（应用数学专业论文）带扩散和交错扩散生物模型的定性分析.pdf

q u a l i t a t i v ep r o p e r t yo fs o m eb i o l o g i c a lm o d e l sw i t h d i f f u s i o na n dc r o s s - - d i f f u s i o n ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt o s o u t h e a s tu n i v e r s i t y f o r t h ea c a d e m i cd e g r e eo fm a s t e ro fs c i e n c e b y z h a n gy a n f a n g s u p e r v i s e db y p r o c h e nw e n y a n d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，s o u t h e a s tu n i v e r s i t y 2 0 1 0 6川893m 5帆7 1y 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所里交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书丽使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢 意 研究生签名：监日期：型! ：! ：型 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馏有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包 括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 研究生签名：监 导师签名：日期：型! ：f ：鸳 带扩散和交错扩散生物模型的定性分析 摘要：偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要组成部分，是连接纯粹数学和自然 科学及工程技术等领域之间的一座重要桥梁利用偏微分方程研究生态学模型，引起了生 物学家和应用数学家的极大兴趣本文研究两类带有扩散和交错扩散的生态学模型的定性 性质对于只带有扩散的弱耦合模型，得到了平衡态问题正解的存在性，唯一性以及稳定 性对于带有交错扩散的强耦合模型，只分析正解的存在性 我们首先考察了一类带有修 自4 j h o l l i n g - i i 型响应函数的捕食模型的齐次d i r i c m e t 边值 问题，主要关心当某个参数充分大时平衡态问题正解的性质众所周知，这些问题的研究是 很有趣但通常是非常困难和具有挑战性的通过对极限方程的细致分析，借助于线性化稳 定性理论和分支理论，给出了当猎物相互干扰的程度足够强时正解的唯一性和稳定性 随后，我们讨论了带交错扩散的l o t k a ，v o l t e r r a 竞争模型的齐次d i r i c h l e t 边值问题利用 上下解方法，结合s c h a u d e r 不动点定理得到了一类强耦合椭圆型边值问题的解的存在性条 件特别地，我们验证了如果交错扩散系数适当的小，该竞争模型存在正解，这说明弱的交 错扩散不会影响竞争物种的共存 关键词：修正的h o l l i n g - i i 型响应函数，捕食模型，竞争模型，交错扩散，存在性，唯一性， 稳定性 q u a l i t a t i v ep r o p e r t yo fs o m eb i o l o g i c a lm o d e l sw i t hd i f f u s i o n a n dc r o s s d i 肌s i o n a b s t r a c t n o wp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a sb e c o m ea ni m p o r t a n tc o m p o n e n to fc o n - t e m p o r a r ym a t h e m a t i c sa n dp l a y sa i li m p o r t a n tr o l ei nm a n yb r a n c h e so fp u r em a t h e m a t i c s ， n a t u r a ls c i e n c e sa n de n g i n e e r i n g t h es t u d ya b o u tb i o l o g i c a lm o d e l sb yp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sh a sr e c e i v e di n t e n s i v es t u d y , w h i c hh a sb e e no fg r e a ti n t e r e s tt ob o t ha p p l i e dm a t h e m a t i c i a n s a n de c o l o g i s t s q u a l i t a t i v ep r o p e r t i e so ft w ob i o l o g i c a lm o d e l sw i t hd i f f u s i o na n dc r o s s - d i f f u s i o n a x es t u d i e di nt h i sp a p e r f o rt h ew e a k l yc o u p l e dp r o b l e mw i t hm f f u s m n ，w em a i n l yc o n c e r nt h e e x i s t e n c e ，s t a b i l i t ya n du n i q u e n e s so fp o s i t i v es t e a d y - s t a t es o l u t i o n s f o rt h es t r o n g l yc o u p l e d m o d e lw i t hc r o s s - d i f f u s i o n ，w em a i n l ys t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s w ef i r s tc o n s i d e ra p r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hr e v i s e dh o l l i n g - i if u n c t i o n a lr e s p o n s eu n d e r h o - m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n ，a n da r em a i n l yc o n c e r n e da b o u tt h ep r o p e r t yo fp o s i t i v e s t e a d y - s t a t es o l u t i o n sw h e nac e r t m np a r a m e t e ri sl a r g ee n o u g h a si ti sk n o w n ，s u c hp r o b l e m s a r ev e r yi n t e r e s t i n g ，a l t h o u g ht h e ya r eu s u a l l yq m t ed i f f i c u l ta n df u l lo fc h a l l e n g e b ym e t i c u - l o u s l ya n a l ) , z i n gt h el i m i te q u a t i o n ，u s i n gt h el i n e a r i z e ds t a b i l i t yt h e o r ya n db i f u r c a t i o nt h e o r y , t h eu n i q u e n e s sa n ds t a b i l i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n sa r eo b t a i n e dw h e nt h ei n t e r f e r e n c eb e t w e e nt h e p r e d a t o rs p e c i e si ss u i t a b l ys t r o n g t h e nal o t k a - v o l t e r r ac o m p e t i t i v es y s t e mw i t hc r o s s - d i f f u s i o nu n d e rh o m o g e n e o u sd i r i c h l e t b o u n d a r yc o n d i t i o ni sc o n s i d e r e d b yu s i n gt h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e r s o l u t i o n sa n ds c h a u d e r f i x e dp o i n tt h e o r y , ac o n d i t i o nt oh a v eas o l u t i o nf o rac l a s so fg e n e r a ls t r o n g l yc o u p l e de l l i p t i c b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si sd e r i v e d i np a r t i c u l a r ，i tc a nb ev e r i f i e dt h a tt h e r ee x i s t sap o s i t i v e s o l u t i o ni ft h ec r o s s - d i f f u s i o nc o e f f i c i e n t sa lea p p r o p r i a t e l ys m a l l i tt u r n so u tt h a tt h ew e a k c r o s s - d i f f u s i o nd o e sn o ta f f e c tt h ec o e x i s t e n c eo ft h ec o m p e t i n gs p e c i e s k e y w o r d s ：r e v i s e dh o l l i n g - i if u n c t i o n a lr e s p o n s e ，p r e d a t o r - p r e ym o d e l ，c o m p e t i t i v em o d e l ， c r o s s - d i f f u s i o n ，e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，s t a b i l i t y 目录 第一章前言 1 1 问题的背景。 1 2 本文的主要工作 第二章带有修正的h o l l i n g - i i 型晌应函数的捕食模型 2 1 模型的背景与问题的提出， 2 2 预备性结果。 2 3 正解的存在性 2 4 正解的唯一性和稳定性。 第三章强耦合的竞争模型 3 1 模型的背景与问题的提出 3 2 预备性结果 斡3 主要结果。 参考文献 硕士期间完成论文列表 致谢 1 l 2 4 4 5 挖玷 勉勉船弱 卯 ；砉 ；= ； 第一章前言 1 1问题的背景 仁- a u = 七u ( a - u 赛b y 焉 2 东南大学硕士学位论文 前面我们只考虑了由于物种本身的生活习性导致的迁移事实上，从种群动力学角度 来讲，种群内部以及种群间的相互影响都会引起迁移考虑到这种现象，1 9 7 9 年s h i g e s a d a 等 人【2 5 】首次引入交错扩散的概念，他们认为相互竞争的种群迁移主要是为了逃避竞争者，而 不是随意移动，并且证明了交错扩散会影响种群的共存对于竞争模型，我们给出带自扩散 和交错扩散的反应扩散方程组的一般形式： 其中让，勘表示两种相互竞争的物种的分布密度，自扩散系数k 1 1 ( 牡，钉) ，2 ( 让，v ) 0 ，交错扩 散系数k 1 2 ( u ，口) ，k 2 1 ( u ，v ) 0 ， 九= - k u ( u ，v ) v u + k 1 2 ( u ， ) v 口) 厶= 一 k 2 1 ( u ，v ) v u + k 2 2 ( u ，移) v 口) 可以分别看成牡和 沿茁方向的扩散流量k 1 2 ，如1 芝。表示u 和郇互相躲避，向着对方密度小的 方向迁移典型的响应函数是 f ( u ，口) = u ( a l b l u c l v ) ，g ( u ，v ) = u ( a 2 一b 2 u c 2 v ) 有关自扩散和交错扩散的研究参看【2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 1 2本文的主要工作 在第二章中，我们讨论了一个带有扩散和修正的h o l l i n g - i i 型响应函数的捕食系统： 宝一牡= 让a - 让- - 矸南) ， 安一口= u ( 西南一0 ， “= v = 0 ， u ( x ，0 ) = 伽( z ) 0 ，0 ，可( 茹，0 ) = v o ( x ) 0 ，0 ， ( z ，t ) q ( 0 ，o 。) ， ( z ，t ) q ( o o o ) ( 1 2 1 ) ( z ，t ) a q ( 0 ，。o ) ， z q ， 其中d 为非负数，a ，b ，c ，m 都是正常数首先，利用抛物型方程的极值原理研究了问题( 1 2 1 ) 正 解的渐近性质，从而得到了对应平衡态问题： e 钍a - u - 西南) ， 秽i 一m ，、y 丽一刁，秽、，、了两一叫， 0 ， z q z q ，( 1 2 2 ) z 0 q 吨 让 阮 触 札 + + 1j、， 秒 秽 v v 可 u u 珏 “ “ 肌 耽 + + u 钍 v v u u 幻 娩 v v ；童 ；童 i | = 凯一砒加一珧 ，lilij(iilli、 第一章前言 3 正解存在的必要条件接着利用文献 5 】发展的锥上的拓扑度理论，将问题( 1 2 2 ) 转化为一个 不动点问题，得到了问题( 1 2 2 ) 存在正解的充分条件至此，问题( 1 2 2 ) 正解的存在性问题已 经完全清楚另外，当猎物相互干扰的程度足够强时( 即问题( 1 2 2 ) 中的参数c 充分大时) ，研 究了闯题( 1 2 2 ) 正解的唯一性和稳定性这里应用了文献f 2 3 l 中基于不动点理论和摄动理论 的方法，并结合了文献 1 3 】中的分支理论和标准的线性化稳定性理论 第三章讨论了一个带交错扩散的l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型： 兰-a(u+?av)刮=u(ha-u训-cv)，, 其中系数a ，b ，c ，d ，q ，p 均为正常数首先利用文献【3 9 】发展的上下解方法，对一类强耦合的 椭圆型边值问题建立了解的存在性理论特别地，我们验证了当问题( 1 2 3 ) 中的交错扩散系 数a 和p 适当的小时，该模型存在正解这说明弱的交错扩散不会影响竞争物种的共存 3 21 、二 g g 瓿 z z z 第二章带有修正的h o l l i n g - i i 型响应函数的捕食模型 2 1 模型的背景与问题的提出 自上个世纪以来，各种生物模型受到了广泛的关注，特别是捕食模型引起了数学家和 生物学家的极大兴趣针对具体的捕食模型，一个关键因素是响应函数，它表示单个猎物在 单位时间内捕捉到的食物个数典型的响应函数通常表示为食物密度的线性函数或饱和函 数，称为食物依赖型响应函数，例血 1 h o l l i n g 型响应函数然而，来自生物控制的大量模型表 明，食物依赖的捕食模型与实际观察到的许多生态现象相悖。在某些生态环境中，猎物之间 为了食物会展开相互竞争此时响应函数不仅依赖食物，还依赖于猎物，称这种响应函数为 猎物依赖型响应函数，例女l i b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 型响应函数，比率依赖型响应函数等对带 有猎物依赖型响应函数的捕食模型的研究已经有了丰富的成果，参看【3 0 ，3 l ，3 2 ，3 3 】 设u 和钉分别表示食物和猎物的分布密度，b a z y k i n 3 4 在h o l l i n g - i i 型响应函数的基础上， 引入猎物之间的竞争项，建立了猎物依赖型响应函数： ! 竺 ( 口+ ) ( 1 + p 秽) 其中g ，q 和p 都是正常数，口代表单位时间内单位猎物所吃食物的最大数量，q 是半饱和率，参 数届表示猎物之间相互干扰的强度有时称这种响应函数为修正的h o l l i n g - i i 型响应函数由 于带有该响应函数的反应扩教系统的正常数平衡态并不能显示地表达出来，因此据我们所 知，对于齐次n e u m a n n 边值问题的t u r i n g 模式至今没有人研究过，仅有文献 a 2 1 讨论了两种 群捕食模型的齐次d i r i c h l e t 边值问题： 作者利用锥上的拓扑度理论，分支理论以及奇异扰动理论得到了正解的存在性，多重性以 及稳定性 假设猎物没有固定的食物来源，并且食物和猎物在空间上分布不均匀，我们建立下面 带有扩散的两种群捕食模型： 三；三兰 ，让( 1 一鼍) 一面丽q u 两v 丽， 秒( a + m q u 丽一d ) ， 4 z q z q ，( 2 1 1 ) z 勰。 黧 第二章带有修正的h o n i n 分i i 型响应函数的捕食模型 5 其中d 为非负数，d l , d 2 ，口，反r ，七，吼m 都是正常数d l ，d 2 分别是食物和猎物的扩散系数参 数d 是死亡率，m 是转化率，r 代表食物的内在增长率，整个系统对食物的最大承载能力是忌 对( 2 1 1 ) 作简单的尺度变换，本章将讨论模型( 2 1 1 ) 如下的特殊情形： f 一缸= u ( g _ u i r j l 翻) ，z q ， 一a v = v ( 研嚣丽一力， 蜒q ( 2 1 2 ) 【珏：口：o ， z a q ， 其中d 为非负数，o ，b ，c ，m 都是正常数问题( 2 1 2 ) 相应的反应扩散系统为 筹一一( 、口- - u - - a u 矸南) ，( 叫) q ( o 删，瓦一一、矿而丽少( z ，5 2 ( o ，0 。) ， 警墙= 秒( 矸南一 u = 口= 0 ， t ( z ，0 ) = t 幻( z ) ，口( z ，0 ) = v o ( z ) ， 刁， ( z ，亡) ef lx ( 。，) ， ( 2 1 t 3 ) ( z ，t ) 勰x ( 0 ，o o ) ， z q ， 其中咖( $ ) ，如0 ) 都为非负的连续函数且不恒为零 本章受到文献f 3 3 】的启发，且许多数学技巧来自文献【3 2 j 我们将研究f 司题( 2 1 2 ) 正解的 性质，主要关心当c 充分大时，问题( 2 1 。2 ) 正解的唯一性以及稳定性这里我们提到的j 下解( 有 时又称作共存解或共存态) ，是指( 铭，移) 在古典意义下满足边值闯题( 2 1 2 ) ，并且在q 中铭，秽 o 2 2 预备性结果 本节将给出一些预备性结果，包括一些记号和偏微分方程中的基本结果，问题( 2 1 2 ) 正 解存在的必要条件和先验估计，以及当c 一。o 时问题( 2 1 2 ) 的极限问题正解的性质 基本结果 本小节给出一些记号和偏微分方程中的基本结果这些结果的详细证明，可参看文献f 1 ， 3 ，6 ，1 7 ，4 2 令a l ( g ) 是下述特征值问题的主特征值： 一a w + q ( z ) w = a w ，留q ； 埘= 0 ，z a q ， ( 2 2 1 ) 其中g ( z ) g ( q ) 众所周知，入l ( 口) 是简单的，即为单熏的，并且a 1 ( q ) 对应的特征函数在q 内 恒正或恒负又若口1 q 2 ，_ e q l q 2 ，贝j j a l ( q 1 ) o 在晓上成立记= ( 一+ 聊- 1 ( m g ( z ) ) ，r ) 为的谱半径，那么 ( i ) a l ( q ) 1 i ( i i ) a 1 ( 口) 0 营r ( ) l ； ( i i i ) 入l ( d = 0 甘r ( ) = 1 考虑下面的边值问题： - - a w = w s ( z ，彬) ，z q ；t ，= 0 ，z o f t ，( 2 2 3 ) 其中，( z ，伽) ：壳【0 ，( 3 0 ) _ r 满足下面的假设： ( h 1 ) ，( z ，叫) 关于z 属于俨，0 a l ； ( h 2 ) ，( z ，t t ，) 关于w 属于c 1 ，并k v ( x ，w ) 晓x1 0 ，) ，丸( z ，w ) o ； ( h 3 ) 存在正常数c ，使得当扛，w ) q 眩o o ) 时，( z ，w ) 0 引理2 2 3 ( i ) 若入l ( 一，( 。，o ) ) 0 ，则问题( 2 。2 3 ) 不存在正解，并且平凡解。是全局渐近 稳定的； ( i i ) 若a 1 ( 一，( z ，o ) ) a 1 时，问题( 2 2 4 ) 有唯一 的正解，记作氏，并且氏 a 1 l q o 人i q )、：=， 亡 札 z (，二 l 彬 肚弛 们 = 力如缸 一 o 丝钟一 ，-、【 第二章带有修正h o l l i n g - i i 型_ 响应函数的捕食模型 7 命题2 2 1 问题( 2 。1 2 ) 的任意正解( u ，t ，) 都满足： 吃一：( z ) 拈( z ) 坼) n ，出) 0 ，故有 一a u u ( a 一铭) ，z q ； 让= 0 ，z a q ( 2 2 7 ) 因此u 是问题( 2 2 4 ) 对应于七= o 的一个正的严格下解，从而钍( z ) u ( a 一二一t ) ，z q ； = 0 ，z a q ， ( 2 2 8 ) 所以u 是边值问题 - a w = w ( a 一二一t ，) ，z q ； 叫= 0 ，留a q ( 2 2 9 ) 的一个正的严格上解。应用h o p f 边界点引理知，雾l 触 气一三。 我们已经知道 i s 气，利用问题( 2 1 2 ) 中关于v 的方程可得 山+ 如3 两而m y 牡 警以，z q ( 2 2 1 0 ) 【口：o ， z 勰 因此由强极值原理和算子( 一a + d ) 的可逆性得，口 ( 一+ d ) 一1 ( 孚以) ，其中( 一+ d ) 一1 是算 子( 一a + d ) 在q 上带有齐次d i r i e b l e t 边界条件的逆算子再利用极值原理，可以推得 口o ) a 1 时，问题( 2 1 2 ) 的半平凡解只有( 以，o ) 由命题2 2 1 得，问 题( 2 1 2 ) 的非负解( 让，钐) 满足： t 正( z ) 0 ， ( z ，t ) 0 进一步， 我们能断言下面关于m ( z ，t ) ，v ( x ，右) ) 渐近行为的一些结论从生物学意义上讲，这些结果意 味着食物或者猎物最终消亡 8 东南大学硕士学位论文 命题2 2 2 ( i ) 若口a 1 ，则当亡_ o o 时，托扛，t ) ，t ，( z ，f ) ) 一( o ，o ) 在晓e 一致成立j ( i i ) 若口 a l ，d 一a 1 ( 一1 + 翌b 生0 a 、 ，则当t _ o 。时，( u ( 石，亡) ，可( z ，) ) 一( p 口，o ) 在q 上一致成 立 证明 ( i ) 由于詈一u a u u 2 ，借助于抛物型方程的比较原理知，0 冬t ( z ，t ) w a ( z ，t ) ，其中伽窿( z ，t ) 是问题( 2 2 5 ) 对应于k = a r 带有初值们( z ，0 ) = 让( z ，0 ) 的唯一正解注意 到g a 1 ，所以当t 一。o 时，峨( z ，t ) _ o 在q 上一致成立故u ( x ，t ) _ o 在q 上一致成立 选取盯 0 ，满足 w 入1 ，由引理2 2 3 知，( z ，亏) _ 以( 。) 在q 上一致成立，所以 l i ms u pu ( x ，t ) 乳 ) 在磊上致成立 ( 2 2 1 2 ) 下面分两种情况证明秒( z ，1 ) 呻。在q 上一致成立 情形1 d 一a ，( 一彘) 选取 o ，t 芮足_ m c o ，存在耳l ，使得o t + 露) 为( z ，t ) ，其中磊( z ，舌) 是问题( 2 2 1 3 ) 对应于e = r ，t = 嚣的正解由引理2 2 3 知，当柙 。时务0 ，舌) 在晓上一致收敛至l j h r ( x ) ，其中忍r 是边值问题： f 一危= 危( 币 1 + m t - - d ) ，z q ， ( 2 2 1 4 ) 【愚= 0 ， 茁a q 的唯一正解因此对每个f ， l i ms u pv ( x ，芒) 如下( z ) 在q 上致成立 ( 2 2 1 5 ) 第二章带有修正的h o u i n 争i i 型响应函数的捕食模型 9 利用正则性理论和嵌入定理容易证明，当7 一。时，k ( z ) 一。在晓上致成立因此 在( 2 2 1 5 ) 式中令7 - _ 0 ，我们可得，在q 上一致地有， l i m s u p v ( x ，t ) 0 t 。o 因此秒( z ，t ) 一0 在q 上一致成立 再次利用( 2 1 3 ) 的第一个方程，存在磊1 ，使得 象一“ua - ? 生- - 矾( 叫) q 海，毗 其中6 o 满足a 一巧 a 1 最终，利用比较原理有 u ( x ，t + 磊) w a 一6 ( 髫，亡) ，( z ，t ) q 【0 ，o o ) ， 其中一6 ( z ，t ) 是问题( 2 2 5 ) x c r 盘于k = a 一艿且带有初值w ( x ，o ) = u 磊) 的正解这导致下 面的结果： l i m i n f u ( z ，亡) 先一6 ( z ) 在q 上致成立 注意到，当6 _ o 时，以一艿( z ) _ 以在q 上一致成立借助于( 2 2 1 6 ) 式可知 l i 。m i n f 札( z ，t ) p n ( z ) 在q 上一致成立 结合( 2 2 1 2 ) 式以及( 2 2 1 7 ) 式知( i i ) 成立 口 ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) 注2 2 2 记扩= 一天l ( 一黑) 由命题2 2 2 知，若问题( 2 1 2 ) 存在正解，则口 a l ，0 d o 成立的一个必要条件是m b - a l 0 ，即m b a l 当m b a l 时，记a + a 1 为，( 七) 的唯一零点，则扩 0 当且仅当a a 幸因此，我 们得到问题( 2 1 2 ) 存在正解的一个必要条件： m 孩l ，n n + ，d 0 ，s t y 十他w 和岛= 扛吼：一z 吼 设t 是e 上的紧线性算子，满足t ( 厩) c 吼称t 具有q 性质，如 果存在z ( 0 ，1 ) ，彬吼岛，使得硼一t t w s 假设d 是中的有界开集，f ：西_ 是全连续算子，并且0g ( ，一f ) ( a d ) ，其中，是恒等 算子，我们可以在上定义l e r a y - s c h a u d e r 度d e g w ( i f d ，o ) ，并简记成d e g w ( i f ，d ) 设y d 是f 的孤立不动点，那么定义f 在y 点的不动点指数为i n d e x w ( f , y ) = d e g w ( i f ( ) ) ，其 中( 秒) cd 是y 在w 中的一个小邻域此外，假设f 在y 处有f r & h e t 导数f 7 ( 耵) 显然一( 耖) 是e 上 的紧线性算子 引理2 2 4 【5 ，8 ，3 2 在上面的记号和条件之下，我们有( 拶) ：吃_ 嘎此外，如 果，一f ，( 矽) 在吼上可逆，那么 ( i ) 若( ) 有o z 性质，贝l ji n d e x w ( f , y ) = o j ( i i ) 若f ，( 耖) 没有q 性质，砸l j i n d e x w ( f 秽) = ( 一1 ) 盯，其中盯是f ，( ) 的所有大于1 的特征值 的重数之和 下面我们应用锥上的拓扑度理论以及线性化稳定性理论给出问题( 2 2 1 9 ) 正解的性质 引理2 2 5 设m ，口，6 固定，且满足m b a l ，a a + ，则问题( 2 2 1 9 ) 存在正解当且仅当d 【o ，扩) ，并且当d 【0 ，扩) 时，问题( 2 2 1 9 ) 的正解叫是唯一存在并且线性稳定的 证明首先我们应用特征值的变分性质给出问题( 2 2 1 9 ) 1 t 解存在的必要条件假设协是 问题( 2 2 1 9 ) 的一个正解，则 入，( 扣两) 一o ， 从而 a ，( 抄a z p 一而m o o ，) = 。 a ，( d 一堕1 + b o a 、。 整理得， 呐 d 0 ，d 0 ，从而有d 【o ，扩) 为了证明j 下解的存在性，我们断言，存在一个正常数k = k ( m ，a ，6 ，q ) ，使得v d 【0 ，扩) ， 对于问题( 2 2 1 9 ) 酗j 任一正解w ，都有i l w l l k 若不然，存在序列 以 墨l ，其中魂【0 ，矿) ，以 及问题( 2 。2 。1 9 ) 对应于d = 魂的正解伽i ，使得l | 似l0 0 0 一。o 不妨假设也_ 孑【o ，d 】 第二章带有修正的h o l l i n 分i i 型响应函数的捕食椹型 1 1 记 面= 最，k = 面瓦丽1 ， 那么在l 2 ( 1 2 ) 中，h i h 显然 l ( q ) ，0 h 1 蕊满足： 一蕊= 褫( 仇以k 一也) ，z q ； 砺= 0 ，z a q ( 2 2 2 0 ) 对问题( 2 。2 2 0 ) 应用正则性理论和嵌入定理得， 丽 器l 存在子序列在空间c 1 ( q ) 中收敛到茹， 不妨认为砺一面，其中西是问题 - , , x f f ，= 5 ( m o a h d ) ，刃q ； 丽= 0 ， z a q 的非负非平凡弱解因为危l e e ( d ) ，所以对于v 1 o 满足 一亩= 一d 西，z q ；面= 0 ， i t , 舰 从而0 a td - 两嚣南) _ o ， 从而枷是线性稳定的利用紧性方法可知，问题( 2 。2 1 9 ) 至多存在有限个j 下解，记它们为 蚴 叁1 由于桃是线性稳定的，因此i n d e x ( 也，t t 7 t ) = 1 注意至= l j i n d e x k ( a d ，0 ) = 0 ，因此由( 2 2 2 1 ) 式 得， 七 1 = d e g k ( j 二a d ，u ) = i n d e x k ( a d ，o ) + i n d e x k ( a d ，姚) = k ， 所以正解是唯一存在的 口 2 3 正解的存在性 在本节，我们利用锥上的拓扑度理论讨论问题( 2 1 2 ) 正解的存在性 取： e = 【c 蛋( q ) 1 2 ，w = k xk ，d = ( 钍，口) w ：让 入l ，我们有 ( i ) d e g w ( i ed ) = 1 ； ( i i ) 若( o ，o ) 是f 的孤立不动点，受 l j i n d e x w ( f , ( o ，o ) ) = o j ( i i i ) 若d d + ，o ) 是f 的孤立不动点， j i n d e x w ( f , ( 以，o ) ) = 0 证明( i ) 由注2 2 1 知，f 在a d 上没有不动点，从而d e g ( j f ，d ) 有意义同于命题2 2 1 可 证，对于任意的亡【0 ，1 】，f t 的任一非负不动点都满足( 2 2 1 1 ) 式，即r 的非负不动点一定落 在d 内因此d e g 桫( j f t ，d ) 有定义，并且由同伦不变性知，d e g ( j 一鼠，d ) 不依赖于t 所以 d e g w ( i 一只d ) = d e g w ( i 一目，d ) = d e g w ( i 一凡，d ) 又因为昂落在d 内的不动点只有( o ，o ) ，所以d e g w ( j f o ，d ) = i n d e x w ( f o ，( 0 ，o ) ) 记 三：= 昂7 c 。，。，= c - - a + p ，一1 ( 吾三) 显然，r ( l ) = 7 ( ( 一a 十p ) 一1 p ) 由引理2 2 2 易知r ( l ) 1 ，从而，一l 在墩o ，o ) 上可逆，l 没有大 于1 的特征值 下证三没有q 性质若不然，存在( f ，叩) 取o ，o ) & o ，o ) ，亡( 0 ，1 ) ，使得( 毒，7 7 ) = 也( 毒，卵) 因 此和叩中至少有一个非负但不恒为0 ，不妨假设f 0 ，0 ，并且毒满足 一f + p ( 1 一孟) = 0 ，z f l ；= 0 ，z a q 从而o a l ，所以由引理2 2 2 知，= a 一( 一+ p ) 一1 ( n + p ) 】 1 由k r e i n _ r u t m a n 定理知，是算子( 一+ p ) 一1 + p ) 的一个特征值，对应的特征函数 1 4东南大学硕士学位论文 t o f ( o ，o ) ) ( ，o ) = ( o ，o ) & o ，o ) 因此f ，( o ，o ) 具有q 性质由引理2 2 4 j c f l i n d e x w ( f , ( 0 ，o ) ) = 0 魂斗广r 未p ) 先证，一f ，( 以，o ) 在瞰口。，o ) 上可逆若存在( ，叼) 吼如 o ) ，使得f 7 ( 先，o ) f f ，田) = ( 专，叼) ，则 f 一+ ( 2 如一口徙= 一丽o a ，7 ，留q ， _ 叩一盅野一咖， 联g ( 2 3 1 ) 【荨：刀：o ， z a q _ 卅却= 盖7 7 0 ，o 踬q 驴。一印q 则由强最大值原理得，7 0 ，所以由问题( 2 3 。1 ) 的第二个方程知，d = d 幸，矛盾因此，7 三0 由 算子一a + 2 0 a o 可逆知，三0 因此( 毒，7 ) = ( o ，o ) ，故j f ( o a ，o ) 在瞰如，o ) 上可逆 砖( 一+ p )