（应用数学专业论文）一类带非线性边值条件的椭圆型方程及方程组的研究.pdf

摘要 本论文主要研究了带非线性边值条件的一类椭圆型方程及方程 组的问题，通过b l o w u p 技巧、先验估计和m o s e r 迭代的方法证明了 解的存在性，改进或推广了已有文献中相关的结论。全文的具体安排 如下： 在第一章前言中，我们主要介绍了所研究问题的背景及已有的结 果，并简要给出了本文的主要结果和证明方法。 第二章简要介绍了在文中将会用到的一些偏微分方程的基础知 识，如s o b o l e v 空间，嵌入定理，s c h a u d e r 理论等等。 第三章我们利用山路引理证明了带非线性边值条件的单个方程 广义解的存在性，并且通过m o s e r 迭代技巧得到了广义解的正则性， 最终由嵌入定理得到古典解的存在性。 第四章我们证明了当边值条件满足一定的假设时，带非线性边值 条件的方程组存在正解。证明中主要用到了不动点定理，其中关键点 在于利用b l o w u p 技巧得到解的先验估计，并且利用了半空间上带非 线性边值条件l a p l a c e 方程组的l i o u v i l l e 定理。 关键词：非线性边值条件，m o s e r 迭代，b l o w u p 技巧，先验估计， 不动点定理。 a bs t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yd e a l sw i t hs o m ee l l i p t i ce q u a t i o na n de l l i p t i cs y s t e mw i t h n o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s s o m er e s u l t so ft h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sa r e d e m o n s t r a t e db ye m p l o yt h eb l o w - u pt e c h n i q u e 、p r i o re s t i m a t ea n dm o s e ri t e r a t i v e m e t h o d as e r i e so fn e wr e s u l t sa r eo b t a i n e di nt h el i t e r a t u r e t h ew h o l ep a p e ri s a r r a n g e da sf o l l o w ： a sa l li n t r o d u c t i o n ，i nc h a p t e rl , t h eb a c k g r o u n da n do b t a i n e dr e s u l t sa r eb r i e f l y a d d r e s s e d a tt h es a m et i m e ，w ei n t r o d u c et h em a i nr e s u l t sa n dt h em e t h o dw eu s e di n t h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，w ec o l l e c ts o m eb a s i cm a t e r i a l si np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na n d s o m ei m p o r t a n tt h e o r e m sw h i c hw i l lb eu s e di nt h el a t e rc h a p t e rs u c ha ss o b l e v s p a c e ，m 戚m u mt h e o r e ma n ds c h a u d e re s t i m a t e se t c i nc h a p t e r3 ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fg e n e r a ls o l u t i o nf o rt h ee q u a t i o n 、i t l l n o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o nv i am o u n t a i np a s sl e m m a , a n dt h e n ，m o s e ri t e r a t i v e m e t h o di su s e dt oi m p r o v et h er e g u l a r i t yo ft h eg e n e r a ls o l u t i o n ，f i n a l l y ，w eo b t a i nt h e p r o o fo fe x i s t e n c eo fc l a s s i cs o l u t i o n i nc h a p t e r4 ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a lp o s i t i v es o l u t i o no ft h es y s t e m 嘶ln o n l i n e a rc o u p l i n gt h r o u g ht h eb o u n d a r yc o n d i t i o n su n d e rs u i t a b l ea s s u m p t i o n s ， i nt h ep r o o fw eu s eaf i x e dp o i n ta r g u m e n ta n dt h ek e yi n g r e d i e n ti sal i o u v i l l et y p e t h e o r e mf o ras y s t e mo f l a p l a c ee q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n so nt h e h a l fs p a c e k e yw o r d s ：n o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，m o s e ri t e r a t i v em e t h o d ，b l o w - u p ，p r i o r e s t i m a t e s ，f i x e dp o i n tt h e o r e m n 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导f ，独立进行研究 - r - 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：别澎 淤莎月瑚 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书 2 不保密 ( 请在以上相应方框内打。”) 作者签名：刚舣日期：僻易月加日 导师签名。励喜粕 日期：。妒年6 月溯 一类带非线性边值条件的椭圆型方程及方程绢的研究 1 前言 偏微分方程是广泛应用于数学j 物理、化学、生物、环境科学等 研究领域的一类重要的数学模型，对其理论作深入细致的研究不仅有 利于数学理论本身的发展，同时也是极具科学意义和应用价值的科 学家在对固体中黑色体向周围媒介辐射热能的研究中，建立了带非线 性边值条件的椭圆型方程，近年来得到了数学家们越来越大的关注。 设q r 是一个有界光滑区域，其边界记为a q ，刀是a q 上的 单位外法相量，n 2 。 对于单个方程的非线性边值问题 i 甜= f ( x ，“) ，x q ， 1 罢= g ( 圳) ，x em ( 1 1 ) la 刀 已有非常丰富的结果( 参见【4 】) ，例如在文献【5 】中利用上、下解 证明了下述结果： 定理1 当存在函数口( x ) ( x ) 使得 i 口f ( x ，口) ，a , a f ( x ，) ，x q 罢贴，吮罢贴棚，戈m ( l 2 ) lo n l ， 时，存在至少一个解”，并且口( 五) 材( x ) s ( x ) 。 文献【2 4 】利用b l o w u p 方法得到当= 一i 甜i ，_ 2 甜， g = 2i u l p 2 材时解 的存在性，其中参数p ，q 满足1 q 2 ( n 1 ) ( 一2 ) ，1 p 2 n ( n 一2 ) 。 在上述文献中多次出现方程解的正则性和先验估计的证明，而m o s e r 硕士学位论文 迭代是偏微分方程中做正则性及先验估计的一种常见办法，因此很自 然的想法就是把m o s e r 迭代应用到非线性边值问题中来，在g i l b a r g 和t r u d i n g e r 的专著【l 】中利用m o s e r 迭代对于二阶椭圆型方程的 d i r i c h l e t 问题给出了古典解的存在性。沿用相同的思路本文在第二章 中利用m o s e r 迭代及边界上的嵌入定理证明了，当f = “，g = 甜，时 方程( 1 1 ) 正解的存在性问题。 非线性边值问题也同样存在于方程组的情形当中，常见的具有变 分结构的带非线性边值条件方程组主要有两种类型：哈密尔顿系统和 梯度系统。考虑边值问题 au=u x q a ，= v a 甜 an a ， a 刀 若存在函数h ( x ，材，y ) 使得风= 厂和风= g 时，我们把方程组称为哈 密尔顿系统，如果存在函数f 使得v f = 旷，g ) 时，称方程组( 1 3 ) 为梯 度系统。对于哈密尔顿系统和梯度系统，当方程组( 1 3 ) 具有自然的变 分结构，这时证明解的存在性的通常是应用变分法来得到的。例如在 文献【8 】中作者通过定义一个自共轭算子证明了哈密尔顿系统无穷多 个解的存在性。然而实际中出现的很多问题并不一定具有变分结构， 因此变分法思想不再适用，但此时可以借助不动点理论来寻求问题的 解，这方面的工作可参见 9 1 ，1 1 0 ，i 1 1 。 3 _ ，_ ， c =a x ) ) y 矿 ， ， 材 甜 ， ， z x ( ( ， g = = 厂一，l 一类带非线性边值条件的椭圆型方程及方程组的研究 在本文中我们考虑的方程组形式为： 会：三： ，x q ， z a q， ( 1 4 ) 对于上述方程组利用不动点定理( 见 2 5 9 主要的困难在于要得 到方程组的r 模先验估计，这一困难我们通过由g i d a s 和s p r u c k 在 文献【3 】引入的b l o w - u p 技巧，还要用：至u 1 2 1 d pb e ih u 给出的l i v o u v i l l e 定理，最终通过不动点定理得到了当方程组( 1 4 ) 的参数满足一定的条 件时，该方程组至少存在一个正解。 v v + + 丑 a ：i “ 甜 = = 甜一门 y 一聆 a a a a，l 二类带非线性边值条件的椭圆型方程及方程组的研究 2 一些预备知识 2 1s o ble v 空间 设q r 一为一开区域。对任何整数m 0 ，任意实数p ，1 p 0 0 ， 考虑函数空间 。 矽巩p ( q ) = “：d 口甜p ( q ) ，h m ) ， 其中口= ( 口，口 ，) 为整数指标，i 口i = i a ii ，d 口甜表示表示“ 的分布导数，这个空间范数 ，、三 i l u l l ：，p ，q _ ( 1 磊ql 。口掰i pd二jp：当lpoora 叶， l 口峰， i i ui i 朋 q = m 邮a 刖x 卜ss h pi d l ， 当p 一时， 就构成一个b a n a c h 空间，这种b a n a c h 空间，我们叫做s o b l e v 空间 s o b l e v 嵌入定理是s o b l e v 空间中最重要的理论，特别是在微分方程 和积分方程的研究中非常有用。 s o b l e v 嵌入定理设q r 为二一有界区域，l p 0 0 ( 1 ) 若q 满足一致内锥条件，则当p = n 时，有： 1 ，( q ) cl q ( n ) ，1 g + 而且对任意的材w 肿，有： i i 甜0 ( q ) c ( n ，q ，n ) 1 1 t l 。p ( 二) ，l p + 当p 刀时，有： 硕士学位论文 1 ，( q ) c 口( q ) ， 1 9 n 时，有： j渺1 ，( q ) cc 4 ( q ) ，0 口圣l 一一n ， p 而且对任意的钳形l , p ( q ) ，有： 阢。 o ，v 孝尺 r - 善咖( 郴m ， 定理2 2 1 ( 极值原理) 假设工如上定义的椭圆算子，则对于 任意甜( x ) c 2 ( q ) nc o ( 孬) ，满足 三甜( j ) 0 ( 0 ) ，c ( 工) = 0 ，j q 硕士学位论文 那么在( x ) 在q 中的极大值点( 极小值点) 必在边界上达到，即 s u 。p u ( x ) = s u p 甜( 矽( i n f u - i g 材) 。 o扣 、“ “7 定理2 2 1 ( s c h a u d e r 估计) 设q 是r 上的有界光滑区域， 如上所述，函数厂( j ) c 口( q ) ，则存在正常数c = c ( ，口，c o ，c o ) 使得下 列问题 的c 2 ( q ) 解”( 工) 满足： z q x 孢 c ：，c ( 【儿。q + 啪) 、- 、 x ，- 一 ，0 = = h 砌 丫，气【 一类带非线性边值条件的椭圆型方程及方程组的研究 3 带非线性边值条件的椭圆方程弱解 的存在性和正则性 3 i引言 解的存在性是方程研究中的一个永恒主题，在椭圆型方程 d i r i c h l c t 问题中，对于某些特殊的区域上的线性问题我们可以通过 g r e e n 函数来求其显式解，但是这种情形毕竟很少，一般的区域我们 只能从理论上来探讨它的可解性，对于非线性边值问题也一样，其古 典解不一定存在，只有当方程及区域满足一定的条件时才有解的存在 性可言。研究方程可解性的办法很多，比如上、下解方法 4 】【5 】，不 动点定理 9 1 1 0 1 1 1 ，变分法等等。本文中我们利用变分方法得到广 义解的存在性，再结合m o r s e r 迭代技巧提高解的正则性，最终再证 明方程古典解的存在性。 m o s e r 迭代是偏微分方程解的先验估计和正则性研究中经常用 到的一类技巧，例如： g i l b a r g 和t r u d i n g e r 的专著【l 】中利用m o r s e r 迭代给出了二阶线性椭圆型方程的d i r i c h l e t 边值问题古典解的存在 性证明。另外 2 2 】 2 3 】对于此方法也有应用，我们沿用( 2 2 ) ( 2 3 ) 的 主要思想，将此方法应用于研究非线性边值问题解的正则性。 本章将利用变分法在结合m o r s e r 迭代方法得到了如下问题： 硕士学位论文 x q ， x a q ， ( 3 1 ) 古典解的存在性证明，即有如下定理： 定理3 1 1 ：已知q 是尺。上的一个光滑区域，当p ( 1 ，亩与) 时，方程( 3 1 ) 存在古典解。 3 2引理 定义3 2 1 ( p s 条件) 设泛函，( “) c1 ( e ，r ) ，如果满 足条件： ( 1 ) 。aa” ，j、l 一类带非线性边值条件的椭圆型方程及方程组的研究 满足： ( 1 ) ，( o ) = 0 ，存在p 0 ，口 0 ，使得，a b ，( 。) 口 0 ， ( 2 ) 存在p = t u e b p ( o ) 满足，( p ) 0 令1 1 是e 中联结o 与e 的道路集合，即： r = g c ( 【o ，1 】，e ) l g ( o ) = o ，g ( 1 ) = e ) 再记c = 三n fm e f o a x l l ，( g ( f ) ) 那么，c 口，关于c 有临界序列。 特别地，如果，满足p s 条件，则c 是，的临界值 引理3 2 3 e 2 8 设q 是太中具有一致c m 正则性的区域，而且假 定存在一个l l 的简单延拓算子e ，如果，印 o 对任意f 0 ，由i 的定义有 。坤= 抑分等o 。，+ l d s f l a 于p 1 所以，l _ i m 佃i ( t u 。) = 一 则存在t o 0 ，使得，( t oz ，。) 0 一类帝非线性边伉条件的椭圆型万程及万程组的研艽 这就证明了： 存在p = t u o e b 户( o ) 满足，( p ) 0 最后，我们再验证j r ) 满足p - s 条件： 设 。) e ，满足，( ”朋) m ， 在e 中，当mj 时， ，( “脚) 一0 m ，击( 以- a 甜朋) = 陪1 币1 卜旺： l ，定义函数： 日( s ) = ：，；三竺m ，g c 甜，= r1 日b ，1 2 凼， 用g ( 甜) 代入( 3 ) 式得 ( v u ，v g ( “) ) q + ( “，g ( “) ) o = ( a t ，c c u ) ) 劬 其中口( x ) 2 “p ， 即， qi v “1 2i h ( “) 1 2 + q 甜g ( 甜) l q 口甜2i h ( 甜) 1 2d s 又因为 甜g ( 甜) = 甜，fl h ( s ) 1 2 d s = 互：丢l 三= - 丁甜2 ， = 者三旷u ) 1 2 旷( ”) 1 2 所以 则有 qi v 日( ”) 1 2 + q1 日( ”) 1 2 a q g u 2 1 日( 甜) 1 2d s 0 日( “) 幢( d q - ) c0 日u ) 屺( q ) l q 口甜2i h ( 材) 1 2d s 其中 一类带非线性边值条件的椭网型方程及方程组的研究 c i i 口。) ( 甜) l i 鍪( a 0 ) 2 ( n - 1 ) 懈_ = 等 即为 令 ：以a q ) jc 上式即为： 由上式得 匕( ( c ) 再令p = ? c m 一l z j 洒1 - 。i ( c c 彳( a 岛 ，玎一l 其中仃= o 一，霄 m = o ，1 ，2 ， 茸一2 n 一2 肼) zj ：i 双叫等c a z f z - ：= m l o 一所 令历一+ ， 则有舡i l r ( a q ，c ( 2 ，o a ) i l ”u 沪z ( q ) 再由弱极值原理得 彳( a q ) ；2 = ；g oa ( 叮 矗矗 甜 l 一2 毒一 口 疗 一2 2 q a 一， - g 矗8 甜 一2宁一 口 。一， 2 硕士学位论文 i i i i p 。，ci l u l l r 。埘 所以有： 肛i i 即，c ( 名，a n ) l l m 于是我们有了 i l u l l r ( q ) c ( 见 1 】第八章) ： 第三步：定理3 1 1 的证明： 令厂( x ) = u ( x ) r ， 缈( x ) = “( x ) ，r 则”( x ) 为方程 f y = ( 川 j q 1 婴：巾) 二a q 【百2 伊i 工j 艇佻上 的一个广义解。 因为矽( x ) r ，则上面方程的任意解v ( x ) i v 扣( 硷) 于是有 一 缈( x ) = 扰( x ) ，w 1 ( a q ) + 经延拓， 存在而1 ，。( 万) ， 其在aq 上的迹 为伊( 工) j 利用 2 6 1 的结果可证得： i l “( 工) 0 ：j 。q ，c ( 1 l l l l 。+ 1 1 口 1 1 矿。j ( q ) ) 由嵌入定理知甜( x ) c1 ，口( 五) ，零们可以通过s c h a u d e l 估计继 续提高解的光滑性，进而得到方程( 3 1 ) 的古典解存在，定理3 1 1 证毕。 二类带非线性边值条件的椭网型方程及方程组的研究 4 带非线- i 生边值条件的方程组正解的存在性 4 1 引言 非线性边值问题近年来得到越来越多的关注，其中对于椭圆型方 程组的解的存在性已经有了很多好的结果，不过大部分方法都对于边 值条件有很强的限制。由于1 9 9 5 年b h u 证明了椭圆型非线性边值 问题在半空间上的l i o u v i l l e 定理，这为我们利用爆破方法和不动点定 理证明椭圆型方程解的存在性提供了可行性，在 1 2 】中，bh u 研究了 单个方程： f au=0 工r ? 1 塑= ”p工a 尺y ( 4 1 1 ) - 【an 十 解的存在性问题，证明当l p n i ( n - 2 ) 时没有正解存在。这一结论 有着非常广泛的应用，在 1 3 】中给出了对于椭圆型方程组的情形解的 不存在性也是成立的。 本章中我们的主要结论是： 定理4 1 1 已知q 是r 上的一个有界光滑区域，下述方程组的 边值问题： i a “= 琵 x q i v = v 硕士学位论文 l o u = “毋l + ，丑2 o 尚n ， 工a q ( 4 1 2 ) 1 ， 工c i s 2 i 珥j i 坐= 扰b - + v 如 、 i 锄 至少存在一个正解，其中参数满足条件( 日。) ： l a 。，p 2 2 瓦n j ， 耶唑掣如。 1 1 1 p p ：( p 。一1 ) p 2 2 1 由于方程组( 4 1 2 ) 不具有变分结构，我们在此需要通过不动点定理 来证明解的存在性，其最大困难在于如何得到方程组解的r 模先验 估计，这一困难我们由b g i d a s 和j s p r u c k 引入的爆破技巧来解决。 4 2 基本引理 引埋4 2 1l 1 2 jb h u 当1 0 ，其相应的第一特征函数仍 0 。 证明：定义算子彳：r ( 锄) 寸r ( 砷) 为a f = “ia q ， 其中u 是方程 f 劬钏 “q t 箸= “搬 一的解，由【1 5 儿1 6 可证明算子a 是一个自共轭的紧算子， 且 k e r ( a ) = ( o ) ( 矽，厂) = l 矿= l 甜嘉= l i v “1 2 + “= l i v 甜1 2 + 沪 则存在a 的一列非增特征值序列 一 ，有 。 0 且刀一0 ， 如果我们令a = 1 。，我们只需要证对应的特征函数仍是下面极小 值问题的一个解即可 铲mi n 。( qi v “1 2 ) 因为如果甜是上式的一个解那么同样也是其解， 所以我们可选择缈。为正( 详细证明见【15 】【16 】) 。 引理4 2 3 ( 不动点定理) 2 2 假设x 是一个实b a n a c h 空间，范数记为0i i ，kc x 是一个正锥， 由：k k是一个紧连续映射，满足： ( 1 ) p ) = 0 硕士学位论文 如果存在两个实数尺 ， o 及元素矽k 秒 ，使得： ( 2 ) 材力( ”)v 见【o a ，材k ，i k0 = ， ( 3 ) u ( ) + 旯矽v 旯0 ，“k ，1 1 1 l = r 则映射( ”) 在k = “k i r - - i i “1 1 - 使得 m a x 1 1 。) j + ， 不妨设帆k 一佃，hu u 。k 忆 刀一o o ， n n f in 紧集，且“。连续，可选择x 。q ，使得( ) = i i 麟石， 由极大值原理知邑a q ， 再由q 的紧性可设工刀寸j o a q ， 一类带非线性边值条件的椭圆型方程及方秤绢的研究 令届，尾为两个待定的正实数，定义 使 肪i i 一忆= l ， 显然有： ! i 巴，刀= 0 ， 一_ 苒定义： w ( y ) = r f ( ，+ 吒) ，乙( y ) = 吃岛( y + 毛) 记 q 。= y r ：，：，y + q ， 显然 o w 一，乙 t e w 。( o ) = 1 经计算我们可得到w 。，z 。满足下面方程细问题： 带边界条件： x q 万 o n x 她( 4 3 1 ) i 冬= 轳堋如妒+ 轳( 1 吲“铲 、。 取屈= 嘉，孱= 南， 当p 。，满足下面的假设f 见1 即： - m 如 嵩小耶掣小耶警 因为嵋，z ec a , 由【1 7 】【1 8 】知，乙于c 1 口中一致有界，再由s c h a u d e rt i ! i 计知： 2 l 和 = = 乙 硕士学位论文 w 一，z 一于c2 - 口中一致有界， 由于紧性，对于任意 o ，存在0 1 。 所以当厂充分小时， ，a 。( ” i + 1 ，日2 ) 缈。 占，a q ( “+ 1 ，) 驴。 于是： 兄。，aq 甜缈。 g 名，aq ( “+ v ) 缈。 同理有： 五，a qv 缈。 占五，a q ( “+ 1 ，) 缈 两式相加得： 兄。，a q ( “+ v ) 缈。 2e 五f a q ( “+ v ) 缈， 当占取占 争时，上式矛盾，所以引理( 4 2 3 ) 中条件( 2 ) 成 l 业。 下面验证条件( 3 ) 反证：假设条件( 3 ) 不满足，即存在兄o ，7 = ( 材，v ) k ，l i rl i ：r ， 使得： 7 = ( 7 ) + 名矽， 取0 1 为第一特征函数缈。， 则y = ( 甜，v ) 满足方程及边界条件： 一类带非线性边值条件的椭网型方程及方程组的研究 即： 5 “一拿矽? 2 材一缈r 善q ， 【a ( ，一旯伊i ) = ，一力缈i ， fa ( 甜 j lav i 一 【a 刀 = ( 圳，) 川q ， = g ( x ，口，) ， fa ” i 一= ia i 1 a ， l 一= 【a i 工q 厂( 工，“，) + 五名l 缈i g ( 工，”， ，) + 彳力i 缈i 工aq ( 4 3 - 3 ) ( 4 3 4 ) 由定理4 3 1 知方程组( 4 3 4 ) 的解7 = 0 ( 材，v ) i 怿c ， 而这与i l yi i - 尺，尺任意大时矛盾， 。、 这就验证了条件( 3 ) 也是成立的。 于是由不动点定理引理 4 2 3 知映射( 材) 在 足= p ki ，l l u l i 尺) 上至少存在一个不动点，这样我们就完成了 定理4 1 1 的证明，得到了一类方程组( 4 1 2 ) 正解的存在性。 ” y = = 甜 ya r，、【 参考文献 【l 】d g i l b a r g ，n s t r u d i n g e re l l i p t i c p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fs e c o n d o r d e r n y ：s p r i n g e r - v e d a g , 1 9 8 3 ：1 2 8 - 1 8 9 【2 1 jm o s e r an e w p r o o fo ft h ed eg i o r g i st h e o r e mc o n c e r n i n gt h er e g u l a r i t yp r o b l e m f o re l l i p t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j c o m mp u r ea p p lm a t h ，1 9 6 0 ( 1 3 ) ：4 5 7 - 4 6 8 【3 】bg i d a s ，js p r u c k ap r i o rb o u n d sf o rp o s i t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o n s j c o m mp a r td i f f e 9 1 9 8 1 ，6 ( 2 ) ：8 8 3 9 0 1 一【4 】jl i o n s ，em a g e n e s n o n h o m o g e n e o u sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa n da p p l i c a t i o n s r e m s p r i n g e r v e d a g ，1 9 7 2 ：2 5 1 8 0 1 5 】p a b l oa m s t c r , m a r i ac r i s t i r a ln o n l i n e a rb o u n a a 巧c o n d i t i o r 嗒f o re u i p 出e q u a t i o n s r 1 e l e c t r o n i cj o u m a lo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 0 0 5 ，1 4 4 ( 2 ) ：1 4 【6 】e l a n d e s m a n ，a l a z e r n o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n so fl i n e a re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sa tr e s o n a n c e j jm a t hm e c h ，1 9 7 0 ，1 9 ( 1 ) ：6 0 9 - 6 2 3 【刀a l a z e r , as e c o n dl o o ka tt h ef i r s tr e s u l to fl a n d e s m a n l a z e r t y p e ，e l e c t r o n j d i e q n sc o n f , 2 0 0 0 ，0 5 ，11 3 - 1 1 9 ： 【8 】8 j u l i a nf e r n a n d e z , b o n d e rj u a n ，p a b l op i n a s c o ，j u l i od r o s s i i n f i n i t e l ym a n y s o l u t i o n sf o ra ne l l i p t i cs y s t e mw i t l ln o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s j e l e c t r o njd i f f e q n sc o n f , 2 0 0 1 ，0 6 ( 3 ) ：1 4 1 - 1 5 4 【9 】9 p hc l e m e n t , dg d e f i g u e i r e d o ，em i t i d i e r p o s i t i v es o l u t i o n so fs e m i l i n e a re l l i p t i c s y s t e m s j c o m mp a r td i f f e q ，1 9 9 2 ，1 7 ( 5 ) ：9 2 3 - 9 4 0 【1 0 】 dgd e f i g u e i r e d o p o s i t i v e s o l u t i o n so fs e m i l i n e a r e l l i p t i c e q u a t i o n s m n y ：s p r i n g e rl e c t u r en o t e si nm a t h e m a t i c s ，1 9 8 2 ：3 4 - 8 7 ，9 5 7 【l1 df i g u e i r e d o ，pf e l m e r o ns u p e r q u a d r a t i ce l l i p t i cs y s t e m s m g m ：t r a n sa m e r m a t hs o c ，1 9 9 4 ：9 9 - 11 6 【1 2 】bh u n o ne x i s t e n c eo fap o s i t i v es o l u t i o no ft h el a p l a c ee q u a t i o nw i t ha n o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n j d i f f a n di n te q ，1 9 9 4 ，7 ( 2 ) ：3 0 1 - 3 1 3 【1 3 】j u l i a nf e r n a n d e zb o n d e r , j u l i od r o s s i e x i s t e n c ef o ra ne l l i p t i cs y s t e mw i t h n o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s v i a f i x e dp o i n tm e t h o d s j a d v a n c e si nd i f f r e n t i a l e q u a t i o n s ，2 0 0 1 ，6 ( 1 ) ：1 - 2 0 【1 4 】b 帆hm y i n t h ep r o f i l en e a rb l o w - u pt i m ef o rt h es o l u t i o no ft h eh e a t e q u a t i o n w i t i lan o n l i n e a r b o u n d a r yc o n d i t i o n j t r a n s a m e rm a t h s o c ，1 9 9 5 ，3 4 6 ( 1 ) ：11 1 3 5 【15 】je r c o l a n o ，ms c h e c h t e r s p e c t r a lt h e o r yf o ro p e r a t o r sg e n e r a t e db ye l l i p t i c b o u n d a r yp r o b l e m sw i t he i n g e n v a l u ep a r a m e t e ri nb o u n d a r yc o n d i t i o n si 卟c o m m p u r ea n da p p lm a t k19 6 5 ，18 ( 5 ) ：8 3 - 10 5 【1 6 】je r c o l a n o ，ms c h e c h t e r s p e c t r a lt h e o r yf o ro p e r a t o r sg e n e r a t e db ye l l i p t i c b o u n d a r yp r o b l e m sw i t he i n g e n v a l u ep a r a m e t e ri nb o u n d a r yc o n d i t i o n si 卟c o m m p u r ea n d a p p lm a t h ，1 9 6 5 ，1 8 ( 5 ) ，3 9 7 - 4 1 4 【l7 】g m l i e b e r m a n ，h o l d e rc o n t i n u i t yo f t h eg r a d i e n to fs o l u t i o n so fu n i f o r m l y p a r a b o l i ce q u a t i o n s w i lc o n o r m a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n nd i m a t hp u r a e d a p p l ，1 4 8 ( 1 9 8 7 ) ，7 9 9 【18 】m g i a q u i n t a , eg i u s t i g l o b a l r e g u l a r i t yf o rs e c o n do r d e rq u a s i l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o n si nd i v e r g e n c ef o r m j j o u rr e i n e ua n g e wm a t h e m , 1 9 8 4 ，3 51 ，( 3 ) ：5 5 - 6 5 【1 9 】陆文端，微分方程中的变分方法科学出版社，2 0 0 3 【2 0 】张恭庆，临界点理论及应用上海科学技术出版社，1 9 8 6 【21 】jm a w h i n ，ks c h m i t t u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sa n ds e m i l i n e a rs e c o n do r d e r e l l i p t i ce q u a t i o n s w i t hn o n - l i n e a r b o u n d a r y c o n d i t i o n s j p r o cr o y a l s o c e d i n b u r g h ，19 8 4 ，9 7 ( a ) ：19 9 2 0 7 【2 2 】g uy o n g g e n g ，l i ut o n g ap r i o re s t i m a t ea n de x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s o f s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o nw i t ht h et h i r db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m j j o u r n a lo f s y s t e m ss c i e n c ea n dc o m p l e x i t y , 1 9 8 5 ，4 ( 1 4 ) ：3 8 8 - 3 9 8 【2 3 】y o n g g e n gg u e x i s t e n c ea n dap r i o r e s t i m a t e so fp o s i t i v es o l u t i o no f e q u a t i o n a u = g ( “，d u ) l j a c m m a t hs c i ，1 9 8 7 ，7 ( 2 ) ：1 2 9 1 3 7 【2 4 】jg a r c i a - a z o r e r o jp e r a l ，jd r o s s i ac o n v e x - c o n c a v ep r o b l e mw i t han o n l