（应用数学专业论文）非线性奇异微分积分方程边值问题的解及应用.pdf

髓阜师范大学硕士学位论文 摘要 随着科学技术的不断发展，各种各样的非线性问题已e t 益引起人们的广泛关注，非线 性分析已成为现代数学中的重要研究方向之一而非线性泛函分析是非线性分析中的一 个重要分支，因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象受到了国内外数学界和 自然科学界的重视非线性微分方程边值问题源于应用数学，物理学，控制论等各种应用 学科中，是目前非线性泛函分析中研究最为活跃的领域之一，而具有奇异项的非线性微分 方程边值问题又是近年来讨论的热点，是目前微分方程研究中的一个十分重要的领域本 文利用锥理论，不动点理论，拓扑度理论以及不动点指数理论并结合迭代方法，研究了几 类非线性奇异微分方程边值问题的解并把得到的主要结果应用到非线性奇异积分微分方 程的边值问题 本文共分为四章： 在第一章中，我们利用m s n c h 不动点定理并结合迭代方法，讨论了b a n a c h 空间中无 界区域上n 阶非线性奇异脉冲积分一微分方程边值问题 z ( “) ( t ) = f ( t ，z ( t ) ，z 7 ( ) ，z ( “一1 ( t ) ，( t z ) ) ，( s z ) ( t ) ) ，v j ：， z “) ，l t = “2 厶七( 。( t 惫) ，z 7 ( 七) ，z ( n 一1 ) ( 七) )( 1 1 1 ) = 0 ，1 ，佗一l ；七= 1 ，2 ，3 ，) ， z ( ) ( 0 ) = z 优g = 0 ，1 ，竹一2 ) ，z 似一1 ) ( 。) = 肪一1 ) ( o ) 我们得到边值问题( 1 1 1 ) 正解的存在性以及关于此解的迭代序列，本文改进和推广了文 5 ，1 4 】中的主要结果，并把得到的主要结果应用到二阶无穷脉冲积分一微分方程组的边值 问题 在第二章中，我们利用b a n a z h 压缩映像原理结合迭代方法，继续研究了边值问题 ( 1 1 1 ) 我们得到边值问题( 1 1 1 ) 正解的存在唯性并得到关于此解的迭代序列，本文改 进和推广了文【7 ，1 5 ，1 8 ，2 0 ，2 1 】中的主要结果，并把得到的主要结果应用到二阶无穷脉冲 积分微分方程组的边值问题 在第三章中，我们利用锥中的不动点指数理论和l e r a y - s c h a u d e r 度，讨论了如下仇点 四阶奇异边值问题多个非平凡解的存在性： t ( 4 ) ( t ) = f ( t ，u ( t ) ，一( t ) ) ，t ， ( 3 1 1 ) r m 一2 lt ( o ) = o ，t ( 1 ) = 让( 仇) ， = 一： ( 3 1 2 ) l ( o ) = o ，t ( 1 ) = 吼u ( 仇) 曲阜师范大学硕士学位论文 我们得到奇异边值问题( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) 至少存在十个或十二个解，而文【2 8 1 在，不含变 元t 的情况下仅得到非奇异边值问题( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 有六个或八个解本文的得到的主 要结果是对文【2 8 】中主要定理1 ，2 及推论1 - 3 的重要改进和补充 在第四章中我们利用全连续算子的不动点指数理论，在一般条件下，研究了b a n a c h 空间中2 n 阶奇异积分- 微分方程m 点边值问题 l ( 一1 ) ”秕( 2 “( ) = ，( ，u ( ) ，一u ( ) ，( 一1 ) ( ) u ( 2 ( ) ， j ( 一1 ) 一1 2 “一2 ( t ) ，( t t ) ( ) ，( s u ) ( t ) ) ， j ， ( 4 1 1 ) i m 一2 lu ( 2 i ) ( o ) = 伊，u ( 2 0 ( 1 ) = u 2 ( 仍) ，江o l 2 ，佗乩 多个正解存在性当，c ( ， o ，o 。) n ， o ，o o ) ) ，文 5 0 1 利用不动点定理，得到了b v p ( 硅1 ) i ) 正解存在的充要条件当u ( 2 ) ( 1 ) = 0 或n = 2 ，文 3 0 ，5 1 】利用上下解方法得到了类似 的结论而当，c ( jx 舻，r ) ，即，连续，b v p ( 4 1 1 ) 是非奇异问题，文【5 2 ，5 3 】利用 l e g g e t t w i l l i a m s s o m e 不动点定理，讨论了b v p ( 4 l i 卜价或多个解存在的充分条件而本 文利用全连续算子的不动点指数理论，讨论了b v p ( 4 l 1 ) 的多个正解存在性，所用方法及 得到的主要结果完全不同于文【3 0 ，5 0 - 5 3 1 ，而且我们把得到的主要结果应用到四阶及六阶 奇异积分微分方程的边值问题 关键词：锥；半序；m 6 n c h 不动点定理；s c h a u d e r 不动点定理；b a n a c h 压缩 影像原理；非紧陛测度；不动点指数；l e r a y s c h a u d e r 度；全连续算子 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t a l o n gw i t hd e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , v a r i o u sn o n - l i n e a rp r o b l e mh a s a r o u s e dw i d e s p r e a di n t e r e s td a yb yd a y ，a n ds ot h en o n l i n e a ra n a l y s i sh a sb e c o m eo n e i m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o ni nm o d e r nm a t h e m a t i c s t h en o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s i sa ni m p o r t a n tb r a n c hi nn o n l i n e a ra n a l y s i s ，b e c a u s ei tc a s le x p l a i nw e l lv a r i o u st h en a t u r a lp h e n o m e n o n t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns t e m s f r o mt h ea p p l i e dm a t h e m a t i c s ，t h ep h y s i c s ，t h ec y b e r n e t i c sa n de a c hk i n do fa p p l i c a t i o n d i s c i p l i n e i ti so n eo fm o s ta c t i v ed o m a i n so ff u n c t i o n a la n a l y s i ss t u d i e s i na tp r e s e n t t h es i n g u l a rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi sa l s ot h eh o ts p o t w h i c hh a sb e e nd i s c u s s e di nr e c e n ty e a r s s oi tb e c o m eav e r yi m p o r t a n td o m a i no fd i f - f e r e n t i a le q u a t i o nr e s e a r c ha tp r e s e n t i nt h i sp a p e r w eu s et h ec o n et h e o r y t h ef i x e d p o i n tt h e o r y , t h et o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r ya sw e l la st h e 叔e dp o i n ti n d e xt h e o r ya n d c o m b i n e dw i t hai t e r a t i v et e c h n i q u e ，t os t u d ys e v e r a lk i n d so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s f o rn o n h n e a rs i n g u l a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dw ea p p l yt h em a i nr e s u l t st ot h eb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mf o rt h es i n g u l a ri n t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h et h e s i si sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，w eu s et h ec o n et h e o r ya n dm 6 n c hf i x e dp o i n tt h e o r e mc o m b i n e dw i t h am o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u et oi n v e s t i g a t et h ep o s i t i v es o l u t i o n so fac l a s so fb o u n d a r y p r o b l e m sf o rn t h - o r d e rn o n l i n e a ri m p u l s i v es i n g u l a ri n t e g m - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fm i x e d t y p eo na ni n f i n i t ei n t e r v a li nb a n a c hs p a c e s ( 1 1 1 ) w en o to n l yo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fap o s i t i v es o l u t i o nf o r s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 1 1 1 ) b u ta l s od e v e l o pa l li t e r a t i v es e q u e n c ef o rt h es o l u t i o n t h i sp a p e rg e n e r a l i z ea n d i m p r o v et h er e s u l t si n 【5 ，1 4 ，a n da p p l yt h em a i nr e s u l t st ot h ei n f i n i t es y s t e mo fs c a l a r s e c o n do r d e ri m p u l s i v es i n g u l a ri n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e r2 ，t h ef i x e dp o i n tt h e o r ya n dm o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u ea r eu s e dt o i n v e s t i g a t et h eu n i q u ep o s i t i v es o l u t i o no fb o u n d a r yp r o b l e m s ( 1 1 1 ) i na d d i t i o n ，a n e x p l i c i ti t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o no ft h es o l u t i o nf o rt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma r ed e - r i v e d i nt h i sp a p e r ，w eg e n e r a l i z ea n di m p r o v et h er e s u l t si n 7 ，1 5 ，1 8 ，2 0 ，2 1 ，a n d a p p l yt h em a i nr e s u l t st ot h ei n f i n i t es y s t e mo fs c a l a r , s e c o n do r d e ri m p u l s i v es i n g u l a r i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 4 v x 叫 z j ， 附 ， _ 巩 i i 坝啪 嘲丁l弋 a k 0 ” 、， - l ” r v 少 一 ， ) q ， ” ，动 z 一 1 一 ，l = n 。 奴七 ， 。，i ， 吸一 船l l z n 九一m 仉 p i l k 0 l 雕= 叫 = = l | 、j kz、， 0 0 d 咄 气 i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fn o n t r i v i a ls o l u t i o n sf o rt h e f o u r t ho r d e rm p o i n ts i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ： 钆( 4 ( ) = ( t ，扎( f ) ，一u ( t ) ) ，t ， ， m - 2 卜刨川( 1 ) _ 善哪) ， p ( o ) = o ，u ( 1 ) = o i u ( 仇) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) m a k i n gu s eo ft h et h e o r yo ft h ef i x e dp o i n ti n d e xi nac o n ea n d t h el e r a y s c h a u d e rd e g r e e ， w ep r o r et h a tt h e r ee x i s ta tl e a s tt e nd i f f e r e n tn o n t r i v i a ls o l u t i o n sf o rt h ef o u r t ho r d e r m p o i n ts i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s w eo b t a i nt h em a i nr e s u l t si nt h i sp a p e r w h i c hi st h ei m p o r t a n ti m p r o v e m e n t sa n dt h es u p p l e m e n tt ot h em a i nt h e o r e m s1 ，2a n d t h ec o r o l l a r i e s1 - 3i np a p e r 2 8 i nc h a p t e r4 ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so fm p o i n tb o u n d - a r yv a l u ep r o b l e mf o r2 n t h - o r d e rs i n g u l a rn o n l i n e a ri n t e g r od i f f e r e n t i a le q u a t i o n si na b a n a c hs p a c eb ym e a n so ff i x e dp o i n ti n d e xt h e o r yo fc o m p l e t e l yc o n t i n u o u so p e r a t o r s ( 4 1 1 ) f o rt h es p e c i a le a s e 丁c ( a 【0 o o ) ”， 0 ，。) ) ，p a p e r 【5 0 h a si n v e s t i g a t e db v p ( i 1 ) a n d o b t a i n e ds o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fap o s i t i v es o l u t i o n b ym e a n so ft h ef i x e dp o i n tt h e o r e m s w h e nu ( 2 ) ( 1 ) = 0o rn=2i n ( 1 1 ) ，as a m e r e s u l tw a sg o t t e ni np a p e r 3 0 ，5 1 b yc o n s t r u c t i n gl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s f o rt h e g e n e r a lc a s e 厂c ( j 舻，r ) i n ( 1 1 ) ，i e ，i sc o n t i n u o u s ，b v p ( i 1 ) i sn o n s i n g u l a r ， s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eo n eo rm o r es o l u t i o n so fb v p ( 1 1 ) h a v eb e e ng o t t e n b yp a p e r 【5 2 ，5 2 】a p p l y i n gl e g g e t t w i l l i a r n sf i x e dp o i n tt h e o r e m b u tt h i sp a p e ri st o e s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n st ot h eb v p ( 4 1 1 ) b yu s i n gt h et h e 缸e dp o i n ti n d e xt h e o r yo fc o m p l e t e l yc o n t i n u o u so p e r a t o r s w h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h a t o fp a p e r s1 3 0 ，5 0 - 5 3 k e y w o r d s ：c o n ea n do r d e r i n g ；m 6 n c hf i x e dp o i n tt h e o r e m ；m e a m 2 r eo fn o n c o m p a c t n e s s ；f i x e dp o i n ti n d e x ；l e r a y s c h a u d e rd e g r e e ；s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ；b a n a c h f i x e dp o i n tt h e o r e m ；c o m p l e t e l yc o n t i n u o u so p e r a t o r 。 嵴 吡 o t 心 奴 跗 0 8 一 九之r，j丑 ，驴r、j忙鬯 ，k t = 础凡 = ，l、， = 锄 0 钟孙 ， 吣 坩 孰 n l l ， 一li h 洳 一 一 船， 卜卜 u 曲阜师范大学博士硕士学位论文原创性说明 ( 在口划“4 ”) 本人郑重声明：此处所提交的博士口硕士囱论文非线性奇 异微分方程边值问题的解及应用，是本人在导师指导下，在曲阜师 范大学攻读博士口硕士圈学位期间独立进行研究工作所取得的成 果。论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果。对 本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中己明确的方 式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 名：魂诌苛 眺矽。 曲阜师范大学博士硕士学位论文使用授权书 ( 在口划“ ) 非线性奇异微分方程边值问题的解及应用系本人在曲阜师范大学 攻读博士口硕士函学位期间，在导师指导下完成的博士口硕士卤 学位论文。本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内 容不得以其他单位的名义发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保 存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复 印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权曲阜师范大学， 可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或 部分内容。 i 作者签名：万岔匆署 日期：勿谚、良 导师签名： 日期： 第一章b a n a c h 空间中无界区域上儿阶非线性奇异脉；中积分微 分方程的正解 近年来，脉冲微分方程理论已成为重要的研究领域这不仅仅因为在微观层面出现 间断或脉冲，而且间断或脉冲也出现在宏观层面上的生物计算，例如基因动力学和种群 动力学另外，生物计算学整个过程都贯穿着间断或脉冲这个特征，而且脉冲微分系统还 提出了现实问题的数学模型框架 1 - 4 目前b a n a c h 空间申脉冲积分微分方程理论( 5 8 ， 1 2 1 8 】) 还需进一步研究，而且大部分工作仅讨论一阶或二阶方程( 1 5 - 1 8 ) 最近，利用 s c h a u d e r 不动点定理，不动点指数理论和上下解方法及单调迭代技巧，郭大钧【5 8 】对 b a n a c h 空间n 阶非线性非奇异脉冲积分微分方程分别讨论了解、多个解和极值解的存在 性利用s c h a u d e r 不动点定理，郭大钧还在 5 】对b a n a c h 空间n 阶非线性奇异脉冲积 分微分方程讨论了正解的存在性 受郭大钧教授工作的启发，本文我们利用锥理论、m b n c h 不动点定理及单调迭代技 巧，在比 5 】条件弱的情况下，研究了几阶非线性奇异脉冲积分微分方程边值问题( 简称 b v p ) 的正解 设e 表某实b a n a c h 空间，p 表e 中一个锥，从而在e 中引入了半序，即z y 当且仅当y z p 称p 是正规的，如果存在一正常数使得，当伊z y 时意味着 忙 n l l y l i ，这里伊是e 中的零元，而正数中的最小者叫做p 的正规常数称p 为 正则锥，如果u l u 2 u n - y 1 u 2 札n ：s u p 。l | p 设z ：p + ( i = 0 ，1 ，亿一1 ) ， 只a = z p ：z 入z ； ( a 0 ：i = 0 ，1 ，n 一1 ) 当a = 1 ，我们记只= 只1 本文我们考虑如下实b a n a c h 空间( e ，”11 ) 中无界区域上礼阶非线性奇异脉冲积分 微分方程边值问题： z “( t ) = f ( t ，z ( ) ，z 7 ( t ) ，z ( t l 一1 ( ) ，( 丁z ) ( t ) ，( s z ) ( t ) ) ，vt ，0 ， z a t = “2 厶七( 。( t 岛) ，z 7 ( 奄) ，。，z 似一” 。膏) ( 1 1 1 ) ( i = 0 ，1 ，亿一1 ；k = 1 ，2 ，3 ，) ， z “( o ) = x 0 i ( = 0 ，1 ，n 一2 ) ，z ( 铝一1 ( 。) = 矽z ( 竹一1 ( o ) ， 其中了= ( o ，+ 。) ，0 1 1 ，o ( n 一1 ) ( o o ) = t i mz ( n - - 1 ) ( ) 且 c - 4 0 。 ( 丁z ) ( ) = tk ( ，s ) z ( s ) d s ， ，。o ( s ：l ：) ( ) = t 1 ( t ，s ) ：，：( s ) d s ， ，0 ( 1 1 2 ) 其中k c d ，胡，d = ( ( t ，s ) j j ：t s ) ，h c j z 川z ( ) i 扛“= z 【。) ( 吉) 一 z ( ( t i ) = 0 ，1 ，n 一1 ) ，这里z ( 者) 和z ( ( t i ) 分别表示z ( ) ( ) 在t = 惫处的右和 左极限 由于这里允许，当t _ o + 或兢一矿( i = 0 ，l ，n 1 ) ( 魏_ 矿表示兢 伊，一p ) ，i l ，( t ，x o ，x l ，x n - l ，z n ，z n + 1 ) 1 i 0 0 及当巧一矿( j = 0 ，1 ，n 一1 ) ( i = 0 ，1 ，仃一1 ；忌= l ，2 ，3 ，) ，i a k ( z o ，x l ，。n 1 ) | | 一0 0 ，故b v p ( 1 1 1 ) 是奇异问题 设p c i j , 嗣= z ：z 是映，入e 的映像，它在t t 七处连续，在t = t k 处左连续， 且z ( 毒) 存在，南= 1 ，2 ，3 ，) ，b p c i j , e = 【z p c i j , e 】：s u p 挺，e - t i i x ( t ) l i 口( i = 0 ，1 ，n 一1 ) 且z ( ) 满足( 1 1 1 ) 1 2 预备知识 现提出下列条件 ( 研) l i m ( f ok ( t ，s ) e s - t d s ) = 0 ，f oh ( t ，s ) 矿d s 。及 t l 。i m 。一，l 。h ( t ，s ) e 州d s ) = 0 ，。一m 。f1 日( 印) 一h ( t ，5 ) l e 8 d s = 0 ，vt ，令 后+=sup(et厂。k(z，5)e5ds)，h=sup(et厂。日(t，s)edtej j ot e j j o s 1 后+ = 叫k ( z ，5 ) e 5， = ( e _ 日( t ， s 1 2 及 ( 凰) 存在0 t ， t + 。和盯c i ，卅( ，= ( t + ，州) 使得 f ( t ，x o ，j 7 1 ，j x n - 1 ，z 竹，x n + 1 ) 盯( z ) z 三一17 vt 。t t + ， x i z ；( i = 0 ，1 ，咒一1 ) ，z 。6 ，z 。+ l 6 i 厂 lo ( s ) d s28 1 j 九 ( 凰) 存在a ，b i c 风，川( i = 0 ，1 ，佗+ 1 ) 使得 n + 1 m ，+ 1 ) 1 1 o ( t ) + b t ( t ) l l i = 0 vt 4 ，也t 只，i = 0 ，1 ，n 一1 ，t t n ，u 。+ 1 p 。+ = f 0 0 。a ( t ) 出 。，醛= o 。玩( f ) e 。出 。，i - - - - - 0 , 1 , - , n + l ( 风) 存在d j k 0 ，勺m 0 ( 歹，f = 0 ，1 ，佗一1 ；k = 1 ，2 ，3 ，) 使得 乃k ( u o ，t l ：，一1 ) | l c ，“l | 让z l i ，v 札 只，i = 0 ，1 ，n 一1 ， o 。n - 1n - 1 o 。n - 1 矿= 叫e ，矿= 奶七 o 和可数的有界集mcd p c 一1 z 】g = 0 ，1 ，n 一 1 ) ，kcd p c ”1 层】g = 佗，n + 1 ) ，存在吼l z 川( i = 0 ，1 ，n + 1 ) 及正常数 m j k i ( t ，歹= 0 ，1 ，n 一1 ；七= 1 ，2 ，3 ，) 使得 其中 k ( ) ( t ) ： a ( f ( t ，v o ( t ) ，( t ) ，k 一1 ( ) ，( ) ，k + 1 ( t ) ) g d t ) a ( v i ( t ) ) i = 0 n 一1 q ( 易七( ( ) ( ) ，k i ( t ) ) m j k t a ( k ( ) ) ， g + = n 一1 i = 0吼( s ) + 肌( s ) 后+ 肌+ 1 ( s ) + e 。d s o o ， 0 0n 一1 n 1 = 码舻“ 。， k = lj = ol = 0 = 【z p ：z x i 。，i l x l l 冗) = 0 ，1 ，扎一1 ) ，嵫 。翁( t ) ：z m k ，7 n = l ，2 ：3 ，) ( t = 0 ，1 ，n 一1 ) 3 = z p ：i i z l l r 】l ， 州 + 办 一 第一章b a n a c h 空间中无界区域上n 阶非线性奇异脉冲稷坌丝坌复堡鱼垦堡 ( 风) f ，。；珏i 百t ( i = 0 ，1 ，钆一1 ) ，学u n 互n ，秽_ u n + l 历n + l 意l 味 着 f ( t ，u o ，t l ，u n + 1 ) f ( t ，u o 面l ，豇。+ 1 ) ， 乃七( u o ，珏l ，一1 ) 乃詹( 百o ，面1 ，：面n 一1 ) ， j = 0 ，1 ，亿一1 ；k = i ，2 ，3 ， 引理1 2 i 8 1 如果( 皿) 满足，则由( 1 1 2 ) 定义的算子丁和s 都是映b p c i j , e 】 入b p c i j , e 1 的线性有界算子，并且l i t i i k + ，l i s l l h + 此外，t ( b p c i j , p 】) c b p c i j , 尸】，s ( b p c i j , p 】) cb p c i j , p 】 引理1 2 2 1 6 如果z p 伊- 1 【z 明n 【4 ，捌及f 忙协) ( t ) l l d t o o ，那么 邢，2 驴n - it j 咄卅南肛矿飞d s h 2 m + 基掣愀啪掣砸驯川z 。 以下均记q = z d p c ”1 【z 卅：z ( ( ) x i ，vt 。工i = 0 ，l ，n 一1 ) 显然， q 是d p 伊以【ze 】空间中的凸闭集引理1 2 1 意味着下面引理成立 引理1 2 3 【1 0 】如果条件( 风) 和( 风) 满足，那么 l l ，( s ，z ( 5 ) ，z ，( s ) ，z 协- 1 ( s ) ，( t z ) ( s ) ，( s z ) ( s ) ) | l d s ， j o ( 1 2 2 ) o 。+ d i f zj i d ， vz q ， 其中 6 = 6 ：+ 舻6 ：+ 危+ 1 (12t 3 ) - j ” 、 引理1 2 4 如果条件( 日1 ) 一( 凰) 满足，那么z q n c l 以，e 】是b v p ( 1 1 1 ) 的解 当且仅当z q 是如下脉冲积分方程的解： 雄，= 喜知+ 南 z ，( s ，z8 ) ) x t ( s ) ，z 协一”( s ) ，( 丁z ) ( s ) ，( s z ) ( s ) ) d s + 如_ 1 ) 舯a ) 一少”m ) ) ) + 志 ( 1 2 4 ) r = 上 、 ( t s ) n - 1 f ( s ，。( s ) ，z ，( s ) ，z ( 1 ( s ) ，( 丁z ) ( s ) ，( s x ) ( s ) ) d s + 量掣州酬，。a 州沁枷， vt ， 4 曲阜师范大学硕士学位论文 证明如果。q n c ”f 4 ，司是b v p ( 1 1 。1 ) 的解，那么由引理1 2 3 知 忖”) ( t ) l l d t ，0 ，o 。 = fi j ，( ，z ( ) ，z 7 ( ) ，z ( n 一1 ( ) ，( 丁z ) ( ) ，( s x ) ( t ) ) l l d t ( 1 2 5 ) o 。 o + + 6 i i z f | d 。 因此，( 1 2 1 ) 成立对( 1 2 1 ) 进行微分可得 。( 州( t ) = z ( 州( o ) + 厂z ( n ( s ) 如j + 【z ( n o - ，( t j ) 一z ( n 一- ，( t 詹) 】，v t ， ( 1 2 6 ) + 眇叫( t 吉) 一z ( 州( 靠) 】， ， 名m 将( 1 1 1 ) 代入( 1 2 1 ) 和( 1 2 6 ) 得到 雄，= 薹扣禹少叫+ 南厶t - s 广， f ( s ，z ( s ) ，z 怡) ，z 州( s ) ，( 死) ( s ) ，( s z ) ( s ) ) 如 ( 1 2 7 ) + 曼譬掣杈邢“州纠，少叫) ) ，v “ u c k 了= o 。 和 z 一1 ( t ) 鄙m 1 ) ( 0 ) + z 帅( s ) ，( s ) ，d 叫( s ) 艘州“( 蹦( s ) ) d sf 1 2 8 1，0 。、 7 、7、，7 l1 z 石l + i ( n - 1 ) 七( z ( 如) ，。心詹) ，z 一1 ( “) ) ，vt ， 由条件( 凰) 可得 1 1 5 奄 ( t k ) z 印) ，z 州( 如) ) 恬+ 铀i i z ( z ( 如) 呜七+ n - 1 咄膨z 峙嘭奄+ n - 1 勺酬， 2 u f = - o 进而知如下无穷积分收敛 乃( z ( ) ，z 7 ( ) ，z ( n 一1 ( t k ) ) d + c - i i z i i 。 (129)k- - - - ij = o 、 第一章 b a n a c h 空间中无界区域上，。阶非线性奇异脉冲积分微分方程的正解 对( 1 2 8 ) 式两边取极限，并且由z ( n 一1 ( o 。) = 励( n 一1 ( o ) 可以得到 ) ( 0 ) = 击 m 州( s ) ，少1 ) ( s ) 7 ( 丁洲， ( s z ) ( s ) ) d s + 厶n - 1 ) 七( z ( t ) ，z 缸七) ，z ( 州( t 七) ) 1 、121 0 。 。 f ) 现在，由( 1 2 1 0 ) 和( 1 2 7 ) 可知z ( ) 满足方程( 1 2 4 ) 反之，如果z q 是方程( 1 2 4 ) 的解，则对( 1 2 4 ) 式微分可有 弋n - 、2 t j i t n l t 2 刍i 两+ ( 3 - 1 ) ( n - 1 - i ) ! o 厂( s ，z ( s ) ，。，( s ) ，z ( n 一1 ) ( s ) ，( 死) ( s ) ，( 乳) ( s ) ) d s + 善铀如( 如m ，少”) ) ) + f 岛 o ( t - - s ) n - l - i f ( s ，z ( s ) ，z 7 ( s ) ，z t i 一1 ( s ) ，( 丁。) ( s ) ，( s z ) ( s ) ) d s + 。乏。n - - 1 镨w 嘲) ，一删) ) ， v t j = 0 ，1 ，佗一2 ) ， ( 1 2 1 1 ) z ( n 一1 ( ) = 古 z 弛删巾) ，一州) ( s ) ，( t 州s ) ，( 哪) ) d s + 苫铀蝴n 喇，少”) ) )( 1 2 1 2 ) + zm ，z ( s ) ，z ，( s ) ，z 铲1 ) ( 5 ) ，( 丁z ) ( s ) ，( 刚s ) ) 如 + 。三。铀如( 拓, x t ) 少1 ) i vt “ z ”( t ) = m ，。( t ) ，z 他) ，z ( 州( 州t z ) ( 州) ( 锨v 以 ( 1 2 1 3 ) 故z qn c ” 4 ，矧并且由( 1 2 1 1 ) 一( 1 2 1 3 ) ，易验证z ( t ) 满足( 1 1 1 ) 证毕 6 堂堕整盔堂亟主堂堕堡塞 下面考察算子 c 肋m ，2 薹扣+ 赢 。，( s ，z ( s ) ，z 7 ( s ) ，z ( n 一- ( s ) ，( 死) ( s ) ，( s z ) ( s ) ) d s + 吾如( 靠m ，k 枷) + 南z 。 ( 1 2 1 4 ) ( t s ) n 一1 ，( s z ( s ) ，。7 ( s ) ，z m l ( s ) ，( 丁z ) ( s ) ，( s z ) ( s ) ) d s + n - 1 与掣“川d 啪) ，扣叫) ) vtej ，弓j 理1 2 5 如果条件( 皿) 一( 凰) 满足，则由( 1 2 1 4 ) 式定义的算子4 映q 入q 连 续并且 i i a x l l 。7 - + 7 | | z f j d ，vz q ， ( 1 2 1 5 ) 其中6 由( 1 2 3 ) 式给出，并且 7 2 南矿w + m a x ( 1 l z 叭i i 。= 0 ，1 ，礼- 2 ) ，7 _ 击( 巧耵) ( 1 2 1 6 ) 证明设z q 对( 1 2 1 4 ) 式微分 严沁) = 霎高 焘 0 。( ；，z ( s ) ，z 7 ( s ) ，z ( n 一- ( s ) ，( 丁z ) ( s ) ，( s z ) ( s ) ) d s + p k = l 啪 n ，( 砒n - 1 ) ) ) 卜南 ( 1 2 1 7 ) l n l zj ! 一 上( t - - 8 ) , 。- l - i f ( 蚰( s ) ，。，( s ) ，z ( 州( s ) ，( 丁z ) ( s ) ，( s z ) ( s ) ) 幽 + 。乏。薹n - 1 譬字州纠) ，沁圳， vt j