假定在传输过程中，光场每通过一小段距离h ，色散和非线性效应可分别作用， 进而得到近似结果。准确地说，从z到z+h的传输过程中可分两步进行。第一步，仅有非线 性作用，方程(2.2.1)中的0 =d；第二步，仅有色散作用，方程(2.2.1)中的0 =n。其数 学表达式为 ),() exp() exp(),(tzunhdhthzu+ (2.2.4) 其中指数算符) exp( dh的计算在频域内进行： ),()( exp),() exp( 1 tzbfidhftzbdh = (2.2.5) f 表示傅立叶变换， 1 f表示傅立叶逆变换，)( id表示将方程(2.2.2)的微分算符t /代 换为i，为傅立叶变换下的频率。)( id在频域下是一个数，故可直接计算(2.2.5)的 值。这样既避免了求导运算又使用了快速傅立叶变换算法，所以分步傅立叶变换法比大多 数有限差分算法快一至两个数量级。 下面我们为了估计分步傅立叶变换方法的精度，假定n 与z无关，方程(2.2.1)的一个 精确解为 ),() (exp),(tzundhthzu+ (2.2.6) 由于算符 a ，b 不对易，根据贝克豪斯多夫(baker-hausdorf)公式有: +=lbababababa , , 12 1 , 2 1 exp) exp( ) exp( (2.2.7) 其中abbaba , =。 我们把(2.2.4)与(2.2.6)进行比较，则可以看到，分步傅立叶变换法忽略了算符d 和n 的 非对易性，把dha = ，nhb = 代入方程(2.2.7)，就可以得到产生的主要误差来自于 nd h , 2 exp 2 ，说明分步傅立叶法能精确到分步步长h 的二阶项。 想要进一步提高精度，通常采用对称分步傅立叶法，将非线性效应的作用点放在小区 间的中间而不是边界上，具体地，方程(2.2.4)可用下式代替 ),() 2 exp() exp() 2 exp(),(tzud h nhd h thzu+， (2.2.8) 通过两次应用(2.2.7)可以看到，对称分步傅立叶变换法的精度能提高到分步步长的三阶 项 3 h。本文将采用此方法作为数值模拟计算的基础。 2.3 本章小结 本章开始简单介绍了光脉冲在理想单模光纤中的基本传输方程（高阶）非线性薛 定谔方程及其在不同条件下的修正，最后进一步推广该方程到变系数的ginzburg-landau方 光纤放大器中啁啾组合孤波传输特性的研究 16 程，用以描述光脉冲在非均匀光纤中的传输特性。在本章最后，我们简单介绍了求解变系 数ginzburg-landau方程的数值方法分步傅立叶算法。本章内容将为后续章节探讨光脉 冲在非均匀光纤中的演化行为提供必要的基础。 第二章 光脉冲在光纤中及数值特性研究 17 参考文献 1. y. kodama and a. hasegawa, “nonlinear pulse propagation in a monomode dielectric guide”. ieee j. quantum electron. 1987, 23(5): 510 -524. 2. g. r. agrawal, nonlinear fiber optics, third ed., academic press, new york, 2001. 3. j. a. fleck, j. r. morris, and m. d. feit, “time-dependent propagation of high energy laser beams through the 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