（应用数学专业论文）两类二阶奇异非线性微分方程边值问题的解及其应用.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 两类二阶奇异非线性微分方程 边值问题的解及其应用 摘要 非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，因其能很好的解释自然 界中的各种各样的自然现象受到了越来越多的数学工作者的关注其中，奇异 微分方程非线性边值问题来源于物理和应用数学的多个分支，是目前分析数学 中研究最为活跃的领域之一本文利用锥理论，不动点理论，k r a s n o s e l s k i i 不 动点定理等研究了两类奇异微分方程非线性边值问题解的情况，得到了一些新 成果其中不少结果已被国内外核心刊物上接收或发表，如曲阜师范大学学 报，数学研究等 根据内容本文分为以下三章： 第一章通过在b a n a c h 空间中利用锥上的不动点指数定理和相应的线性算 子的特征值的性质，研究下列二阶奇异脉冲微分方程两点边值问题多重正解的 存在性 一= h ( t ) f ( t ，u ) ，t j ， 一a u 7i t _ t - = 1 k ( u ( t k ) ) ， a uk t 产瓦( “( “) ) ，女= l ，2 ，竹l ， ( 1 1 1 ) a u ( o ) 一卢( o ) = 0 ， 7 u ( 1 ) + 6 u ( 1 ) = 0 ， 其中口，反，y ，占0 ，p = 卢7 - i - c r y + 口d 0 ，j = ( 0 ，1 ) ，0 t l t 2 t m 0 ，j = ( 0 ，1 ) ，给定0 t l t 2 0 ，9 f f i ：【o ，) 【0 ，o o ) _ + 0 ，o o ) 是连续的，啦：，+ 【0 ，) 是连续的，在任意子区间上不恒等于零，且在t = 0 ，1 处奇异，k ：，- + ( 0 ，1 】满足对任意t j ，有t sh ( t ) 1 ，i - - 1 ，2 关键词：脉冲；奇异；正解；三点边值；方程组 1l3 以以 + - 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e r na n a l y t - i e a lm a t h e m a t i c s ，b e c a u s ei tc a ne x p l a i nm a n yk i n d so fn a t u r a lp h e n o m e n a ， m o r ea n dm o r em a t h e m a t i c i a n sa r ed e v o t i n gt h e i rt i m ei n t oi t a m o n gt h e m ， t h en o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mc o m e sf r o mal o to fb r a n c h e so fa p p l i e d m a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ，i ti so n eo ft h em o s ta c t i v ef i e l d st h a ti ss t u d i e di n a n a l y t i c a lm a t h e m a t i c s t h i sp a p e rc o n s i d e r e dt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st o b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fs e v e r a lk i n d so fn o n l i n e a rs y s t e m so fd i f i e r e n t i a l e q u a t i o n sb yt h ec o n et h e o r y , f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r ya n ds oo n t h eo b t a i n e d r e s u l t sa r ee i t h e rn e wo ri n t r i n s i c a l l yg e n e r a l i z ea n di m p r o v et h ep r e v i o u sr e l - e v a n to n e su n d e rw e a k e rc o n d i t i o n s t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n sa c c o r d m gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，a p p l yt h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r e mo nc o n ec o n c e r n i n g t h ef i r s te i g e n v a l u ec o r r e s p o n d i n gt ot h er e l e v a n tl i n e a ro p e r a t o r ，w eo b t a i n e d e x i s t e n c er e s u l t so fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rs i n g u l a rt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs e c o n d - o r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n l 一= h ( t ) f ( t ，u ) ，t ， 一掣一缫“) ) ， ( 1 1 1 ) i a u b 产瓦( u ( “) ) ，七= 1 川2 ，；r n ， 、 io , u ( o ) 一卢( o ) = 0 ，7 u ( 1 ) + 6 u ( 1 ) = 0 ， w h e r eo ，p ，1 ，620 ，p = 卢7 + a ，y + 0 6 0 ，j = ( 0 ，1 ) ，0 t l t 2 t 。 0 ，j = ( 0 ，1 ) ，0 t l 1 2 0 ，g z ：f 0 ，。o ) 【o ，0 0 ) 叶 【0 ，o o ) i sc o n t i n u o u s ，口i ：，一【0 ，o o ) i sc o n t i n u o u s ，d o e sn o tv a n i s hi d e n t i c a l l y o na n ys u b i n t e r v a la n dm a yb es i n g u l a ra tt = 0 ，1 ，以：j _ + ( 0 ，l 】，i = 1 ，2 k e yw o r d s ：i m p u l s i v e ；s i n g u l a r ；p o s i t i v es o l u t i o n ；t h r e e - p o i n t ；d i f f e r e n t i a l s y s t e m 第一章二阶奇异脉冲微分方程两点边值问题的正解 1 1 引言 脉冲微分方程具有深厚的物理背景和很多现实数学模型，因此在现代应用 数学中脉冲微分方程扮演着极为重要的角色并被广泛研究【2 - 9 本章考虑下 列二阶奇异脉冲微分方程两点边值问题多重正解的存在性 i 一“”= h c t ) ( t ，让) ，t ， = _ 掣一，“) ) ， ( 1 1 1 ) i t l t _ t k = 瓦( 札( “) ) ，k = 1 ，2 ，m ， 、 ia u ( o ) 一卢“( o ) = 0 ，y u ( 1 ) + 5 u ( 1 ) = 0 ， 其中口，卢，7 ，6 0 ，p = 卢，y + a y + 口6 0 ，j = ( 0 ，1 ) ，0 t l t m 1 ， j = j l ，t 2 ，f 。 ，j o = ( 0 ，t 1 ，以= ( t l ，t 2 ，厶= ( t m ，1 ) ， c ( 2 x 冗+ ，冗+ ) 厶，瓦c ( n + ，冗+ ) ，冗+ = 【0 ，+ o 。) ，i t _ “= ( t ) 一牡( 坛) ， 让l t “= u ( t 毒) 一t ( 坛) ，定义缸，( t ) ，u ( t ) 在t = t k 的右( 左) 极限分别为( t 毒) ， 札( 毒) ，( ( ) ，让( ) ) ，h ( t ) c ( z 冗+ ) 在t = 0 ，1 处奇异 在文【1 】中，刘兆理和李福义利用锥上的不动点指数定理研究了边值问题 叫”= ，o 墨0 k 1 ( 1 1 2 ) ia u ( o ) 一卢仳，( o ) = 0 ， ( 1 ) + 6 u ( 1 ) = 0 正解的存在性近来，文【9 】利用锥上的不动点指数定理得到了方程 i 一“”= f ( t ，u ) ，t ， 一“i t ；“= 厶“( “) ) ， k = 1 ，2 ，m ， ( 1 1 3 ) iu ( o ) = u ( 1 ) = 0 至少存在两个正解的结论显然，文【1 】1 没有考虑函数奇异且为脉冲的情形。 而文 9 】没有涉及函数奇异且只考虑了边值为d i r i c h l e t 边值= 0 , 6 = 0 时) 第一童三险童异脉冲微分方程两点边值问题的正解 的情形受以上文献的启发，本章利用锥上的不动点指数定理和相应的线性算 子的特征值的性质研究方程( l 1 1 ) 正解的存在性显然，本章是文f 1 j 和文【9 】 的直接推广 1 2 预备知识 定义g ( t ，8 ) 为边界值问题 f 一：0 ， ( 1 2 1 ) ia z ( o ) 一卢一( o ) = 0 ，7 x ( 1 ) + 如( 1 ) = 0 、7 的g r e e n 函数，其中 g 垆韶：三裟二裂嚣 z 力 显然，g ( t ，s ) 具有以下性质t ( i ) 0sg ( t ，8 ) g ( s ，8 ) + o o ，对任意t ，8 【0 ，1 】 ( i i ) 0 a g ( s ，s ) sg ( t ，s ) ，t 【a ，6 】，s 【o ，l 】，其中a ( 0 ，t l 】，b 肛。，i ) 且 刊与紫，筹l j 0 和妒l ( t ) 在( 0 ，1 ) 上不变号，故不 失般性的，可以假设对0 t 0 且i i 1 0 = m a x o z 1 g s s 胁妻k = l g m 侧 0 ，a ，k ，瓦0 使得对任意a p z p 和0 ts1 有 f ( t ，z ) 蛔，h ( z ) 2a k p ，7 k ( z ) x k p 且 。鄹蕊，a z 6 移) 如+ 。至；g ( 硼 1 ( 凰) 0 詹g ( 8 ，s ) h ( s ) d s + o o 注1 2 1 由( i ) 和( 日5 ) ，可得0 m a x t - 詹g c t ，s ) h ( s ) d s + o o 令l = m a x t 7 露g ( t ，s ) h ( s ) d s ，了= 【0 1 1 】 3 差! 塞三阶奇异脉冲微分方程两点边值问题的正解 定义c v ，冗+ 】为连续映射$ ：了_ + 7 矿，则其在范数忙= s u p t - i z ( t ) l 下为b a n a e h 空间。p c 【i ，冗+ 】= 伽：z 是从了到冗+ 的映射。且z ( t ) 在t t k 连续，在t = 如左连续且z ( f 毒) 存在，k = l ，2 ，m 在范数 忙i l 彤= s u p 了p ( 圳下为b a n a c h 空间p c l 【了，冗+ 】= 扛：z 是从了到7 矿 的映射，且z 似) 在t t k 连续，在t = t k 左连续且z ( t 毒) 存在，七= 1 ，2 ，m 在范数i p c t = l l x l l ，i i l l p c 下为个b a n a c h 空间 定义1 2 1 函数z p c i 瓯冗+ jnc 吃( ，冗) 是b v p ( 1 1 1 ) 的解，若它 满足b v p ( 1 1 1 ) 定义k = z p c i - f f ，冗+ 1 ：z ( t ) 口忙l i p c ，t 【o ，6 】 为空间p c f z ，n + l 中的锥对任意0 r r + o o ，令坼= z k ：陋0 p d r ，a 坼= z k ：| i z i i p c = r ，_ r 。置= z k ：r 0 2 0 p csr ) 定义算子 a ：k _ p c i f f ，冗+ l 如下 4(“)(t)=a(t，s)(s)，o，“(s)dj+g(，tk)(厶(“(“)+不(“(“)j0 o ；瓦之 ( 1 2 3 ) 由( 风) 可知a 是有意义的在本章中我们需要用到以下引理： 引理1 2 1 【1 2 1z p c i 9 ，冗+ 】nc 2 ( 以冗) 是b v p ( l 1 1 ) 的正解当且 仅当z p c i 【一，冗+ 】是算子a 的不动点 引理1 2 2a ( k ) c k 证明由( 1 2 3 ) ，( i ) 和( 风) ，可得对任意t k 有 4 “i l p c z 1g ( s ，s ) ( s ) ，( s ，缸( s ) ) d s + 。e 。g ( t t ，t t ) ( j ( u ( t e ) ) d p7 t ( “( t 一) ) ) 4 曲阜师范大学硕士学位论文 另一方面，由( 1 2 3 ) 和( i i ) 可得对任意t 【d ，6 】有 a u ( t ) = fg ( t ，8 ) ( s ) ，( 毛t ( s ) ) 幽+ g ( t ，“) ( 厶( “( “) ) + 瓦( ( “) ) ) j u o t k 0 ，使得0s 5 、 簦二童三险壹异脉啦暾分方程两点边值问题的正解 t ( t ) sm o ，故由，c ( 2 冗+ ，冗+ ) 和厶，瓦c ( 诧+ ，秽) 可知存在 m 1 - 。【o 执m a x 。卧l ，( s ，z ) ，m 滓m a x ；。m f o a ，胁xj 厶( z ) ；。m 【o a ，胁x l 瓦( z ) 从而由注1 2 1 可知，对任意t b 有 i i a t l i 吣+ 0 t k o t k 。g 埘( 鼬枷嘲删) t j 啪m 州枷d 8 + 0 0 ，使得对任意t ，t ，【0 ，1 】，s f 0 ，1 】，当i t t ，i 0 ，存在d 0 ，使得对任意t ，【0 ，1 】，s 【0 ，1 1 和u b ，当 l t t i 6 时， 1 , 1 i i ( a u ( t ) 一a u ( t ) ) j ss u p ，j g ( ，j ) 一g ( 矿，s ) l h ( s ) f ( s ，趾( s ) ) d t e o ，1 1j 0 6 ( 班s + 萎赤叫七= i 1。 s ，l，【 g g z z ，-j、，j、 h p b n y 口 云主蚝 三i 蚝 + 蟛 如 o g 。胤 +lm ( 一 如 h 七 一，+ 00 “ 七“p g 一 “ g 。衄 + 帆 三凯 p mr，、一#眠壹随 z k m m 0 j l l m m s 一2 e 一2 一 一 = 曲阜师范大学硕士学位论文 从而a ( b ) 等度连续由引理1 2 3 可得a ：k - + k 是紧算子故算子 a ：k - + k 全连续 引理1 2 5 【2 】若圣：k - k 是全连续映射且对任意t o k , 有圣t 饥 则有以下结论 ( i ) 若对任意t a 坼有i i t 0 i i c u l l ，则l ( 圣，玛，k ) = o ； ( i i ) 若对任意有t a 坼，删i i i 圣u 1 1 ， 则i ( 垂，坼，k ) = 1 引理1 2 6f 2 1 2 若圣：k _ k 是一个全连续映射且对t a 坼和 0 0 ； ( i i ) 若对任意u o k , 和p 1 有肛圣“t ， 则i ( 圣，j 0 ，k ) = 0 1 3 主要结论 定理1 3 1 若( h - ) ，( 日3 ) 和( 风) 成立，则b v p ( 1 1 1 ) 至少存在两个正 解u l 和抛，且0 i i , , l l l p c p i l u 2 l l p o 引理1 3 1 若( 日3 ) 成立，则。( a ，j 0 ，k ) = 1 证明若u k 且i p c = p 由( h 3 ) 和( 1 2 3 ) 可得 i i a u l l p c c ( s ，8 ) h ( s ) y ( s ，钍( s ) ) d s + g ( “，t k ) ( z k ( u ( t k ) ) + 瓦( u ( “) ) ) j 0 l 一， p o 小 邮s + 妻k = l 埘( 吼删) p 刊 即，对讹a j 白有l i a u l l m i i p c 从而由引理1 2 5 可得。似，j 0 ，k ) = 1 7 第一章二阶奇异脉冲微分方程两点边值问题的正解 定理1 3 1 的证明由( 日1 ) 知，存在0 印 0 由，o ，厶和_ 0 的定义 可知存在0 r o p 使得对于任意t a ，6 】，0 z 0 ，故f ：l ( t ) u o ( t ) h ( t ) d t 0 且 女r n ：。u o ( t ) m ( 老) 毋( t k ) + - o ( 砷研( 靠) ) 0 由( 1 3 8 ) 可得a l ( 1 一o ) o ， 则有 一 ( a 1 一( 1 一o ) o ) u o ( t ) h ( t ) l ( t ) d t j o m ( 1 一e o ) “o ( “) ( x o c k ) ( t ) + _ 0 ( 七) 纠( “) ) 七= l 1 7 1 ( 1 一印) 盯r ( ，o ( 后) - ( “) + - o ( 七) 科( “) ) 1 0 瞳阜师范大学硬士学位论文 即。 p o ， ( a - 一( 1 一e o ) o ) ( t ) 西- ( t ) d t ( 1 - - e o ) o ( 而忙) 妒- ( “) + - o ( 七) 科( “) ) ， 。o k = l 这与( 1 3 1 ) 矛盾故对任意t a 墨和p 1 有# a u t 。从而由引理1 2 7 可得 ( a ，坼，k ) = 0 ( 1 3 9 ) 第2 步首先来证i n f u a 耳。l i a u l l p c 0 由，o 。，j 矗和l 的定义知，存 在日 p 0 使得对任意t d ，6 】和z h ，有 f ( t ，z ) 2 ，矗( 1 一e o ) z ，h ( x ) k ( 后) ( 1 一e o ) x ，瓦( z ) l ( 自) ( 1 一o ) z ( 1 3 1 0 ) 令 c - 。m a x m 。a 。x 。 f ( t , x ) 一f 0 。( 1 咱) x l + m a 。x 。i r k ( z ) 一k ( ) ( 1 咱) x l t = i + m a 。x hi l ( 。) 一i o o ( k ) ( 1 咱) x 1 ( 1 3 1 1 ) 故由( 1 3 1 0 ) 和( 1 3 1 1 ) 可得 f ( t , x ) 厶( 1 一印) z 一。，厶( z ) k ( 岬一5 。) z 一。， 1 2 ) 瓦( z ) 瓦( 七) ( 1 一e o ) z c ，对任意t f 8 ，6 】，z 0 、 选择r 凰= m a x 譬，p 令t o k r ，则对任意t 【口，6 】有( f ) 芝 o l l u l l p c = a r 日，再由( 1 3 1 0 ) 和( i i ) 可得f ( t ，u ) f o o ( 1 - e 0 ) a r ，i ( t ) 芝 k ( 七) ( 1 一c o ) a r ，瓦( “) l ( ) ( 1 一s o ) a r 类似于第1 步的证明可得 i n f = a ri i a u l l e c 0 其次来证若兄足够大使得对任意u o k r ，p 21 有# a u 饥事实上， 若不然，则存在u oeo k r ，i z o l 使得如a 让o = 1 2 0 ，显然u o ( t ) 满足( 1 3 4 ) ， 第一章二阶奇异脉冲微分方程两点边值问题的正解 利用( 1 3 1 2 ) 类似于第1 步的证明，可得 从而 a l t o ( t ) ( t ) 妒l ( t ) d t = 伽( i k ( u o ( “) ) - ( t ) + l ( u o ( “) ) 烈( t ) ) + 脚h ( t ) f ( t ，u o c t ) ) 毋lc t ) d t “。 ( 1 3 1 3 ) m i ( 1 一e o ) ) ( k ( ) t ( “) + k ( ) 纠( “) ) + ( 1 一o ) 厶t o ( t ) ( t ) 西l ( t ) 出 一c ( 静蝴b h ( t m d t ) ( 1 ) 若( 1 一o ) ，。a l ，则 ( a l 一( 1 一e o ) 。) u o ( t ) ( ) l ( t ) d + c ( 孰蛐讹z 6 b l ( t ) h ( t ) d t ) + c ( ( 毋- + 薪( “) ) + 七= l 。 ( 1 一印) 咖( t ) ( 毋l ( t ) k ( 七) - i - 妒：( t k ) 7 m ( 七) ) l i , , o l l e c ( , x - 一( 1 e o ) ，o 。) ( t ) l ( t ) d t + c ( 静m it m + z 6 妒l ( t ) h ( t ) d t ) + c i ( 毋- ( “) + 妒) ) + j 七= l u ， 2 ( 1 - e o ) ，1 l u o l l p c ( 妒- ( t ) k ( ) + 科( t ) l ( 七) ) ， 衄阜师范大学硕士学位论文 i i 撕l l , c c ( 翟l ( 西x ( t k ) + 硝( “) ) 4 - r l ( t ) h ( t ) d t ) 一( 1 一e o ) a m ：l ( 曲l ( “) 厶。( 七) + 妒：( “) k 似) ) 一( a l 一( 1 一印) ，矗) j ：h ( t ) x ( t ) d t = ：冗1 ( 2 ) 若( 1 一1 ) 厶 a l ，则 c ( 扣纠俳”+ z 6a b x ( t ) h ( t ) d t ) c i ( 西- ( “) + 科( “) ) + ) 缸= l 。 ( ( 1 一e o ) ，矗一a 1 ) d b l ( t ) h ( t ) u o ( t ) d t ( ( 1 一邱) ，o 。一a , ) a l l u o l l p c l ( t ) ( t ) d f ， 从而 训等嵩拦等裟掣她 令兄 m a x r o ，r l ，恳，则对任意1 1 , o k r ，p 1 ，有p a 仳“从而由引 理1 2 7 可得 t ( a ，蜘，k ) = 0 ( 1 3 1 4 ) 同时由引理1 3 1 可得 。似，k ) = 1 ( 1 3 1 5 ) 因此由( 1 3 9 ) ，( 1 3 1 4 ) ，( 1 3 1 5 ) 和不动点指数的性质得 i ( a ，k r 一k p ，k ) = 一1 ，l ( a ，坼- r ，k ) = 1 故b v p ( i 1 1 ) 至少存在两个正解u l 和t 2 且0 i l u , l l p c p l l u 2 1 1 p c 第一章二阶奇异脉冲微分方程两点边值问题的正解 、 u l 和 2 且0 i l u l l l p c psi l u 2 1 1 p c 引理1 3 2 若( 凰) 成立，则。( a ，坼，k ) = 0 证明令u k 且l i t l l p c = p 由( 4 ) 可得 a u ( ；) = z 1 g ( 渺m 州s s + 。三；g ( ( 嫩t ，_ 删 z 6 g ( 抄邝州s 眦+ 。丕；g ( ( 鼬跏嘲) 芝p ( a z l g ( ；，sh ( s ) d s + 。“。；g ( ；，“) c a t + 瓦，) p = i i , , l l p c 即对任意u a ，有i i a u l l p c i i 让l l p c 从而由引理1 2 5 可得 定理1 3 2 的证明首先来证o ( a ，蟛，k ) = 1 由( 月1 ) 知，存在0 ( ( ，o ( 七) + 仲t ) + ( 尹( 七) 纠( “) ) ， j d k = l ( a 1 一l 一，”) a h ( t ) 妒l ( t ) d t ( ( ，”( 七) + e 1 ) 妒l ( “) + ( r ( 后) + e - ) 西：( t ) ) ( 1 3 1 6 ) 由，o ，o 和7 0 的定义知存在0 r o p ，使得对任意t 【o ，6 】，0 z r o ， 有 ，( t ，z ) ( ，0 + s 1 ) z ，厶( 击) ( ，( 七) + - ) z ，瓦( z ) f ( 七) + - ) z ( 1 3 1 7 ) 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 令r ( o ，t o ) ，现在来证明对任意”o k , ，0 0 ，使得对任意t 【n ，6 1 ，z 日，有 f ( t ，功( ，”+ e 1 ) z ， ( z ) s ( j 。( 詹) + 1 ) z ，瓦( z ) ( 7 。( 后) + 1 ) z ( 1 3 2 1 ) 1 5 第一章二阶奇异脉冲微分方程两点边值问题的正解 类似于定理1 3 1 中第2 步的证明可知对任意t 【口，6 】和z 0 ，有 其中 磐要譬+ ? 札山 a h 十再而丽f 一h f o o + 圣丝! 坚蝉堂生! ：塑业! 卫 a l , 。 c 盯 ( t ) 毋l ( t ) d t 、 成立，则b v p ( 1 1 1 ) 至少存在一个正解 定理1 3 4 若( 风) 和 ( a 2 ) ，o + 型篙掣讪， 厶+ 监哟黹拶， 1 7 第一章二阶奇异脉冲微分方程两点边值问题的正解 成立，则b v p ( 1 - 1 1 ) 至少存在个正解 定理1 3 3 和1 3 4 的证明他们的证明分别类似于定理1 3 1 和定理 1 3 2 的证明 且 1 4 推论和例子 推论1 4 1 定理1 3 1 同样成立，若( 皿) 替换为 或- i 、t 一) = o o 七= l ，nm 氏= o o ，镀k ( ) 毋t ( “) = o o ，或瓦( 七) 科( t k ) = 。o 七= 1k = l 推论1 4 2 定理1 3 2 同样成立，若( 量如) 替换为，o = 0 ，p ( 七) = 0 ， 7 0 ( 七) = 0 ，且尸= 0 ，f c ( k ) = 0 ，r ( 七) = 0 ，k = 1 ，2 ，m 推论1 4 3 定理1 3 3 同样成立，若( a 1 ) 替换为 且 且 尸= o ，* ( ) = 0 ，r ( ) = 0 ，k = 1 ，2 ，m 推论1 4 4 定理1 3 4 同样成立，若( 也) 替换为 仇m 厶= o 。，或k ( 七) - ( “) = o o ，或k ( 七) 科( t ) = 七= lk = l f o ：0 ，j o ( 七) = 0 ，7 0 ( 七) = 0 考虑以下二阶奇异脉冲微分方程； = 0o似b 。 或 l | 凡 | 1 00硝l 。脚 或 = 0渺b 。眦 或 = 疗 曲阜师范大学硕士学位论文 仞1 4 1 卜+ 弓1 ( 矗+ u 2 ) = o ，t e ， 一| t = “2 o o o ) ，铅0 七= l ，2 ，识， ( 1 4 1 ) 一 l a u b = d k ( t ( “) ) ，d k 0 ，k = 1 ，2 ，m ， iu ( o ) = 让( 1 ) = 0 ， 其中j = ( 0 ，1 ) ，若0 t l t 2 t m 1 是给定的。，= j t l ，t 2 ， 若有翟lg ( t k ，t k ) c i 1 ，是lg ( t k ，t k ) c t k 成立，则 ( 1 4 1 ) 至少存在两个正解u l 和t 2 且0sl l u a l l p c ps0 u 2 l i p c 证明选择 ，mm、 1 7 0 ，j = ( 0 ，1 ) ，若给定0 t l t 2 t 。 1 ，j = j t l ，t 2 ，t 。) ，j = 【0 ，1 】，而= ( 0 ，t d ，j l = ( t l ，t 2 】，j k = ( t 。，1 ) ，l c ( 了x 冗+ ，冗+ ) ；厶， ，- 1 c ( 冗+ ，冗+ ) ， l ( ) e ( z ( 0 ，+ o o ) ) 0 = 1 ，2 ) 且在t = 0 ，1 处奇异，冗+ = 【o ，+ o o ) ，让7i b “= u ( t 嘉) 一 f f ( ) ，让j 扛“= u ( t ：- ) 一“( 坛) 其中u ( 毒) ，u ( t + ) ，( o j ( ) ，札( 坛) ) 为 牡( t ) ，“( t ) 在t = t k 的右( 左) 极限 近年来，许多作者研究了没有脉冲项的椭圆方程组的正定向解问题，参阅 【1 3 一1 6 】和相应文献，常用的方法是应用锥拉伸与压缩定理或在不动点指数定 理近来，文【1 3 】通过在空间c 0 ，1 】中构造锥k l 和k l 的卡氏积k 1xk l ， 并在k 1xk l 上讨论不动点指数证明了二阶常微分方程组 i 一( ) = f k t ，让( t ) ) + h i ( u ( 巩t ，( t ) ) ，0 t 1 ， 一t ，”( t ) = ，2 ( t ，口( t ) ) + 九2 ( t ( ) ， ( t ) ) ，0 t 0 且毋l ( t ) 在( 0 ，1 ) 上不 变号不失一般性的，我们假设当0 t 0 且l i 。| | = m a x o t i 1 ( t ) i = 1 同样的，当0 t 0 且i l 2 0 = l n a x 0 a 第二章二阶奇异脉冲微分方程组两点边值问题的正解 ( 王如) 1 唧e r + 肌) + 涨铴，椰s u p + f ；o ( 卅鬻讪 ( 风) 存在p 0 ，町 m 0 ，页，瓦0 使得对任意0 zsp ，y 冗+ 和 0 t 1 有 ( t ，z ，y ) s7 驴， 。女( z ) ，瞻p 且 叩+ t h o ， ，7 fg ( s ，s ) h 1 ( s ) d s + 7 7 k g ( t k ，t k ) ( 凰) 0 詹g ( s ，s ) h l ( s ) d s o 。，0 詹g ( 8 ，s ) h 2 ( s ) d s o 。 注2 2 1 由g ( t ，8 ) 的性质和( 风) ，可以得到 。 学f o 鳓s ) 帅) d s + o 。， l 。：m 。a ，x ，1 1g ( t ，s ) h - ( s ) d s ， p 1 0 m a x g ( t ，8 ) h 2 ( s ) d s + o 。 t e jj o l 。= m 。a 。xj f 。l g ( t ，s ) ，l ：( s ) d s 空间c 【_ ，冗+ 】，p c 【了，冗+ 】和p c i 【了，冗+ 】的定义同第一章 定义2 2 1 函数( z ，y ) p c i 【了，冗+ 】n c 吃( ，冗) x p c i p ，冗+ n c 2 ( ，冗) 是方程组( 2 1 1 ) 的解，若其满足方程组( 2 1 1 ) 定义 k = 。c ( _ ，冗+ ) ：茹( t ) 0 1 1 = 1 1 ，t k ，6 】) 对任意0 t 冗 + o o ，定义坼= z k ：i i = 1 i r ，o k , = $ k ： i i x l i = r ) ，_ r 。r = 忙k ：r l i = 1 i r ) 对任意t ，k ，定义算子a 。： 曲阜师范大学硕士学位论文 k 一+ c ( y ，冗+ ) ，风：k c ( y ，冗+ ) 和t ：kxk + c ( y ，冗+ ) c ( y ，冗+ ) 如下t 凡( u ) ( t ) 风( ”) ( t ) = a c t ，s ) h l ( s ) ( 舭( s ) ， ( s ) ) 幽+ a ( t ，t k ) 1 1 ， ( t ( t i ) ) ， j o 0 t - t ，1 = o c t ，s ) k ( s ) ，2 ( 刖( s ) ，t ( 8 ) ) 幽+ a ( t ，t k ) h ，( ”( “) ) ， j 0 0 t ( 2 2 1 ) t ( u ，t ，) ( t ) = ( a 。( 钍) ( t ) ，风( 可) ( t ) ) ， 其中g ( t ，s ) 如( 1 2 2 ) 所述，i i t 0 , ，v ) l l = m a x l l a 。( u ) l l ，i i b 。( u ) 忱i i a 。( u ) 0 = s u p 。- i a ，( u ) c t ) l ，0 风( 口) i | = s u p 。了i 玩( ) ( t ) 1 易知k 有意义并且是空间 c ( y ，冗+ ) 上的闭凸锥由( z ) 可知丁有意义 在本文中我们需要以下引理 引理2 2 1 函数( z ，y ) p c i 【了，冗+ 】n 俨( 1 ，冗) x p c i 眵，冗+ n c 2c j , 冗) 是脉冲微分方程组( 2 1 ，1 ) 的绥当且仅当( z ，封) p c i f _ ，冗+ 】p c i 了，冗+ 】是